Activados-Matemática-3

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MATEMÁTICA
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MATEMÁTICA
Gerente editorial
Daniel Arroyo
Jefe del área de Matemática
Gabriel H. Lagoa
Editoras
Yanina Sousa
Autores
Roxana Abálsamo
Adriana Berio
Cintia Kotowski
Lourdes Liberto
Silvana Mastucci
Nora Quirós
Foto Activados: Laura Pezzatti
Corrector de estilo
Gabriel Valeiras
Coordinadora de Diseño
Natalia Udrisard
Diseñadora de maqueta
Patricia Cabezas
Diagramación
Pablo Alarcón y Alberto G. Scotti para Cerúleo
Ilustradores
Wally Gómez
Viñetas de humor: Claudio Kappel
Fotografías
Archivo de imágenes de Grupo Macmillan
Thinkstock
Gerente de Preprensa y Producción editorial
Carlos Rodríguez
 Matemática 3. fotoactivados / Roxana Abálsamo ... [et.al.]. - 1a ed. 1a reimp. 
- Boulogne: Puerto de Palos, 2013. 
 256 p.: il.; 28 x 20 cm - (Activados)
 ISBN 978-987-547-529-8 
 1. Matemática. 2. Enseñanza Secundaria. I. Abálsamo, Roxana 
 CDD 510.712
© Editorial Puerto de Palos S.A., 2013.
Editorial Puerto de Palos S.A. forma parte del Grupo Macmillan.
Av. Blanco Encalada 104, San Isidro, provincia de Buenos Aires, Argentina.
Internet: www.puertodepalos.com.ar
Queda hecho el depósito que dispone la Ley 11.723.
Impreso en Argentina.
Printed in Argentina.
ISBN 978-987-547-529-8
La presente obra se ha elaborado teniendo en cuenta los aportes surgidos de los encuentros organizados por 
el “Instituto Nacional contra la Discriminación, la Xenofobia y el Racismo” (INADI) con los editores de texto.
No se permite la reproducción parcial o total, el almacenamiento, el alquiler, la transmisión o la 
transformación de este libro, en cualquier forma o por cualquier medio, sea electrónico o mecánico, mediante 
fotocopias, digitalización y otros métodos, sin el permiso previo del editor.
Su infracción está penada por las leyes 11.723 y 25.446.
Primera edición, primera reimpresión. 
Esta obra se terminó de imprimir en enero de 2014, en los talleres de Impresiones Sud América, Andrés 
Ferreyra 3769, Ciudad Autónoma de Buenos Aires, Argentina. 
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MATEMÁTICA
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matemática
Es una nueva propuesta que facilita el aprendizaje de la matemática a través de 
711 actividades que favorecen la comprensión de los distintos temas.
En formato binarizado, la sección Foto Activados conecta la matemática con la 
vida cotidiana a través de la fotografía.
Foco y Mira son los personajes de esta serie. Les gusta mucho sacar fotos, principalmente 
de todo aquello que los hace recordar algún tema de matemática. Así, le encuentran sentido a 
todas las cosas que aprenden día a día en la escuela.
Apertura: cada capítulo comienza 
con una actividad ilustrada 
relacionada con la foto que aparece 
en la sección Foto Activados.
En la situación inicial de 
aprendizaje se introduce el tema del 
capítulo a través de una estrategia de 
resolución de problemas.
En el cuadro de 
contenidos aparecen los 
temas numerados para su 
fácil identificación.
InfoActiva: brinda 
definiciones, clasificaciones, 
procedimientos básicos y 
ejemplos de cada contenido 
que facilitan la comprensión.
Conector: invita a repasar 
conceptos explicados en páginas 
anteriores.
Test de comprensión: incluye 
preguntas básicas que permiten 
evaluar la comprensión de la teoría y 
revisar errores comunes.
LOS capítuLOS incLuyen LaS SiguienteS SecciOneS y pLaquetaS:
Mira Foco
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Actividades: para cada tema 
se proponen distintas actividades 
que están organizadas de manera 
secuencial (las actividades de cada 
capítulo llevan una numeración 
independiente a la de los otros).
menteACTIVA: propone 
situaciones problemáticas con un 
mayor nivel de complejidad.
Integración: incluye más 
actividades para resolver en la 
carpeta.
Autoevaluación: propone 
más actividades para que cada 
alumno pueda evaluar los 
conocimientos adquiridos 
durante el capítulo.
Trabajos prácticos: 
incluyen más actividades para 
practicar los temas del 
capítulo.
Foto activados: en esta sección, Laura 
Pezzatti, especialista en el área de la matemática, 
ofrece una serie de actividades que conectan la 
matemática con la vida cotidiana a través de la 
fotografía.
Foco y Mira presentan las fotos que obtuvieron 
para que podamos advertir cuánta matemática hay a 
nuestro alrededor.
foto
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 Capítulo 1: NúMeros reales ..................... 8
 1. Números enteros. ................................. 9
 2. Números racionales. ............................ 11
 3. Operaciones con números racionales. 13
 4. Potenciación y radicación. ................. 17
 5. Operaciones combinadas. .................. 19
 Integración .......................................... 23
 6. Números irracionales. ......................... 25
 7. Aproximación y notación científica. ... 27
 8. Intervalos reales. ................................ 29
 Integración .......................................... 31
 Autoevaluación ................................ 33
Capítulo 2: leNguaje algebraico .......... 34
 9. Expresiones algebraicas. .................... 35
 10. Propiedad distributiva. ....................... 39
 11. Cuadrado y cubo de un binomio. ...... 41
 Integración .......................................... 43
 12. Ecuaciones I. ...................................... 45
 13. Ecuaciones II. ..................................... 49
 14. Problemas con ecuaciones. ................ 51
 15. Inecuaciones. ...................................... 53
 Integración .......................................... 55
 Autoevaluación ................................ 57
Capítulo 3: FuNcioNes ............................. 58
 16. Interpretación de gráficos. ................. 59
 17. Función. .............................................. 61
 18. Función lineal. .................................... 63
 19. Ecuación de la recta. .......................... 67
 20. Rectas paralelas y perpendiculares. .. 71
 Integración .......................................... 73
 21. Función cuadrática. ............................ 75
 22. Resolución gráfica de los sistemas 
 de ecuaciones. .................................... 77
 23. Sistemas de ecuaciones. .................... 81
 Integración .......................................... 85
 Autoevaluación ................................ 87
Capítulo 4: Figuras plaNas .................... 88
 24. Circunferencia y círculo. ..................... 89
 25. Ángulos inscriptos y semiinscriptos. .. 91
 26. Puntos notables de un triángulo. ...... 95
 27. Teorema de Pitágoras. ....................... 97
 Integración .......................................... 99
 28. Propiedades de los cuadriláteros. .... 101
 29. Propiedades de los polígonos. ........ 105
 30. Construcciones geométricas. ............ 107
 31. Perímetro y área. .............................. 109
 Integración ......................................... 111
 Autoevaluación ............................... 113
Capítulo 5: razoNes y proporcioNes . 114
 32. Razones y proporciones aritméticas. 115
 33. Propiedades de las proporciones. .... 119
 34. Proporcionalidad directa e inversa. .. 121
 Integración ........................................ 125
 35. Teorema de Thales. .......................... 127
 36. Aplicaciones del teorema de Thales. 131
 37. Razones trigonométricas. ................. 133
 38. Resolución de triángulos 
 rectángulos. ...................................... 135
 Integración ........................................ 139
 Autoevaluación ............................... 141
Capítulo 6: coNgrueNcia y seMejaNza 142
 39. Congruencia y semejanza. ................ 143
 40. Congruencia de triángulos 
 y de polígonos. ................................ 145
 41. Semejanza de triángulos. ................. 149
 42. Construcción de figuras a escala. .... 153Integración ........................................ 155
 Autoevaluación .............................. 157
Índice general
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Capítulo 7: MoviMieNtos 
 eN el plaNo .................................... 158
 43. Traslación. ........................................ 159
 44. Rotación. ............................................ 161
 45. Simetría central. ............................... 163
 46. Simetría axial. ................................... 165
 47. Eje de simetría de figuras planas. ... 167
 48. Composición de movimientos. ......... 169
 49. Homotecia. ........................................ 173
 Integración ........................................ 175
 Autoevaluación .............................. 177
Capítulo 8: estadística ......................... 178
 50. Organización de la información. ...... 179
 51. Frecuencias. ....................................... 181
 52. Intervalos. ......................................... 183
 53. Gráficos. ............................................ 185
 Integración ........................................ 187
 54. Medidas de posición. ....................... 189
 55. Media y moda en intervalos. ............ 191
 Integración ........................................ 193
 Autoevaluación .............................. 195
Capítulo 9: coMbiNatoria 
 y probabilidad .............................. 196
 56. Factorial. Permutaciones. ................. 197
 57. Variaciones. ...................................... 199
 58. Combinaciones. ................................ 201
 Integración ........................................ 203
 59. Probabilidad. .................................... 205
 60. Probabilidades condicionadas. ........ 207
 Integración ........................................ 209
 Autoevaluación ............................... 211
Trabajos prácticos .................................... 212
 Trabajo práctico 1 ............................. 213
 Trabajo práctico 2 ............................ 215
 Trabajo práctico 3 ............................ 217
 Trabajo práctico 4 ............................ 219
 Trabajo práctico 5 ............................ 221
 Trabajo práctico 6 ............................ 223
 Trabajo práctico 7 ............................ 225
 Trabajo práctico 8 ............................ 227
 Trabajo práctico 9 ............................ 229
Control de resultados ............................... 231
foto
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8
Números reales
Contenidos
1. Números enteros.
2. Números racionales.
3. Operaciones con números 
racionales.
4. Potenciación y radicación.
5. Operaciones combinadas.
6. Números irracionales.
7. Aproximación y notación 
científica.
8. Intervalos reales.
1
Situación inicial de aprendizaje
1. Observen la imagen y resuelvan.
La pareja de turistas quiere realizar la excursión a los Glaciares y revisan cuánto dinero en efecti-
vo tienen disponible.
a. Si la cuenta del bar es igual al 60% de lo que cuesta la excursión por persona (sin el des-
cuento) más una propina del 10%, ¿cuánto abonaron? ¿Cuánto dinero les quedó para hacer la 
excursión si antes de pagar tenían $650 entre los dos?
b. Modifiquen los datos de la situación para que luego de pagar en efectivo el bar y la excur-
sión, les queden $102.
c. Comparen las respuestas con las de sus compañeros.
capítulo
Excursión
“PasEO GlaciarEs”
$180 por persona
15% de descuento 
por pago en efectivo
a. 60% de $180 = $108; 110% de $108 = 118,80. $650 – $118,80 = $531,20. b. Por ejemplo, se puede decir 
que antes de pagar tenían $526,80 en efectivo. $526,80 – $118,80 – 0,85 . $360 = $102
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9
3 4 5 7 86 9 10
números enteros
El conjunto de los números enteros está formado por los números negativos, los positivos y el cero.
Propiedades de la potenciación y la radicación
Propiedad En símbolos 
Producto de potencias de igual base. an . am = an+m
Cociente de potencias de igual base. an : am = an–m
Potencia de otra potencia. (an)m = am.n
Propiedad distributiva. (a . b)n = an . bn (a : b)n = an : bn
Propiedad En símbolos
Simplificación de índices y exponentes. n √ 
___
 am = 
n : b
 √ 
____
 a m : b con b ≠ 0
Propiedad distributiva. 
n
 √ 
_____
 a . b = n √ 
__
 a . 
n
 √ 
__
 b 
n
 √ 
_____
 a : b = n √ 
__
 a : 
n
 √ 
__
 b 
Si n es par, a ≥ 0 y b ≥ 0.
cálculos combinados
Para resolver cálculos combinados se separa en términos con los signos + y –. Luego, se resuelven 
las potencias y raíces, a continuación las multiplicaciones y divisiones y, finalmente, las sumas y las restas.
Si un cálculo combinado tiene paréntesis, se resuelven primero los cálculos que ellos encierran.
Divisibilidad
Un número entero a es divisible por otro b (distinto de cero), cuando la división entre sus valores 
absolutos tiene resto 0. También se dice que a es múltiplo de b.
El divisor común mayor (dcm) entre dos o más números es el mayor divisor positivo que tienen 
en común esos números.
El múltiplo común menor (mcm) entre dos o más números es el menor múltiplo positivo que tienen 
en común esos números.
1. respondan y expliquen las respuestas. 
a. ¿Se puede aplicar la propiedad distributiva de la potenciación con respecto a la suma de 
número enteros?
b. ¿Se puede aplicar la propiedad distributiva de la radicación con respecto a la división de 
números enteros positivos?
c. ¿Cómo se simplifica el índice con el exponente en el cálculo 
4
 √ 
__
 58 ?
d. ¿Cuál es el dcm entre dos o más números primos?
9
1 2
Nombre: Curso: Fecha: / /
test de comprensión
infoactiva
s
a. No, no existe ninguna propiedad que asegure esa igualdad. b. Sí. c. Se dividen el índice y el expo-
nente por un mismo número; en este caso, por 4. d. El dcm entre números primos es el 1.
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10
1. apliquen propiedades para obtener una expresión más simple.
a. (a3 . a2)3 = c. b3 : b2 = 
b. a5 . b5 = d. 4 √ 
__
 a : 
4
 √ 
__
 b = 
2. resuelvan de dos formas diferentes.
a. 32 . 32 = c. 23 : 2 = 
 
b. √ 
______
 9 . 25 = d. √ 
________
 100 : 25 = 
 
3. resuelvan teniendo en cuenta las propiedades.
a. √ 
__
 2 . √ 
__
 2 – 5 5 : 5 3 + ( 2 3 ) 2 = d. √ 
__________
 60 + 12 . 7 + 3 √ 
___
 48 . 3 √ 
___
 36 – ( 3 3 ) 2 : 3 6 =
 
 
 
b. 315 : 313 + √ 
________
 5 + 5 . 4 – (3 + 20 . 3)0 = e. –√ 
__
 4 . (– √ 
__
 9 ) + ( 2 3 ) 5 : 8 5 – 4 √ 
________
 16 . 625 =
 
 
 
c. 3 √ 
________
 27 . 125 – 3 √ 
____
 125 – ( –1 ) 3 + 32 0 = f. – 3 √ 
____
 –27 – √ 
____
 324 – ( –2 + 3 ) 2 + 12 : ( 2 + 2 2 ) =
 
 
 
4. calculen el mcm y dcm en cada caso.
a. 36 y 1 = d. 84 y 140 = 
 
 
b. 7 y 11 = e. 600; 108 y 420 = 
 
 
c. 495 y 525 = f. 132; 18 y 22 = 
 
 
1 números enterosacTiViDaDEs
10
 (a5)3 = a15 b3–2 = b
 (a . b)5 
4
 √ 
_____
 a : b 
 32+2 = 34 = 81 23–1 = 22 = 4
 9 . 9 = 81 8 : 2 = 4
 √ 
__
 9 . √ 
___
 25 = 3 . 5 = 15 √ 
____
 100 : √ 
___
 25 = 10 : 5 = 2
 √ 
____
 225 = 15 √ 
__
 4 = 2
41 23
13 –3
12 –14
mcm (36;1) = 36 mcm (84;140) = 420
dcm (36;1) = 1 dcm (84;140) = 28
mcm (7;11) = 77 mcm (600;108;420) = 37 800
dcm (7;11) = 1 dcm (600;108;420) = 12
mcm (495;525) = 17 325 mcm (132;18;22) = 396
dcm (495;525) = 15 dcm (132;18;22) = 2
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11
1 4 5 6 8 97 10 11
números racionales
Nombre: Curso: Fecha: / /
11
2 3
Un número racional es una expresión de la forma a __ b donde a y b son números enteros, con b 
distinto de cero.
Todo número racional se puede expresar en forma de fracción o como expresión decimal. Para 
transformar una fracción en una expresión decimal se calcula el cociente entre el numeradory el 
denominador.
 3 __ 4 = 0,75
Las expresiones decimales se clasifican en:
• Exactas: tienen un número finito de cifras decimales.
Una fracción irreducible tiene una expresión decimal exacta (E. D. E.), cuando los factores primos 
del denominador son potencias de 2, de 5 o de ambos.
 1 __ 5 = 0,2 
3 __ 2 = 1,5 
1 ___ 10 = 0,1
• Periódicas: tienen cifras decimales que se repiten infinitamente. Pueden ser periódicas puras 
(todas sus cifras decimales son periódicas) o periódicas mixtas (tienen una parte decimal no perió-
dica seguida de otra periódica).
0,23 = 23 – 2 _____ 90 = 
21 ___ 90 
Para pasar una expresión decimal periódica 
mixta (E. D. P. M.) a fracción, se escribe en el nume-
rador la parte periódica y no periódica y se resta la 
parte no periódica. En el denominador se escriben 
tantos nueves como cifras periódicas, y ceros como 
cifras no periódicas tenga la expresión.
1,2 = 12 – 1 _____ 9 = 
11 ___ 9 
Para pasar una expresión decimal periódica 
pura (E. D. P. P.) a fracción se escriben en el nume-
rador todas las cifras, periódicas y no periódicas, y 
se resta la parte no periódica. En el denominador 
se escriben tantos nueves como cifras tenga el 
período.
1. respondan y expliquen las respuestas.
a. La fracción 3 ___ 50 ¿tiene una expresión decimal finita?
b. ¿Cuál es la diferencia que existe entre una fracción y la que resulta de multiplicar el nume-
rador y el denominador por un mismo número? ¿Cómo son esas fracciones?
c. El número 1,2345678… ¿es un número periódico?
d. ¿Qué diferencia existe entre una expresión periódica pura y una mixta?
infoactiva
test de comprensión
a. Sí, porque 50 = 2 . 52. b. Ninguna. Son fracciones equivalentes. c. No, porque no existen cifras deci-
males que se repitan. d. En una expresión periódica pura, las cifras decimales se repiten periódicamen-
te, y en una mixta, hay una parte periódica y una no periódica.
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5. Escriban la expresión decimal de los siguientes números racionales.
a. 8 __ 3 = c. 
2 __ 5 = e. 
25 ___ 27 = 
b. 12 ___ 6 = d. 
8 __ 9 = f. 
195 ____ 90 = 
6. coloquen una x donde corresponda.
Expresión decimal...
Fracción
 3 __ 5 
112 ___ 44 
75 ___ 40 
126 ____ 54 
12 ___ 45 
... exacta
... periódica pura
... periódica mixta
7. Escriban la fracción que corresponde a cada expresión decimal.
a. 10,5 = 
 
c. 2,3 = 
 
e. 1,42 = 
b. –0,4 = 
 
d. 3,6 = 
 
f. 1,15 = 
8. completen con los números que faltan para obtener fracciones equivalentes.
a. 105 ____ 165 = 
_____ 33 = 
7 _____ = _____ 55 c. 
210 ____ 112 = 
105 _____ = _____ 8 = 
30 _____ 
b. 36 ___ 24 = 
3 _____ = _____ 12 = 
108 _____ d. 30 ___ 54 = 
_____ 27 = 
10 _____ = _____ 9 
9. Ordenen de menor a mayor los siguientes números racionales.
–3,2; – 7 __ 2 ; 
5 __ 3 ; 1,6; –3,21; 
3 __ 2 ; – 
17 ___ 5 ; 1,42
10. Escriban un número que se encuentre entre los números dados.
a. 3,4 3,8 c. –0,3 –0,29 e. 0,7 7 __ 9 
b. 3 __ 5 
4 __ 5 d. 4,6 4,7 f. –2,5 –2,3
11. simplifiquen para obtener la fracción irreducible en cada caso.
a. 84 ____ 108 = b. 
322 ____ 266 = c. 
858 ____ 330 = d. 
4 500 _____ 4 800 = e. 
2 584 _____ 3 192 = 
2 números racionalesacTiViDaDEs
12
 2,6 0,4 2,925
 2 0,8 2,16
 X X
 X X
 X
 21 7 64
 2 3 45
 –2 11 52
 5 3 45
 21 35 15
 11 56 16
 18 15 5
 2 72 18
– 7 __ 2 < – 
17 ___ 5 < –3,21 < –3,2 < –1,42 < 
3 __ 2 < 1,6 < 
5 __ 3 
 3,5 –0,295 0,76
 0,7 4,65 –2,4
 7 23 13 15 17
 9 19 5 16 21
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5 6 7
Operaciones con números racionales
Nombre: Curso: Fecha: / /
13
2 3 4 98 11 1210
adición sustracción
 1 __ 3 + 
4 __ 9 = 
3 __ 9 + 
4 __ 9 = 
7 __ 9 
 
 Equivalentes
9 es el mcm entre 3 y 9.
 4 __ 5 – 
1 __ 2 = 
8 ___ 10 – 
5 ___ 10 = 
3 ___ 10 
 
 Equivalentes
10 es el mcm entre 5 y 2.
Multiplicación División
 4 __ 5 
. 10 ___ 12 = 
4 . 10 ______ 5 . 12 = 
2 __ 3 
Antes de realizar la operación, se puede 
simplificar cualquier numerador con cualquier 
denominador.
 4 __ 9 : 
5 __ 6 = 
4 __ 9 
. 6 __ 5 = 
8 ___ 15 
La división es igual a la multiplicación entre el 
primer número y el inverso multiplicativo del 
segundo.
División de expresiones decimales
Para dividir dos expresiones decimales, se transforma la operación en una división donde el 
divisor es un número entero.
 . 10
 En este ejemplo se multiplica por 10 
16,86 : 1,2 = 168,6 : 12 = 14,05 al dividendo y al divisor para que
 este último sea un número entero.
 . 10
Operaciones combinadas con fracciones y expresiones decimales
Para resolver una operación combinada con fracciones y expresiones decimales, se 
puede pasar cada expresión decimal a fracción. Luego, se resuelven las operaciones 
separando previamente en términos. 
1. respondan y expliquen las respuestas.
a. Para multiplicar dos fracciones, ¿se puede simplificar antes de hacer la operación? ¿Se obtiene 
el mismo resultado si se simplifica luego de hacer la operación?
b. En la división de números racionales, ¿se cumple la propiedad conmutativa?
c. ¿Cuál es el inverso multiplicativo de 3 __ 5 ? ¿Y de 5?
d. ¿Cómo se resuelve un cálculo combinado con fracciones y expresiones decimales?
infoactiva
test de comprensión
En la página 11 
pueden repasar cómo 
se pasan a fracción 
las expresiones 
decimales.
 
a. Sí, es equivalente. b. No. c. El inverso multiplicativo de 3 __ 5 es 
5 __ 3 . El inverso multiplicativo de 5 es 
1 __ 5 . 
d. Por ejemplo, se pueden pasar las expresiones decimales a fracción y luego se resuelve.
2
3
21
1 3
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12. completen con la operación que corresponde para obtener el resultado indicado.
a. 7 ___ 12 
3 __ 2 = 
7 ___ 18 c. 
7 __ 3 
9
 __ 2 = 
21 ___ 2 e. – 
5 __ 3 
3 ___ 15 = – 
25 ___ 3 
b. 12 ___ 7 
49
 ___ 18 = 
14 ___ 3 d. 
3 __ 2 – 
1 __ 2 = 1 f. – 
2 __ 5 – 
2 __ 3 = 
4 ___ 15 
13. resuelvan.
a. 3 __ 5 + 
2 __ 3 
. 6 ___ 14 = e. – 
2 __ 3 
. ( 5 __ 2 : 5 __ 2 + 3 __ 4 ) – ( – 1 __ 4 ) =
 
 
 
b. 3 __ 5 
. ( 2 + 3 __ 4 ) : 4 __ 3 = f. 5 __ 3 + ( 3 __ 2 + 1 __ 4 . 8 __ 3 ) – ( – 1 __ 4 ) =
 
 
 
c. 5 __ 3 – ( 1 __ 4 + 2 . 3 __ 5 ) = g. [ ( 3 + 1 __ 5 ) . 3 – ( 2 + 3 __ 5 : 2 ___ 25 ) ] : 6 ___ 15 =
 
 
 
d. 5 __ 2 + ( 3 __ 4 – 3 __ 5 . 15 ___ 2 ) : 3 = h. { [ ( 4 + 5 __ 3 . 2 ) : 11 + 2 __ 5 ] . 3 __ 2 } : 6 =
 
 
 
14. indiquen si las siguientes igualdades son verdaderas. En caso de no serlo, escríbanlas correcta-
mente.
a. 2 __ 5 : 
4 __ 3 = 
2 . 4 _____ 5 . 3 c. 
2 __ 5 + 
1 __ 4 : 3 = 
13 ___ 20 : 3
 
 
b. 2 + 3 _____ 3 = 
2 __ 3 + 3 d. 
 3 __ 5 + 2
 _____ 6 = 
 3 __ 5 
 __ 6 + 
1 __ 3 
 
 
3 Operaciones con números racionalesacTiViDaDEs
14
 : . :
 . + –
 31 ___ 35 – 
11 ___ 12 
 99 ___ 80 
49 ___ 12 
 13 ___ 60 
1 __ 4 
 5 __ 4 
4 ___ 15 
 No. 2 __ 5 : 
4 __ 3 = 
2 __ 5 
. 3 __ 4 No. 
2 __ 5 + 
1 __ 4 : 3 = 
2 __ 5 + 
1 ___ 12 
 No. 2 __ 3 + 
3 __ 3 = 
2 __ 3 + 1 Sí.
P12-3085-C01.indd 14 1/17/13 3:12 PM
15. Escriban un par de paréntesis para obtener el resultado indicado.
a. 3 __ 2 + 5 
. 2 + 1 __ 4 = 
53 ___ 4 c. 
3 __ 2 – 5 
. 2 + 1 __ 4 = – 
35 ___ 4 
b. 3 __ 2 + 5 
. 2 + 1 __ 4 = 
51 ___ 4d. 
3 __ 2 – 5 
. 2 + 1 __ 4 = – 
27 ___ 4 
16. resuelvan los siguientes cálculos combinados.
a. ( 0,6 . 20 ___ 7 + 3 ___ 14 ) . 1,5 = c. 0,3 – ( 25 ___ 3 . 0,75 + 1 __ 2 ) + 0,83 =
 
 
 
b. 0,3 . 9 __ 5 – ( 2 __ 5 + 0,3 . 5 ) = d. 3,5 : 3,8 + ( 3 + 5 __ 2 ) : ( 7 – 3,3 ) =
 
 
 
17. Escriban el cálculo y resuelvan.
a. La suma entre el triple de 1,3 y su opuesto.
 El cociente entre el triple de 2,3 y su doble.
 La diferencia entre 3,6 y su inverso.
 El inverso de la suma entre 2,7 y su siguiente número entero.
18. Escriban la expresión simbólica que corresponde.
 La diferencia entre a y su inverso, siendo a un número racional, distinto de cero.
 El opuesto del inverso de la tercera parte de 1 __ a .
 El cociente entre un número racional a (distinto de cero) y su inverso.
 El opuesto de la cuarta parte del inverso de a, siendo a un número racional distinto de cero.
3 Operaciones con números racionalesacTiViDaDEs
15
Nombre: Curso: Fecha: / /
b.
c.
d.
a.
b.
c.
d.
 ( ) ( )
 ( ) ( )
 3 – 67 ___ 12 
 – 13 ___ 10 
12 ___ 5 
 3 . 1,3 + (–1,3) = 2,6
 (3 . 2,3 ) : (2 . 2,3 ) = 1,5
 11 __ 3 – 
3 __ 11 = 
112 ___ 33 
 (2,7 + 3)–1 = 9 ___ 52 
 a – 1 __ a 
 –3a
 a : 1 __ a = a
2
 – 1 __ 4 
. 1 __ a = – 
1 ___ 4a 
P12-3085-C01.indd 15 1/17/13 3:12 PM
3 Operaciones con números racionalesacTiViDaDEs
16
19. resuelvan.
a. 0,2 . ( 3 + 9 __ 5 ) – 1,5 . 4 __ 5 = f. –3 . ( 1,3 – 7 __ 3 ) – 9 __ 5 . ( 0,3 – 5 __ 3 ) =
 
 
 
 
 b. ( 5 __ 3 + 2,6 ) . 2 ___ 13 – 0,3 + 5 __ 6 = g. 2 . ( 3 + 1 __ 5 ) – ( 0,32 : 0,02 . 1 ___ 56 + 3 ) = 
 
 
 
 
c. 0,04 . 15 ___ 2 + 2,1 
. ( 3 ___ 19 – 1 ) = h. { [ – ( 1,5 + 0,3 : 1 __ 2 ) + 23 ___ 12 : 0,3 ] : 0,25 } . 2 ___ 43 =
 
 
 
 
d. 0,83 . 2 ___ 15 
. ( 2 + 1 __ 3 : 1,6 + 1 ) = i. 
2 : ( 3 __ 5 + 0,25 ) – (0,3 – 5,3) : 17 ____________________________ 
–0,52 . 90 + 2 
 =
 
 
 
 
e. 7,2 . 3,3 – ( 23 ___ 3 + 7 __ 2 : 0,3 ) = j. 
 ( 9 __ 4 . 0,5 + 3 ) : 34 . ( 3 __ 5 – 2,3 ) _____________________________ 
 [ ( 0,04 : 0,03 – 2 ) – ( 0,2 + 1 __ 3 ) ] . 2 __ 3 
 =
 
 
 
 
 – 2 ___ 15 
27 ___ 5 
 7 __ 6 
109 ___ 35 
 – 13 ___ 9 
2 __ 3 
 16 ___ 45 – 
1 ___ 17 
 17 ___ 3 
13 ___ 48 
P12-3085-C01.indd 16 1/17/13 3:12 PM
Potenciación y radicación
Nombre: Curso: Fecha: / /
17
6 7 8 109 12 13113 4 5
Potenciación radicación
• ( 2 __ 3 ) 
2
 = 2 
2 __ 3 2 = 
4 __ 9 
• ( 2 __ 3 ) 
0
 = 1
• ( 2 __ 3 ) 
1
 = 2 __ 3 
• ( 2 __ 3 ) 
–2
 = ( 3 __ 2 ) 
2
• √ 
___
 9 ___ 25 = 
3 __ 5 
• 
3
 √ 
___
 27 ___ 8 = 
3 __ 2 
La radicación también se puede escribir como exponente fraccionario.
 n √ 
__
 am = a 
m
 __ n
Propiedades
Para la potenciación y la radicación de números racionales se verifican las mismas propiedades 
que para los números enteros.
• Producto o cociente de potencias de igual base.
 ( 2 __ 3 ) 
2 . ( 2 __ 3 ) . ( 2 __ 3 ) 
2 = ( 2 __ 3 ) 
2+1+2 = ( 2 __ 3 ) 
5 ( 5 __ 4 ) 
7 : ( 5 __ 4 ) 
2 : ( 5 __ 4 ) 
3 = ( 5 __ 4 ) 
7–2–3 = ( 5 __ 4 ) 
2 
• Potencia de otra potencia.
 [ ( 3 __ 4 ) 
2 ] –1 = ( 3 __ 4 ) 
2.(–1) = ( 3 __ 4 ) 
–2 
• Simplificación de índices y exponentes.
 6 √ 
_____
 ( 3 __ 2 ) 
15 = ( 3 __ 2 ) 
 15
5
 ____ 6
2
 
 = √ 
____
 ( 3 __ 2 ) 
5 3 √ 
____
 ( 7 __ 8 ) 
6 = ( 7 __ 8 ) 
 6
2
 ___ 3
1
 
 = ( 7 __ 8 ) 
2
• Producto o cociente de raíces de igual índice.
 √ 
__
 1 __ 3 
. √ 
__
 6 __ 2 = √ 
____
 1 __ 3 
. 6 __ 2 
3
 √ 
__
 3 __ 4 : 
3
 √ 
__
 2 __ 9 = 
3
 √ 
____
 3 __ 4 : 
2 __ 9 
• Raíz de otra raíz.
 √ 
_____
 3 √ 
____
 729 ____ 64 = 
2.3
 √ 
____
 729 ____ 64 = 
6
 √ 
____
 729 ____ 64 
1. respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Es lo mismo ( 3 __ 5 ) 
2
 y 3 __ 5 
2
 ?
b. Si un número racional negativo está elevado a un número negativo, ¿el resultado es un 
número negativo?
c. ¿Es cierto que 
4
 √ 
_____
 ( – 1 __ 4 ) 
6
 = √ 
_____
 ( – 1 __ 4 ) 
3
 ?
d. La raíz de una suma, ¿es igual a la suma de las raíces?
infoactiva
test de comprensión
a. No. En el segundo caso solo el numerador está elevado al cuadrado. b. No siempre; el exponente 
negativo indica que se debe invertir la base. c. No, porque la primera tiene solución y la segunda, no. 
d. No, la propiedad distributiva no se verifica para la suma.
P12-3085-C01.indd 17 1/17/13 3:12 PM
20. unan con flechas las expresiones equivalentes.
a. ( 2 __ 3 ) 
 1 __ 3 • 3 √ 
__
 3 __ 2 
b. 2 
2 __ 3 • 2 
3 __ 2 
c. √ 
__
 23 • 3 √ 
__
 1 __ 2 
d. ( 3 __ 2 ) 
 1 __ 3 • ( 3 __ 2 ) 
– 1 __ 3 
e. 2 – 
1 __ 3 • 9 √ 
__
 26 
21. resuelvan de dos maneras diferentes, aplicando propiedades cuando sea posible.
a. ( 2 __ 3 ) 
2
 : 2 __ 3 = e. √ 
_______
 4 ___ 25 
. 9 ___ 36 = 
 
b. ( 1 __ 2 . 1 __ 2 ) 
2
 = f. 4 √ 
____
 ( 9 __ 4 ) 2 = 
 
c. [ ( 3 __ 2 ) 
2
 ] –1 = g. √ 
_______
 121 ___ 4 : 
36 ___ 9 = 
 
d. ( 3 __ 2 + 1 __ 3 ) 
2
 = h. √ 
______
 9 ___ 16 + 1 = 
 
22. resuelvan aplicando propiedades.
a. [ ( 3 __ 5 ) 
2
 . ( 5 __ 3 ) 
3
 ] –1 = f. [ ( √ 
__
 81 ___ 16 ) 
 1 __ 2 ] –1 = 
 
b. [ ( 2 __ 5 ) 
–2
 . ( 5 __ 2 ) 
4
 ] 
1 __ 2 = g. ( √ 
___
 5–4 ) 
1 __ 2 . ( 1 __ 5 ) 
–2
 = 
 
c. [ ( 2 __ 3 ) 
2
 . ( 2 __ 3 ) 
3
 ] 2 : ( 2 __ 3 ) 
8
 = h. √ 
____
 √ 
__
 81 ___ 16 
. ( 3 __ 2 ) 
2
 : ( 2 __ 3 ) 
–1
 = 
 
d. [ ( 1 __ 4 ) 
7
 : ( 1 __ 4 ) 
4
 ] : [ ( 1 __ 4 ) 
2
 . 4 ] = i. [ ( 2 __ 3 ) 2 . ( 0,6 ) 
–1
 ] : ( 3 __ 2 ) –4 = 
 
e. [ ( 1 __ 3 ) 
–1
 . ( 1 __ 3 ) 
3
 . 3–2 ] : 3 √ 
___
 1 ___ 27 = j. [ ( 3 __ 5 ) 
3 __ 2 . √ 
__
 5 __ 3 
. (0,6) 
 3 __ 2 ] –2 = 
 
23. resuelvan mentalmente.
a. 2,4 . 102 = c. 0,25 . 10
3 = e. 134 : 
1 ___ 
102
 = 
b. 34,5 . 103 = d. 0,0008 . 10
4 = f. 23 : 10
3 = 
4 Potenciación y radicaciónacTiViDaDEs
18
 ( 2 __ 3 ) 
2–1
 = 2 __ 3 
 
 √ 
___
 4 ___ 25 . 
 
 √ 
___
 9 ___ 36 = 
2 __ 5 
. 3 __ 6 = 
1 __ 5 
 4 __ 9 : 
2 __ 3 = 
2 __ 3 
 
 √ 
___
 1 ___ 25 = 
1 __ 5 
 ( 1 __ 2 ) 
2
 . ( 1 __ 2 ) 
2
 = 1 ___ 16 
 
 √ 
__
 9 __ 4 = 
3 __ 2 
 ( 1 __ 4 ) 
2
 = 1 ___ 16 
4
 √ 
___
 81 ___ 16 = 
3 __ 2 
 ( 3 __ 2 ) 
2.(–1)
 = 4 __ 9 
 
 √ 
____
 121 ___ 4 : 
 
 √ 
___
 36 ___ 9 = 
11 __ 2 
. 3 __ 6 = 
11 __ 4 
 ( 9 __ 4 ) 
–1
 = 4 __ 9 
 
 √ 
____
 121 ___ 16 = 
11 __ 4 
 ( 9 + 2 _____ 6 ) 
2
 = ( 11 __ 6 ) 
2
 = 121 ___ 36 
 
 √ 
___
 25 ___ 16 = 
5 __ 4 
 ( 3 __ 5 ) 
–2
 . ( 5 __ 3 ) 
–3
 = 3 __ 5 ( 4 √ 
___
 81 ___ 16 ) 
–1
 = 2 __ 3 
 ( 2 __ 5 ) 
–1
 . ( 5 __ 2 ) 
2
 = 5 __ 2 
. ( 5 __ 2 ) 
2
 = 125 ____ 8 ( 1 __ 5 ) 
 4 __ 2 
.
 
 1 __ 2 . ( 1 __ 5 ) 
–2
 = ( 1 __ 5 ) 
1–2= 5
 ( 2 __ 3 ) 
(2+3).2–8
 = ( 2 __ 3 ) 
2
 = 4 __ 9 
4
 √ 
___
 81 ___ 16 
. ( 3 __ 2 ) 
2
 . 3 __ 2 = ( 3 __ 2 ) 
1+2+1
 
 = 81 ___ 16 
 ( 1 __ 4 ) 
7–4
 : ( 1 __ 4 ) 
2–1
 = ( 1 __ 4 ) 
3–1
 ( 2 __ 3 ) 
2–1–4
 = 27 ___ 8 
 = 1 ___ 16 
 ( 1 __ 3 ) 
–1+3+2
 : 1 __ 3 = ( 1 __ 3 ) 
4–1
 ( 3 __ 5 ) 
–3
 . ( 5 __ 3 ) 
–1
 . ( 3 __ 5 ) 
–3
 
 = 1 ___ 27 = ( 5 __ 3 ) 
3–1+3
 = 3 125 _____ 243 
 240 250 13 400
 34 500 8 0,023
P12-3085-C01.indd 18 1/17/13 3:12 PM
7 8 9 1110 13 14124 5 6
Operaciones combinadas
Nombre: Curso: Fecha: / /
19
Para resolver un cálculo combinado con todas las operaciones vistas, pueden seguir estos pasos.
(–0,7)3 . 10 ___ 21 
. 20 + √ 
____
 0,4 : 10 ___ 11 – 1,05 = 1. Se separa en términos.
 ( – 7 ___ 10 ) 
3 . 10 ___ 21 
. 20 + √ 
__
 4 __ 9 : 
10 ___ 11 – 
95 ___ 90 = 2. Se pasan las expresiones decimales a fracción.
– 343 ______ 1 000 
. 10 ___ 21 
. 20 + 2 __ 3 : 
10 ___ 11 – 
95 ___ 90 = 3. Se resuelven las potencias y raíces.
– 49 ___ 15 + 
22 ___ 30 – 
19 ___ 18 = 4. Se resuelven las multiplicaciones y divisiones.
= – 323 ____ 90 5. Se resuelven las sumas y restas.
El siguiente cálculo se puede resolver de dos formas diferentes.
 √ 
______
 25 ___ 16 
. 36 ___ 4 – ( 5 __ 2 + 3 __ 7 – 7 __ 4 ) = √ 
______
 25 ___ 16 
. 36 ___ 4 – ( 5 __ 2 + 3 __ 7 – 7 __ 4 ) =
 √ 
______
 25 ___ 16 
. 36 ___ 4 – 
33 ___ 28 = 
 √ 
___
 25 ____ 
 √ 
___
 16 
 . √ 
___
 36 ____ 
 √ 
__
 4 
 – 5 __ 2 – 
3 __ 7 + 
7 __ 4 =
 √ 
____
 225 ____ 16 – 
33 ___ 28 = 
5 __ 4 
. 6 __ 2 – 
5 __ 2 – 
3 __ 7 + 
7 __ 4 =
 15 ___ 4 – 
33 ___ 28 = 
18 ___ 7 
15 ___ 4 – 
5 __ 2 – 
3 __ 7 + 
7 __ 4 = 
18 ___ 7 
El siguiente cálculo se puede resolver aplicando 
propiedades de la potenciación y la radicación.
 4 √ 
____
 ( 2 __ 7 ) 
8 + ( 3 __ 2 ) 
10 : ( 3 __ 2 ) 
8 – √ 
__
 5 __ 4 
. √ 
___
 10 ___ 2 =
 ( 2 __ 7 ) 
 8 __ 4 + ( 3 __ 2 ) 
2 – √ 
___
 25 ___ 4 =
 ( 2 __ 7 ) 
2 + 9 __ 4 – 
5 __ 2 =
 4 ___ 49 + 
9 __ 4 – 
5 __ 2 = – 
33 ____ 196 
1. respondan y expliquen las respuestas.
a. En los cálculos combinados con potencias y raíces, ¿en qué orden se deben resolver las 
operaciones?
b. ¿Cuál es el resultado de √ 
__
 8 . √ 
__
 2 ?
c. El cálculo ( 4 __ 7 + 2,7 ) 
3
, ¿se puede resolver de dos formas diferentes?
infoactiva
test de comprensión
a. Primero se resuelven las potencias y raíces; luego, las multiplicaciones y divisiones y finalmente, las 
sumas y restas. b. Es igual a la raíz cuadrada de 16, que es 4. c. No, ya que no se puede aplicar la 
propiedad distributiva.
P12-3085-C01.indd 19 1/17/13 3:12 PM
5 Operaciones combinadasacTiViDaDEs
20
24. resuelvan.
a. ( 1 __ 3 ) 
–1
 . 3–2 – 2 __ 3 
. ( 1 __ 2 + 6 ) = d. 5 __ 6 . 0,416 – 0,25 . ( 2 – 5 __ 4 ) =
 
 
 
b. 0,4 . 5 __ 4 + 
3 __ 2 
. ( 4 __ 3 ) 
2
 – 2,16 = e. 3 __ 8 
. 0,4 + 5 __ 6 
. ( 1 – 3 __ 2 ) =
 
 
 
c. 8 __ 5 
. 5 __ 4 + ( 1 __ 2 ) 
2
 . 8 __ 3 – √ 
__
 16 ___ 9 = f. √ 
___
 25 ___ 16 
. 5–1 + 3 __ 8 
. 2 __ 6 – 
5 __ 2 =
 
 
 
25. Expresen en lenguaje simbólico y luego resuelvan.
a. La diferencia entre la suma de 0,3 y 0,02 y la suma entre 2 y el opuesto de 1,21 .
 
b. La raíz cuadrada de la diferencia entre 1,89 y la suma de 0,7 y el opuesto de 1 __ 2 .
c. La raíz c bica del producto entre el opuesto de 1 ____ 625 y 0,185 .
d. La suma entre la raíz cuadrada de 5 __ 2 al cuadrado y el producto de 2,3 y el inverso de 
23 ___ 2 .
e. La suma entre 5 __ 3 y el producto entre 0,7 y su inverso.
f. El cuadrado de la suma entre 3 __ 5 y su consecutivo.
26. Escriban un par de paréntesis para obtener el resultado indicado.
a. 8 __ 5 
. 8 __ 3 + 
1 __ 
32
 – √ 
___
 4 ___ 25 
. 5 = 127 ____ 45 c. 
8 __ 5 
. 8 __ 3 + 
1 __ 
32
 – √ 
___
 4 ___ 25 
. 5 = 179 ____ 9 
b. 8 __ 5 
. 8 __ 3 + 
1 __ 
32
 – √ 
___
 4 ___ 25 
. 5 = 22 ___ 9 d. 
8 __ 5 
. 8 __ 3 + 
1 __ 
32
 – √ 
___
 4 ___ 25 
. 5 = 56 ___ 45
ú
 –4 23 ____ 144 
 1 – 1 __ 4 
 4 __ 3 – 
17 ___ 8 
 (0,3 + 0,02 ) – [2 + (–1,21 )] = – 7 ___ 15 
 
 
 √ 
_________________
 1,89 – [ 0,7 + ( – 1 __ 2 ) ] = 13 ___ 10 
 
3
 √ 
_________
 – 1 ____ 625 . 
5 ___ 27 = – 
1 ___ 15 
 
 
 √ 
____
 ( 5 __ 2 ) 
2
 + 2,3 . 2 ___ 23 = 
27 ___ 10 
 5 __ 3 + 
0,7 . 9 __ 7 = 
8 __ 3 
No es posible porque los números racionales no tienen siguiente.
 ( ) ( )
 ( ) ( )
P12-3085-C01.indd 20 1/17/13 3:12 PM
5 Operaciones combinadasacTiViDaDEs
21
Nombre: Curso: Fecha: / /
27. resuelvan.
a. 2 – { 3 __ 2 – [ ( 3 __ 2 ) 
2
 + 1 __ 5 ] } = e. ( 3 __ 5 ) 
2
 : ( 5 __ 3 ) 
–1
 . ( 25 ___ 81 ) 
 1 __ 2 + 3,2 =
 
 
 
 
b. 3 __ 2 – { √ 
___
 25 ___ 4 – [ ( 3 __ 7 – √ 
___
 36 ___ 49 ) + 3 ] } = f. { 1 __ 8 – [ ( 3 __ 2 + 5 __ 4 ) 2 + √ 
__
 1 ___ 16 ] } 
–1
 =
 
 
 
 
c. { 0,4 2 . [ ( 2 __ 5 ) 3 ] 
–2
 . 4 ___ 25 } – 
1 __ 2 = g. 03 + { √ 
___
 64 ____ 100 – [ 2 + ( 3 __ 2 + 2 __ 7 ) 
–1
 ] – 3 __ 4 } =
 
 
 
 
d. { [ ( 3 __ 6 – 12 ___ 7 ) – ( 1 + 1 __ 3 ) ] + 51 ___ 14 } – 1 __ 7 = h. { [ ( 0,6 + 1 __ 4 ) : 3 __ 5 + 2 ] . 2 ___ 41 + 1,5 } : 10 ___ 7 =
 
 
 
 
Observen los ejemplos y respondan.
 1 __ 2 + 
1 __ 4 = 
3 __ 4 
1 __ 2 + 
1 __ 4 + 
1 __ 8 = 
7 __ 8 
¿Qué estrategia pueden utilizar para resolver los siguientes cálculos?
 1 __ 2 + 
1 __ 4 + 
1 __ 8 + 
1 ___ 16 = 
1 __ 2 + 
1 __ 4 + 
1 __ 8 + 
1 ___ 16 + 
1 ___ 32 =
menteacTiVa
 59 ___ 20 
29 ___ 9 
 11 __ 7 – 
16 ____ 123 
 2 __ 5 – 
251 ____ 100 
 20 ___ 21 
7 __ 6 
 15 ___ 16 
31 ___ 32 
P12-3085-C01.indd 21 1/17/13 3:12 PM
5 Operaciones combinadasacTiViDaDEs
28. resuelvan aplicando propiedades, cuando sea posible.
a. ( 4 __ 9 : 16 ___ 18 ) 
–1
 + ( – 2 __ 3 ) 
3
 : (–0,6) – 
3
 √ 
____
 – 8 ___ 27 : 1,6 = e. { 1 __ 4 – [ ( 9 ____ 225 ) 
1 __ 2 – ( – 3 __ 5 + 0,2 ) ] 
 –1
 } : 0,17 =
 
 
 
 
b. [ ( –2 ) –3 + ( – 1 ___ 64 ) 
1 __ 3 ] . √ 
________
 1 – 0,84 + ( 2 __ 3 ) 
–1
 = f. – { – [ 3 –2 – ( √ 
_________
 3 __ 2 + 
1 __ 4 + 
6 ___ 12 + 
1 __ 3 ) ] – 5 __ 9 } =
 
 
 
 
c. √ 
______
 5 __ 6 + 
19
 ___ 36 + √ 
______
 64 ___ 81 : 
16 ___ 9 – [ 3 – 2 __ 5 . ( 5 __ 3 ) 
2
 ] – ( 5 __ 3 ) 
2
 = g. { ( 49 ___ 9 ) 2 : ( 49 ___ 9 ) 
3 __ 2 + [ 3 – ( 0,6 – 1 ) ] 2 } 
1 __ 2 =
 
 
 
 
d. [ 2 + ( 0,2 + √ 
___
 4 ____ 100 ) . ( √ 
___
 441 ____ 4 + 
3 __ 2 
. 2 __ 3 ) ] 
–1
 = h. ( 3 __ 2 ) 
–2
 – { 3 __ 5 – ( 5 __ 3 ) –1 . [ – ( √ 
___
 144 ____ 100 + 
1 __ 2 ) – 1 __ 2 ] – 6 __ 5 } =
 
 
 
 
22
Santiago y Sabrina tuvieron evaluación de Matemática. Una de las actividadesera resolver el 
cálculo 3 __ 5 + 
5 __ 2 
. 1 __ 5 + 
3
 √ 
__
 1 __ 8 . Cuando terminaron, comentaron los resultados. En ese cálculo, Santiago 
obtuvo como resultado 28 ___ 25 y Sabrina, 
8 __ 5 .
a. ¿Cuál de los chicos lo resolvió correctamente?
b. ¿Qué error pudo haber cometido quien no lo resolvió correctamente?
menteacTiVa
Sabrina resolvió el cálculo correctamente, el error de Santiago fue que no realizó la separación de térmi-
nos en forma adecuada.
 128 ____ 45 – 
25 ___ 3 
 27 ___ 20 – 
7 __ 6 
 – 17 ___ 6 
11 __ 3 
 90 ____ 617 – 
62 ____ 225 
P12-3085-C01.indd 22 1/17/13 3:12 PM
Integración
capítulo
11.2.3.4.5cOnTEniDOs
Nombre: Curso: Fecha: / /
29. apliquen las propiedades para obtener la 
expresión más simple.
a. a2 . a12 = f. √ 
__
 a . a 
1 __ 3 =
b. a3 : a5 . a = g. ( a 
3 __ 5 ) 
5
 =
c. a0 . a3 : a0 = h. √ 
__
 a . 3 √ 
__
 a =
d. a12 : a20 : a32 = i. ( √ 
__
 a ) 4 =
e. ( a 4 ) 
 1 __ 4 = j. 4 √ 
__
 a . 3 √ 
__
 a . √ 
__
 a 5 =
30. resuelvan los cálculos combinados.
a. 2 13 : 2 10 + √ 
__
 5 . √ 
__
 5 – 4 =
b. ( √ 
__
 54 ) 2 + 2 3 . 2 2 + 3 0 = 
c. 3 √ 
_______
 432 . 4 – ( 3 4 ) 5 : 3 18 + 5 . ( –3 ) =
d. 3 √ 
___
 54 . 3 √ 
__
 4 + ( 16 3 ) 2 : 16 5 – √ 
____
 100 =
e. √ 
__________
 45 + 5 . 11 – 10 2 : 10 – 3 2 =
f. 317 : 315 + √ 
___
 16 – (–5)2 =
g. √ 
___
 27 . √ 
__
 3 – (–6)2 . (–2) : (–2)2 =
h. √ 
_________
 30 + 3 . 2 – 152 : 15 + 3 . (–5) =
i. (42)3 : (22)5 + (–6) . 3 + (–4)2 =
j. ( √ 
__
 18 ) 2 + 73 : 7 – (185 – 43)0 =
k. 3 √ 
___________________
 102 + 42 + (–5) . (–20) – (23)4 : 210 + (–6) =
31. Hallen el dcm y mcm entre los siguientes 
números.
a. 48; 54 f. 24; 20
b. 60; 75 g. 90; 45
c. 15; 18; 24 h. 360; 84; 60
d. 12; 10; 4 i. 735; 245; 70
e. 392; 28; 147 j. 66; 77; 33
32. Escriban como fracción irreducible las 
siguientes expresiones decimales.
a. 0,12 = 
 
f. 12,7 = 
b. 15,24 = 
 
g. 9,16 = 
c. 6,12 = 
 
h. 3,21 = 
d. 3,6 = 
 
i. 11,4 = 
e. 8,3 = 
 
j. 5,23 = 
33. Escriban la expresión decimal que corres-
ponde a cada fracción. luego, clasifíquenlas.
a. 3 __ 2 = d. 
13 ___ 9 =
b. 113 ___ 90 = e. 
6 __ 7 =
c. 7 __ 5 = f. 
10 ___ 18 =
 
34. completen con <, > o =.
a. 3,25 3,25 f. 
20 ___ 6 
10 ___ 3 
b. 3,4 
17 ___ 5 g. 
7 __ 9 0,7
c. 2,24 2,24 h. 
9
 ___ 10 0,98
d. 5 __ 3 
7 __ 3 i. 1,9 2
e. 2 __ 5 
5 __ 2 j. 0,001 0,0010
35. simplifiquen para obtener la fracción irredu-
cible en cada caso.
a. 48 ___ 56 = f. 
944
 _____ 1 180 =
b. 96 ____ 216 = g. 
2 114 _____ 3 020 =
c. 440 ____ 275 = h. 
992
 _____ 9 348 =
d. 858 ____ 792 = i. 
5 200 _____ 5 850 =
e. 396 ____ 693 = j. 
2 244 _____ 660 =
36. Escriban en lenguaje simbólico y resuelvan.
a. El triple del cuadrado de dos tercios.
b. El producto de tres medios y siete tercios, 
aumentado en uno.
c. La suma entre el doble de 0,3 y tres cuartos.
d. El opuesto del inverso de cuatro.
e. El inverso de la diferencia entre menos 
cinco cuartos y un medio.
37. resuelvan mentalmente.
a. 1,17 . 102 = e. 4 : 10–4 =
b. 53,2 : 102 = f. 13 . 1 _____ 1 000 =
c. 6 . 10–4 = g. 34,21 . 1 ____ 100 =
d. 4,5 . 10–2 = h. 9 : 10–3 = 
23
 a14 a 
 5 __ 6 
 a–1 a3
 a3 a 
 5 __ 6 
 a–40 a2
 a a 
 37 ___ 12 
 9
 658
 –12
 12 
 –9
 940
 27
 –24
 2
 49
 –4
a. 6; 432 b. 15; 300 c. 3; 360 d. 2; 60 e. 7; 1 176
f. 4; 120 g. 45; 90 h. 12; 2 520 i. 35; 1 470 j. 11; 462
 3 115
 25 9
 381 55
 25 6
 153 289
 25 90 
 11 103
 3 9
 25 157
 3 30
 1,5; finita 1,4 ;
 p. pura
 1,25; 0,857142;
 p. mixta p. pura
 1,4; finita 0,5;
 p. pura
 
 > =
 = >
 < <
 < =
 < <
 6 __ 7 
4 __ 5 
 4 __ 9 
7
 ___ 10 
 8 __ 5 
248 _____ 2 337 
 13 ___ 12 
8 __ 9 
 4 __ 7 
17 ___ 5 
 e. ( – 5 __ 4 – 1 __ 2 ) 
–1
a. 3 . ( 2 __ 3 ) 
2
 b. 3 __ 2 
. 7 __ 3 + 1 c. 2 . 
0,3 + 3 __ 4 d. –4
–1
 
 117 40 000
 0,532 0,013
 0,0006 0,3421
 0,045 9 000
P12-3085-C01.indd 23 1/17/13 3:12 PM
24
38. lean atentamente y respondan.
Abigail compró 15 kg de alimento balanceado 
para alimentar a sus perras. Según las reco-
mendaciones del veterinario, cada perra debe 
comer la misma porción todos los días. A una 
de las perras debe darle 1,5 kg de alimento 
diario y a la otra, 0,5 kg.
a. ¿Qué cálculo debe realizar para saber cuán-
to alimento le queda luego de alimentar por 
primera vez a sus mascotas? ¿Cuánto alimen-
to balanceado le quedó?
b. ¿Para cuántos días más le alcanza la comi-
da que quedó?
39. resuelvan.
a. [ 3 __ 2 – ( 0,3 + 1 __ 4 ) . 0,6 + 1 ] : 7 ___ 36 =
b. 0,6 + 1 __ 2 
. ( 1,6 + 1 __ 5 ) + 6 =
c. { [ ( 3 __ 2 + 0,2 ) . 5 ] . 5 ___ 34 + 3 } : 1 __ 2 =
d. { [ 2 . ( 3 __ 5 + 0,25 ) + 2 __ 3 ] : 71 + 0,06 } : 1 __ 2 =
40. resuelvan aplicando propiedades de la 
potenciación.
a. [ ( 3 __ 5 ) . ( 3 __ 5 ) ] 
2
 = 
b. [ ( 1 __ 3 ) 
5
 : ( 1 __ 3 ) 
2
 ] 2 =
c. ( 2 __ 3 ) 
3
 . ( 2 __ 3 ) 
2
 . ( 3 __ 2 ) 
6
 . ( 3 __ 2 ) 
2
 =
d. [ ( 5 __ 2 ) 
13
 : ( 5 __ 2 ) 
10
 ] : [ 2 __ 5 . ( 5 __ 2 ) 
3
 ] =
e. 
4
 √ 
______
 3 ___ 16 
. 3
3
 __ 42 =
f. 6 √ 
________
 ( 5 __ 2 . 25 ___ 4 ) 
2
 =
g. √ 
__
 9 ___ 16 
. √ 
_____
 ( 3 __ 2 ) 
–2
 =
41. lean y resuelvan.
a. Una familia gasta 3 __ 5 de sus ingresos en 
comida, 1 __ 3 en impuestos y servicios y el resto 
en gastos diarios. ¿Qué fracción de sus ingre-
sos la destina a gastos diarios?
b. En las elecciones del centro de estudiantes 
de una escuela, las 2 __ 5 partes de los votos fue-
ron para la agrupación A, 1 __ 4 para la B y el 
resto para la C. Si votaron 1 000 alumnos, 
¿cuántos votos recibió cada agrupación?
42. resuelvan aplicando propiedades.
a. – [ – ( 2,90 – 7 __ 5 ) ] + 1,3 =
b. ( 3 √ 
____
 125 . 1 __ 5 ) : ( 1 __ 8 ) 
 2 __ 3 + 3 √ 
__
 1 __ 8 =
c. – { 0,46 + [ – ( 1,4 + 2 ) + 3 __ 2 ] } =
d. 3 √ 
______
 8 . 27 + ( 3 __ 2 ) 
5
 : ( 3 __ 2 ) 
4
 – √ 
__________
 50 + 25 . 2 =
e. 3 √ 
_______
 8 . 125 – √ 
___
 25 . 1 __ 5 : 5 
3 . 5 . 1 ___ 25 =
f. [ (–2) –3 + 3 √ 
____
 – 1 ___ 64 ] . √ 
________
 1 – 0,84 + ( 2 __ 3 ) 
–1
 =
g. √ 
__
 3 __ 2 
. √ 
__
 3 __ 2 + ( 5 __ 3 ) 
12
 : ( 5 __ 3 ) 
10
 . 5 __ 3 – 
 √ 
__
 9 
 __ 2 =
h. [ ( 2 __ 3 ) 
3
 ] 2 . ( 3 __ 2 ) 
4
 + 5 √ 
____
 ( 1 __ 3 ) 
5
 + 3 : ( 1 __ 2 + 1 ) =
i. √ 
_________
 4 __ 5 – 
11 __ 5 
. 1 __ 5 + ( 3 + 1 __ 4 . 5 ) 
0
 – 
3
 √ 
_____
 1 – 7 __ 8 =
43. Expresen en lenguaje simbólico y resuelvan.
a. La suma entre la raíz cúbica del opuesto de 1 __ 8 
y el inverso de la diferencia entre 2,5 y 3 __ 2 .
b. La diferencia entre el opuesto del cuadra-
do de 3 __ 2 y la raíz cuadrada de 0,04.
c. La diferencia entre el cuadrado del opuesto 
de 3 __ 2 y el cociente entre 0,3 y 0,2.
d. El producto entre la raíz cuadrada de 0,1 y 
el cuadrado de la diferencia entre uno y 0,1 .
e. El producto entre la raíz cúbica de 0,3 y la 
raíz cúbica de 0,1 .
f. El cociente entre la raíz cuadrada de 1,7 y 
el cuadrado de 2.
g. El cociente entre la suma de 1,5 y 5 __ 2 , y el 
triple de 0,4.
44. resuelvan las siguientes operaciones com-
binadas.
a. { [ – ( 0,6 – 2,3 ) + 1 __ 5 ] : (3 __ 2 – 0,2 ) + 2 } : 7 ___ 13 =
b. { [ 1,16 – ( 5 __ 3 + 1 __ 4 ) ] : 0,583 + 3 ___ 28 } : 2,75 =
c. 2,6 + 5 – [ ( 3 __ 2 + 1 __ 3 ) : ( 1 __ 2 – 2,3 ) + 0,4 ] =
d. { √ 
_______________
 – 7 ___ 10 : ( – 7 __ 2 ) . 2 __ 5 : 1 __ 8 
 _
 + [ (–2) –1 ] 2 . (–2) } . 5 ___ 26 =
e. – { ( 3 __ 2 + 0,2 ) – [ –0,2 – (0,04) 
1 __ 2 ] . √ 
____
 225 } =
f. { [ (–2) –3 + 3 √ 
____
 – 1 ___ 64 ] 
–1
 . ( 16 ___ 6 ) 
–1
 + 2 __ 5 } : 3 =
g. 1 __ 3 
. { [ 1,2 – ( 3 __ 5 + 2 __ 5 ) 
1 __ 2 ] : 0,3 + 0,09 } : 100 – 1 __ 2 =
h. { [ √ 
_________
 ( 1 __ 2 + 1 __ 3 ) . 5 __ 6 + √ 
______
 5 __ 6 + 
19
 ___ 36 : (–3) ] 
–1
 } –2 =
i. [ 3 √ 
___________
 1 __ 2 : 0,1 + 3,5 – 
1 __ 3 – ( – 5 __ 2 ) 
1
 ] : 5 __ 3 2 =
24
 1,5 + 0,5 = 2; 13 kg
 Para 6 días más.
 76 ___ 7 
 113 ___ 15 
 17 ___ 2 
 1 __ 5 
 
 81 ____ 625 
 1 ____ 729 
 
 27 ___ 8 
 5 __ 2 
 3 __ 4 
 5 __ 2 
 1 __ 2 
 1 ___ 15 
A: 400; B: 250; C: 350
 309 ____ 110 
 9 __ 2 
 43 ___ 30 
 – 5 __ 2 
 –15
 27 ___ 20 
 125 ____ 27 
 25 ___ 9 
 11 ___ 10 
 
 a. 1 __ 2 b. – 
49 ___ 20 c. 
3 __ 4 d. 
64 ____ 243 e. 
1 __ 3 f. 
1 __ 3 g. 3
a. 134 ____ 21 b. 
3 __ 4 c. – 
3 __ 7 d. 
3 ___ 52 e. – 
139 ____ 18 f. – 
1 __ 5 g. 
7 __ 3 h. 
16 ___ 81 i. 
1 __ 2 
P12-3085-C01.indd 24 1/17/13 3:12 PM
Los números irracionales son expresiones decimales con infinitas cifras decimales no periódicas.
Un número irracional no se puede expresar como el cociente entre dos números enteros.
π = 3,141592654… √ 
__
 2 = 1,414213562… 3 √ 
__
 5 = 1,709975947…
Se pueden generar números irracionales escribiendo las cifras decimales a partir de alguna regla 
de formación, para que no sean periódicas.
0,123456789... 1,112233445566... –0,135791113...
Para representar el número irracional √ 
__
 5 en la recta numérica, pueden seguir estos pasos.
 
1. Se dibuja un triángulo rectángulo cuyos catetos midan 
1 unidad (que se elige arbitrariamente) y 2 unidades. Por el 
teorema de Pitágoras, la hipotenusa mide √ 
__
 5 .
 
 
 √ 
__
 5 
1
2
 12 + 22 = ( √ 
__
 5 ) 2 
2. Se dibuja una recta numérica donde se utilice como 
escala la unidad elegida. Con el compás, se toma la medida 
de la hipotenusa y con centro en 0 se traza un arco. El punto 
que queda determinado representa al número √ 
__
 5 .
números reales
El conjunto de los números reales ( ) está formado por todos los números racionales y los irracionales.
El conjunto de los números reales es:
• Denso: entre dos números reales siempre existe otro número real.
• continuo: a cada punto de la recta numérica le corresponde un número real.
números irracionales
Nombre: Curso: Fecha: / /
25
5 8 9 10 12116 7 14 1513
1. respondan y expliquen las respuestas. 
a. La raíz cuadrada de 11, ¿es un número racional o irracional?
b. El número 1,357911... ¿es irracional? ¿Cuál es la regla de formación?
c. Un número irracional, ¿pertenece al conjunto de los números reales?
d. ¿Cuántos números reales existen entre 1 y 2? ¿Y entre 1,3 y 1,4?
infoactiva
test de comprensión
0 1 2
 √ 
__
 5 
a. Irracional. No se puede expresar como el cociente entre dos números enteros. b. Sí, tiene infinitas cifras 
decimales no periódicas. c. Sí. d. Infinitos números, porque el conjunto de los números reales es denso.
P12-3085-C01.indd 25 1/17/13 3:12 PM
6 números irracionalesacTiViDaDEs
26
45. Marquen con una x según corresponda.
número 3,4 
3
 √ 
___
 27 √ 
___
 24 √ 
__
 2 __ 2 –3 . π 1,010101… 1,010203… 1,010203
racional
irracional
46. representen en la recta numérica los siguientes números irracionales.
a. √ 
__
 3 b. – √ 
___
 13 c. √ 
___
 17 d. – √ 
___
 29 
0
47. Escriban tres números irracionales. Expliquen la regla que usaron para generarlos.
48. Escriban los números enteros entre los cuales está comprendida cada expresión.
a. < √ 
__
 3 < c. < – √ 
___
 19 < e. < 
1 __ 3 √ 
__
 3 < 
b. < – √ 
___
 85 < d. < 2 √ 
___
 15 < f. < – √ 
___
 12 + 1 < 
49. resuelvan aplicando propiedades.
a. 
10
 √ 
__
 2 5 . √ 
__
 2 = d. ( √ 
__
 2 . √ 
__
 3 ) 2 . ( 3 √ 
__
 2 . 3 √ 
__
 4 ) =
 
 
b. √ 
__
 5 . ( √ 
__
 5 + √ 
___
 20 ) = e. ( 3 √ 
_____
 1 125 – 3 √ 
___
 72 ) : 3 √ 
__
 9 =
 
 
c. √ 
__
 3 . ( √ 
___
 27 + 
4
 √ 
___
 48 2 ) = f. 8 √ 
___
 612 . 
10
 √ 
__
 65 + √ 
___
 75 : 
6
 √ 
__
 33 =
 
 
 X X X X
 X X X X
Solución gráfica.
 Por ejemplo: 5,010010001...; 3,212012001...; 2,4681012...
 1 2 –5 –4 0 1
 –10 –9 7 8 –3 –2
 2 12
 15 3
 21 41
P12-3085-C01.indd 26 1/17/13 3:12 PM
aproximación y notación científica
Nombre: Curso: Fecha: / /
27
6 9 10 15 1613 1411 127 8
1. respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Cómo se aproxima por truncamiento a los centésimos el número 12,33333? ¿Y por redondeo?
b. La temperatura en el interior del Sol es de aproximadamente 15 000 000 °C. ¿Cómo se 
escribe esa cantidad en notación científica?
c. ¿Qué representa en la calculadora la expresión 9–07?
En algunas situaciones no es necesario considerar todas las cifras decimales de un número.
Para aproximar un número se pueden utilizar dos métodos: el truncamiento y el redondeo.
Truncar un número significa “cortar” ese número en una cifra pedida y desechar las siguientes.
2,346 aproximado por truncamiento a los décimos es 2,3.
2,346 aproximado por truncamiento a los centésimos es 2,34.
redondear un número significa conservar las k cifras después de la coma y desechar las demás 
teniendo en cuenta que:
• Si la primera cifra desechada es mayor o igual que 5, se suma una unidad a la última cifra que 
se conserva;
• Si la primera cifra desechada es menor que 5, la última cifra que se conserva queda igual.
 2,346 aproximado por redondeo a los décimos es 2,3.
 2,346 aproximado por redondeo a los centésimos es 2,35.
notación científica
Un número está escrito en notación científica cuando está expresado como el producto entre una 
potencia de 10 y un número mayor o igual que 1 y menor que 10.
La unidad astronómica (UA) es una unidad de longitud igual a 149597870700 m y equivale 
aproximadamente a la distancia media entre la Tierra y el Sol. Esa distancia se puede expresar 
de la siguiente forma, usando la notación científica.
149597870700 = 1,49597870700 . 1011
Por ejemplo, para ingresar el número 1,2 . 10 4 , en algunas calculadoras se pulsan las teclas en 
este orden.
1 . 2 ExP 4
infoactiva
test de comprensión
a. 12,33. igual. b. 1,5 . 107. c. Representa en notación científica 9 . 10–7.
P12-3085-C01.indd 27 1/17/13 3:12 PM
7 aproximación y notación científicaacTiViDaDEs
28
50. completen las siguientes tablas con la aproximación de cada número.
a. 34,148 b. 0,071
a los… Truncamiento redondeo a los… Truncamiento redondeo
enteros enteros
décimos décimos
centésimos centésimos
51. lean atentamente y resuelvan.
Ramiro tiene que reemplazar un vidrio roto de su casa, que tiene forma rectangular y mide 
3,23 m x 2,55 m.
a. ¿Cuántos metros cuadrados de vidrio tiene que comprar? Redondeen el resultado a los centésimos.
b. Si el metro cuadrado de vidrio cuesta $26,50, ¿cuánto debe pagar si la máquina registradora 
aproxima por truncamiento a los décimos?
52. rodeen los números que, al redondear los centésimos, dan como resultado el número a.
a. A = 0,34 0,345 0,335 0,349 0,347
b. A = 23,09 23,08 23,091 23,087 23,098
53. Expresen en notación científica las cantidades de cada ítem.
a. La distancia del Sol a la Tierra es de 150 000 000 km aproximadamente. 
b. El planetaTierra se formó hace 4 567 millones de años. 
c. Pablo se encuentra a 3 000 000 mm de su casa. 
54. Escriban en notación científica los siguientes números.
a. 0,006 = c. 34,57 = 
b. 0,00026 = d. 1 234 000 000 = 
55. resuelvan escribiendo previamente en notación científica.
a. 0,004 ______ 0,5 = d. 
5 000 . 135 000 ______________ 3 000 . 1 200 = 
 
b. 0,0002 . 0,03 ____________ 0,05 = e. 
3 200 . 120 __________ 500 . 0,04 = 
 
c. 0,35 . 254 __________ 28 = f. 
45 000 . 2 000 . 0,0006
 ____________________ 540 000 = 
 
34 34 0 0
34,1 34,1 0 0,1
34,14 34,15 0,07 0,07
 8,24 m2
 $218,3
 1,5 . 108
 4,567 . 109
 3 . 106
 6 . 10–3 3,457 . 10–1
 2,6 . 10–4 1,234 . 109
 5 . 10–3 1,875 . 102
 1,2 . 10–4 1,92 . 104
 3,175 1 . 10–1
P12-3085-C01.indd 28 1/17/13 3:12 PM
intervalos reales
Nombre: Curso: Fecha: / /
29
7 10 11 12 14138 9 16 1715
1. respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Cuántos números reales tiene el intervalo (0;1)? 
b. ¿Cuál es el menor número del intervalo (2;5]?
c. ¿Cuál es el menor número del intervalo [2;5]?
d. ¿Los intervalos [ –2;5 ] y [ 5;7 ] tienen algún punto en común?
Un conjunto de números reales se puede representar de diferentes maneras: a través del lenguaje 
coloquial, el lenguaje simbólico, en forma de intervalo o en la recta numérica.
lenguaje coloquial lenguaje simbólico intervalo En la recta numérica
Todos los números 
reales mayores que 1 y 
menores que 4.
x > 1 y x < 4 (1;4)
0 1–3 2–2 3–1 4 5
( )
Todos los números 
reales mayores o iguales 
que –3 y menores o 
iguales que 5.
x ≥ –3 y x ≤ 5 [–3;5]
0 1–3 2–2 3–1 4 5
[ ]
Todos los números 
reales mayores o iguales 
que 1 y menores que 5.
x ≥ 1 y x < 5 [1;5)
0 1–3 2–2 3–1 4 5
[ )
En forma de intervalo, el corchete indica que el número pertenece al conjunto y el paréntesis 
indica que no pertenece. Esta misma notación se utiliza en la representación en la recta numérica.
Hay intervalos que son especiales, ya que en uno de sus extremos aparece el símbolo infinito.
lenguaje coloquial: todos los números mayores o iguales que –2.
lenguaje simbólico: x ≥ –2
intervalo: [–2;+∞)
recta numérica: 
0 1–3 2–2 3–1 4 5
[
lenguaje coloquial: todos los números menores que 3.
lenguaje simbólico: x < 3
intervalo: (–∞;3)
recta numérica: 
0 1–3 2–2 3–1 4 5
)
infoactiva
test de comprensión
a. Existen infinitos números reales dentro de cualquier intervalo. b. No se puede saber. c. El 2. d. Sí. El 
punto 5 pertenece a los dos intervalos.
P12-3085-C01.indd 29 1/17/13 3:12 PM
30
8 intervalos realesacTiViDaDEs
30
56. Escriban V (Verdadero) o F (Falso) según pertenece (∈) o no pertenece (∉) al intervalo.
a. 3 ∈ [2;5] c. 3 ∉ [3,5] e. –3 ∈ (–3;5] 
b. –3 ∉ [–2;4] d. –3 ∈ [–3;3) f. 2 ∈ [2;5] 
57. representen los siguientes intervalos en la recta numérica.
a. (–3;2) c. [–3;2]
 
b. (–3;2] d. [–3;2)
 
58. Escriban el intervalo representado en cada recta.
a. 
–2 5
( ] c. 
2 4
[ ] 
b. 
–7 –2
( ] d. 
–3
[ 
59. Escriban el intervalo que representa cada caso y represéntenlo en la recta numérica.
a. Todos los números reales mayores que 3. 
b. Todos los números reales mayores que 5 y 
menores que 12.
c. Todos los números reales mayores o igua-
les que –2 y menores que 7.
d. Todos los números reales menores que –1. 
e. Todos los números reales mayores o igua-
les que √ 
__
 3 .
 
f. Todos los números reales mayores que – 3 √ 
__
 7 
y menores que 3 √ 
__
 7 .
 
60. Escriban en lenguaje coloquial y simbólico los siguientes intervalos.
a. [3;+∞) b. 
–6
]
 
 
 
 V F F
 V V V
 (–2;5] [2;4]
 (–7;–2] [–3;+∞)
 (3;+∞) (–∞;–1)
 (5;12) [ √ 
__
 3 ;+∞)
 [–2;7) (– 3 √ 
__
 7 ; 3 √ 
__
 7 )
 x ≥ 3 x ≤ –6
 Todos los números mayores o iguales que 3. Todos los números menores o iguales que –6.
–3 2
( )
–3 2
[ ]
–3 2
( ]
–3 2
[ )
( )
[( )
[ ) ( )
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31
61. Marquen con una x los números irracionales.
a. √ 
____
 169 d. √ 
__
 9 
b. √ 
___
 69 e. 
1 __ 5 
c. 4,23242526... f. √ 
__
 8 
62. Escriban tres números irracionales. luego, 
expliquen la regla que usaron para crearlos.
63. representen en la recta numérica los 
siguientes números.
a. √ 
___
 18 d. √ 
___
 50 
b. √ 
___
 45 e. √ 
___
 38 
c. √ 
___
 65 f. √ 
___
 54 
64. completen con < o >.
a. √ 
__
 6 √ 
__
 7 d. 3 √ 
__
 3 3 √ 
__
 5 
b. 3 √ 
__
 3 √ 
__
 2 e. 1 __ 2 √ 
__
 8 2 √ 
__
 2 
c. √ 
__
 5 5 √ 
__
 1 f. 4 √ 
__
 2 5 √ 
__
 2 
65. Escriban lo pedido en cada caso y luego 
respondan.
a. Un número irracional comprendido entre 3 
y 4.
b. Un número irracional comprendido entre –2 
y –1,5.
c. Un número irracional mayor que 10 y 
menor que 11.
d. En los ítems anteriores, ¿la solución es 
única? ¿Por qué?
66. resuelvan aplicando propiedades.
a. 
3
 √ 
__
 5 2 . 3 √ 
__
 5 =
b. 
15
 √ 
__
 2 5 . 3 √ 
__
 3 =
c. √ 
__
 3 . ( √ 
__
 2 + √ 
__
 5 ) =
d. ( √ 
__
 3 – √ 
__
 2 ) . √ 
__
 3 =
e. √ 
__
 5 . ( √ 
__
 5 + √ 
__
 3 ) – √ 
__
 3 . ( √ 
__
 3 + √ 
__
 5 ) =
f. ( √ 
__
 2 + √ 
__
 6 ) . √ 
__
 2 + ( √ 
__
 3 . √ 
__
 2 ) 2 =
g. 
3
 √ 
__
 69 + √ 
__
 3 . ( √ 
__
 3 + √ 
___
 27 ) =
h. √ 
__
 7 . ( √ 
__
 3 ) 4 + √ 
__
 7 =
67. lean atentamente y respondan.
a. El perímetro de un octógono regular es de 
23,34 cm. ¿Cuánto mide cada lado? 
Aproximen el resultado a los décimos.
b. ¿Cuál es el volumen de un cilindro si su 
diámetro es de 15 m y la altura es de 11 m? 
Aproximen el resultado a los centésimos.
c. Si se trunca un número a los centésimos, 
se obtiene 4,34. ¿Cuál es el número? ¿Existe 
una única solución?
d. ¿Cuánto mide el lado de un cuadrado cuya 
área es igual a 2 cm2?
e. El volumen de un prisma de base cuadrada 
es igual a 20 cm3. Si su altura es igual a 4 cm, 
¿cuánto miden los lados de la base?
68. redondeen a los centésimos los siguientes 
números.
a. 3,345 d. 1,943
b. 23,564 e. 3,991
c. –0,345 f. –45,096
69. realicen el truncamiento a los décimos de 
los siguientes números.
a. 23,456 d. 1,67
b. –24,788 e. 0,04
c. 2,98 f. –0,45
70. Ordenen de menor a mayor.
3,4 . 103; 3,4 . 10–2; 3,4 . 10–5; 3,4 . 10; 3,4 . 104
71. Expresen en notación científica cada uno de 
los siguientes números.
a. 0,004 d. 0,0036
b. 30 000 e. 0,0009
c. 2 300 000 f. 34 200 000
72. Escriban los siguientes números expresa-
dos en notación científica.
a. 2,3 . 104 d. 3 . 10–5
b. 3 . 106 e. 1,3 . 10–5
c. 1,23 . 105 f. 1,1 . 1010
31
Integración
capítulo
16.7.8cOnTEniDOs
Nombre: Curso: Fecha: / /
 X
 X X
Solución a cargo del alumno.
Solución gráfica.
 < <
 > <
 > >
Solución a cargo del alumno.
a. 5 b. 
3
 √ 
__
 6 c. √ 
__
 6 + √ 
___
 15 d. 3 – √ 
__
 6 e. 2 f. 8 + √ 
___
 12 
g. 228 h. 10 √ 
__
 7 
a. 2,9 cm b. V = 1 942,88 m3 c. 4,348. Infinitas 
soluciones d. √ 
__
 2 cm e. √ 
__
 5 cm
 
a. 3,35 b. 23,56 c. –0,35 d. 1,94 e. 3,99 f. –45,10
a. 23,4 b. –24,7 c. 2,9 d. 1,6 e. 0 f. –0,4
 3,4 . 10–5 < 3,4 . 10–2 < 3,4 . 10 < 3,4 . 103 < 3,4 . 104
a. 4 . 10–3 b. 3 . 104 c. 2,3 . 106 d. 3,6 . 10–3
e. 9 . 10–4 f. 3,42 . 107 
a. 23 000 b. 3 000 000 c. 123 000 d. 0,00003 
e. 0,000013 f. 11 000 000 000
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32
73. resuelvan escribiendo previamente en 
notación científica. 
a. 320 . 430 000 =
b. 450 000 . 600 000 =
c. 24 000 000 . 12 000 =
d. 0,00004 ________ 2 000 =
e. 0,0001 . 0,007 _____________ 0,00014 =
f. 0,003 . 0,006 ____________ 0,02 . 0,3 =
g. 900 000 : 3 000 + 750 =
h. 160 000 : 400 _____________ 0,002 + 0,006 =
i. 0,055 + 0,005 _____________ 0,0001 =
74. lean atentamente y resuelvan.
a. El recorrido de la luz en un segundo es de 
300 000 km. ¿Cuál es la expresión en nota-
ción científica?
b.Se quiere hacer una fila de cubos de 
1 cm de arista. Si la línea debe medir 30 km, 
¿cuántos cubos se tendrán que colocar? 
Expresen la respuesta en notación científica.
75. Escriban V (Verdadero) o F (Falso) según 
corresponda.
a. 3 ∈ (3;5) 
b. √ 
__
 5 ∈ (2;3) 
c. –4 ∉ [–4;5] 
d. – √ 
___
 12 ∉ [–2;3] 
e. 1 __ 2 ∈ (0;1) 
76. Escriban un intervalo que cumpla con la 
condición indicada en cada caso.
a. Que incluya los números –5 y 7.
b. Que incluya el número 2 y no incluya el 5.
c. Que uno de sus extremos sea 2, pero que 
no esté incluido en el intervalo.
d. Que sus dos extremos estén incluidos en 
el intervalo.
e. Que incluya los números mayores o iguales 
que –5 y los menores que 3.
f. Que incluya números mayores que –8 y 
menores o iguales que 4.
77. Escriban el intervalo que corresponde a 
cada situación. luego, repres ntenlo en la recta 
numérica.
a. Todos los números reales mayores que –3.
b. Todos los números reales mayores que 5 y 
menores o iguales que 12.
c. Todos los números reales menores o igua-
les que 4.
d. Todos los números reales mayores o igua-
les que –2 y menores o iguales que 0.
78. Escriban en lenguaje coloquial y como inter-
valo. luego, realicen la representación en la 
recta numérica.
a. x < 10 e. –3 < x < 3
b. x > –2 f. 5 ≥ x ≥ –1
c. x ≥ 1 g. 2 ≤ x < 7
d. 1 ≥ x h. –4,5 < x ≤ –1
79. Escriban el intervalo y la expresión simbóli-
ca que corresponde a cada recta.
a. ]
7
b. 
–2 4
( )
c. 
3 9
[ ]
d. 
2
(
e. 
–2 3
[ )
f. 
6 9
( ]
80. rodeen el intervalo que corresponde a cada 
representación.
a. 
0 6,5
( )
 [0;6,5) (0,6;5) (0;6,5)
b. 
–4 10
( ]
 [–4;10) [–4;10] (–4;10]
c. 
–8
[
 ∞) ∞) [–8;10)
32
é
(–8;+ [–8;+
 1,376 . 108
 2,7 . 1011
 2,88 . 1011
 2 . 10–8
 5 . 10–3
 3 . 10–3
 1,05 . 103
 5 . 104
 6 . 102
 3 . 105 km/s
3 . 106
 F
 V
 F
 V
 V
 
Solución a cargo del alumno.
a. (–3;+∞) b. (5;12] c. (–∞;4] d. [–2;0]
Solución a cargo del alumno.
(–∞;7] x ≤ 7
[–2;4) x ≥ –2 y x < 4
[3;9] x ≥ 3 y x ≤ 9
(2;+∞) x > 2
[–2;3) x ≥ –2 y x < 3
(6;9] x > 6 y x ≤ 9
P12-3085-C01.indd 32 1/17/13 3:12 PM
Autoevaluación 1
81. resuelvan aplicando propiedades, cuando sea posible.
a. 2 
3 . 2 5 ______ 
 2 4 . 2 2 
 + ( 5 __ 4 ) 
3
 . ( 5 __ 4 ) 
2
 : ( 5 __ 4 ) . ( 4 __ 5 ) 
3
 = b. ( 3 √ 
___
 125 ____ 27 – 
3
 √ 
_____
 – 125 ____ 8 ) . ( 5 __ 2 ) 
–1
 + ( 3 + 4 __ 5 . 3 __ 2 ) 
0
 =
 
 
 
82. completen la tabla.
Expresión decimal 3,4 0,98
Expresión fraccionaria 29 ___ 9 
9 __ 4 
clasificación
83. representen los siguientes números irracionales en la recta numérica.
 √ 
___
 13 y √ 
___
 14 
0
84. resuelvan expresando previamente en notación científica.
a. 0,003 . 0,02 ___________ 0,00002 = b. 
720 000 _______________ 60 000 . 20 000 =
 
 
85. completen la siguiente tabla.
lenguaje coloquial lenguale simbólico intervalo representación en la recta
Todos los números reales mayores 
que 3 y menores o iguales que 5.
8
(
[–2;1)
 x ≥ 7 y x ≤ 10
capítulo
33
 21 ___ 4 
8 __ 3 
 
 3,2 2,25
 17 ___ 5 
89 ___ 90 
E. D. E. E. D. P. P. E. D. P. M. E. D. E.
Solución gráfica.
 3 6 . 10–4
x > 3 y x ≤ 5 (3;5]
3 5
( ]
Todos los números reales mayores que 8. x > 8 (8;∞)
Todos los números reales mayores o 
iguales que –2 y menores que 1. x ≥ –2 y x < 1 –2 1
[ )
Todos los números reales mayores o igua-
les que 7 y menores o iguales que 10. [7;10] 7 10
[ ]
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34
Lenguaje algebraico
Contenidos
9. Expresiones algebraicas.
10. Propiedad distributiva.
11. Cuadrado y cubo de un 
binomio.
12. Ecuaciones I. 
13. Ecuaciones II.
14. Problemas con ecuaciones.
15. Inecuaciones.
2
Situación inicial de aprendizaje
1. Observen la imagen y resuelvan.
En la cocina, todos los azulejos tienen el mismo tamaño. Algunos están formados por dos cuadradi-
tos blancos y dos azules y otros son rojos.
a. Si la medida del lado de cada cuadradito azul es b, marquen con una X las expresiones correctas.
	 • El área de cada cuadradito azul es b2. • El perímetro de cada azulejo es 8b. 
	 • El área de cada azulejo es 2b. • El área de cuatro azulejos es 16b. 
b. Escriban correctamente las expresiones que quedaron sin marcar.
capítulo
b. El área de cada azulejo es 4b2. El área de cuatro azulejos es 16b2.
X X
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35
Expresiones algebraicas
Una expresión algebraica es una combinación de letras y números relacionados entre sí por una 
o más operaciones. En una expresión algebraica los números se denominan coeficientes y las letras 
con sus exponentes forman la parte literal.
 
coeficiente 3x4 parte literal
Cuando la expresión algebraica está formada por un solo término, se denomina monomio; cuando 
está formada por dos términos, binomio.
En una expresión algebraica se denominan términos semejantes a los que tienen la misma parte literal.
–4x3 + x + 3 __ 2 x – 3
 
Son términos semejantes.
Valor numérico
El valor numérico de una expresión algebraica se obtiene reemplazando todas las letras por 
números; luego, se resuelven las operaciones.
Para s = 2, el valor numérico de 3s2 + s + 1 es 15 porque 3 . 22 + 2 + 1 = 15.
Las expresiones algebraicas 5 . (a + b) y 5a + 5b son equivalentes, ya que para cualquier par de 
números reales a y b, al reemplazarlos en cada una, se obtiene el mismo valor numérico. Se puede 
escribir entonces 5 . (a + b) = 5a + 5b.
Operaciones con expresiones algebraicas
Operación Ejemplo
Para sumar o restar monomios semejantes, se suman o se restan 
los coeficientes y se escribe a continuación la misma parte literal.
3a + 5a = 8a
5a + 3b – b = 5a + 2b
Para multiplicar o dividir dos monomios, se multiplican o se 
dividen los coeficientes y las partes literales.
6a . 4a3 = 24a4
15a6 : 5a2 = 3a4
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Es cierto que x + x = x2? 
b. ¿Es verdadera la siguiente equivalencia? a5 + a2 = a7
c. ¿Cuál es el valor numérico de 3x2 para x = 2?
d. Las expresiones 4x2b y 4xb2, ¿tienen el mismo coeficiente y parte literal?
test de comprensión
35
11 12 13 15 16149 108 17 18
infoactiva
Nombre: Curso: Fecha: / /
a. No, es igual a 2x. b. No, no se pueden sumar términos con distinta parte literal. c. El valor numérico 
es 12. d. Tienen el mismo coeficiente, pero no la misma parte literal.
P12-3085-C02.indd 35 1/17/13 7:26 PM
9 Expresiones algebraicasACTIVIDADES
36
1. Unan con flechas con la expresión correspondiente.
a. El doble de la suma entre un número y 7. • 3x – 1
b. El doble de un número, aumentado en 7. • 2 . (x + 7)
c. El anterior del triple de un número. • 3 . (x – 1)
d. El triple del anterior de un número. • 4x
e. El cuádruple de un número. • 2x + 7
2. Escriban en lenguaje simbólico.
a. La diferencia entre el anterior de un número entero y la raíz cuadrada de sesenta y cuatro.
 
b. La suma entre el doble del siguiente de un número entero y el triple de ocho. 
 
c. La quinta parte del siguiente de cuatro, más el anterior del triple de un número. 
 
3. Escriban la expresión coloquial que corresponde en cada caso.
a. (x + 1) . 3
b. 4n – 1
c. 1 __ 2 
. (x + 1)2
d. 2x + (2x + 2)
4. Rodeen los monomios semejantes.
a. 9b2 9b –8b2 b . b 7c
b. 4b 5ab –7ab 9a ba
c. 5m2x 8x2m –3m2x mx (mx)2
5. Encuentren el valor numérico de cada expresión, siendo a = – 3 y b = 1 __ 2 .
a. a – b = d. –a – 2 __ 3 b + 1 =
 
b. a + 2b = e. 1 __ 6 a + b
2 + b =
 
c. 2 . (a + b) = f. –2a + 3b – (b – a) =
 
(x – 1) – √ 
___
 64 
El triple del siguiente de un número entero.
2 . (x + 1) + 3 . 8
El anterior del cuádruple de un número entero.
 1 __ 5 
. (4 + 1) + (3x – 1)
La mitad del cuadrado del siguiente de un número entero.
La suma de dos números pares consecutivos.
– 7 __ 2 
–2
–5
 11 __ 31 __ 4 
4
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9 Expresiones algebraicasACTIVIDADES
37
Nombre: Curso Fecha / /
6. Resuelvan las siguientes sumas y restas.
a. 7a + a – 3a = f. 6a – (–a) + (–9a2) =
 
b. 2 __ 3 b + 
5 __ 6 b – b = g. 1,2m
4 + 3,2m2 – 0,8m4 =
 
c. 7m – 3m + 2 = h. 9 __ 2 a + b – 
7 __ 3 a – 
3 __ 5 b =
 
d. 2a + 3 __ 2 b – 
4 __ 5 a = i. ab + 3ac – 5ab – 2ca – 1 =
 
e. 2x2 + 5x + 9x2= j. 2x – ( 2 __ 3 x2 – 1 __ 2 x ) + 1 __ 6 x2 =
 
7. Resuelvan las siguientes multiplicaciones y divisiones.
a. 3x . 6x = f. 15x : 5x =
 
b. 3x . 6y = g. 27x8 : 9x3 =
 
c. 7x4 . x2 = h. 48x5 : 12x3 =
 
d. 3a . a5 . a2 = i. –36a2b4 : 6ab2 =
 
e. (–6x) . (–x2) . y3 = j. –120a
7
 ______ –6a3 
 =
 
8. Resuelvan las siguientes operaciones combinadas.
a. 5ab – 3a . 1 __ 2 b = d. 7t
3 + t2 . (2t + 3t) =
 
 
b. (y + 5y – 3y) . 2 __ 3 y
2 = e. ( 2 __ 9 x2 + 1 __ 3 x2 ) : ( 5 __ 6 x – 4 __ 3 x ) =
 
 
c. 24m6 : 4m2 + m . (–m3) = f. (–2,2a + 7,2a) . (a + 3,2a – 2a) =
 
 
5a
 1 __ 2 b
4m + 2
 6 __ 5 a + 
3 __ 2 b
11x2 + 5x
18x2
18xy
7x6
3a8
6x3y3
 7 __ 2 ab
2y3
5m4
7a – 9a2
0,4m4 + 3,2m2
 13 ___ 6 a + 
2 __ 5 b
–4ab + ac – 1
 5 __ 2 x – 
1 __ 2 x
2
3
3x5
 4x2
–6ab2
20a4
12t3
– 10 ___ 9 x
11a2
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38
9 Expresiones algebraicasACTIVIDADES
38
9. Escriban las expresiones que representan el perímetro y el área de cada figura, en su forma 
más sencilla.
a. d. 
 2a
 1— 3
a
 
2a
5a
 1— 2
a
a
Perímetro = Perímetro = 
Área = Área = 
b. e. 
 
3x
x 3 — 
 4
x
 
6p
2p
Perímetro = Perímetro = 
Área = Área = 
c. f.
 
4c
5c
3c 
8b
4b
Perímetro = Perímetro = 
Área = Área = 
10. Escriban las expresiones indicadas en cada caso, en su forma más sencilla.
a. Rectángulo. b. Triángulo isósceles.
La base supera en 4 cm a la altura (x). Cada lado igual mide 7 cm menos que el
 doble de la base (x).
Base = Lado = 
Altura = Base = 
Perímetro = Perímetro = 
Escriban la expresión más sencilla que corresponde al perímetro y al 
área de cada una de las caras de color rojo, verde y azul, la del área 
total y la del volumen del cuerpo. Tengan en cuenta que las caras 
opuestas son del mismo color.
menteACTIVA
3x
x
2x
 14 ___ 3 a
8x
12c
Área cara azul: 3x2; área cara verde: 2x2; área cara roja: 6x2; área total: 22x2; perímetro cara roja: 10x; perí-
metro cara verde: 6x; perímetro cara azul: 8x; volumen: 6x3
9a
32p
24b
 2 __ 3 a
2
 5 __ 2 x
2
6c2
 7 __ 4 a
2
44p2
24b2
x + 4
x
4x + 8
2x – 7
x
5x – 14
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39
Propiedad distributiva
Nombre: Curso: Fecha: / /
39
9 12 13 14 161510 11 18 1917
La multiplicación es distributiva con respecto a la suma y a la diferencia. 
 Las siguientes expresiones representan el área pintada.
 (a + b) . c = a . c + b . c
c
ba
 c . (a + b) = c . a + c . b
 
(3b + 2) . 4b = 3b . 4b + 2 . 4b 
 
 
(3b + 2) . (b + 1) = 3b . b + 3b . 1 + 2 . b + 2 . 1
 
La división es distributiva solo cuando la suma y la resta están en el lugar del dividendo.
 
(4a + 8) : 4 = 4a : 4 + 8 : 4 4 : (2a + 4) No se puede aplicar la propiedad distributiva.
Factor común
Las siguientes sumas o restas se pueden expresar como una multiplicación.
50 + 10 = 10 . 5 + 10 . 1 50b2 – 10b = 10 . 5 . b . b – 10 . 1 . b
 = 10 . (5 + 1) = 10b . (5b – 1)
10 es el dcm entre 50 y 10. Para obtener el factor común de la parte literal se
10 se denomina factor común. escribe la letra que aparece en todos los términos
 con su menor exponente.
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Es cierto que la suma es distributiva respecto de la resta?
b. ¿Se puede distribuir la división respecto de una suma si esa suma está en el lugar del divisor?
c. Si se aplica la propiedad distributiva para multiplicar un binomio por un trinomio, ¿cuántos 
términos tiene la expresión que se obtiene antes de operar entre términos semejantes?
d. En la siguiente expresi n, ¿se obtuvo correctamente el factor común? a2 + a = a . (a)
test de comprensión
infoactiva
ó
a. No, la suma no es distributiva con respecto a ninguna operación. b. No, solo se puede si está en el 
lugar del dividendo. c. La nueva expresión tiene seis términos. d. No, falta sumar 1 dentro del paréntesis.
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11. Apliquen la propiedad distributiva.
a. 3x . (x + 2) = f. (2x2 – 4x) : 2x =
 
b. (4 – y2) . (–2y) = g. ( 3 __ 5 y6 + 10y3 ) : 1 __ 5 y2 =
 
c. 4x . (5x – 2x2 + 1) = h. ( –4a + 2 __ 3 a2 ) : (–2a) =
 
d. 3 __ 2 b
2 . (4b + 1 __ 3 b
3 – 2b2) = i. (2 – x) . (3x + 1) =
 
e. – 1 __ 4 y 
. (– 2 __ 3 + 16y
2 – 4 __ 5 y) = j. (y
2 + 2y) . (3y – 4) =
 
12. Obtengan el factor común.
a. 4x2 + 2x – 10 = d. 18a3 – 6a5 =
 
b. x4 + x = e. 2 __ 5 b
6 + 3 ___ 10 b
4 =
 
c. 3y2 – 5y5 = f. √ 
__
 9 m3x – √ 
__
 9 ma2 =
 
13. Completen para que se verifique la igualdad.
a. (3x2 + 2x) . = –3x5 – 2x4 d. 2 __ 7 pr
2 . ( – 9 __ 4 r6 ) = 18 ___ 7 p3r4 – 9 ___ 14 pr8
b. ( –x2 + ) . xy2 = –x3y2 + 3xy3 e. 1,5n2 – 4,5n5 = . (1 – 3n3)
c. 6x8y5z3 + 8x5y2z4 = . (3x3y3 + 4z) f. 3ab2 + = ab . ( + 2 ) 
14. Expresen de dos formas diferentes el área total de las siguientes figuras.
a. b. 
 
 b
x
 a
 
ba c
 d
 
 
 
10 Propiedad distributivaACTIVIDADES
40
3x2 + 6x
 –8y + 2y3
20x2 – 8x3 + 4x
6b3 + 1 __ 2 b
5 – 3b4
 1 __ 6 y – 4y
3 + 1 __ 5 y
2
2 . (2x2 + x – 5)
x . (x3 + 1)
y2 . (3 – 5y3)
x – 2
3y4 + 50y
2 – 1 __ 3 a
2 – 3x2 + 5x
3y3 + 2y2 – 8y
6a3 . (3 – a2)
 1 __ 5 b
4 . ( 2b2 + 3 __ 2 ) 
 √ 
__
 9 m . (m2x – a2)
(a + b + c) . d
ad + bd + cd
x . (a + b)
xa + xb
–x3 9p2r2
3y 3 __ 2 n
2
2x5y2z3 2ab 3b
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Cuadrado y cubo de un binomio
Nombre: Curso: Fecha: / /
41
10 13 14 15 171611 12 19 2018
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Es cierto que ( x + 2) 2 = x2 + 4?
b. ¿Qué nombre recibe el polinomio que se obtiene al resolver un cuadrado de binomio?
c. ¿Cuál es el desarrollo de (3x – 2) 3 ?
d. ¿Es cierto que (x – 2) 2 = (x + 2) . (x – 2)?
test de comprensión
infoactiva
 (a + b) 2 = (a + b) . (a + b)
 (a + b) 2 = a . a + a . b + b . a + b . b
 (a + b) 2 = a 2 + 2 . a . b + b 2 
 
 
a
b
ab
b
bb
a
aa
a . b2
b . a2
 (a + b) 3 = b 3 + a 3 + 3 . a . b 2 + 3 . b . a 2 
b3
a3
Diferencia de cuadrados
Una diferencia de cuadrados se puede expresar como el producto de dos binomios.
 a 2 – b 2 = (a + b) . (a – b)
 
 
a
I
II
b
 
I
II
a b
a – b
Si al cuadrado de área a2 se le quita el Las figuras I y II se pueden acomodar
cuadrado de área b 2 , queda la figura para formar el rectángulo de base a + b
pintada de naranja. y altura a – b.
a. No, la potenciación no es distributiva con respecto a la suma. b. Un trinomio. 
c. 27x3 – 54x2 + 36x – 8 d. No. (x – 2)2 = (x – 2) . (x – 2) = x2 – 4x + 4.
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42
11 Cuadrado y cubo de un binomioACTIVIDADES
42
15. Escriban V (Verdadero) o F (Falso) según corresponda. Expliquen la respuesta.
a. (x + 5) 2 = x 2 + 25 c. (x + 1) . (x – 1) = x2 – 1 
b. (x – 3) 3 = x 3 – 27 d. (2x – 1) 2 = 2x2 – 4x + 1 
16. Desarrollen los siguientes cuadrados y cubos de un binomio.
a. (3x + 2) 2 = e. (x + 2) 3 = 
 
b. (5 – 3a2) 2 = f. ( y + 3 __ 2 ) 
3
 = 
 
c. ( 3 __ 4 b – 1 __ 3 b2 ) 
2
 = g. (–2 – b2) 3 = 
 
d. ( √ 
__
 3 p – √ 
__
 2 ) 2 = h. (4c – 2) 3 = 
 
17. Escriban el cuadrado o el cubo del binomio que corresponde a cada expresión.
a. 1 – 4y + 4y2 = e. 8x3 – 1 + 6x – 12x2 = 
 
b. x4 + 16 + 8x2 = f. 1 – a3 – 3a + 3a2 = 
 
c. m3 + m6 + 1 __ 4 = g. 
3 __ 2 x – 1 – 
3 __ 4 x
2 + 1 __ 8 x
3 = 
 
d. x4 + 2x3 + x2 = h. 48y