PeakLoadPricing - Rafael Arteaga Vega

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C. Determinación de Precios Óptimos en Empresas Multiproducto
C. Costos Relacionados y Peak Load Pricing
Ejemplos de Costos Relacionados:
Agricultura: Rotación de cultivos.
Ganadería: Tecnología de proporciones �jas (carne, lana, cuero).
Transporte: Viajes de ida y vuelta.
Minería: Ag,Mb
Comercio: Supermercados
Finanzas: Cuenta corriente + crédito
etc.
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2. Costos Relacionados y Peak Load Pricing
Ejemplos de Peak Load Pricing:
aerolíneas
hoteles
restaurantes
transporte
electricidad
telefonía
etc.
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2. Costos Relacionados y Peak Load Pricing
Al resolver este tipo de problemas el productor debe tomar dos decisiones
simultáneamente:
1 ¿Cuánto capital invertir?, y por lo tanto ¿cuánta capacidad de producción
mantener para satisfacer la demanda en los períodos de punta? y
2 ¿Qué precio cobrar en cada temporada?
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2. Costos Relacionados y Peak Load Pricing
Estructura de costos
Costo de operación: c
Costo unitario del capital (K): r para un ciclo completo de demanda. Mide
el costo de expandir la capacidad en una unidad para un ciclo completo de
demanda.
Ejemplo:
Industria Electricidad Hotelera
Servicio Kwh piezas por noche
c por Kwh por pieza por noche
Ciclo de demanda 24 horas 1 año
r (capacidad) por Kw en 24 horas por pieza por año
Temporadas:
A Diurna 8 horas Verano 120 días
B Nocturna 16 horas Invierno 245 días
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2. Costos Relacionados y Peak Load Pricing
Monopolista de costos conjuntos con proporciones �jas
Tecnología de proporciones �jas: Q = f (K , L) = min fK , Lg
r : precio unitario del capital o la capacidad
c : costo variable asociado al factor variable L.
Costo total de largo plazo está dado por: C (Q) = Q [r + c ]
Camino de
expansión
Q
L
K
_
K=2
1 2
__
1
Camino de
expansión
Q
L
K
_
K=2
1 2
__
1
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2. Costos Relacionados y Peak Load Pricing
Monopolista de costos conjuntos con proporciones �jas
En el corto plazo, con K = K , los movimientos en el producto ocurren a lo
largo de un camino de expansión horizontal que comienza en K .
Luego el costo total de corto plazo a lo largo de este camino de expansión es:
CS (Q) = rK + cQ
hasta el vértice, pero de ahí en adelante es:
Cs (Q) = rK + cL
Es decir, aumenta el costo, pero no el producto.
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2. Costos Relacionados y Peak Load Pricing
Monopolista de costos conjuntos con proporciones �jas
Luego, grá�camente:
CTLP
2
CS
Q
$
crK
__
CTLP
2
CS
Q
$
crK
__
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2. Costos Relacionados y Peak Load Pricing
Monopolista de costos conjuntos con proporciones �jas
c
CMgCP
Q
$
Q
__
CMgLPc+r
c
CMgCP
Q
$
Q
__
Q
__
CMgLPc+r
Con K = K , Q es el máximo producto obtenido.
Problema :Tenemos un monopolista que tiene una capacidad �ja que no puede
alterar durante el ciclo de demanda, pero la demanda si cambia por temporadas.
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2. Costos Relacionados y Peak Load Pricing
Peak Load Pricing
Características del problema:
1 La demanda �uctúa durante el ciclo de demanda.
2 El capital (capacidad) está �jo durante el ciclo de demanda.
3 El bien no se puede almacenar (bien fungible)
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2. Costos Relacionados y Peak Load Pricing
Peak Load Pricing
Consideremos dos períodos de igual duración, temporada alta (H) y
temporada baja (L). Una aerolínea que vuela una sola ruta durante las dos
temporadas. Sea pH , QH , pL y QL precio y cantidad de pasajes en período
alto y bajo respectivamente.
Las demandas están dadas por:
pH = AH �QH
pL = AL �QL
con AH > AL > 0
Las demandas son independientes.
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2. Costos Relacionados y Peak Load Pricing
Peak Load Pricing
El monopolista enfrenta dos tipos de costos:
r : el costo de capacidad unitario con r > 0
c : costo operacional por pasajero con c > 0
y la capacidad es �ja: K
Luego el costo total de corto plazo está dado por:
CT (QH ,QL,K ) = c(QH +QL) + rK
pero 0 < QL,QH � K
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2. Costos Relacionados y Peak Load Pricing
Peak Load Pricing
Problema del monopolista
Max
Q L ,QH
Π(QL,QH ) = IT L(QL) + ITH (QH )� cQH � cQL � rK
s.a. QL � K (λ1)
QH � K (λ2)
L : IT L(QL) + ITH (QH )� cQH � cQL � rK + λ1
h
K �QL
i
+ λ2
h
K �QH
i
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2. Costos Relacionados y Peak Load Pricing
Peak Load Pricing
CNPO (K-T):
1. ∂L
∂Q L = IMg
L � c � λ1 � 0 2. ∂L∂Q LQ
L = 0
3. ∂L
∂QH = IMg
H � c � λ2 � 0 4. ∂L∂QH Q
H = 0
5. ∂L∂λ1 = K �Q
L � 0 6. ∂L∂λ1 λ1 = 0
7. ∂L∂λ2 = K �Q
H � 0 8. ∂L∂λ2 λ2 = 0
9. QL,QH ,λ1,λ2 � 0
Recordemos de las condiciones de Kuhn-Tucker que los casos a estudiar son 2m+n donde
m es el número de variables y n el número de restricciones.
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2. Costos Relacionados y Peak Load Pricing
Peak Load Pricing
En este caso tenemos dos variables y dos restricciones por lo que los casos a
estudiar son 22+2 = 24 = 16, pero en este caso las cantidades no pueden ser cero,
por lo que los casos se reducen. El resumen está en la siguiente tabla:
QL QH λ1 λ2
+ + 0 0 Caso 1
+ + + 0 Caso 2
+ + 0 + Caso 2
+ + + + Caso 3
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2. Costos Relacionados y Peak Load Pricing
Peak Load Pricing
Nos interesa entonces analizar tres casos:
1 Ninguna demanda presiona la capacidad (λ1 = 0, λ2 = 0).
2 Una de las dos demandas está presionando la capacidad (λ1 = 0, λ2 > 0
ó λ1 > 0, λ2 = 0).
3 Ambas demandas presionan la capacidad (λ1 > 0, λ2 > 0).
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2. Costos Relacionados y Peak Load Pricing
Peak Load Pricing
Caso 1:λ1 = λ2 = 0
0 < QL < K
0 < QH < K
Como QL > 0 y QH > 0 =)
IMgL = c
IMgH = c
Este resultado se obtiene de las condiciones 1 y 3 de K-T. Luego,
AL � 2QL = c
QL =
AL � c
2
y QH =
AH � c
2
pH =
AH + c
2
y pL =
AL + c
2
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2. Costos Relacionados y Peak Load Pricing
Peak Load Pricing
Grá�camente:
Q
$
c+r
c
DH
IMgH
IMgL
DL
QL QH
pL
pH
K Q
$
c+r
c
DH
IMgH
IMgL
DL
QL QH
pL
pH
K
El área rK puede no recuperarse. Esto no puede ser óptimo para el monopolista en el
largo plazo.
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2. Costos Relacionados y Peak Load Pricing
Peak Load Pricing
¿Cuál es el K óptimo?
Diferenciando la función objetivo con respecto a K :
K :
�r + λ1 + λ2 = 0
Si λ1 = λ2 = 0 entonces,
∂L
∂K
= �r < 0
Luego, una disminución de K lleva a un aumento de las utilidades. En el
óptimo ∂Π
∂K
= 0.
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2. Costos Relacionados y Peak Load Pricing
Peak Load Pricing
Q
$
c+r
c
DH
IMgH
IMgL
DLQL QH
pL
pH
K Q
$
c+r
c
DH
IMgH
IMgL
DL
QL QH
pL
pH
K
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2. Costos Relacionados y Peak Load Pricing
Peak Load Pricing
Caso 2: λ1 = 0 y λ2 > 0
0 < QH = K
0 < QL < K
Reemplazando esto en las condiciones 1 y 3 de K-T obtenemos:
IMgL = c y IMgH = c + λ2
Con esta información podemos calcular directamente el precio de Valle:
IMgL = AL � 2QL = c
QL =
AL � c
2
y pL =
AL + c
2
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2. Costos Relacionados y Peak Load Pricing
Peak Load Pricing
Revisemos cuál es el K óptimo en este caso:
K :
�r + λ1 + λ2 = 0
Si λ1 = 0 y λ2 > 0, para que la capacidad sea óptima:
λ2 = r
Luego,
IMgH = c + r
Con lo que podemos calcular ahora el precio de Punta:
IMgH = AH � 2QH = c + r
QH =
AH � c � r
2
y pH =
AH + c + r
2
Por lo tanto pH > pL
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2. Costos Relacionados y Peak Load Pricing
Peak Load Pricing
Grá�camente:
Q
$
CMgLPc+r
c
CMgCP
K = QH
__
IMgH
DH
DL
IMgL
QL
pL
pH
Q
$
CMgLPc+r
c
CMgCP
K = QH
__
K = QH
__
IMgH
DH
DL
IMgL
QL
pL
pH
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2. Costos Relacionados y Peak Load Pricing
Peak Load Pricing
Caso 3: λ1 > 0 y λ2 > 0
0 < QL = QH = K
la demanda en ambos períodos presiona la capacidad.
Suponiendo que la capacidad es la óptima:
λ1 + λ2 = r
Luego tenemos:
IMgL = c + λ1 > c y IMgH = c + r � λ1 < c + r
IMgL + IMgH = 2c + r
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2. Costos Relacionados y Peak Load Pricing
Peak Load Pricing
Ambos contribuyen a �nanciar de la capacidad.
Dada las funciones de demanda: QL = QH = K ) pH > pL
Q
$
CMgLP2c+r
K = QL =QH
__ IMgL+IMgH
DH
DL
pL
pH
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