clase20 - Zaida Moreno Páez

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Perturbaciones no Esféricas Heterocedasticidad
Clase 20
Econometŕıa I
Tomás Rau Binder
6 de noviembre
Clase 20 Econometŕıa I
Perturbaciones no Esféricas Heterocedasticidad
Contenidos
Perturbaciones no Esféricas
Consecuencias de estimación por MCO
Heterocedasticidad
Tests de Heterocedasticidad:
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Perturbaciones no Esféricas Heterocedasticidad
Perturbaciones no Esféricas
Un supuesto importante en el modelo clásico de regresión lineal
(Supuesto 4) es que los errores ui son homocedásticos, es decir la
varianza es constante para todo valor de Xi :
Var(ui ) = Var(uj) = σ
2 para i 6= j
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Perturbaciones no Esféricas
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Perturbaciones no Esféricas Heterocedasticidad
Perturbaciones no Esféricas
Cuando el supuesto 4 no se cumple los errores son
Heterocedasticos:
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Perturbaciones no Esféricas
Es decir, teńıamos que E [uu′]=σ2In, ahora si el término de error no
cumple con los supuestos del modelo de regresión lineal tenemos
que E [uu′]=σ2Ω. Donde Ω es una matriz definida positiva.
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Perturbaciones no Esféricas
Recordemos que el estimador MCO es:
β̂ = (X ′X )−1X ′Y
= β + (X ′X )−1X ′u
Como el supuesto de que E [u|X ] = 0 se mantiene, tenemos que la
E [β̂|X ] = β y por lo tanto, E [β̂] = β=0. De esta forma, el
estimador MCO con perturbaciones no esféricas sigue siendo
insesgado y consistente.
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Heterocedasticidad
La Heterocedasticidad surge cuando a pesar de que Cov(uiuj)=0
para i 6= j, las varianzas de cada observación son diferentes, es
decir, Var(uj ) = σ
2
j para j=1,...,n. La matriz de covarianzas en
este caso es:
E [uu′] = σ2Ω =



σ2
1
· · · 0
...
. . .
...
0 · · · σ2n



= σ2



ω1 · · · 0
...
. . .
...
0 · · · ωn



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Perturbaciones no Esféricas Heterocedasticidad
Heterocedasticidad
La heterocedasticidad es un problema bastante recurrente. Algunas
razones por las que ui puede variar son las siguientes:
En los modelos de aprendizaje sobre errores, a medida que
la gente aprende, sus errores de comportamiento son menores,
aśı en este caso a medida que aumentan las horas de práctica
de una cierta actividad, la varianza de los errores se reduce.
A medida que aumentan los ingresos, la gente tiene más
posibilidades de disponer de parte de ese ingreso de la forma
que desee. Aśı en una regresión de ahorro contra ingreso, es
posible que σ2i aumente en la medida que el ingreso aumenta.
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Perturbaciones no Esféricas Heterocedasticidad
Heterocedasticidad
Al omitir variables relevantes, aparte del sesgo que se
produce en las estimaciones por esto, se produce
Heterocedasticidad ya que este variable estará en el término
de error y por lo tanto la varianza dependerá de ella.
Otra fuente de Heterocedasticidad es la asimetŕıa en la
distribución de una o más variables explicativas incluidas
en el modelo, por ejemplo: ingreso, riqueza y educación.
También puede haber heterocedasticidad cuando trabajamos
con datos promediados
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Heterocedasticidad
Ejemplo, en el caso de datos promediados, el modelo es de la
forma:
yij = xijβ + εij con i = 1, ..., n y j = 1, ...,mi
donde i indexa al grupo i -ésimo, j a los integrantes del grupo i con
mi integrantes totales . Además E (εij ) = 0 y V (εij) = σ
2. Si
observamos sólo los promedios para cada grupo i , es decir
sumamos sobre j , tenemos que:
yi =
1
mi
∑
j
yij ; xi =
1
mi
∑
j
xij ; εi =
1
mi
∑
j
εij
Lo que implica que: var(εi ) =
miσ
2
m2
i
= σ
2
mi
. En este caso particular
tendŕıamos que Ω = diag{σ
2
mi
}.
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Perturbaciones no Esféricas Heterocedasticidad
Heterocedasticidad
En presencia de Heterocedasticidad el estimador MCO
seguirá siendo insesgado, pero no tendrá varianza ḿınima. El
estimador que si cumple con la propiedad de MELI es el de MCG.
Este último estimador requiere conocimiento de la matriz Ω. Sin
embargo, White (1980) ha propuesto una aproximación a la matriz
de covarianzas del estimador MCO:
Var(β̂|X ) = (X ′X )−1(X ′σ2ΩX )(X ′X )−1
que no requiere una representación especifica de la forma funcional
que adopta la heterocedasticidad, por lo que no tendremos riesgo
de asumir una forma funcional incorrecta.
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Heterocedasticidad
La sugerencia de White es que la varianza del estimador β̂MCO se
exprese de la siguiente forma:
Var(β̂|X ) = (X ′X )−1
(
σ2X ′ΩX
)
(X ′X )−1
se define:
Σ = σ2X ′ΩX
=
n
∑
i=1
σ2i xix
′
i
la que se estima de la siguiente forma:
Σ̂ =
n
∑
i=1
ûi
2xix
′
i
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Heterocedasticidad
White demuestra bajo condiciones generales que:
Σ̂ =
n
∑
i=1
ûi
2xix
′
i
p
→ Σ
De esta forma, una estimación consistente de la matriz de
covarianzas es:
Var(β̂|X ) = (X ′X )−1Σ̂(X ′X )−1 (1)
su comparación con σ2(X ′X )−1 puede dar noción del grado de
heterocedasticidad.
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Heterocedasticidad
La estimación de White de una matriz consistente con
Heterocedasticidad es un resultado muy útil, ya que no se
necesita saber la naturaleza de la Heterocedasticidad.
Ante la duda de presencia de este problema es mejor ocupar
este estimador ya que no produce alteraciones, y nos
permite hacer inferencia correcta con o sin la presencia de
Heterocedasticidad.
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Tests de Heterocedasticidad
1 El test de White: La hipótesis nula es de Homocedasticidad.
Esto es,
H0: σ
2
i = σ
2 ∀ i, bajo la hipótesis nula el estimador de la
matriz de covarianzas de β̂ es Var(β̂|X ) = σ2(X ′X )−1, pero
bajo la hipótesis alternativa es
Var(β̂|X ) = (X ′X )−1(X ′σ2ΩX )(X ′X )−1
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Tests de Heterocedasticidad
Basado en la observación de esto, White propone un test que
puede obtenerse al calcular nR2 de una regresión de û2i contra
todos los productos posibles entre las variables explicativas.
Demuestra que nR2 ∼ χ2J−1, donde J es el número de regresores
de esta ecuación.
Consideremos el siguiente modelo:
yi = β0 + β1xi + β2zi + ui
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Tests de Heterocedasticidad
Los pasos para realizar el test de White son:
1 Obtener β̂ y los residuos de la estimación del modelo anterior
por MCO {ûi}
n
i=1
2 Correr una regresión de û2i sobre una constante, xi , zi , x
2
i , z
2
i
y xizi .
3 Computar nR2 de la regresión anterior
4 Para el nivel de significancia escogido, comparar nR2 con el
valor cŕıtico de una distribución chi cuadrado con 5 grados de
libertad. Si nR2 excede el valor cŕıtico se rechaza la hipótesis
nula de Homocedasticidad.
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Perturbaciones no Esféricas Heterocedasticidad
Corrección de White
Si detectamos la presencia de heterocedasticidad, debemos
corregir los errores estándar de MCO
La corrección usual es la de White que discutimos:
Var(β̂|X ) = (X ′X )−1Σ̂(X ′X )−1
En STATA, la opción robust después del comando reg hace
dicha corrección.
Otra alternativa es usar estimadores alternativos como MCG
que discutiremos más adelante.
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