RAZONES Y PROPORCIONES 2021_1 - Jared Sánchez

Vista previa del material en texto

RAZONES Y PROPORCIONES
1
QUE SUCEDE SI EL 
GRIFO Y EL 
DESAGÜE 
TRABAJAN JUNTOS
Y AHORA QUE 
SUCEDE SI EL GRIFO 
Y EL DESAGÜE 
TRABAJAN JUNTOS
Razón áurea
RAZONES Y PROPORCIONES
RAZÓN:Es la comparación de dos cantidades y puede ser: 
RAZÓN ARITMÉTICA
Ejemplo:
Sea la edad de Antonio 12 años y la edad de Beto 3 años.
La razón aritmética de sus edades es 9 
años.
RAZONES Y PROPORCIONES
RAZÓN GEOMÉTRICA
Resultado de la comparación, por cociente.
Ejemplo:
Si S/ 12 es el precio de un lapicero y S/ 3 es el precio de un 
borrador, la razón de los precios es:
es la razón geométrica.4
3
12
=
RAZÓN ARMÓNICA
Comparación de las inversas multiplicativas de 
dos cantidades, por medio de la sustracción.
Ejemplo:
6
1
3
1
2
1
=−
6
1
es el valor de la razón armónica de 2 y 3.
En cualquiera de los tres casos se tiene:
r :
a :
b :
Es el valor de la razón (aritmética, geométrica o 
armónica) de a y b.
Se denomina antecedente.
Se denomina consecuente.
Aplicación 1:
Resolución:
Respuesta:13
Un mulo le dice a un caballo:” lleva 3 de mis sacos para tener igual carga” y el
caballo replica “mejor lleva tu dos de los míos para que tengas el triple de
carga que yo” , ¿cuántos sacos llevaba el mulo? (Ex. UNI.)
Supongamos que lo que lleva de carga cada uno es:
Mulo: +2 : 3x5=15
Caballo: - 2 : 1x5=5
2x5=10
Luego, las cargas que llevan son:
Mulo: 15-2=13
Caballo:5+2=7
Aritmética
Denominaciones
En cualquiera de los tres casos se tiene:
▪ Los términos a y d se denominan extremos.
▪ Los términos b y c se denominan medios.
▪ Los términos a y c son los antecedentes.
▪ Los términos b y d los consecuentes.
PROPORCIÓN
Es la igualdad de dos razones del mismo tipo, pueden ser:
1. DISCRETA (términos medios diferentes)
Cuarta aritmética 
(diferencial) de a, 
b y c.
Cuarta geométrica 
(proporcional) de 
a, b y c.
Cuarta armónica 
de a, b y c.
Geométrica Armónica
Aritmética Geométrica Armónica
Otras denominaciones
En cualquiera de los tres casos se tiene:
▪ a y c se denominan términos extremos.
▪ b término medio.
2. CONTÍNUA (términos medios iguales)
Media aritmética 
(diferencial) de “a” 
y “c”.
Media geométrica 
(proporcional) de 
“a” y “c”.
Media armónica 
de “a” y “c”.
Tercera diferencial 
de “a” y “b”.
Tercera propor-
cional de “a” y “b”.
Tercera armónica 
de “a” y “b”.
c
b
c
b b
c
Andrés y Renato juegan a las cartas. Inicialmente Andrés tiene S/ 2 200
y Renato S/ 4 400. Después de jugar 20 partidas , la razón entre lo que
tiene Andrés y lo que tiene Renato es 3/8, ¿cuántas partidas ganó
Renato si em cada partida se gana o se perde S/ 50 ?
A) 4 B) 8 C) 12 D)14 E) 16
Resolución:
Aplicación 2:
Andrés : 3x600= 1 800
Renato: 8x600= 4 800
De las condiciones tenemos
11x600 = 6 600
Aplicación 2:
Respuesta: 14
Dados :
A) 30 B) 31 C) 32 D) 33 E) 34
Resolución:
Aplicación 3:
Respuesta: C
De las condiciones podemos establecer:
2
7
22
420
a c
b d
a c
ad
= =
+ =
=
Máx (d-a) =32
2 2 2
7 7 7
2(t m) 22 11
2 7 420 30
t m
t m
t m
t m t m
= =
+ =  + =
 =   =
De donde se obtiene que: t =5 y m = 6
Por definición tenemos: 
a) Media aritmética: 
(b es la media aritmética de a y c) 
b) Media geométrica: 
(b es la media geométrica de a y c)
c) Media armónica: 
(b es la media armónica de a y c)
Propiedades del promedio de dos números enteros 
positivos a y b
El produto de la MA,MG Y MH de dos números naturales es (2x10)3 y la 
mayor diferencia de la medias es 9. Calcule la diferencia de los 
números.
A) 25 B) 30 C) 35 D) 40 E) 45
Resolución:
Aplicación 4:
Respuesta: B
De las condiciones podemos establecer:
Finalmente (b-a) =30
MAxMGx MH= (2x10)3 
MG3 = (2x10)3 MG=20
Sean a y b los números, luego:
axb=400 a=10 y b= 40
MA=16 y MH=25
RAZONES GEOMÉTRICAS EQUIVALENTES
Es un conjunto de razones geométricas que tienen igual valor.
Pueden
ser:
Discretas: “n” razones
Continuas: “n” razones
PROPIEDADES:
1. La suma de antecedentes es a la suma de consecuentes, 
como cada antecedente es a su respectivo consecuente, es 
decir, el valor de la razón se mantiene constante.
DEMOSTRACIÓN:
Sean las razones geométricas:
Despejando los antecedentes:
Sumando los términos:
Entonces:
OBSERVACIÓN:
Tenemos que en general la primera propiedad se puede escribir:
3. Multiplicando todas las razones que intervienen en (1) se obtiene
OBSERVACIÓN:
Sean la “n” razones geométricas continuas:
2. Elevando las razones que intervienen en (1) a la potencia
racional positivo p, y aplicando la propiedad (1), se obtiene:
con lo cual el conjunto de razones geométricas continuas dado 
se escribe como:
4. Del conjunto de razones:
5. De la expresión (1):
Se deducen varias relaciones, tales como:
RESOLUCIÓN
Aplicación 5
( )
( ) 
( )
( )
2
2 23 3 2 2
22 2
13 6 70
70 13 6 70
( ) 2 10
10 4 24 4 6
13 2 6 25 25
 + + −+ +  = = = → = → + − =
++ +
→ + =  = = = = → = → =  =
+
A B A B ABA B A B AB
K K A B K K K
Con los valores obtenidos y las condiciones podemos establecer :
A BA B AB
A B k AB A B
De la condición, se tiene:
RESOLUCIÓN
Como piden calcular la tercera proporcional(x), establecemos la 
proporción :
Resulta x=9
Aplicación 5
4 6
6 x
=
Respuesta: 9
Aplicación 6
RESOLUCIÓN:
: r
(p q)
=
+ + 
= = =  =
+ +  + = +
m nr
m m p n p
Tenemos p qr
n n q p q
n p r
Despejando n y m :
n=r (rq +q)-rq
n=r2q
m=r3q
Luego reemplazando los valores de m,n,p y q en :
Aplicación 6
RESOLUCIÓN
:
5 2 3 2 4 2 3 2 2
3 2 2 2 2
( 1 )
(m n p) ( ) ( 1)
mn np pq r q r q r q r q r r
r
p rq r q r q r q r q r r
+ + + + + +
= = =
+ + + + + +
Respuesta: 
r
RESOLUCIÓN 
DE
PROBLEMAS
En una reunión asistieron 88 personas, el número de hombres casados es 
igual al de mujeres solteras; los hombres solteros son a las mujeres 
casadas como 3 es a 5, la cantidad de mujeres casadas exceden en 10 a 
las mujeres solteras. Calcule la razón geométrica de hombres casados a 
solteros. 
Ejercicio N° 1:
A)9/8 B)10/9 C)11/10 D) 12/11 E) 13/12
Con tres números naturales se escribe una proporción geométrica
continua. La suma de dichos números es 28 y la suma de sus inversas
es 7/16. Determine el producto de dichos números.
A) 64 B) 128 C) 256 D) 512 E) 1 024
Ejercicio N° 4:
Se consideran las edades diferentes de 4 personas y tomándolas en
orden decreciente se forma una proporción geométrica, cuya diferencia
de los consecuentes es 57 y la suma de los antecedentes es 84.
Determine la mayor de las edades.
A) 54 B) 65 C) 72 D) 80 E) 96
Ejercicio N° 6:
Ejercicio N° 7:
Existen dos proporciones geométricas discretas de términos 
naturales de la forma 
A) 286 B) 316 C) 324 D) 326 E) 336
de modo que d - a=48 y b - c = 37. 
Determine la suma de los posibles valores de b.
Dos es a cinco, como la edad que yo tenía hace 15 años es a la 
edad que tendrás cuando yo tenga el cuádruple de la edad que 
tienes ahora, y que es igual a la edad que yo tengo ahora. ¿Cuál 
será la relación de nuestras edades en 15 años?
A) 7/5 B) 7/3 C) 11/6 D) 8/5 E) 8/3
Ejercicio N° 8:
Ejercicio N° 10:
La diferencia de los cuadrados de la MA y MG de dos números es 256, 
además la relación entre la MA y MH es 289 a 225. Determine la MA 
de la diferencia de los números y la suma de la MA y MG.
A) 36 B) 40 C) 45 D) 48 E) 50
En el congreso de la república se votó por la designación de la Mesa
Directiva. En una primera votación, la mayoría de congresistas
estuvieron a favor de la designación de la Mesa Directiva, pero debido
a las protestas populares, estos congresistas se vieron obligados a
reconsiderar la votación, y en esta ocasión hubo más congresistas en
contra de la designación, siendo la nuevamayoría con respecto a la
anterior como 17 es a 15. Si en la segunda votación no se aprobó la
designación, perdiéndose por el doble de votos por los que se ganó en
la primera votación, ¿cuántos congresistas cambiaron su voto, si
votaron los 130 congresistas y no hubo abstenciones?
A) 15 B) 20 C) 30 D) 40 E) 45
Ejercicio N° 13:
Se tienen dos recipientes llenos que contienen agua y vino; en el primero la
relación es de 7 a 5 y en el segundo de 5 a 7 ; se intercambian 12 litros y
ahora la relación en el primer recipiente es de 13 a 11 . Si la suma de las
capacidades de ambos recipientes es de 120 litros, ¿cuál es la relación entre
el agua y vino en el segundo recipiente?
Ejercicio N° 16:
A) 1/2 B) 2/3 C) 3/4 D) 4/5 E) 5/6
Se tienen dos recipientes, donde cada uno contiene una mezcla de vino y agua,
en el primero la relación es de 5 a 3, y en el segundo es de 5 a 1,
respectivamente. Se extrae la mitad del volumen del primero y las dos terceras
partes del segundo, y se vierten en un tercer recipiente, en el que se obtiene
una mezcla donde por cada 5 litros de vino hay 2 litros de agua, ¿cuál es la
relación de volúmenes que tuvieron ambos recipientes antes que se viertan en
el tercero?
A) 4 a 3 B) 8 a 3 C) 10 a 9 D) 16 a 9 E) 2 a 1
Ejercicio N° 19:
Cuatro atletas A, B, C y D parten con un minuto de diferencia. Cuando B ha
recorrido 5 minutos, alcanza a A y cuando C ha recorrido 24 minutos toma la
punta y 6 minutos después llegó a la meta, ¿cuántos minutos después que
C llegó D, si éste llegó 4 minutos después que A?
A) 5,5 B) 6,5 C) 7,5 D) 8,5 E) 9,5
Ejercicio N°20:
31 2
2 3 4 1
1 3
1 1 3
... ;
37324 432; 10
n
n
n n
i
i i i
a aa a
Sea k k
a a a a
a
a y n
a
+
+ −
= = +
= = = = = 
= =   Determine la suma de los antecedentes
A) 35 000 B) 36 210 C) 37 300 D) 37 320 E) 37 323
Ejercicio N° 26:
A un festival deportivo, concurrió el público de la siguiente manera:
Dos hombres adultos por cada 3 señoritas y 2 señoras por cada
señorita.
Cada 3 señoras entraban con 5 niños.
Cada 2 señoritas entraban con 7 niños.
Cada 4 hombres adultos entraban con 8 niños.
Cada 7 niños entraban con una mascota.
Las señoras, señoritas y hombres adultos entraban por puertas
diferentes.
Al final contaron 160 personas entre mujeres casadas y hombres
adultos.
Determine la suma del número de niños señoritas y mascotas.
A) 550 B) 570 C) 585 D) 600 E) 620
Ejercicio N° 27:
Se tiene un cilindro lleno de vino, el cual tiene 3 caños, el caño A ubicado
en la base, el caño B ubicado respecto a la base a 13/67 de la altura del
cilindro y el caño C ubicado respecto a la tapa del cilindro a 40/67 de la
altura del cilindro. Si los tres caños se abren a la vez, se observa que el
recipiente queda vacío en 2 horas, además el caño C se abre durante una
hora y el caño B no se abre durante media hora.
Determine la diferencia de los volúmenes de vino retirada por los caños A y
B, si por el caño C se retira 60 litros.
A) 10 B) 20 C) 38 D) 52 E) 120 
Ejercicio N° 28:
Ejercicio N° 29:
Se tienen 5 razones geométricas iguales, si la diferencia de los 
términos de cada razón es 1; 8: ;(b 1)d:5 ;a a bc e+
las que forman una progresión aritmética . Si la suma de los antecedentes
es 2 475. Calcule el mayor de los términos.
A) 295 B) 352 C) 355 D) 649 E) 708