Matematica para nacional-2022

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matemática 
PARA NACIONAL
TEXTO PREPARACIÓN 
PRUEBA DE TRANSICIÓN 
MATEMÁTICA
Editorial Moraleja
www.moraleja.cl
editorial@moraleja.cl
MATEMÁTICA PARA nacional
TEXTO PREPARACIÓN PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMÁTICA
© Inscripción Nº 275.203
Derechos reservados
Noviembre 2021
I.S.B.N 978-956-7275-20-5
Sexta edición
Noviembre 2021
AUTORES | Javiera Carlevarino - Andrés Mardones - Claudio Muñoz
COLABORADOR | Laura Valenzuela
DISEÑADORES | Illiana Medina - Valentina Saba 
Jorge Vergara - Bárbara Meza - Esteban Rosales
DIAGRAMACIÓN | Matías Mardones
DISEÑOS | Freepik
MULTIMEDIA | Esteban Rosales
DIRECTOR EDITORIAL | Andrés Mardones
Edición: Moraleja Editorial
Imprenta: Salesianos Impresores
Fecha impresión: Noviembre 2021
Portadas: Couche 350 grs
Páginas: pág. Papel Bond 70 grs.
Tamaño: 21 x 29,7 cm
Peso: 1,65 Kg. aprox.
AGRADECIMIENTOS ESPECIALES
Queremos agradecer a todos quienes de una u otra manera han ayudado al mejoramiento 
de este texto de estudio, dedicando tiempo y energías en ello, en especial a: Ana María 
Bascuñan - Antonella Castagno - Belén Salman - Camila Moletto - Carlos Wiedmaier - Carmen 
Poblete - Carolina Paz - Catalina Lizama - Constanza Bascuñan - Constanza Pinochet - Cristóbal 
Bascuñán - Daniela Torres - Darwin Parada - Eduardo Cancino - Emilio Rioseco - Esteban Carrasco 
- Esteban López - Fernando Hunvi - Francisca Urrutia - Francisca Vejar - Gregorio Guesalaga - 
Guillermo Torrealba - Horacio Fernández - Ignacio Ariztia - Ignacio Frías - Isabel Salazar - Isidora 
Benavente - Jordan Hernández - Jorge Díaz - Jorge Frei - Jose Bustamante - Jose Joaquín Lagos - 
José Tomas Landon - Josefa Acevedo - Macarena Frei - Macarena Fuenzalida - Marsh Morgenstern 
- Martín Zabala - Matías Talamilla - Matilde Naretto - Maximiliano Concha - Michelle Cea - Nicolas 
Liberon - Oscar Paredes - Patricia Tocornal - Paula Cruz - Pedro Lettich - Pilar Fernández - Sebastián 
Albarracín - Sofía Marcone - Sofia Valdés - Stefano Roncatti - Tomas Müller - Tomás Vial - Vicente 
Cordero - Viviana Destin - Ximena Torres - Tomas Salazar Triviño - Catalina Hidalgo
AGRADECIMIENTOS A INSTITUCIONES
También agradecer a las instituciones que hasta el momento han reconocido el 
trabajo y han confiado en nuestros textos para enseñar a sus alumnos.
Material protegido bajo derecho de autor. 
Prohibida su reproducción parcial o total sin el consentimiento explícito de Editorial Moraleja.
Índice
ii
Índice
Matemática Para Nacional iii
Capítulo 1 | NÚMEROS ENTEROS
10 | CONJUNTOS NUMÉRICOS
10 | Números enteros
10 | Valor absoluto
Propiedades del valor absoluto
11 | ORDEN EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS 
ENTEROS
13 | LAS CUATRO OPERACIONES BÁSICAS EN LOS 
ENTEROS
13 | Adición y Sustracción
13 | Multiplicación y División
14 | MÚLTIPLOS Y DIVISORES
14 | Múltiplos
14 | Divisores
15 | PARIDAD E IMPARIDAD
15 | PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES EN LOS 
NÚMEROS ENTEROS
15 | Propiedad Conmutativa
16 | Propiedad Asociativa
16 | Propiedad Distributiva
16 | Neutro Aditivo y Neutro Multiplicativo
16 | Inverso Aditivo
16 | Elemento Absorvente
17 | Prioridad de las operaciones
17 | CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
20 | NÚMEROS PRIMOS, COMPUESTOS Y TEOREMA 
FUNDAMENTAL
21 | MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (m.c.m) Y 
MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D)
21 | Mínimo común múltiplo (m.c.m) 
21 | Máximo común divisor (M.C.D)
22 | Problemas de aplicación
22 | EVALUAR EXPRESIONES
23 | ENUNCIADOS FRECUENTES
Capítulo 2 | NÚMEROS RACIONALES
36 | NÚMEROS RACIONALES
36 | FRACCIONES
36 | Tipos de fracciones
Fracción propia
Fracción impropia
Fracción decimal
Fracción Mixta o Número Mixto
37 | Fracciones indefinidas e indeterminadas
37 | Fracciones equivalentes
Amplificación y simplificación de una fracción
37 | Fracciones Irreductibles
38 | Operatoria con fracciones
Operaciones básicas
39 | PROPIEDADES DE LA OPERATORIA EN Q.
Cerradura
Existencia de Inversos
Distributividad del producto respecto a la suma
43 | NÚMEROS DECIMALES
43 | Tipos de números decimales
Decimal finito
Decimal infinito periódico
Decimal infinito semi–periódico
43 | Operatoria con decimales
Adición y sustracción
Multiplicación
División
44 | Transformación de decimales a fracciones
De decimales finitos a fracciones
De decimales periódicos a fracciones
De decimales semi–periódicos a fracciones
44 | Relación de orden en fracciones positivas
Multiplica ción cruzada
Igualar denominadores
Igualar numeradores
Convertir a número decimal
47 | APROXIMACIONES
47 | Aproximación por defecto y exceso
47 | Truncar y redondear
Capítulo 3 | PORCENTAJES
63 | ¿QUÉ ES UNA RAZÓN?
63 | PROPORCIONALIDAD DIRECTA
64 | ¿QUÉ ES UN TANTO POR CIENTO?
64 | Cálculo de un tanto por ciento de un valor
65 | Porcentaje como fracción de un número
65 | Cálculo rápido de algunos porcentajes
66 | PORCENTAJE DE UN PORCENTAJE
69 | PORCENTAJES DESCRIBIENDO CAMBIOS
69 | Cambio absoluto
69 | Cambio relativo
70 | PORCENTAJES Y SU USO EN LA 
COMPARACIÓN
70 | Cambiando el valor de referencia
70 | Cambiando el valor a comparar
71 | APLICACIÓN DE PORCENTAJES
71 | Interés simple
72 | Interés compuesto
Capítulo 4 | NÚMEROS REALES
88 | NÚMEROS IRRACIONALES
88 | NÚMEROS REALES
88 | POTENCIAS EN LOS REALES
89 | Signo de una potencia
Exponente par
89 | Propiedades de las potencias
Multiplicación de potencias de igual base
División de potencias de igual base
Potencia de una potencia
Multiplicación de potencias de distinta base e igual 
exponente
División de potencias de distinta base e igual 
exponente
Potencias de exponente negativo
Fracciones con exponente negativo
Suma y resta de potencias
90 | NOTACIÓN CIENTÍFICA
ÍNDICE
Índice
iv
93 | RAÍCES EN LOS REALES
93 | Propiedades de las raíces reales
Multiplicación de raíces de igual índice
División de raíces de igual índice. 
Factor positivo de una raíz como factor sub–radical
Raíz de una raíz
Raíz como potencia
94 | Relación de orden de las raíces reales
Iguales índices
Iguales cantidades sub–radicales
Distintos índices y distintas cantidades sub–radicales
94 | Suma de raíces
95 | Consideraciones en la operatoria de números 
reales
Capítulo 5 | ÁLGEBRA
111 | ÁLGEBRA
111 | Lenguaje algebraico
111 | Operatoria de expresiones algebraicas
Reducción de términos semejantes
Multiplicación de polinomios
Productos Notables
116 | Factorizar expresiones algebraicas
Factor común
Factor común compuesto
Asociado a productos notables
Otros
119 | M.C.D. y m.c.m
M.C.D (Máximo Común Divisor)
m.c.m ( mínimo común múltiplo )
119 | Operatoria con fracciones algebraicas
Simplificación de fracciones algebraicas
Adición y sustracción
Multiplicación y División
120 | Operaciones definidas
Capítulo 6 | ECUACIONES Y 
SISTEMAS DE ECUACIONES
136 | ECUACIÓN DE PRIMER GRADO
136 | Tipos de soluciones de una ecuación de primer 
grado
137 | Ecuaciones Fraccionarias de primer grado
137 | Ecuaciones Literales
138 | Ecuaciones con valor absoluto
141 | SISTEMAS DE ECUACIONES
141 | Métodos de resolución de sistemas de 
ecuaciones
Método de sustitución
Método de igualación
Método de reducción
142 | Análisis de sistemas de ecuaciones
Tiene solución única si:
Tiene infinitas soluciones si:
No tiene solución si:
145 | PROBLEMAS DE PLANTEAMIENTO
145 | Problemas con fracciones
145 | Problemas de dígitos
146 | Problemas de edades
146 | Problema tipo caudales o trabajos
Capítulo 7 | POTENCIAS Y RAÍCES
162 | POTENCIAS
Multiplicación de potencias de igual base. 
División de potencias de igual base.
Potencia de una potencia.
Multiplicación de potencias de distinta base e igual 
exponente.
División de potencias de distinta base e igual 
exponente.
Potencias de exponente negativo. 
Fracciones con exponente negativo.
Potencia de exponente racional.
163 | ECUACIÓN EXPONENCIAL CON IGUALACIÓN 
DE BASES
166 | RAÍCES
166 | Definiciones
167 | Propiedades de las raíces en R
Multiplicación de raíces de igual índice. 
División de raíces de igual índice. 
Raíz de una raíz.
Raíz de una potencia
Factor de una raíz como factor sub–radical
Amplificación y simplificación de unaraíz
170 | Racionalización
170 | ANEXO: DENOMINADOR CON SUMAS DE 
RAÍCES CÚBICAS
171 | ANEXO: ECUACIÓN IRRACIONAL
Control 1 | NÚMEROS Y ÁLGEBRA
Capítulo 8 | DESIGUALDADES E 
INECUACIONES
195 | DESIGUALDADES
195 | Propiedades
196 | Intervalos
200 | INECUACIONES
200 | Inecuaciones de primer grado con una incógnita
203 | Problemas de inecuaciones
204 | Anexo: Inecuaciones de segundo grado y 
fraccionarias
Capítulo 9 | LOGARITMOS
218 | LOGARITMOS
218 | Propiedades de los logaritmos
Logaritmo de 1
Logaritmo de la base
Logaritmo de un producto
Logaritmo de una potencia
Logaritmo de una división
Cambio de base
Reducción vía producto
Logaritmos con base una potencia
Cambio de signo
220 | Relación de orden de logaritmos
Caso 1: Bases iguales
Caso 2: Bases distintas y argumentos distintos
225 | ANEXO: ECUACIÓN LOGARÍTMICA
225 | ANEXO: ECUACIÓN EXPONENCIAL CON 
DISTINTA BASE
Capítulo 10 | ECUACIONES DE 
SEGUNDO GRADO
237 | ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
237 | Métodos de resolución
Vía factorización
Vía completación de cuadrados
Vía la utilización de la fórmula general
239 | Propiedades de las soluciones
239 | Plantear una posible ecuación cuadrática, 
conocidas sus soluciones
242 | Naturaleza de las soluciones utilizando el 
discriminante
242 | Resolver ecuaciones usando variables auxiliares
Índice
Matemática Para Nacional v
245 | Problemas de aplicación
Capítulo 11 | FUNCIÓN LINEAL Y 
AFÍN
259 | FUNCIONES
259 | Funciones en el plano cartesiano
260 | Valorización de funciones
260 | FUNCIONES REPRESENTADAS COMO RECTAS
260 | Función Constante
261 | Función lineal
262 | Función Identidad
263 | Función Afín
264 | FUNCIONES DEFINIDAS POR TRAMOS
268 | APLICACIONES LINEALES
Capítulo 12 | FUNCIÓN CUADRÁTICA
285 | Concavidad
285 | Dominio y Recorrido
286 | Intersección con los ejes
Cantidad de intersecciones con el eje x
289 | Eje de simetría y vértice
289 | Máximo y mínimo
289 | Desplazamientos y reflexión vertical
Traslación horizontal de la función f(x) = x
2
Traslación vertical de la función f(x) = x
2
Traslación horizontal y contracción (o dilatación) 
de la función f(x) = x
2
Reflexión vertical
295 | Problemas de aplicación
298 | ANEXO : Función inversa de una función 
cuadrática
Control 2 | ÁLGEBRA Y FUNCIONES
Capítulo 13 | FIGURAS 
GEOMÉTRICAS
327 | TRIÁNGULO
327 | Elementos secundarios del triángulo
Altura
Bisectriz
Simetral
Mediana
Transversal de gravedad
330 | Áreas y perímetros en triángulos
330 | Cálculo de áreas – Casos frecuentes
Triángulo rectángulo
Triángulo obtusángulo
Triángulo equilátero
330 | Teorema de Pitágoras
Tríos Pitagóricos
Triángulos Notables
333 | CUADRILÁTEROS
Paralelogramos
Trapecios
Trapezoides
333 | Paralelogramos
Propiedades comunes
Clasificación de paralelogramos
Cuadrado
Rectángulo
Rombo
Romboide
334 | TRAPECIO
Trapecios notables
337 | CÍRCULO
Circunferencia v/s Círculo
Sector Circular
Segmento Circular
Capítulo 14 | SEMEJANZA
352 | CONGRUENCIA
352 | SEMEJANZA
353 | Criterios de semejanza de triángulos
354 | Razón de semejanza
354 | MODELOS A ESCALA
355 | DIVISIÓN INTERIOR DE TRAZOS
359 | HOMOTECIA
360 | TEOREMA DE THALES
Capítulo 15 | TRANSFORMACIONES 
ISOMÉTRICAS
377 | SISTEMA CARTESIANO
377 | Distancia entre puntos y Punto medio
Distancia entre puntos
Punto medio de un segmento
378 | VECTORES
378 | Operatoria geométrica
378 | Vectores en el plano
379 | Operatoria aritmética
Adición y sustracción
Vectores no anclados en el origen
Módulo o Magnitud de un vector
Ponderación por un escalar
382 | TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS
382 | Traslación
382 | Simetría central
Figuras con centro de simetría
383 | Simetría axial
Algunas figuras con ejes de simetría
384 | Rotación
Rotaciones en torno al origen del plano cartesiano
Rotaciones en torno a un punto distinto al origen
Control 3 | GEOMETRÍA
Capítulo 16 | ESTADÍSTICA
418 | ANÁLISIS DE DATOS
418 | Tabulación de datos
Tablas de frecuencias para datos no agrupados
Tablas de frecuencias para datos agrupados en 
intervalos
420 | Representación gráfica e interpretación de 
gráficos
Histogramas
425 | MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL (MTC)
425 | MTC para datos sin agrupar
Media ( X )
Moda
Mediana
425 | MTC para datos en tabla sin intervalos
Media ( X )
Moda
Mediana
427 | MTC para datos agrupados en tabla con 
intervalos
Media ( X )
Intervalo modal
Intervalo que contiene a la mediana
Índice
vi
432 | MEDIDAS DE POSICIÓN
432 | Percentiles
Percentiles para datos sin agrupar
Percentiles para datos en tabla sin intervalos
Intervalo que contiene a un percentil k
433 | Cuartiles
Diagrama de caja
Capítulo 17 | PROBABILIDADES
452 | TÉCNICAS DE CONTEO
452 | Principio Multiplicativo
453 | Principio Aditivo
453 | Permutación usando todos los elementos
Permutación lineal simple
Permutación circular
Permutación con elementos repetidos
454 | Variación o permutación sin usar todos los 
elementos
Variación con repetición (reposición)
Variación sin repetición (reposición)
454 | Combinación
Combinación con elementos repetidos
Combinación sin elementos repetidos
455 | CUADRO RESUMEN DE TÉCNICAS DE CONTEO
458 | PROBABILIDAD BÁSICA
458 | Nociones básicas de las probabilidades
458 | Probabilidad clásica o regla de Laplace
459 | Determinación de casos favorables y totales
Diagrama del árbol
Triángulo de Pascal
465 | SUMA Y PRODUCTO DE PROBABILIDADES
465 | Suma de probabilidades
Mutuamente excluyentes
No mutuamente excluyentes
466 | Producto de probabilidades
Eventos independientes
Eventos dependientes
Control 4 | ESTADÍSTICA Y 
PROBABILIDADES
anEXo 1 | NÚMEROS COMPLEJOS
499 | NÚMEROS IMAGINARIOS
499 | Unidad imaginaria
499 | Potencias de i
499 | Números imaginarios
500 | NÚMEROS COMPLEJOS
500 | Representación
Forma binomial
Forma cartesiana o par ordenado
Vector
500 | Igualdad de complejos
500 | Real puro e Imaginario puro
500 | Valor absoluto o módulo de un complejo
500 | Conjugado de un complejo
501 | Adición y sustracción de complejos
Adición
Sustracción
501 | Multiplicación de complejo por un escalar
501 | Multiplicación de complejos
501 | Inverso multiplicativo de un complejo
502 | División de complejos
anEXo 2 | FUNCIONES Y FUNCIÓN 
POTENCIA
517 | FUNCIONES
517 | Funciones Pares e Impares
Función Par
Función Impar
517 | Determinar el dominio y recorrido de una función
Dominio
Recorrido
518 | Función inversa
519 | Composición de funciones
Dominio de una composición
Recorrido de una composición
520 | Intervalos de crecimiento y decrecimiento
Función Creciente
Función Decreciente
Función Constante
520 | Traslación de funciones
Desplazamiento vertical
Desplazamiento horizontal
Desplazamiento compuesto
521 | Reflexión de funciones
Reflexión respecto al eje y
Reflexión respecto al eje x
521 | FUNCIONES INYECTIVAS, SOBREYECTIVAS Y 
BIYECTIVA
Función Inyectiva
Función Sobreyectiva
Función Biyectiva
523 | FUNCIÓN POTENCIA
523 | Exponente positivo par
523 | Exponente positivo impar
523 | Exponente negativo par
524 | Exponente negativo impar
anEXo 3 | CONCEPTOS BÁSICOS DE 
GEOMETRÍA
534 | ÁNGULOS
535 | Clasificación de los ángulos
De acuerdo a su medida en grados.
De acuerdo a la suma de sus medidas
De acuerdo a su posición
536 | Ángulos formados en rectas paralelas que son 
cortadas por una transversal
Casos Frecuentes
537 | TRIÁNGULOS
537 | Clasificación de los triángulos
Según sus lados
Según la medida de sus ángulos interiores
538 | Otras relaciones en triángulos
Relación entre los lados
Relación entre los ángulos
538 | ELEMENTOS SECUNDARIOS DEL TRIÁNGULO
Altura
Bisectriz
Simetral
Mediana
Transversal de gravedad
539 | TEOREMA EUCLIDES
Fórmulas referentes a la altura
Fórmulas referente a los catetos
540 | POLÍGONOS
Propiedades de polígonos de n lados
Polígonos Regulares
540 | TRAPEZOIDE
Trapezoide asimétrico
Trapezoide simétrico (deltoide)
541 | CIRCUNFERENCIA
541 | PROPORCIONES EN LA CIRCUNFERENCIA
Teorema de las secantes
Índice
Matemática Para Nacional vii
Teorema tangente–secante
Teorema de las cuerdas
Caso particular de las cuerdas
Tangentes desdeun punto 
Cuadrilátero circunscrito a una circunferencia 
543 | CUERPOS
543 | Poliedro
543 | Cuerpos redondos
543 | Cuerpos generados por rotación o traslación de 
figuras planas
Cuerpos de revolución
Cuerpos de traslación
544 | Fórmulas de Cuerpos 
Cubo
Paralelepípedo
Prisma
Pirámides
Cilindros
Conos
Esferas
anEXo 4 | PLANO CARTESIANO
554 | ECUACIÓN DE LA RECTA
Forma principal
554 | Determinando la ecuación de la recta
Punto y pendiente
Intersección con los ejes coordenados
555 | Casos especiales
Recta paralela al eje x
Recta paralela al eje y
555 | POSICIONES RELATIVAS DE RECTAS EN EL 
PLANO
555 | Rectas paralelas y perpendiculares
Rectas paralelas
Rectas perpendiculares
556 | Análisis de soluciones de sistemas de 
ecuaciones
Rectas secantes
Rectas coincidentes
Rectas paralelas no coincidentes
anEXo 5 | VARIABLE ALEATORIA Y 
FUNCIÓN DE PROBABILIDAD
566 | VARIABLE ALEATORIA
Variable Cualitativa
Variables cuantitativas discretas
Variables cuantitativas continuas
567 | FUNCIÓN DE PROBABILIDAD
567 | FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE 
PROBABILIDAD ACUMULADA
568 | ESPERANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA 
DISCRETA
568 | Relación entre esperanza y varianza
570 | Esperanza en juegos de azar
anEXo 6 | DISTRIBUCIÓN NORMAL Y 
BINOMIAL
588 | DISTRIBUCIÓN NORMAL
Propiedades de la distribución Normal
588 | Distribución normal estándar
Propiedades
Estandarizar una variable X
Intervalos de una distribución normal
593 | DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
593 | Función de probabilidad de una distribución 
binomial
594 | Función de distribución acumulada de la 
distribución binomial
594 | Esperanza y varianza de la distribución binomial
594 | Aproximación de la probabilidad binomial por la 
probabilidad de la normal
Índice
viii
Índice
Matemática Para Nacional ix
10
1. CONJUNTOS NUMÉRICOS
Los conjuntos numéricos que estudiaremos son:
Números Naturales: N = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , ... }
Números Cardinales: N0 = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , ... }
Números Enteros: Z = { ... , –2 , –1 , 0 , 1 , 2 , ... }
Números Racionales Q. Ejemplos: { 1 , 0,2 , 3
4– , 2,31 , ... }
Números Irracionales Q*. Ejemplos: { 2 , p , 35 , ... }
Números Reales R. Ejemplos: { 7 , 3p , 84 , log 3 , ... }
Números Imaginarios I. Ejemplos: { i , 2i , 3 i , 3
2 i , ... }
Números Complejos C. Ejemplos: { 1 , – i , 3 + 2i , 1 – i , ... }
N
N0
Z
Q Q* I
C
R
a. Números enteros
Los números enteros Z, incluyen a los números naturales, a los opuestos de estos y al cero. Estos 
se representan en la recta numérica horizontal, quedando los positivos a la derecha del cero 
y los negativos a la izquierda.
0 1– 4– 5 3 4– 2 2– 3 5– 1
Z
N = Z 
+
Z 
–
El conjunto de los números enteros es un conjunto ordenable y, por lo mismo, podemos com-
parar sus valores y decidir si dos números enteros son iguales o distintos, y si son distintos, cuál 
de ellos es el mayor y cuál es el menor.
b. Valor absoluto
El valor absoluto de un número x se escribe |x| y su valor corresponde a la distancia que existe 
entre el número x y el 0. Así, el valor de |x| es siempre mayor o igual a 0, pues corresponde a 
una distancia y por tanto no puede ser negativo. Por lo tanto, para cualquier valor real x , se 
tendrá que |x|≥ 0.
–3 –2 –1 0 1 2 3
 |–3| = 3 |3| = 3
 
=x
x si x
x si x
0
0
– 1
$*
 TIP:
Para cualquier par de valores a y b, siempre se cumple que: |a – b|=|b – a|. 
Ejemplo: |7 – 3|=|4|= 4 y |3 – 7|=|– 4|= 4
“Vive como si fueses a morir 
mañana. Aprende como si fueses 
a vivir siempre”
— MAHATMA GANDHI —
ABOGADO, PENSADOR Y POLÍTICO
Capítulo 1
NÚMEROS 
ENTEROS
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moraleja.cl/mpn6-1
Números Enteros | Capítulo 1
Matemática Para Nacional 11
i. Propiedades del valor absoluto
Para cualquier par de valores a y b, sus valores absolutos siempre cumplirán con las siguientes 
propiedades:
1. Multiplicación: 2. División: 3. Potencia: 
a b a b$ $=
b
a
b
a= , con b ≠ 0. a a
n n= , con n ! Z.
Ejemplo: 5 3 5 3 15– –$ $= = Ejemplo: 2
6
2
6 3– –= =
Ejemplo: 3 3 9– –2 2= =^ h
2. ORDEN EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS
En el conjunto de los números enteros existe una relación de orden entre sus elementos y, por 
ende, los podemos ordenar de menor a mayor. Para esto utilizamos lo que se conoce como 
“Ley de Tricotomía”, que señala que todo par de números, x e y, deben cumplir con una de 
las siguientes condiciones:
 2 “x es menor que y” y se escribe “x < y”.
 2 “x es igual a y” y se escribe “x = y”.
 2 “x es mayor que y” y se escribe “x > y”.
Es en esta lógica comparativa que necesitamos tener algún mecanismo para ordenar a estos 
elementos. La forma más simple que tenemos para decidir entre dos números distintos, cuál 
es el menor, es mirar su ubicación en la recta numérica, pues será menor aquel que esté más 
a la izquierda. No obstante lo anterior, también podemos decidir el orden entre dos o más 
números enteros a partir de su signo y su valor absoluto. Esto se reduce a:
 2 Si a y b son dos números enteros distintos y positivos, diremos que a es menor que b, y 
escribiremos a < b, cada vez que |a|<|b|.
Ejemplos: 2 8 < 10 , pues |8|<|10| 2 25 > 9 , pues|25|>|9|
 2 Si a y b son dos números enteros distintos y negativos, diremos que a es menor que b, y 
escribiremos a < b, cada vez que |a|>|b|.
Ejemplos: 2 – 3 > – 7 , pues |– 3|<|– 7| 2 – 10 < – 9 , pues|– 10|>|– 9|
 2 Si a y b son dos números enteros tales que a < 0 y b > 0, siempre diremos que a es menor que 
b, independiente de su valor absoluto.
Ejemplos: 2 – 8 < 10 , pues – 8 < 0 y 10 > 0 2 1 > – 190 , pues 1 > 0 y – 190 < 0
Ejemplos PDT
1. ¿Cuál(es) de las siguientes igualdades es(son) verdadera(s)?
(DEMRE 2014)
I. |– 3| ∙ |– 2| = |– 6|
II. |– 5| ∙ |5| = |– 5|2
III. |– 4| – |– 3| = – 1
A ) Solo I
B ) Solo II
C ) Solo III
D ) Solo I y II
Capítulo 1 | Números Enteros
12
2. El valor de ||–6|–|–6|| es:
A ) 0
B ) 6
C ) 12 
D ) 36
3. Sean los números enteros a, b y c. Se puede determinar cual de ellos es el menor si:
( 1 ) a – b < 0
( 2 ) a – c > 0
A ) ( 1 ) por sí sola
B ) ( 2 ) por sí sola
C ) Ambas juntas, ( 1 ) y ( 2 )
D ) Cada una por sí sola, ( 1 ) o ( 2 )
E ) Se requiere información adicional
4. ¿Cuál(es) de las relaciones siguientes es(son) falsa(s)?
I. |–5| > |–3|
II. |–5| < |0|
III. |–9| < |8|
A ) Solo II
B ) Solo I y III
C ) Solo II y III
D ) I, II y III
5. Si a > b , entonces |b – a|=
A ) a – b
B ) b – a
C ) a + b
D ) – a – b
6. Dados los números enteros a = |–6| , b = –|–1| , c = |2| y d = –( –| 0 | ), el orden creciente de ellos 
es:
A ) a , b , d , c
B ) a , d , c , b
C ) b , d , c , a
D ) d , c , b , a
Números Enteros | Capítulo 1
Matemática Para Nacional 13
3. LAS CUATRO OPERACIONES BÁSICAS EN LOS ENTEROS
a. Adición y Sustracción
Números de igual signo.
Para adicionar números de igual signo se deben sumar los 
valores absolutos de ellos conservando el signo común.
Ejemplos:
 2 5 + 7 = 12
 2 – 5 – 7 = – 12
Números de distinto signo.
Para adicionar números de distinto signo, primero determinamos 
los valores absolutos de cada número, y luego se resta el mayor 
menos el menor. Se conserva el signo del número cuyo valor 
absoluto sea mayor.
Ejemplos:
 2 5 – 7 = – 2
 2 –5 + 7 = 2
Tener en cuenta que restar un valor es equivalente a sumar el opuesto de ese mismo valor. Esto 
es: 8 – 5 = 8 + (–5) = 3
 TIPS: Si tenemos que calcular una sustracción, se dará uno de los siguientes escenarios:
 »Siempre que a un número mayor le restamos uno menor, el resultado es un número positivo.
Ejemplos: 
 2 7 – 5 = 2 2 2 – (–6) = 8 2 – 1 – (–8) = 7
 »Siempre que a un número menor le restamos uno mayor, el resultado es un número negativo.
Ejemplos: 
 2 3 – 6 = – 3 2 – 1 – 4 = – 5 2 – 5 – (–2) = – 3
b. Multiplicación y División
Números de igual signo.
Para multiplicar (o dividir) dos números de igual signo, se 
multiplican (o dividen) los respectivos valores absolutos de los 
números y el resultado siempreserá positivo.
Ejemplos:
 2 5 ∙ 7 = 35
 2 ( – 5 )∙ ( – 7 ) = 35
 2 10 : 2 = 5
 2 ( – 10 ) : ( – 2 ) = 5
Números de distinto signo.
Para multiplicar (o dividir) dos números de distinto signo, se 
multiplican (o dividen) los valores absolutos de los números, y 
el resultado siempre será negativo.
Ejemplos:
 2 5 ∙ ( – 7 ) = – 35
 2 ( – 5 )∙ 7 = –35 
 2 10 : ( – 2 ) = – 5
 2 ( – 10 ) : 2 = –5
Regla de los signos en multiplicación y división de números.
Números de 
igual signo
Números de 
igual signo
Números de 
igual signo
Números de 
igual signo
+ ∙ + = + + ∙ – = – + : + = + + : – = –
– ∙ – = + – ∙ + = – – : – = + – : + = –
Capítulo 1 | Números Enteros
14
4. MÚLTIPLOS Y DIVISORES
a. Múltiplos
Un número natural “a” es un múltiplo de un número natural “b”, si existe un k ! N, tal que 
a = k ∙ b.
Ejemplos:
 2 12 es múltiplo de 3, porque existe k = 4, tal que 12 = 3 ∙ 4.
 2 28 es múltiplo de 4, porque existe k = 7, tal que 28 = 7 ∙ 4.
 2 35 NO es múltiplo de 4, porque no existe un valor natural k, tal que 35 = k ∙ 4.
¿Cuántos múltiplos tiene un número natural? La respuesta es: Infinitos. Por ejemplo para el 3, 
se tiene que:
Múltiplos de 3 = { 3 , 6 , 9 , 12 , 15 , 18, ... etc }
Pero los múltiplos ¿son solo valores positivos? La respuesta es NO, pues una vez que avanzamos 
de conjunto numérico al conjunto de los números enteros necesitamos ampliar el concepto 
a los múltiplos negativos o al propio cero, pues 0 es múltiplo de todo número entero. Así, 
podríamos pensar en que los múltiplos de 3 serán ahora :
Múltiplos de 3 = { etc., ...... , – 18 , – 15 , – 12 , – 9 , – 6, – 3 , 0 , 3 , 6 , 9 , 12 , 15 , 18 , .... , etc. }
b. Divisores
Un número natural “b” es un divisor de un número natural “a”, si al dividir “a” en “b” obtenemos 
como cociente un natural y un resto igual a cero.
Ejemplos
 2 4 es divisor de 20, porque 20 : 4 = 5 y su resto es 0. 
 2 7 es divisor de 14, porque 14 : 7 = 2 y su resto es 0.
 2 8 NO es divisor de 15, porque 15 : 8 = 1, pero su resto es 7.
¿Cuántos divisores tiene un número natural? Eso depende de cada número. Por ejemplo:
 2 Divisores de 10 = { 1 , 2 , 5 , 10 } , son 4.
 2 Divisores de 24 = { 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 12 , 24 } , son 8.
 2 Divisores de 5 = { 1 , 5 }
Según esta definición, todo número natural mayor que 1 tendrá al menos 2 divisores: el número 
1 y el número mismo. 
Igual que en el caso de los múltiplos, podríamos preguntarnos si los divisores ¿son solo valores 
positivos?. La respuesta es nuevamente NO, pues en el conjunto de los números enteros 
necesitamos ampliar el concxepto a los divisores negativos. Así, podríamos pensar por ejemplo 
los divisores negativos de 8, que serían:
Divisores negativos de 8 = { – 8 , – 4 , – 2 , –1 }
Notemos también que 0 tiene infinitos divisores, pero que 0 no es divisor de ningún número.
Números Enteros | Capítulo 1
Matemática Para Nacional 15
5. PARIDAD E IMPARIDAD
En el conjunto de los números enteros, se dice que un número es Par, cada vez que se trate de 
un múltiplo de 2. En caso contrario, diremos que ese número es Impar.
Ejemplos
 2 Son pares : 28 , – 4 , 16 , – 400 , etc. (cualquier número entero que sea múltiplo de 2).
 2 Son impares : 17 , – 9 , 113 , 501 , etc. (todo número que no sea múltiplo de 2).
 TIP:
 » Si bien el número 0 no es positivo ni negativo, sí es un número par.
Cada vez que operemos entre números pares e impares se dará alguna de las siguientes 
situaciones:
TIPS: Siempre se cumple que:
 » La suma o resta de dos números pares, 
siempre nos dará como resultado un 
número par.
Ejemplos:
 2 2 + 4 = 6
 2 – 14 + 8 = – 6
 » La suma o resta de dos números impares, 
siempre da como resultado un número par.
Ejemplos:
 2 3 + 7 = 10
 2 11 – 5 = – 6
 » La suma o resta de un número par y un 
impar, siempre da como resultado un 
número impar.
Ejemplos:
 2 7 + 2 = 9
 2 16 – 5 = 11
 » La multiplicación de dos números pares, 
siempre da como resultado un número par.
Ejemplos:
 2 8 ∙ 4 = 32
 2 10 ∙ – 2 = – 20
 » La multiplicación de un número par y un 
impar, siempre da como resultado un 
número par.
Ejemplos:
 2 7 ∙ 4 = 28
 2 – 4 ∙ – 9 = 36
 » La multiplicación de dos números impares, 
siempre da como resultado un número 
impar.
Ejemplos:
 2 7 ∙ 5 = 35
 2 – 3 ∙ 9 = – 27
6. PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES EN LOS NÚMEROS ENTEROS
a. Propiedad Conmutativa
La adición y la multiplicación en los enteros cumplen con la propiedad conmutativa, esto sig-
nifica que el resultado es el mismo, independiente del orden en que se ubiquen los elementos 
en la operación. Es decir, si a y b son números enteros, se cumple que: 
a + b = b + a y a ∙ b = b ∙ a
Ejemplos:
 2 5 + 6 = 11 y 6 + 5 = 11
∴ 6 + 5 = 5 + 6
 2 6 ∙ 7 = 42 y 7 ∙ 6 = 42
∴ 6 ∙ 7 = 7 ∙ 6
Capítulo 1 | Números Enteros
16
b. Propiedad Asociativa
La adición y la multiplicación en los enteros cumplen con la propiedad asociativa, esto signifi-
ca que el resultado es el mismo, independiente de como se agrupen inicialmente los elemen-
tos. Es decir, si a, b y c son números enteros, se cumple: 
a + ( b + c ) = ( a + b ) + c y a ∙ ( b ∙ c ) = ( a ∙ b ) ∙ c
Ejemplos:
 2 ( 2 + 1 ) + 6 = 3 + 6 = 9 2 3 5 6 5 302 – –– $ $$ = =\ W
 2 + ( 1 + 6 ) = 2 + 7 = 9 3 2 5 3 3010– – –$ $ $= =Y V
∴ ( 2 + 1 ) + 6 = 2 + ( 1 + 6 ) ∴ 3 2 5 3 2 5–– $ $ $ $=\ Y
c. Propiedad Distributiva
La multiplicación en los enteros cumple con la propiedad distributiva con respecto a la suma 
y a la resta. Es decir, si a, b y c son números enteros, se cumple:
 a ∙ ( b + c ) = a ∙ b + a ∙ c y a ∙ ( b – c ) = a ∙ b – a ∙ c
Ejemplos:
 2 3 ∙ ( 5 + 7 ) = 3 ∙ ( 12 ) = 36
 2 3 ∙ 5 + 3 ∙ 7 = 15 + 21 = 36
∴ 3 ∙ ( 5 + 7 ) = 3 ∙ 5 + 3 ∙ 7
 2 3 ∙ ( 2 – 7 ) = 3 ∙ ( –5 ) = –15
 2 3 ∙ 2 – 3 ∙ 7 = 6 –21 = –15
∴ 3 ∙ ( 2 – 7 ) = 3 ∙ 2 – 3 ∙ 7
d. Neutro Aditivo y Neutro Multiplicativo
Al sumar cualquier número entero a con 0, el resultado es el mismo número a. Es decir, a + 0 = a 
y 0 + a = a, por lo tanto se define al 0 como el elemento neutro aditivo.
Al multiplicar cualquier número entero a con 1, el resultado es el mismo número a. Es decir, 
a ∙ 1 = a y 1 ∙ a = a, por lo tanto se define al 1 como el elemento neutro multiplicativo.
Ejemplos:
 »En el caso del neutro aditivo:
 2 0 + 4 = 4
 »En el caso del neutro multiplicativo:
 2 1 ∙ 20 = 20
e. Inverso Aditivo
El inverso aditivo de a (con a ≠ 0), es un número b que sumado con a da como resultado 0. Es 
decir, b es el inverso aditivo de a si a + b = 0. Por lo tanto b = – a y denotamos al inverso aditivo 
de a como – a .
Ejemplos:
 2 Si el número es 5, su inverso aditivo es – 5.
 2 Si el número es – 8, su inverso aditivo es – (– 8) = 8.
f. Elemento Absorvente
Si multiplicamos un número a con 0, el resultado siempre será 0. Es decir, a ∙ 0 = 0 y 0 ∙ a = 0, por 
lo tanto, se define al 0 como el elemento absorvente con la multiplicación.
Ejemplos:
 2 0 ∙ 8 = 0
 2 – 7 ∙ 0 = 0
 2 p ∙ 0 = 0
 2 0 ∙ 0 = 0
Números Enteros | Capítulo 1
Matemática Para Nacional 17
g. Prioridad de las operaciones
Cuando se requiere efectuar varias operaciones en un mismo ejercicio, se debe respetar el 
siguiente orden de las operaciones:
1. Paréntesis, de adentro hacia afuera.
2. Potencias y Raíces.
3. Multiplicación y división (de izquierda 
 a derecha).
4. Adición y sustracción.
Ejemplo:
Resolver la siguiente operación:
8 ∙ ( 7 – 4 ) : 12 – 1 + 6 : 3 ∙ 9
= 8 ∙ 3 : 12 – 1 + 6 : 3 ∙ 9
= 24 : 12 – 1 + 2 ∙ 9
= 2 – 1 + 18
= 19
Nota: Esta regla también es conocida como PAPOMUDAS, que es la unión de las primeras letras de 
la prioridad de las operaciones: Paréntesis, Potencias y raíces, Multiplicación y División, Adición y 
Sustracción.
7. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Para determinar de manera rápida si un número es divisible por otro número, podemos usar 
los criterios de divisibilidad. Un número será divisible por:
2 → Si su último dígito es par.
Ejemplo:
 2 2 ; 14 ; 278 ; 2.430 ; etc.
3 → Si la suma de sus dígitos es múltiplo de 3.
Ejemplo:
 2 234 es divisiblepor 3, pues 2 + 3 + 4 = 9
 2 3.621 es divisible por 3, pues 
3 + 6 + 2 + 1 = 12
4 → Si sus dos últimos dígitos forman un múlti-
plo de 4 o son ceros.
Ejemplo:
 2 24 ; 184 ; 1.300 ; 213.436 ; etc.
5 → Si termina en 0 o 5.
Ejemplo:
 2 20 ; 385 ; 1.340 ; 762.435 ; etc.
6 → Si es divisible por 2 y 3 a la vez.
Ejemplo:
 2 1.350 es divisible por 6, pues termina 
en 0 (par), por lo que es divisible por 
2, y 1 + 3 + 5 + 0 = 9, que es múltiplo 
de 3, por lo que también es divisible 
por 3.
7 → Si al multiplicar el dígito de las unidades 
por 2 y restándola al número formado 
por los otros dígitos, el resultado es un 
múltiplo de 7 ó 0.
Ejemplo:
 2 896 es divisible por 7, pues al multi-
plicar 6 por 2, nos da 12, y si resta-
mos 12 a 89 (el número que forman 
los otros dígitos), nos da 77, que es 
un múltiplo de 7.
8 → Si sus tres últimos dígitos forman un múlti-
plo de 8 o son ceros.
Ejemplo:
 2 21.936 es divisible por 8, pues 936 (el 
número formado por sus últimos 3 
dígitos) es un múltiplo de 8.
9 → Si la suma de sus dígitos es múltiplo de 9.
Ejemplo:
 2 5.643 es divisible por 9, pues 
5 + 6 + 4 + 3 = 18, que es un múltiplo 
de 9.
10 → Si su último dígito es 0.
Ejemplo:
 2 23.140 es divisible por 10, pues es un 
número terminado en 0.
Capítulo 1 | Números Enteros
18
Ejemplos PDT
7. La diferencia entre 6 y –2( –3 – 5 ), en ese orden, es:
(DEMRE 2013)
A ) –64
B ) 5
C ) –10
D ) 0
8. – 3 – ( –7 ) ∙ 5 =
(DEMRE 2014)
A ) –20
B ) –38
C ) 20
D ) 32
9. Con respecto a los divisores positivos de 9, es correcto afirmar que:
(DEMRE 2013)
A ) Son dos y la suma de ellos es 4
B ) Son dos y la suma de ellos es 10
C ) Son dos y la suma de ellos es 12
D ) Son tres y la suma de ellos es 13
10. SI m y n son números naturales, m + n + 1 es un número impar si:
(DEMRE 2006)
( 1 ) m es un número impar
( 2 ) m ∙ n es un número impar
A ) ( 1 ) por sí sola
B ) ( 2 ) por sí sola
C ) Ambas juntas, ( 1 ) y ( 2 )
D ) Cada una por sí sola, ( 1 ) o ( 2 )
E ) Se requiere información adicional
11. Un número entero P es divisible por 2 y es divisible por 6. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones 
es(son) siempre verdadera(s)?
(DEMRE 2012)
I. P es divisible por 12
II. P es divisible por 3
III. P = 6
A ) Solo II
B ) Solo I y II
C ) Solo II y III
D ) I, II y III
Números Enteros | Capítulo 1
Matemática Para Nacional 19
12. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?
(DEMRE 2011)
A ) Si la suma de dos números es par, entonces ambos son pares o ambos son impares
B ) La suma de todo número divisible por 3 con todo número divisible por 6, es divisible por 3
C ) El cuadrado de todo número divisible por 3 es divisible por 6
D ) El producto de todo número divisible por 4 con todo número divisible por 6, es divisible por 12
13. Si n es un número entero positivo, entonces se puede determinar que n es divisible por 2, si se sabe 
que:
(DEMRE 2013)
( 1 ) 2n es par
( 2 ) 3n es par
A ) ( 1 ) por sí sola
B ) ( 2 ) por sí sola
C ) Ambas juntas, ( 1 ) y ( 2 )
D ) Cada una por sí sola, ( 1 ) o ( 2 )
E ) Se requiere información adicional
Capítulo 1 | Números Enteros
20
8. NÚMEROS PRIMOS, COMPUESTOS Y TEOREMA FUNDAMENTAL
Números primos son aquellos números enteros positivos mayores que uno, que tienen exacta-
mente dos divisores positivos y distintos entre sí. Los primeros números primos son: 
2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , ...
Números compuestos son todos los números enteros positivos mayores que uno y que no son 
primos. Los primeros números compuestos son: 4 , 6 , 8 , 9 , 10 , 12 , 14 , 15 , 16 , 18 , 20 , 21 , 22 , ...
El teorema fundamental de la aritmética establece que todo número natural mayor que uno 
se puede expresar de manera única como el producto de potencias con números primos en 
sus bases. Para realizar esta descomposición podemos utilizar la tabla de descomposición o 
bien el diagrama de árbol. 
 »Nota: La cantidad total de divisores positivos que tenga el número estará dada por el 
producto de los sucesores de los exponentes de dicha descomposición.
i. Tabla de descomposición
La tabla funciona dividiendo al número com-
puesto por números primos hasta que quede 
reducido a la unidad.
ii. Diagrama de árbol
El diagrama de árbol es un método más intui-
tivo. Comienza expresando el número como 
el producto de dos números cualesquiera, 
luego estos números se vuelven a descompo-
ner hasta que en las ramas solo queden nú-
meros primos.
Ejemplo:
 2 Hallar la descomposición prima de 90.
 
90 : 2
45 : 3
15 : 3
5 : 5
 1 //
2· 3 2· 5
Ejemplo:
 2 Hallar la descomposición prima de 90.
90
3 5
9 10
3 2
∴ La descomposición prima de 90 es 2 ∙ 32 ∙ 5. ∴ La descomposición prima de 90 es 2 ∙ 32 ∙ 5.
 2 Total de divisores de 90 : 21 ∙ 32 ∙ 51 → ( 1 + 1 )( 2 + 1 )( 1 + 1 ) & 2 ∙ 3 ∙ 2 & 12
 2 Esto quiere decir que 90 tiene 12 divisores: { 1 , 2 , 3 , 5 , 6 , 9 , 10 , 15 , 18 , 30 , 45 , 90 }
 TIPS:
 » El menor número primo es el 2, el que además es el único número primo que es par.
 » El 1, no es primo ni compuesto.
Números Enteros | Capítulo 1
Matemática Para Nacional 21
9. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (m.c.m) Y MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D)
a. Mínimo común múltiplo (m.c.m) 
El mínimo común múltiplo (m.c.m), de dos o más números, es el menor entero positivo que es 
múltiplo común de dichos números. A continuación se muestran dos métodos para obtener 
el mínimo común múltiplo. Estos son: la tabla de descomposición y la descomposición prima.
i. Tabla de descomposición
Hacer una tabla en la cual dos o más 
números se van dividiendo por números 
primos (algunos de ellos pueden ser 
comunes) hasta que cada número queda 
totalmente descompuesto. El m.c.m será 
la multiplicación de los factores primos.
ii. Descomposición prima
Desarrollar la descomposición prima de 
todos los números y multiplicar todos los 
factores primos distintos que aparezcan, 
elevados cada uno al mayor exponente 
que tenga en las descomposiciones.
Ejemplo:
 2 Sean A = 90 y B = 24, determinar 
el m.c.m.
24 90 : 2
12 45 : 2
6 45 : 2
3 45 : 3
 1 //
15 : 3
5 : 5
 1 //
m.c.m = 23 ∙ 32 ∙ 5
∴ el m.c.m entre 90 y 24 es 23∙ 3 
2∙ 5.
Ejemplo:
 2 Sean A = 90 y B = 24, determinar 
el m.c.m.
A = 2 ∙ 32 ∙ 5 y B = 23 ∙ 3
∴ el m.c.m entre 90 y 24 es 23 ∙ 32 ∙ 5.
b. Máximo común divisor (M.C.D)
El máximo común divisor (M.C.D), de dos o más números, es el mayor entero positivo que es 
divisor común de dichos números. A continuación se muestran dos métodos para obtener el 
máximo común divisor. Estos son: la tabla de descomposición y la descomposición prima.
i. Tabla de descomposición
Hacer una tabla en la cual dos o más 
números se van dividiendo por números 
primos comunes hasta que no exista otro 
número primo que pueda dividir a ambos 
números. El M.C.D será la multiplicación de 
los factores primos.
ii. Descomposición prima
Desarrollar la descomposición prima 
de todos los números y multiplicar 
solo los factores primos comunes que 
aparezcan en los números, elevados 
cada uno al menor exponente que 
tenga en las descomposiciones.
Ejemplo 
 2 Sean A = 90 y B = 24, determinar el 
M.C.D
24 90 : 2
12 45 : 3
4 15
M.C.D = 2 ∙ 3
∴ el M.C.D entre 90 y 24 es 2 ∙ 3.
Ejemplo:
 2 Sean A = 90 y B = 24, determinar 
el M.C.D
A = 2 ∙ 32 ∙ 5 y B = 23 ∙ 3
∴ el M.C.D entre 90 y 24 es 2 ∙ 3.
Capítulo 1 | Números Enteros
22
 »Nota. Los números que no tienen factores primos comunes se denominan primos relativos 
entre sí. En tal caso se cumple que el m.c.m es el producto de los números y el M.C.D será 
siempre 1. 
Por ejemplo, 9 y 10 son primos relativos entre sí, ya que los factores primos de 9 son { 3 , 3 }, 
y los factores primos de 10 son { 2 , 5 }. Por tanto: el m.c.m entre 9 y 10 es 90 , el M.C.D entre 
9 y 10 es 1.
c. Problemas de aplicación
Las aplicaciones de el m.c.m. y el M.C.D. que frecuentemente nos podremos encontrar:
Ejemplos:
 2 En el baño de un colegio hay 3 llaves de agua cerradas. Estas se encuentran en mal estado, 
y gotean constantementecada cierto tiempo. La llave A deja caer una gota cada 3 segun-
dos; la llave B lo hace cada 5 segundos y, la llave C, cada 8 segundos. Si en un instante las 3 
llaves dejaron caer una gota al mismo tiempo, ¿cuántos segundos deben transcurrir a partir 
de ese momento, para que vuelvan a coincidir nuevamente?
Solución:
Para resolver estos problemas, debemos considerar que, la llave A gotea a partir de ese 
instante a los 3 segundos, luego a los 6 segundos, a los 9, 12, 15, etc. Es decir, son los múltiplos 
de 3 (en segundos). Por su parte, la llave B lo hará a los 5, 10, 15, 20, etc. (los múltiplos de 5) y, 
por la misma razón, la llave C lo hará en los múltiplos de 8. Por lo tanto, las llaves coincidirán 
nuevamente en una cantidad de segundos que sea múltiplo de 2, de 3 y de 8; Es decir, en 
un múltiplo común de estos 3 números. Y si queremos que sea lo antes posible, debemos 
determinar por ello el mínimo común múltiplo de 3, 5 y 8, que es 120. 
Con todo lo anterior, podemos contestar que, 120 son los segundos que deben transcurrir 
para que estas llaves vuelvan a dejar caer una gota al mismo instante.
 2 Una constructora necesita sub-dividir dos terrenos que están separados por un río y cuyas 
áreas son 21.600 m2 el más pequeño y 32.000 m2 el más grande. Esta constructora necesita 
además que estos terrenos más pequeños sean todos del mismo tamaño; que sea una 
cantidad entera de metros cuadrados y que sean lo más grandes posible, porque esto 
aumentará su valor comercial. ¿Cuál será el área máxima de estos terrenos si se cumple con 
la solicitud de esta empresa constructora?
Solución:
En este caso, necesitamos dividir estos terrenos en terrenos más pequeños de igual área 
(digamos X m2). Esto significa que tanto 21.600 como 32.000 deben ser divisibles por X o, lo 
que es lo mismo, X debe ser divisor tanto de 21.600, como de 32.000. Si además se exige 
que X sea lo más grande posible, estamos hablando del máximo común divisor de 21.600 y 
32.000, que es 800. Por lo tanto, cada terreno será de 800 m2 y habrán 27 de estos terrenos 
en el terreno más pequeño y 40 en el más grande.
10. EVALUAR EXPRESIONES
Evaluar o valorizar una expresión algebraica consiste en sustituir las letras por los valores 
numéricos dados, y luego realizar las operaciones indicadas.
Ejemplos:
 2 Si m = – 4 y n = –1, entonces el valor de la expresión mn – m2 es:
mn – m2 = (–4)(–1) – (–4)2
= 4 – 16
= –12//
 »TIP. Al sustituir, conviene siempre incluir paréntesis.
Números Enteros | Capítulo 1
Matemática Para Nacional 23
11. ENUNCIADOS FRECUENTES
Sean x e y números enteros, entonces la transcripción matemática de los siguientes enunciados:
Expresiónes
 2 El doble de x es 2x.
 2 El triple de x es 3x.
 2 La semisuma de x e y es 
x y
2
+
.
 2 El exceso de x sobre y es x – y.
 2 La mitad de x se escribe x2
1 o x2 .
 2 El sucesor de x sería ( x + 1 ).
 2 El antecesor de x sería ( x – 1 ).
 2 Un número es par si se puede escribir como 
2x, siendo x un valor entero.
 2 Un número impar si se puede escribir como 
( 2x – 1 ) o ( 2x + 1 ), siendo x un valor entero.
 2 Dos pares consecutivos serían 2x y 2x + 2.
 2 Dos impares consecutivos serían 2x + 1 y 
2x + 3.
 2 El cuadrado de x es x2.
Ejemplos:
El doble de 3 es 6, pues 2 ∙ 3 = 6.
El triple de – 8 es – 24, pues 3 ∙ – 8 = – 24.
La semisuma de 4 y 12 es 8, 2
4 12 8+ = .
El exceso de 8 sobre 3 es 5, pues 8 – 3 = 5.
La mitad de 200 es 100, pues 2
200 100= .
El sucesor de – 12 es – 11, pues – 12 + 1 = – 11.
El antecesor de – 4 es – 5, pues – 4 – 1 = – 5.
14 es par, pues 14 2 7$= .
19 es impar, pues 2 ∙ 10 – 1 = 19 o 2 ∙ 9 + 1 = 19.
4 y 6 son pares consecutivos, pues 
2 ∙ 5 = 10 y 2 ∙ 5 + 2 = 12.
7 y 9 son impares consecutivos, pues 2 ∙ 3 + 1 
y 2 ∙ 3 + 3.
El cuadrado de 5 es 25, pues 52 = 5 ∙ 5 = 25.
Ejemplos PDT
14. El m.c.m entre 4 y 7 es:
A ) 1
B ) 3
C ) 11
D ) 28
15. El M.C.D de 288 y 372 es:
A ) 8
B ) 12
C ) 15
D ) 21
16. La suma de cinco números primos consecutivos es 119. ¿ Cuál es el M.C.D entre ellos ?
A ) 1
B ) n2
C ) 2n
D ) No se puede determinar
Capítulo 1 | Números Enteros
24
17. En un cumpleaños se necesita armar cajitas sorpresa que en su interior deben llevar chocolates, 
guagüitas y suny. Estos se compran en paquetes de 100, 75 y 50 unidades respectivamente. 
¿Cuántas cajitas podríamos armar como máximo, si se necesita que todas ellas vayan con la 
misma cantidad chocolates, la misma cantidad de guagüitas y la misma cantidad de sunys?
A ) 75
B ) 25
C ) 20
D ) 15
18. En un circuito de carreras de juguetes, tres autos parten al mismo tiempo desde la línea de meta. 
Si el auto rojo demora 120 segundos en recorrer completamente el circuito, el azul demora 140 
segundos y el verde 180 segundos, ¿ en cuántos segundos pasarán nuevamente, los tres autos 
juntos, por la línea de partida ?
A ) 2.520
B ) 1.260
C ) 630
D ) 330
19. Si n = 2 y m = – 3, ¿ cuál es el valor de –nm – ( n + m )?
(DEMRE 2008)
A ) –5
B ) 5
C ) 7
D ) –7
20. Si x = –2 e y = 3 , entonces el valor de la expresión |y – x| – |x| ∙ |y| – |x – y|es:
A ) – 6 
B ) – 4
C ) 4
D ) 6 
Números Enteros | Capítulo 1
Matemática Para Nacional 25
Capítulo 1
Números Enteros │ Ejercicios 
Instrucciones
› Lee con atención cada una de las siguientes preguntas y marca la alternativa correcta.
› Recuerda aplicar los contenidos desarrollados en este capítulo para resolver los ejercicios.
› Toma el tiempo que demoras en completar el test. El objetivo es terminarlo en menos de 2 horas y 20 minutos (140 minutos).
1. 6 – 3 ∙ 8 – 32 : 4 =
A ) –26
B ) –14
C ) 0
D ) 3
2. [ –5 + ( –3 ) ∙ 7 ] : ( –2 ) =
A ) 24
B ) 13
C ) –24
D ) –13
3. Si p = – 6 y q = – 2 , entonces – { p + q – ( q – p ) } es:
A ) – 4
B ) 0
C ) 4
D ) 12
4. –3 ∙ |6 – 8| – |–2|=
A ) –8
B ) –4
C ) 0
D ) 4
5. Si a = 3 y b = –1 , entonces – { a – ( – b – a ) } =
A ) –5
B ) –1
C ) 0
D ) 1
6. ( 1 + 5 ) – 32 + 8 : 2 ∙ 2 =
A ) –1
B ) 1
C ) 5
D ) 15
Capítulo 1 | Números Enteros
26
7. 76.606 – 29.878 =
A ) 45.728
B ) 46.728
C ) 45.738 
D ) 46.736 
8. Si al entero ( –1 ) le restamos el entero ( –4 ), resulta :
A ) 0
B ) –3
C ) 2
D ) 3
9. –( 4 – 2 ∙ ( 2 – 4 ) ) =
A ) –15
B ) –10
C ) – 8
D ) 8
10. Si M = –2 , entonces –M ∙ M – M =
A ) –12
B ) –4
C ) –2
D ) 2
11. La expresión ( 9 ∙ 4 ) es divisible por:
I. 2
II. 3
III. 6
A ) Solo I
B ) Solo II
C ) Solo I y II
D ) I, II y III
12. Si P + 3 es el sucesor del número 10, entonces el sucesor de P es:
A ) 7
B ) 8
C ) 9
D ) 11
Números Enteros | Capítulo 1
Matemática Para Nacional 27
13. Se puede determinar que el número entero p es par si:
( 1 ) El doble de p es par
( 2 ) El quíntuple de p es par
A ) ( 1 ) por sí sola
B ) ( 2 ) por sí sola
C ) Ambas juntas, ( 1 ) y ( 2 )
D ) Cada una por sí sola, ( 1 ) o ( 2 )
E ) Se requiere información adicional
14. ( –2 ) ∙ 2 ∙ ( –2 ) ∙ ( –2 ) ∙ 2 =
A ) 16
B ) – 8
C ) – 16
D ) – 32
15. Si al número – 8 se le resta el doble de – 6 y al resultado se le agrega el cubo de –3, resulta:
A ) 7
B ) – 7
C ) – 23
D ) – 31
16. Si |P| representa el valor absoluto de P, indique cuál de las siguientes alternativas es falsa:
A ) |–7| < |–8|
B ) –21 < 8
C ) |– 10| > |10|
D ) –5 < 3
17. Si m = – 1 y n = 2 , entonces, ¿cuál es el valor de la expresión m ∙ ( n – m ) ∙ ( m – n )?
A ) 9
B ) 3
C ) 0
D ) – 3
18. ¿ Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I. Los números 2 , 3 , 5 , 7 son números primos; pero el 1 no lo es
II. El m.c.m entre 2 , 3 y 11 es el producto entre 2 , 3 y 11
III. El M.C.D entre 2 , 11 y 19 es 1
A ) Solo I
B ) Solo I y II
C ) Solo I y III
D ) I, II y III
Capítulo 1 | Números Enteros
28
19. La temperatura mínima de un día fue de –1 ºC y la máxima de 9 ºC. ¿Cuál fue la variación de la 
temperatura en el día?
A ) –10 ºC
B ) 6 ºC
C ) 10 ºC
D ) 11 ºC
20. ¿Cuál es el valor de |–3| – |–3|2 – |–3|3?
A ) –39
B ) –33
C ) –21
D ) 33
21. ¿Qué resultado se obtiene si se disminuye en 2 unidadesla suma entre el triple de 2 y el doble de 3?
A ) 15
B ) 12
C ) 10 
D ) 8
22. Si N es divisor de 8 y N no es divisor de 4, entonces N es:
A ) 1
B ) 2
C ) 4
D ) 8
23. – 3 – 3 ∙ 9 : 9 + 3 =
A ) – 6
B ) – 3
C ) 0
D ) 2
24. ¿ Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) falsa(s)?
I. La suma de números naturales resulta siempre un natural
II. La sustracción es conmutativa en los números naturales
III. En los naturales, el inverso aditivo de 2 es – 2
A ) Solo I
B ) Solo II
C ) Solo II y III
D ) I, II y III
Números Enteros | Capítulo 1
Matemática Para Nacional 29
25. –2 ∙ [ 3 – { 5 – 2 ∙ ( 8 – 16 ) } ]=
A ) –34
B ) –20
C ) 36
D ) 54
26. El valor de la expresión 18 – ( –30 ) : ( –2 ) + ( –2 ) ∙ ( –1 ) es:
A ) 9
B ) –5
C ) –9
D ) 5
27. El doble de ( 2 ∙ ( 4 + 3 ) –2 ∙ ( 1 – 2 ) ) =
A ) 8
B ) 16
C ) 32
D ) 48
28. Si n es un número natural par, entonces el sucesor par del sucesor de n + 1 está representado por:
A ) n + 4
B ) n + 2
C ) 2n + 2
D ) 2n + 4
29. El valor de 24 : 8 ∙ 6 : 3 – 45 : 9 ∙ 3 – 4 : – 2 es:
A ) – 11
B ) – 7
C ) 7
D ) 11
30. Si el sucesor de un número es a + 4, entonces el doble del número es:
A ) a + 3
B ) 2a + 2
C ) 2a + 3
D ) 2a + 6
Capítulo 1 | Números Enteros
30
31. La suma de tres pares consecutivos es siempre divisible por:
I. 4
II. 6
III. 12
Es(son) verdadera(s)
A ) Solo I
B ) Solo II
C ) Solo II y III
D ) I, II y III
32. Sean a > b y b > c, siendo a, b y c números enteros. Si b = 0, ¿qué relación es falsa?
A ) a ∙ c < 0
B ) a ∙ b = b
C ) c2 < 0
D ) a – c > 0
33. La edad de Lucas equivale al doble de la quinta parte de la semisuma entre 4 y 6. ¿ Qué edad tiene 
Lucas ?
A ) 1
B ) 2
C ) 3
D ) 5
34. Si m y n son dos enteros consecutivos tales que m < n, entonces n – m es:
A ) 0
B ) 1
C ) m2 + m
D ) 2m + 1
35. Javiera guarda monedas de $ 100 en una alcancía. Si le faltan 3 monedas para tener $ 5.000, ¿a cuántas 
monedas de $ 50 equivale el dinero que tiene Javiera en la alcancía?
A ) 47
B ) 94 
C ) 100
D ) 160
36. ¿ Cuál(es) de los siguientes números es(son) primo(s)?
I. 51
II. 91
III. 141
A ) Solo II
B ) Solo III
C ) I, II y III
D ) Ninguno de ellos
Números Enteros | Capítulo 1
Matemática Para Nacional 31
37. Con 5 vasos de 250 c.c. cada uno, se llena un jarro. ¿Cuántos vasos de 125 c.c. se necesitarán para llenar 
dos jarros de igual capacidad al anterior?
A ) 10
B ) 15 
C ) 20 
D ) 25 
38. ¿Cuál de los siguientes pares de dígitos deben ponerse en los espacios vacíos, para que el número 
4x.x12 sea divisible por 6 ?
A ) 0 y 1
B ) 1 y 1
C ) 1 y 2
D ) 2 y 2
39. Si A, B, C y D son números enteros tales que A > B , C > D , B < D y C < A. El orden decreciente de ellos es:
A ) B D C A
B ) A C D B
C ) A C B D
D ) B D A C
40. Se puede asegurar que P es un número divisible por 8 si:
( 1 ) Sus últimas cuatro cifras son ceros
( 2 ) Su última cifra es número par
A ) ( 1 ) por sí sola
B ) ( 2 ) por sí sola
C ) Ambas juntas, ( 1 ) y ( 2 )
D ) Cada una por sí sola, ( 1 ) o ( 2 )
E ) Se requiere información adicional
41. M = 1.2C4 representa a un número de 4 cifras divisible por 6. ¿Qué valores puede tener el dígito C para 
que se cumpla la divisibilidad?
A ) { 4 , 6 , 9 }
B ) { 3 , 6 , 9 }
C ) { 2 , 5 , 8 }
D ) { 5 , 6 , 7 }
42. Si a + b + c = 2d , en donde a = 5 , b = 4 y c = –3 , entonces el valor numérico de la expresión 
d ∙ d ∙ ( d – a ) ∙ ( d – b ) ∙ ( d – c ) es:
A ) 24
B ) 84
C ) 96
D ) 108
Capítulo 1 | Números Enteros
32
43. La suma de tres impares consecutivos es siempre divisible por:
A ) 15 
B ) 9 
C ) 6 
D ) 3 
44. Si tenemos cuatro sitios de 70, 56, 42 y 84 hectáreas cada uno, los cuales queremos subdividir en parcelas 
con igual superficie. Entonces, cada una de estas parcelas podría tener una superficie máxima de:
A ) 2 hectáreas
B ) 7 hectáreas
C ) 14 hectáreas
D ) 28 hectáreas
45. Si el sucesor de un número es m + 3, entonces el doble del antecesor del número es:
A ) m + 1
B ) m + 2
C ) 2m + 1
D ) 2m + 2
46. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I. En los enteros, la sustracción es conmutativa
II. En los enteros, el inverso multiplicativo de 10 es 0,1
III. En los enteros, el neutro aditivo es el cero
A ) Solo II
B ) Solo III
C ) I, II y III
D ) Ninguna de ellas
47. Sea n un número entero. La expresión 3 ∙ ( 3 + n ) representa un múltiplo de 6 si:
( 1 ) n es un número impar
( 2 ) n + 1 es un número par
A ) ( 1 ) por sí sola
B ) ( 2 ) por sí sola
C ) Ambas juntas, ( 1 ) y ( 2 )
D ) Cada una por sí sola, ( 1 ) o ( 2 )
E ) Se requiere información adicional
48. Si al cuadrado de –3 se le resta el doble de –4 y al resultado se le agrega el triple de 3, se obtiene:
A ) 26
B ) 20
C ) 11
D ) 10
Números Enteros | Capítulo 1
Matemática Para Nacional 33
49. Si 14 veces 2 es igual a M y 15 veces 3 es igual a N, entonces M + N resulta:
A ) 15
B ) 28
C ) 45
D ) 73
50. Si a y b son números primos distintos, ¿cuál de las siguientes opciones podría ser el producto de a y b?
A ) 4 
B ) 9
C ) 10 
D ) 16
51. El producto entre los divisores de 139 es:
A ) 1
B ) 9
C ) 139
D ) 19.321
52. Si A ! Z y A < –1, ¿cuál(es) de las siguientes expresiones es(son) mayor(es) que 1?
I. A ∙ A
II. 3A
III. –A
A ) Solo II
B ) Solo II y III
C ) Solo I y II
D ) Solo I y III
53. Si x es un número primo, entonces x2 es siempre:
A ) Par
B ) Primo
C ) Compuesto
D ) Par y compuesto
54. Se sabe que n es múltiplo de 2. Entonces, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I. n3 es múltiplo de 2
II. 12n es múltiplo de 2
III. n + 28 es múltiplo de 2
A ) Solo I
B ) Solo I y III
C ) Solo II y III
D ) I, II y III
Capítulo 1 | Números Enteros
34
55. De cinco números impares consecutivos, la suma entre el primero y el último es 1.854, entonces, ¿cuál 
es su diferencia positiva?
A ) 4
B ) 6
C ) 8
D ) 182
56. Si la suma de tres números enteros consecutivos es 453, entonces, ¿cuál es el producto entre los dos 
mayores?
A ) 21.952
B ) 22.650
C ) 22.952
D ) 22.986
57. Si a y b son números enteros y el antecesor de a es b y el sucesor de a es –9, entonces a + b =
A ) –21
B ) –20
C ) –19
D ) –17
58. Si un maestro cobra $ 400 por cortar verticalmente un tubo en dos partes, ¿ cuánto cobrará por cortarlo 
en 4 partes ?
A ) $ 600
B ) $ 800
C ) $ 1.000
D ) $ 1.200
59. La suma de cuatro números enteros consecutivos no es siempre:
I. Divisible por 2
II. Divisible por 4
III. Divisible por 6
A ) Solo I
B ) Solo II
C ) Solo I y III
D ) Solo II y III 
60. Si n es un número entero par y m es un número entero impar, entonces ¿cuál(es) de las siguientes 
aseveraciones es(son) siempre verdadera(s)?
I. n2 un número positivo
II. – m6 es un número positivo
III. ( n – m )2 es un número impar positivo
A ) Solo I
B ) Solo III
C ) Solo I y III
D ) Solo II y III
Números Enteros | Capítulo 1
Matemática Para Nacional 35
61. Necesitamos comprar un balde que saque el contenido de tres estanques que están llenos, cuyas 
capacidades se ilustran en la figura adjunta. La idea es hacer el menor número de extracciones, para 
lograrlo el balde debe llenarse al máximo en cada una. ¿Qué capacidad debe tener este balde para 
efectuar el menor número de extracciones?
A ) 2 litros
B ) 3 litros
C ) 6 litros
D ) 12 litros
62. Si a es un número par y b es un número impar, entonces ¿ cuál de las siguientes expresiones representa 
un número par ?
A ) a + b
B ) 2a – b
C ) 3a + 3b
D ) 5a + 4b
63. Dos luces intermitentes se encienden con intervalos de 42 y 54 segundos, respectivamente. Si a las 
10:00 horas y 15 minutos se encuentran ambas encendidas, ¿a qué hora estarán nuevamente ambas 
encendidos simultáneamente?
A ) 10 hr ∙ 21 min ∙ 18 seg
B ) 10 hr ∙ 21 min ∙ 36 seg
C ) 10 hr ∙ 21 min ∙ 42 seg
D ) 10 hr ∙ 15 min ∙ 54 seg
64. Si se sabe que A > B > C y una persona debe reunir A. Primero reúne B y luego gasta C. ¿Cuánto le falta 
para completar la suma deseada?
A ) A+ B – C
B ) C + A – B
C ) –A – ( C – B )
D ) A – ( B + C )
65. Si a, b ! Z, ¿ bajo qué condiciones la expresión a + b resulta ser un número impar ?
( 1 ) a – b es impar
( 2 ) a ∙ b = 10
A ) ( 1 ) por sí sola
B ) ( 2 ) por sí sola
C ) Ambas juntas, ( 1 ) y ( 2 )
D ) Cada una por sí sola, ( 1 ) o ( 2 )
E ) Se requiere información adicional
12 lt 24 lt 30 lt
36
1. NÚMEROS RACIONALES
Los números racionales (Q), son todos aquellos números que se pueden escribir como fracción 
de dos números enteros, con denominador distinto de cero. Es decir, son aquellos números 
que se pueden escribir de la forma b
a k= con a, b ! Z y b ≠ 0 (a, numerador; b, denominador; 
k, cuociente).
Ejemplos de Números Racionales: 
, , , , , ,, , , , , , , 0 2 0 5 3 281 1 3 7
3
4
1 4 11
1
6
0–– –' 1
Ejemplos de Números que NO son Racionales: 
, , , , , log2 4 3 3 11
5
2
7 33' 1
2. FRACCIONES
a. Tipos de fracciones
i. Fracción propia
b
a es fracción propia si |a|<|b|.
Ejemplos:
 2 5
2 , – 9
7
ii. Fracción impropia
b
a es fracción impropia si |a|≥|b|.
Ejemplos:
 2 4
7 , 8
11–
iii. Fracción decimal
b
a es fracción decimal si b es una potencia de 10.
Ejemplos:
 2 100
4 , 10
3– , .
.
1 000
1 200
iv. Fracción Mixta o Número Mixto
Las fracciones impropias pueden escribirse de la 
forma b
aC , con a, b, c ! Z y b ≠ 0 notación que se 
denomina número mixto.
Para transformar un número mixto a fracción:
b
a
b
c b a$= +C 
Ejemplos:
 2 7
54 = 74 7 5 733$ + =
 2 2
1–1 = 21 2 1 23– –$ + =
Tip: 
Un número mixto es equivalente a la suma de un número entero y una fracción: 
b
a c b
a= +C 
“La mente que se abre a una idea nueva, 
jamás volverá a su tamaño original ”
— ALBERT EINSTEIN —
FÍSICO ALEMÁN
Capítulo 2
NÚMEROS 
RACIONALES
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moraleja.cl/mpn6-2
Números Racionales | Capítulo 2
Matemática Para Nacional 37
b. Fracciones indefinidas e indeterminadas
Las fracciones indefinidas son aquellas que tienen denominador igual a cero y numerador 
distinto de cero. Ejemplos: , , ,0
3
0
12
0
5
0
8– –
Las fracciones indeterminadas son aquellas que tienen tanto numerador como denominador 
igual a cero, es decir 
0
0 .
Tanto las fracciones indefinidas como indeterminadas, son fracciones que NO pertenecen al 
conjunto de los números racionales.
 »Nota. Aquellas fracciones que tienen numerador igual a cero y como denominador un 
número distinto de cero, son fracciones nulas. Esto significa que tienen un valor igual a 
cero, y por lo tanto son un número racional bien definido.
Ejemplos: ,21
0 0 9
0 0= =
c. Fracciones equivalentes
Dos fracciones, b
a y d
c son equivalentes si representan al 
mismo número real; es decir, b
a
d
c= . 
Para verificar esta igualdad hacemos uso de lo que co-
nocemos como “multiplicación cruzada”, que señala lo 
siguiente b
a
d
c si y solo si a d b c$ $= = .
Ejemplo:
 2 3
2
12
8= & 2 ∙ 12 = 3 ∙ 8
24 = 24
i. Amplificación y simplificación de una fracción
Una forma de encontrar fracciones equivalentes es mediante la amplificación o la simplifica-
ción de una fracción.
Amplificación
Amplificar una fracción consiste en multiplicar tanto 
su numerador como su denominador por una misma 
cantidad (distinta de cero). Esto dará origen a una 
fracción equivalente.
Ejemplos:
 2 3
2 amplificada por 4 → 12
8
 2 5
1– amplificada por 2 → 10
2–
Simplificación
Simplificar una fracción consiste en dividir tanto el 
numerador como el denominador por una misma 
cantidad (distinta de cero), obteniendo de paso 
una fracción equivalente.
Ejemplos:
 2 24
18 simplificada por 6 → 4
3
 2 – 30
25 simplificada por 5 → – 6
5
d. Fracciones Irreductibles
Una fracción se llama irreducible o irreductible si 
su numerador y denominador son primos relativos 
entre sí. Es decir, si el M.C.D. de su numerador y su 
denominador es 1. En términos simples, una fracción 
es irreducible si no se puede simplificar.
Ejemplo:
 2 9
8 es irreductible, pues M.C.D. 
(8 , 9) = 1.
 2 28
12 NO es irreductible, pues 
M.C.D (12 , 28) = 4 y por tanto se 
puede simplificar.
Capítulo 2 | Números Racionales
38
e. Operatoria con fracciones
i. Operaciones básicas
Adición y sustracción con igual denominador.
Para sumar o restar fracciones de igual 
denominador, se deben sumar o restar los 
numeradores y conservar el denominador.
c
a
c
b
c
a b! != , con c ≠ 0
Ejemplos:
 2 4
1
4
5
4
1 5
4
6
2
3+ = + = =
 2 3
2
3
1
3
2 1
3
1– –= =
Adición y sustracción de distinto denominador
Para sumar o restar fracciones de distinto 
denominador, se deben amplificar o simplificar las 
fracciones para que los denominadores alcancen 
un valor común. Una vez igualado el denominador 
se realiza la operación.
Usualmente el denominador usado es el m.c.m 
entre los denominadores. Cuando son dos las 
fracciones a sumar o restar también se puede 
desarrollar la operación utilizando el producto de 
los denominadores como denominador común, 
tal como muestra la siguiente igualdad.
b
a
d
c
b d
a d b c! $
$ ! $= , con b y d ≠ 0
Ejemplos:
 2 5
2
7
3
35
14 15
35
29+ = + =
 2 3
2
12
11
36
24 33
36 12
9 3– – – –= = =
Multiplicación
Para multiplicar fracciones, se multiplican los 
numeradores entre sí y los denominadores entre sí.
b
a
d
c
b d
a c$ $
$= , con b, d ≠ 0
Es conveniente simplificar, si es posible, las fraccio-
nes a multiplicar. Se puede simplificar numerador 
con denominador de diferentes fracciones, siem-
pre y cuando estas fracciones estén multiplican-
dose entre sí.
Ejemplos:
 2 15
13
2
5
3
13
2
1
6
13$ $= =
 2
12
24
11
3
1
2
11
3
11
6$ $= =
División
Para dividir fracciones, se multiplica la primera 
fracción por el inverso multiplicativo de la segunda 
fracción. 
b
a
d
c
b c
a d
b
a
c
d| $ $
$= = , con b, c, d ≠ 0
Ejemplos:
 2 3
2
7
5
3
2
5
7
15
14| $= =
 2 9
1
13
2
9
1
2
13
18
13| $= =
NOTA: El inverso multiplicativo (o recíproco) de b
a es b
a
a
b–1 =` j , con a y b ≠ 0
Números Racionales | Capítulo 2
Matemática Para Nacional 39
3. PROPIEDADES DE LA OPERATORIA EN Q.
i. Cerradura
Cada vez que sumemos, restemos o multipliquemos 
dos números racionales, siempre obtendremos 
un número racional como resultado.
En el caso de la división, esta propiedad no es 
cierta, porque si dividimos por cero (que es ra-
cional), dicha operación se indefine matemáti-
camente.
Ejemplos:
 2 3
2
2
5
6
19 Q!+ =
 2 ,0 2 5 9
43– – Q!=
 2 , ,0 5 2
7 54
7 1 7ó Q$ !=
ii. Conmutatividad
La adición y la multiplicación de dos números ra-
cionales, dan el mismo resultado, independiente 
del orden en que se realice la operación. Esto 
significa que si a, b ! Q , entonces:
 a + b = b + a y a ∙ b = b ∙ a
Ejemplos:
 2 3
2
2
5
6
19
2
5
3
2
6
19+ = + =
 2 7
2
13
5
91
10
13
5
7
2
91
10$ $= =
iii. Asociatividad
Para sumar o multiplicar tres o más números ra-
cionales, podemos elegir cualesquiera dos de 
ellos para iniciar la operación. Esto significa que, 
si a, b, c ! Q, entonces:
 (a + b) + c = a + (b + c) y a ∙ (b ∙ c) = (a ∙ b) ∙ c
Ejemplos:
 2 3
1
2
5
8
7
24
89
3
1
2
5
8
7
24
89+ + = + + =c cm m
 2 7
2
22
15
5
11
7
3
7
2
22
15
5
11
7
3$ $ $ $= =c cm m
iv. Existencia de elementos neutros
En el conjunto de los números racionales encon-
traremos dos elementos a los que llamaremos 
neutros.
El neutro aditivo en los racionales es el 0, y se lla-
ma así, porque si se lo sumamos a cualquier ra-
cional, este no cambia su valor.
El neutro multiplicativo en los racionales es el 1, 
pues si un racional cualquiera lo multiplicamos 
por 1, este no cambia su valor.
Ejemplos:
Neutro Aditivo
 2 ó , ,0 5
3
5
3 2 8 0 2 8+ = + =
Neutro Multiplicativo
 2 ó , ,7
2 1 7
2 1 7 3 7 3$ $= =
v. Existencia de Inversos
Para cada número racional “a”, encontraremos 
un número “b” que, si se lo sumamos a “a”, el re-
sultado será 0. O sea, a + b = 0. Dicho número “b” 
se conoce como el inverso aditivo u opuesto de 
“a” y se escribe “– a”.
Tambiénexiste para cada racional “a” (salvo 
para el cero), un número “b” tal que a ∙ b = 1. A 
dicho número “b” se le conoce como el inverso 
multiplicativo o recíproco de “a” y se escribe a–1.
Ejemplos:
Inversos Aditivos
 2 ,
,
Si a entonces a
Si a entonces a
3 3
7
2
7
2
– –
– –
= =
= =
Inversos Multiplicativos
 2 ,
,
Si a entonces a
Si a entonces a
5 5
1
8
3
3
8– –
1
1
–
–
= =
= =
vi. Distributividad del producto respecto a la 
suma
Cuando queremos multiplicar un número racio-
nal por otros dos que se están sumando, pode-
mos multiplicar nuestro número por cada uno de 
ellos y luego sumar estos resultados. Esto significa 
que, si a, b, c ! Q , entonces:
 a ∙ (b + c) = a ∙ b + a ∙ c
Ejemplo:
 2 Notemos que:
5
2 5 2
1
5
2
2
11
5
11$+ = =c m
Esto es equivalente a haber multipli-
cado cada sumando del paréntesis 
por 5
2 y luego sumar estos resultados.
5
2 5 2
1
5
2 5 5
2
2
1 2 5
1
5
11$ $+ = + = + =c m
Capítulo 2 | Números Racionales
40
Ejemplos PDT
1. ¿Cuál de los siguientes es un número racional que NO es un número entero?
(DEMRE 2018)
A ) 
,0 2
1–
3^ h 
B ) ,
,
0 4 6
0 2 3
C ) 
,
,
0 08
0 2 4
D ) 
,0
2
4 5^ h
2. Si el producto de dos números es 1, entonces se afirma correctamente que pueda tratarse del 
producto de:
I. Dos números enteros
II. Dos números racionales
III. Un número entero y otro racional
A ) Solo I 
B ) Solo II 
C ) Solo I y III 
D ) I, II y III
3. ¿Cuántos séptimos son equivalentes a 7
52 ?
(DEMRE 2011)
A ) 19
B ) 14
C ) 10
D ) 5
4. ¿Cuál de las siguientes fracciones es propia y además irreductible?
A ) 8
5
B ) 25
125
C ) 21
7
D ) 3
12
Números Racionales | Capítulo 2
Matemática Para Nacional 41
5. ¿Cuál(es) de las siguientes operaciones da(n) por resultado la unidad?
(DEMRE 2015)
I. 12
7
12
5+
II. 12
7
7
12$
III. 12
13
13
12|
A ) Solo II
B ) Solo III
C ) Solo I y II
D ) I, II y III
6. 
6
5
4
1
5
3
6
1
–
–
+
=
(DEMRE 2019)
A ) 5
1–
B ) –1
C ) 35
26–
D ) 360
91–
7. 9
5
5
2
15
14|-b l =
(DEMRE 2020)
A ) 14
1
B ) 56
45
C ) 675
98
D ) 6
1
8. ¿Cuál(es) de las siguientes operaciones da(n) como resultado el número 2?
(DEMRE 2021)
I. 7
6
6
14$
II. 5
22
11
5|
III. 4
10
4
2-
A ) Solo I
B ) Solo III
C ) Solo I y III
D ) I, II y III
Capítulo 2 | Números Racionales
42
9. Si a la suma de dos números racionales distintos de cero se le suma la unidad, entonces el resultado 
es cero. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)?
(DEMRE 2020)
I. Si uno de los números es negativo, entonces el otro es positivo.
II. Al sumar los inversos multiplicativos de cada uno de los números, el resultado es un 
número positivo.
III. La resta de los números es distinta de cero.
A ) Solo I
B ) Solo I y III
C ) I, II y III
D ) Ninguna de ellas
10. Se puede determinar el valor del producto de los números racionales a y b, si se sabe que:
( 1 ) El inverso aditivo de a es a y 2b = 1.
( 2 ) b es un número racional positivo y a no tiene inverso multiplicativo.
A ) ( 1 ) por sí sola
B ) ( 2 ) por sí sola
C ) Ambas juntas, ( 1 ) y ( 2 )
D ) Cada una por sí sola, ( 1 ) o ( 2 )
E ) Se requiere información adicional
Números Racionales | Capítulo 2
Matemática Para Nacional 43
4. NÚMEROS DECIMALES
Al efectuar la división entre el numerador y el denominador de una fracción, se obtiene un 
número decimal. Un número decimal se compone de dos partes, la primera (a la izquierda 
de la coma) corresponde a la parte entera y la segunda corresponde a su parte decimal (a 
la derecha de la coma).
Ejemplo: ,2
3 3 2 1 5|= =
a. Tipos de números decimales
i. Decimal finito
Un decimal finito es aquel que en su parte decimal tiene un número determinado (finito) de 
dígitos.
Ejemplo: 0,25 → dos cifras decimales.
ii. Decimal infinito periódico
Un decimal infinito periódico es aquel que en su parte decimal tiene una secuencia de 
números que se repite infinitas veces, el que puede escribirse con puntos suspensivos o con 
una barra sobre los dígitos periódicos.
Ejemplo: 1,63 = 1,636363... → periodo “63”.
iii. Decimal infinito semi–periódico
Un decimal infinito semi–periódico es aquel que en su parte decimal tiene un número infinito 
de dígitos y se repite una o más cifras de manera periódica, el que puede escribirse con punto 
suspensivo o con una barra sobre los dígitos periódicos. A diferencia de un decimal infinito 
periódico, en este caso, se distingue antes del periodo una parte de cifras que no se repiten 
llamada ante–periodo.
Ejemplo: 3,617 = 3,6171717 ... → periodo “17” y ante–periodo “6“.
 »Recordar que los dígitos decimales de acuer-
do a su posición reciben los siguiente nom-
bres:
C5UM: D5 U5 d5 c5 m6 dm:,
Ce
nte
na
Un
ida
d d
e M
il
Un
ida
d
ce
nté
sim
a
De
ce
na
dé
cim
a
mi
lés
im
a
die
z m
ilé
sim
a
b. Operatoria con decimales
i. Adición y sustracción
Para sumar o restar números decimales se ubican las 
cantidades enteras bajo las enteras, las comas bajo 
las comas, la parte decimal bajo la decimal y a con-
tinuación se realiza la operatoria respectiva.
Ejemplo:
 2 0,247 + 21,65 =
 = 
,
,
0 247
21 65+
,21 89 7
ii. Multiplicación
Para multiplicar dos o más números decimales, se 
multiplican como si fueran números enteros, y luego 
se ubica la coma en el resultado final, de manera tal 
que el resultado tenga la misma cantidad de cifras 
decimales que la suma de la cantidad de decimales 
de los números del ejercicio en conjunto.
Ejemplo:
 2 1,24 ∙ 0,002 =
= Multiplicar 124 ∙ 2 
= 248
Ubicar la coma manteniendo 
cinco (2 + 3) cifras decimales: 
→ 0,00248
iii. División
Para dividir números decimales, se puede transfor-
mar el dividendo y el divisor en números enteros am-
plificando por una potencia en base 10.
Ejemplo:
 2 2,25 : 0,5 =
Amplificado por 100.
→ 225 : 50 = 4,5
Capítulo 2 | Números Racionales
44
c. Transformación de decimales a fracciones
i. De decimales finitos a fracciones
En el numerador se escribe el número completo sin 
la coma. En el denominador un 1 acompañado de 
tantos ceros como dígitos existan en la parte decimal 
del número original (después de la coma).
Ejemplo:
 2 ,0 42 100
42=
ii. De decimales periódicos a fracciones
En el numerador se escribe el número completo sin 
la coma y se le resta el número formado por todos 
los dígitos no periódicos. En el denominador tantos 
nueve como dígitos posea el periodo.
Ejemplos:
 2 ,0 45 99
45=
 2 2,374 = . 999
2 374 2– = .999
2 372
iii. De decimales semi–periódicos a fracciones
En el numerador se escribe el número completo sin 
la coma y se le resta un número formado por todos 
los dígitos no periódicos. Luego en el denominador, 
tantos nueve como dígitos posea el periodo, seguidos 
de tantos ceros como dígitos tenga el ante–periodo.
Ejemplos:
 2 , .
.0 4321 9 900
4 321 43–=
 2 , .
.32 4321 9 990
324 321 324–=
d. Relación de orden en fracciones positivas
Sean ,b
a
d
c números racionales, con b ≠ 0 y d ≠ 0 . Para comparar números racionales, se 
pueden utilizar los siguientes métodos:
i. Multiplica ción cruzada
Este método compara parejas de fracciones.
b
a
d
c a d b c+ $ $$ $
b
a
d
c a d b c+ $ $##
Ejemplo: Comparar 16
5 y 10
3 :
5 ∙ 10 > 16 ∙ 3
50 > 48
∴ 16
5 > 10
3
ii. Igualar denominadores
Este método amplifica las fracciones de modo 
que todas tengan igual denominador, luego 
la mayor fracción será la que posea mayor 
numerador.
Ejemplo: Comparar 16
5 y 10
3 :
160
50 > 160
48
∴ 16
5 > 10
3
iii. Igualar numeradores
Este método amplifica las fracciones de modo 
que todas tengan igual numerador, luego 
la mayor fracción será la que posea menor 
denominador.
Ejemplo: Comparar 16
5 y 10
3 :
48
15
50
15>
∴ 16
5 > 10
3
iv. Convertir a número decimal
Este método convierte las fracciones en 
números decimales, realizando las divisiones 
correspondientes. Para ordenar decimales es 
aconsejable escribir todos ellos con la misma 
cantidad de decimales.
Ejemplo: Comparar 16
5 y 10
3:
0,3125 > 0,3000
∴ 16
5 > 10
3
Números Racionales | Capítulo 2
Matemática Para Nacional 45
TIPS:
 »Tener en cuenta que 0,3 = 0,30 = 0,300 , etc. Para comparar números decimales conviene 
agregar ceros a la derecha y luego establecer la relación de orden.
 »Es importante destacar que entre dos números racionales distintos, existen infinitos números 
racionales.
Ejemplos PDT
11. Si P = 1,76, ¿cuál es el valor de 10P?
(DEMRE 2020)
A ) 10,76
B ) 17,67
C ) 17,76
D ) 17,6
12. ( 0,1 : 0,01) + 0,001 =
(DEMRE 2018)
A ) 0,101
B ) 9,09
C ) 0,002
D ) 10,001
13. ( 1,3 )2 =
A ) 1,4
B ) 1,6
C ) 1,7
D ) 1,9
14. ¿ Cuál de los siguientes números racionales es el menor ?
A ) 119
11
B ) 10
1
C ) 21
2
D ) 39
4
15. En la recta numérica, ¿cuál de los siguientes números racionales se encuentra más cercano al 
número uno?
(DEMRE 2019)
A ) 3
4
B ) 4
3
C ) 5
6
D ) 6
5
Capítulo 2 | Números Racionales
46
16. En la recta numérica de la figura adjunta, se ubican los puntos a, b, c y d. ¿En cuál de las siguientes 
operaciones el resultado es siempre menor que 1?
(DEMRE 2016)
A ) a ∙ b
B ) d + a
C ) a ∙ c
D ) d – c
17. Sean a y b dos números racionales ubicados en la recta numérica, como se muestra en la figura 
adjunta.
(DEMRE 2020)
–1 1b 0 a
¿Cuál(es) de las siguientes desigualdades es(son) verdadera(s)?
I. a
1 > 1
II. a + b < 1
III. –a ∙ b > 0
A ) Solo I
B ) Solo I y II
C ) Solo II y III
D ) I, II y III
18. En la tabla adjunta se muestran los tiempos que demoraron cuatro atletas en correr 100 metros. 
Según los datos de la tabla, ¿cuál de los siguientes valores es la resta de los tiempos, en segundos, 
entre los dos atletas más rápidos?
(DEMRE 2019)
A ) 3,42
B ) 0,12
C ) 0,06
D ) 0,555
0 a b 1 c d
Atleta Tiempo en segundos
Andrés 9,63
Bernardo
4
39
Carlos 100
979
Danilo
100
699
Números Racionales | Capítulo 2
Matemática Para Nacional 47
5. APROXIMACIONES
a. Aproximación por defecto y exceso
A veces necesitaremos trabajar con números con una gran cantidad de cifras decimales, como 
por ejemplo los números periódicos, y por tanto en ocasiones será necesario aproximarlos. Las 
aproximaciones que resultan menores que el valor del número inicial se llaman aproximaciones 
por defecto y las que resultan mayores se llaman por aproximaciones por exceso.
Para aproximar por defecto:
Paso 1: Identificar la posición a la que se quiere 
aproximar.
Paso 2: Considerar las cifras decimales hasta la posición 
que se determinó.
Ejemplo:
 2 Aproximar por defecto 
a la décima el número 
3,47 → 3,4
Para aproximar por exceso:
Paso 1: Identificar la posición a la que se quiere 
aproximar.
Paso 2: La cifra por aproximar se debe aumentar en 
una unidad.
Ejemplo:
 2 Aproximar por exceso 
a la unidad el número 
15,28 → 16
Ejemplo:
 2 Si aproximamos a la milésima el número 3,14159 por exceso y por defecto resulta:
3,141593,141 3,142
Aproximación por 
Exceso
Aproximación por 
Defecto
b. Truncar y redondear
Un número real puede ser aproximado por truncamiento o por redondeo.
Para truncar:
Paso 1: Identificar la posición a la que se quiere truncar.
Paso 2: Considerar las cifras decimales hasta la posición 
que se determinó.
 »Nota: Truncar números positivos, es equivalente a 
aproximar por defecto.
Ejemplos:
 2 Truncar a la centésima el 
número 3,1421 → 3,14
 2 Truncar a la milésima el 
número 1,8676 → 1,867
Para redondear:
Paso 1: Identificar la posición a la que se quiere 
redondear.
Paso 2: Considerar la cifra decimal inmediatamente 
siguiente a la que determine la aproximación.
Paso 3: Si dicha cifra es menor que 5, no hay 
modificaciones en las cifras que se conservan. Si dicha 
cifra es mayor o igual que 5, la cifra por aproximar se 
debe aumentar en una unidad.
Ejemplos:
 2 Redondear a la centésima 
el número 3,1421 → 3,14
 2 Redondear a la milésima el 
número 1,8676 → 1,868
Capítulo 2 | Números Racionales
48
Ejemplos PDT
19. Si X es la mejor aproximación por defecto a la centésima de 2,64575131 e Y es la aproximación por 
redondeo a la décima de 3,16227766, entonces el valor de (X + Y) es:
(DEMRE 2017)
A ) 5,84
B ) 5,74
C ) 5,75
D ) 5,85
20. ¿ Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s), con respecto a la expresión decimal 
de 11
3 ?
(DEMRE 2017)
I. El dígito de la milésima es un número par.
II. Es un número decimal periódico.
III. El número truncado al dígito de la cienmilésima es 0,27273.
A ) Solo I
B ) Solo I y II
C ) Solo I y III
D ) Solo II y III
Números Racionales | Capítulo 2
Matemática Para Nacional 49
Capítulo 2
Números Racionales │ Ejercicios 
Instrucciones
› Lee con atención cada una de las siguientes preguntas y marca la alternativa correcta.
› Recuerda aplicar los contenidos desarrollados en este capítulo para resolver los ejercicios.
› Toma el tiempo que demoras en completar el test. El objetivo es terminarlo en menos de 2 horas y 20 minutos (140 minutos).
1. 3
2
6
5
15
9
10
2– – –$ =c m
A ) 15
2–
B ) 30
1–
C ) 3
1
D ) 0
2. ¿Qué resultado se obtiene si al doble de 2,4 se le resta el triple de 3,2?
A ) 4,8
B ) 5,2
C ) – 5,2
D ) – 4,8
3. Andrés debe recorrer 15,4 kilómetros y ha avanzado 8.750 metros. ¿Cuánto le falta por recorrer?
A ) 6,29 kilómetros 
B ) 6,65 kilómetros 
C ) 7,65 kilómetros 
D ) 7,75 kilómetros
4. En una competencia de natación, Anita, Cata y Maca demoraron 25,4 segundos, 25,03 segundos y 
25,3 segundos en llegar a la meta, respectivamente. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) 
verdadera(s)?
I. Anita llegó después de Maca
II. Maca llegó 27 centésimas después de Cata
III. Cata llegó primera
A ) Solo I
B ) Solo III
C ) Solo I y II
D ) I, II y III 
5. ¿ Cuánto se obtiene si el producto 0,5 ∙ 0,05 se divide por el producto 2,5 ∙ 0,025 ?
A ) 0,04
B ) 0,4
C ) 2,5
D ) 25
Capítulo 2 | Números Racionales
50
6. Un partido se desarrolla en dos tiempos de 45 minutos cada uno. ¿Qué fracción del partido resta cuando 
han transcurrido 20 minutos del segundo tiempo?
A ) 9
2
B ) 9
4
C ) 9
5
D ) 18
5 
7. La tercera parte de la mitad del triple del cuádruple de la décima parte de 70 es:
A ) 8
7
B ) 7
C ) 14
D ) 140
8. ¿ Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I. El inverso multiplicativo de 4
3– es 3
4
II. El inverso aditivo de 3
15 es 316–
III. 0,36 + 0,64 = 1
A ) Solo I
B ) Solo II
C ) Solo I y II
D ) Solo II y III 
9. Si se sabe que a = 4
3 , b = 2 y c = 0,2 ; ¿cuál es el valor de la expresión a – b + b
c ?
A ) 20
23–
B ) 20
17–
C ) 20
27
D ) 20
33
10. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es(son) correcta(s)?
I. Para cada número racional “a” es posible encontrar en los racionales un número “b” tal 
que a + b = 0
II. Para cada número racional “a” podremos encontrar un número racional “b” tal que ab = 1
III. La división de dos números racionales siempre da como resultado un número racional
A ) Solo I
B ) Solo II
C ) Solo II y III
D ) I, II y III
Números Racionales | Capítulo 2
Matemática Para Nacional 51
11. ¿ Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I. 
5
4
3
20
3=
II. ,0 7 5 33
25=
III. 7
6
2
32
A ) Solo I
B ) Solo II
C ) Solo I y II
D ) Solo II y III
12. ¿Cuánto es el doble de la quinta parte de 
10
3
5
12
?
A ) 125
36
B ) 5
4
C ) 5
16
D ) 8
13. Si el recíproco de 3
2– es A y el opuesto de 2
1 es B, ¿cuál es el valor de B
A ?
A ) – 3
B ) 3
1–
C ) 3
1
D ) 3
14. El hervidor de agua de Teresa está a 4
1 de su capacidad con agua. Teresa, agrega tres décimas partes 
de un litro y luego lo pone a hervir. Si se sirve una taza de té de 150 ml y por un descuido bota la octava 
parte de un litro del agua hervida, ¿cuál es la capacidad máxima de dicho hervidor si en su interior 
quedaron 300 ml de agua hervida?
A ) 750 ml
B ) 800 ml
C ) 1.000 ml
D ) 1.100 ml
15. Si 3,xy corresponde a la aproximación por redondeo a la centésima del número 3,2457 y w,3z es la 
aproximación por defecto a la centésima de 1,34895, ¿cuál es el valor de x + y +