clase7 - Zaida Moreno Páez

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Introducción Inferencia en modelo con k variables
Clase 7
Econometŕıa I
Tomás Rau
28 de agosto
Clase 7 Econometŕıa I
Introducción Inferencia en modelo con k variables
Contenidos
Introducción
Inferencia en modelo con k variables
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Introducción Inferencia en modelo con k variables
La clase pasada vimos un ejemplo en STATA de teoŕıa del
Capital Humano
Vimos como hacer un test “t” para la hipótesis sencilla
H0 : βj = 0.
Hoy veremos cómo plantear hipótesis (lineales) más complejas
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Inferencia en el modelo de k variables
Por ejemplo, en la estimación de la función de producción de una
firma, que asumimos Cobb Douglas
Y = AKαLβeu
donde L es trabajo y K es capital. A es un parámetro de tecnoloǵıa.
Podemos estar interesados en descubrir si la firma presenta
rendimientos constantes, crecientes o decrecientes a la escala.
Sin embargo, este modelo no es lineal en los parámetros. Note que
tomando logaritmo tenemos un modelo lineal en parámetros:
ln Y = ln A + α ln K + β ln L + u
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Inferencia en el modelo de k variables
Recuerde que si la función de producción tiene retornos constantes
a escala tendremos que α + β = 1. Luego podemos querer testear:
H0 : α + β = 1 contra la alternativa de retornos crecientes.
También nos puede interesar testear simplemete H0 : β = 1
Veamos un ejemplo para Estados Unidos:
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Ejemplo Cobb-Douglas, U.S.
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Ejemplo Cobb-Douglas, U.S.
Cómo testeaŕıa la hipótesis H0 : α + β = 1 (a dos colas) si la
matriz de varianzas y covarianzas de β̂ está dada por
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Ejemplo Cobb-Douglas, U.S.
Note que podemos hacer un test t:
t =
α̂ + β̂ − 1
SE (α̂ + β̂)
=
1,0402− 1√
V (α̂) + V (β̂) + 2cov(α̂, β̂)
=
0,0402√
0,008347
= 0,44
suponga que el tamaño muestral es muy grande, luego el cŕıtico
para un test a 2 colas a un 5 % es 1.96. Luego, no se rechaza la
hipótesis nula.
Intentaremos formalizar una forma para testear hipótesis lineales
directa.
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Entonces, sea nuestro modelo poblacional
Y = Xβ + u
donde X es una matriz de (n × k),u e Y son vectores (n × 1) y β
es vector de (k × 1).
Recuerde que la matriz de varianzas y covarianzas de β̂ está dada
por:
Var(β̂) = σ2(X ′X )−1
donde el estimador de σ2 es s2 = û′û/(n − k) es
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Sean entonces las siguientes familias de hipótesis:
1 H0: βi = 0 ⇒ Plantea que el regresor Xi no posee influencia
alguna sobre Y. Este es el test más común y nos referiremos a
él como test de significancia.
2 H0: βi = βi0 ⇒ Plantea que el regresor Xi posee un impacto
determinado por βi0 sobre Y.
3 H0: βi + βj=1 ⇒ Plantea que la suma de los regresores Xi y
Xj poseen un impacto conjunto de magnitud 1.
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4 H0: βi = βj ⇒ Plantea que los regresores Xi y Xj poseen el
mismo impacto sobre Y.
5 H0: βi=0 ∀ i=2. . . k ⇒ Plantea que todos los regresores
conjuntamente, excepto la constante, son cero.
6 H0: βp=0 donde el vector β ha sido particionado en dos (βl y
βp) con dimensiones (kl × 1) y (kp × 1) respectivamente, tal
que kl + kp = k. Plantea entonces que un subconjunto de
parámetros son estad́ısticamente no significativos.
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Inferencia
Todas las hipótesis anteriores pueden ser resumidas en la siguiente
expresión:
Rβ = r
donde R es una matriz de (q× k) constantes conocidas (ceros o
unos), cuyo objetivo será seleccionar los parámetros a testear, cuyo
número de filas, q, representa el número de restricciones.
A su vez, r es un vector de dimensión q y contiene el real al cual es
restringido cada parámetro. Veamos como serán las matrices R y r
en cada una de nuestras hipótesis:
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Para los 6 casos, ver desarrollo en pizarra
1 R=[0. . . 010 . . . 0]; r=0; q=1
donde 1 se encuentra en la i-ésima posición
2 R=[0. . . 010 . . . 0]; r=βi0; q=1
donde 1 se encuentra en la i-ésima posición
3 R=[0. . . 010 . . . 010 . . . 0]; r=1; q=1
donde 1 se encuentra en la i-ésima posición y en la j-ésima
posición.
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Inferencia
4 R=[0. . . 010 . . . 0-10 . . . 0]; r=0; q=1
donde 1 se encuentra en la i-ésima posición y en la j-ésima
posición.
5 R=[0q×1 Ik−1]; r=0; q=k − 1
6 R=[0kp×kl Ikp ]; r=0; q=kp
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Entonces, nuestras hipótesis son:
H0 : Rβ = r (1)
Ha : Rβ 6= r (2)
con lo cual, sólo nos resta derivar el test que nos permita rechazar
o no rechazar nuestra nula. estad́ıgrafo es como sigue.
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