clase14 - Zaida Moreno Páez

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Forma Funcional y Especificación
Clase 14
Econometŕıa
Tomás Rau Binder
2 de octubre
Clase 14 Econometŕıa
Forma Funcional y Especificación
Contenidos
Forma Funcional y Especificación
Regresores Estocásticos en el Modelo de Regresión Lineal
Incorporación de No Linealidades
Test de No Linealidades Omitidas (Test de Reset)
Clase 14 Econometŕıa
Forma Funcional y Especificación
Forma Funcional y Especificación
Clase 14 Econometŕıa
Forma Funcional y Especificación
Regresores Estocásticos en el Modelo de Regresión Lineal
En el desarrollo del modelo de regresión lineal realizado en las
clases anteriores asumimos que nuestras variables explicativas
eran determińısticas (Supuesto 2).
En está sección procederemos a eliminar este supuesto1 y
veremos cuales son las consecuencias de asumir regresores
estocásticos en las estimaciones del modelo de regresión lineal.
Es decir, asumiremos ahora que X es obtenida aleatoriamente
a partir de alguna distribución de probabilidad.
1Todos los otros supuestos realizados anteriormente se mantienen.
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Forma Funcional y Especificación
Regresores Estocásticos en el Modelo de Regresión Lineal
Manteniendo los supuestos 3 y 4 dados por E (u|x)=E (u)=0,
Var(u|X ) = Var(u) = σ2 podemos, al igual que antes, estudiar si
MCO es insesgado.
β̂ = β + (X ′X )−1X ′u
E [β̂|X ] = β + (X ′X )−1X ′E [u|X ] = β
Ya que por supuesto 3 E [u|X ] = 0.
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Regresores Estocásticos en el Modelo de Regresión Lineal
Podemos ahora calcular el valor esperado incondicional aplicando
esperanza sobre todo el espacio posible de los regresores (usamos
Ley de Esperanzas Iteradas)
E [β̂] = Ex [E [β̂|X ]]
= β + Ex [(X
′X )−1X ′E [u|X ]] = β
Por lo tanto, β̂ también es insesgado incondicionalmente.
E [β̂] = Ex [E [β̂|X ]] = β.
El insesgamiento de los parámetros MCO es robusto a los
supuestos de la matriz X.
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Forma Funcional y Especificación
Regresores Estocásticos en el Modelo de Regresión Lineal
Con respecto a la varianza de β̂ condicionada en la matriz de
variables independientes tenemos
V [β̂|X ] = σ2(X ′X )−1
Sin embargo, la varianza incondicional de β̂ esta dada por2
V [β̂] = Ex [V [β̂|X ]] + Vx [E [β̂|X ]]
V [β̂] = Ex [V [β̂|X ]] + Vx [β]
V [β̂] = Ex [V [β̂|X ]] = E [σ2(X ′X )−1] = σ2E [(X ′X )−1]
2Aplicando descomposición de la varianza condicional.
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Forma Funcional y Especificación
Regresores Estocásticos en el Modelo de Regresión Lineal
Conclusiones:
β̂ es condicionalmente e incondicionalmente insesgado.
la matriz de varianzas y covarianzas incondicional es
σ2E [(X ′X )−1]
Aunque X sea estocástica, si E [u|X ] = 0, se cumplirá el
Teorema de Gauss Markov.
Bajo normalidad del error los test estad́ısticos tienen la misma
distribución que en el caso de las X no estocásticas.
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Forma Funcional y Especificación
Incorporación de No Linealidades
Clase 14 Econometŕıa
Forma Funcional y Especificación
Incorporación de No Linealidades
Incorporación de No Linealidades
Hasta el momento hemos asumimos que el modelo de
regresión es lineal. Sin embargo, muchas de las relaciones
económicas no son lineales.
Claramente nos referimos a no linealidades en las variables.
Mientras mantengamos la linealidad en los parámetros o
tengamos separabilidad, podremos lidiar con estas
no-linealidades
Veamos el siguiente ejemplo de la relación entre el salario y la
edad con datos de Chile
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Incorporación de No Linealidades
Incorporación de No Linealidades
0
1
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
3
0
0
0
0
0
4
0
0
0
0
0
5
0
0
0
0
0
s
a
la
ri
o
0 20 40 60
edad
bandwidth = .8
Salario y edad, Casen 2013
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Incorporación de No Linealidades
Incorporación de No Linealidades
0
1
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
s
a
la
ri
o
 p
o
r 
h
o
ra
0 20 40 60
edad
12 años o menos esc Entre 12 y 17 esc
Mas de 17 esc
Salario y edad, Casen 2013
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Incorporación de No Linealidades
Incorporación de No Linealidades
6
.8
7
7
.2
7
.4
7
.6
7
.8
(m
e
a
n
) 
s
a
ti
s
fa
c
c
io
n
20 40 60 80 100
edad
bandwidth = .8
Satisfaccion con la Vida, Casen 2011
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Forma Funcional y Especificación
Incorporación de No Linealidades
Incorporación de No Linealidades
Transformación Logaŕıtmica
Suponga un modelo original no lineal de la siguiente forma
Yi = β1X
β2
i ui . Si aplicamos logaritmo nos quedará un modelo
transformado de la siguiente forma
ln(Yi ) = ln(β1) + β2ln(Xi ) + ln(ui )
En donde β2 =
∂Y
∂X
X
Y corresponde a la elasticidad X de Y.
Este tipo de transformaciones es muy útil en modelos de
demanda y de producción.
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Forma Funcional y Especificación
Incorporación de No Linealidades
Incorporación de No Linealidades
Transformación Semilogaŕıtmica
Suponga un modelo original no lineal de la siguiente forma
Yi = β1e
β2Xiui . Si aplicamos logaritmo nos quedará un
modelo transformado de la siguiente forma
ln(Yi ) = ln(β1) + β2Xi + ln(ui )
En donde β2 =
∂Y
∂X
1
Y corresponde a la semi elasticidad X de
Y. Una utilización común de la formulación semilogaŕıtmica se
da en los casos de crecimiento exponencial. Si X es el tiempo
t, entonces ∂ln(Y )∂t = β2 =Tasa media de crecimiento de Y.
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Forma Funcional y Especificación
Incorporación de No Linealidades
Test de Ramsey para no linealidad
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Forma Funcional y Especificación
Incorporación de No Linealidades
Incorporación de No Linealidades
Si no se conoce a priori la forma funcional, existen algunos
métodos que podŕıan identificar la existencia de alguna no
linealidad. A continuación veremos uno de ellos.
Una pregunta interesante de plantearse es si nuestro modelo ha
omitido no linealidades en ciertos regresores3. Ramsey (1969)
introdujo el siguiente test. Bajo la nula, el modelo poblacional
corresponde a:
3Es importante no confundir la no linealidad en regresores vs no linealidades
en parámetros. Nuestro enfoque se basa en el primer tipo de ellas.
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Incorporación de No Linealidades
Incorporación de No Linealidades
Y = Xβ + u
luego, denotamos, como ya es usual, Ŷ = X β̂. Ramsey propuso
estimar el siguiente modelo auxiliar a través de MCO.
Y = X β̂1 + Z β̂2 + û
donde:
Z =
[
Ŷ 2 Ŷ 3 . . . Ŷm
]
son potencias de la predicción. Luego la hipótesis nula:
H0: No Existen no linealidades omitidas
H0: β2=0
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Incorporación de No Linealidades
Incorporación de No Linealidades
puede ser testeada utilizando un test de Wald o F sobre β2.
Es posible demostrar que bajo la nula W∼a χ2m−1. Por lo
tanto, la nula se rechaza al α% de significancia si el
estad́ıgrafo es mayor que el valor cŕıtico correspondiente.
Para implementar el test, m (es decir, el número de potencias
de Y a incluir en la regresión auxiliar) debe ser seleccionado
previamente. T́ıpicamente, valores pequeños como 2, 3 o 4
parecen funcionar mejor.
En STATA, comando estat ovtest
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	Forma Funcional y Especificación
	Regresores Estocásticos en el Modelo de Regresión Lineal
	Incorporación de No Linealidades
	Test de No Linealidades Omitidas (Test de Reset)