Matemáticas 2 ESO Avanza - Santillana - Saúl Plutarco

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Matemáticas 2ESO
El libro Matemáticas para 2.º de ESO es una obra colectiva 
concebida, diseñada y creada en el departamento 
de Ediciones Educativas de Santillana Educación, S. L., 
dirigido por Enrique Juan Redal.
En su realización ha participado el siguiente equipo:
M.ª Dolores Álvarez 
Joaquín Hernández 
Pedro Machín 
Ana Yolanda Miranda 
M.ª Rosario Moreno 
Susana Parra 
Manuela Redondo 
Raquel Redondo 
M.ª Teresa Sánchez 
Teresa Santos 
Esteban Serrano
EDICIÓN
Angélica Escoredo 
Carlos Pérez
DIRECCIÓN DEL PROYECTO
Domingo Sánchez Figueroa
AVANZA
Las actividades de este libro deben ser realizadas por el alumno 
en un cuaderno. En ningún caso deben realizarse en el mismo libro.
 
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Índice
1. Números enteros...................................................... 6
Antes de empezar la unidad ........................................................ 7
Números.enteros...................................................................... 8
Suma.y.resta.de.números.enteros.............................................. 10
Multiplicación.y.división.de.números.enteros........................... 12
Potencias.de.números.enteros................................................... 13
Operaciones.con.potencias....................................................... 14
Jerarquía.de.las.operaciones...................................................... 16
Divisibilidad.entre.números.enteros.......................................... 17
Lo esencial................................................................................. 20
Actividades................................................................................. 22
2. Fracciones................................................................... 26
Antes de empezar la unidad ........................................................ 27
Fracciones................................................................................. 28
Fracciones.equivalentes............................................................ 29
Comparación.de.fracciones....................................................... 32
Operaciones.con.fracciones....................................................... 33
Potencia.de.una.fracción........................................................... 34
Jerarquía.de.las.operaciones...................................................... 35
Lo esencial................................................................................. 36
Actividades................................................................................. 38
3. Números decimales................................................ 42
Antes de empezar la unidad ........................................................ 43
Números.decimales................................................................... 44
Fracciones.y.números.decimales............................................... 45
Operaciones.con.números.decimales........................................ 46
Aproximación........................................................................... 49
Lo esencial................................................................................. 50
Actividades................................................................................. 52
4. Sistema sexagesimal.............................................. 56
Antes de empezar la unidad ........................................................ 57
Sistema.sexagesimal.................................................................. 58
Forma.compleja.e.incompleja................................................... 60
Operaciones.en.el.sistema.sexagesimal...................................... 62
Lo esencial................................................................................. 64
Actividades................................................................................. 66
5. Expresiones algebraicas........................................ 70
Antes de empezar la unidad ........................................................ 71
Lenguaje.algebraico.................................................................. 72
Expresiones.algebraicas............................................................. 73
Monomios................................................................................. 74
Operaciones.con.monomios...................................................... 75
Polinomios................................................................................ 76
Operaciones.con.polinomios..................................................... 78
Factor.común........................................................................... 80
Igualdades.notables................................................................... 81
Lo esencial................................................................................. 82
Actividades................................................................................. 84
6. Ecuaciones de primer y segundo grado......... 88
Antes de empezar la unidad ........................................................ 89
Elementos.de.una.ecuación....................................................... 90
Transposición.de.términos........................................................ 92
Resolución.de.ecuaciones.de.primer.grado................................ 93
Resolución.de.problemas.con.ecuaciones.de.primer.grado........ 95
Ecuaciones.de.segundo.grado................................................... 96
Resolución.de.ecuaciones.de.segundo.grado............................. 97
Lo esencial................................................................................. 98
Actividades................................................................................. 100
7. Sistemas de ecuaciones........................................ 104
Antes de empezar la unidad ........................................................ 105
Ecuaciones.lineales .................................................................. 106
Sistemas.de.ecuaciones.lineales ................................................ 108
Métodos.de.resolución.de.sistemas .......................................... 109
Lo esencial ................................................................................ 112
Actividades ................................................................................ 114
8. Proporcionalidad numérica................................. 118
Antes de empezar la unidad ........................................................ 119
Magnitudes.directamente.proporcionales ................................. 120
Problemas.de.proporcionalidad.directa .................................... 121
Magnitudes.inversamente.proporcionales ................................ 122
Problemas.de.proporcionalidad.inversa ................................... 123
Porcentajes .............................................................................. 124
Problemas.con.porcentajes ....................................................... 125
Lo esencial ................................................................................ 128
Actividades ................................................................................ 130
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9. Proporcionalidad geométrica............................. 134
Antes de empezar la unidad ........................................................ 135
Teorema.de.Tales ..................................................................... 136
Semejanza.de.triángulos ........................................................... 137
Criterios.de.semejanza.de.triángulos ........................................ 138
Polígonos.semejantes ............................................................... 139
Figuras.semejantes ................................................................... 140
Escalas ..................................................................................... 141
Lo esencial ................................................................................142
Actividades ................................................................................ 144
10. Figuras planas. Áreas........................................... 148
Antes de empezar la unidad ........................................................ 149
Teorema.de.Pitágoras ............................................................... 150
Aplicaciones.del.teorema.de.Pitágoras ...................................... 151
Área.de.polígonos .................................................................... 152
Longitud.de.una.circunferencia ................................................ 157
Área.de.figuras.circulares ......................................................... 157
Lo esencial ................................................................................ 158
Actividades ................................................................................ 160
11. Cuerpos geométricos............................................ 164
Antes de empezar la unidad ........................................................ 165
Rectas.y.planos.en.el.espacio .................................................... 166
Poliedros .................................................................................. 167
Prismas .................................................................................... 168
Pirámides ................................................................................. 170
Poliedros.regulares ................................................................... 172
Cuerpos.de.revolución ............................................................. 173
Lo esencial ................................................................................ 178
Actividades ................................................................................ 180
12. Volumen de cuerpos geométricos................. 184
Antes de empezar la unidad ........................................................ 185
Volumen.de.un.cuerpo ............................................................ 186
Relaciones.entre.las.unidades.de.volumen,.capacidad.y.masa ..... 188
Volumen.de.un.ortoedro .......................................................... 189
Volumen.de.prismas.y.cilindros ............................................... 190
Volumen.de.pirámides.y.conos ................................................ 191
Volumen.de.la.esfera ................................................................ 191
Lo esencial ................................................................................ 192
Actividades ................................................................................ 194
13. Funciones................................................................... 198
Antes de empezar la unidad ........................................................ 199
Coordenadas.cartesianas .......................................................... 200
Concepto.de.función ............................................................... 201
Representación.gráfica.de.una.función ..................................... 202
Estudio.de.una.función ............................................................ 204
Lo esencial ................................................................................ 208
Actividades ................................................................................ 210
14. Estadística.................................................................. 214
Antes de empezar la unidad ........................................................ 215
Estadística ................................................................................ 216
Recuento.de.datos .................................................................... 216
Tablas.de.frecuencias ............................................................... 217
Gráficos.estadísticos ................................................................. 218
Medidas.de.centralización ........................................................ 221
Lo esencial ................................................................................ 224
Actividades ................................................................................ 226
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Esquema de unidad
Lectura inicial: 
Muestra la 
importancia de lo que 
vas a estudiar 
a través de episodios 
relacionados con la 
historia de las 
Matemáticas. 
Se proponen 
actividades que 
te invitan a investigar 
sobre el personaje de 
la lectura 
y la importancia de 
sus aportaciones.
Antes de empezar 
la unidad… 
Aparece el bloque 
de contenidos 
previos necesarios 
para comprender 
lo que vas a estudiar. 
Además, mediante 
la evaluación inicial, 
podrás afianzar 
los contenidos 
repasados.
Páginas de contenidos: En ellas 
encontrarás los contenidos 
y procedimientos básicos apoyados 
en gran cantidad de ejemplos resueltos.
En la mayoría de las páginas se incluye 
la sección ANTES, DEBES SABER… 
donde se repasan contenidos 
o procedimientos que debes conocer 
al enfrentarte a los nuevos contenidos. 
Esta sección también se refuerza 
con ejemplos resueltos.
Al final de cada página se proponen 
ejercicios que debes saber resolver 
a partir de los contenidos aprendidos.
La estructura de las unidades didácticas es muy sencilla, ya que 
se trata de facilitar la localización de los contenidos fundamentales, 
de los ejemplos resueltos y de los ejercicios propuestos.
El año cero
El pequeño monje corría por los pasillos del palacio 
papal, y su cara denotaba una satisfacción 
que difícilmente lograba reprimir.
Cuando por fin llegó a la sala donde se encontraba 
el Papa, se arrodilló, besó su anillo y, con falsa 
modestia, dijo:
–Lo encontré, Su Santidad: el Año de la Salvación, 
cuando Nuestro Señor vino al mundo.
El Papa leyó con avidez el documento que 
Dionisio el Exiguo le había entregado, en el que 
databa el nacimiento de Cristo en el año 753 
de la fundación de Roma. Al mismo tiempo, 
el monje repetía:
–El año 754 de la fundación de Roma es nuestro 
primer año: primus anno Domini, el año primero 
de la Era del Señor.
Pero lo que estos dos personajes no podían imaginar 
era que, al contar los años de forma ordinal: 
año primero, año segundo, año tercero…, eliminaban 
el año cero. Este hecho provocó una enorme 
polémica hace algunos años; así, mientras unas 
personas mantenían que el siglo xxi comenzaba 
el 1 de enero de 2000, los hechos demostraban 
que este siglo comenzó el 1 de enero de 2001.
1Números enteros
1. Dionisio el Exiguo fue 
un monje que nació 
a finales del siglo v. 
Busca información 
sobre su vida y sobre 
sus aportaciones 
a la creación del 
calendario cristiano.
2. Investiga sobre el 
encargo que el papa 
Juan I hizo a Dionisio 
el Exiguo. ¿Fueron 
correctos los cálculos 
del monje?
3. ¿Cuál fue la polémica 
que se creó en los 
últimos años de la 
década de los noventa 
sobre el inicio del 
siglo xxi? ¿A qué se 
debió esa polémica?
DESCUBRE 
LA HISTORIA...
Antes de empezar la unidad... 
En esta unidad 
aprenderás a…
• Sumar, restar, 
multiplicar y dividir 
números enteros.
• Operar con potencias 
de números enteros.
• Aplicar las relaciones 
de divisibilidad entre 
números enteros.
• Hallar el máximo 
común divisor 
y el mínimo común 
múltiplo de dos o más 
números enteros.
PLAN DE TRABAJO
NÚMEROS NATURALES
Los números naturales surgieron debido a la necesidad que siente el ser humano de contar 
lo que le rodea.
El conjunto de números naturales es ilimitado, es decir, no tiene fin, porque dado un número 
cualquiera, siempre es posible obtener el siguiente sumándole una unidad a ese número.
Representación de números naturales
• Fijamos el 1, y a su derecha, el 2. Tomamos la distancia 
entre estos dos puntos como unidad.
• Desplazamos dicha unidad hacia la derecha del 2 
para representar el resto de números.
1 2 3 4 5
Operaciones con números naturales
• Suma y resta
Se resuelven las operaciones de izquierda a derecha.
7 + 5 - 4- 6 + 2 = 12 - 4 - 6 + 2 = 8 - 6 + 2 = 2 + 2 = 4
• Suma, resta, multiplicación y división
Se calculan primero las multiplicaciones y divisiones, de izquierda 
a derecha, y después las sumas y las restas, de izquierda a derecha.
6 + 5 ? 4 - 6 : 2 = 6 + 20 - 6 : 2 = 6 + 20 - 3 = 26 - 3 = 23
F F
F
F F
Al resolver operaciones 
combinadas siempre hay 
que tener en cuenta la jerarquía 
de las operaciones.
EVALUACIÓN INICIAL
1 Representa estos números naturales en la recta numérica.
5 3 1 7 8 4
2 Realiza estas operaciones de suma y resta.
a) 8 + 8 - 4 - 3 + 5
b) 12 - 5 + 7 - 2 + 11 - 3
c) 9 + 3 - 5 - 1 + 2 - 7
d) 15 - 4 - 2 + 6 + 12
3 Calcula el resultado de estas operaciones.
a) 16 + 3 - 15 : 3 + 5
b) 12 ? 3 + 7 - 8 : 2 - 1
c) 4 + 9 : 3 - 2 - 1 + 7
d) 11 - 3 ? 2 + 6 ? 4
7
1.2 Valor absoluto de un número entero
El valor absoluto de un número entero se escribe entre barras, ; ;, y es 
igual al número sin su signo:
;+a; = a ;-a; = a
EJEMPLO
2 	 Calcula	el	valor	absoluto	de	-4	y	+3.
Valor absoluto de -4 " ;-4; = 4 Valor absoluto de +3 " ;+3; = 3
1.3  Opuesto de un número entero
El opuesto de un número entero es otro número entero con el mismo 
valor absoluto pero de signo contrario.
Op (+a) = -a Op (-a) = +a
EJEMPLO
3 	 Calcula	el	opuesto	de	-5	y	de	+5.	Represéntalos	en	la	recta	numérica.
Op (-5) = +5 Op (+5) = -5
1.4  Comparación de números enteros
Un número entero es mayor que otro cuando está situado más a la de-
recha en la recta numérica.
• Un número entero positivo es mayor que cualquier número negativo.
• El 0 es mayor que cualquier número negativo y menor que cualquiera 
positivo.
EJEMPLOS
4 	 Compara	estos	números	enteros.
b) -2	y -5							-2 > -5 c) +5	y	-3						+5 > -3
-5 -4 -3 -2 -1 +10 -3 +1 +50
1 Ordena,	de	menor	a	mayor,	estos	números	enteros.
+4	 -3	 -5	 +6
-5 < -3 < +4 < +6 -5 -3-4 -2-1 +1 +2 +3 +4 +5 +60
7 	 Representa	y		ordena,	de	menor	a	mayor:
+8 -2 +3 +11 0 -7 -9 
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
2 	 Halla	el	valor	absoluto	y	el	opuesto	de:
-4	 +5	 -13	 +27	 -1	 +18
> Mayor que 5 > 2
< Menor que 2 < 5
SE ESCRIBE ASÍ
Números 
enteros
ANTES, DEBES SABER…
Para qué se utilizan los números enteros
Hay	expresiones	cotidianas	que	no	se	pueden	indicar	con	números	
naturales.	Necesitamos	utilizar	los	números	negativos:
•	 Cuando	hablamos	de	temperaturas	bajo	cero.
Así,	3	grados	bajo	cero	se	expresa	como	-3	°C.
•	 Al	considerar	deudas	económicas.
Si	debemos	50	€,	decimos	que	nuestro	saldo	es	de	-50	€.
•	 Al	referirse	a	las	plantas	de	un	edificio.
El	garaje	está	en	la	planta	-2.
El conjunto de los números enteros se representa con la letra Z y está 
formado por:
• Números enteros positivos: +1, +2, +3, +4, +5, +6, …
• El número cero: 0.
• Números enteros negativos: -1, -2, -3, -4, -5, -6, …
1.1  Representación de números enteros
Los números enteros se representan ordenados en la recta numérica.
• El cero, 0, divide a la recta en dos partes iguales.
• Los números enteros positivos se sitúan a la derecha del cero.
• Los números enteros negativos se sitúan a la izquierda del cero.
Números enteros negativos Números enteros positivos
0-8… -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 …
FF
EJEMPLO
1 	 Representa	en	la	recta	numérica	los	siguientes	números	enteros:
-3	 	 	 	 	 	 	 +6	 	 	 	 	 	 	 -1	 	 	 	 	 	 	 -4	 	 	 	 	 	 	 0	 	 	 	 	 	 	 +5
-3 -2 -1-4-5 76543210
1
3 	 Escribe	situaciones	que	correspondan	
a	estos	números.
a) +57 € b) -100 m c) -6 °C d) +2
1 	 Representa	en	la	recta	numérica	estos	números	
enteros.
+7 -5 -2 +4 0 -8
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
1 	 Expresa	con	números	enteros.
a) El avión vuela a una altura de tres mil metros.
b) El termómetro marca tres grados bajo cero.
c) Le debo cinco euros a mi hermano.
d) El almacén está en el tercer sótano.
e) Hay cinco grados bajo cero en la sierra.
Los números enteros 
positivos se escriben 
habitualmente sin el signo + 
que les precede.
+6 = 6 +15 = 15
Para escribir números 
negativos con la calculadora 
utilizamos la tecla +/- .
– 4 " 4 +/- 
CALCULADORA
;0; = 0
;5; = ;+5; = ;-5; = 5
NO OLVIDES
98
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Lo esencial: Esta doble página 
es de resumen y autoevaluación.
COMPRENDE ESTAS PALABRAS. 
Es el vocabulario matemático 
trabajado en esa unidad. 
HAZLO DE ESTA MANERA. Son los 
procedimientos básicos de la unidad. 
Cada procedimiento se introduce 
mediante la resolución de una actividad 
en la que se muestra, paso a paso, 
un método general de resolución. 
Y AHORA… PRACTICA. Son actividades 
que te permitirán comprobar si dominas 
los contenidos esenciales de esa unidad.
Lo esencial
COMPRENDE ESTAS PALABRAS
Números enteros
•	 Números	enteros	positivos:
+1,	+2,	+3,	+4,	…
•	 El	número	0.
•	 Números	enteros	negativos:
-1,	-2,	-3,	-4,	…
Potencia	 an	=	a	?	a	?	a	?	…	?	a
1442443
n	veces
Divisibilidad
8	:	2	es	una	división	exacta
F
F
8	es	divisible	por	2
FF
F F
8	es	múltiplo	de	2	 	 	 	 	 2	es	divisor	de	8
HAZLO DE ESTA MANERA
1. MULTIPLICAR Y DIVIDIR NÚMEROS 
ENTEROS
Calcula.	a)	 (-4)	?	(+3)	 b) (-25)	:	(-5)
PRIMERO.	Multiplicamos	o	dividimos	
sus valores	absolutos.
a)	 ;-4;	?	;+3;	=	4	?	3	=	12
b)	;-25;	?	;-5;	=	25	:	5	=	5
SEGUNDO.	Al	resultado	le	añadimos	
un	signo	+	si	ambos	tienen	el	mismo	signo,	
o el	signo	-	si	son	de	signo	distinto.
a)	 (-4)	?	(+3)	=	-12	 b)	 (-25)	?	(-5)	=	+5
Distinto	signo
F
Mismo	signo
F
2. CALCULAR UN PRODUCTO 
O DIVISIÓN DE POTENCIAS
Expresa,	si	se	puede,	con	una	sola	potencia.
a)	 67	?	63	 e)	 (-6)5	?	23
b)	67	:	63	 f)	 (-6)5	:	23	
PRIMERO.	Estudiamos	si	las	bases	son	iguales.
a)	y	b)	 67	y	63	 "		La	base	de	las	dos	
potencias	es	la	misma,	6.
e)	y	f)	 (-6)5	y	23	"		No	son	iguales	las	bases.
SEGUNDO.	Si	las	bases	son	iguales,	sumamos	
o	restamos	los	exponentes.	Si	no	lo	son,	
no podemos	operar	los	exponentes.
a)	 67	?	63	=	67+3	=	610	 b)	 67	:	63	=	67-3	=	64
e)	y	f)	 No	podemos	operar.
1. CALCULAR LA POTENCIA 
DE UN NÚMERO ENTERO
Calcula	el	valor	de	las	siguientes	potencias.
a)	 65	 b)	(-6)5	 c)	 (-6)4
PRIMERO.	Tomamos	el	valor	absoluto	
de	la	base	y	calculamos	su	potencia.
65 =	6 ?	6 ?	6 ?	6 ?	6 =	7	776
64 =	6 ?	6 ?	6 ?	6 =	1	296
SEGUNDO.	Si	la	base	es	negativa	
y	el	exponente	es	un	número	impar,		
añadimos	el	signo	-	al	resultado.
a)	 65 =	7	776	 c)	 (-6)4	=	1	296
b)	 (-6)5	=	-7	776	
3. RESOLVER OPERACIONES 
COMBINADAS
Resuelve.
(-3)	?	[6	:	(-2)]	-	(-2)	=
	
=	(-3)	?	[-3]	-	(-2)	=
 
=	+9	-	(-2)	=
=	+9	+	2	=	+11
PRIMERO.	Resolvemos	
los	paréntesis.
SEGUNDO.	Resolvemos	
las	multiplicaciones	
y divisiones.
TERCERO.	Resolvemos	
las	sumas	y	restas.
F
F
Comprende estas palabras
1. Escribe,	si	se	puede,	estas	expresiones	
en forma	de	potencia.
a)	 7	?	7	?	7	?	7	 b)	 7	?	6	?	5	?	4	 c)	 7	?	7
Multiplicar y dividir números enteros
1. Calcula.	 a)	 (-5)	?	(-7)	 	 	 b)	 (+24)	:	(-3)
Calcular la potencia de un número entero 
3. Determina	el	valor	de	estas	potencias.
a)	 54	 b)	 (-5)4	 c)	 53	 d)	 (-5)3
Calcular un producto o división de potencias
4. Expresa	como	una	potencia.	 	 a)	 33	?	35
Resolver operaciones combinadas
5. Calcula:
(-3)3	+ (-5)	?	[(-6)	:	(-3)]	+ (-7)2
Descomponer un número en factores primos
6. Descompón	en	factores	primos	los	números.
a)	 88	 c)	 32	 e)	 91
b)	 84	 d)	 154	 f)	 252
Calcular el máximo común divisor y el 
mínimo común múltiplo de varios números
7. Calcula	el	máximo	común	divisor	y	el	mínimo	
común	múltiplo	de	estos	números.
a)	 8,	20	y	42	 	 b) 18,	45	y	96
Y AHORA… PRACTICA
5. CALCULAR EL MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO 
DE VARIOS NÚMEROS
Calcula	el	máximo	común	divisor	y	el	mínimo	común	múltiplo	de	12,	24	y	84.
PRIMERO.	Descomponemos	el	valor	
absoluto	de	los	números	enteros		
en	factores	primos.
SEGUNDO.
•	 	Para	calcular	el	máximo	común	divisor	tomamos	los	factores	comunes	elevados		
al	menor	de	los	exponentes.
•	 	Para	calcular	el	mínimo	común	múltiplo	tomamos	los	factores	comunes	y	no	comunes		
elevados	al	mayor	de	los	exponentes.
Factores	comunes	 "	2	y3	 Comunes	con	menor	exponente	"	22	y	3
Factores	no	comunes	"	7	 Comunes	con	mayor	exponente	"	23	y	3
m.c.d.	(12,	24,	84)	 =	22	?	3	=	12
m.c.m.	(12,	24,	84)	=	23	?	3	?	7	=	168
24	 	 2
12	 	 2
	 6	 	 2	 24	=	23	?	3
	 3	 	 3
	 1	
12	 	 2
	 6	 	 2
	 3	 	 3	 12	=	22	?	3
	 1
	
84	 	 2
42	 	 2
21	 	 3	 84	=	22	?	3	?	7
	 7	 	 7
	 1	
4. DESCOMPONER UN NÚMERO EN FACTORES PRIMOS
Descompón	68	en	factores	primos.
PRIMERO.	Dividimos	el	valor	
absoluto	del	número	entre		
los	sucesivos	números	primos:	
2,	3,	5,	7,	11,	13,	17…	
tantas	veces	como	sea	necesario	
hasta	obtener	la	unidad.
SEGUNDO.	Expresamos	el	número	como	
el	producto	de	todos	los	factores	primos		
de	la	columna	de	la	derecha	utilizando	
potencias,	siempre	que	se	pueda.
68	=	2	?	2
22
	?	17	=	22	?	17
FACTORES	
PRIMOS
	 68	 	 2
68	:	2	 "	34	 	 2
34	:	2	 "	17	 	 17
17	:	17	"		 1	 	
2120
Actividades
NÚMEROS ENTEROS
46.	 ● 	Expresa	con	un	número	entero.
a)	 Luis	ganó	6	000	€	en	la	lotería.
b)	 El	termómetro	marcó	7	°C	bajo	cero.
c)	 Marta	vive	en	el	cuarto	piso.
d)	 La	tienda	está	en	el	segundo	sótano.
47.	 ● 	Copia	y	completa	esta	recta	numérica:
1-34 4 4 4 4
48.	 ● 	Representa	estos	números	enteros	en	
una	recta	numérica:	-5,	7,	-9,	0,	-3	y	2.
49.	 ● 	¿Cuántos	números	enteros	hay	entre	-4	y	4?
50.	 ● 	Copia	y	completa	con	el	signo	<	o	>.
a)	 -9	4	-12	
b)	 3	4	-2
c)	 -1	4	-4
d)	-7	4	-5
53.	 ● 	Escribe	dos	números	enteros.
a)	 Menores	que	+3	y	mayores	que	-1.
b)	 Menores	que	-3.
c)	 Mayores	que	-6.
d)	 Mayores	que	-2	y	menores	que	+1.
54.	 ● 	Ordena,	de	menor	a	mayor,	los	siguientes	
números:	-4,	6,	-7,	11,	-9,	-6,	0,	2	y	-1.
OPERACIONES CON NÚMEROS 
ENTEROS
60.	 ● 	Calcula	las	siguientes	sumas	y	restas.
a)	 (+12)	+ (+25)	 e)	 (+19)	- (+5)
b)	 (-9)	+ (+13)	 f)	 (-21) - (+33)
c)	 (-3)	+ (-11)	 g)	 (-7)	- (-11)
d)	 (+17) + (-8)	 h)	 (+22)	- (-15)
61.	 ● 	Copia	y	completa	esta	tabla:
a b a - b b - a a + b b + a
-7
-12
+11
+23
+9
-5
-18
+17
62.	 ● 	Realiza	las	siguientes	sumas.
a)	 (+10)	+ (-5)	+ (+7)	+ (-9)
b)	 (-29)	+ (-12)	+ (-9)	+ (+17)
c)	 (-20)	+ (+33)	+ (+21)	+ (-23)
d)	 (-23)	+ (-41)	+ (-16)	+ (+50)
63.	 ● 	Calcula	estas	restas.
64.	 ● 	Realiza	estas	sumas	y	restas	combinadas.
a)	 (-21)	+ (-12)	- (+9)
b)	 (+17)	- (+23)	+ (+34)
c)	 (-32)	+ (-19)	- (-11)
d)	 (-54)	- (+22)	+ (-10)
65.	 ● 	Calcula.
a)	 8	-	7	+	4	-	3	-	2
b)	-7	-	5	+	3	-	9	-	1	+	11
c)	 -4	-	2	+	5	-	1	-	4	+	1
d)	 6	-	3	+	3	-	10	-	4	+	13
e)	 -9	-	14	+	4	-	56	-	16	+	1
HAZLO ASÍ
¿CÓMO SE RESUELVEN OPERACIONES DE SUMAS 
Y RESTAS COMBINADAS CON PARÉNTESIS?
66. Calcula:	-3	+	(-8	+	9)	-	(3	-	6)
PRIMERO.	Se	resuelven	los	paréntesis.
-3	+	(-8	+	9)	-	(3	-	6)	=	-3	+	(+1)	-	(-3)	=
SEGUNDO.	Se	eliminan	los	paréntesis.
•	Si	están	precedidos	por	el	signo	+,	se	
mantienen	los	signos	de	los	números.
•	Si	están	precedidos	por	el	signo	-,	se	cambian	
los	signos	de	los	números.
=	-3	+	(+1)	-	(-3)	=	-3	+	1	+	3	=
TERCERO.	Se	realizan	las	sumas	y	las	restas,	
de izquierda	a	derecha.
=	-3	+	1	+	3	=	-2	+	3	=	1
F
F
67.	 ●● 	Realiza	estas	operaciones.
a)	 6	+	(-4	+	2)	-	(-3	-	1)
b)	 7	-	(4	-	3)	+	(-1	-	2)
c)	 3	+	(2	-	3)	-	(1	-	5	-	7)
d)	-8	+	(1	+	4)	+	(-7	-	9)
68.	 ●● 	Copia	y	completa	los	huecos	para	que	las	
igualdades	sean	ciertas.	
a)	 (-11)	+	4	=	+4	
b)	 (+13)	+	4	=	+12	
c)	4	+	(-20)	=	-12	
d)	 (+3)	-	4	=	-7
e)	 (-15)	-	4	=	+9
f)	 4	-	(+8)	=	+7
69.	 ● 	Calcula	los	siguientes	productos.
a)	 (+12) ? (+4)		 c)	 (+5) ? (-35)
b)	 (-42) ? (-3)		 d)	 (-14) ? (+5)
71.	 ● 	Calcula	los	siguientes	productos.
a)	 (+21) ? (+3) ? (+4)	 c)	 (+13) ? (-5) ? (-6)
b)	 (+19) ? (-2) ? (+3)	 d)	 (-20) ? (-9) ? (-3)
72.	 ●● 	Copia	y	completa	estos	productos.
a)	 (-5) ? 4	= -30	
b)	4 ? (+3)	= 45	
c)	 (-9) ? 4	= 27
d)	4 ? (-8)	= -48
76.	 ●● 	Realiza	estas	divisiones.
a)	 (+35)	:	(-7)	:	(-5)	 c)	 (+32)	:	(-8)	:	(-2)
b)	 (-21)	:	(-7)	:	(-1)	 d)	 (-4)	:	(+4)	:	(-1)
77.	 ●● 	Opera.
a)	 (+21)	?	(+2)	:	(-14)	
b)	 (+5)	:	(-5)	?	(-4)	
c)	 (+2)	?	(+9)	:	(-3)	
d)	 [(-2)	?	(+7)]	:	(-14)	?	(+3)
e)	 (+36)	:	[(-9)	:	(+3)]	?	(+5)
f)	 (+36)	:	(-9)	:	(+2)	?	(+5)
78.	 ●● 	Copia	y	completa	las	siguientes	divisiones.
a)	 (-36)	: 4	= -4	
b)	 (-54)	: 4	= +9		
c)	4	:	(-6)	=	-42	
d)	 (+48)	: 4	= -6
e)	 (-63) : 4	= -7
f)	 4	:	(+8)	=	+2
POTENCIAS DE NÚMEROS ENTEROS
79.	 ● 	Escribe	en	forma	de	potencia,	e	indica	la	base	
y	el	exponente.
a)	 7 ? 7 ? 7 ? 7
b)	 (-2) ? (-2) ? (-2)
c)	 (-5) ? (-5)	? (-5) ? (-5) ? (-5)
80.	 ● 	Escribe	en	forma	de	potencia	y	en	forma	
de	producto.
a)	 Base	11	y	exponente	4.
b)	 Base	-2	y	exponente	3.
81.	 ●● 	Calcula	las	siguientes	potencias.
a)	 45	 c)	 142	 e)	73	 g)	 54
b)	 (-2)6	 d)	 (-4)4	 f)	 (-9)2	 h)	 (-6)4
83.	 ● 	Calcula	las	siguientes	potencias.
a)	 50	 b)	 231	 c)	(-3)0	 d)	 (-57)1
84.	 ● 	Expresa	como	una	sola	potencia.
a)	 53 ? 54	 	 	 c)	(-3)5 ? (-3)3
b)	 116 ? 114	 	 	 d)	(-8)4 ? (-8)
85.	 ● 	Expresa	como	una	sola	potencia.
a)	 43 ? 43 ? 4	 	 	
b)	 95 ? 92 ? 94		 	
c)	 (-2)6 ? (-2)4 ? (-2)
d)	 (-7)3 ? (-7) ? (-7)6
87.	 ● 	Expresa	como	una	sola	potencia.
a)	 75	:	73	 	 	 c)	(-9)6	:	(-9)3
b)	 128	:	125	 	 	 d)	(-6)7	:	(-6)
88.	 ●● 	Expresa	como	una	sola	potencia.
a)	 (28	:	23)	?	23
b)	 35	:	(37	:	34)
c)	 [(-4)6:	(-4)]	:	(-4)2
d)	 (-5)3	:	[(-5)4	:	(-5)]
89.	 ● 	Expresa	como	una	sola	potencia.
a)	 (54)3	 	 	 c)	[(-3)4]3
b)	 (75)2	 	 	 d)	[(-9)3]3
91.	 ●● 	Expresa	como	una	sola	potencia.
a)	 (25)2 ? (22)4
b)	 (103)3 ? (102)4
c)	 [(-3)5]3 ? [(-3)4]3
d)	 [(-10)2]2 ? [(-10)3]3
2322
Actividades de la unidad: 
Ejercicios y problemas organizados 
por contenidos. Todos los enunciados 
van precedidos por un icono que 
indica su grado de dificultad.
HAZLO ASÍ. Son ejercicios resueltos 
que puedes tomar como modelo 
para afianzar procedimientos 
trabajados en la unidad.
294758 _ 0001-0005.indd 5 13/06/12 11:07
El año cero
El pequeño monje corría por los pasillos del palacio 
papal, y su cara denotaba una satisfacción 
que difícilmente lograba reprimir.
Cuando por fin llegó a la sala donde se encontraba 
el Papa, se arrodilló, besó su anillo y, con falsa 
modestia, dijo:
–Lo encontré, Su Santidad: el Año de la Salvación, 
cuando Nuestro Señor vino al mundo.
El Papa leyó con avidez el documento que 
Dionisio el Exiguo le había entregado, en el que 
databa el nacimiento de Cristo en el año 753 
de la fundación de Roma. Al mismo tiempo, 
el monje repetía:
–El año 754 de la fundación de Roma es nuestro 
primer año: primus anno Domini, el año primero 
de la Era del Señor.
Pero lo que estos dos personajes no podían imaginar 
era que, al contar los años de forma ordinal: 
año primero, año segundo, año tercero…, eliminaban 
el año cero. Este hecho provocó una enorme 
polémica hace algunos años; así, mientras unas 
personas mantenían que el siglo xxi comenzaba 
el 1 de enero de 2000, los hechos demostraban 
que este siglo comenzó el 1 de enero de 2001.
1Números enteros
1. Dionisio el Exiguo fue 
un monje que nació 
a finales del siglo v. 
Busca información 
sobre su vida y sobre 
sus aportaciones 
a la creación del 
calendario cristiano.
2. Investiga sobre el 
encargo que el papa 
Juan I hizo a Dionisio 
el Exiguo. ¿Fueron 
correctos los cálculos 
del monje?
3. ¿Cuál fue la polémica 
que se creó en los 
últimos años de la 
década de los noventa 
sobre el inicio del 
siglo xxi? ¿A qué se 
debió esa polémica?
DESCUBRE 
LA HISTORIA...
294758 _ 0006-0025.indd 6 13/06/12 11:10
Antes de empezar la unidad... 
En esta unidad 
aprenderás a…
• Sumar, restar, 
multiplicar y dividir 
números enteros.
• Operar con potencias 
de números enteros.
• Aplicar las relaciones 
de divisibilidad entre 
números enteros.
• Hallar el máximo 
común divisor 
y el mínimo común 
múltiplo de dos o más 
números enteros.
PLAN DE TRABAJO
NÚMEROS NATURALES
Los números naturales surgieron debido a la necesidad que siente el ser humano de contar 
lo que le rodea.
El conjunto de números naturales es ilimitado, es decir, no tiene fin, porque dado un número 
cualquiera, siempre es posible obtener el siguiente sumándoleuna unidad a ese número.
Representación de números naturales
• Fijamos el 1, y a su derecha, el 2. Tomamos la distancia 
entre estos dos puntos como unidad.
• Desplazamos dicha unidad hacia la derecha del 2 
para representar el resto de números.
1 2 3 4 5
Operaciones con números naturales
• Suma y resta
Se resuelven las operaciones de izquierda a derecha.
7 + 5 - 4 - 6 + 2 = 12 - 4 - 6 + 2 = 8 - 6 + 2 = 2 + 2 = 4
• Suma, resta, multiplicación y división
Se calculan primero las multiplicaciones y divisiones, de izquierda 
a derecha, y después las sumas y las restas, de izquierda a derecha.
6 + 5 ? 4 - 6 : 2 = 6 + 20 - 6 : 2 = 6 + 20 - 3 = 26 - 3 = 23
F F
F
F F
Al resolver operaciones 
combinadas siempre hay 
que tener en cuenta la jerarquía 
de las operaciones.
EVALUACIÓN INICIAL
1 Representa estos números naturales en la recta numérica.
5 3 1 7 8 4
2 Realiza estas operaciones de suma y resta.
a) 8 + 8 - 4 - 3 + 5
b) 12 - 5 + 7 - 2 + 11 - 3
c) 9 + 3 - 5 - 1 + 2 - 7
d) 15 - 4 - 2 + 6 + 12
3 Calcula el resultado de estas operaciones.
a) 16 + 3 - 15 : 3 + 5
b) 12 ? 3 + 7 - 8 : 2 - 1
c) 4 + 9 : 3 - 2 - 1 + 7
d) 11 - 3 ? 2 + 6 ? 4
7
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Números 
enteros
ANTES, DEBES SABER…
Para qué se utilizan los números enteros
Hay expresiones cotidianas que no se pueden indicar con números 
naturales. Necesitamos utilizar los números negativos:
• Cuando hablamos de temperaturas bajo cero.
Así, 3 grados bajo cero se expresa como -3 °C.
• Al considerar deudas económicas.
Si debemos 50 €, decimos que nuestro saldo es de -50 €.
• Al referirse a las plantas de un edificio.
El garaje está en la planta -2.
El conjunto de los números enteros se representa con la letra Z y está 
formado por:
• Números enteros positivos: +1, +2, +3, +4, +5, +6, …
• El número cero: 0.
• Números enteros negativos: -1, -2, -3, -4, -5, -6, …
1.1 Representación de números enteros
Los números enteros se representan ordenados en la recta numérica.
• El cero, 0, divide a la recta en dos partes iguales.
• Los números enteros positivos se sitúan a la derecha del cero.
• Los números enteros negativos se sitúan a la izquierda del cero.
Números enteros negativos Números enteros positivos
0-8… -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 …
FF
EJEMPLO
1 Representa en la recta numérica los siguientes números enteros:
-3 +6 -1 -4 0 +5
-3 -2 -1-4-5 76543210
1
3 Escribe situaciones que correspondan 
a estos números.
a) +57 € b) -100 m c) -6 °C d) +2
1 Representa en la recta numérica estos números 
enteros.
+7 -5 -2 +4 0 -8
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
1 Expresa con números enteros.
a) El avión vuela a una altura de tres mil metros.
b) El termómetro marca tres grados bajo cero.
c) Le debo cinco euros a mi hermano.
d) El almacén está en el tercer sótano.
e) Hay cinco grados bajo cero en la sierra.
Los números enteros 
positivos se escriben 
habitualmente sin el signo + 
que les precede.
+6 = 6 +15 = 15
Para escribir números 
negativos con la calculadora 
utilizamos la tecla +/- .
– 4 " 4 +/- 
CALCULADORA
8
294758 _ 0006-0025.indd 8 13/06/12 11:11
1.2 Valor absoluto de un número entero
El valor absoluto de un número entero se escribe entre barras, ; ;, y es 
igual al número sin su signo:
;+a; = a ;-a; = a
EJEMPLO
2 Calcula el valor absoluto de -4 y +3.
Valor absoluto de -4 " ;-4; = 4 Valor absoluto de +3 " ;+3; = 3
1.3 Opuesto de un número entero
El opuesto de un número entero es otro número entero con el mismo 
valor absoluto pero de signo contrario.
Op (+a) = -a Op (-a) = +a
EJEMPLO
3 Calcula el opuesto de -5 y de +5. Represéntalos en la recta numérica.
Op (-5) = +5 Op (+5) = -5
1.4 Comparación de números enteros
Un número entero es mayor que otro cuando está situado más a la de-
recha en la recta numérica.
• Un número entero positivo es mayor que cualquier número negativo.
• El 0 es mayor que cualquier número negativo y menor que cualquiera 
positivo.
EJEMPLOS
4 Compara estos números enteros.
b) -2 y -5 -2 > -5 c) +5 y -3 +5 > -3
-5 -4 -3 -2 -1 +10 -3 +1 +50
1 Ordena, de menor a mayor, estos números enteros.
+4 -3 -5 +6
-5 < -3 < +4 < +6 -5 -3-4 -2-1 +1 +2 +3 +4 +5 +60
7 Representa y ordena, de menor a mayor:
+8 -2 +3 +11 0 -7 -9 
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
2 Halla el valor absoluto y el opuesto de:
-4 +5 -13 +27 -1 +18
> Mayor que 5 > 2
< Menor que 2 < 5
SE ESCRIBE ASÍ
;0; = 0
;5; = ;+5; = ;-5; = 5
NO OLVIDES
9
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Suma y resta
de números enteros
2.1 Suma de dos números con el mismo signo
Para sumar dos números enteros que tienen el mismo signo, se suman sus 
valores absolutos y se pone al resultado el mismo signo de los sumandos.
EJEMPLO
5 Resuelve estas operaciones.
a) (+6) + (+7) = +13
Mismo signo " ;+6; + ;+7; = 6 + 7 = 13
b) (-6) + (-7) = -13
Mismo signo " ;-6; + ;-7; = 6 + 7 = 13
2.2 Suma de dos números con distinto signo
Para sumar dos números enteros que tienen distinto signo, se restan 
sus valores absolutos y se pone al resultado el signo del sumando de 
mayor valor absoluto.
EJEMPLO
5 Resuelve estas operaciones.
a) (-6) + (+7) = +1
Distinto signo " ;+7; - ;-6; = 1
El resultado es positivo ya que +7 es el sumando cuyo valor absoluto es 
mayor, ;+7; = 7.
b) (+6) + (-7) = -1
Distinto signo " ;-7; - ;+6; = 1 
2
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
4 Realiza estas sumas de números enteros.
a) (+9) + (+7) f) (-3) + (+5)
b) (-9) + (-7) g) (-3) + (-5)
c) (+9) + (-7) h) (+5) + (-2)
d) (+3) + (+5) i) (-5) + (-2)
e) (+3) + (-5) j) (-5) + (+2)
2 Calcula.
a) (+6) + (+2) c) (+3) + (+8)
b) (-6) + (-2) d) (-3) + (-8)
3 Calcula.
a) (+6) + (-2) c) (+3) + (-8)
b) (-6) + (+2) d) (-3) + (+8)
10
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9 Calcula.
a) -11 + 8 - 6 - 7 + 9
b) 3 - 8 + 12 - 15 - 1 + 10 - 4
c) 15 - 14 + 9 - 21 - 13 + 6
d) -(4 - 9 + 3) + (11 - 8 - 7) + (-15)
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
5 Realiza estas operaciones.
a) 3 + 5 - 2 - 8
b) -5 + 8 - 2 - 7
c) 9 - 7 + 8 + 3 - 2
d) (+6) - (+7) + (-5) - (-3)
2.3 Resta de dos números enteros
Para restar dos números enteros se le suma al primero el opuesto del 
segundo.
EJEMPLO
5 Resuelve estas operaciones.
c) (+6) - (+7) = (+6) + Op (+7) = (+6) + (-7) = 6 - 7 = -1
d) (+6) - (-7) = (+6) + Op (-7) = (+6) + (+7) = 6 + 7 = +13
2.4 Operaciones combinadas de suma y resta
Para sumar y restar varios números sumamos y restamos los números en 
el orden en que aparecen.
EJEMPLO
2 Calcula.
a) 6 + 3 - 8 - 5 = 9 - 8 - 5 = 1 - 5 = -4
b) (-5) - (+4) + (-3) - (-6) = -5 - (+4) + (-3) - (-6) =
= -5 - 4 + (-3) - (-6) = -5 - 4 - 3 - (-6) =
= -5 - 4 - 3 + 6 = -9 - 3 + 6 = -12 + 6 = -6 
ANTES, DEBES SABER…
Cómo se realizan operaciones de suma y resta con paréntesis
Se resuelven primero las operaciones que hay dentro de los paréntesis, 
y después las sumas y las restas, de izquierda a derecha.
EJEMPLO
6 Resuelve esta operación.
(-3) + (8 - 4) - (-4 + 3)= (-3) + (+4) - (-1) = -3 + (+4) - (-1) =
= -3 + 4 - (-1) = -3 + 4 + 1 = 1 + 1 = 2
F
F
F
F
F
Un paréntesis 
precedido del signo - 
cambia los signos de 
los números de su interior.
Un paréntesis precedido 
del signo + mantiene 
los signos.
11
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Multiplicación y división
de números enteros
3.1 Multiplicación de números enteros
Para multiplicar dos números enteros:
1.º Se multiplican sus valores absolutos.
2.º Al resultado se le añade el signo + si ambos números son de 
igual signo, o el signo - si son de signos diferentes.
EJEMPLO
6 Realiza estos productos.
a) (+3) ? (+5) = +15 c) (-3) ? (+5) = -15
b) (-3) ? (-5) = +15 d) (+3) ? (-5) = -15
 - ? - = + + ? - = - 
 3 ? 5 = 15 3 ? 5 = 15 
3.2 División de números enteros
Para dividir dos números enteros:
1.º Se dividen sus valores absolutos.
2.º Al resultado se le añade el signo + si ambos números son de 
igual signo, o el signo - si son de signosdiferentes.
EJEMPLO
7 Realiza estas divisiones.
a) (+27) : (-3) = -9 c) (-27) : (-3) = +9
b) (+27) : (+3) = +9 d) (-27) : (+3) = -9
 + : + = + - ? + = - 
 27 : 3 = 9 27 : 3 = 9 
3
+ ? + = +
3 ? 5 = 15
FF
- ? + = -
3 ? 5 = 15
FF
F F F F
+ : - = -
27 : 3 = 9
FF
- : - = +
27 : 3 = 9
FF
F F F F
Regla de los signos
+ · + = +
- · - = +
+ · - = -
- · + = -
+ : + = +
- : - = +
+ : - = -
- : + = -
6 Realiza las siguientes multiplicaciones 
y divisiones.
a) (-5) ? (-6)
b) (+3) ? (-3)
c) (-2) ? (+2)
d) (+12) : (-2)
e) (-24) : (-6)
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
12 Resuelve estas multiplicaciones.
a) (-3) ? (+2) d) (+2) ? (+7)
b) (-2) ? (-8) e) (+5) ? (-4)
13 Calcula las divisiones.
a) (-12) : (+6) d) (+21) : (+7)
b) (-6) : (-2) e) (+24) : (-4)
12
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Potencias 
de números enteros
ANTES, DEBES SABER…
Cómo se calculan potencias de números naturales
Una potencia es la forma abreviada de escribir una multiplicación de 
factores iguales:
45 = 4 ? 4 ? 4 ? 4 ? 4 3 ? 3 ? 3 ? 3 = 34
Una potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicación de 
factores iguales:
an = …? ? ? ?a a a a
n veces
1 2 3444 444
a es la base, el factor que se repite.
n es el exponente, el número de veces que se repite la base.
EJEMPLO
9 Completa la siguiente tabla.
Producto Potencia Se lee
(+4) ? (+4) (+4)2 «4 elevado a 2» o «4 al cuadrado»
(-9) ? (-9) ? (-9) (-9)3 «-9 elevado a 3» o «-9 al cubo»
3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 35 «3 elevado a 5» o «3 a la quinta potencia»
Signo de una potencia de base un número entero
En una potencia de base un número entero y exponente natural:
• Si la base es un número positivo, la potencia es positiva.
• Si la base es un número negativo, la potencia es positiva cuando 
el exponente es par y negativa si es impar.
EJEMPLO
10 Calcula el valor de estas potencias.
a) (+2)4 = (+2) ? (+2) ? (+2) ? (+2) = 24 = 16
b) (+2)5 = (+2) ? (+2) ? (+2) ? (+2) ? (+2) = 25 = 32
c) (-2)4 = (-2) ? (-2) ? (-2) ? (-2) = (+4) ? (-2) ? (-2) = (-8) ? (-2) = 16
d) (-2)3 = (-2) ? (-2) ? (-2) = (+4) ? (-2) = -8
4
17 Expresa en forma de potencia y halla 
su valor.
a) 6 ? 6 ? 6 c) (-2) ? (-2) ? (-2)
b) 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 d) (-5) ? (-5)
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
16 Escribe cómo se leen las potencias y calcula 
su valor.
a) 35 c) (-8)6 e) 103 g) (-4)2
b) 22 d) (-5)3 f) 42 h) (-2)3
Para hallar potencias con 
la calculadora utilizamos 
la tecla x  y .
56 " 5 x  y 6 = 15625
212 " 2 x  y 12 = 4096
CALCULADORA
F
F
34
base
exponente
13
294758 _ 0006-0025.indd 13 13/06/12 11:11
Para que se puedan 
aplicar las propiedades 
del producto 
y el cociente, 
las potencias han de 
tener la misma base.
Operaciones
con potencias
ANTES, DEBES SABER…
Cómo se expresa un número como potencias de 0 y de 1
• Un número elevado a 0 es 1.
• Un número elevado a 1 es el mismo número.
(-4)0 = 1 50 = 1 (-3)1 = -3 71 = 7
5.1 Producto de potencias de la misma base
Para multiplicar dos o más potencias de la misma base, se mantiene 
la misma base y se suman los exponentes.
am ? an = am+n
EJEMPLO
3 Resuelve estas operaciones con potencias.
a) 63 ? 62 = 63+2 = 65
b) (-6)3 ? (-6)2 = (-6)3+2 = (-6)5 
c) 57 ? 54 = 57+4 = 511
d) (-5)7 ? (-5)4 = (-5)7+4 = (-5)11
5.2 Cociente de potencias de la misma base
Para dividir dos potencias de la misma base se mantiene la misma 
base y se restan los exponentes.
am : an = am-n m H n
EJEMPLO
4 Resuelve estas operaciones con potencias.
a) 63 : 62 = 63-2 = 61 c) 57 : 54 = 57-4 = 53
b) (-6)3 : (-6)2 = (-6)3-2 = (-6)1 d) (-5)7 : (-5)4 = (-5)7-4 = (-5)3
5
7 Calcula.
a) 43 ? 42 + 37 ? 35 b) 85 : 84 + 78 ? 73
21 Resuelve las operaciones.
a) 52 ? 52 + 36 : 35 + 102 ? 103
b) 52 : 5 + 33 ? 32 + 102 : 102
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
20 Expresa estas operaciones con potencias 
con una sola potencia, y utiliza la calculadora 
para resolverlas.
a) 34 ? 35 e) (-3)6 ? (-3)2
b) 53 ? 52 f) (-5)3 ? (-5)2
c) 412 : 48 g) (-4)12 : (-4)8
d) 74 : 7 h) (-7)4 : (-7)
14
294758 _ 0006-0025.indd 14 13/06/12 11:11
5.3 Potencia de una potencia
Para elevar una potencia a otra potencia se mantiene la misma base 
y se multiplican los exponentes.
(an)m = an ? m
EJEMPLO
5 Escribe como una sola potencia.
a) (63)4 = 63?4 = 612 
b) (-63)4 = (-6)3?4 = (-6)12 
c) (57)2 = 57?2 = 514
d) (-57)2 = (-5)7?2 = (-5)14
5.4 Potencia de una multiplicación y una división
• La potencia de una multiplicación es igual al producto de las poten-
cias de sus factores.
(a ? b)n = an ? bn
• La potencia de una división es igual al cociente de la potencia del 
dividendo entre la potencia del divisor.
(a : b)n = an : bn
EJEMPLO
6 Resuelve estas operaciones con potencias.
a) (2 ? 6)4 = 24 ? 64 = 16 ? 1 296 = 20 736
b) (-2 ? 3)4 = (-2)4 ? 34 = 16 ? 81 = 1 296
c) [3 ? (-5)]3 = 33 ? (-5)3 = 27 ? (-125) = -3 375
d) [-2 ? (-4)]2 = (-2)2 ? (-4)2 = 4 ? 16 = 64
e) (15 : 5)2 = 152 : 52 = 225 : 25 = 9
f) [8 : (-2)]2 = 82 : (-2)2 = 64 : 4 = 16
g) [(-8) : (-4)]3 = (-8)3 : (-4)3 = (-512) : (-64) = 8
h) (-8 : 4)3 = (-8)3 : 43 = (-512) : 64 = -8
i) [-16 : (-4)]2 = (-16)2 : (-4)2 = 256 : 16 = 16
24 Expresa como un producto o una división 
de potencias.
a) (3 ? 2)3 c) [(-3) ? 2]3 e) [(-3) ? (-2)]3
b) (8 : 4)4 d) [(-8) : 4]4 f) [(-8) : (-4)]4
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
23 Calcula estas potencias.
a) (74)6 d) [(-8)3]2
b) [(-2)3]4 e) (56)3
c) (85)3 f) [(-9)5]3
(-7 ? 2)3 = (-7)3 ? 23
[(-7) ? 2]3 = (-7)3 ? 23
Por tanto:
(-7 ? 2)3 = [(-7) ? 2]3
DATE CUENTA
15
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Jerarquía
de las operaciones
ANTES, DEBES SABER…
Cómo se realizan operaciones combinadas con números 
naturales
Al operar con números naturales resolvemos:
1.º Las operaciones que hay entre paréntesis.
2.º Las multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha.
3.º Las sumas y las restas, de izquierda a derecha.
EJEMPLO
7 Resuelve esta operación.
25 - 4 ? 3 : 6 - 3 + 12 : 3 =
 Multiplicaciones y divisiones F
 = 25 - 12 : 6 - 3 + 4 =
 = 25 - 2 - 3 + 4 =
 Sumas y restas F
 = 23 - 3 + 4 =
 = 20 + 4 = 24
Cuando aparecen operaciones combinadas, el orden establecido para ope-
rar es el siguiente:
1.o Eliminamos los paréntesis y corchetes, de dentro hacia afuera.
2.o Resolvemos las potencias y raíces, de izquierda a derecha.
3.o Efectuamos las multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha.
4.o Efectuamos las sumas y restas, de izquierda a derecha.
EJEMPLO
17 Calcula.
a) (+15) : [(+6) - (+1)] - [(+9) + (-3)] : 2 =
Corchetes y paréntesis F
 = 15 : (6 - 1) - (9 - 3) : 2 = 15 : 5 - 6 : 2 =
 Divisiones F
 = 3 - 3 =
 Restas F
 = 0
7
32 Haz estas operaciones.
a) (+7) - (-12) ? (+5)
b) (-5) - [(-6) - (-5) ? (-9)]
c) [16 - (-4)] : [2 ? (-2)]
d) (9 - 4) ? (-5) - 1
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
31 Calcula.
a) (+4) ? (-7) + (-3) ? (-2)
b) (+16) : (-8) + (-24) : (-6)
c) (-4) ? (-5) - (+3) ? (-2)
d) (-12) : (-3) - (+4) : (-2)
16
294758 _ 0006-0025.indd 16 13/06/12 11:11
Divisibilidad 
entre números enteros
ANTES, DEBES SABER…
Cuándo una división es exacta
• Una división es exacta cuando su resto es 0.
• Una división no es exacta cuando su resto es distinto de 0.
68 u 4 
28 17
 0 !Resto 68 : 4 es exacta. 
69 u 4 
29 17
 1 !Resto 69 : 4 no es exacta.
Si la división a : b es exacta (su resto es 0), podemos afirmar que:
• a es divisible por b.
• a es múltiplo de b.
• b es divisor de a.
EJEMPLOS
8 ¿Es 6 múltiplo de 3? ¿Es 3 divisor de 6?
6 : 3 = 2 " División exacta " 6 es divisible por 3.
6 es múltiplo de 3 y 3 es divisor de 6.
18 Calcula los seis primeros múltiplos de 5.
Múltiplos de 5 " 5
•
 = {
5 ? 1
5 , 
5 ? 2
10 , 
5 ? 3
15 , 
5 ? 4
20 , 
5 ? 5
25 , 
5 ? 6
30 , …}
19 Determina los divisores de 6.
6 6
0 1
6 5
1 1
6 4
2 1
6 3
0 2
6 2
0 3
6 1
0 6
Divisores de 6 " Div (6) = {1, 2, 3, 6}
Un número es primo cuando es positivo y sus únicos divisores son élmismo y la unidad. En caso contrario decimos que es compuesto.
EJEMPLO
20 Averigua si 11 y 33 son números primos o compuestos.
Div (11) = {1, 11} Div (33) = {1, 3, 11, 33}
El número 11 es primo porque solo tiene dos divisores, 33 es compuesto 
porque tiene más de dos divisores.
8
36 ¿Cuáles de estos números son primos?
4 5 9 11 14 17 21
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
35 Calcula diez múltiplos y todos los divisores.
a) 8 b) 7 c) 4 d) 10
La divisibilidad se suele 
estudiar solo para números 
positivos.
Para números negativos se 
cumplen las mismas 
propiedades.
 3
•
 " Todos los múltiplos 
de 3.
12
•
 " Todos los múltiplos
de 12.
Div (8) " Todos los 
divisores de 8.
Div (12) " Todos los 
divisores de 12.
SE ESCRIBE ASÍ
17
294758 _ 0006-0025.indd 17 13/06/12 11:11
8.1 Criterios de divisibilidad
Los criterios de divisibilidad son reglas que nos permiten reconocer, sin 
necesidad de realizar la división, si un número es divisible por otro.
Divisible por… Criterio
2 Si la última cifra es 0 o par.
3 Si la suma de sus cifras es múltiplo de 3.
5 Si la última cifra es 0 o 5.
10 Si la última cifra es 0.
EJEMPLO
21 Comprueba si 2 541 es divisible por 2, 3, 5 y 10.
• No es divisible por 2, porque no termina en 0 ni en cifra par.
• Es divisible por 3, porque: 2 + 5 + 4 + 1 = 12, que es múltiplo de 3.
• No es divisible por 5, porque no termina en 0 ni en 5.
• No es divisible por 10, porque no termina en 0.
8.2 Descomposición en factores primos
Un número entero se puede expresar de forma única como producto de 
distintos números primos elevados a potencias. A esta expresión se le 
llama descomposición en factores primos del número.
ANTES, DEBES SABER…
Cómo se expresa un producto de factores iguales mediante 
una potencia
Una potencia es un producto de factores iguales. 2 ? 2 ? 2 = 23
 3 veces 
EJEMPLO
22 Descompón 12 y 63 en factores primos.
COCIENTES 
PARCIALES
FACTORES 
PRIMOS
COCIENTES 
PARCIALES
FACTORES 
PRIMOS
12 2 63 3
12 : 2 " 6 2 " 63 : 3 " 21 3 "
6 : 2 " 3 3 " 21 : 3 " 7 7 "
3 : 3 " 1 7 : 7 " 1
12 = 2 ? 2 ? 3 = 22 ? 3 63 = 3 ? 3 ? 7 = 32 ? 7
14243 F
40 Descompón en factores primos.
a) 210 b) 270 c) 66 d) 92
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
39 Comprueba si son divisibles por 2, 3, 5, 10 y 11.
a) 145 b) 3 467 c) 12 624 d) 212
Para descomponer un 
número en factores primos 
tenemos que dividir 
entre 2, 3, 5…
18
294758 _ 0006-0025.indd 18 13/06/12 11:11
8.3 Máximo común divisor y mínimo común múltiplo
• El máximo común divisor (m.c.d.) de varios números enteros es el 
mayor número entero positivo que es divisor de todos.
• El m.c.d. de varios números se obtiene descomponiendo los números 
en factores primos y multiplicando los factores primos comunes ele-
vados al menor de sus exponentes.
EJEMPLO
24 Calcula el máximo común divisor de 12 y 28 mediante su descomposición 
en factores.
12 2 28 2
 6 2 14 2
 3 3 
12 = 22 ? 3
 7 7 
28 = 22 ? 7
 1 1 
m.c.d. (12, 28) = 22 = 4
• El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de varios números enteros es 
el menor número entero positivo que es múltiplo de todos.
• El m.c.m. se obtiene descomponiendo los números en factores primos 
y multiplicando los factores primos comunes y no comunes elevados 
al mayor de sus exponentes.
EJEMPLO
24 Calcula el mínimo común múltiplo de 12 y 28 mediante su descomposición 
en factores.
12 2 28 2
 6 2 14 2
 3 3 
12 = 22 ? 3
 7 7 
28 = 22 ? 7
 1 1 
m.c.m. (12, 28) = 22 ? 3 ? 7 = 84
43 Descompón estos números en factores primos, 
y calcula su máximo común divisor y su mínimo 
común múltiplo.
a) 18 y 20 d) 18 y 32
b) 28 y 42 e) 48 y 32
c) 18 y 4 f) 21 y 28
44 Halla el m.c.d. y el m.c.m. de estos números.
a) 10, 12 y 35 b) 15, 20 y 27
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
8 Calcula el máximo común divisor de estos 
números, descomponiéndolos en factores 
primos.
a) 14 y 21 b) 35 y 70
9 Calcula el mínimo común múltiplo de estos 
números, descomponiéndolos en factores 
primos.
a) 25 y 75 b) 36 y 72
Si m.c.d. (a, b) = 1, 
a y b no tienen divisores 
comunes. Decimos que 
son primos entre sí.
• Máximo común divisor 
de dos números: 
m.c.d. (a, b) 
m.c.d. (15, 12)
• Mínimo común múltiplo 
de dos números: 
m.c.m. (a, b) 
m.c.m. (15, 12)
SE ESCRIBE ASÍ
19
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Lo esencial
COMPRENDE ESTAS PALABRAS
Números enteros
• Números enteros positivos:
+1, +2, +3, +4, …
• El número 0.
• Números enteros negativos:
-1, -2, -3, -4, …
Potencia an = a ? a ? a ? … ? a
1442443
n veces
Divisibilidad
8 : 2 es una división exacta
F
F
8 es divisible por 2
FF
F F
8 es múltiplo de 2 2 es divisor de 8
HAZLO DE ESTA MANERA
1. MULTIPLICAR Y DIVIDIR NÚMEROS 
ENTEROS
Calcula. a) (-4) ? (+3) b) (-25) : (-5)
PRIMERO. Multiplicamos o dividimos 
sus valores absolutos.
a) ;-4; ? ;+3; = 4 ? 3 = 12
b) ;-25; ? ;-5; = 25 : 5 = 5
SEGUNDO. Al resultado le añadimos 
un signo + si ambos tienen el mismo signo, 
o el signo - si son de signo distinto.
a) (-4) ? (+3) = -12 b) (-25) ? (-5) = +5
Distinto signo
F
Mismo signo
F
2. CALCULAR UN PRODUCTO 
O DIVISIÓN DE POTENCIAS
Expresa, si se puede, con una sola potencia.
a) 67 ? 63 e) (-6)5 ? 23
b) 67 : 63 f) (-6)5 : 23 
PRIMERO. Estudiamos si las bases son iguales.
a) y b) 67 y 63 " La base de las dos 
potencias es la misma, 6.
e) y f) (-6)5 y 23 " No son iguales las bases.
SEGUNDO. Si las bases son iguales, sumamos 
o restamos los exponentes. Si no lo son, 
no podemos operar los exponentes.
a) 67 ? 63 = 67+3 = 610 b) 67 : 63 = 67-3 = 64
e) y f) No podemos operar.
1. CALCULAR LA POTENCIA 
DE UN NÚMERO ENTERO
Calcula el valor de las siguientes potencias.
a) 65 b) (-6)5 c) (-6)4
PRIMERO. Tomamos el valor absoluto 
de la base y calculamos su potencia.
65 = 6 ? 6 ? 6 ? 6 ? 6 = 7 776
64 = 6 ? 6 ? 6 ? 6 = 1 296
SEGUNDO. Si la base es negativa 
y el exponente es un número impar, 
añadimos el signo - al resultado.
a) 65 = 7 776 c) (-6)4 = 1 296
b) (-6)5 = -7 776 
3. RESOLVER OPERACIONES 
COMBINADAS
Resuelve.
(-3) ? [6 : (-2)] - (-2) =
 
= (-3) ? [-3] - (-2) =
 
= +9 - (-2) =
= +9 + 2 = +11
PRIMERO. Resolvemos 
los paréntesis.
SEGUNDO. Resolvemos 
las multiplicaciones 
y divisiones.
TERCERO. Resolvemos 
las sumas y restas.
F
F
20
294758 _ 0006-0025.indd 20 13/06/12 11:11
Comprende estas palabras
1. Escribe, si se puede, estas expresiones 
en forma de potencia.
a) 7 ? 7 ? 7 ? 7 b) 7 ? 6 ? 5 ? 4 c) 7 ? 7
Multiplicar y dividir números enteros
1. Calcula. a) (-5) ? (-7) b) (+24) : (-3)
Calcular la potencia de un número entero 
3. Determina el valor de estas potencias.
a) 54 b) (-5)4 c) 53 d) (-5)3
Calcular un producto o división de potencias
4. Expresa como una potencia. a) 33 ? 35
Resolver operaciones combinadas
5. Calcula:
(-3)3 + (-5) ? [(-6) : (-3)] + (-7)2
Descomponer un número en factores primos
6. Descompón en factores primos los números.
a) 88 c) 32 e) 91
b) 84 d) 154 f) 252
Calcular el máximo común divisor y el 
mínimo común múltiplo de varios números
7. Calcula el máximo común divisor y el mínimo 
común múltiplo de estos números.
a) 8, 20 y 42 b) 18, 45 y 96
Y AHORA… PRACTICA
5. CALCULAR EL MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO 
DE VARIOS NÚMEROS
Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de 12, 24 y 84.
PRIMERO. Descomponemos el valor 
absoluto de los números enteros 
en factores primos.
SEGUNDO.
• Para calcular el máximo común divisor tomamos los factores comunes elevados 
al menor de los exponentes.
• Para calcular el mínimo común múltiplo tomamos los factores comunes y no comunes 
elevados al mayor de los exponentes.
Factores comunes " 2 y 3 Comunes con menor exponente " 22 y 3
Factores no comunes " 7 Comunes con mayor exponente " 23 y 3
m.c.d. (12, 24, 84) = 22 ? 3 = 12
m.c.m. (12, 24, 84) = 23 ? 3 ? 7 = 168
24 2
12 2
 6 2 24 = 23 ? 3
 3 3
 1 
12 2
 6 2
 3 3 12 = 22 ? 3
 1
 
84 2
42 2
21 3 84 = 22 ? 3 ? 7
 7 71 
4. DESCOMPONER UN NÚMERO EN FACTORES PRIMOS
Descompón 68 en factores primos.
PRIMERO. Dividimos el valor 
absoluto del número entre 
los sucesivos números primos: 
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17… 
tantas veces como sea necesario 
hasta obtener la unidad.
SEGUNDO. Expresamos el número como 
el producto de todos los factores primos 
de la columna de la derecha utilizando 
potencias, siempre que se pueda.
68 = 2 ? 2
22
 ? 17 = 22 ? 17
FACTORES 
PRIMOS
 68 2
68 : 2 " 34 2
34 : 2 " 17 17
17 : 17 " 1 
21
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Actividades
NÚMEROS ENTEROS
46. ● Expresa con un número entero.
a) Luis ganó 6 000 € en la lotería.
b) El termómetro marcó 7 °C bajo cero.
c) Marta vive en el cuarto piso.
d) La tienda está en el segundo sótano.
47. ● Copia y completa esta recta numérica:
1-34 4 4 4 4
48. ● Representa estos números enteros en 
una recta numérica: -5, 7, -9, 0, -3 y 2.
49. ● ¿Cuántos números enteros hay entre -4 y 4?
50. ● Copia y completa con el signo < o >.
a) -9 4 -12 
b) 3 4 -2
c) -1 4 -4
d) -7 4 -5
53. ● Escribe dos números enteros.
a) Menores que +3 y mayores que -1.
b) Menores que -3.
c) Mayores que -6.
d) Mayores que -2 y menores que +1.
54. ● Ordena, de menor a mayor, los siguientes 
números: -4, 6, -7, 11, -9, -6, 0, 2 y -1.
OPERACIONES CON NÚMEROS 
ENTEROS
60. ● Calcula las siguientes sumas y restas.
a) (+12) + (+25) e) (+19) - (+5)
b) (-9) + (+13) f) (-21) - (+33)
c) (-3) + (-11) g) (-7) - (-11)
d) (+17) + (-8) h) (+22) - (-15)
61. ● Copia y completa esta tabla:
a b a - b b - a a + b b + a
-7
-12
+11
+23
+9
-5
-18
+17
62. ● Realiza las siguientes sumas.
a) (+10) + (-5) + (+7) + (-9)
b) (-29) + (-12) + (-9) + (+17)
c) (-20) + (+33) + (+21) + (-23)
d) (-23) + (-41) + (-16) + (+50)
63. ● Calcula estas restas.
64. ● Realiza estas sumas y restas combinadas.
a) (-21) + (-12) - (+9)
b) (+17) - (+23) + (+34)
c) (-32) + (-19) - (-11)
d) (-54) - (+22) + (-10)
65. ● Calcula.
a) 8 - 7 + 4 - 3 - 2
b) -7 - 5 + 3 - 9 - 1 + 11
c) -4 - 2 + 5 - 1 - 4 + 1
d) 6 - 3 + 3 - 10 - 4 + 13
e) -9 - 14 + 4 - 56 - 16 + 1
HAZLO ASÍ
¿CÓMO SE RESUELVEN OPERACIONES DE SUMAS 
Y RESTAS COMBINADAS CON PARÉNTESIS?
66. Calcula: -3 + (-8 + 9) - (3 - 6)
PRIMERO. Se resuelven los paréntesis.
-3 + (-8 + 9) - (3 - 6) = -3 + (+1) - (-3) =
SEGUNDO. Se eliminan los paréntesis.
• Si están precedidos por el signo +, se 
mantienen los signos de los números.
• Si están precedidos por el signo -, se cambian 
los signos de los números.
= -3 + (+1) - (-3) = -3 + 1 + 3 =
TERCERO. Se realizan las sumas y las restas, 
de izquierda a derecha.
= -3 + 1 + 3 = -2 + 3 = 1
F
F
22
294758 _ 0006-0025.indd 22 13/06/12 11:11
67. ●● Realiza estas operaciones.
a) 6 + (-4 + 2) - (-3 - 1)
b) 7 - (4 - 3) + (-1 - 2)
c) 3 + (2 - 3) - (1 - 5 - 7)
d) -8 + (1 + 4) + (-7 - 9)
68. ●● Copia y completa los huecos para que las 
igualdades sean ciertas. 
a) (-11) + 4 = +4 
b) (+13) + 4 = +12 
c) 4 + (-20) = -12 
d) (+3) - 4 = -7
e) (-15) - 4 = +9
f) 4 - (+8) = +7
69. ● Calcula los siguientes productos.
a) (+12) ? (+4) c) (+5) ? (-35)
b) (-42) ? (-3) d) (-14) ? (+5)
71. ● Calcula los siguientes productos.
a) (+21) ? (+3) ? (+4) c) (+13) ? (-5) ? (-6)
b) (+19) ? (-2) ? (+3) d) (-20) ? (-9) ? (-3)
72. ●● Copia y completa estos productos.
a) (-5) ? 4 = -30 
b) 4 ? (+3) = 45 
c) (-9) ? 4 = 27
d) 4 ? (-8) = -48
76. ●● Realiza estas divisiones.
a) (+35) : (-7) : (-5) c) (+32) : (-8) : (-2)
b) (-21) : (-7) : (-1) d) (-4) : (+4) : (-1)
77. ●● Opera.
a) (+21) ? (+2) : (-14) 
b) (+5) : (-5) ? (-4) 
c) (+2) ? (+9) : (-3) 
d) [(-2) ? (+7)] : (-14) ? (+3)
e) (+36) : [(-9) : (+3)] ? (+5)
f) (+36) : (-9) : (+2) ? (+5)
78. ●● Copia y completa las siguientes divisiones.
a) (-36) : 4 = -4 
b) (-54) : 4 = +9 
c) 4 : (-6) = -42 
d) (+48) : 4 = -6
e) (-63) : 4 = -7
f) 4 : (+8) = +2
POTENCIAS DE NÚMEROS ENTEROS
79. ● Escribe en forma de potencia, e indica la base 
y el exponente.
a) 7 ? 7 ? 7 ? 7
b) (-2) ? (-2) ? (-2)
c) (-5) ? (-5) ? (-5) ? (-5) ? (-5)
80. ● Escribe en forma de potencia y en forma 
de producto.
a) Base 11 y exponente 4.
b) Base -2 y exponente 3.
81. ●● Calcula las siguientes potencias.
a) 45 c) 142 e) 73 g) 54
b) (-2)6 d) (-4)4 f) (-9)2 h) (-6)4
83. ● Calcula las siguientes potencias.
a) 50 b) 231 c) (-3)0 d) (-57)1
84. ● Expresa como una sola potencia.
a) 53 ? 54 c) (-3)5 ? (-3)3
b) 116 ? 114 d) (-8)4 ? (-8)
85. ● Expresa como una sola potencia.
a) 43 ? 43 ? 4 
b) 95 ? 92 ? 94 
c) (-2)6 ? (-2)4 ? (-2)
d) (-7)3 ? (-7) ? (-7)6
87. ● Expresa como una sola potencia.
a) 75 : 73 c) (-9)6 : (-9)3
b) 128 : 125 d) (-6)7 : (-6)
88. ●● Expresa como una sola potencia.
a) (28 : 23) ? 23
b) 35 : (37 : 34)
c) [(-4)6: (-4)] : (-4)2
d) (-5)3 : [(-5)4 : (-5)]
89. ● Expresa como una sola potencia.
a) (54)3 c) [(-3)4]3
b) (75)2 d) [(-9)3]3
91. ●● Expresa como una sola potencia.
a) (25)2 ? (22)4
b) (103)3 ? (102)4
c) [(-3)5]3 ? [(-3)4]3
d) [(-10)2]2 ? [(-10)3]3
23
294758 _ 0006-0025.indd 23 13/06/12 11:11
JERARQUÍA DE LAS OPERACIONES
106. ●● Resuelve las siguientes operaciones.
a) (-13) ? (+3) - (-12) ? (+7)
b) (-3) ? (-12) - (-15) ? (-4)
c) (-35) : (-7) + (-54) : (+9)
d) [(-25) + 5 - (-4)] : (-8)
e) [(-16) + (-9) + 5] : (-4)
f) [(-4) + (-3) ? (-6)] : 7
107. ●● Resuelve las operaciones.
a) (-11) ? [10 + (-7)] + 36 : [(-1) - (-10)]
b) (-8) ? [5 - (-2)] - 48 : [6 + (-14)]
c) 42 : [(-6) - (-3)] + 28 : [-6 - (-8)]
d) 32 : [(-19) + 3] - 24 : [(-11) - (-5)]
10. ●● Realiza estas operaciones.
a) (+45) : [(-7) + (+2)]
b) (+2) ? [(-63) : (-7)]
c) (-25) : [(+3) - (+8)]
d) (-8) ? [(+21) : (-3)]
e) (-7) - [(-14) : (+2) - (-7)]
HAZLO ASÍ
¿CÓMO SE REALIZAN OPERACIONES COMBINADAS 
DONDE APARECEN POTENCIAS?
11. Calcula:
(-3)2 - 4 ? [(-6) - (-3)] - (-2)2
PRIMERO. Se resuelven los corchetes y paréntesis.
(-3)2 - 4 ? [(-6) - (-3)] - (-2)2 =
= (-3)2 - 4 ? [-6 + 3] - (-2)2 =
= (-3)2 - 4 ? (-3) - (-2)2
SEGUNDO. Se resuelven las potencias.
(-3)2 - 4 ? (-3) - (-2)2 =
= 9 - 4 ? (-3) - 4
TERCERO. Se realizan las multiplicaciones 
y las divisiones.
9 -4 ? (-3) - 4 = 9 + 12 - 4
CUARTO. Se realizan las sumas y las restas.
9 + 12 - 4 = 21 - 4 = 17
108. ●● Efectúa estas operaciones combinadas.
a) (-5)2 ? [3 + 28 : (-4)]
b) 22 ? [-5 ? 2 - 32 : (-8)]
c) 33 : [-5 + (-7) ? (-2)]
F
DIVISIBILIDAD
112. ● Copia y completa con múltiplos de 12.
1
•
2 = {12, 4, 36, 4, 60, 4, …}
113. ● Halla los múltiplos de 7 comprendidos 
entre 20 y 40.
114. ● Obtén los múltiplos de 4 comprendidos 
entre 18 y 30.
115. ● Calcula todos los divisores de:
a) 28 b) 54 c) 63 d) 90
116. ● Copia y completa los divisores de 42.
Div (42) = {1, 2, 4, 4, 4, 14, 4, 4}
117. ● Dados los números 12, 15, 18, 24, 4, 423, 10, 267, 
23 y 2, di cuáles son múltiplos de:
a) 2 b) 3 c) 6
118. ● Escribe los múltiplos de 5 comprendidos 
entre 0 y 15.
a) ¿Cuáles de ellos son múltiplos de 7?
b) ¿Y cuáles son menores que 15?
119. ● Di cuáles de los siguientes números son 
primos. Razona la respuesta.
a) 21 b) 19 c) 43 d) 39
120. ● Averigua si los números son primos 
o compuestos: 72, 147, 282, 331 y 407.
121. ● Realiza la descomposición factorial de:
a) 3 850 b) 432 c) 561
122. ● Calcula el máximo común divisor de cada par 
de números.
a) 45 y 27 b) 28 y 21 c) 18 y 12
123. ●● Halla el máximo común divisor.
a) 6, 8 y 12 b) 16, 20 y 28 c) 40, 10 y 25
124. ●● Si m.c.d. (x, 12) = 6, halla el valor de x.
125. ● Calcula el mínimo común múltiplo.
a) 12 y 18 b) 15 y 45 c) 27 y 18
126. ●● Obtén el mínimo común múltiplo 
de los siguientes números.
a) 12, 9 y 10 b) 4, 18 y 27 c) 8, 30 y 24
127. ●●● Halla dos números cuyo m.c.d. sea 6 
y su m.c.m sea 36.
24
294758 _ 0006-0025.indd 24 13/06/12 11:11
PROBLEMAS CON NÚMEROS 
ENTEROS
128. ●● A las 7 de la mañana
el termómetro marcaba 
4 °C bajo cero, y cinco 
horas después marcaba 
3 °C sobre cero. ¿Cuál 
es la diferencia entre las 
dos temperaturas?
129. ●● María vive en el3.er piso. Baja 5 plantas para 
ir al trastero y luego sube 7 para visitar a su 
amigo Alberto. ¿En qué piso vive Alberto?
130. ●● Sara deja el coche en el tercer sótano y sube 
4 plantas hasta su casa. ¿En qué piso vive?
131. ●● Luis tiene 123 €. A fin de mes recibe 900 € 
de sueldo y paga su hipoteca de 546 €. ¿Cuánto 
dinero le queda finalmente?
132. ●● ¿Cuál es el mayor cuadrado que se puede 
formar con 52 sellos? ¿Cuántos sobran?
HAZLO ASÍ
¿CÓMO SE RESUELVEN PROBLEMAS MEDIANTE 
EL m.c.d.?
133. Tres cuerdas de 4, 6 y 9 m, respectivamente, 
se quieren cortar en trozos iguales. ¿Cuál es 
la longitud de los mayores trozos que se 
pueden hacer?
PRIMERO. Se analiza el problema.
La longitud de cada trozo tiene que ser 
un divisor de las longitudes de las cuerdas. 
Tiene que ser el máximo " Problema de m.c.d.
SEGUNDO. Se realizan los cálculos.
4 = 22 6 = 2 ? 3 9 = 32
m.c.d. (4, 6, 9) = 1
Los trozos de mayor longitud son de 1 m.
134. ●● El pasillo de una vivienda tiene 432 cm 
de largo y 128 cm de ancho. Se quieren poner 
baldosas cuadradas del mayor tamaño posible, 
sin tener que cortar ninguna. Calcula 
sus dimensiones y el número de baldosas.
HAZLO ASÍ
¿CÓMO SE RESUELVEN PROBLEMAS MEDIANTE 
EL m.c.m.?
135. Los libros de una estantería se pueden 
colocar en montones de 4, 6 y 9 libros sin que 
sobre ninguno. ¿Cuál es la menor cantidad 
de libros que puede haber?
PRIMERO. Se analiza el problema.
El número total de libros tiene que ser múltiplo 
de 4, 6 y 9. 
Tiene que ser el mínimo " Problema de m.c.m.
SEGUNDO. Se realizan los cálculos.
4 = 22 6 = 2 ? 3 9 = 32
m.c.m. (4, 6, 9) = 22 ? 32 = 36
Como mínimo hay 36 libros.
136.	 ●● Alejandro tiene unas 150 fotografías. 
Puede pegarlas en un álbum en grupos de 8, 
9 o 12 fotografías y sin que le sobre ninguna. 
¿Cuántas fotografías tiene Alejandro?
137.	 ●●● Por una vía ferroviaria pasa un tren con 
dirección a Zaragoza cada 30 minutos y otro 
con dirección a Gijón cada 18 minutos. Si se 
han cruzado los dos trenes a las 10 de la 
mañana, halla a qué hora volverán a cruzarse.
25
294758 _ 0006-0025.indd 25 13/06/12 11:11
Alejandro Magno
En una ocasión, Roxana, la esposa de Alejandro 
Magno, le preguntó a su marido:
–¿A qué dios le agradeces la conquista 
del mundo?
A lo que Alejandro le contestó:
–Mi primer agradecimiento va dirigido a mí 
mismo; y el segundo, al legado de mi padre: 
su invencible ejército, la falange macedonia.
–Pero los imperios conquistados tenían 
un ejército, generalmente, más numeroso 
que el tuyo –replicó Roxana.
–La fuerza de mi ejército –explicó Alejandro– 
reside en su organización, no en su número: 
cada fila de 16 hoplitas es la cuarta parte de 
una tetrarquia, que a su vez es la cuarta parte 
de un syntagma, y 64 de estas unidades de 
infantería forman la falange. Su simple presencia 
infunde respeto a los ejércitos enemigos.
2
1. Busca información 
sobre Alejandro 
Magno y la época 
en que vivió.
2. Explica la 
organización de la 
falange macedonia 
utilizando las 
fracciones.
3. Averigua cómo se han 
utilizado las 
fracciones a lo largo 
de la historia.
DESCUBRE 
LA HISTORIA...
 
Fracciones
294758 _ 0026-0041.indd 26 13/06/12 11:11
En esta unidad 
aprenderás a…
• Hallar fracciones 
equivalentes y calcular 
la fracción irreducible 
de una dada.
• Reducir fracciones a 
común denominador.
• Sumar, restar, 
multiplicar y dividir 
fracciones.
• Realizar operaciones 
combinadas con 
fracciones.
PLAN DE TRABAJO
EVALUACIÓN INICIAL
1 Indica cómo se leen las siguientes fracciones.
a) 
7
2 c) 
4
1 e) 
80
12
b) 12
7
 d) 9
2
 f) 
17
13
2 Escribe cómo se lee.
a) Una fracción con numerador 3 y denominador 7.
b) Una fracción con numerador 6 y denominador 15.
2. Representa las siguientes fracciones.
a) 
8
3 b) 2
5
 c) 
2
7 d) 
5
9
Antes de empezar la unidad... 
LECTURA Y REPRESENTACIÓN DE FRACCIONES
Los términos de una fracción se llaman numerador y denominador.
7
5
Para leer fracciones se lee primero el número del numerador y, después, se expresa 
el denominador como se indica en la siguiente tabla:
Denominador 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Se lee medios tercios cuartos quintos sextos séptimos octavos novenos décimos
Si el denominador es mayor que 10, se lee el número 
añadiendo la terminación -avos.
11
3
 se lee tres onceavos
Representación de fracciones
Para representar una fracción, se suelen utilizar figuras geométricas 
que consideramos como la unidad.
• Dividimos la unidad en tantas partes como indica el denominador.
• Coloreamos tantas partes como indica el numerador.
F Denominador
Numerador F 
F
F
G
10
3
En una fracción 
el denominador nunca 
puede ser cero.
27
294758 _ 0026-0041.indd 27 13/06/12 11:11
Fracciones
ANTES, DEBES SABER…
Qué son los números enteros
El conjunto de números enteros está formado por:
• Números enteros positivos: +1, +2, +3, …
• El número cero: 0
• Números enteros negativos: -1, -2, -3, …
Una fracción es una expresión, 
b
a
, donde a y b son números enteros 
llamados numerador, a, y denominador, b, con b ! 0.
EJEMPLO
1 Decide si estas expresiones son fracciones.
a) 
4
3
 " Es una fracción 2
Numerador: 3 
Denominador: 4
b) ,
5
7 3 " No es una fracción porque 7,3 no es un número entero.
ANTES, DEBES SABER…
Para qué se utilizan las fracciones
Para expresar situaciones cotidianas que no se pueden indicar con 
números naturales, surgen otros números como las fracciones:
• Para expresar partes de una cantidad.
• Al expresar el cociente entre dos números.
EJEMPLO
2 Expresa con fracciones las siguientes situaciones.
a) Dividimos una hoja de papel en 7 partes iguales y coloreamos 3.
b) Repartimos 50 caramelos en 5 bolsas.
a) Denominador " Partes en que se divide la unidad: 7
7
3
"2
Numerador " Partes que se toman: 3
b) Numerador " Dividendo de la división: 50
5
50
"2
Denominador " Divisor de la división: 5
1
Cualquier número 
entero se puede escribir 
como una fracción 
con denominador 1.
3 = 
3
1
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
2 Escribe en forma de fracción.
a) Repartimos 8 libros en 3 mochilas.
b) Dividimos una tarta en 9 trozos y cogemos 4.
c) De 24 metros hemos recorrido 13.
1 Decide si son fracciones y, si lo son, indica 
el numerador y el denominador.
a) ,
13
1 6 b) 
5
7 c) 
,2 3
6 d) 
15
9
28
294758 _ 0026-0041.indd 28 13/06/12 11:11
Fracciones 
equivalentes
Dos fracciones, 
b
a
 y 
d
c
, son equivalentes, y se escribe 
b
a
d
c
= cuando
representan la misma cantidad. Si 
b
a
d
c
= , se cumple que a ? d = b ? c.
EJEMPLO
3 ¿Son equivalentes las fracciones 
5
3
 y 
10
6
? ¿Y las fracciones 
7
2
 y 
4
3
?
3 10 5 6 30 30? ?
5
3
10
6
5
3
10
6
y= = =" " " son equivalentes.
?
?7
2
4
3 2 4 8
7 3 21 7
2
4
3
8 21 y!=
=
=" " "
2 no son equivalentes.
2.1 Amplificación y simplificación de fracciones
Para obtener fracciones equivalentes de una fracción podemos utilizar dos 
métodos:
• Amplificar fracciones, que consiste en multiplicar el numerador y el 
denominador de la fracción por un mismo número distinto de cero.
• Simplificar fracciones, que consiste en dividir el numerador y el 
denominador de la fracción entre un divisor común.
EJEMPLO
4 Obtén dos fracciones equivalentes a 
6
4
, una por amplificación y la otra 
por simplificación.
AmplificAción
?
?
6
4
6 2
4 2
12
8
= =
Como 4 ? 12 = 6 ? 8 " y
6
4
12
8 son equivalentes.
SimplificAción
:
:
6
4
6 2
4 2
3
2
= =
Como 4 ? 3 = 6 ? 2 " y
6
4
3
2 son equivalentes.
2
F
F
F
F
5
3
 " 
10
6
 " 
Representan la misma 
cantidad; por tanto, son 
equivalentes.
DATE CUENTA
6 Escribe tres fracciones equivalentes por 
simplificación y otras tres por amplificación.
a) 
120
72
 b) 
320
140
 c) 
650
450
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
5 ¿Son equivalentes los siguientes pares 
de fracciones?
a) 
6
15
 y 
36
105
 b) 
13
17
 y 
52
85
 c) 
30
12
 y 
2
5
Siempre existen 
fracciones equivalentes 
por amplificación, pero 
no siempre porsimplificación.
29
294758 _ 0026-0041.indd 29 13/06/12 11:11
2.2 Fracción irreducible
Una fracción es irreducible cuando no se puede simplificar.
ANTES, DEBES SABER…
Cómo se calcula el máximo común divisor
Para calcular el máximo común divisor de varios números:
1.º Descomponemos los números en factores primos.
2.º Elegimos los factores comunes elevados al menor exponente.
3.º El producto de estos factores es el m.c.d. de los números.
EJEMPLO
3 Obtén el máximo común divisor de 72 y 48.
Primero, descomponemos 72 y 48 en factores primos.
72 2 48 2
36 2 24 2
18 2 12 2
 9 3 6 2
 3 3 3 3
 1 1 
72 = 23 ? 32 48 = 24 ? 3
Factores primos comunes: 2 y 3
Al elevarlos al menor exponente: 23 y 3
Así, resulta que:
m.c.d. (72, 48) = 23 ? 3 = 24
Para obtener la fracción irreducible de una fracción dada, dividimos el 
numerador y el denominador entre el máximo común divisor de ambos.
EJEMPLO
5 Calcula la fracción irreducible de 
48
72 .
?
?
72 2 3
48 2 3
3 2
4
=
=
"3 m.c.d. (72, 48) = 23 ? 3 = 24
48
72
48 : 24
72 : 24
2
3
2
3
= = " es la fracción irreducible de 
48
72
.
Una fracción es 
irreducible cuando 
el numerador y el 
denominador no tienen 
divisores comunes.
11 Señala qué fracciones son irreducibles.
a) 
3
1 c) 
25
10
b) 
17
23 d) 
21
57
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
9 Calcula la fracción irreducible de:
a) 
36
24 c) 
320
540
b) 
25
60 d) 
90
120
30
294758 _ 0026-0041.indd 30 13/06/12 11:11
2.3 Reducción a común denominador
ANTES, DEBES SABER…
Cómo se calcula el mínimo común múltiplo
Para calcular el mínimo común múltiplo de varios números:
1.º Descomponemos los números en factores primos.
2.º Elegimos los factores comunes y no comunes elevados 
al mayor exponente.
3.º El producto de estos factores es el m.c.m. de los números.
EJEMPLO
4 Obtén el mínimo común múltiplo de 4 y 18.
 4 2 18 2
 2 2 9 3
 1 
4 = 22
 3 3 
18 = 2 ? 32
 1 
Factor primo común: 2 Factor no común: 3
Al elevarlos al mayor exponente: 22 y 32
Así, resulta que: m.c.m. (4, 18) = 22 ? 32 = 36
Reducir fracciones a común denominador consiste en obtener otras 
fracciones equivalentes que tengan todas el mismo denominador.
EJEMPLO
6 Reduce a común denominador las fracciones 
4
5
 y 
18
7
.
Calculamos el mínimo común múltiplo de los denominadores:
?
4 2
18 2 3
2
2
=
=
"3 m.c.m. (4, 18) = 22 ? 32 = 36
Este valor se toma como denominador común de las fracciones buscadas.
Para calcular el nuevo numerador de cada fracción dividimos el m.c.m. 
entre el denominador, y el resultado lo multiplicamos por el numerador.
4
5
36
455 ? 9 = 45
36 : 4 = 9
F F
F
F
F
18
7
36
147 ? 2 = 14
36 : 18 = 2
F F
F
F
F
4 Reduce a común denominador.
a) , y
17
10
7
25
8
35
 b) , y
7
4
5
16
11
32
10 Reduce a común denominador.
3
1
5
2
4
1
6
7
10
1
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
3 Halla el mínimo común múltiplo de 
los denominadores de las siguientes fracciones 
y redúcelas a común denominador.
a) y
5
7
1
3
18
 
b) y
21
9
12
5
31
294758 _ 0026-0041.indd 31 13/06/12 11:11
13 Ordena, de menor a mayor, aplicando 
los criterios de comparación 
de fracciones.
a) , , y
5
3
5
2
4
1
7
1
 c) 
8
6
,
4
5
,
6
5
8
10
y
b) ,
9
2
5
3
15
6
y d) 
5
4
,
3
7
12
9
y
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
5 Ordena estas fracciones de menor a mayor.
a) 
15
8
15
12
y b) 
13
7
13
2
y
6 Ordena estas fracciones de mayor a menor.
a) 
5 7
99
y b) 
2
1
5
7 17
y
7 Compara las siguientes fracciones.
a) 
5
3 y 
5
2
b) 
5
3
 y 
4
3
c) 
4
3
, 
9
5
 y 
12
7
 " 
Como tienen distintos numerador y denominador, 
reducimos a común denominador.
?
4 2
9 3
12 2 3
2
2
2
=
=
=
"4 m.c.m. (4, 9, 12) = 22 ? 32 = 36
Ordenamos las fracciones: 
36
20
36
21
36
27
9
5
12
7
4
3
1 1
1 1
Comparación 
de fracciones
Para comparar dos fracciones podemos calcular sus valores y compararlos, 
o seguir estos criterios:
• Si tienen igual denominador, es mayor la fracción que tiene mayor 
numerador.
• Si tienen igual numerador, es mayor la fracción que tiene menor 
denominador.
• Si tienen distinto numerador y distinto denominador, se reducen a 
denominador común.
3
3 2
5
3
5
25
3
5
2
2 2"
"
"
"4
EJEMPLO
4
3
36
273 ? 9 = 27
36 : 4 = 9
F F
F
F
12
7
36
217 ? 3 = 21
36 : 12 = 3
F F
F
F
9
5
36
205 ? 4 = 20
36 : 9 = 4
F F
F
F
G
Denominador 
común
4 5
4
3
5
35
3
4
3 1 2
"
"
" "4
F
32
294758 _ 0026-0041.indd 32 13/06/12 11:11
16 Calcula y simplifica el resultado, si se puede.
a) 
3 3
4
3
12
+ + d) 
7
4
4
2
2
1
+ -
b) 
2
3
5
1
10
1
+ - e) 
5
9
7
1
2
1
--
c) 
4
3
2
7
3
1
- - f) 
5
7
3
8
10
9
- +
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
7 Realiza estas operaciones.
a) 
5
8 2
15
+ b) 7
3 9
5
+
8 Resuelve las siguientes operaciones.
a) 
5
7
2
1
- b) 
25
12
35
8
-
Operaciones
con fracciones
4.1 Suma y resta de fracciones
Para sumar (o restar) fracciones con igual denominador se suman 
(o restan) los numeradores y se mantiene el mismo denominador.
EJEMPLO
8 Calcula.
a) 
15
18
15
19
+ 
15
18 19
15
37
=
+
=
b) 
3
8
3
7
- 
3
8 7
3
1
=
-
=
c) 
6
4
6
7
6
1
6
13
6
7
+ - + - 
6
4 7 1 13 7
6
16
3
8
=
+ - + -
= =
Para sumar (o restar) fracciones con distinto denominador se reducen 
las fracciones a común denominador y, después, se suman (o restan) los 
numeradores y se mantiene el nuevo denominador.
EJEMPLOS
5 Calcula.
a) 
15
2
9
7
+ 
45
6 35
45
41
=
+
=
Denominador común: 
m.c.m. (15, 9) = 45
F
b) 
6
7
12
5
- 
12
14 5
12
9
4
3
=
-
= =
Denominador común: 
m.c.m. (6, 12) = 12
F
9 Calcula: 
6
1
4
2
8
3
12
7
+ + - 
24
4 12 9 14
24
11
=
+ + -
=
Denominador común: 
m.c.m. (6, 4, 8, 12) = 24
F
4
F
Simplificamos: m.c.d. (16, 6) = 2
Para simplificar 
fracciones podemos hallar 
el máximo común divisor 
del numerador y del 
denominador, y obtener 
la fracción irreducible.
33
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4.3 Multiplicación de fracciones
El producto de dos o más fracciones es otra fracción que tiene por 
numerador el producto de los numeradores, y por denominador, el pro-
ducto de los denominadores.
?
?
?
b
a
d
c
b d
a c
=
EJEMPLO
11 Calcula.
 a) 
5
2
7
9
? 
5
2
5
1
?
?
7
9
3
8
= = a) 
5
3
9
2
4
7
? ? 
5 9 4
3 2 7
180
42
30
7
? ?
? ?
= = =
4.4 División de fracciones
Al dividir dos fracciones obtenemos otra fracción que es el resultado 
de multiplicar los términos de ambas fracciones de manera cruzada.
:
b
a
d
c
b c
a d
?
?
=
F
F
EJEMPLO
12 Calcula.
 a) :
3
8
9
5
 
?
?
3 5
8 9
15
72
5
24
= = = b) :
5
2
7
9
 
?
?
5 9
2 7
45
14
= =
 
Potencia de una fracción
Para elevar una fracción a una potencia se elevan el numerador y el 
denominador a dicha potencia.
b
a
? ? ? ?
b
a
b
a
b
a
b
a
b
an
n v
n
n
eces
f= =c m
1 2 34444 4444
EJEMPLO
13 Calcula: 
3
2 4
d n ? ? ?
? ? ?
? ? ?
3
2
3
2
3
2
3
2
3 3 3 3
2 2 2 2
3
2
81
16
4
4
= = = =
5
23 Escribe en forma de potencia.
a) ? ?
5
2
5
2
5
2
b) ?
2
1
2
1
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
9 Realiza estas operaciones.
a) ?
8
7
11
3
 b) :
2
7 4
5
Exponente
Base de 
la potencia
G
G
e
a
b o
n
34
294758 _ 0026-0041.indd 34 13/06/12 11:12
Jerarquía 
de las operaciones
ANTES, DEBES SABER…
Cómo se realizan operaciones combinadas con números enteros
Al operar con números enteros resolvemos:
1.º Las operaciones que hay entre paréntesis.
2.º Las multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha.
3.º Las sumas y las restas, de izquierda a derecha. 
EJEMPLO
6 Resuelve esta operación.
(-5) ? [(-3) - (-7)] + (+6) : (-2) =
FCorchetes y paréntesis
= (-5) ? [-3 + 7] + (+6) : (-2) =
= (-5) ? (+4) + (+6) : (-2) =
FMultiplicaciones y divisiones
= (-20) + (-3) =
FSumas y restas
= -20 - 3 = -23
Para realizar operaciones combinadas con fracciones hay que respetar la 
jerarquía de las operaciones:
1.o Realizar las operaciones que