Copia de SEMANA 18-FRACCIONES-PRE-FINAL-2 - Patricia Torres

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1
FRACCIONES
2021-2
18
PREUNIVERSITARIO
2
RETROALIMENTACION PC_06 _2021-2
3
4
5
6
PAPIRO RHIND
Aporte de los egipcios
En el papiro se calcula usando la fórmula
Á𝒓𝒆𝒂 =
𝟔𝟒
𝟖𝟏
𝒅𝟐 =
𝟔𝟒
𝟖𝟏
𝟗 𝟐 = 𝟔𝟒
d: diámetro
Á𝐫𝐞𝐚 =
𝛑
𝟖𝟏
𝐝𝟐 =
𝟔𝟒
𝟖𝟏
𝐝𝟐 → 𝛑 =
𝟐𝟓𝟔
𝟖𝟏
= 𝟑,𝟏𝟔𝟎𝟒𝟗 
Es un papiro egipcio escrito por el
sacerdote Ahmes, quien vivió
probablemente entre los años 2000 y
1700 a.c. mide unos 6m de longitud por
32 cm de ancho; aquí se menciona la
costumbre egipcia de expresar toda
fracción como una suma de fracciones de
numerador uno. De esta forma, aparece la
fracción ¾ escrita como ½ + ¼ .
En este problema, se hace una
referencia del número pi: “Un campo
circular tiene un diámetro de 9 khet
( 1 khet ≈ 50m) . ¿ Cuál es su área?”
7
Orígenes de la coma decimal
El punto, como signo de
separación entre las unidades
enteras y decimales, aparece
por primera vez en la
“Aritmética” del italiano
Francesco Pellos (1492), pero
solamente para separar cifras
del dividendo, cuando el
divisor terminaba en cero.
En 1585, Simón Stevin
publicó un librito sobre la
escritura de los números
decimales, realizando
operaciones aritméticas
entre ellos, tratando de
evitar hacer cálculos con
fracciones
En 1616, John Napier, un
gran aristócrata escocés,
introdujo en los países
latinos, la coma decimal
como elemento de
separación.
8
El número irracional e
Recordemos, que en interés
continuo, para calcular el
monto, aparece dicho número
irracional.
Leonard Euler, en 1717, fue el
primero que utilizó este número,
que tiene diversas aplicaciones:
aparece en estudios demográficos,
en procesos biológicos y físicos,
en crecimiento de bacterias, en
análisis de fósiles prehistóricos,
hasta en la investigación de la
escena de un crimen, etc.
𝑴 = 𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
𝑪 𝟏 +
𝒊
𝒏
𝒏𝒕
⇒ 𝑴 = 𝑪𝒆𝒊𝒕
9
FRACCIONES
Del capítulo anterior, en forma práctica, al par ordenado 𝑎, 𝑏 ∈ ℤxℤ se le
representa por:
𝑎
𝑏
Sea 𝒇 =
𝒂
𝒃
una fracción, donde: 𝒂 es el numerador y 𝒃 es el denominador
INTERPRETACIÓN
Si dividimos el círculo en 8 partes iguales y tomamos una parte.
Decimos que se está considerando la octava parte.
𝟏
𝟖
PARTE
TOTAL
Tenemos la octava parte de un total
10
1. Clases de Fracciones
Sean: 𝒂; 𝒃 ∈ ℤ con 𝒃 ≠ 𝟎 , la fracción
𝒂
𝒃
es:
1. Propia
2. Impropia
3. Unitaria
5. Decimal , cuando el denominador es una potencia de 10
6. Ordinaria o común, cuando no es decimal.
Si: 𝒂 < 𝒃
Si: 𝒂 > 𝒃
Si: 𝒂 = 𝒃
4. Irreductible , cuando sus términos son primos entre sí. 
Ejemplo:
𝟗
𝟐𝟐
;
−𝟏𝟏
𝟓
Ejemplo:
𝟒
𝟏
;
𝟔
𝟏𝟎
;
−𝟏𝟕
𝟏𝟎𝟎
Ejemplo: 𝟏𝟖
𝟔𝟎
;
−𝟑
𝟏𝟗
11
APLICACIÓN 1
Calcule la suma de los términos de una fracción mayor que 5/6 y
menor que 8/9, sabiendo que dichos términos son los mayores
posibles y su diferencia es 12.
RESOLUCIÓN:
Sea una fracción propia, ya que𝑓 =
𝑎
𝑏
𝟓
𝟔
<
𝒂
𝒃
<
𝟖
𝟗
𝑏 > 𝑎
Además: 𝑏 = 𝑎 + 12 𝟓
𝟔
<
𝒂
𝒂+𝟏𝟐
<
𝟖
𝟗
(2)
(1)
De 1 : 60 < 𝑎
De 2 : 𝑎 < 96
60 < 𝑎 < 96 . Los mayores valores posibles son: 𝒂 = 𝟗𝟓 , 𝒃 = 𝟏𝟎𝟕
Suma de términos: 𝟐𝟎𝟐
12
APLICACIÓN 2
¿Cuántas fracciones propias e irreductibles existen de denominador 35?.
(Ex-UNI)
RESOLUCIÓN:
𝑓 =
𝑎
35
una fracción propia, entonces: 𝑎 < 35Sea
𝑎 ∈ 1; 2; 3; … ; 34 𝟑𝟒 valores
Además, debe ser irreductible 𝒂 y 𝟑𝟓 deben ser PESI
𝑎 ≠ ሶ5 y 𝑎 ≠ ሶ7 𝑎 ∉ 5; 7; 10; 14; 15; 20; 21; 25; 28; 30
quiere decir que 𝒂 no toma 𝟏𝟎 valores
N° de valores de 𝒂 = 𝟑𝟒 − 𝟏𝟎 = 𝟐𝟒
∴ existen 24 fracciones propias e irreductibles
13
APLICACIÓN 3
Tres equipos de obreros podrían hacer el mismo trabajo: el primero en 3
días, el segundo en 10 días y el tercero en 12 días. Se toma un octavo del
primer equipo, la cuarta parte del segundo equipo y los 3/4 del tercer
equipo. ¿En cuántos días quedarán terminadas las 31/60 partes del
trabajo?
RESOLUCIÓN: 
En un día cada
equipo podría hacer
de la obra
1º equipo:
2º equipo:
3º equipo:
1
3
1
10
1
12
Tomando las partes
indicadas de cada equipo, lo
que hacen en cada día:
1
3
(1º equipo):
1
4
(2º equipo):
3
4
(3º equipo):
𝟏
𝟖
𝟏
𝟑
=
𝟏
𝟐𝟒
𝟏
𝟒
𝟏
𝟏𝟎
=
𝟏
𝟒𝟎
𝟑
𝟒
𝟏
𝟏𝟐
=
𝟏
𝟏𝟔
Juntos en un día 
hacen
𝟏
𝟐𝟒
+
𝟏
𝟒𝟎
+
𝟏
𝟏𝟔
=
𝟑𝟏
𝟐𝟒𝟎
Luego, para hacer: 
31
60
n x 
𝟑𝟏
𝟐𝟒𝟎
=
𝟑𝟏
𝟔𝟎
→ 𝒏 = 𝟒
Por lo tanto, requieren 
de 4 días
14
Un grupo de fracciones son: 
a) Fracciones Homogéneas Cuando los valores absolutos de sus
denominadores son iguales
Ejemplo:
−𝟐
𝟒
;
𝟏𝟏
−𝟒
;
𝟑
𝟒
b) Fracciones Heterogéneas Cuando no son homogéneas.
Ejemplo
−𝟑
𝟓
;
𝟖
𝟏𝟎
;
𝟐
−𝟓
PROPIEDADES
Ejemplo: 𝟑
𝟕
𝟔
=
𝟕
𝟐
entonces:
𝟕
𝟔
es un divisor de 
𝟕
𝟐
y
𝟕
𝟐
es un múltiplo de 
𝟕
𝟔
entonces se dirá que
es un divisor de
tal que
es un múltiplo de
Sean: y
y
𝒂
𝒃
𝒄
𝒅
𝒌 ∈ ℤ 𝒌
𝒂
𝒃
=
𝒄
𝒅
𝒂
𝒃
𝒄
𝒅
𝒂
𝒃
𝒄
𝒅
∈ ℚ y
15
Sean 
𝒂
𝒑
, 
𝒃
𝒒
, … , 
𝒇
𝒓
fracciones irreductibles, entonces
𝑴𝑪𝑫
𝒂
𝒑
,
𝒃
𝒒
,… ,
𝒇
𝒓
=
𝑴𝑪𝑫 𝒂, 𝒃, … , 𝒇
𝑴𝑪𝑴 𝒑,𝒒,… , 𝒓
𝑴𝑪𝑴
𝒂
𝒑
,
𝒃
𝒒
,… ,
𝒇
𝒓
=
𝑴𝑪𝑴 𝒂, 𝒃,… , 𝒇
𝑴𝑪𝑫 𝒑, 𝒒,… , 𝒓
Ejemplo: 
y
Calcule el MCD y MCM de las siguientes fracciones:
𝟏𝟔
𝟏𝟎
, 
𝟏𝟐
𝟕
, 
𝟏𝟓
𝟓𝟎
RESOLUCIÓN:
Para aplicar la fórmula, se requiere fracciones irreductibles:
𝑴𝑪𝑴
𝟏𝟔
𝟏𝟎
,
𝟏𝟐
𝟕
,
𝟏𝟓
𝟓𝟎
= 𝑴𝑪𝑴
𝟖
𝟓
,
𝟏𝟐
𝟕
,
𝟑
𝟏𝟎
=
𝑴𝑪𝑴(𝟖, 𝟏𝟐, 𝟑)
𝑴𝑪𝑫(𝟓, 𝟕, 𝟏𝟎)
=
𝟐𝟒
𝟏
𝑴𝑪𝑫
𝟏𝟔
𝟏𝟎
,
𝟏𝟐
𝟕
,
𝟏𝟓
𝟓𝟎
= 𝑴𝑪𝑫
𝟖
𝟓
,
𝟏𝟐
𝟕
,
𝟑
𝟏𝟎
=
𝑴𝑪𝑫(𝟖, 𝟏𝟐, 𝟑)
𝑴𝑪𝑴(𝟓, 𝟕, 𝟏𝟎)
=
𝟏
𝟕𝟎
16
DEMOSTRACIÓN:
Sean: fracciones irreductibles, tales que:
𝒂
𝒃
y 
𝒄
𝒅
𝒂
𝒃
+
𝒄
𝒅
es un número entero, entonces: 𝒃 = 𝒅 ó 𝒃 = −𝒅
Sea: 𝒌 ∈ ℤ , tal que:
𝒂
𝒃
+
𝒄
𝒅
= 𝒌
𝒂𝒅 + 𝒃𝒄
𝒃𝒅
= 𝒌 𝒂𝒅 + 𝒃𝒄 = 𝒃𝒅𝒌⋯(∗)
De (∗) tenemos:
𝒂𝒅 = 𝒃(𝒅𝒌 − 𝒄) 𝒂𝒅 = 𝒃
°
Por el principio de Arquímedes: 
𝒂 y 𝒃 son PESI 𝒅 = 𝒃
°
Además, de (∗) tenemos:
𝒃𝒄 = 𝒅(𝒃𝒌 − 𝒂) 𝒃𝒄 = 𝒅°
Por el principio de Arquímedes: 𝒄 y 𝒅
son PESI 𝒃 = 𝒅°
Es decir: ∃𝒎 ∈ ℤ , tal que:
∃ 𝒏 ∈ ℤ , tal que:
𝒅 = 𝒃𝒎
𝒃 = 𝒅𝒏
Reemplazando (𝟏) en (𝟐):
𝒃 = 𝒃𝒎 𝒏 𝒎𝒏 = 𝟏
𝒎 = 𝒏 = 𝟏 𝒎 = 𝒏 = −𝟏⋯(𝟏)
⋯ (𝟐)Es decir:
Se tiene:
∨
𝒃 = 𝒅 ∨ 𝒃 = −𝒅
17
APLICACIÓN 4
Sean: 
𝒂
𝒃
y
𝒄
𝒅
dos fracciones irreductibles, cuyos términos son positivos, tal 
que 𝒂 < 𝒄. Si la suma de dichas fracciones irreductibles es 5 y 𝒃 + 𝒅 = 𝟏𝟐, 
¿cuántas parejas de fracciones cumplen dicha condición?
RESOLUCIÓN:
Como:
𝒂
𝒃
+
𝒄
𝒅
= 𝟓 entonces 𝒃 = 𝒅
𝒂
𝟔
+
𝒄
𝟔
= 𝟓 , entonces 𝒂 + 𝒄 = 𝟑𝟎
𝟏 𝟐𝟗
∴ existen 5 parejas de fracciones que cumplen dicha condición.
, donde: 𝒂 ; 𝒄 ≠ ሶ𝟐 , ሶ𝟑 y 𝒂 < 𝒄
y 𝒃 + 𝒅 = 𝟏𝟐 𝒃 = 𝒅 = 𝟔
𝟓 𝟐𝟓
𝟕 𝟐𝟑
𝟏𝟏 𝟏𝟗
𝟏𝟑 𝟏𝟕
18
REPRESENTACIÓN DE UN NÚMERO NO ENTERO
Se obtiene cuando se dividen los términos de un número racional
𝒂
𝒃
en
base 10, si se dividen en otra base, nos dará la representación
correspondiente en dicha base.
27
8
= 𝟑, 𝟑𝟕𝟓 Decimal exactoEjemplos:
2
7
= 0,1414…(6) = 𝟎, 𝟏𝟒 (𝟔) Número inexacto periódico puro en base 6
23
10
= 2,1222…(5) = 𝟐, 𝟏෡𝟐(𝟓) Número inexacto periódico mixto en base 5
REPRESENTACIÓN LINEAL
Al expresar una fracción irreductible en una base 𝒏 , ésta tendrá la forma:
𝒇 =
𝒂
𝒃
= 𝒄𝒅…𝒆, 𝒙𝒚…𝒛(𝒏)
parte 
entera 
parte no
entera 
FORMA LINEAL
෯
19
ORDEN DE LAS CIFRAS EN LOS NÚMEROS QUE 
TIENE PARTE MENOR QUE LA UNIDAD: 
DESCOMPOSICIÓN DE UN NÚMERO NO ENTERO
Consiste en expresar un número racional, en función a potencias de su
base, teniendo en cuenta el orden que ocupa cada una de sus cifras.
Ejemplos:
𝟒𝟑, 𝟐𝟗𝟏 = 4 × 𝟏𝟎𝟏 + 3 +
2
𝟏𝟎𝟏
+
9
𝟏𝟎𝟐
+
1
𝟏𝟎𝟑
𝟎, 𝟒𝟒𝟒… (𝟖) =
4
81
+
4
82
+
4
83
+⋯
𝟒, 𝟏𝟐𝟑𝟏𝟐𝟑… (𝟕) = 4 +
1
71
+
2
72
+
3
73
+
1
74
+
2
75
+
3
76
+⋯
Cantidad finita de cifras decimales
Cantidad infinita de
cifrasen la parte no
entera
2 1 1 2 3
ORDEN SUBORDEN
37,2549
20
CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS DECIMALES
1. Número decimal exacto
Es aquel originado por una fracción irreductible cuyo denominador
puede estar formado sólo por factores 2 y/ó 5. La cantidad de cifras en
su parte decimal es finita.
Ejemplo:
𝟓
𝟏𝟔
=
𝟓
𝟐𝟒
= 𝟎, 𝟑𝟏𝟐𝟓,
𝟐𝟑𝟏
𝟓𝟎𝟎
=
𝟐𝟑𝟏
𝟓𝟑 × 𝟐𝟐
= 𝟎, 𝟒𝟔𝟐
NOTA:
El mayor exponente de los factores 2 y/ó 5 indica la cantidad de cifras
decimales no periódicas que tendrá la fracción decimal.
Ejemplo:
𝟓𝟏
𝟓𝟑𝟎𝟎 × 𝟐𝟓𝟎𝟎
tiene 500 cifras decimales no periódicas.
𝟒
𝟐𝟓
=
𝟒
𝟓𝟐
= 𝟎, 𝟏𝟔,
21
2. Número decimal inexacto Puede ser:
a) Decimal periódico puro
Es aquel número originado por una fracción irreductible ordinaria, cuyo
denominador no tiene ningún factor 2 ni 5.
Ejemplos:
𝟑
𝟏𝟏
= 𝟎, 𝟐𝟕𝟐𝟕𝟐𝟕… = 𝟎, ෢𝟐𝟕 ,
𝟐
𝟕
= 𝟎, 𝟐𝟖𝟓𝟕𝟏𝟒 ,
𝟔
𝟑𝟕
= 𝟎, 𝟏𝟔𝟐
GENERATRIZ 𝟎, 𝒂𝒃𝒄 =
𝒂𝒃𝒄
𝟗𝟗𝟗
Se denomina decimal inexacto periódico puro, por que al dividir el
numerador entre el denominador, no se encuentra un cociente exacto y
las cifras del cociente se repiten en forma ilimitada formando
periodos.
En otro sistema, de base 𝒏: 𝟎, 𝒂𝒃𝒄(𝒏) =
𝒂𝒃𝒄(𝒏)
(𝒏 − 𝟏)(𝒏 − 𝟏)(𝒏 − 𝟏)(𝒏)
෯
෯
෯
෯
22
b) Decimal periódico mixto
Es aquel número originado por una fracción irreductible, cuyo
denominador tiene como factor 2 y/ó 5 y además otros factores
diferentes a los anteriores.
Ejemplos:
7
24
=
𝟕
𝟐𝟑 × 𝟑
= 𝟎, 𝟐𝟗𝟏෡𝟔 ;
12
55
=
𝟏𝟐
𝟓 × 𝟏𝟏
= 𝟎, 𝟐෢𝟏𝟖 ;
3
175
=
𝟑
𝟓𝟐 × 𝟕
= 𝟎, 𝟎𝟏𝟕𝟏𝟒𝟐𝟖𝟓
GENERATRIZ 𝟎, 𝒂𝒃𝒄𝒅 =
𝒂𝒃𝒄𝒅 − 𝒂𝒃
𝟗𝟗𝟎𝟎
Se debe tener una fracción equivalente con tantos ceros como cifras no
periódicas tenga y tantos nueves como cifras periódicas tenga.
Ejemplo:
0,624෢19 =
62419 − 624
99000
=
61795
99000
En otro sistema de base 𝒎:
𝒂𝒃𝒄𝒅𝒆(𝒎) − 𝒂𝒃(𝒎)
𝒎− 𝟏 𝒎− 𝟏 𝒎− 𝟏 𝟎𝟎(𝒎)
𝟎, 𝒂𝒃𝒄𝒅𝒆(𝒎) =
෯
෯
෯
23
Determinación a priori de la cantidad de cifras de la parte decimal
periódica y no periódica de una fracción
Sea la fracción irreductible 𝒇 =
𝒑
𝟐𝒂. 𝟓𝒃. 𝑲
donde 𝑲 es un número entero
positivo que no es múltiplo de 2 ni de 5, entonces con respecto a la
representación decimal de 𝒇, se tiene:
Cantidad de cifras de la parte no periódica es igual al mayor de los exponentes
𝒂 o 𝒃
Cantidad de cifras de la parte periódica es igual a la cantidad de cifras del
menor número compuesto de cifras 9 que contiene a 𝑲 como factor.
NOTA:
Como un número decimal inexacto es
originado por una fracción que en su
forma equivalente tiene a un número
formado por cifras nueve, es
importante tener en cuenta para el
análisis la siguiente descomposición:
TABLA DE LOS NUEVES
𝟗 = 𝟑𝟐
𝟗𝟗 = 𝟑𝟐  𝟏𝟏
𝟗𝟗𝟗 = 𝟑𝟑  𝟑𝟕
𝟗𝟗𝟗𝟗 = 𝟑𝟐  𝟏𝟏  𝟏𝟎𝟏
𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗 = 𝟑𝟐  𝟒𝟏  𝟐𝟕𝟏
𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗 = 𝟑𝟑  𝟕  𝟏𝟏  𝟏𝟑  𝟑𝟕
24
Teniendo en cuenta la tabla de la descomposición canónica de los
números formados por cifras 9 se concluye lo siguiente:
Los divisores de:
𝟗 ∶ 𝟏 ; 𝟑 ; 𝟗
𝟗𝟗 ∶ 𝟏; 𝟑 ; 𝟗 ; 𝟏𝟏; 𝟑𝟑 ; 𝟗𝟗
𝟗𝟗𝟗 ∶ 𝟏; 𝟑 ; 𝟗 ; 𝟐𝟕; 𝟑𝟕 ; 𝟏𝟏𝟏; 𝟑𝟑𝟑 ; 𝟗𝟗𝟗
𝟗𝟗𝟗𝟗 ∶ 𝟏; 𝟑 ; 𝟗 ; 𝟏𝟏 ; 𝟑𝟑 ; 𝟗𝟗 ; 𝟏𝟎𝟏 ; 𝟑𝟎𝟑 ; 𝟗𝟎𝟗 ; 𝟏𝟏𝟏𝟏; 𝟑𝟑𝟑𝟑; 𝟗𝟗𝟗𝟗
𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗 ∶ 𝟏; 𝟑; 𝟗; 𝟒𝟏; 𝟏𝟐𝟑; 𝟑𝟔𝟗; 𝟐𝟕𝟏; 𝟖𝟏𝟑; 𝟐𝟒𝟑𝟗; 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏; 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑; 𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗
𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗 ∶ 𝟏; 𝟑; 𝟕; 𝟗 ; … ; 𝟏𝟏; 𝟏𝟑 ; … ; 𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗
Cantidad de cifras 
periódicas
𝐾
𝟏 𝟑; 𝟗
𝟐 𝟏𝟏; 𝟑𝟑; 𝟗𝟗
𝟑 𝟐𝟕; 𝟑𝟕; 𝟏𝟏𝟏; 𝟑𝟑𝟑; 𝟗𝟗𝟗
𝟒 𝟏𝟎𝟏; 𝟑𝟎𝟑; 𝟗𝟎𝟗; 𝟏𝟏𝟏𝟏; 𝟑𝟑𝟑𝟑; 𝟗𝟗𝟗𝟗
𝟓 𝟒𝟏; 𝟏𝟐𝟑; 𝟐𝟕𝟏; 𝟑𝟔𝟗; 𝟖𝟏𝟑; 𝟐𝟒𝟑𝟗; 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏; 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑; 𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗
𝟔 𝟕 ; 𝟏𝟑; 𝟏𝟏; 𝟑𝟕; … ; 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏; 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑; 𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗
25
Ejemplos:
𝟐𝟑
𝟏𝟐𝟓
=
𝟐𝟑
𝟓𝟑
=𝟎, 𝟏𝟖𝟒
3 cifras no periódicas
𝟓𝟏
𝟖𝟎
=
𝟓𝟏
𝟐𝟒. 𝟓𝟏
= 𝟎, 𝟔𝟑𝟕𝟓
4 cifras no periódicas
𝟑𝟓
𝟑𝟕
=
𝒎𝟐
𝟏𝟎𝟐𝟓
=𝟎, 𝟗𝟒𝟓 Está contenido en 999,
entonces hay 3 cifras
en la parte periódica
𝟑𝟏
𝟏𝟎𝟏
= 𝟎, 𝟑𝟎𝟔𝟗 Está contenido en 9999,
entonces hay 4 cifras en
la parte periódica
𝟓
𝟖𝟖
= 𝟎, 𝟎𝟓𝟔𝟖𝟏
Hay 3 cifras en la parte
no periódica, y 11 está
contenido en 99,
entonces hay 2 cifras
en la parte periódica
𝟓
𝟐𝟑. 𝟏𝟏
=
𝒎𝟐
𝟓𝟐. 𝟒𝟏
=
Hay 2 cifras en la parte
no periódica, y 41 está
contenido en 99999,
entonces hay 5 cifras
en la parte periódica
𝟎, 𝒂𝒃𝒄𝒅𝒆𝒇𝒈
෯
෯
෯
෯
26
OBSERVACIÓN:
En el caso de otras bases, por
ejemplo en la base 𝟔, se tiene:
Sea la fracción irreductible 𝒇 =
𝒑
𝟐𝒂 . 𝟑𝒃 . 𝑲
donde: 𝒌 ∈ ℤ+, 𝒌 ≠ 𝟐 , 𝒌 ≠ 𝟑
Cantidad de cifras de la parte no periódica 
es igual al mayor de los exponentes 𝒂 o 𝒃
Cantidad de cifras de la parte periódica
es igual a la cantidad de cifras del menor
número compuesto de cifras 5 que
contiene a 𝑲 como factor.
TABLA DE LOS CINCOS
𝟓𝟔 = 𝟓
𝟓𝟓𝟔 = 𝟓  𝟕
𝟓𝟓𝟓𝟔 = 𝟓  𝟒𝟑
𝟓𝟓𝟓𝟓𝟔 = 𝟓  𝟕  𝟑𝟕
𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟔 = 𝟓
𝟐  𝟑𝟏𝟏
EJEMPLOS:
𝟏𝟓
𝟓𝟔
=
𝟏𝟓
𝟐𝟑 . 𝟕
= 𝟎, 𝒂𝒃𝒄𝒅𝒆(𝟔)
𝟕
𝟏𝟏𝟏
=
𝟕
𝟑 . 𝟑𝟕
= 𝟎, ഥ𝒎𝒏𝒑𝒒𝒓(𝟔)
෯
෯
27
APLICACIÓN 5
¿Cuántas fracciones propias e irreductibles de denominador de 2 cifras
existen, tales que en base 6, originen un periódico puro de tres cifras, cuya
tercera cifra sea 3?
RESOLUCIÓN
Sea la fracción propia e irreductible:
𝑵
𝑫
= 𝟎, 𝒂𝒃𝟑(𝟔)
El menor número formado por cifras máximas en base 𝟔 que contiene
a 𝑫 es: 𝟓𝟓𝟓(𝟔) = 𝟓 x 𝟒𝟑
Como 𝑫 tiene 2 cifras 𝑫 = 𝟒𝟑
Reemplazando y operando, se tiene:
𝑵
𝟒𝟑
=
𝒂𝒃𝟑(𝟔)
𝟓𝟓𝟓(𝟔)
𝟓𝑵 = 𝒂𝒃𝟑(𝟔) = 𝟔 + 𝟑
°
𝑵 = 𝟔 + 𝟑 y 𝑵 < 𝟒𝟑° 𝑵 ∈ 𝟑; 𝟗; 𝟏𝟓; 𝟐𝟏; 𝟐𝟕; 𝟑𝟑; 𝟑𝟗
Luego, existen 𝟕 fracciones
෯
28
FRACCIÓN GENERATRIZ
𝒂𝒃𝒄…𝒙
𝟏𝟎𝟎…𝟎
𝟎, 𝒂𝒃𝒄…𝒙 =
𝒂𝒃𝒄…𝒙
𝟗𝟗𝟗…𝟗
𝟎, 𝒂𝒃𝒄…𝒙 =
𝟎, 𝒂𝒃…𝒑𝒒…𝒙 =
𝒂𝒃…𝒙 − 𝒂𝒃…𝒑
𝟗𝟗…𝟗𝟎…𝟎
“𝒌” cifras
“𝒌” cifras
“𝒌” cifras
“𝒌” cifras
“𝒌” cifras “𝒑” cifras
“𝒑” cifras “𝒌” cifras
BASE 10
DECIMAL 
EXACTO
DECIMAL
INEXACTO
PERIÓDICO 
PURO
DECIMAL INEXACTO PERIÓDICO MIXTO
EN OTRA BASE 
𝒂𝒃…𝒙(𝒏)
𝟏𝟎𝟎…𝟎(𝒏)
𝒂𝒃…𝒙(𝒏)
𝒏 − 𝟏 𝒏 − 𝟏 …(𝒏 − 𝟏)(𝒏)
𝟎, 𝒂𝒃𝒄…𝒙(𝒏) =
𝟎, 𝒂𝒃…𝒑 𝒒…𝒙(𝒏) =
𝒂𝒃…𝒙(𝒏) − 𝒂𝒃…𝒑(𝒏)
𝒏 − 𝟏 … 𝒏 − 𝟏 𝟎𝟎…𝟎(𝒏)
“𝒌” cifras
“𝒌” cifras
“𝒌” cifras
“𝒌” cifras
“𝒌” cifras “𝒑” cifras
“𝒑” cifras “𝒌” cifras
𝟎, 𝒂𝒃…𝒙 𝒏 =
෯ ෯
෯෯
29
APLICACIÓN 6
¿Cuántas fracciones propias e irreductibles, generan un decimal con
tres cifras no periódicas y 2 cifras en el periodo; si el denominador es de
2cifras?
RESOLUCIÓN
Sea: 𝒇 =
𝑵
𝒂𝒃
= 𝟎,𝒎𝒏𝒑 𝒒𝒓 , y se observa:
3 cifras no periódicas
2 cifras periódicas
𝒂𝒃 contiene un factor 𝟐𝟑 y/o 𝟓𝟑
Un factor de 𝒂𝒃 está contenido en 𝟗𝟗
propia (𝑵 < 𝟖𝟖)Luego:
𝒂𝒃 =
𝟐𝟑 × 𝟏𝟏
𝟓𝟑 × 𝟏𝟏
𝒂𝒃 = 𝟖𝟖 𝒇 =
𝑵
𝟖𝟖 irreductible (𝑵 y 𝟖𝟖 son PESI)
Cantidad de valores de 𝑵= 𝝋 𝟖𝟖 = 𝝋(𝟐𝟑 × 𝟏𝟏) = 𝟐𝟐× 𝟐 − 𝟏 × 𝟏𝟏𝟎 × 𝟏𝟏 − 𝟏
෯
Cantidad de valores(𝑵) = 𝟒𝟎
30
PROPIEDAD
Sean: 𝑨 ; 𝑩 ;… ; 𝑷 enteros positivos PESI 2 a 2, donde ninguno es
múltiplo de 2 ni de 5. Si dichos números generan 𝒂 ; 𝒃 ;… ; 𝒑 , cifras
periódicas, entonces el producto de ellos ( 𝑨 × 𝑩 ×⋯× 𝑷 ) genera 𝒎
cifras periódicas, donde 𝒎 es el mínimo común múltiplo de 𝒂 ; 𝒃 ;… ; 𝒑
EJEMPLO
𝟗
𝟕𝟎𝟕
=
𝟗
𝟏𝟎𝟏 × 𝟕
= 𝟎, 𝒂𝒃…𝒙
𝟏𝟎𝟏 y 𝟕 generan 𝟒 y 𝟔 cifras
periódicas respectivamente y
como el mínimo común múltiplo
de 𝟒 y 𝟔 es 𝟏𝟐.
𝟕𝟎𝟕 genera 𝟏𝟐 cifras periódicas 𝟒𝟓𝟏 genera 𝟏𝟎 cifras periódicas 
𝟒𝟏 y 𝟏𝟏 generan 𝟓 y 𝟐 cifras
periódicas respectivamente y
como el mínimo común múltiplo
de 𝟓 y 𝟐 es 𝟏𝟎.
𝟑𝟎
𝟒𝟓𝟏
=
𝟑𝟎
𝟒𝟏 × 𝟏𝟏
= 𝟎, 𝒆𝒇… 𝒕
𝟏𝟐 cifras 𝟏𝟎 cifras
෯ ෯
31
PROPIEDAD
Sean 𝒑 y 𝒒 dos números enteros positivos PESI, tal que 𝒒 no es
múltiplo de 𝟐 ni de 𝟓, entonces la cantidad de cifras periódicas que
genera
𝒑
𝒒
es un divisor del indicador de Euler de 𝒒
EJEMPLO
𝟏𝟎
𝟏𝟕
= 𝟎, 𝒂𝒃…𝒙
𝟖
𝟐𝟑
= 𝟎, 𝒆𝒇… 𝒕
𝟏𝟔cifras 𝟐𝟐 cifras
Como 17 no es múltiplo de 2 ni de
5, entonces la cantidad de cifras
periódicas es:
Como 23 no es múltiplo de 2 ni de
5, entonces la cantidad de cifras
periódicas es:
𝝋 𝟏𝟕 = ( 𝟏𝟕 − 𝟏 ) = 𝟏𝟔 𝝋 𝟐𝟑 = ( 𝟐𝟑 − 𝟏 ) = 𝟐𝟐
෯ ෯
32
OBSERVACIÓN
Cuando el denominador de una fracción irreductible no tiene como
factor al 2 ni al 5, el número decimal que se genera es un número
decimal periódico puro, y para determinar la cantidad de cifras en su
periodo se tiene:
Sea 𝒇 una fracción irreductible, 𝑫 ≠ 𝟐 ∧ 𝑫 ≠ 𝟓
𝟏𝟎𝒌 − 𝟏 = 𝑫
° °
°
𝒇 =
𝑵
𝑫
= 𝒂…𝒉, 𝒊… 𝒕 𝟗𝟗…𝟗 = 𝑫
𝒌 cifras
° °
°
𝟏𝟎𝒌 = 𝑫+ 𝟏
Como 𝒌 es mínimo, se tiene que
𝒌 es el gaussiano de las
potencias de 𝟏𝟎 respecto al
módulo 𝑫
EJEMPLO:
𝟏𝟕
𝟖𝟏
=
𝟏𝟕
𝟑𝟒
= 𝟎, 𝒊… 𝒕
𝟗𝟗…𝟗 = 𝟖𝟏
𝒌 cifras𝒌 cifras
°° 𝟏𝟏…𝟏 = 𝟗
Suma de cifras 𝒌 = 𝟗
𝒌 = 𝟗 𝒌 = 𝟑𝟒−𝟐
Luego: 𝒇 =
𝑵
𝟑𝒏
= 𝒂…𝒉, 𝒊… 𝒕 , ∀𝒏 ≥ 𝟐
𝟑𝒏−𝟐 cifras
෯ ෯
෯
33
Sea 𝒇 una fracción irreductible, 𝑷 es primo ( 𝑷 > 𝟓), tal que:
𝒇 =
𝑵
𝑷𝒏
= 𝒂…𝒉, 𝒊… 𝒕
( 𝑷𝒏−𝟏 × 𝑮 ) cifras
donde 𝑮 es el gaussiano de las potencias de 𝟏𝟎 respecto al módulo 𝑷
APLICACIÓN 7 ¿Cuántas cifras periódicas genera 𝒇 =
𝟐
𝟏𝟏𝟑
? 
Como: 𝟏𝟏 es primo y mayor que 𝟓
Cantidad de cifras periódicas =
= 𝟏𝟏𝟑−𝟏 × 𝑮
= 𝟏𝟏𝟐 × 𝟐
= 𝟐𝟒𝟐
Donde:
𝟏𝟎𝟑 = 𝟏𝟏 − 𝟏
𝟏𝟎𝟎 = 𝟏𝟏 + 𝟏
𝟏𝟎𝟐 = 𝟏𝟏 + 𝟏
…
𝟏𝟎𝟏 = 𝟏𝟏 − 𝟏
𝑮 = 𝟐
RESOLUCIÓN
෯
°
°
°
°
34
APLICACIÓN 8
Determine la suma de la cantidad de cifras de la parte periódica y la
cantidad de cifras de la parte no periódica que genera la fracción:
𝟕
𝟏𝟐!
RESOLUCIÓN:
Primero determinamos la descomposición
canónica del factorial de 𝟏𝟐
𝟏𝟐
𝟔
𝟑
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏
𝟓
𝟐
𝟕
𝟏𝟐!
=
𝟕
𝟏𝟐
𝟒
𝟏
𝟑
𝟕
𝟑
𝟏
𝟐𝟏𝟎 ×
𝟏𝟐
𝟏
𝟏𝟏𝟏𝟐 𝟏𝟐
𝟑𝟓 × 𝟓𝟐 × 𝟕 × 𝟏𝟏
𝟕
𝟏𝟐!
=
𝟏
𝟐𝟏𝟎 × 𝟑𝟓 × 𝟓𝟐 × 𝟏𝟏
10 cifras no periódicas
𝟑𝟓−𝟐 = 𝟐𝟕
cifras periódicas
𝟐 cifras periódicas
MCM(𝟐𝟕; 𝟐) = 𝟓𝟒 cifras periódicas
Suma = 𝟏𝟎 + 𝟓𝟒 = 𝟔𝟒
Luego:
35
DENSIDAD DE LOS RACIONALES Y LAS FRACCIONES
EL CONJUNTO ℚ ES DENSO EN LOS REALES
Entre dos números racionales diferentes siempre existe otro racional
a) Determinar un racional entre los números 
𝟓
𝟖
y 
𝟕
𝟗
𝟓 + 𝟕
𝟖 + 𝟗
=
𝟏𝟐
𝟏𝟕
La fracción 
𝟏𝟐
𝟏𝟕
se ubica entre racionales 
𝟓
𝟖
y 
𝟕
𝟗
b) Insertar dos números racionales entre −1
𝟐
𝟕
y 2
𝟑
𝟓
−𝟏
𝟐
𝟕
= −
𝟗
𝟕
Primero insertamos:
𝟐
𝟑
𝟓
=
𝟏𝟑
𝟓
−𝟗 + 𝟏𝟑
𝟕 + 𝟓
=
𝟒
𝟏𝟐
=
𝟏
𝟑
Luego podemos
insertar:
−𝟗 + 𝟏
𝟕 + 𝟑
= −
𝟖
𝟏𝟎
𝟓
𝟖
𝟕
𝟗
𝟏𝟐
𝟏𝟕
−
𝟗
𝟕
𝟏𝟑
𝟓
𝟏
𝟑
𝟐
𝟑
𝟓
−
𝟖
𝟏𝟎
𝟎
−𝟏
𝟐
𝟕
EJEMPLO:
36
PROPIEDAD DE LA DENSIDAD
El conjunto ℚ es denso porque entre dos números racionales diferentes
siempre existe otro racional. Dados dos números racionales distintos, 𝜶 y
𝜷 , siempre existe otro número racional 𝜸 , tal que: 𝜶 < 𝜸 < 𝜷. Para ello, si
𝜶 =
𝒂
𝒃
y 𝜷 =
𝒄
𝒅
, con 𝒃 y 𝒅 positivos; se puede considerar: 𝜸 =
𝒂 + 𝒄
𝒃 + 𝒅
Luego, reiterando el proceso de introducir un racional entre cada dos
racionales distintos, es claro que entre dos racionales distintos existen
infinitos racionales distintos.
EJEMPLO: Entre 𝟑/𝟓 y 𝟐/𝟑 se encuentra 𝟓/𝟖.
Ahora entre 𝟑/𝟓 y 𝟓/𝟖 se encuentra 𝟖/𝟏𝟑, entre 𝟑/𝟓 y 𝟖/𝟏𝟑 se
encuentra 𝟏𝟏/𝟏𝟖, etc., tenemos así:
𝟑/𝟓 < ⋯ < 𝟏𝟏/𝟏𝟖 < 𝟖/𝟏𝟑 < 𝟓/𝟖 < 𝟐/𝟑.
Por eso se dice que el conjunto de los racionales es un conjunto denso.
37
La propiedad de la Densidad de los racionales en los reales implica que
para todo número real existe una sucesión de números racionales que
converge a dicho número racional.
Esto quiere decir que para todo número real 𝒓 ya sea racional ó irracional
siempre existe una sucesión de números racionales 𝒂𝒏 que converge a
dicho número real. Esto es, siempre se puede encontrar un 𝒂𝒏 tan cerca
de 𝒓 como se quiera.
EJEMPLO Se define la siguiente sucesión de números racionales
𝒂𝟎 ; 𝒂𝟏 ; 𝒂𝟐 ; . . . en forma recursiva
𝒂𝟎 = 𝟏 , 𝒂𝒏+𝟏 =
𝒂𝒏
𝟐
+
𝟏
𝒂𝒏
, para 𝒏 = 𝟎; 𝟏; 𝟐; 𝟑;…donde:
𝒂𝟏 =
𝒂𝟎
𝟐
+
𝟏
𝒂𝟎
𝒂𝟐 =
𝒂𝟏
𝟐
+
𝟏
𝒂𝟏
𝒂𝟑 =
𝒂𝟐
𝟐
+
𝟏
𝒂𝟐
=
𝟏
𝟐
+
𝟏
𝟏
=
𝟑
𝟐
= 𝟏, 𝟓
=
𝟏, 𝟓
𝟐
+
𝟏
𝟏, 𝟓
=
𝟏𝟕
𝟏𝟐
= 𝟏, 𝟒𝟏𝟔𝟔𝟔…
=
𝟏𝟕/𝟏𝟐
𝟐
+
𝟏
𝟏𝟕/𝟏𝟐
=
𝟓𝟕𝟕
𝟒𝟎𝟖
= 𝟏, 𝟒𝟏𝟒𝟐𝟏𝟓𝟔…
Se observa que esta 
sucesión converge a 
𝟐 = 𝟏, 𝟒𝟏𝟒𝟐𝟏𝟑𝟓𝟔…
Luego:
38
APLICACIÓN 9
Indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
I) La suma de dos irracionales es otro irracional 
II) El producto de dos irracionales es otro irracional
III) ∀𝒂; 𝒃 ∈ ℚ+, 𝒂𝒃 es siempre racional
IV) La suma de dos números reales no racionales (irracional) puede 
ser racional.
RESOLUCIÓN
I) 3 + − 3 = 0 ∉ Ι
II) 5 × 5 = 5 ∉ Ι
III) 21/2 ∉ ℚ
IV) 7 + 1 − 7 = 1 ∈ ℚ
𝑭
𝑽
𝑭
Ι: conjunto de los números irracionales, donde 𝑭
39
RESOLUCIÓN DE 
PROBLEMAS 
40
Problema 1
El denominador de una fracción excede al numerador en una unidad. Si
se agrega a ambos miembros de la fracción una unidad, la nueva
fracción excede a la original en
𝟏
𝟕𝟐
. ¿Cuál es la fracción original?
A)
3
4
B)
3
5
C)
5
6
D)
6
7
E)
7
8
RESOLUCIÓN
𝑓 =
𝑁
𝐷
⟹ 𝐷 −𝑁 = 1
𝑔 =
𝑁 + 1
𝐷 + 1
⟹ 𝑔 − 𝑓 =
1
72
𝐷
𝐷 + 1
−
𝐷 − 1
𝐷
=
1
72
𝐷2 − 𝐷2 + 1
𝐷 + 1 𝐷
=
1
72
=
1
𝐷(𝐷 + 1)
𝐷 = 8 ⟹ 𝒇 =
𝟕
𝟖
CLAVE E
41
Problema 2
Al escribir la fracción
𝟗𝟖
𝟐𝟑 × 𝟖𝟗
en la forma 𝒂 +
𝒃
𝟐𝟑
+
𝒄
𝟖𝟗
, siendo 𝒂, 𝒃, 𝒄 enteros
tales que 𝟏 ≤ 𝒃 < 𝟐𝟑 , 𝟏 ≤ 𝒄 < 𝟖𝟗. Entonces la suma de los numeradores
es:
A) 30 B) 31 C) 32 D) 33 E) 34
RESOLUCIÓN
98
23 × 89
= 𝑎 +
𝑏
23
+
𝑐
89
98
23 × 89
=
23 × 89𝑎 + 89𝑏 + 23𝑐
23 × 89
23 × 89𝑎 + 89𝑏 + 23𝑐 = 98
ሶ23 − 3 𝑏 + ሶ23 = ሶ23 + 6
3𝑏 = ሶ23 − 6 = ሶ23 − 6 + 69
3𝑏 = ሶ23 + 63 → 𝑏 = ሶ23 + 21
𝑏 = 21 89𝑎 + 𝑐 = −77
𝑎 = −1 → 𝑐 = 12
𝒃 + 𝒄 = 𝟑𝟑 CLAVE D
42
Problema 3
Los términos de una fracción equivalente a 3/4, los cuales 
elevados al cuadrado suman 324 900, difieren en:
A) 94 B) 106 C) 114 D) 126 E) 134 
RESOLUCIÓN
𝑓 =
3𝐾
4𝐾
3𝐾 2 + 4𝐾 2 = 324900
25𝐾2 = 324900
𝐾2 = 12996 = 1142
𝐾 = 114
𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠: 𝐾
𝒅𝒊𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒅𝒆 𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐𝒔 = 𝟏𝟏𝟒
CLAVE C
43
Problema 4
Determine el número racional entre 
𝟐
𝟏𝟑
y 
𝟒𝟏
𝟓𝟐
cuya distancia al 
primero sea el doble de la distancia al segundo.
A) 
11
52
B) 
19
52
C) 
46
104
D) 
15
26
E) 
9
13
RESOLUCIÓN
𝑓 −
2
13
= 2
41
52
− 𝑓
3𝑓 =
2 × 41
52
+
2
13
3𝑓 =
41
26
+
4
26
=
45
26
𝒇 =
𝟏𝟓
𝟐𝟔
CLAVE D
44
Problema 5
¿Para cuántos enteros positivos 𝒏, la fracción 
𝟐𝟏𝒏 + 𝟒
𝟏𝟒𝒏 + 𝟑
es 
reductible?
A) 0 B) 2 C) 4 D) 6 E) 8 
RESOLUCIÓN
21𝑛 + 4
14𝑛 + 3
=
14𝑛 + 3
14𝑛 + 3
+
7𝑛 + 1
14𝑛 + 3
14𝑛 + 3 𝑦 7𝑛 + 1 𝑠𝑜𝑛 𝑃𝐸𝑆𝐼
No existe valor entero positivo
CLAVE A
21𝑛 + 4
14𝑛 + 3
= 1 +
7𝑛 + 1
14𝑛 + 3
45
Problema 6
Si: 
𝑵
𝟑𝒂𝟓𝒂
es equivalente a 
𝟏𝟑
𝟏𝟕
, determine 𝑵.
A) 2847 B) 2860 C) 2873 D) 2886 E) 2899
RESOLUCIÓN
𝑁
3𝑎5𝑎
=
13𝐾
17𝐾
CLAVE C
3𝑎5𝑎 = 17𝑘
3050 + 𝑎0𝑎 = 17𝑘
3050 + 101𝑎 = 17𝑘
ሶ17 + 7 + ሶ17 − 1 𝑎 = ሶ17
𝑎 = ሶ17 + 7 𝑎 = 7
𝐾 =
3757
17
= 221 𝑁 = 13𝑘
𝑵 = 𝟐𝟖𝟕𝟑
46
Problema 7
Si se cumple: 
𝒏 𝒏 + 𝟏 , 𝒏 + 𝟐 𝒎𝟔 = 𝒏𝟏, 𝒑(𝟑𝒏+𝟏), determine el valor de 𝒎+𝒏+ 𝒑.
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 10 
෯
RESOLUCIÓN
𝑛 𝑛 + 1 6 = 𝑛1 3𝑛+1
6𝑛 + 𝑛 + 1 = 𝑛 3𝑛 + 1 + 1
6𝑛 = 3𝑛2 → 𝑛 = 2
0, ෢4𝑚 6 = 0, ҧ𝑝 7
4𝑚 6
55 6
=
𝑝
7
24 +𝑚
5
= 𝑝
𝑚 = 1 ∧ 𝑝 = 5
𝒎+𝒏+ 𝒑 = 𝟖
CLAVE D
47
Problema 8
Calcule: 
𝑺 =
𝟏
𝟑×𝟕
+
𝟏
𝟕×𝟏𝟏
+
𝟏
𝟏𝟏×𝟏𝟓
+
𝟏
𝟏𝟓×𝟏𝟗
+⋯+
𝟏
𝟏𝟗𝟗×𝟐𝟎𝟑
A) 
50
203
B) 
50
609
C) 
1
203
D) 
1
199
E) 
7
398
RESOLUCIÓN
4𝑆 =
4
3 × 7
+
4
7 × 11
+
4
11 × 15
+
4
15 × 19
+⋯+
4
199 × 203
CLAVE B
4𝑆 =
1
3
−
1
7
+
1
7
−
1
11
+
1
11
−
1
15
+⋯+
1199
−
1
203
4𝑆 =
1
3
−
1
203
4𝑆 =
200
3 × 203
𝑺 =
𝟓𝟎
𝟔𝟎𝟗
Problema 9
Resolución
El periodo de una fracción propia de denominador 11 es de dos cifras que
se diferencian en 5 unidades. Hallar la suma de los términos de dicha
fracción.
A) 14 B) 15 C)17 D) 18 E) 21
CLAVE: A
𝑁
11
= 0, 𝑎 𝑎 + 5 o 
𝑁
11
= 0, 𝑎 + 5 𝑎
𝑁
11
=
𝑎(𝑎 + 5)
99
9𝑁 = 𝑎(𝑎 + 5) = 9°
23
𝑁
11
=
𝑎 + 5 𝑎
99
9𝑁 = 𝑎 + 5 𝑎 = 9°
28
Existen dos fracciones
que cumplen la condición
3
11
𝑦
8
11
La suma de sus términos
es 14 o 19
Problema 10
¿Cuál será la última cifra del periodo de
𝟏
𝟑
𝟏𝟗
?
A) 1 B) 3 C) 6 D) 7 E) 9
RESOLUCIÓN
1
319
= 0, ෣0…𝑥 =
…𝑥
9…9
319 = 34 4 × 33= 814 × 27 = ⋯𝟕
…𝟕
9…9 = (…𝟕)(…𝒙)
7 CLAVE: D
Determine la cantidad de fracciones propias a irreductibles que
están comprendidas entre 9/33 y 45/47 tales que la suma de sus
términos sea 90.
A) 3 B) 6 C) 4 D) 7 E) 5
Problema 11
Resolución
CLAVE: B
9
33
<
𝑁
90 − 𝑁
<
45
47
Irreductible 𝑁 ≠ 2, 3, 5° ° °
810 − 9𝑁 < 33𝑁
19,… < 𝑁
47𝑁 < 4050 − 45𝑁
𝑁 < 44,…
19,… < 𝑁 < 44,… 𝑵: 𝟐𝟑, 𝟐𝟗, 𝟑𝟏, 𝟑𝟕, 𝟒𝟏, 𝟒𝟑
Problema 12
¿Cuántas cifras tiene el periodo de 𝒇 =
𝟒𝟏
𝟕𝟑 × 𝟏𝟏𝟐
?
A) 12 B) 60 C) 686 D) 864 E) 3234
RESOLUCIÓN
Sea 𝒇 una fracción irreductible, 𝑷 es primo ( 𝑷 > 𝟓), tal que:
𝒇 =
𝑵
𝑷𝒏
= 𝒂…𝒉, 𝒊… 𝒕
( 𝑷𝒏−𝟏 × 𝑮 ) cifras
donde 𝑮 es el gaussiano de las
potencias de 𝟏𝟎 respecto al módulo 𝑷
73 genera 72 × 6 = 294 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠 𝑝𝑒𝑟𝑖ó𝑑𝑖𝑐𝑎𝑠
෯
112 genera 111 × 2 = 22 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠 𝑝𝑒𝑟𝑖ó𝑑𝑖𝑐𝑎𝑠
𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒
𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠 𝑝𝑒𝑟𝑖ó𝑑𝑖𝑐𝑎𝑠
= 𝑀𝐶𝑀 294 ; 22 = 𝟑 𝟐𝟑𝟒
CLAVE: E
52
Problema 13
Si las fracciones
𝒂𝒃
𝒄𝒅
;
𝒃𝒂
𝒅𝒄
;
𝟏
𝟒
son equivalentes, siendo 𝒂, 𝒃, 𝒄, 𝒅 cifras
diferentes, entonces 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 + 𝒅 es:
A) 13 B) 14 C) 15 D) 17 E) 18
RESOLUCIÓN
𝑎𝑏
𝑐𝑑
=
𝑏𝑎
𝑑𝑐
=
1
4
𝑎𝑏 + 𝑏𝑎
𝑐𝑑 + 𝑑𝑐
=
𝑎𝑏 − 𝑏𝑎
𝑐𝑑 − 𝑑𝑐
=
1
4
11 𝑎 + 𝑏
11 𝑐 + 𝑑
=
9 𝑎 − 𝑏
9 𝑐 − 𝑑
=
1
4
𝑎 + 𝑏
𝑐 + 𝑑
=
𝑎 − 𝑏
𝑐 − 𝑑
=
1
4
𝑎
𝑐
=
𝑏
𝑑
=
1
4
→ 𝑐 = 4𝑎 ∧ 𝑑 = 4𝑏
𝑎 = 1 ∧ 𝑐 = 4 → 𝑏 = 2 ∧ 𝑑 = 8
𝒂 + 𝒃 + 𝒄 + 𝒅 = 𝟏𝟓
CLAVE C
53
Problema 14
Determine la cantidad de cifras no periódicos de 𝐟 =
𝟐𝟓𝟔𝟎𝟎
𝟓𝟒!−𝟑𝟐!
A) 20 B) 21 C) 22 D) 23 E) 24
RESOLUCIÓN
𝐟 =
𝟐𝟏𝟎. 𝟓𝟐
𝟐𝟑𝟏. 𝐤
Clave B
𝐟 =
𝟏
𝟐𝟐𝟏. 𝐩
𝐟 = 𝟎, 𝟎𝟎… 𝐭𝐮𝐚𝐛. . . 𝐱𝐲
21 cifras
54
Problema 15
Dada las siguientes proposiciones, indicar el valor de verdad
I.- La fracción irreductible n/14 genera un decimal periódico mixto en base 7
II.- La representación de -√5 como fracción continua es [-3;1,3,4 ̅ ]
III.- La suma de una fracción irreductible y su inversa, es una fracción
irreductible mayor que 2.
A) VFF B) FVV C) VFV D) FVF E) VVV
RESOLUCIÓN
Clave E
𝐈. 𝐕
𝐈𝐈. 𝐕
𝐈𝐈𝐈. 𝐕
55
Problema 16
Un comerciante tenía una determinada suma de dinero. El primer año gastó
100 soles y aumentó a lo que quedaba un tercio de este resto. Al año
siguiente volvió a gastar 100 soles y aumentó a la cantidad restante un
tercio de ella. El tercer año gastó de nuevo 100 soles y agregó la tercera
parte de lo que quedaba. Si la cantidad resultante es el doble de la inicial,
¿Cuál fue la cantidad inicial que tenía el comerciante?
A) 1 480 B) 1 500 C) 1 400 D) 2 380 E) 2 000
RESOLUCIÓN
Sea N la suma inicial
En la primera queda:
𝑁 − 100 +
1
3
𝑁 − 100
𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎:
4
3
𝑁 − 100
4
3
𝑁 − 100 − 100 ×
4
3
− 100 ×
4
3
= 2𝑁
64
27
𝑁 − 100
64
27
+
16
9
+
4
3
= 2𝑁
64𝑁 − 100 64 + 48 + 36 = 54𝑁
𝑵 = 𝟏𝟒𝟖𝟎 CLAVE A
56
Dada las siguientes proposiciones:
I. ∀𝑛 ∈ ℕ, 𝑛 > 1,
𝟏
𝒏−𝟏
+
𝟏
𝒏
+
𝟏
𝒏+𝟏
se convierte en un decimal periódico mixto
II. Una fracción genera periódico puro en base 3, sigue generando periódico puro en
base 5
III. La expresión
𝟑𝒏 + 𝟏𝟑
𝟐𝒏 − 𝟑
representa un número entero positivo para 5 valores enteros de 𝒏
A) VFV B) VVF C) FVV D) VFF E) FVF
Problema 17
Resolución
Sea 𝑬 =
𝒏 𝒏 + 𝟏 + 𝒏 − 𝟏 𝒏 + 𝟏 + 𝒏(𝒏 − 𝟏)
𝒏 − 𝟏 𝒏(𝒏 + 𝟏)
𝑬 =
𝟑 𝒏𝟐 − 𝟏
𝒏 − 𝟏 𝒏(𝒏 + 𝟏)
𝒏 − 𝟏 𝒏 𝒏 + 𝟏 = ቊ
ሶ𝟐
ሶ𝟑
𝟑 𝒏𝟐 − 𝟏 ≠ ቊ
ሶ2
ሶ3
Sin embargo, 
en el 
numerador 
𝑬 𝒆𝒔 𝒖𝒏
𝒅𝒆𝒄𝒊𝒎𝒂𝒍
𝒑𝒆𝒓𝒊𝒐𝒅𝒊𝒄𝒐
𝒎𝒊𝒙𝒕𝒐
I.
∀𝒏 ∈ ℕ ( V )
57
II. Una fracción genera periódico puro en base 3, sigue generando periódico puro
en base 5 .
𝑵 =
𝟑
𝟓
ቊ
0, ෣12103
0,35
Tomando un ejemplo:
( F )
III. La expresión E =
𝟑𝒏 + 𝟏𝟑
𝟐𝒏 − 𝟑
representa un número
entero positivo para 5 valores enteros de 𝒏.
Si 𝐄 𝒆𝒔 𝒆𝒏𝒕𝒆𝒓𝒐 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒗𝒐
𝒏 = 𝟐 ⇒ 𝑬 = 𝟏𝟗
𝒏 = 𝟒 ⇒ 𝑬 = 𝟓
𝒏 = 𝟓 ⇒ 𝑬 = 𝟒
𝒏 = 𝟏𝟗 ⇒ 𝑬 = 𝟐
𝒏 = −𝟑𝟓 ⇒ 𝑬 = 𝟐
( v )
RESPUESTA A
𝟐𝑬 también es 
un entero 
positivo
2E =
𝟔𝒏 + 𝟐𝟔
𝟐𝒏 − 𝟑
𝟐𝑵 = 𝟑 +
𝟑𝟓
𝟐𝒏 − 𝟑
Consideramos los divisores de 35
58
Varios industriales se asocian para la explotación de una patente, el primero cede su explotación
con la condición de percibir el 30% del beneficio. El segundo aporta 5/24 de los fondos necesarios. El
tercero pone 4 000 unidades monetarias menos, pero realizará funciones de gerente mediante una
remuneración suplementaria del 10% de los beneficios. El cuarto ingresa 4 000 unidades monetarias
menos que el tercero, y así sucesivamente hasta el último. Si las aportaciones hubieran sido iguales a
la más elevada, el total del capital disponible aumentaría en 1/4 de su valor. ¿Cuánto aportó el cuarto
socio?
Problema 18
Resolución
A) 50 000 B) 40 000 C) 42 000 D) 38 000 E) 44 000
𝟏° 𝟑𝟎%
2°
𝟓 𝒄
𝟐𝟒
3°
𝟓 𝒄
𝟐𝟒
− 𝟒𝟎𝟎𝟎 . 𝟏
4° 𝟓 𝒄
𝟐𝟒
− 𝟒𝟎𝟎𝟎 . 𝟐
…
n°
𝟓 𝒄
𝟐𝟒
− 𝟒𝟎𝟎𝟎 . (𝒏 − 𝟐)
𝟓𝒄
𝟐𝟒
𝒏 − 𝟏 = 𝒄 +
𝟏
𝟒
𝒄 𝒏 = 𝟕
Sumando
𝟓 𝒄
𝟐𝟒
. 𝟔 − 𝟒𝟎𝟎𝟎
(𝟓)(𝟔)
𝟐
= 𝑪 𝑪 = 𝟐𝟒𝟎 𝟎𝟎𝟎
4° SOCIO APORTO: 𝟓 ( 𝟐𝟒𝟎 𝟎𝟎𝟎)
𝟐𝟒
− 𝟒𝟎𝟎𝟎 . 𝟐 =
42 000
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RESPUESTA C
59
Si: 𝟎,
𝟏𝟓
𝒂
𝒂 𝒂𝟐 + 𝟏 (𝟏𝟒) = ഥ𝒃, 𝒄𝒅𝒆(𝟕),
calcule la cantidad de cifras que genera en el periodo la fracción
𝒄
𝒅𝒆
cuando
se convierte a la base 6.
Problema 19
Resolución
𝒂 = 𝟑 𝟎, 𝟓 𝟑 (𝟏𝟎)(𝟏𝟒) =
𝟓 𝟑 (𝟏𝟎)(𝟏𝟒)
𝟏𝟎𝟎𝟎(𝟏𝟒)
=
1032
2744
=
129
343
=
2437
73
=
2437
10007
= 0, 2437 ቐ
𝑐 = 2
𝑑 = 4
𝑒 = 3𝑏 = 0
2
43
=
2 𝑥5
43 𝑥 5
=
10
215
=
146
5556
= 0, ෢0146
Tiene 3 cifras periódicas
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
5(6) = 5
556 = 35 = 5𝑥 7
5556 = 215 = 5 𝑥 43
55556 = 1295 = 5𝑥7𝑥37
RESPUESTA B
43 genera 3 cifras periódicas en base 
6
60
Al analizar una fracción el denominador es menor en una unidad que el cuadrado
del numerador. Si al numerador y denominador:
a) Se le restan 3 unidades, la fracción sigue positiva, pero menor que 1/10
b)Se le agregan 2 unidades, el valor de la fracción será mayor que 1/3.
Calcule el valor del numerador.
Problema 20
Resolución
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
𝑵𝟐 −𝑫 = 𝟏
𝒇 =
𝑵
𝑫
𝒇 =
𝑵
𝑵𝟐 − 𝟏
𝟎 <
𝑵 − 𝟑
𝑵𝟐 − 𝟏 − 𝟑
<
𝟏
𝟏𝟎
𝟏
𝟑
<
𝑵 + 𝟐
𝑵𝟐 + 𝟏
𝟎 <
𝑵− 𝟑
𝑵𝟐 − 𝟒
<
𝟏
𝟏𝟎
𝑵𝟐 − 𝟑𝑵 − 𝟓 < 𝟎
𝑵−
𝟑
𝟐
𝟐
−
𝟐𝟗
𝟒
𝟐
< 𝟎
…(1)
…(2)
1,19 4,19
𝑵 = 𝟒RESPUESTA C
61
Problema 21
Si a y b son números naturales, calcule la suma de todos los valores
posibles de a de modo que :
𝒂
𝟗
+
𝒃
𝟓
= 3, 𝟎෡𝟔.
A) 7 B) 15 C) 24 D) 30 E) 45
Resolución: 𝒇𝒓𝒂𝒄𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒈𝒆𝒏𝒆𝒓𝒂𝒕𝒓𝒊𝒛:
𝒂
𝟗
+
𝒃
𝟓
= 3, 𝟎෡𝟔
𝟓𝒂 + 𝟗𝒃
𝟒𝟓
=
𝟑𝟎𝟔 − 𝟑𝟎
𝟗𝟎
𝟓𝒂 + 𝟗𝒃 = 𝟏𝟑𝟖
𝟐𝟒 𝟐
𝟏𝟓 𝟕
𝟔 𝟏𝟐
𝒍𝒂 𝒔𝒖𝒎𝒂 𝒅𝒆 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒂:
𝟐𝟒 + 𝟏𝟓 + 𝟔 = 𝟒𝟓
62
Problema 22
Dados los números: 𝟎, ഥ𝒂෡𝒃 =
𝒃 − 𝟓
𝟔
y 𝟎, ഥ𝒃ෝ𝒂 =
𝟓𝒂 + 𝟔
𝟏𝟖
. Calcule la tercera cifra
decimal que resulta al sumarlos.
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
RESOLUCIÓN
𝑎𝑏 − 𝑎
90
=
𝑏 − 5
6
15 𝑏 − 5 = 9𝑎 + 𝑏… (𝐼)
𝑏𝑎 − 𝑏
90
=
5𝑎 + 6
18
5 5𝑎 + 6 = 9𝑏 + 𝑎…(𝐼𝐼)
𝑑𝑒 𝐼 : 14𝑏 − 9𝑎 = 75)
𝑑𝑒 𝐼𝐼 : 3𝑏 − 8𝑎 = 10
𝑎 = 1
𝑏 = 6
𝑏 − 5
6
+
5𝑎 + 6
18
=
1
6
+
11
18
= 0,777…
Tercera cifra decimal: 7
CLAVE E
63
Problema 23
Determine eldenominador de la menor fracción equivalente a
𝟒𝟒𝟕
𝟏𝟏𝟗𝟐
tal que
la suma de sus términos sea 𝟗
𝟎
y la diferencia de los mismos sea 𝟓𝟓
𝟎
.Dar
como respuesta la suma de sus cifras.
A) 9 B) 12 C) 16 D) 18 E) 19
Resolución: 𝒅𝒂𝒅𝒂 𝒍𝒂 𝒇𝒓𝒂𝒄𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒂
𝒃
=
𝟑𝒌
𝟖𝒌
𝒂
𝒃
=
𝟒𝟒𝟕
𝟏𝟏𝟗𝟐
𝒍𝒂 𝒔𝒖𝒎𝒂 𝒅𝒆 𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐𝒔: 𝟏𝟏𝒌 = 𝟗
𝟎
𝒌 = 𝟗
𝟎
𝒍𝒂 𝒅𝒊𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒅𝒆 𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐𝒔: 𝟓𝒌 = 𝟓𝟓
𝟎
𝒌 = 𝟏𝟏
𝟎 𝒌 = 𝟗𝟗
𝟎
𝑬𝒍 𝒎𝒆𝒏𝒐𝒓 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒅𝒆𝒍 𝒅𝒆𝒏𝒐𝒎𝒊𝒏𝒂𝒅𝒐𝒓: 𝒃 = 𝟖𝒌
𝟗𝟗
𝒃 = 𝟕𝟗𝟐
𝒍𝒂 𝒔𝒖𝒎𝒂 𝒅𝒆 𝒄𝒊𝒇𝒓𝒂𝒔 𝒅𝒆𝒍 𝒅𝒆𝒏𝒐𝒎𝒊𝒏𝒂𝒅𝒐𝒓 𝒆𝒔 𝟏𝟖
64
Problema 24
Si : 𝟎, 𝒂𝒂𝒂… 𝟎, 𝟐𝒂 𝟐𝒂 𝟐𝒂 … =
𝒂−𝟐 𝒂+𝟓
𝒂+𝟓 𝒂−𝟐
Calcule la suma de los términos de la fracción generatriz que da origen a
la fracción decimal periódica pura: 𝟎, 𝒂 + 𝟏 𝒂 + 𝟐 𝒂 + 𝟏 𝒂 + 𝟐 …
A) 12 B) 16 C) 20 D) 22 E) 24
Resolución: 𝑺𝒆 𝒕𝒊𝒆𝒏𝒆:
𝟎, 𝒂𝒂𝒂… 𝟎, 𝟐𝒂 𝟐𝒂 𝟐𝒂 … =
𝒂 − 𝟐 𝒂 + 𝟓
𝒂 + 𝟓 𝒂 − 𝟐𝒂
𝟗
𝟐𝒂
𝟗
𝟐𝒂𝟐
𝟖𝟏
=
𝒂 − 𝟐 𝒂 + 𝟓
𝒂 + 𝟓 𝒂 − 𝟐
𝒂 = 𝟑
𝟎, 𝒂 + 𝟏 𝒂 + 𝟐 𝒂 + 𝟏 𝒂 + 𝟐 … = 𝟎, 𝟒𝟓𝟒𝟓𝟒𝟓…
0, ෢𝟒𝟓 =
𝟒𝟓
𝟗𝟗
0, ෢𝟒𝟓 =
𝟓
𝟏𝟏
𝒍𝒂 𝒔𝒖𝒎𝒂 𝒅𝒆 𝒍𝒐𝒔 𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐𝒔 𝒆𝒔 𝟏𝟔
65
PROBLEMA 25
Determine el valor de 𝑀: 𝑴 = 𝟏 +
𝟏
𝟕
𝟏 +
𝟏
𝟕𝟐
𝟏 +
𝟏
𝟕𝟒
… 𝟏 +
𝟏
𝟕𝟐
𝒏
A) 1 −
1
72
𝑛+1 B) 1 + 7
2𝑛+1 C)
7
6
1 −
1
72
𝑛+1 D)
2
7
1 +
1
72
𝑛+1 E)
7
2
1 +
1
72
𝑛+1
Resolución
𝑀𝑛 = 1 +
1
7
+
1
72
+
1
73
+
1
74
+
1
75
+⋯+
1
72
𝑛
𝑀1 = 1 +
1
7
𝑀2 = 1 +
1
7
+
1
72
+
1
73
……………………………..
=
7 + 1
7
=
72 − 1
7 − 1
7
=
72 − 1
6(7)
=
72
1
− 1
6(72
1−1)
=
73 + 72 + 7 + 1
73
=
74 − 1
7 − 1
73
=
74 − 1
6(73)
=
72
2
− 1
6(72
2−1)
=
72
𝑛+1
− 1
6 72
𝑛+1−1
=
7
6
1 −
1
72
𝑛+1
66
Resolución
2 1 3 4
2
2
9
9
29
29
38105 1
1
𝐿𝑢𝑒𝑔𝑜: 𝑎 = 2, 𝑏 = 1, 𝑐 = 3, 𝑑 = 4, 𝑒 = 2
2
𝑑𝑒
𝑏 3𝑐 𝑏𝑎
=
42
1912
=
21
956
=
21
22. 239
Cifras no periódicas = 2
PROBLEMA 26
Sea 𝒂, 𝒃, 𝒄, 𝒅 ∈ ℤ+ ; además:
𝟏𝟎𝟓
𝟑𝟖
= 𝒂 +
𝟏
𝒃+
𝟏
𝒄+
𝟏
𝒅+
𝟏
𝒆
. Calcule la suma de la
cantidad de cifras no periódicas y periódicas que origina la fracción:
𝒅𝒆
𝒃 𝟑𝒄 𝒃𝒂
A) 5 B) 7 C) 9 D) 10 E) 12
Cifras periódicas = 7
Suma de Cifras = 9
(𝑆𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 9999999 = 32𝑥239𝑥4649)
67
PROBLEMA 27
Si: 0, ෢𝑎𝑏8 =
1
5
+
3
25
+
1
125
+
3
625
+⋯ Determine la cantidad de cifras no
periódicas de la fracción 𝑓 =
𝑎𝑏(𝑏+1)(𝑎−2)(𝑎−2)
(𝑏+1)(𝑎+2)!− 𝑏−2 𝑎!
A) 14 B) 17 C) 19 D) 21 E) 24
Resolución
𝐷𝑎𝑡𝑜: 0, ෢𝑎𝑏8 = 0, ෢135 =
135
445
=
8
24
𝐴 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 8:
1
3
𝑥8 = 2.6666
0.666 𝑥 8 = 5.3333
0.333 𝑥 8 = 2.6666
= 0,෢258
𝐿𝑢𝑒𝑔𝑜 𝑎 = 2, 𝑏 = 5:
𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: 𝑓 =
25600
64! − 32!
𝑓 =
210. 52
263514𝑝 − 23157𝑞
𝑓 =
1
22155(23257𝑝 − 𝑞)
=
1
22155. 𝑟
Cifras no periódicas = 21
=
1𝑥21
3𝑥21
=
21
63
=
258
778
Otra forma:
=
1
3
= 0,෢258
=
1
253512𝑝 − 22155𝑞
68
Problema 28
Si 
𝟐
𝒙
= ෣𝟎,𝒂𝒃𝒄𝒅𝒆𝒇 y 
𝟓
𝒙
= 𝟎, ෣𝒅𝒆𝒇𝒂𝒃𝒄 . Calcule 𝒙 , si 𝒅𝒆𝒇 − 𝒂𝒃𝒄 = 𝟒𝟐𝟗
A) 7 B) 13 C) 21 D) 39 E) 41
RESOLUCIÓN
𝟐
𝒙
=
𝒂𝒃𝒄𝒅𝒆𝒇
𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗
Como:
𝟓
𝒙
=
𝒅𝒆𝒇𝒂𝒃𝒄
𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗
𝟐
𝒙
=
𝟏𝟎𝟎𝟎𝒂𝒃𝒄+𝒅𝒆𝒇
𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗
(1)
𝟓
𝒙
=
𝟏𝟎𝟎𝟎𝒅𝒆𝒇+𝒂𝒃𝒄
𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗
(2)
Restando (2) –(1) se tiene:
𝟑
𝒙
=
𝟏𝟎𝟎𝟎(𝒅𝒆𝒇 − 𝒂𝒃𝒄) − (𝒅𝒆𝒇 − 𝒂𝒃𝒄)
999999
𝟑
𝒙
=
𝟗𝟗𝟗 ∗ 429
999999
x=7
CLAVE A
𝟎, ෣𝒂𝒃𝒄𝒅𝒆𝒇 =
𝒂𝒃𝒄𝒅𝒆𝒇
𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗
𝟎, ෣𝒅𝒆𝒇𝒂𝒃𝒄 =
𝒅𝒆𝒇𝒂𝒃𝒄
𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗
𝟑
𝒙
=
(33∗ 37) ∗ (3 ∗ 11 ∗ 13)
33 ∗ 37 ∗ 7 ∗ 11 ∗ 13
69
Problema 29
De un tonel lleno de vino puro se utiliza la tercera parte. Luego se le llena 
de agua. Más tarde se vende la quinta parte y se le vuelve a llenar de 
agua. Finalmente, se vende la mitad. ¿Qué fracción de vino puro queda 
aún en el tonel?
A) 
2
15
B)
4
15
C) 
3
15
D) 11 E) 12
RESOLUCIÓN
1era extracción, queda:
1
3
𝑎𝑔𝑢𝑎
2
3
𝑣𝑖𝑛𝑜
2da extracción, queda:
4
5
∗
2
3
𝑣𝑖𝑛𝑜
3era extracción, queda:
1
2
∗
4
5
∗
2
3
𝑣𝑖𝑛𝑜
Queda= 
4
15
CLAVE B
70
Problema 30
Si
𝒂
𝟔
+
𝒃
𝟑𝟔
+
𝒄
𝟐𝟏𝟔
+
𝒅
𝟏𝟐𝟗𝟔
=
𝟏𝟓𝟑
𝟒𝟑𝟐
. Calcule: 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 + 𝒅 , son cifras
menores que 6.
A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12
RESOLUCIÓN
𝑎
6
+
𝑏
62
+
𝑐
63
+
𝑑
64
=
153
432
𝑎𝑏𝑐𝑑 6
64
=
153
432
𝑎𝑏𝑐𝑑 6 = 459
459 6
763 6
124 6
20
𝑎 = 2 ∧ 𝑏 = 0 ∧ 𝑐 = 4 ∧ 𝑑 = 3
𝒂 + 𝒃 + 𝒄 + 𝒅 = 𝟗 CLAVE B