Copia de Pre 2021 2 Semana 14 - Divisibilidad Aplicaciones - Patricia Torres

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1
2021-2
14
PREUNIVERSITARIO
2
DIVISIBILIDAD EN
LOS ENTEROS
3
La venta de huevos en
bloques de 30 unidades
Batallón dividido en bloques de 30
soldados.
4
El éxito no es para los
que piensan que pueden
hacer algo, sino para los
que lo hacen.
La divisibilidad de los enteros es conocida
desde tiempos antiguos: griegos,
egipcios, babilonios.
El matemático griego Euclides demostró
los teoremas básicos de la divisibilidad de
los enteros.
El matemático francés Pascal (1623-
1662) propuso reglas para conocer la
divisibilidad para cualquier número.
5
Karl. F. Gauss (1 777 - 1 855)
Uno de los más grandes
matemáticos de todos los tiempos.
Uno de sus aportes en aritmética,
que veremos en este capítulo, es:
“Gaussiano”(restos potenciales).
Gauss, célebre también por señalar
que : “La matemática es la reina de
las ciencias y la aritmética es la
reina de las matemáticas”
6
TEORÍA DE DIVISIBILIDAD 
CONCEPTO
Es parte de la teoría de los números que estudia, principalmente, las
condiciones que debe tener un número para ser dividido por otro.
También nos permite encontrar el residuo que se obtiene al dividir dos
cantidades enteras, sin necesidad de efectuar la operación.
Ejemplo:
• Si 𝒂𝒃𝒄𝟐𝟔 se divide entre 4, el residuo será 2. 
• Si 2 divide a 𝒂𝒃𝒄 ,significa que 𝒂𝒃𝒄 es par
. Si 5 divide a 𝒎𝒏(𝒏 − 𝟑), significa que 𝒏 = 𝟑 o 𝒏 = 𝟖
7
Se dice que el número entero A es divisible por el número entero B,
diferente de cero, si existe un número entero k, tal que A = B . K , es
decir la división de A entre B es exacta.
Notación: Interpretación:
A Dividendo
B divisor
K Cociente
A es dividido por B
B es divisor de A 
A es múltiplo de B
40 = 5 x 8 
12 = 3 x 4 
A es divisible entre B 
Recordemos que: El número entero positivo 𝒂 > 𝟏 es primo, si sus 
únicos divisores positivos son el 1 y el mismo. 
A = B 
B A 
A = B A = B k 
40 = 5 
12 = 3 
DIVISIBILIDAD
Ejemplos: B se denomina 
MÓDULO
𝑨 𝑩
− 𝑲
𝑨 = 𝑩 × 𝑲
B divide a A
°
°
°
°
8
-3 ; -6 ; -9 ; -12 ; -15 ; …
0
3 ; 6 ; 9 ; 12 ; 15 ; …
-7 ; -14 ; -21 ; -28 ; -35 ; …
0
7 ; 14 ; 21 ; 28 ; 35 ; …
OBSERVACIONES:
1.- El conjunto de
los múltiplos de un
número tiene
infinitos
elementos.
2.- El cero es
múltiplo de todos
los números
excepto de si
mismo.
𝑨 𝟑
− 𝑲
𝐴 = 3 × 𝐾 = 3
𝑨 𝟕
− 𝑲
𝐴 = 7 × 𝐾 = 7
CONJUNTO DE LOS MÚLTIPLOS DE UN NÚMERO
9
¿Cuántos números de 4 cifras del sistema quinario son múltiplos de 7?.
Respuesta : 𝟕𝟐
APLICACIÓN 01
RESOLUCIÓN
Sabemos: 𝟓𝟑 ≤ 𝒂𝒃𝒄𝒅(𝟓) < 𝟓
𝟒 . Además: 𝒂𝒃𝒄𝒅(𝟓) = ሶ𝟕 = 𝟕𝒌
Reemplazando: 𝟏𝟐𝟓 ≤ 𝟕𝒌 < 𝟔𝟐𝟓
𝟏𝟕, 𝟖… ≤ 𝒌 < 𝟖𝟗, 𝟐…
Valores de 𝒌: 𝟏𝟖; 𝟏𝟗; 𝟐𝟎; … ; 𝟖𝟗 # valores de 𝒌 = 𝟖𝟗 − 𝟏𝟖 + 𝟏 = 𝟕𝟐
Hay 72 números de 4 cifras del sistema quinario que son múltiplos de 7
10
CANTIDAD DE MÚLTIPLOS DE UN NÚMERO EN 
LOS N PRIMEROS NATURALES
Sea el conjunto de los
primeros 𝑵 naturales:
𝟏 ; 𝟐 ; 𝟑 ; 𝟒 ; . . . ; (𝑵 − 𝟏) ; 𝑵
Entonces la cantidad de
números que son múltiplos
de 𝒂 es: 𝑵
𝒂
= 𝒏,…
Luego, hay 𝒏 números que
son múltiplos de 𝒂.
𝟏 ; 𝟐 ; 𝟑 ; 𝟒 ; . . . ; 𝟐𝟒𝟓 ; 𝟐𝟒𝟔
246
6
= Hay 41 números que
son múltiplos de 6.
246
8
= Hay 30 números que
son múltiplos de 8
246
5
=
Hay 42 números que
son múltiplos de 5 pero
no son múltiplos de 7.
pero no
246
35
=
49 − 7 = 42
Sean:
°
𝟔
°
𝟖
°
𝟓
°
𝟕
41
30,…
49,… 7,…
Los números que son
11
Respuesta : 𝟐𝟓𝟎
APLICACIÓN 02
RESOLUCIÓN
Sabemos:
Gráficamente: 
Hay 𝟐𝟓𝟎 números que son
múltiplos de 6 u 8 pero no de 24
1200
6
=
°
6 200
1200
8
=
°
8 150
1200
24
=
°
24 50
°
𝟔
°
𝟖
°
𝟐𝟒
(𝟐𝟎𝟎) (𝟏𝟓𝟎)
𝟓𝟎𝟏𝟓𝟎 𝟏𝟎𝟎
De los 1200 primeros números naturales, ¿cuántos son múltiplos de
6 u 8 pero no de 24?.
12
Si la división es inexacta:
A = B . K + r 
División por defecto
A = B.( K + 1) - re
División por exceso
20 3
62
20 3
71
r + re = B
A = B . K + r A = B ( K + 1 ) - re
A = B + r A = B - re
° °
20 = 3 + 2 20 = 3 - 1
° °
𝑛 + 𝑒 = 𝑛 − (𝑛 − 𝑒)
7 + 5 = 7 − 2
11 + 7 = 11 − 4
9 − 3 = 9 + 6
= 11 − 111 + 10
= 13 + 713 − 6
°
° °
°
° °
° °
° °
° °
13
PRINCIPIOS DE DIVISIBILIDAD
Si dos números enteros son divisibles por cierto módulo, entonces
la suma o diferencia de ellos también será divisible por dicho
módulo.
Consideremos dos números A y B que son divisibles por C
Sumando
ambas
Todo número entero es divisible por los factores primos que lo
forman y de la combinación de ellos.
𝟏𝟐 = 𝟐𝟐. 𝟑
A + B = C 𝐀 + 𝐁 = 𝐊𝟏 + 𝐊𝟐 𝐂
B = K2C
A = K1C
𝟑𝟓 + 𝟒𝟎 = 𝟕𝟓°
𝟓 𝟓𝟓
°°
𝟏𝟐 = 𝟐
°
𝟏𝟐 = 𝟑
°
𝟏𝟐 = 𝟒
°
𝟏𝟐 = 𝟔
°
𝟏𝟐 = 𝟏𝟐
°
𝐁 = 𝐂
𝐀 = 𝐂
°
°
14
OPERACIONES CON 
MÚLTIPLOS
𝒏 – 𝒏 = 𝒏 . Ejemplo: 65 − 39 = 26
(𝑛 + 𝑎) − (𝑛 + 𝑏 ) = 𝑛 + (𝑎 − 𝑏)
(𝑛 + 𝑎) + (𝑛 + 𝑏 ) = 𝑛 + (𝑎 + 𝑏)
𝒏 × 𝒏 = 𝒏
(𝒏 + 𝒂) × (𝒏 + 𝒃 ) = 𝒏 + (𝒂 × 𝒃)
𝒏 𝒂 = 𝒏
° ° °
𝟏𝟑 𝟏𝟑 𝟏𝟑
° °
°
°
°
° °
° °
° ° °
Además:
°
°° °
°
. Ejemplo: 12 × 30 = 360° °°
𝟔 𝟔 𝟔
°
, 𝒂 ∈ ℤ+. Luego:
Ejemplo: 𝟕 + 𝟑 × 𝟕 + 𝟐 = 𝟕 + 𝟑 × 𝟐
°°
15
𝒂𝒃𝒄𝒅𝒆(𝒏)=
DIVISIBILIDAD DE UN NÚMERO RESPECTO A SU BASE
𝒏 + 𝒆
𝒏𝟐 + 𝒅𝒆(𝒏)
𝒏𝟑 + 𝒄𝒅𝒆(𝒏)
°
°
°
. Ejemplo:
67132(8)=
8 + 2
82 + 32(8)
83 + 132(8)
°
°
°
67132(8)=
8 + 2
64 + 26
512 + 90
°
°
°
16
APLICACIÓN N° 3
RESOLUCIÓN
Si: 𝑨 = 𝒂𝒃𝟐𝟏 𝟑 , 𝑩 = 𝒅𝒆𝒇𝒈𝟓 𝟗 y 𝑪 = 𝒎𝟏𝟐 𝟔 . Calcule la cifra de
menor orden al expresar 𝑨 × 𝑩 × 𝑪 en base 𝟗.
Se tiene: 𝑨 = 3 2 + 21(3)
𝑩 = 9 + 5
𝑪 = 6 2 + 12(6)
= 9 + 7
= 36 + 8 = 9 + 8
𝑨 × 𝑩 × 𝑪 = 9 + 7 9 + 5 9 + 8 = 9 + 7 × 5 × 8 = 9 + 280
Respuesta : 𝟏
Piden: 𝒓 𝐴 × 𝐵 × 𝐶 = . . . 𝑟(9) 𝐴 × 𝐵 × 𝐶 = 9 + 𝑟, donde:
Luego:
= 9 + 1𝑨 × 𝑩 × 𝑪 𝒓 = 𝟏
°
°
°°°°°
° °°
°
°°
17
Si un número entero es divisible por dos o más números
simultáneamente, entonces será también divisible por el menor de
los múltiplos comunes de los números considerados”
Dado dos números enteros cuyo producto es múltiplo de 𝒏, y si uno
de tales números es primo con 𝒏, entonces el otro número será
múltiplo de 𝒏. ( Propiedad de Arquímedes).
PESI
𝑵 = 𝐌𝐂𝐌(𝟔; 𝟖; 𝟏𝟎)Si :
En general:
𝑵 = 𝟔
°
𝑵 = 𝟖
°
𝑵 = 𝟏𝟎
°
Ejemplo:
°
𝑵 = 𝟏𝟐𝟎
°
𝑵 = 𝒂 ± 𝒙
𝑵 = 𝒃 ± 𝒙
𝑵 = 𝒄 ± 𝒙
°°
°
° 𝑵 = 𝐌𝐂𝐌(𝒂 ; 𝒃; 𝒄) ± 𝒙
𝟒𝑵 = 𝟕
°
𝑵 = 𝟕
°
Ejemplo:
18
APLICACIÓN N° 4
RESOLUCIÓN
Un comerciante tiene entre 500 y 600 naranjas. Si los vende de 8 en 8
le sobrarían 3; pero si quisiera venderlo de 11 en 11 le faltarían5.
¿Cuántas naranjas tiene el comerciante?.
Sea 𝑵: número de naranjas que tiene el comerciante. 
Se tiene:
𝑁 =
8 + 3
11 − 5
°
°
= 8 − 5
𝑁 = 88 − 5
°°
𝑵 = 𝐌𝐂𝐌(𝟖 ; 𝟏𝟏) − 𝟓
°
Además: 500 < 𝑁 < 600
500 < 88𝑘 − 5 < 600 5,73… < 𝑘 < 6,875 𝑘 = 6
𝑁 = 88. 6 − 5 = 𝟓𝟐𝟑 Respuesta: 𝟓𝟐𝟑
19
APLICACIÓN N° 5
Determine el menor número de tres cifras, tal que al ser multiplicado
por 5, sea múltiplo de 7 más 3; y al ser multiplicado por 3, sea
múltiplo de 11 más 2.
RESOLUCIÓN
Sea 𝑵 el menor número de tres cifras, tal que:
Por la propiedad de Arquímedes:
5𝑁 = 7 + 3
𝑁 = 77 + 30
°
3𝑁 = 11 + 2
5𝑁 = 7 + 3 + 𝟕
3𝑁 = 11 + 2 + 𝟐𝟐
5𝑁 − 10 = 7
3𝑁 − 24 = 11
5(𝑁 − 2) = 7
3(𝑁 − 8) = 11
° ° ° °
°°°°
𝑁 − 2 = 7
𝑁 − 8 = 11
°
° 7 + 2
11 + 8
°
° + 𝟐𝟖
𝑁 =
+ 𝟐𝟐
Luego, el menor valor de 𝑵 es: 𝟕𝟕 + 𝟑𝟎 = 𝟏𝟎𝟕 Respuesta : 𝟏𝟎𝟕
20
APLICACIÓN DEL BINOMIO DE NEWTON
𝒂 𝒂 𝒂 𝒂
𝒏
𝟎
𝒂𝒏 +
𝒏
𝟏
𝒂𝒏−𝟏𝒃 +
𝒏
𝟐
𝒂𝒏−𝟐𝒃𝟐 +
𝒏
𝟑
𝒂𝒏−𝟑𝒃𝟑 +⋯ .+
𝒏
𝒏
𝒃𝒏(𝒂 + 𝒃)𝒏 =
𝒃𝒏
𝒂 + 𝒃 𝒏 = 𝒂 + 𝒃𝒏
𝒂 − 𝒃 𝒏 = 𝒂 + (−𝒃)𝒏
° °
° °
Ejemplos:
. 𝟗 + 𝟐 𝟓 = 𝟗 + 𝟐𝟓 = 𝟗 + 𝟑𝟐 = 𝟗 + 𝟗 + 𝟓
= 𝟗 + 𝟓𝟗 + 𝟐 𝟓
. 𝟓 − 𝟑 𝟒 = 𝟓 + (−𝟑)𝟒 = 𝟓 + 𝟖𝟏 = 𝟓 + 𝟓 + 𝟏
= 𝟓 + 𝟏𝟓 − 𝟑 𝟒
°
°°
°°°°°
°°° °
° °
21
APLICACIÓN N° 6
si 𝟏𝟐𝟔𝟑𝑼𝑵𝑰𝟐𝟎𝟐𝟏 = …𝒂𝒃𝒄(𝟐), calcule 𝒂 + 𝒃 + 𝒄
RESOLUCIÓN
Se observa lo siguiente:
…𝑎𝑏𝑐(2) = 2
3 + 𝑎𝑏𝑐(2) = 8 + 𝑎𝑏𝑐(2)
Además:1263𝑈𝑁𝐼2021 = 8 + 7 𝑈𝑁𝐼2021
= 8 − 1 𝑈𝑁𝐼2021 = 8 − 1𝑈𝑁𝐼2021 = 8 − 1
1263𝑈𝑁𝐼2021 = 8 + 7
1263𝑈𝑁𝐼2021 =
Luego, expresamos 𝟕 en base 𝟐 7 = 111(2) 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 3
Respuesta : 𝟑
° °
°
° ° °
°
22
Se denominan restos potenciales de cierto número entero respecto a un
módulo, a los residuos obtenidos al dividir las potencias sucesivas entre
djcho módulo.
Determine el resto de dividir 𝟏𝟏𝟏𝟔𝟑 entre 𝟕
RESTOS POTENCIALES
.
.
.
𝑷𝒆𝒓𝒊𝒐𝒅𝒐
Ejemplo:
110 = 7 + 1
113 = 7 + 1
111 = 7 + 4
112 = 7 + 2
114 = 7 + 4
115 = 7 + 2
11163 = 7 + 𝑟
Veamos:
𝒈 = 𝟑
𝒈 = 𝟑 𝟏𝟔𝟑 = 𝟑 + 𝟏
113𝑘 = 7 + 1
113𝑘+1 = 7 + 4
113𝑘+2 = 7 + 2
𝒓 = 𝟒
𝟏𝟏𝟏𝟔𝟑 = 𝟕 + 𝟒
𝑫𝒆𝒇𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊ó𝒏:
Sean: 𝒎 ∈ ℤ , 𝒏 ∈ ℕ
y 𝐌𝐂𝐃 (𝒎,𝒏) = 𝟏 ,
definamos al
gaussiano de 𝒎
módulo 𝒏 , como el
menor entero positivo
“𝒈” tal que:𝒎𝒈 = 𝒏 + 𝟏
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
23
APLICACIÓN N° 7
si 𝟑𝒂𝒃 = 𝟕 + 𝟔 , calcule el menor valor de 𝒂𝒃,
RESOLUCIÓN
Determinando los restos potenciales de 𝟑 módulo 𝟕
30 = 7 + 1
33 = 7 + 6
31 = 7 + 3
32 = 7 + 2
34 = 7 + 4
35 = 7 + 5
°
°
°
°
°
36 = 7 + 1
°
°
°
𝒈 = 𝟔 36𝑘+2 = 7 + 2
36𝑘 = 7 + 1
36𝑘+1 = 7 + 3
36𝑘+3 = 7 + 6
36𝑘+4 = 7 + 4
°
°
°
°
°
36𝑘+5 = 7 + 5
°
𝑎𝑏 = 6𝑘 + 3
Para 𝒌 = 𝟐, se tiene el menor valor de 𝒂𝒃 = 𝟏𝟓
Respuesta : 𝟏𝟓
.
.
.
24
PRINCIPALES CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD EN EL 
SISTEMA DECIMAL
𝒂𝒃𝒄𝒅𝒆𝒇 = 𝟏𝟎. 𝒂𝒃𝒄𝒅𝒆 + 𝒇
𝒂𝒃𝒄𝒅𝒆𝒇 = 𝒂. 𝟏𝟎𝟓 + 𝒃. 𝟏𝟎𝟒 + 𝒄. 𝟏𝟎𝟑 + 𝒅. 𝟏𝟎𝟐 + 𝒆. 𝟏𝟎𝟏 + 𝒇
𝒂𝒃𝒄𝒅𝒆𝒇 = 𝟐 + 𝒇
Divisibilidad por 2 : Un número es divisible por 𝟐, si termina en cifra par
Sea el número:
Divisibilidad por 𝟓: Un número es divisible por 𝟓, si termina en ሶ𝟓
Divisibilidad por 𝟐𝒏 o 𝟓𝒏: Un número es divisible por 𝟐𝒏 o 𝟓𝒏, si sus 𝒏
últimas cifras son ceros o formen un número que sea divisible por 𝟐𝒏
o 𝟓𝒏 , respectivamente.
𝒂𝒃𝒄𝒅𝒆𝒇 = 𝟏𝟎. 𝒂𝒃𝒄𝒅𝒆 + 𝒇 𝒂𝒃𝒄𝒅𝒆𝒇 = ሶ𝟓 + 𝒇
°
𝒇 = ሶ𝟐
𝒇 = ሶ𝟓
25
Divisibilidad por 𝟑: Un número es divisible por 𝟑, si la suma de sus
cifras es múltiplo de 𝟑
Divisibilidad por 𝟕:
Divisibilidad por 𝟗: Un número es divisible por 𝟗, si la suma de sus
cifras es múltiplo de 𝟗
Divisibilidad por 𝟏𝟑:
R.P: 𝟏; 𝟑; 𝟐;−𝟏;−𝟑;−𝟐; 𝟏; 𝟑; 𝟐;…
R.P: 𝟏,−𝟑,−𝟒,−𝟏, 𝟑, 𝟒, 𝟏, …
Divisibilidad por 𝟏𝟏: R.P: +𝟏,−𝟏,+𝟏,−𝟏,+𝟏,−𝟏,…
𝒂𝒃𝒄𝒅𝒆𝒇𝒈𝒉 = 𝟕 + 𝟑. 𝒂 + 𝟏. 𝒃 − 𝟐. 𝒄 − 𝟑. 𝒅 − 𝟏. 𝒆 + 𝟐. 𝒇 + 𝟑𝒈 + 𝟏. 𝒉
3 1 -2 -3 -1 2 3 1
𝟕
° = 𝟕
°°
𝒂𝒃𝒄𝒅𝒆
1 -1 1 -1 1
= 𝟏𝟏 + 𝟏. 𝒂 − 𝟏. 𝒃 + 𝟏. 𝒄 − 𝟏. 𝒅 + 𝟏. 𝒆
𝟏𝟏
° = 𝟏𝟏
°°
𝒂𝒃𝒄𝒅𝒆𝒇𝒈𝒉 = 𝟏𝟑 − 𝟑. 𝒂 + 𝟏. 𝒃 + 𝟒. 𝒄 + 𝟑. 𝒅 − 𝟏. 𝒆 − 𝟒. 𝒇 − 𝟑𝒈 + 𝟏. 𝒉
-3 1 4 3 -1 -4 -3 1
𝟏𝟑
°
= 𝟏𝟑
°°
26
APLICACIÓN N° 8
RESOLUCIÓN
Si 𝟕𝒙𝟗𝒃𝒄 = 𝟕𝟕 y 𝒙𝒃𝒄 = 𝟐𝟓 , donde 𝒃 es par, calcule 𝒙 + 𝒃 − 𝒄
° °
Como 𝒃 es par, entonces: 𝑏𝑐 = 25
Reemplazando: 7𝑥925 = 77
Utilizamos el criterio por 𝟏𝟏
7𝑥925 = 11 7 − 𝑥 + 9 − 2 + 5 = 11
19 − 𝑥 = 11 𝒙 = 𝟖
Piden: 𝒙 + 𝒃 − 𝒄 = 𝟖 + 𝟐 − 𝟓 = 𝟓 Respuesta : 𝟓
°
° °
°
27
APLICACIÓN N° 9
RESOLUCIÓN
Si 𝒂𝒃𝒄𝒅 = 𝟗𝟗 y 𝒄𝒅 = 𝒂𝒃 + 𝟑𝟕 , calcule 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 + 𝒅. (EX - UNI)
°
°
Por descomposición por bloques: 𝑎𝑏𝑐𝑑 = 100𝑎𝑏 + 𝑐𝑑
𝑎𝑏 + 𝒂𝒃 + 𝟑𝟕 = 99Reemplazando:
2. 𝑎𝑏 = 62
Piden: 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 + 𝒅 = 𝟑 + 𝟏 + 𝟔 + 𝟖 = 𝟏𝟖
Respuesta : 𝟏𝟖
°
°
° °
99 + 1 𝑎𝑏 + 𝑐𝑑
= 99
= 99 𝑎𝑏 + 𝑐𝑑 = 99
2 . 𝑎𝑏 = 99 − 37 𝑎𝑏 = 31 𝑐𝑑 = 68
°
28
Criterio de divisibilidad de (𝒏 − 𝟏) en base 𝒏
“Un número escrito en la base 𝒏 es divisible por (𝒏 − 𝟏), si la suma
de sus cifras es múltiplo de (𝒏 − 𝟏)”
Demostración:
Entonces:
Ejemplo:
𝒂𝒃𝒄𝒅𝒆𝒇(𝒏) = 𝒏 − 𝟏 + 𝒇 + 𝒆 + 𝒅 + 𝒄 + 𝒃 + 𝒂
𝒂𝒃𝒄𝒅𝒆𝒇(𝒏) = 𝒇 + 𝒆. 𝒏 + 𝒅. 𝒏
𝟐 + 𝒄. 𝒏𝟑 + 𝒃. 𝒏𝟒 + 𝒂. 𝒏𝟓
𝒂𝒃𝒄𝒅𝒆𝒇(𝒏) = 𝒇 + 𝒆. (𝒏 − 𝟏 + 𝟏) + 𝒅. (𝒏 − 𝟏 + 𝟏)
𝟐+𝒄. (𝒏 − 𝟏 + 𝟏)𝟑+𝒃. (𝒏 − 𝟏 + 𝟏)𝟒+𝒂. (𝒏 − 𝟏 + 𝟏)𝟓
𝒂𝒃𝒄𝒅𝒆𝒇(𝒏) = 𝒇 + 𝒆. (𝒏 − 𝟏 + 𝟏) + 𝒅. (𝒏 − 𝟏 + 𝟏)
𝟐+𝒄. (𝒏 − 𝟏 + 𝟏)𝟑+𝒃. (𝒏 − 𝟏 + 𝟏)𝟒+𝒂. (𝒏 − 𝟏 + 𝟏)𝟓
𝒂𝒃𝒄𝒅𝒆𝒇(𝒏) = 𝒇 + 𝒏 − 𝟏 + 𝒆 + 𝒏 − 𝟏
𝟐 + 𝒅 + 𝒏 − 𝟏 𝟑 + 𝒄 + 𝒏 − 𝟏 𝟒 + 𝒃 + 𝒏 − 𝟏 𝟓 + 𝒂
𝒂𝒃𝒄𝒅𝒆𝒇(𝒏) = (𝒏 − 𝟏) + 𝒇 + 𝒆 + 𝒅 + 𝒄 + 𝒃 + 𝒂
𝒂𝒃𝒄𝒅𝒆𝒇(𝟔) = 𝟓 + 𝒇 + 𝒆 + 𝒅 + 𝒄 + 𝒃 + 𝒂
°
° ° ° ° °
° ° ° ° °
°
°
29
Criterio de divisibilidad de (𝒏 + 𝟏) en base 𝒏
“Un número escrito en la base 𝒏 es divisible por (𝒏 + 𝟏), si la suma
de cifras de lugar impar menos la suma de cifras de lugar par es
múltiplo de (𝒏 + 𝟏)”
Demostración:
Entonces:
Ejemplo:
𝒂𝒃𝒄𝒅𝒆𝒇(𝒏) = 𝒏 + 𝟏 + 𝒇 − 𝒆 + 𝒅 − 𝒄 + 𝒃 − 𝒂
𝒂𝒃𝒄𝒅𝒆𝒇(𝒏) = 𝒇 + 𝒆. 𝒏 + 𝒅. 𝒏
𝟐 + 𝒄. 𝒏𝟑 + 𝒃. 𝒏𝟒 + 𝒂. 𝒏𝟓
𝒂𝒃𝒄𝒅𝒆𝒇(𝒏) = 𝒇 + 𝒆. (𝒏 + 𝟏 − 𝟏) + 𝒅. (𝒏 + 𝟏 − 𝟏)
𝟐+𝒄. (𝒏 + 𝟏 − 𝟏)𝟑+𝒃. (𝒏 + 𝟏 − 𝟏)𝟒+𝒂. (𝒏 + 𝟏 − 𝟏)𝟓
𝒂𝒃𝒄𝒅𝒆𝒇(𝒏) = 𝒇 + 𝒆. (𝒏 + 𝟏 − 𝟏) + 𝒅. (𝒏 + 𝟏 − 𝟏)
𝟐+𝒄. (𝒏 + 𝟏 − 𝟏)𝟑+𝒃. (𝒏 + 𝟏 − 𝟏)𝟒+𝒂. (𝒏 + 𝟏 − 𝟏)𝟓
𝒂𝒃𝒄𝒅𝒆𝒇(𝒏) = 𝒇 + 𝒏 + 𝟏 − 𝒆 + 𝒏 + 𝟏
𝟐 + 𝒅 + 𝒏 + 𝟏 𝟑 − 𝒄 + 𝒏 + 𝟏 𝟒 + 𝒃 + 𝒏 + 𝟏 𝟓 − 𝒂
𝒂𝒃𝒄𝒅𝒆𝒇(𝒏) = (𝒏 − 𝟏) + 𝒇 − 𝒆 + 𝒅 − 𝒄 + 𝒃 − 𝒂
𝒂𝒃𝒄𝒅𝒆𝒇(𝟔) = 𝟕 + 𝒇 − 𝒆 + 𝒅 − 𝒄 + 𝒃 − 𝒂
°
° ° ° ° °
° ° ° ° °
°
°
30
APLICACIÓN N° 10
RESOLUCIÓN
Si: 𝟐𝒙𝒚𝟏𝟒(𝟔) es múltiplo de 𝟑𝟓. Calcule: 𝒙
𝟐 + 𝒚𝟐
Como 𝟐𝒙𝒚𝟏𝟒(𝟔) es múltiplo de 𝟑𝟓, entonces es múltiplo de 𝟓 y 𝟕
𝟐𝒙𝒚𝟏𝟒(𝟔) = 𝟕 𝟐𝒙𝒚𝟏𝟒(𝟔) = 𝟓
2 − 𝑥 + 𝑦 − 1 + 4 = 7 2 + 𝑥 + 𝑦 + 1 + 4 = 5
𝑦 − 𝑥 = 7 − 5 𝑥 + 𝑦 = 5 + 3
. 𝑦 − 𝑥 = 2
. 𝑦 − 𝑥 = −5 𝑦 = 0; 𝑥 = 5 5 + 0 ≠ 5 + 3
𝑥 = 𝑦 − 2 2𝑦 − 2 = 5 + 3
𝑦 = 5 𝒚 = 𝟓; 𝒙 = 𝟑
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟗 + 𝟐𝟓 = 𝟑𝟒
Se tienen dos casos:
Luego: Respuesta : 𝟑𝟒
° °
°
°
°
°
°
°
°
31
Es toda ecuación con varias variables, cuyos coeficientes son
números enteros y la finalidad es obtener soluciones enteras.
ECUACIÓN DIOFÁNTICA
Estudio de las ecuaciones Diofánticas lineales: 𝒂 𝒙 + 𝒃 𝒚 = 𝒄
Dada la ecuación 𝒂 𝒙 + 𝒃 𝒚 = 𝒄, con 𝒂, 𝒃, 𝒄 ∈ ℤ y donde 
𝒅 = 𝐌𝐂𝐃 (𝒂, 𝒃) decimos que 𝒂 𝒙 + 𝒃 𝒚 = 𝒄 tiene 
soluciones enteras si y sólo si 𝒅 | 𝒄.
TEOREMA:
Sea 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 = 𝒄 , donde 𝒂, 𝒃, 𝒄 ℤ y 𝐌𝐂𝐃 𝒂, 𝒃 = 𝒅 , donde 𝒅 | 𝒄
𝒂
𝒅
𝒙 +
𝒃
𝒅
𝒚 =
𝒄
𝒅
𝒑𝒙 + 𝒒𝒚 = 𝒓 la ecuación tiene soluciones enteras
Sea (𝒙𝟎, 𝒚𝟎) una solución particular , luego: 
𝒑𝒙 + 𝒒𝒚 = 𝒑𝒙𝟎 + 𝒒𝒚𝟎 = 𝒓 𝒑 𝒙 − 𝒙𝟎 = 𝒒(𝒚𝟎 − 𝒚)
𝒙 − 𝒙𝒐 = 𝒒 𝒕
𝒚𝒐 − 𝒚 = 𝒑 𝒕
𝒙 = 𝒙𝒐 + 𝒒 𝒕 𝒚 = 𝒚𝒐 − 𝒑 𝒕
Solución General
𝐭 ∈ ℤ
32
Resolver : 𝟐𝟐𝒙 − 𝟔𝟎𝒚 = 𝟓𝟖
𝐌𝐂𝐃 𝟐𝟐, 𝟔𝟎 = 𝟐 ; 𝟐 | 𝟓𝟖, luego la ecuación tiene soluciones enteras
𝟏𝟏𝒙 − 𝟑𝟎𝒚 = 𝟐𝟗
𝟑𝒚 = 11 + 7
𝒚 = 𝟔 − 𝟏𝟏𝒕
𝒙 = 𝟏𝟗 − 𝟑𝟎𝒕
Solución General:
Solución particular:
APLICACIÓN N° 11
RESOLUCIÓN
11 − 11 − 3 𝑦 = 11 + 7
𝒚𝟎 = 𝟔; 𝒙𝟎 = 𝟏𝟗
𝟑𝒚 = 11 + 7 + 11 𝒚 = 11 + 6
𝑝 = 11 ; 𝑞 = −30
𝒙 = 𝒙𝒐 + 𝒒 𝒕
𝒚 = 𝒚𝒐 − 𝒑 𝒕
° ° °
° ° °
33
APLICACIÓN N° 12
En una reunión de profesionales hay 131 personas, la mayor parte son
varones. Si la octava parte de los varones son ingenieros y la séptima
parte de las mujeres son economistas, ¿cuántos varones no son
ingenieros?. (EX - UNI)
RESOLUCIÓN
Sean: 𝒙: cantidad de ingenieros varones ,
𝒚: cantidad de mujeres economistas
número de varones: 𝟖𝒙 , número de mujeres: 𝟕𝒚
Se tiene: 
7 + 1 𝑥 + 7 = 7 + 5
°
𝒙 = 7 + 5
°
, donde: 𝟖𝒙 > 𝟕𝒚
cumple para:
Piden, el número de varones que no son ingenieros:
𝟖𝒙 − 𝒙 = 𝟕𝒙 = 𝟕(𝟏𝟐)
𝒙 ∈ 𝟓; 𝟏𝟐
Respuesta : 𝟖𝟒
𝟖𝒙 + 𝟕𝒚 = 𝟏𝟑𝟏
7 + 1 𝑥 + 7 = 7 + 5
°°
𝒙 = 𝟏𝟐 ; 𝒚 = 𝟓
𝒙 ∈ 𝟓; 𝟏𝟐
34
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DEL AULA 
VIRTUAL 
35
Problema 01
Resolución
¿Cuántos números de tres cifras son múltiplos de 3 o de 5 pero no
múltiplos de 60?
A) 360 B) 405 C) 420 D) 430 E) 480
Sean los 900 números de 3 cifras: 𝑎𝑏𝑐
300 son 3
180 son 5
60 son 15 
75 son 12 
45 son 20 
15 son 60 
3 5
4
60 
15 
45 
6030 
90 180 
Múltiplos de 3 o 5 pero no de 60:
180 + 45 + 90 + 60 + 30
= 𝟒𝟎𝟓
CLAVE B
36
Problema 02
¿Cuántos números de la forma: 𝑎𝑏𝑐24 son múltiplos de 4 y de 6?
A) 150 B) 220 C) 250 D) 270 E) 300
Resolución
𝑎𝑏𝑐24 = 12 
𝑎𝑏𝑐 × 100 + 24 =12 
𝑎𝑏𝑐 × 12 × 8 + 4 = 12 
𝑎𝑏𝑐 × 4 = 12𝑘
𝑎𝑏𝑐 = 3𝑘
La cantidad de números múltiplos 
de 3, de 3 cifras es:
300
CLAVE E
37
En la sucesión: 27; 31; 35; 39; …; 255 ¿cuántos términos no son
múltiplos de 11?
A) 16 B) 23 C) 36 D) 53 E) 60
Problema 03
Resolución
𝑎𝑘 = 23 + 4𝑘,
23 + 4𝑛 = 255
4𝑛 = 232
𝑛 = 58
1 ≤ 𝐾 ≤ 58
23 + 4𝑘 = 11𝑞
23 + 4𝑘 = (4 × 2 + 3)𝑞
+3 = 3𝑞4
𝑞 = 4𝑚 + 1
23 + 4𝑘 = 11 4𝑚 + 1
𝑘 = 11𝑚 − 3
1 ≤ 11𝑚 − 3 ≤ 58
4 ≤ 11𝑚 ≤ 61
1 ≤ 𝑚 ≤ 5
Términos no 11 
58 − 5 = 𝟓𝟑
CLAVE D
38
Problema 04
De la sucesión 18, 23, 28, …; calcule la suma del octavo y tercer 
término, que cumplen la condición de ser múltiplo de 13 más 7.
A) 391 B) 521 C) 651 D) 781 E) 911
Resolución
𝑎𝑘 = 13 + 5𝑘
13 + 5𝑘 = 13𝑞 + 7
ሶ5 + 3 + ሶ5 = ሶ5 + 3 𝑞 + 7
3𝑞 = ሶ5 + 1
3𝑞 = ሶ5 + 6
𝑞 = ሶ5 + 2
𝑞 = 5𝑛 + 2
13 + 5𝑘 = 13 5𝑛 + 2 + 7
5𝑘 = 13 5𝑛 + 20
𝑘 = 13𝑛 + 4
𝑛 = 2 → 𝑘 = 30
𝑛 = 7 → 𝑘 = 95
𝑎4 = 33
𝑎95 = 488
𝒂𝟒 + 𝒂𝟗𝟓 = 𝟓𝟐𝟏
CLAVE B
39
Si la sucesión: 33x51; 33x55; 33x59; …; 3𝑎𝑏𝑐 tiene 5 términos que 
son múltiplos de 9 más 3. Calcule el menor valor de 𝑎 + 𝑏 + 𝑐.
A) 6 B) 9 C) 15 D) 18 E) 21
Problema 05
Resolución
𝑎𝑘 = 33(47 + 4𝑘), 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑚
33 47 + 4𝑘 = 9𝑞 + 3
44𝑘 + 517 = 3𝑞 + 1
ሶ3 + 2 𝑘 + ሶ3 + 1 = ሶ3 + 1
𝑘 = ሶ3
𝑘 = 3𝑛
1 ≤ 3𝑛 ≤ 𝑚
1 ≤ 𝑛 ≤
𝑚
3
𝑚
3
= 5
𝑚𝑚𝑖𝑛 = 15
𝑎15 = 33 × 47 + 4 × 15
𝑎15 = 3531
𝑎 = 5
𝑏 = 3
𝑐 = 1
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝟗
CLAVE B
40
Problema 06
Resolución
Si: 𝒏𝟏(𝟖) + 𝒏𝟐(𝟖) + 𝒏𝟑(𝟖) +⋯+ 𝒏𝟕 𝟖 = ሶ𝒏 , calcule la suma de todos
los posibles valores que puede tomar 𝒏.
A)8 B) 12 C) 14 D) 18 E) 26
𝑛1 8 + 𝑛2 8 + 𝑛3 8 +⋯+ 𝑛7 8 =n
7 8𝑛 + 1 + 2 + 3 +⋯+ 7 = n
28 2𝑛 + 1 = 𝑛𝑘
𝑛 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟 𝑑𝑒 28
𝑛 = 1, 2, 4, 7
Suma de valores de n:
= 14
CLAVE C
41
Problema 07
Determine el residuo por exceso al dividir: 𝟏𝒂𝟔(𝟖) × 𝒃𝟑𝟏(𝟒) − 𝒄𝟏𝟎𝟏 𝟐 + 𝒅𝟑𝟐(𝟒)
entre 8.
A)1 B)2 C)3 D)5 E)7
Resolución
1𝑎6 8 = ሶ8 + 6, 𝑏31 4 = 16𝑏 + 13 = ሶ8 + 5
𝑐101 2 = 8𝑐 + 5 = ሶ8 + 5
𝑑32 4 = 16𝑑 + 14 = ሶ8 + 6
𝐸 = ሶ8 + 6 ሶ8 + 5 − ሶ8 + 5 + ሶ8 + 6
𝐸 = ሶ8 + 6 + ሶ8 − 7
𝐸 = ሶ8 − 1
𝐸 = ሶ8 + 7
CLAVE A
Residuo por exceso: 1
42
Problema 08
Resolución
¿Cuántos números de 3 cifras múltiplos de 7 existen, de tal manera que su
complemento aritmético sea un número múltiplo de 9?
A) 10 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15
𝑎𝑏𝑐 = 7
°
1000 − 𝑎𝑏𝑐 = 9
°
𝑎𝑏𝑐 = 9 + 1
°
+ 28
+ 27
𝑎𝑏𝑐 = 63 + 28
°
𝑎𝑏𝑐 = 63 . 𝑘 + 28
2; 3; 4; . . . ; 14; 15
𝒄𝒂𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐𝒔 = 𝟏𝟒
CLAVE D
43
Problema 9
Resolución
En una conferencia, donde la cantidad de asistentes, entre estudiantes y 
expositores, es menor que 200. Si los estudiantes deciden formar grupos 
de trabajo; de 4 en 4, faltará uno; si lo hacen de 5 en 5, faltarán 2; pero si 
forman grupos de 6 sobrarían 3. Determine la máxima cantidad de 
expositores, si la cantidad de estudiantes es mayor que 150.
A) 14 B) 16 C) 17 D) 22 E) 23
Cantidad de estudiantes: A
Cantidad de expositores: E
𝐴 = ሶ4 − 1 = ሶ5 − 2 = ሶ6 + 3 > 150
𝐴 = ሶ4 + 3 = ሶ5 + 3 = ሶ6 + 3 > 150
𝐴 = ሶ60 + 3 > 150
𝐴 = 60𝑘 + 3 > 150 → 𝑘 ≥ 3
𝐴𝑚𝑖𝑛 = 60 × 3 + 3 = 183
𝐸𝑚𝑎𝑥 = 200 − 183 = 𝟏𝟕
CLAVE C
44
Problema 10
Resolución
Un comerciante cuenta la cantidad de cuadernos que tiene, si lo hace
de 8 en 8, de 15 en 15 y de 18 en 18, observa que le sobran 3, 7 y 13
cuadernos, respectivamente. ¿Cuántos cuadernos como máximo
puede vender a S/ 6,4 cada uno, para recaudar menos de S/ 8 000?.
Indique como respuesta la suma de sus cifras.
A) 8 B) 9 C) 12 D)13 E) 14
Cantidad de cuadernos: N
𝑁 = ሶ8 + 3 = ሶ15 + 7 = ሶ18 + 13
𝑁 = ሶ8 − 5 = ሶ18 − 5
𝑁 = ሶ72 − 5 = ሶ15 + 7
𝑁 = 72(5𝑛 + 1) − 5
72𝑘 = 15𝑞 + 12
24𝑘 = 5𝑞 + 4
4𝑘 = ሶ5 + 4
𝑘 = 5𝑛 + 1
𝑁 = 72𝑘 − 5 = 15𝑞 + 7 𝑁 = 360𝑛 + 67
𝑞 = 24𝑛 + 4
𝑁 6,4 < 8000
𝑁 < 1250
360𝑛 + 67 < 1250
𝑛 ≤ 3, 𝑁𝑚𝑎𝑥 = 1147
෍𝒄𝒊𝒇𝒓𝒂𝒔 = 𝟏𝟑
CLAVE D
45
Problema 11
Si 𝒏 ∈ ℕ, la expresión: 𝑬 𝒏 =
𝒏𝟓 − 𝟓𝒏𝟑 + 𝟒𝒏
𝒏 + 𝟐
, es siempre divisible por:
A) 24 B) 25 C) 29 D) 48 E) 50
Resolución
𝐸 𝑛 =
𝑛5 − 5𝑛3 + 4𝑛
𝑛 + 2
1 0 -5 0 4 0
-2
1
-2
-2
4
-1
2
2
-4
0
0
0
𝐸 𝑛 = 𝑛
4 − 2𝑛3 − 𝑛2 + 2𝑛
𝐸 𝑛 = 𝑛
3 𝑛 − 2 − 𝑛 𝑛 − 2
𝐸 𝑛 = 𝑛 − 2 𝑛
3 − 𝑛
𝐸 𝑛 = 𝑛 − 2 𝑛 𝑛
2 − 1
CLAVE A
𝐸 𝑛 = 𝑛 − 2 𝑛 𝑛 − 1 𝑛 + 1
𝐸 𝑛 = 𝑛 − 2 𝑛 − 1 𝑛 𝑛 + 1 = 4! 𝐾
𝑬 𝒏 =
ሶ𝟐𝟒
46
Problema 12
Resolución
Si 𝒂𝒃𝒄𝒅 es el mayor número, menor que 5 000, tal que al ser 
expresado en el sistema de base 2, 3 y 7 sus últimas cifras son 111, 
12 y 2, respectivamente. Calcule: 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 + 𝒅.
A) 18 B) 21 C) 23 D) 25 E) 28
𝑎𝑏𝑐𝑑 = ሶ8 + 111 2 = ሶ9 + 12 3 = ሶ7 + 2
𝑎𝑏𝑐𝑑 = …111 2 = …12 3 = ⋯2 7
𝑎𝑏𝑐𝑑 =
ሶ8 + 7
ሶ9 + 5
ሶ7 + 2
+𝟏𝟔
+𝟏𝟖
+𝟐𝟏
= ሶ8 + 23
= ሶ9 + 23
= ሶ7 + 23
𝑎𝑏𝑐𝑑 = 504𝑘 + 23
504𝑘 + 23 < 5000
504𝑘 < 4977 𝑘 ≤ 9
𝐾𝑚𝑎𝑥 = 9
𝑎𝑏𝑐𝑑 = 504 × 9 + 23
𝑎𝑏𝑐𝑑 = 4559
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 𝟐𝟑
CLAVE C
47
Problema 13
Resolución
Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
I. Si: 𝑨 + 𝑩 es múltiplo de 7, entonces 𝑨 es múltiplo de 7 y 𝑩 es
múltiplo de 7.
II.Si: 𝑨 × 𝑩 = ሶ𝒏 y 𝑩 ≠ ሶ𝒏, entonces 𝑨 = ሶ𝒏.
III.Todo número entero múltiplo de 12 más siete, será múltiplo de 6
más uno.
A) VVV B) VVF C) VFV D) FFV E) FFF
I. Si: 𝑨 + 𝑩 es múltiplo de 7, entonces 𝑨 = 𝟕𝑲 + 𝒓 y 𝑩 = 𝟕𝑲 − 𝒓 (F)
II. 𝐴 × 𝐵 = ሶ𝑛 ∧ 𝐵 𝑒𝑠 𝑃𝐸𝑆𝐼 𝑐𝑜𝑛 𝑛 → 𝐴 = ሶ𝑛 (F)
III.Todo número entero ሶ12 + 7 = ሶ6 + 7 = ሶ6 + 1 (V)
CLAVE D
48
Problema 14
Resolución
El año en que nació una persona es ( ሶ3 − 1) y ( ሶ5 + 3), además la edad
que cumplió en el mes de Enero del año 2021 es ሶ16 + 1. Calcule la
suma de cifras del año de su nacimiento.
A) 6 B) 14 C) 19 D) 21 E) 26
A = 3 - 1
o
A = 5 + 3
o A = 15 + 8
o
A = 15k + 8
o
Edad = 16 + 1
o
Edad = 16q + 1
15 + q + 1 = 15 + 11 - 15 - 8
Edad = 2021 - A 16q + 1 = 2021 - 15k - 8
o o
q = 15 + 2
o
Si q = 2
Edad = 33
A = 2021 - 33
A = 1988
Respuesta : E
49
Problema 15
Resolución
Un número n es múltiplo de 3. Entonces, podemos afirmar que el residuo
de dividir 23𝑛+5 + 25𝑛+4 + 25 entre 7 es
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
𝐄 = 𝟐𝟑𝐧+𝟓 + 𝟐𝟓𝐧+𝟒 + 𝟐𝟓
𝟐𝟎 = 𝟕 + 𝟏
o
𝟐𝟑 = 𝟕 + 𝟏
o
𝟐𝟏 = 𝟕 + 𝟐
o
𝟐𝟐 = 𝟕 + 𝟒
o g = 3
Restos Potenciales de 2 respecto a 7
𝐄 = 𝟐𝟑+𝟐 + 𝟐𝟑+𝟏 + 𝟐𝟑+𝟐
o o o
𝐄 = 𝟕 + 𝟒 + 𝟐 + 𝟒
o
o
𝐄 = 𝟕 + 𝟑
Respuesta : B
50
Problema 16
Resolución
Si: 𝑷 = 𝟐𝟗𝑼𝑵𝑰𝑼𝑵𝑰𝑼𝑵𝑰𝟐𝟎𝟐𝟏 . Calcule la cifra de menor orden al expresar
𝑷 en base 9.
A) 2 B) 3 C) 5 D) 7 E) 8
29𝑈𝑁𝐼𝑈𝑁𝐼𝑈𝑁𝐼2021 = 𝑎𝑏𝑐𝑑 …𝑥 9
9𝑘 + 2 𝑈𝑁𝐼𝑈𝑁𝐼𝑈𝑁𝐼2021 = 9𝑞 + 𝑥
2𝑈𝑁𝐼𝑈𝑁𝐼𝑈𝑁𝐼2021 = ሶ𝟗 + 𝒙
20 = ሶ𝟗 + 𝟏
21 = ሶ𝟗 + 𝟐
22 = ሶ𝟗 + 𝟒
23 = ሶ𝟗 − 𝟏
24 = ሶ𝟗 − 𝟐
25 = ሶ𝟗 − 𝟒
𝟐𝟔 = ሶ𝟗 + 𝟏
𝑈𝑁𝐼𝑈𝑁𝐼𝑈𝑁𝐼2021 = ሶ2 + 1 = ሶ2 + 5
𝑈𝑁𝐼𝑈𝑁𝐼𝑈𝑁𝐼2021 = ሶ3 + 2 = ሶ3 + 5
𝑈𝑁𝐼𝑈𝑁𝐼𝑈𝑁𝐼2021 = ሶ6 + 5
2𝑈𝑁𝐼𝑈𝑁𝐼𝑈𝑁𝐼2021 = 26𝑘+5 = ሶ9 + 5
𝒙 = 𝟓
CLAVE C
51
Calcule el residuo al dividir:
𝑴 = 𝟕𝟐𝒌+𝟏 + 𝟑𝒌+𝟒 + 𝟑𝒌+𝟑 + 𝟕𝟑 entre 23, donde 𝒌 ∈ ℤ+
A)8 B)12 C)14 D)20 E) 21
Problema 17
Resolución 𝑴 = 𝟒𝟗𝒌 . 𝟕 + 𝟑𝒌 . 𝟖𝟏 + 𝟑𝒌 . 𝟐𝟕 + 𝟕𝟐 . 𝟕
𝑴 = ሶ𝟐𝟑 + 𝟑
𝒌
. 𝟕 + 𝟑𝒌 . 𝟖𝟏 + 𝟑𝒌 . 𝟐𝟕+ . ሶ𝟐𝟑 + 𝟑 𝟕
𝑴 = ሶ𝟐𝟑 + 𝟑𝒌 𝟕 + 𝟖𝟏 + 𝟐𝟕 + ሶ𝟐𝟑 + 𝟐𝟏
𝑴 = ሶ𝟐𝟑 + 𝟑𝒌 𝟓 . 𝟐𝟑 + ሶ𝟐𝟑 + 𝟐𝟏
𝑴 = ሶ𝟐𝟑 + 𝟐𝟏 RESPUESTA E
52
Problema 18
Resolución
Un comerciante invierte s/ 4 800 en la compra de pantalones, camisas y
polos, cuyos precios por unidad son 76; 38 y 24 soles, respectivamente.
Si al venderlos gana s/ 6 por prenda. ¿Cuál es la máxima ganancia que
podrá obtenerluego de vender todo lo que compró?.
A) 1 074 B) 1 104 C) 1 134 D) 1 152 E) 1 170
Sean x pantalones
Sean y camisas
Sean z polos
76𝑥 + 38𝑦 + 24𝑧 = 4800
38𝑥 + 19𝑦 + 12𝑧 = 2400
Se maximiza, si z>y>x
ሶ19 + ሶ19 + 12𝑧 = ሶ19 + 6
12𝑧 = ሶ19 + 6 = ሶ19 + 120
𝑧 = ሶ19 + 10 < 200
𝑧 = 181
38𝑥 + 19𝑦 + 12 181 = 2400
38𝑥 + 19𝑦 = 228
2𝑥 + 𝑦 = 12
𝑦 = 10
𝑥 = 1
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 192
𝐺 = 192 6 = 𝟏𝟏𝟓𝟐
CLAVE D
53
Un campesino vende sus animales, y de esa manera obtener s/ 740 en la venta,
cada cuy, pato y gallina lo vende a S/ 8, S/ 12 y S/ 15, respectivamente.
¿Cuántos animales debe vender como mínimo, si vende al menos uno de cada
clase?
A)72 B)74 C)50 D)76 E )78
PROBLEMA 19
RESOLUCIÓN
X : cuy 
Y: pato 
Z : gallina
8x + 12y + 15z = 740
Mín. Mín. Máx. 
8x + 12y +mod(15) ሶ= 𝑚𝑜𝑑 15 + 5
2x + 3y = 5
1 1 Z = 48 X+Y+Z = 50
RESPUESTA C
54
Si: 4𝑎5𝑐2𝑏 = ሶ55 y 𝑏20𝑎 = ሶ7 ,determine la
suma de todos los valores de la cifra 𝒄.
A) 9 B) 10 C) 12 D) 14 E) 16 
Problema 20
Resolución
𝟒𝒂𝟓𝒄𝟐𝒃 = ሶ𝟓 𝒃 = 𝟓
𝟓𝟐𝟎𝒂 = ሶ𝟕 −𝟓 + 𝟒 + 𝟎 + 𝒂 = ሶ𝟕
𝒃 , 𝒏𝒐 𝒑𝒖𝒆𝒅𝒆 𝒕𝒐𝒎𝒂𝒓 𝒍𝒂 𝒄𝒊𝒇𝒂 "𝟎"
𝒂 = ቊ
𝟏
𝟖
CASO I: 
𝟒𝟏𝟓𝒄𝟐𝟓 = ሶ𝟏𝟏 𝟓 + 𝑪 + 𝟏 − (𝟐 + 𝟓 + 𝟒) = ሶ𝟏𝟏 𝑪 = 𝟓
𝟒𝟖𝟓𝒄𝟐𝟓 = ሶ𝟏𝟏 𝟓 + 𝑪 + 𝟖 − (𝟐 + 𝟓 + 𝟒) = ሶ𝟏𝟏 𝑪 = 𝟗
CASO II:
Suma de valores de 𝑪 ∶ 𝟏𝟒 RESPUESTA D
55
Problema 21
Resolución
Sea el número de la forma 𝑎62𝑏3125 tal que al ser dividido entre 9 y 11, 
deja 3 y 1 de residuos, respectivamente. Calcule la cifra de menor orden 
al expresar 𝑎𝑏𝑎𝑏 en el sistema quinario.
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
𝒂𝟔𝟐𝒃𝟑𝟏𝟐𝟓 = 𝟗 +3
°
a+6+2+b+3+1+2+5-3= 9
°
a+b+16=9 
°
a+b+7=9…(1)
°
𝒂𝟔𝟐𝒃𝟑𝟏𝟐𝟓 = 𝟏𝟏 +1
°
-a+6-2+b-3+1-2+4= 𝟏𝟏
°
-a+b+4= 𝟏𝟏 …(2)
De (1) y (2): a=2; b= 9
°
𝑎𝑏𝑎𝑏 = 2929= . . . 𝑟(5)=5+r
Piden calcular r
290 = 5 + 1
291 = 5 + 4
292 = 5 + 1
…
2929 = 
g=2
292𝑘 = 5 + 1
292𝑘+1 = 5 + 4
°
°
°
Luego r=4
°
°
°
CLAVE E
56
Problema 22
Resolución
Calcule la suma de valores de n, si el número 5623𝑛5 termina en la cifra
4, al expresarlo en el sistema nonario.
A)13 B)15 C)16 D)17 E)21
5623𝑛5= …4(9)=9+4
5620 = 9 + 1
5621 = 9 + 4
5622 = 9 + 7
5623 = 9 + 1
g=3
…
5623𝑛5 =
5623𝑘 = 9 + 1
5623𝑘+1 = 9 + 4
5623𝑘+2 = 9 + 7
5623𝑘+(2𝑛+2) = 9 + 4
3k+(2+n)=3k+1
n=2,5,8
Suma de valores de n=15
°
°
°
°
°
°
°
°
°
CLAVE B
57
Problema 23
Resolución
Calcule: 𝒂 + 𝒃 + 𝒄, si: 𝒂𝒃𝒄𝒂 = ሶ𝟓 , 𝒃𝒄𝒂𝒃 = ሶ𝟕 , 𝒄𝒂𝒃𝒄 = ሶ𝟗
A) 8 B) 12 C) 13 D) 15 E) 17
𝑎𝑏𝑐𝑎 = ሶ5 → 𝑎 = 5
𝑏𝑐5𝑏 = ሶ7 → 𝑏 + 3 5 + 2 𝑐 − 𝑏 = ሶ7
15 + 2 𝑐 = ሶ7
2 𝑐 = ሶ7 − 1
𝑐 = 3
𝑐𝑎𝑏𝑐 = ሶ9
𝑐 + 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = ሶ9
3 + 5 + 𝑏 + 3 = ሶ9
𝑏 = 7
𝒂 + 𝒃 + 𝒄 = 𝟏𝟓
CLAVE D
58
Problema 24
Resolución
Se cumple que: 𝑎𝑏𝑎 es el menor número múltiplo de 44, además:
8𝑚8𝑛62(𝑎+𝑏) es múltiplo de 143. Calcule la suma de valores de (m + n).
A)10 B)20 C)40 D)45 E)60
Luego: 𝑎𝑏𝑎 = 484; a=4; b= 8 
𝑎𝑏𝑎 es menor múltiplo de 44; 
8𝑚8𝑛62(4+8) = 8𝑚8𝑛62(12)=
= 143 = 13 ∗ 11
𝑎𝑏𝑎 = 44k; 100 < 44k; 
2,27 < k; K=11;
°
8𝑚8𝑛62(12) = 11 + 8 +𝑚 + 8 + 𝑛 + 6 + 2
11= 8 +𝑚 + 8 + 𝑛 + 6 + 2
°
°
11= 𝑚 + 𝑛 + 2
°
m + n = mod(13)+7
m+ n=20c
m=9; 𝑛 = 11c
m=10; 𝑛 = 10
m=11; 𝑛 = 9° °
Suma de m+n: 60
CLAVE E
59
Se tiene que: 𝟑𝒂𝟓𝒃𝟕𝒄 = 23
0
, ¿cuál es la mínima cantidad positiva que se
debe agregar al número 𝒂𝟕𝒃𝟓𝒄𝟑 para que sea 23
0
?
A) 14 B) 16 C) 17 D) 18 E) 19
Resolución: 
𝟑𝒂𝟓𝒃𝟕𝒄 = 23
0
𝟑𝟎𝟓𝟎𝟕 + 𝒂𝟎𝒃𝟎𝒄 = 23
0
𝟐𝟑
𝟎
+ 𝟐𝟏
𝒂𝟎𝒃𝟎𝒄 = 23
0
− 21
𝒂𝟎𝒃𝟎𝒄 = 𝟐𝟑
𝟎
+ 𝟐
𝐱 𝐞𝐬 𝐥𝐚 𝐦𝐢𝐧𝐢𝐦𝐚 𝐜𝐚𝐧𝐭𝐢𝐝𝐚𝐝 𝐪𝐮𝐞 𝐬𝐞
𝐚𝐠𝐫𝐞𝐠𝐚 𝐚 𝒂𝟕𝒃𝟓𝒄𝟑 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒒𝒖𝒆 𝒔𝒆𝒂 23
0
𝒂𝟕𝒃𝟓𝒄𝟑 + 𝒙 = 23
0
𝒂𝟕𝒃𝟓𝒄𝟑 + 𝒙 = 23
0
𝒂𝟎𝒃𝟎𝒄𝟎 + 𝟕𝟎𝟓𝟎𝟑 + 𝒙 = 23
0
𝒂𝟎𝒃𝟎𝒄. 𝟏𝟎 𝟐𝟑
𝟎
+ 𝟖
𝟐𝟑
𝟎
+ 𝟐
𝟐𝟑
𝟎
+ 𝟐𝟎
𝟐𝟑
𝟎
+ 𝟐𝟖 + 𝐱 = 𝟐𝟑
𝟎
𝒙 + 𝟓 = 𝟐𝟑
𝟎
𝒙 = 𝟏𝟖
𝐄𝐥 𝐦𝐢𝐧𝐢𝐦𝐨 𝐯𝐚𝐥𝐨𝐫 𝐝𝐞 𝐱 𝐞𝐬 𝟏𝟖
CLAVE D
Problema 25
60
Determine cuántos números de 3 cifras que son divisibles por 11, tienen
por suma de sus cifras igual a 15. (EX UNI) .
A)5 B)6 C)7 D)8 E)9
Resolución: 
𝒂 𝒃 𝒄 = 11
0
+−+
𝒂 + 𝒄 − 𝒃 = 11
0
𝒂 + 𝒄 = 11
0
+ 𝑏
𝑳𝒂 𝒔𝒖𝒎𝒂 𝒅𝒆 𝒄𝒊𝒇𝒓𝒂𝒔 𝒆𝒔 𝟏𝟓
𝒂 + 𝒄 + 𝒃 = 𝟏𝟓
𝟏𝟏
𝟎
+ 𝒃
11
0
+ 2𝑏 = 15
𝟐
𝑏 = 2
𝑎 + 𝑐 = 13
𝒂 𝟐 𝒄 𝒂 + 𝒄 = 𝟏𝟑
𝟒 𝟗
𝟓 𝟖
𝟔 𝟕
𝟕 𝟔
𝟖 𝟓
𝟗 𝟒
𝑬𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆𝒏 𝟔 𝒏𝒖𝒎𝒆𝒓𝒐𝒔
CLAVE B
Problema 26
61
Calcule un número de la forma 𝒂𝒃𝟏𝒃𝒂 tal que sea 44
0
. Dar como respuesta
el residuo que se obtiene al dividir dicho número entre 5. (EX UNI)
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
Resolución: 
𝒂 𝒃 𝟏 𝒃 𝒂 = 44
0 4
0
11
0 𝒃𝒂 = 4
0
+−+−+
𝟐(𝒂 − 𝒃) + 𝟏 = 11
0
𝟓
𝒂 − 𝒃 = 𝟓 𝒚 𝒃𝒂 = 4
0
(𝒂 𝒕𝒊𝒆𝒏𝒆 𝒒𝒖𝒆 𝒔𝒆𝒓 𝒑𝒂𝒓)
𝟔 𝟏 𝟏𝟔
𝑎 = 6
𝑏 = 1
𝑹𝒆𝒆𝒎𝒑𝒍𝒂𝒛𝒂𝒏𝒅𝒐:
𝟔𝟏𝟏𝟏𝟔 = 𝟓
𝟎
+ 𝟏
𝑬𝒍 𝒓𝒆𝒔𝒊𝒅𝒖𝒐 𝒆𝒔 𝟏 CLAVE B
Problema 27
62
Problema 28
Resolució
n: 
Sea 𝑁 = 7𝑄𝐴𝑇𝐴𝑅2022, si 𝑁 se escribe en la base cinco, la cifra de primer orden
es:
A) 4 B) 3 C) 2 D) 1 E) 0
Sea : 𝑁 = 7𝑄𝐴𝑇𝐴𝑅2022 = 𝑥…𝑦𝑎5 = ሶ5 + 𝑎 ………(𝐼)
Además : 7𝑄𝐴𝑇𝐴𝑅2022 = ሶ5 + 2
𝑄𝐴𝑇𝐴𝑅2022
= ሶ5 + 2𝑄𝐴𝑇𝐴𝑅2022
= ሶ5 + 2𝑄𝐴𝑇𝐴𝑅2020+2 = ሶ5 + 2 ሶ4+2
= ሶ5 + ሶ5 + 4 = ሶ5 + 4 ………(𝐼𝐼)
De (I) y (II) : a= 4
63
Problema 29
Resolución: 
Calcule la suma de valores de 𝑏𝑎 , si: 𝑏𝑎𝑏𝑎𝑏 = ሶ28.
A) 94 B) 120 C) 134 D) 147 E) 214
Sea : 𝑏𝑎𝑏𝑎𝑏 = ሶ28 ; 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 ∶ 𝑏𝑎𝑏𝑎𝑏 𝑒𝑠 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑒 ሶ2 , ሶ4 , ሶ7
𝑆𝑖 𝑏𝑎𝑏𝑎𝑏 = ሶ4 ∶ 𝑎𝑏 = ሶ4 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 2𝑎 + 𝑏 = ሶ4
𝑆𝑖 𝑏𝑎𝑏𝑎𝑏 = ሶ7 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 − 3𝑏 − 1𝑎 + 2𝑏 + 3𝑎 + 1𝑏 = ሶ7
2𝑎 = ሶ7 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 𝑎 = ሶ7 = 7𝐾
; Para 𝑎 = 0 ; 𝑏 = 4, 8
Luego 𝑏𝑎 = 40 ; 80 ; 27 ; 67 ; 𝑆𝑢𝑚𝑎 = 40 + 80 + 27 + 67 = 214
𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 𝑎 = 0 , 𝑎 = 7
; Para 𝑎 = 7 ; 𝑏 = 2, 6
64
Problema 30
Resolución
Se tiene que: (𝒂 + 𝟐)𝒂(𝒂 + 𝟑)𝒂 = ሶ𝟑𝟏 y 𝒃(𝒃 + 𝟐)(𝒃 + 𝟒)(𝒃 + 𝟑) = ሶ𝟏𝟑.
Calcule: 𝒂 + 𝒃.
A) 5 B) 6 C) 8 D) 9 E) 10
𝑏 𝑏 + 2 𝑏 + 4 𝑏 + 3 = ሶ13
𝑏 + 3 − 3 𝑏 + 4 − 4 𝑏 + 2 − 𝑏 = ሶ13
𝑏 + 3 − 3 𝑏 + 4 − 4 𝑏 + 2 − 𝑏 = ሶ13
3 − 7𝑏 − 20 = ሶ13
17 + 7𝑏 = ሶ13
7𝑏 = ሶ13 − 4 +𝟑𝟗
𝑏 = ሶ13 + 5 𝑏 =5
𝑎 + 2 𝑎 𝑎 + 3 𝑎 = ሶ31
𝑎𝑎𝑎𝑎 + 2030 = ሶ31
ሶ31 − 5 𝑎 + 15 = ሶ31
5𝑎 = ሶ31 + 15, 𝑎 = 3
𝑎 + 𝑏 = 8
CLAVE C