¿Cómo puedo probar, con inducción matemática, que para n = 2k, k∈Z+ (n es un entero no negativo, par), entonces 3^n - 2^n, es un múltiplo de 5?

Antes de ponerse a probar nada se debe vigilar que las hipótesis no sean incompatibles, que sean necesarias -las hipótesis innecesarias restringen inútilmente el alcance de la tesis- y además que sean exactamente las que deseamos, expresadas sin redundancia, a ser posible.

Es claro en este caso que si n = 2k, siendo k Є ℤ⁺, será n entero positivo par, y no solo "no negativo, par".

Bajo tales hipótesis, probemos supongamos k = 1 → n = 2 → 3^n - 2^n = 3² - 2² = 5 = múlt. 5.

De modo que para k = 1 se verifica la tesis propuesta.

HIPÓTESIS DE INDUCCIÓN:

Supongamos que la tesis se cumple para cierto k Є ℤ⁺, y que por tanto se verifica:

3^n - 2^n = 3^(2k) - 2^(2k) = múlt. 5.

Probemos que también se verifica para k+1, es decir, para n = 2(k+1) = 2k + 2.

En efecto, 3^(2k + 2) - 2^(2k + 2) = 3^(2k) * 3² - 2^(2k) * 2² = 9 * 3^(2k) - 4 * 2^(2k) =

(10 - 1) * 3^(2k) - (5 - 1) * 2^(2k) = 10 * 3^(2k) - 5 * 2^(2k) - 3^(2k) + 2^(2k) =

[10 * 3^(2k) - 5 * 2^(2k)] - [3^(2k) - 2^(2k)] = 5 * [2 * 3^(2k) - 2^(2k)] - [3^(2k) - 2^(2k)] =

[Ahora empleamos la HIPÓTESIS DE INDUCCIÓN: suponíamos 3^(2k) - 2^(2k) = múlt. 5] →

= múlt. 5 - múlt.5 = 5u - 5v (para ciertos u, v enteros) = 5 (u - v) = múlt. 5, de modo que ciertamente,

3^(2k + 2) - 2^(2k + 2) = múlt. 5, y así, suponiendo la validez de la proposición para un cierto entero positivo k, se deduce la validez de la proposición para k+1, lo que, junto con la validez de tal afirmación para k = 1, prueba, por inducción, que la proposición es válida para todo entero positivo k, que era lo que se pretendía demostrar.

OBSERVACIÓN METODOLÓGICA:

Si consideramos k = 0, será n = 2*0 = 0, y en efecto, también se verifica que

3⁰ - 2⁰ = 1 - 1 = 0 = múlt. 5 ; lo cual permite afirmar, con mayor generalidad, que para todo k natural, siendo n = 2k, se cumple que 3^n - 2^n, es un múltiplo de 5.

No es necesario en las hipótesis, por tanto, imponer que sea k entero positivo, esto es, k ∈ ℤ⁺, sino que basta suponer k ∈ ℕ, lo que incluye el valor k = 0. Cuanto menos exigentes sean las hipótesis, siempre que impliquen la misma tesis, mayor alcance y potencia tendrá la proposición que estamos demostrando.

Sin embargo, si al debilitar alguna hipótesis ya no es posible demostrar la proposición o bien esto obliga a no poder demostrar alguna parte de la tesis, entonces esa "economía" en la hipótesis será más perjudicial que beneficiosa, y será preferible asumir la hipótesis más fuerte.

De manera esquemática, podemos expresar así el caso ideal en las demostraciones:

Hipótesis lo más débiles posible → Tesis lo más fuertes posible.