Copia de SEMANA 11 NUMERACIÓN-2021-2 - Patricia Torres

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1
NUMERACIÓN
2021-2
11
PRE
NUMERACIÓN EGIPCIA
Desde el tercer milenio A.C. los egipcios usaron un sistema de escribir los
números en base diez utilizando los jeroglíficos de la figura para representar
los distintos ordenes de unidades.
Se usaban tantos de cada uno cómo fuera necesario y se podían escribir
indistintamente de izquierda a derecha, al revés o de arriba abajo, cambiando
la orientación de las figuras según el caso.
Al ser indiferente el orden se escribían a veces según
criterios estéticos, y solían ir acompañados de los
geroglificos correspondientes al tipo de objeto (animales,
prisioneros, vasijas, etc.) cuyo número indicaban. En la
figura aparece el 276 tal y como figura en una estela en
Karnak.
NUMERACIÓN GRIEGA
El primer sistema de numeración griego se desarrolló hacia el 600 A.C. Era un
sistema de base decimal que usaba los símbolos de la figura siguiente para
representar esas cantidades.
Para representar la unidad y los números hasta el 4
se usaban trazos verticales. Para el 5, 10 y 100 las
letras correspondientes a la inicial de la palabra
cinco (pente), diez (deka) y mil (khiloi). Por este
motivo se llama a este sistema acrofónico.
Los símbolos de 50, 500 y 5000 se obtienen añadiendo el
signo de 10, 100 y 1000 al de 5, usando un principio
multiplicativo. Progresivamente este sistema ático fue
reemplazado por el jónico, que empleaba las 24 letras del
alfabeto griego junto con algunos otros símbolos según la
tabla siguiente:
La forma clásica de escritura de los
números en China se empezó a usar
desde el 1500 A.C. aproximadamente.
Es un sistema decimal estricto que usa
las unidades y los distintas potencias de
10. Utiliza los ideogramas de la figura
NUMERACIÓN CHINA
Tradicionalmente se ha escrito de
arriba abajo aunque también se
hace de izquierda a derecha como
en el ejemplo de la figura. No es
necesario un símbolo para el cero
siempre y cuando se pongan todos
los ideogramas, pero aún así a
veces se suprimían los
correspondientes a las potencias
de 10.
Entre la muchas civilizaciones que
florecieron en la antigua
Mesopotamia se desarrollaron
distintos sistemas de numeración, se
inventó un sistema de base 10,
aditivo hasta el 60 y posicional para
números superiores.
Para la unidad se usaba la marca
vertical que se hacía con el punzón
en forma de cuña. Se ponían tantos
como fuera preciso hasta llegar a 10,
que tenía su propio signo.
NUMERACIÓN BABILÓNICA
De este se usaban los que fuera
necesario completando con las
unidades hasta llegar a 60
A partir de ahí se usaba un sistema
posicional en el que los grupos de
signos iban representando
sucesivamente el número de unidades,
60, 60x60, 60x60x60 y asi
sucesivamente como en el ejemplo
que se acompaña.
Los mayas idearon un sistema de
base 20 con el 5 cómo base auxiliar.
La unidad se representaba por un
punto. Dos, tres, y cuatro puntos
servían para 2, 3 y 4. El 5 era una
raya horizontal, a la que se añadían
los puntos necesarios para
representar 6, 7, 8 y 9. Para el 10 se
usaban dos rayas, y de la misma
forma se continúa hasta el 20, con
cuatro rayas
NUMERACIÓN MAYA
Hasta aquí parece ser un sistema de
base 5 aditivo, pero en realidad,
considerados cada uno un solo signo,
estos símbolos constituyen las cífras
de un sistema de base 20, en el que
hay que multiplicar el valor de cada
cifra por 1, 20, 20x20, 20x20x20 ...
según el lugar que ocupe, y sumar el
resultado. Es por tanto un sistema
posicional que se escribe a arriba
abajo, empezando por el orden de
magnitud mayor.
NUMERACIÓN
Es la parte de la aritmética que se encarga del estudio de la correcta
formación, representación, escritura y lectura de los números.
Cifras:
Son los símbolos que se utilizan de manera convencional para
representar a los números. 0; 1; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; …
42;
Ejemplos :
𝑎𝑏 Números de 2 cifras
327; 𝑎𝑏𝑐(6) Números de 3 cifras
4327(9); 𝑎𝑏𝑐𝑑 Números de 4 cifras
𝑎𝑎 2𝑎 3𝑎 3𝑎 𝑎 Número de 7 cifras
Ejemplos:
Representación capicúa:
Es aquel representante del número, en el cual las cifras 
equidistantes de los extremos son iguales.
44(6); 𝑎𝑎 Capicúas de 2 cifras
323; 𝑎𝑏𝑎(𝑚) Capicúas de 3 cifras
𝑎𝑏𝑏𝑎 Capicúas de 4 cifras4224(8);
𝑠𝑜𝑚𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑒𝑟 𝑎𝑛𝑖𝑡𝑎𝑙𝑎𝑣𝑎𝑙𝑎𝑡𝑖𝑛𝑎
SISTEMA DE NUMERACIÓN
Es un conjunto de principios, normas y convenios que nos permiten
la correcta formación, lectura y escritura de los números.
PRINCIPIOS:
Orden de una cifra
Nos indica la posición que ocupa una cifra dentro de la
representación de un número, y esta se lee de derecha a
izquierda.
6 8 7 5 2
Cifra de primer orden
Cifra de segundo orden
Cifra de tercer orden
Cifra de cuarto orden
Cifra de quinto orden
6 : Cifra de primer lugar
8 :Cifra de segundo lugar
7 : Cifra de tercer lugar
5 : Cifra de cuarto lugar
2 : Cifra de quinto lugar
orden
lugar
11
Resolución: Orden 
→ 7 cifras
APLICACIÓN 01 
Lugar 
1° 2° 3°
5° 4° 3° 2° 1°
OBSERVACIÓN: Cantidad de cifras = Orden + Lugar - 1
¿Cuántas cifras tiene aquel número en el que la cifra de quinto
orden ocupa el tercer lugar?
Orden = lugar
APLICACIÓN 02 
¿Cuántas cifras tiene aquel número en el que su cifra central
ocupa el lugar (2n – 3) y es de orden (n + 5) ?
Resolución:
n + 5 = 2n - 3
8 = n
Cantidad de cifras = orden + lugar - 1
Cantidad de cifras = (8 + 5) + (2.8 – 3) - 1
Cantidad de cifras = 25 cifras
Base de un sistema de numeración
Ejemplo:
La base de un sistema de numeración, es un número entero positivo mayor
que la unidad, que indica el número de unidades de un orden cualquier
necesario para formar una unidad del orden inmediato superior.
Base 5 Base 3
12
12
Base 10 Base 7
Tenemos 12 manzanas, expresemos dicha cantidad en
distintas bases:
10
12
12 7
15
15(7)
12 5
22
22(5)
12 3
40
110(3)
3
11
= = =
Consecuencias :
Dado el número :
𝒂𝒃𝒄(𝒏)
* {a ;b ;c ; n }⊂ 𝜡
* a < n ; b < n ; c < n
* a > 0 ; b ≥ 𝟎 ; c ≥ 𝟎
* n > 1
10𝛼(4), 2bc(α), bb(c)
Si los siguientes números están correctamente
escritos y sus cifras desconocidas son
diferentes de cero.
determinar : 
𝛼 .c
b
Se tiene : 10𝛼(4) , 2bc(α) , bb(c)
Se observa:
𝟏 2 3
𝛼 . c
b
=
3 . 2
1
= 6
APLICACIÓN 03 
Resolución:+
0
α < 4 𝑐 < α 𝑏 < 𝑐
Ordenando: 𝑏 < 𝑐 < 𝛼 < 4𝟎 <
ALGUNOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN
Base Nombre del sistema Cifras a usar
2 Binario 0; 1
3 Ternario 0; 1; 2
4 Cuaternario 0; 1; 2; 3
5 Quinario 0; 1; 2; 3; 4
6 Senario 0; 1; 2; 3; 4; 5
7 Heptanario 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6
8 Octanario 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7
9 Nonario 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8
10 Decimal 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9
11 Undecimal 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9;(10)
12 Duodecimal 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; (10); (11)
Valor de las cifras
Toda cifra dentro de un número posee dos valores:
Valor absoluto : Es el valor que tiene una cifra de acuerdo a su 
forma.
Valor relativo : Es el valor que tiene una cifra de acuerdo a la 
posición que ocupa en un número.
3256
ORDEN VA VR
1°
2°
3°
4°
6
5
2
3
6 . 1
5 . 10
2 .𝟏𝟎𝟐
3256(8)
3 .𝟏𝟎𝟑
ORDEN VA VR
1°
2°
3°
4°
6
5
2
3
6 . 1
5 . 8
2 .𝟖𝟐
3 .𝟖𝟑
Ejemplos:
𝟏𝟏𝟎𝟏𝟎𝟐𝟏𝟎𝟑
𝟏8𝟖𝟐𝟖𝟑
DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA
Es la suma de los valores relativos de cada cifra de un número.
𝑎𝑏𝑐 … 𝑝𝑞𝑛
"k" 𝑐 𝑖𝑓 𝑟 𝑎 𝑠
= 𝒂× 𝒏𝒌−𝟏 + . . . 
= 3000 + 200 + 70 + 4
3274
Descomposición polinómica
• 364528 = + 6 × 83 + 4 × 823 × 8
4
• 2136= + 32 × 62
3274
= 3 × 103
Ejemplos:
+ 2 × 102
+ 5 × 8 + 2
POR BLOQUES:
* 327426 = 32 × 104 + 74 × 102 + 26
* 3247562(8) = 324(8) × 8
4 + 2+ 756(8) ×8
* 𝑎𝑏𝑎𝑏𝑎𝑏(𝑛) = 𝑎𝑏(𝑛) × 𝑛
4+ 𝑎𝑏(𝑛) × 𝑛
2 + 𝑎𝑏(𝑛)
* 𝑎𝑏𝑐𝑎𝑏𝑐𝑎𝑏𝑐(𝑛) = 𝑎𝑏𝑐(𝑛) × 𝑛
6
+ 𝑎𝑏𝑐(𝑛) × 𝑛
3 + 𝑎𝑏𝑐(𝑛)
+ b× 𝒏𝒌−2 + p× 𝒏 + q
+ 7 x 10 + 4
+ 1 x 6
CAMBIO DE BASE
De base diferente de 10 a base 10
Por descomposición polinómica
* 253(8)= 2 × 8
2 + 3+ 5×8
* 2351(6) = 2 × 6
3 + 1+ 5×6+ 3 × 62
253(8) = 171
2143(6)= 571
Por el método de Ruffini
Expresar el número2538 en base 10
2
8
2×
16
3
Expresar el número 23516 a base 10
5
168
17121
+ + 2538 = 171
2
6
2×
12
53
90
57115
+ +
1
+
95
570
23516 = 571
De base 10 a base diferente de 10
Método de divisiones sucesivas
Expresar el número 212 en base 8
= 𝟑𝟐𝟒(𝟖)212
Expresar el número 495 en base 6
212 8
264 8
32
= 𝟐𝟏𝟒𝟑(𝟔)495
495 6
823 6
134 6
21
APLICACIÓN 04 
Sabiendo que : 𝒂𝟎𝟎𝒂𝟔 = 𝒃𝒄𝟏 ; 𝐚 ≠ 𝟎
determine: “a + b + c”
Resolución:
Por dato tenemos que : 𝑎00𝑎6 = 𝑏𝑐1
Descomponemos polinómicamente:
𝒂. 𝟔𝟑 + 𝒂 = 𝒃𝒄𝟏
217a = 𝒃𝒄𝟏 ; por terminación a = 3
217x3 = 651 → b = 6 y c = 5
a + b + c = 14
De la igualdad 𝒂𝟐𝒃𝟕= 𝒂𝟓𝟏(𝒏) calcule el valor a + b + n
𝒂𝟐𝒃(𝟕)
=
=
=
=
= 𝒂𝟓𝟏(𝒏)
𝒂𝟐𝒃(𝟕) 𝒂𝟓𝟏(𝟔)
+
+
++ +
(+) (-)
(+)(- )
→ n < >7 5n
n
además
→ 6
Por descomposición polinómica:
Reemplazando:
𝒂. 𝟔𝟐𝒂. 𝟕𝟐 2.7 5.6b 1
13a b 17
↓↓
1 4
a+ b+ n = 11
OBSERVACION :
𝟑𝟐(𝟕) = 𝟑𝟓(𝟔)
(+) (-)
(+)(- )
𝒙𝒚(𝒎) = 𝒂𝒃𝒄(𝒏)
(+) (-)
(+)(- )
n < m
Resolución:
APLICACIÓN 05 
23
Resolución: 
Sean los números correctamente escritos: 𝟔𝒂𝟐(𝟕) ; 𝟒𝟑𝟒(𝒃) ; 𝟓𝒃𝟒(𝒂) .
Entonces, el mayor de dichos números se escribe en el sistema octanario
como:
𝟔𝒂𝟐(𝟕) 𝒂 < 𝟕
𝟒𝟑𝟒(𝒃) 𝟒 < 𝒃
𝟓𝒃𝟒(𝒂) 𝒃 < 𝒂
𝟒 < 𝒃 < 𝒂 < 𝟕 𝒃 = 𝟓; 𝒂 = 𝟔
El mayor de dichos números es: 𝟔𝟔𝟐𝟕
Por descomposición polinómica: 𝟔 × 𝟕𝟐 + 𝟔 × 𝟕 + 𝟐 = 𝟑𝟑𝟖
Por divisiones sucesivas: 𝟑𝟑𝟖 = 𝟓𝟐𝟐𝟖
APLICACIÓN 06 
CASOS ESPECIALES
NÚMEROS CON CIFRAS MÁXIMAS
Caso 
general:
𝑛 − 1 𝑛 − 1 … (𝑛 − 1)(𝑛 − 𝑎)(𝑛) = 𝑛𝑘 −a
k cifras 
* 5555554(6) = 67 − 2
Ejemplos:
* 221(3) = 25
* 222(3) = 26
* 7777(8) = 4095
33 − 2 = 
= 3
3 − 1
= 84 − 1
Cantidad de cifras en 
su escritura
Caso 
particular:
𝑛 − 1 𝑛 − 1 … (𝑛 − 1)(𝑛) = 𝑛𝑘 − 1
k cifras 
APLICACIÓN 07 
Si : (𝑎 − 1)(𝑎 − 1)(𝑎 − 1)(𝑎) = 2𝑏𝑐
Calcule : a + b +c
Resolución:
(𝑎 − 1)(𝑎 − 1)(𝑎 − 1)(𝑎) = 2𝑏𝑐
𝑎3 − 1 = 2𝑏𝑐
𝟔𝟑 − 𝟏 = 𝟐𝟏𝟓 = 𝟐𝒃𝒄
Se deduce que :
a = 6 ; b = 1 ; c = 5
a + b + c = 12
APLICACIÓN 08 
Calcule la suma de las cifras del número N si: 
N = 
𝑛−1
2
𝑛−1
2
…
𝑛−1
2
(
𝑛−3
2
)(𝑛) = 1199
𝑛 − 3 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠Resolución:
𝑁 =
𝑛−1
2
𝑛−1
2
…
𝑛−1
2
𝑛−3
2
𝑛−3 .𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠
(𝑛)=1199
𝑥2 𝑥2
𝑛 − 1 𝑛 − 1 …(𝑛 − 1)(𝑛 − 3)(𝑛)
𝑛 − 3 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠
= 2398
𝑛(𝑛−3) − 3 = 2398
𝑛(𝑛−3) = 2401 = 𝟕𝟒
𝑁 = 3332(7) 𝑆𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑁: 𝟑 + 𝟑 + 𝟑 + 𝟐 = 𝟏𝟏
𝑁𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑒𝑡𝑎𝑠 𝑒𝑙 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑑𝑒:
𝑁 = 6664(7)
𝑆𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑁:
𝟔 + 𝟔 + 𝟔 + 𝟒 = 𝟐𝟐
OBSERVACIÓN :
¿A qué intervalo pertenece un número de cuatro cifras en el sistema
heptanario?
𝑎𝑏𝑐𝑑(7) : 1000(7) ; 1001(7); 1002(7) 6666(7);…;
En General:
k cifras
≤ <𝑛𝑘−1 𝑛
𝑘𝑎𝑏𝑐 …𝑑𝑒(𝑛)
1000(7) ≤ 𝑎𝑏𝑐𝑑(7) ≤ 6666(7)
73 ≤ 𝑎𝑏𝑐𝑑(7) < 7
4
¿Cuántos números naturales existen tal que al expresarlos en el sistema
octanario y quinario se representen con tres y cuatro cifras
respectivamente?
Sea N:
Analizamos el intervalo del número en cada base:
64 512125 625
125; 126; 127; … ; 511
(511 – 125) + 1 = 387 números
Existen 387 números
APLICACIÓN 09 
Resolución: 𝑁 = 𝑎𝑏𝑐(8) =𝑥𝑦𝑧𝑤(5)
82 ≤ 𝑎𝑏𝑐(8) < 8
3
64 ≤ 𝑎𝑏𝑐(8) < 512
53 ≤ 𝑥𝑦𝑧𝑤(5) < 5
4
125≤ 𝑥𝑦𝑧𝑤(5) < 625
BASE DE BASES SUCESIVAS
CASO GENERAL:
k veces
CASO PARTICULAR:
APLICACIÓN 10 
Si : 161616
16(𝑎𝑏)88 veces
= 6𝑏𝑎
Calcule el máximo valor de a + b.
Resolución:
16
16
16
16(𝑎𝑏)88 veces
=
𝑎𝑏 + 88 . 6 = 6𝑏𝑎
𝑎𝑏 + 528
6𝑏𝑎
= 600 + 𝑏𝑎
9(𝑎 − 𝑏) = 72
(𝑎 − 𝑏) = 8
Para que la suma a 
+ b sea máximo se 
deduce que :
a = 9 ; b = 1
a + b = 10
1𝑎1𝑏1𝑐...1𝑘(𝑛)
= 𝑛 + 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + …+ 𝑘
1𝑎1𝑎1𝑎...1𝑎(𝑛)
= 𝒏 + 𝒌. 𝒂
𝑎𝑏 − 𝑏𝑎 = 72
APLICACIÓN 11 
Calcule la suma de los valores de n si: 111213...1(𝑛−1)(𝑛)
= 𝑎 𝑎 + 𝑏 𝑏
Resolución:
111213...1(𝑛−1)(𝑛)
= 1 + 2 + 3 + …+ 𝑛 − 1 + 𝑛 = 𝑎 𝑎 + 𝑏 𝑏
𝑛. (𝑛 + 1)
2
= 𝑎 𝑎 + 𝑏 𝑏
𝑛. (𝑛 + 1) = 2𝑥𝑎 𝑎 + 𝑏 𝑏
𝟏𝟏𝒙𝒂𝒃
𝟐𝟏 𝟐𝟐 𝟐𝒙𝟐𝟑𝟏
𝟐𝟐 𝟐𝟑 𝟐𝒙𝟐𝟓𝟑
𝟑𝟐 𝟑𝟑 𝟐𝒙𝟓𝟐𝟖
𝟑𝟑 𝟑𝟒 𝟐𝒙𝟓𝟔𝟏
𝟒𝟑 𝟒𝟒 𝟐𝒙𝟗𝟒𝟔
𝟒𝟒 𝟒𝟓 𝟐𝒙𝟗𝟗𝟎
suma de los valores de n :
21 + 22 + 33 + 44 = 120
CASOS ESPECIALES DE CAMBIO DE BASE
Primer caso: de base n a base 𝒏𝒌 ; K ∈ 𝒁+
a.- Se forman grupos de “K” cifras ; a partir de la cifra de primer orden.
b.- Cada grupo así formado se descompone polinómicamente, 
dicho resultado es la cifra en la nueva base ( 𝒏𝒌 ).
OBSERVACIÓN :
El último grupo formado no necesariamente debe 
tener “k” cifras (el primer grupo de la izquierda).
𝟏𝟐𝟏𝟏𝟐𝟎(𝟑)
Ejemplo :
Expresar 𝟏𝟐𝟏𝟏𝟐𝟎(𝟑) en base 9
𝟑𝟐 (k=2)
𝟏𝟐 𝟏𝟏 𝟐𝟎(𝟑)
𝟏𝟐 𝟏𝟏 𝟐𝟎(𝟑) =(𝟏𝟐(𝟑))(𝟏𝟏(𝟑))(𝟐𝟎(𝟑))(𝟗)
𝟏𝟐 𝟏𝟏 𝟐𝟎(𝟑)= 𝟓𝟒𝟔(𝟗)
3
Ejemplo :
Exprese 𝟏𝟎𝟐𝟎𝟐𝟏𝟏𝟐𝟒 en base 16.
Resolución :
Como 16=𝟒𝟐, cada grupo se formará con
dos cifras:
𝟏𝟎(𝟒) 𝟐𝟎(𝟒) 𝟐𝟏(𝟒) 𝟏𝟐(𝟒)
1x4 + 0 2x4 + 0 2x4 + 1 1x4 + 2
4 8 9 𝟔
∴ 𝟏𝟎𝟐𝟎𝟐𝟏𝟏𝟐(𝟒) 𝟒𝟖𝟗𝟔(𝟏𝟔)=
Resolución :
𝟐. 𝟑 + 𝟎𝟏. 𝟑 + 𝟏𝟏. 𝟑 + 𝟐
= 𝟒𝟐
Ejemplo :
Exprese 𝟏𝟎𝟏𝟏𝟎𝟎𝟏𝟏𝟏𝟎𝟏𝟏𝟏𝟏(𝟐) en el sistema octanario.
Resolución :
Como 8 = 23 , cada grupo debe tener tres cifras para obtener las
cifras respectivas en base 8 , cada bloque se descompone
polinómicamente en base 2 y el resultado será la cifra en base 8 .
∴ 𝟏𝟎𝟏𝟏𝟎𝟎𝟏𝟏𝟏𝟎𝟏𝟏𝟏𝟏(𝟐) 𝟐𝟔𝟑𝟓𝟕(𝟖)=
10 110 011 101 111(2)
= (10(2))(110(2))(011(2))(101(2))(111(2))(8)10 110 011 101 111(2)
𝟐 𝟔 𝟑 𝟓 𝟕
Segundo caso : de base 𝒏𝒌 a base n ; K ∈ 𝒛+
a.- Cada cifra del número de la base 𝒏𝒌 genera un grupo de K cifras
en base n.
b.- Las cifras de cada grupo se obtienen por divisiones 
sucesivas entre n.
OBSERVACIÓN:
Si las divisiones no generan K cifras ,se
completara con ceros a la izquierda,
excepto el primer grupo de la izquierda.
Ejemplo:
Exprese 𝟓𝟐𝟎𝟕(𝟗) en el sistema ternario.
Resolución:
9 = 𝟑𝟐
( cada cifra de la base 9 origina 
2 cifras en base 3 )
5 2 0 𝟕(𝟗)
¬ ¬ ¬ ¬
5 3
12
2 3
02
0 3 7 3
0 0 1 2
∴ 𝟓𝟐𝟎𝟕(𝟗) = 𝟏𝟐𝟎𝟐𝟎𝟎𝟐𝟏(𝟑)
1 2 0 2 0 0 2 𝟏(𝟑)
Ejemplo :
Expresar 875(16) en base 4
875(16) 4 (k=2)
5 = 11 (4)
201311(4)
7= 13(4)
=875(16)
𝟒𝟐
8 7 5(16)
8 = 20(4)
11 (4)1320
Resolución:
Ejemplo:
Exprese 𝟔𝟏𝟎𝟓𝟐𝟕(𝟖) en el sistema binario.
Resolución :
6 1 0 5 2 𝟕(𝟖)
¬¬ ¬¬ ¬¬ ¬¬ ¬¬ ¬¬2
2
2 2
2
2
2 2 22
26
3
1
0
11
0
0
0
0
00
1
5
21
10
2
1
0
0
1
7
1 3
1 1
110 001 000 101 010 11𝟏(𝟐)
∴ 𝟔𝟏𝟎𝟓𝟐𝟕(𝟖) = 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟏𝟎𝟎𝟎𝟏𝟎𝟏𝟎𝟏𝟎𝟏𝟏𝟏(𝟐)
2
Convertir el número 𝟐𝟕𝟖𝟓𝒏 al sistema de base 𝒏 + 𝟏. Indique como 
respuesta la suma de sus cifras.
Luego:
Resolución: 
Dividimos sucesivamente entre 𝒏
+ 𝟏, aplicando la regla de Ruffini:
𝒏 + 𝟏 = 𝟎 ⟶ 𝒏 = −𝟏
𝟐 𝟕 𝟖 𝟓
−𝟏 −𝟐 −𝟓 −𝟑
𝟐 𝟓 𝟑 𝟐
−𝟏 −𝟐 −𝟑
𝟐 𝟑 𝟎
−𝟐
𝟐
−𝟏
𝟏
𝟐𝟕𝟖𝟓𝒏 = 𝟐𝟏𝟎𝟐(𝒏+𝟏)
Por lo tanto, la suma de sus cifras es: 𝟓
APLICACIÓN 12 
Base “n” Base “n + 1”
Base “10”
2𝑛3 + 7𝑛2 + 8𝑛 + 5
Convertir el número 𝟑𝟏𝟓𝟒𝟐𝟎𝟐𝟏 al sistema de base 𝟐𝟎𝟐𝟎. Indique como
respuesta la suma de sus cifras.
Resolución: 
APLICACIÓN 13 
Base: 2021 = n Base: 2020 = n - 1
Base “10”
𝟑𝒏𝟑 + 𝟏𝒏𝟐 + 𝟓𝒏 +4
Dividimos sucesivamente entre 𝒏 − 𝟏, 
aplicando la regla de Ruffini:
𝒏 − 𝟏 = 𝟎 ⟶ 𝒏 = 𝟏
𝟑 𝟏 𝟓 𝟒
𝟏 3 4 𝟗
𝟑 𝟒 𝟗 𝟏𝟑
𝟏 𝟑 𝟕
𝟑 𝟕 𝟏𝟔
𝟑
𝟑
𝟏
𝟏𝟎
Luego:
𝟑𝟏𝟓𝟒𝟐𝟎𝟐𝟏 = 𝟑(𝟏𝟎)(𝟏𝟔)(𝟏𝟑)𝟐𝟎𝟐𝟎
Por lo tanto, la suma de sus cifras es: 𝟒𝟐
PARIDAD DE UN NÚMERO
Para averiguar si un numeral es par o impar el análisis se debe realizar en
el sistema decimal y no en otro sistema de numeración, la
descomposición polinómica nos va a permitir analizar la paridad ( par ,
impar ) de losnumerales escritos en base par o impar .
Sea N: 𝑁 = 𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒(𝑛)
Para:
𝑛 = 𝑝𝑎𝑟
𝑒 = 𝑝𝑎𝑟 → 𝑁 = 𝑝𝑎𝑟
𝑒 = 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟→ 𝑁 = 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟
Para:
𝑛 = 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 + 𝑒 = 𝑝𝑎𝑟 → 𝑁 = 𝑝𝑎𝑟
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 + 𝑒 = 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 → 𝑁 = 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟
En principio destaquemos lo siguiente:
- Toda potencia de un par es un numero par.
- Toda potencia de un impar es un numero impar.
DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA PARA NÚMEROS 
COMPRENDIDOS ENTRE CERO Y UNO
Ejemplos :
0,𝟐𝟒𝟏(𝟗) =
0,𝟏𝟐𝟏𝟐𝟏𝟐… .(𝟕) =
0,𝟑𝟐𝟑𝟐𝟑𝟐… .(𝟓)
𝟐
𝟗
𝟒
𝟗𝟐
𝟏
𝟗𝟑
𝟏
𝟕
𝟐
𝟕𝟐
𝟏
𝟕𝟑
+ +
+ + +
+ + + + +
+ + +
+
𝟑
𝟓
=
𝟐
𝟓𝟐
𝟑
𝟓𝟑
𝟐
𝟕𝟒
𝟐
𝟓𝟒
𝟑
𝟓𝟓
𝟏
𝟕𝟓
𝟐
𝟓𝟔
𝟐
𝟕𝟔
…
.
….
𝟎, 𝒂𝒃𝒄𝒅𝒏 =
𝒂
𝒏
+
𝒃
𝒏𝟐
𝒄
𝒏𝟑
𝒅
𝒏𝟒
+ +
CAMBIO DE BASE PARA NÚMEROS COMPRENDIDOS 
ENTRE CERO Y UNO
Para el cambio de base debemos tener en cuenta :
0,𝒂𝒃𝒄𝒅(𝒏) =
𝒂𝒃𝒄𝒅(𝒏)
𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎(𝒏)
0, ෣𝒂𝒃𝒄𝒅(𝒏) =
𝒂𝒃𝒄𝒅(𝒏)
(𝒏 − 𝟏)(𝒏 − 𝟏)(𝒏 − 𝟏)(𝒏 − 𝟏)(𝒏)
0,𝒂𝒃𝒄 ෢𝒅𝒆𝒇(𝒏) =
𝒂𝒃𝒄𝒅𝒆𝒇 𝒏 − 𝒂𝒃𝒄(𝒏)
𝒏 − 𝟏 𝒏 − 𝟏 𝒏 − 𝟏 𝟎𝟎𝟎(𝒏)
Ejemplo : 
Escribir 𝟎, 𝟑𝟏 𝟖 en base 6
PROCEDIMIENTO: 𝟎, 𝟑𝟏 𝟖 = =
31(8)
100(8)
25
64
= 0,390625
0,390625 . 6
2,34375
0,34375 . 6
2,0625
0,0625 . 6
0,375 . 6
2,25
0,25 . 6
1,5
0,5 . 6
3
𝟎, 𝟐𝟐𝟎𝟐𝟏𝟑(𝟔)0,31(8) =
PROGRESIÓN ARITMÉTICA
Es una sucesión de números en la cual un término tras otro se forman
agregando una misma cantidad constante, llamada razón aritmética
Ejemplo :
12 ; 20 ; 28 ; 36 ; …
+ 8 + 8 + 8
P.A creciente de razón + 8
Razón > 0
120 ; 112 ; 104 ; 96 ; …
- 8 - 8 - 8
P.A decreciente de razón - 8
Razón < 0
En general :
Dada la progresión aritmética :
a1 ; a2 ; a3 ; a4 ; …;an
+ r + r + r
Donde :
a1 :Primer término
an : Término e-nésimo
r : razón
r = a2 – a1= a3 – a2 = … = an – an-1 
Dada la progresión aritmética :
a1 ; a2 ; a3 ; a4 ; …; an
+ r + r + r
* a2 = a1 + r
** a3 = a2 + r
a1 + r
*** a4 = a3 + r
a1 +2 r
a3 = a1 + 2r
a4 = a1 + 3r
…
an = a1 + (n-1).r Término 
e-nésimo
El número de términos
n =
an - a1
r
+ 1
La razón 
r =
an - a1
n-1
La suma de los n primeros términos
r =
ap - am
p - m
𝑺𝒏 =
𝒂𝟏 + 𝒂𝒏
𝟐
. 𝒏
Dada la progresión aritmética :
a1 ; a2 ; a3 ; a4 ; …;an
+ r + r + r
Se cumple:
𝒂𝒎 + 𝒂𝒑 = 𝒂𝒙 + 𝒂𝒚 𝒎+𝒑 = 𝒙 + 𝒚
𝒂𝒎 = 𝒂𝒉 + 𝒎 − 𝒉 . 𝒓
Ejemplo:
𝒂𝟏𝟓 = 𝒂𝟗 + 𝟏𝟓 − 𝟗 . 𝒓
𝒂𝟏𝟓 = 𝒂𝟗 + 𝟔. 𝒓
Ejemplo:
𝒂𝟓 + 𝒂𝟐𝟏 = 𝒂𝟏𝟏 + 𝒂𝟏𝟓
𝟐𝟔 𝟐𝟔
Para “n” par, se cumple:
𝒂𝒌 + 𝒂𝒏−𝒌+𝟏 = 𝒂𝒙 + 𝒂𝒏−𝒙+𝟏
Equidistantes a los 
términos extremos
Equidistantes a los 
términos extremos
Ejemplo:
𝒂𝟏 + 𝒂𝒏 = 𝒂𝟔 + 𝒂𝒏−𝟓
Para “n” impar, se cumple:
𝟐. 𝒂(𝒄𝒆𝒏𝒕𝒓𝒂𝒍) = 𝒂𝒌 + 𝒂𝒏−𝒌+𝟏
Equidistantes a los 
términos extremos
𝑺𝒖𝒎𝒂 𝒏 = 𝒂(𝒄𝒆𝒏𝒕𝒓𝒂𝒍). 𝒏
Calcule la suma de los términos de la siguiente progresión aritmética:
m; 15; p; q; (m + 28);….; 155
APLICACIÓN 14 
Resolución:
Se tiene la siguiente PA:
m ; 15 ; p ; q ; (m + 28) ;….; 155
+ r + r + r + r
m + 4r = m + 28 r = 7
Se deduce que :
8 ; 15 ; 22 ; 29 ; 36;….; 155
n términos
an = a1 + (n-1).r
155 = 8 + (n-1) .7 n = 22
Nos piden :
La suma de todos los términos
S22 = 1793 
𝑺𝒏 =
𝒂𝟏 + 𝒂𝒏
𝟐
. 𝒏
𝑺𝟐𝟐 =
𝟖 + 𝟏𝟓𝟓
𝟐
. 𝟐𝟐
PROGRESIÓN ARITMÉTICA DE GRADO SUPERIOR
ENÉSIMO TÉRMINO DE LA PA DE GRADO SUPERIOR
SUCESIÓN: 𝑎1; 𝑎2; 𝑎3; … ; 𝑎𝑛; …
𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎4 𝑎5 …
𝑏1 𝑏2 𝑏3 𝑏4
𝑐1 𝑐2 𝑐3
𝑑1 𝑑2 ⟹ 𝑑1 = 𝑑2
Entonces:
𝑎𝑛 = 𝑎1𝐶0
𝑛−1 + 𝑏1𝐶1
𝑛−1 + 𝑐1𝐶2
𝑛−1 + 𝑑1𝐶3
𝑛−1
Columna:
Pivot principal
SUMA DE LOS N PRIMEROS TÉRMINOS DE LA SUCESIÓN
𝑆𝑛 = 𝑎1𝐶1
𝑛 + 𝑏1𝐶2
𝑛 + 𝑐1𝐶3
𝑛 + 𝑑1𝐶4
𝑛
APLICACIÓN 14 
Un comerciante anota diariamente el importe de todas sus ventas durante el
mes de junio, siendo estos los siguientes : S/90 ; S/94 ;S/100 ; S/108 ; S/118
;…… así sucesivamente, desde el primer día del mes hasta el 30 junio. ¿ Cual fue
el importe de las ventas el último día del mes?
Resolución:
Veamos los importes de las ventas 
90 ; 94 ; 100 ; 108 ; …… 
4 6 8 
2 2
Sabemos que :
𝒂𝒏 = 𝒂𝟏. 𝑪𝟎
𝒏−𝟏+𝒃𝟏. 𝑪𝟏
𝒏−𝟏 + 𝒄𝟏. 𝑪𝟐
𝒏−𝟏
Reemplazando :
𝑎𝑛 = 90. 𝐶0
𝑛−1+4. 𝐶1
𝑛−1 + 2. 𝐶2
𝑛−1
𝑎30 = 90. 𝐶0
30−1+4. 𝐶1
30−1 + 2. 𝐶2
30−1
Nos piden el importe del día 30:
𝑎30 = 90. 𝐶0
29+4. 𝐶1
29 + 2. 𝐶2
29
𝑎30 = 1018
El importe de venta del 
ultimo día del mes es : S/ 1018 
CONTEO DE NÚMEROS
Es un procedimiento que sirve para averiguar la cantidad de números con
características comunes, utilizando los principios de la adición y multiplicación
¿Cuántos numerales de la forma
𝑎 𝑎 − 2 𝑏 + 3
𝑏
2
;existen ?
Se observa que:
𝑎 − 2 ≥ 0 𝑎 ≥ 2
Además : 𝑏
2
: cifra 𝑏:par o cero
y 𝑎 < 10
y 𝑏 + 3 < 10 𝑏 < 7
(la base es 10)
APLICACIÓN 15 
Resolución:
2 ≤ 𝑎 < 10
𝒂 𝒂 − 𝟐 𝒃 + 𝟑
𝒃
𝟐
2
3
.
.
.
9
0
2
4
6
8 4x 32=
Cantidad de 
números :
Existen 32 números 
CONTEO DE CIFRAS
¿Cuántas cifras se utilizaron en la
numeración de un libro de 142 paginas?
Resolución:
1 ; 2 ;3 ; …;9 ; 10 ; 11;12 ; …;99 ; 100; 101; 102 ; …; 142 
9 paginas 90 paginas 43 paginas
# de cifras 
usadas
= 1. 9 + 2 . 90 + 3 . 43
# de cifras 
usadas = 318
OBSERVACION :
# de cifras 
usadas
<>
# de tipos de 
imprenta
<> # de 
caracteres
En general :
Dada la secuencia :
1 ; 2 ;3 ; 4 ; 5 ;6 ; …; N
k cifras
# de cifras 
usadas
= (N + 1 ).k - 111…111
k cifras
Del ejemplo anterior
1 ; 2 ;3 ; 4 ; 5 ; 6 ; …; 142
3 cifras
# de cifras 
usadas
=(142 + 1 ).3 - 111
# de cifras 
usadas = 318
Resolución:
APLICACION 16 
Sabiendo que para escribir todos los números naturales desde 1 hasta 𝑎𝑏𝑐
se han utilizado una cantidad de cifras igual a 1000 - 𝑎𝑏𝑐 . Calcule el valor
de a + b + c
1 ; 2 ;3 ; 4 ; 5 ; 6 ; …; 𝑎𝑏𝑐
3 cifras
# de cifras 
usadas =
(𝑎𝑏𝑐 + 1 ) .3 - 111
𝑎𝑏𝑐 = 277
= 1000 - 𝑎𝑏𝑐
Nos piden :
a + b + c = 16
4.𝑎𝑏𝑐 = 1108
APLICACION 17 
De un libro de 𝑚𝑛𝑞 páginas., se sabe que en la numeración de las 𝑛𝑞
primera páginas se han utilizado la tercera parte del total de cifras usadas
para numerar todas las páginas del libro. Calcule el valor de m + n + q.
Resolución:
1 ; 2 ;3 ; …;𝑛𝑞; …; 𝑚𝑛𝑞
a cifras
3a cifras
3[(𝑛𝑞 + 1 ).2 – 11 ] = (𝑚𝑛𝑞 + 1 ).3 – 111 
6. 𝑛𝑞 – 27 = 300.m + 3. 𝑛𝑞 – 108 
3. 𝑛𝑞 + 81 = 300.m
𝐦 = 𝟏 ; 𝒏𝒒 = 𝟕𝟑
𝐦+ 𝐧 + 𝐪 = 𝟏𝟏
RESOLUCIÓN 
DE 
PROBLEMAS 
Problema 01
Resolución: 
Escriba correctamente el siguiente número: (3𝑛)(2𝑛 − 1)(4𝑛 + 2)(3𝑛 − 2)𝑛 ;
si (n > 4).
A) 3234(𝑛 − 2)𝑛 B) 312 𝑛 − 1 2𝑛 C) 32422𝑛 D) 32342𝑛 E) 3 𝑛 − 2 34(𝑛 − 2)𝑛
Si n<4, sus cifras son: 
0, 1, 2, 3, 4, …, (n-1)
3𝑛 2𝑛 − 1 4𝑛 + 2 2𝑛 + 𝑛 − 2 𝑛
𝑛 − 22+2-1+423
La representación correcta:
𝟑𝟐𝟑𝟒 𝒏 − 𝟐 𝒏
CLAVE A
Problema 02
Resolución: 
Si 𝑎𝑏𝑎𝑏𝐾 = 481, halle (a + b + k)
A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12
𝑎𝑏𝑎𝑏𝑘 = 𝑎𝑏𝑘 𝑘
2 + 1
𝑎𝑏𝑘 𝑘
2 + 1 = 481
𝑎𝑏𝑘 𝑘
2 + 1 = 13 37
𝑘 = 6
𝑎𝑏6 = 13
13 6
21
𝑎𝑏6 = 216
𝑎 = 2 ∧ 𝑏 = 1 ∧ 𝑘 = 6
𝑎 + 𝑏 + 𝑘 = 𝟗
CLAVE B
Problema 03
Resolución: 
Si 4𝑎53𝑛 = 2𝑏448 , exprese (a + b + n) en el sistema binario y dé como
respuesta la suma de sus cifras..
A) 4 B) 5 C) 1 D) 6 E) 3
4𝑎53𝑛 = 2𝑏448
> representación, < base
Cifra menor que la base
5 < 𝑛 < 8
En base 8 la cifra de unidades 
es 4, el número es par
3 es impar, luego n es impar
𝑛 = 7, 𝑎 = 0, 2, 4 ó 6
𝑁 = 4 73 + 𝑎 72 + 5 7 + 3 = 49𝑎 + 1410
𝑁 = 2 83 + 𝑏 82 + 4 8 + 4 = 64𝑏 + 1060
49𝑎 + 350 = 64𝑏 𝑏 = 7
7𝑎 + 50 = 64 𝑎 = 2, 𝑎 + 𝑏 + 𝑛 = 16
16 = 100002 Suma de cifras = 1
CLAVE C
Los siguientes números están correctamente escritos:
3𝑎(𝑏−2) ; 𝑎 − 1 6(𝑐−1) ; 𝑦 𝑐(𝑎 + 𝑏)9 , calcule a + b + c.
Problema 04
Resolución: 
A) 18 B) 14 C) 16 D) 15 E) 17
𝑎 − 1 6(𝐶−1) ⇒ 𝑎 − 1 < 𝑐 − 1 ∧ 6 < 𝑐 − 1
𝑐 𝑎 + 𝑏 9 ⇒ 𝑐 < 9 ∧ 𝑎 + 𝑏 < 9
7< 𝑐 < 9 ⇒ 𝑐 = 8
3𝑎(𝑏−2) ⇒ 3 < 𝑏 − 2 ∧ 𝑎 < 𝑏 − 2
5< 𝑏
𝑎 − 1 >0
𝑎 + 𝑏 < 9
𝑏 = 6
𝑎 = 2
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 2 + 6 + 8 = 𝟏𝟔
CLAVE C
Problema 05
¿Cuántas cifras no significativas tendrá el menor numeral de k cifras del
sistema octanario, tal que la suma de sus cifras es 20 y cuyas cifras
significativas son todas diferentes entre sí?
Resolución: 
A) k - 4 B) k - 5 C) k - 3 D) k - 6 E) k - 7 
Si la base es 8, son cifras significativas:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
El menor número comenzará con la menor cifra significativa: 1
1 2 4 6 7…0 0 0 0
K - 5 CLAVE B
Si un número en cierto sistema de numeración se representa como 570, luego
dicho número lo expresamos en el sistema quinario resulta un número de
cuatro cifras cuyas dos primeras cifras son tres y cero. Determinar la suma de
la base desconocida y las últimas cifras del número representado en el sistema
quinario.
Problema 06
Resolución: 
A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13
570𝑛 = 30𝑎𝑏5
30005 ≤ 570𝑛 ≤ 30445
3 5 3 ≤ 5𝑛2 + 7𝑛 ≤ 3 5 3 + 4 5 + 4
375 ≤ 5𝑛2 + 7𝑛 ≤ 399
𝑛 = 8
5708 = 5 8
2 + 7 5 = 376
376 5
751 5
150 5
30
𝑎 = 0 ∧ 𝑏 = 1
𝑛 + 𝑎 + 𝑏 = 𝟗
CLAVE A
Un comerciante debe pesar 7263 gramos de trigo y para ello utiliza pesas de
1 gramo, 4 gramos, 16 gramos, 64 gramos y así sucesivamente. Se sabe que
a lo más emplea tres pesas de cada tipo. ¿Cuántas pesas empleará en total?
Problema 07
Resolución: 
A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16
7263 = 𝑎4𝑘 + 𝑏4𝑘−1 + 𝑐4𝑘−2 +⋯+ 𝑡 4 + 𝑢
7263 = 𝑎𝑏𝑐 … 𝑡𝑢4
7263 4
18153 4
4533 4
1131
113 4
281 4
70 4
𝟏3
7263 = 13011334
pesas cantidad
1g 3
4g 3
16g 1
64g 1
1024g 3
4096 1
𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙: 𝟏𝟐CLAVE A
Problema 08
Al expresar 212n en base (n+1), se obtiene como suma de cifras (3n - 14).
Calcule n.
Resolución: 
A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10
Expresamos en base (n+1)
2 1 2
-1 
2
-2
-1
1
3-1 
2
-2
-3
𝑁 = 1 𝑛 + 1 − 3 3 𝑛+1
𝑁 = 1 𝑛 − 2 3 𝑛+1
1 + 𝑛 − 2 + 3 = 3𝑛 − 14
16 = 2𝑛
𝒏 = 𝟖
CLAVE C
Problema 09
Resolución: 
Determine el producto de las cifras del menor numeral de 5 cifras, las cuales 
suman 24 y la cifra de orden 1 es igual a la de segundo lugar, además la 
suma de las tres primeras cifras es igual a la suma de las 2 últimas. 
A) 360 B) 480 C) 540 D) 648 E) 686 
aax y z
𝑥 + 𝑎 + 𝑦 = 𝑧 + 𝑎
𝑥 + 𝑎 + 𝑦 = 12
𝑧 + 𝑎 = 12
𝑥 = 1
𝑎 = 3
y= 8
z= 9
Producto de cifras:
1 × 3 × 8 × 9 × 3 = 𝟔𝟒𝟖
CLAVE D
Problema 10
Resolución: 
Si: 𝑎𝑏𝑏𝑎𝑛 = 𝑏 + 1 3𝑎 𝑐(2𝑛), además n + a = 10, exprese el menor numeral de
la base (n + 1) cuya suma de cifras es 70 en base (b + 3)2 y dé como respuesta
la suma de cifras.
A) 290 B) 295 C) 315 D) 350 E) 365 
𝑛 + 𝑎 = 10 ∧ 𝑎 < 𝑛 ∧ 3𝑎 < 2𝑛
𝑛 = 7 ∧ 𝑎 = 3
3𝑏𝑏37 = 𝑏 + 1 9𝑐14
3𝑏𝑏37 = 𝑏 + 1 9𝑐14
56𝑏 + 1032 = 196𝑏 + 322 + 𝑐
140𝑏 + 𝑐 = 710, 𝑐 = 10, b= 5
En la base 8: 𝑁 = 77777777778
A la base 64: bloque = 778 =63
𝑁 = 63 63 63 63 63 64
Suma de cifras= 315
CLAVE C 
Exprese 25337 en tres bases consecutivas, se obtiene 𝑎𝑏𝑏 , 𝑐𝑎𝑎 y 6𝑐𝑐
respectivamente, calcule a + b + c.
Resolución: 
Problema 11
A) 22 B) 16 C) 18 D) 20 E) 21
25337 = 2 343 + 5 49 + 3 7 + 3
25337 = 955 = 6𝑐𝑐𝑛
955 = 6𝑛2 + 𝑐𝑛 + 𝑐
𝑛𝑚𝑎𝑥 =
955
6
= 12
𝑠𝑖 𝑛 = 12
955 = 6(12)2+12𝑐 + 𝑐, 𝑐 = 7
955 = 7𝑎𝑎11, 955 = 847 + 12𝑎
108 = 12𝑎, 𝑎 = 9
955 = 9𝑏𝑏10, 𝑏 = 5
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 9 + 5 + 7= 𝟐𝟏
CLAVE E 
Problema 12
Convertir el número 1791n a la base (n+3) dar como respuesta la 
inversa de la suma de sus cifras.
A) 
1
2𝑛−7
B) 
1
2𝑛+3
C) 
1
2𝑛−3
D) 
1
2𝑛+7
E) 
1
2𝑛+1
Resolución: 
Por divisiones sucesivas entre (n+3)
1 7 9 1
- 3
1
-3
4
-12
-3
9
10
- 3
1
-3
1
-3
-6- 3
1
- 3
-2
1791𝑛 = 1 −2 −6 10 𝑛+3
1791𝑛 = 𝑛 + 3 − 2 −6 10 𝑛+3
1791𝑛 = 𝑛 𝑛 + 3 − 6 10 𝑛+3
1791𝑛 = 𝑛 𝑛 − 3 10 𝑛+3
Suma de cifras: (2n+7)
CLAVE D 
Problema 13
Si el número 210010201021𝑛 se convierte a base 𝑛
3 la suma de sus cifras se 
quintuplica, además:
Resolución: 
1b 2
1c
31d
( n )
1 00000a a=
Calcule (a + b + c + d) A) 4 B) 5 C) 6
D) 7 E) 8
Escribimos en base n3
210 010 201 021 𝑛
2𝑛2 + 𝑛 𝑛 2𝑛2 + 1 2𝑛 + 1 𝑛3
4𝑛2 + 4𝑛 + 2 = 5 10
𝑛2 + 𝑛 = 12, 𝑛 = 3
1b 2
1c
31d
( n )
1 00000a a=
𝑛3 + 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 𝑎 25
𝑎 = 1
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 5
CLAVE B 
Problema 14
Resolución: 
Siendo N= 636363…638, de 400 cifras, calcule la suma de las cifras al
expresar N en el sistema de numeración de base 16.
A) 2 998 B) 2 999 C) 3 000 D) 3 001 E) 3 002
Expresamos en base 64
638 = 51 64
𝑁 = 51 51 … 51 64
200 cifras
Expresamos en base 4
51 64 = 3034
𝑁 = 303303303…30 33 034
600 cifras
𝑁 = 12 15 3… 12 15 316
100 veces
Suma de cifras = 100(12+15+3) = 3 000
CLAVE C 
Problema 15
Resolución: 
Si un número tiene representación capicúa de tres cifras en el sistema
heptanario, al representarlo en el sistema quinario, también es capicúa de
cuatro cifras. Calcule la suma de las cifras diferentes de dicha igualdad.
A) 9 B) 10 C) 11 D) 14 E) 17 
𝑎𝑏𝑎7 = 𝑥𝑦𝑦𝑥5
𝑎 72 + 7𝑏 + 𝑎 = 𝑥 53 + 𝑦 52 + 5𝑦 + 𝑥
50𝑎 + 7𝑏 = 126𝑥 + 30𝑦
𝑥 = 2 ∧ 𝑏 = 6
50𝑎 = 210 + 30𝑦
5𝑎 = 21 + 3𝑦
y = 3 ∧ 𝑎 = 6
𝑥 + y + 𝑎 = 2 + 3 + 6 = 𝟏𝟏
CLAVE C 
Problema 16
Exprese 𝑚 − 1 𝑚 − 1 𝑚 − 1 … 𝑚 − 1 𝑛−3 de (m-n+9) cifras en el
sistema decimal, si además: 1𝑛 𝑚 + 1 7 = 2𝑚5𝑛. Dar suma de cifras
A) 18 B) 17 C) 16 D) 15 E) 14
Resolución: 
1𝑛(𝑚 + 1)7 = 2𝑚5𝑛
5 < 𝑛 < 7 𝑛 = 6
16(𝑚 + 1)7 = 2𝑚56
49 + 42 +𝑚 + 1 = 72 + 6𝑚 + 5
𝑚 = 3
𝑚 − 1 𝑚 − 1 … 𝑚 − 1 𝑛−3 = 2222223
𝑚 − 𝑛 + 9 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠 6 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠
2222223 = 3
6 − 1 = 728
Suma de cifras = 𝟏𝟕
CLAVE B 
Problema 17
En cierto sistema de numeración existen 1 430 números de la forma
𝑝 + 4 𝑝 𝑞 − 1 𝑞(𝑟 + 2)(𝑟 − 1) , además el menor número del sistema de
numeración cuya base es inferior en cinco unidades que la base inicial, que tiene
por suma de sus cifras 232, lo expresamos en el sistema de numeración cuya
base es el doble del sistema original menos uno, el resultado es un número cuya
suma de cifras es:
Resolución: 
A) 312 B) 496 C) 520 D) 562 E) 580
𝑝 + 4 𝑝 𝑞 − 1 𝑞 𝑟 + 2 𝑟 − 1 𝑛
P= 0, 1, 2, … , (n - 5)
q= 1, 2, … , (n - 1)
r = 1, 2, … , (n - 3)
𝑛 − 4 𝑛 − 1 𝑛 − 3 = 1430 = 10 13 11
𝑛 − 4 = 10 𝑛 = 14 𝑛 − 5 = 9
𝑁 = 8888…889 = 9
29 − 1 = 358 − 1
232 = 8(29)
𝑁 = 3(2719) − 1 = 2 26 26 … 26 27
Suma de cifras = 2+26(19)= 496 CLAVE B 
Problema 18
Halle ‘’ e + v + m + n‘’, Si : 𝑒𝑒𝑚𝑚𝑒𝑚𝑚𝑚𝑒𝑚 𝑛 = 𝑒99𝑣 𝑛3
A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 5
Resolución: 
𝑒 𝑒𝑚𝑚 𝑒𝑚𝑚𝑚𝑒𝑚𝑛 = 𝑒99𝑣 𝑛3
𝑒𝑛2 +𝑚𝑛 +𝑚 = 9𝑒𝑚𝑚𝑛 = 9
𝑛 = 3 ∧ 𝑚 = 0 ∧ 𝑒 = 1
𝑚𝑒𝑚𝑛 = 𝑣 𝑣 = 3
𝑒 + 𝑣 +𝑚 + 𝑛 = 1 + 3 + 0 + 3 = 𝟕
CLAVE C 
Problema 19
SI 1001 𝑛−1 se convierte a base ‘’n+1’’ resulta un numeral cuya suma de 
cifras es ‘’3n -21’’ , halle ‘’n’’.
A) 21 B) 22 C) 24 D) 18 E) 19
Resolución: 
de la base x a la base (x+2)
1 0 0 1
-2
1
-2
-2
4
4
-8
-7-2
1
-2
-4
8
12
-2
1
-2
-6
𝑁 = 1 −6 12 −7 𝑛+1
𝑁 = 𝑛 + 1 − 6 11 𝑛 + 1 − 7 𝑛+1
𝑁 = 𝑛 − 5 11 𝑛 − 6 𝑛+1
2𝑛 = 3𝑛 − 21
𝒏 = 𝟐𝟏
CLAVE A 
Problema 20
Calcular la suma de cifras del número 32102020 cuando se expresa en la
base 20018, dar la suma de cifras del resultado.
A) 3 B) 4 C) 6 D) 8 E) 11
Resolución: 
de la base x a la base (x - 2)
3 2 1 0
2
3
6
8
16
17
34
342
3
6
14
28
45
2
3
6
20
32102020 = 3 20 45 34 2018
Resultado: 3+20+45+34 = 102
Suma de cifras del Resultado = 3 
CLAVE A 
Problema 21
¿Cuántos números de 6 cifras de la base 8 tienen exactamente tres veces el 
1 en su escritura?
A) 6370 B) 6419 C) 6468 D) 6517 E) 6566
Resolución: Los números pueden ser de las formas:
𝟏 𝒂 𝒃 𝒄 𝟏 𝟏 𝟖
0
2
.
.
7
0
2
.
.
7
0
2
.
.
7
7 x 7 x 7 = 343
𝒂 𝟏 𝒃 𝒄 𝟏 𝟏 𝟖
2
3
.
.
7
0
2
.
.
7
0
2
.
.
7
6 x 7 x 7 = 294
Primera forma: 𝐶2
5
= 10
Segunda forma: 𝐶3
5
= 10
(343 + 294)(10) = 6370
CLAVE A 
Problema 22
Halle la suma de las cifras de la base n para la cual hay 238números de la 
forma 𝑎 𝑎 + 3 𝑎 − 2 𝑏 𝑏 − 2 𝑛 .
A) 5 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12
Resolución: 
Posibles valores de a:
2, 3, … , (n - 4)
Posibles valores de b:
2, 3, … , (n - 1)
𝑛 − 5 𝑛 − 2 = 238 = 14 17
𝑛 = 19
Suma de cifras = 10 
CLAVE D 
Problema 23
En cierto sistema de numeración (base impar) existen 1575 números 
capicúas de 5 cifras, donde la cifra de primer orden es impar. Halle la suma 
de las cifras de la base de dicho sistema de numeración.
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
Resolución: 
Representación capicúa 
en base n impar
𝒂 𝒃 𝒄 𝒃 𝒂 𝒏
Valores de a:
1, 3, 5, …, (n - 2)
Valores de b:
0, 1, 2, 3, …, (n - 1)
Valores de c:
0, 1, 2, 3, …, (n - 1)
𝑛 − 2 − 1
2
+ 1 𝑛 𝑛 = 1575
𝑛 − 1 𝑛 𝑛 = 3150 = 14 15 15
𝑛 = 15
Suma de cifras = 6 CLAVE B 
Problema 24
En el sistema de base “n” existen 1365 números de 4 cifras en el cual sus cifras
son múltiplos de su orden respectivo. Dar como respuesta la suma de cifras de
“n”.
Resolución: 
A) 3 B) 4 C) 5 D) 8 E) 9
𝒂 𝒃 𝒄 𝒅 𝒏
0
1
2
.
.
(n-1)
0
2
4
.
.
2k
0
3
6
.
.
3q
4
8
.
.
4r
𝑟 𝑞 + 1 𝑘 + 1 𝑛 = 1365 = 3 5 7 13
𝑛 = 13
Suma de cifras = 4
CLAVE B 
Problema 25
Calcular el valor de “n” si se sabe que hay 2 368 números que se escriben
con 4 cifras tanto en base (n – 2); “n” y “(n + 2). Dar como respuesta la suma
de cifras de “n”.
Resolución: 
A) 1 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
𝑁 = 𝑎𝑏𝑐𝑑 𝑛−2 𝑛 − 2 3 ≤ 𝑁 < 𝑛 − 2 4
𝑁 = 𝑒𝑓𝑔ℎ 𝑛 𝑛
3 ≤ 𝑁 < 𝑛 4
𝑁 = 𝑖𝑗𝑘𝑙 𝑛+2 𝑛 + 2
3 ≤ 𝑁 < 𝑛 + 2 4
𝑛 + 2 3 ≤ 𝑁 < 𝑛 − 2 4
𝑛 − 2 4 − 𝑛 + 2 3 = 2368
𝑛 − 2 4 − 𝑛 + 2 3 = 2368
𝑛4 − 9𝑛3 + 18𝑛2 − 44𝑛 = 2360
𝑛 = 10
Suma de cifras = 1
CLAVE A 
Problema 26
Resolución: 
Al convertir el número: 𝑘 − 1 10 𝑘 − 1 10 𝑘 − 1 … 𝑘 − 1 1 𝑘+1 de 80 
cifras al sistema de numeración de base 𝑘 + 1 3, la suma de cifras de la 
representación aumenta en 11010 𝑘 unidades, ¿ cuantos números de (k+1) 
cifras existe en el sistema de numeración de base (k-1)?
A) 54 B) 100 C) 162 D) 192 E) 500
𝑘 − 1 1 0 𝑘 − 1 1 0 𝑘 − 1 1… .0 𝑘 − 1 1 𝑘+1
Son 27 bloques 
0 𝑘 − 1 1 𝑘+1 = 𝑘 − 1 𝑘 + 1 + 1 = 𝑘
2
𝑘2 𝑘2 … 𝑘2 𝑘+1 3
27 cifras 
27𝑘 + 11010𝑘 = 27𝑘
2
27𝑘 + 𝑘4 + 𝑘3 + 𝑘 = 27𝑘2
𝑘 = 4
cantidad de números 
de 5 cifras en base 3 
2(3)(3)(3)(3) = 162 
CLAVE C 
Indique la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes afirmaciones:
I. En el sistema de numeración de base “n” con “n” unidades de un
orden cualquiera se forma la unidad de orden inmediato superior.
II. En el sistema de numeración de base 245, existen 245 cifras para
representar los números.
III. Existen 120 números enteros impares que se escriben con dos
cifras en los sistemas hexadecimal y heptadecimal a la vez.
A) VVV B) FFV C) FFF D) VFV E) VVF
Problema 27
Resolución: 
I) la base indica la cantidad de unidades de cualquier orden 
para formar una unidad del orden inmediato superior. 
(V)
II) en base n, se disponen de n cifras, para representar (V)
III) N= 17, 19, …,255, son 120 impares (V)
CLAVE A 
¿En qué sistema de numeración existen 936 números capicúas de 5 
cifras cuya suma de ellas es una cantidad impar?. Dar como respuesta 
la suma de sus cifras de dicha base.
A) 2 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8
Problema 28
Resolución: 
𝒂 𝒃 𝒄 𝒃 𝒂 𝒏
impar
1
3
5
.
.
(n-2) 
1
2
3
.
.
(n-1) 
0
1
2
.
.
(n-1) 
𝑛−1
2
𝑛 − 1 𝑛 = 936
𝑛 − 1 2 𝑛 = 2(936) = 122 13
𝑛 = 13
suma de cifras = 4 
CLAVE B 
Problema 29
Resolución: 
En el sistema de base “n” (n = par) existen 1368 números de 3 cifras cuyo
producto de cifras es par. Indicar la suma de cifras del mayor número de 2
cifras en base “n” al ser expresado en base decimal.
A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 12
𝒂 𝒃 𝒄 𝒏
complemento: 
1
3
5
.
.
(n-1) 
1
3
5
.
.
(n-1) 
1
3
5
.
.
(n-1) 
𝑛 − 1 𝑛2 −
𝑛
2
𝑛
2
𝑛
2
= 1368
7𝑛3 − 8𝑛2 = 8 1368 𝑛 = 12
mayor número de dos cifras en base n: 
𝑛2 − 1 = 122 −1 = 143
suma de cifras = 8 
CLAVE C 
Problema 30
Sea la progresión aritmética: 𝑎1; 𝑎2; 𝑎3; . . . ; 𝑎𝑛−1; 𝑎𝑛, se sabe que:
𝑎13 − 𝑎𝑛−7 = 𝑎𝑛−2 − 𝑎8 además 𝑎𝑛−3 = 𝑎5 + 42, calcule la suma de cifras del
término central de la progresión si se sabe que el antepenúltimo término es 246.
Resolución: 
A) 12 B) 11 C) 10 D) 9 E) 8
𝑎𝑛 = 𝑎0 + 𝑛𝑅
13𝑅 − 𝑛 − 7 𝑅 = 𝑛 − 2 𝑅 − 8𝑅
𝑛 = 15
𝑎0 + 12𝑅 = 𝑎0 + 5𝑅 + 42
𝑅 = 6
𝑎𝑛−2 = 246 = 𝑎0 +13(6) 𝑎0 = 168
𝑎1 = 174 ∧ 𝑎𝑛 = 168 + 15(6)
𝑎𝑛 = 258
𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑙 =
𝑎1 + 𝑎𝑛
2
=
174 + 258
2
= 216
suma de cifras = 9 
CLAVE D