PNL - Gonzálo de la Vega S

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INVESTIGACIÓN OPERATIVA
Programación No Lineal
Ingeniería en Sistemas de Información
Mgter. Norma Torrent
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL
FACULTAD REGIONAL ROSARIO
PROGRAMACIÓN NO LINEAL
 Introducción.
 Clasificación de los problemas de programación no lineal.
 Métodos de solución.
 Formas cuadráticas.
 Funciones convexas y cóncavas.
 Programación cuadrática.
 Solución de problemas de programación cuadrática mediante Solver.
 Ejemplo de aplicación: Selección de una cartera de inversiones.
1 
 
 
 
 
 
 
INTRODUCCIÓN
Programación No Lineal Norma Torrent
Un problema de programación no lineal (PNL) es un problema de 
programación matemática en el que tanto la función objetivo como las que 
intervienen en las restricciones, pueden ser no lineales. Las típicas áreas de 
aplicación son procesos químicos, evaluación de proyectos, problemas de 
diseño estructural, ajuste de curvas, asignación de recursos, diseño de 
procesos, localización de instalaciones y selección de cartera de inversiones, 
entre otros. La estructura de tales problemas así como también sus 
características y propiedades son tan amplias que no existe método alguno que 
permita resolverlos a todos. En su lugar, se han desarrollado algoritmos 
específicos para abordar situaciones particulares.
CLASIFICACIÓN DE LOS PROBLEMAS DE PNL
Programación No Lineal Norma Torrent
Optimización no restringida. La función objetivo es sencillamente Max (o 
Min) f(xi), sobre todos los valores xi con i = 1, 2, …, n. No existen 
restricciones.
Optimización linealmente restringida. Todas las restricciones son lineales.
Programación cuadrática. Las restricciones son lineales, pero la función 
objetivo es la suma de una forma lineal más una forma cuadrática. Constituye 
un caso especial de la optimización linealmente restringida.
Programación convexa. Abarca una amplia gama de problemas en los que la 
función objetivo es convexa (o cóncava), el conjunto de soluciones factibles es 
convexo y las variables son no negativas. Entre ellos, como casos especiales, 
se encuentran los tipos anteriores.
Programación separable. Es un caso especial de programación convexa con 
la suposición adicional de que, tanto la función objetivo como las restricciones 
son funciones separables. 
2 
 
 
 
 
 
 
CLASIFICACIÓN DE LOS PROBLEMAS DE PNL
Programación No Lineal Norma Torrent
Una función es separable si se puede expresar como la suma de n funciones de 
una sola variable, por ejemplo, f(x1, x2) = 9x1 + 23x2 – x12 puede expresarse 
como f(x1) + f(x2), con f(x1) = 9x1 – x12 y f(x2) = 23x2.
Programación no convexa. Incluye todos los problemas de programación no 
lineal que no satisfacen las suposiciones de programación convexa.
Programación geométrica. La función objetivo y las restricciones toman la 
forma:
 signoen oirrestrict ay finito es N 0,c
n ..., 2, 1,jdonde
ijj 






 xc U
U)x(fz
n
1i
aij
ijj
N
1j
j
MÉTODOS DE SOLUCIÓN
Programación No Lineal Norma Torrent
Para problemas de PNL no restringidos los métodos de gradiente permiten 
encarar la optimización de funciones convexas.
La optimización linealmente restringida cuenta con varios algoritmos 
especiales de solución basados en una extensión del método Simplex.
La programación cuadrática es muy importante, en parte porque las 
formulaciones de este tipo surgen de manera natural en muchas aplicaciones. 
Sin embargo, otra razón por la que es importante es que al resolver problemas 
generales de optimización linealmente restringida se puede obtener la solución 
de una sucesión de aproximaciones de programación cuadrática. Se han 
desarrollado diversos algoritmos para resolver problemas cuadráticos, con la 
suposición adicional de que la función objetivo es cóncava.
Las suposiciones de la programación convexa son suficientes para asegurar 
que un máximo local es un máximo global. La condiciones necesarias y 
suficientes para obtener tal solución óptima son una generalización natural de 
la condiciones que se acaban de exponer para la optimización no restringida y 
su extensión a la inclusión de restricciones de no negatividad. 
3 
 
 
 
 
 
 
MÉTODOS DE SOLUCIÓN
Programación No Lineal Norma Torrent
Cualquier problema de programación separable puede aproximarse mediante 
uno de programación lineal siendo entonces aplicable el método Simplex.
En el caso de problemas de programación no convexa, aún cuando se tenga 
éxito en encontrar un máximo local, no hay garantía de que este sea también 
un máximo global. No se dispone de un método que garantice encontrar una 
solución óptima para todos estos problemas. Existen algunos algoritmos para 
encontrar máximos locales, en especial cuando las formas de las funciones no
lineales no se desvían demasiado de las que se supusieron para programación 
convexa. 
Los problemas de programación geométrica no son por regla general 
problemas de optimización convexa. No obstante, mediante un cambio de 
variables, pueden trasformarse en ellos cuando todas las funciones son 
polinomios positivos generalizados y el objetivo es de minimización. 
MÉTODOS DE SOLUCIÓN
Programación No Lineal Norma Torrent
Como acabamos de ver, son diversos los métodos utilizados para resolver 
programas no lineales así como también, sus niveles de complejidad y 
posibilidad de arribar a una solución. No será nuestro objetivo encarar el 
estudio de los mismos. En este capítulo nos ocuparemos exclusivamente del 
problema de programación cuadrática cuando la función objetivo es 
estrictamente convexa y encararemos su solución mediante la herramienta 
Solver de Excel. 
4 
 
 
 
 
 
 
FORMAS CUADRÁTICAS 
Programación No Lineal Norma Torrent
Dadas:
 




























nn2n1n
n22221
n11211
T
n21
n
3
2
1
q...qq
............
q...qq
q...qq
Qy x..., , x,x 
x
...
x
x
x
 x
la función se denomina forma cuadrática. 
Siempre se puede suponer que la matriz Q es simétrica porque cada elemento 
de cada par de coeficientes qij y qji (con i  j) puede reemplazarse por (qij 
qji)/2 sin cambiar a F(x). Por ejemplo, la forma cuadrática

 

n
1i
n
1j
jiij
T xxqx QxF(x) 

















3
2
1
321
x
x
x
203
672
1 0 1
) x, x,x()x(F
donde Q es no simétrica, es igual a 
FORMAS CUADRÁTICAS 
Programación No Lineal Norma Torrent
 Definida positiva si F(x)  0 para todo x  0.
 Semidefinida positiva si F(x)  0 para todo x  0 y existe un x  0 tal que
F(x) = 0.
 Definida negativa si –F(x) es definida positiva.
 Semidefinida negativa si –F(x) es semidefinida positiva.
 Indefinida en los demás casos.

















3
2
1
321
x
x
x
232
371
2 1 1
) x, x,x()x(F
Supondremos en adelante que Q es siempre simétrica.
Se dice que la forma cuadrática es:
Designando con Qi al i-ésimo determinante menor principal de Qn x n, es decir,
5 
 
 
 
 
 
 
FORMAS CUADRÁTICAS
Programación No Lineal Norma Torrent
n ..., 2, 1, i  , 
q...qq
............
q...qq
q...qq
ii2i1i
i22221
i11211
 F(x) es definida positiva si Qi  0 para todo i = 1, 2, …, n. En este caso se
dice que Q es definida positiva.
 F(x) es semidefinida positiva si Qi  0 para todo i = 1, 2, …, n. En este
caso se dice que Q es semidefinida positiva.
 F(x) es definida negativa si (–1)iQi > 0 para todo i = 1, 2, …, n. En este
caso se dice que Q es definida negativa.
 F(x) es semidefinida negativa si Qi = 0 o tiene el signo (–1)iQi > 0 para
todo i = 1, 2, …, n.
 Indefinida en cualquier otro caso.
se puede demostrar que las condiciones necesarias y suficientes para la
ocurrencia de los casos anteriores son
FUNCIONES CONVEXAS Y CÓNCAVAS
Programación No Lineal Norma Torrent
Una función G(x) es convexa si para dos puntos cualesquiera xu y xv,
G(xu  (1 – )xv)  G(xu)  (1 – )G(xv) con 0    1
Decimos convexidad estricta si el signo es  para 0    1
Una función G(x)es estrictamente cóncava si –G(x) es estrictamente convexa.
Un caso especial de la función convexa (cóncava) es la función:
F(x) = cx +xTQ x
 
 Q c simétrica y constantes devector con 
 
q...qq
............
q...qq
q...qq
Q ),c ..., ,c ,(c c , x..., , x,x 
x
...
x
x
x
x
nn2n1n
n22221
n11211
n21
T
n21
n
3
2
1




























Se puede demostrar que F(x) es estrictamente convexa (cóncava) si Q es 
definida positiva (negativa). 
donde
6 
 
 
 
 
 
 
FUNCIONES CONVEXAS Y CÓNCAVAS
Programación No Lineal Norma Torrent
FUNCIONES CONVEXAS Y CÓNCAVAS
Programación No Lineal Norma Torrent
Puesto que, en breve, las funciones del tipo F(x) = xTQ x (forma cuadrática) y 
F(x) = cx  xTQ x (forma lineal más forma cuadrática) ocuparán nuestro 
interés, veamos cómo encarar el estudio de convexidad (concavidad) de las 
mismas, cuando no se hallan en su formato matricial.
Para obtener la forma cuadrática cuando se dispone de un
 

n
1i
n
1j
jiij
T xxqx Qx 
polinomio de segundo grado, debemos tener en cuenta que los coeficientes de 
los términos al cuadrado son los elementos diagonales de la matriz Q. Los 
coeficientes de los términos no cuadráticos son el doble de los elementos fuera 
de la diagonal. Dado que la matriz Q es simétrica, sólo tendremos que fijarnos 
en los términos situados por encima de la diagonal. Así por ejemplo,



















3
2
1
321321
323121
2
3
2
2
2
1321
x
x
x
11 1 1
112
125
 )x,x,(x)x,x,F(x
xx2xx2xx4x11x5x)x,x,F(x
7 
 
 
 
 
 
 
FUNCIONES CONVEXAS Y CÓNCAVAS
Programación No Lineal Norma Torrent
Luego, para estudiar el signo de F(x) calculamos los valores de los 
determinantes menores principales de Q. 
por lo tanto Q es definida positiva y F(x) es estrictamente convexa.
Similarmente deberíamos proceder si F(x) fuese la suma de una forma lineal 
más una forma cuadrática. La única diferencia es que hay que adicionar la 
forma lineal. Por ejemplo,
01
11 1 1
112
125
Q 0112
2 5Q ,055Q 321 

 y






















2
1
21
2
1
21
2
221
2
12121
x
x
2 1
12)x,(xx
x)6 ,4()x,F(x
x2xx2x2x6x4)x,F(x
Q1 = – 2  0 y Q2 = 3  0, resultando Q definida negativa y F(x) estrictamente 
cóncava.
EJERCICIOS PROPUESTOS
Programación No Lineal Norma Torrent
Estudiar el signo de las formas cuadráticas siguientes:
a) F(x, y, z) = –x2 – 2y2 – z2 + 2xy + 2yz
b) F(x, y, z) = –x2 – 3y2 – 3z2 + 4yz
c)
d)
e)
2
331
2
221
2
1321 3xx8x x x4x 7x) x, x,x(F 
2
221
2
121 x5xx4x)x ,x(F 
2
221
2
121 xxx4x4)x ,x(F 
8 
 
 
 
 
 
 
PROGRAMACIÓN CUADRÁTICA 
Programación No Lineal Norma Torrent
Un modelo de programación cuadrática puede definirse como 
con
Se supone que Q es simétrica y definida negativa por lo cual z es estrictamente 
cóncava. (Resulta trivial cambiar la formulación para el caso de 
minimización).
0 x 
bAx
:a .s
 xQxcxzMax T



  )b ..., ,b ,(b b),c ..., ,c ,(c c , x..., , x,x 
x
...
x
x
x
 x m21n21
T
n21
n
3
2
1










































nm2n1n
m22221
m11211
nn2n1n
n22221
n11211
a...aa
............
a...aa
a...aa
A , 
q...qq
............
q...qq
q...qq
Q
PROGRAMACIÓN CUADRÁTICA 
Programación No Lineal Norma Torrent
Las restricciones son lineales, lo que garantiza que el espacio de soluciones es 
convexo. Luego, por las condiciones de Kuhn–Tucker, el óptimo, si existe, es 
un máximo global (único). En un problema de minimización Q debería ser 
definida positiva para que F(x) resultase estrictamente convexa y el mínimo 
fuese único. Las condiciones de Kuhn-Tucker son condiciones necesarias y 
suficientes de óptimo para los problemas de Programación Convexa.1
Tales condiciones caracterizan completamente a la solución óptima pero, 
como contrapartida, no proveen un método para hallarla. Para el caso de la 
programación cuadrática existen diferentes algoritmos específicos de solución 
(software de programación cuadrática). No obstante, también pueden 
emplearse algoritmos generales de PNL, como el utilizado por Solver de 
Excel. Enfocaremos nuestra atención en la aplicación de este último.
1 El lector interesado en su demostración podrá consultar H. Taha, Investigación de Operaciones, 7a ed., 
México: Pearson Educación, 2004, capítulo 20.
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PROGRAMACIÓN CUADRÁTICA: Ejemplo Gráfico 
Programación No Lineal Norma Torrent
Los modelos de programación cuadrática tienen la importante propiedad de 
concavidad (convexidad) que evita las dificultades de optimización inherentes 
a los modelos de PNL más generalizados. Veamos el siguiente ejemplo 
sencillo y su correspondiente solución gráfica.
0 x;x
10 5x8x
3x2x 
a .s
)2x()2x(Min w
21
21
21
2
2
2
1




decir es , es cuadrática forma La
8x
x
1 0
0 1)x,(xx
x)4 ,4(8x4xx4xw
2
1
21
2
1
2
2
21
2
1
0x ,x 0xxx
x
1 0
0 1)x,(x 21
2
2
2
1
2
1
21 






























definida positiva. En consecuencia z es estrictamente cóncava y el mínimo es 
único.
PROGRAMACIÓN CUADRÁTICA: Ejemplo Gráfico 
Programación No Lineal Norma Torrent
Dado que (x1 – 2)2  (x2 – 2)2 = r2 representa la ecuación de una circunferencia 
de radio r con centro en el punto (2, 2), podemos interpretar la función 
objetivo como un conjunto de círculos concéntricos en torno a dicho punto.
r
0 x;x
10 5x8x
3x2x 
a .s
)2x()2x(Min w
21
21
21
2
2
2
1




Una observación importante con respecto a los problemas de programación 
cuadrática es que, si bien el conjunto de soluciones posibles es un conjunto 
convexo cerrado, al igual que en los programas lineales, deja de ser válida la 
propiedad de que el óptimo se encuentra en al menos un punto extremo. 
10 
 
 
 
 
 
 
PROGRAMACIÓN CUADRÁTICA : Ejemplo Gráfico 
Programación No Lineal Norma Torrent
En estos problemas la solución óptima puede estar en un punto extremo, en un 
punto no extremo de la frontera o en un punto interior del conjunto de 
soluciones factibles.
En nuestro ejemplo vemos que el mínimo valor de r que verifica las 
restricciones se produce donde la circunferencia toca por primera vez el 
conjunto factible (punto de tangencia), es decir en el punto de intersección 
entre la perpendicular desde el punto (2, 2) a la recta dada por x1 + 2x2 = 3. 
Luego, x1* = 7/5, x2* = 4/5 y w*= 1,8.
PROGRAMACIÓN CUADRÁTICA: USO DE SOLVER
Programación No Lineal Norma Torrent
El algoritmo utilizado por Solver para resolver problemas de PNL es el del 
Gradiente Reducido Generalizado (GRG) que al igual que otros muchos 
algoritmos, calcula valores de la primera derivada parcial de la función 
objetivo y de las restricciones en cada iteración.. Básicamente, parte de una 
solución posible inicial e intenta moverse, en una dirección a través de la 
región factible, de modo que el valor de la función objetivo mejore. Se pasa 
entonces a una nueva solución factible mejorada y el proceso se repite hasta 
que el algoritmo alcanza un punto en el cual no existe una dirección factible 
para moverse que mejore el valor actual de la función objetivo. 
Cuando no hay posibilidad de mejora, o el potencial para tal mejora es 
arbitrariamente pequeño, el algoritmo finaliza. Ahora bien, en ese momento la 
solución es un óptimo local, y por tanto no necesariamente global. En tal 
sentido, es preciso tener en cuenta dos características de las soluciones 
obtenidas al resolver un programa no lineal con Solver:
• El algoritmo puede finalizar en un óptimo local que puede no ser el óptimo 
global del problema.
11 
 
 
 
 
 
 
PROGRAMACIÓN CUADRÁTICA: USO DE SOLVER
Programación No Lineal Norma Torrent
Desgraciadamente, en los programas no lineales no se puede determinar 
fácilmente el grado de alejamiento entreel óptimo local y el global. No 
obstante, muchos programas no lineales tienen óptimos locales únicos que, por
definición, necesariamente deben ser globales. Así por ejemplo, las siguientes 
condiciones garantizan, si existe, que el óptimo es global:
• Función objetivo de máximo y cóncava, o el logaritmo de la función objetivo 
cóncava, con restricciones lineales.
• Función objetivo de mínimo y convexa, con restricciones lineales.
Dado el carácter de las soluciones de los programas no lineales es importante 
tener en cuenta los mensajes que proporciona el Solver:
• El óptimo local en que finaliza el algoritmo depende del punto inicial.
• Solver ha encontrado la solución. Todas las restricciones y condiciones de 
optimalidad están satisfechas. En este caso habrá encontrado un óptimo 
local, que no necesariamente será global. 
PROGRAMACIÓN CUADRÁTICA: USO DE SOLVER
Programación No Lineal Norma Torrent
Matemáticamente, este mensaje indica que las condiciones de Kuhn-Tucker
para óptimos locales han sido satisfechas. Salvo en un problema con un solo 
óptimo global (programas cuadráticos), se debería ejecutar Solver desde 
diferentes puntos iniciales para incrementar la seguridad sobre la globalidad 
del óptimo.
• Solver ha convergido hacia la solución actual. Todas las restricciones están 
satisfechas. En este caso el valor de la función objetivo cambia muy 
lentamente en las últimas iteraciones. La opción Convergencia controla este 
proceso. El algoritmo termina si el cambio relativo en el valor de la función 
objetivo durante varias iteraciones es menor que el factor de convergencia. 
Si se intuye que Solver finaliza demasiado rápido o que el punto obtenido no 
es óptimo, será preciso reducir la convergencia para evitar soluciones 
subóptimas.
• Solver no puede mejorar la solución actual. Todas las restricciones están 
satisfechas. Este mensaje indica que el modelo presenta degeneración y que 
el algoritmo ha entrado en un ciclo.
12 
 
 
 
 
 
 
PROGRAMACIÓN CUADRÁTICA: USO DE SOLVER
Programación No Lineal Norma Torrent
La degeneración puede ser evitada en muchos casos eliminando restricciones 
redundantes.
Finalmente cabe acotar que la versión de Solver comercialmente disponible, 
Solver Premium Edition, cuenta con un optimizador de PNL y un optimizador
cuadrático especializado.
FUENTE: SÁNCHEZ ALVAREZ, Isidro (isanchez@econo.uniovi.es)
LÓPEZ ARES, Susana (slopez@econo.uniovi.es)
Departamento de Economía Cuantitativa - Universidad de Oviedo
PROGRAMACIÓN CUADRÁTICA: USO DE SOLVER
Programación No Lineal Norma Torrent
Las figuras siguientes muestran el modelo ingresado (similar al empleado para 
programas lineales), el cuadro de diálogo de Parámetros de Solver y el cuadro 
de Opciones, para el ejemplo que hemos resuelto gráficamente. 
13 
 
 
 
 
 
 
PROGRAMACIÓN CUADRÁTICA: USO DE SOLVER
Programación No Lineal Norma Torrent
Los resultados devueltos por Solver se exponen a continuación.
SELECCIÓN DE UNA CARTERA DE INVERSIONES
Programación No Lineal Norma Torrent
Las decisiones bajo riesgo económico y financiero se abordan generalmente 
mediante modelos de programación cuadrática. Un ejemplo simplificado de 
ello es la selección de carteras bursátiles. 
Supongamos que un inversionista quiere saber qué porcentaje de su capital 
debe invertir en cada uno de los tres activos de las empresas AT&T, General 
Motors y USX-U.S. STEEL. Para ello cuenta con la información de los 
rendimientos de las acciones durante los últimos 12 años.
El inversionista desea una cartera que le brinde un 
buen rendimiento esperado y que implique bajo 
riesgo. Tales objetivos son antagónicos ya que, por 
lo general, las carteras con buen rendimiento 
esperado implican también un elevado riesgo. Si una 
inversión de Di dólares fue colocada en un activo i y 
al cabo de cierto período especificado se obtienen 
1,3Di dólares, el rendimiento en el período es 0,3. 
Adaptado de: Eppen, G., F. Gould, C. Schmidt, J. Moore, y L. Weatherford, Investigación de Operaciones en la 
Ciencia Administrativa, 5a ed., México: Prentice-Hall Hispanoamericana, S.A., 2000, pp 357-364.
14 
 
 
 
 
 
 
SELECCIÓN DE UNA CARTERA DE INVERSIONES
Programación No Lineal Norma Torrent
El concepto de riesgo viene reflejado por la volatilidad de los rendimientos 
bursátiles, y esa volatilidad se mide por medio de la varianza del rendimiento 
producido por la cartera. Este concepto es congruente con la forma en que la 
mayoría de analistas de cartera acostumbra a medir el riesgo. Ahora bien, 
puesto que el propósito de un administrador de carteras es reducir el riesgo y 
elevar el rendimiento esperado , una forma de plantear este modelo consiste en 
minimizar la varianza del rendimiento (es decir, minimizar el riesgo) dentro de 
un determinado límite o cota inferior para el rendimiento esperado. También 
puede haber restricciones de políticas sobre la proporción de la cartera que 
podrá destinarse a ciertas acciones en particular. En nuestro ejemplo, aspira 
obtener un rendimiento anual mayor o igual al 15% y no desea colocar más del 
75% en cada una de las tres acciones.
El modelo aplicable a la situación planteada resulta ser un modelo de 
programación cuadrática y adopta la forma
322331132112
2
3
2
3
2
2
2
2
2
1
2
1 xx2xx2xx2xxxw Min 
SELECCIÓN DE UNA CARTERA DE INVERSIONES
Programación No Lineal Norma Torrent
Donde:
xi con i = 1, 2, 3, son las fracciones de las acciones correspondientes a AT&T, 
General Motors y STEEL, respectivamente. 
Ei con i = 1, 2, 3, son los respectivos rendimientos esperados anuales de las 
acciones.
i
2 con i = 1, 2, 3, son las respectivas varianzas los rendimientos anuales de
las acciones.
ij, las covarianzas de los rendimientos anuales de las acciones.
0x,x,x
75,0x
75,0x
75,0x
15,0xExExE
1xxx
a .s
321
3
2
1
332211
321






15 
 
 
 
 
 
 
SELECCIÓN DE UNA CARTERA DE INVERSIONES
Programación No Lineal Norma Torrent
donde Pit indica el precio del activo financiero i al final del período t; Pt-1 es el 
precio del activo al comienzo del período t; Rit el rendimiento del título i en el 
período t; y dit el dividendo recibido durante el período.
El rendimiento realmente obtenido de un activo financiero (ex-post), Rit, será
conocido con certeza. El rendimiento esperado es el beneficio anticipado para 
la inversión realizada; es decir, el rendimiento previsto (ex-ante), Eit. Luego, 
para cuantificar el rendimiento de un título en condiciones de incertidumbre 
tendremos que echar mano de las probabilidades, ya sean éstas objetivas o 
subjetivas. 
El rendimiento del título i en el año t vendrá definido por la siguiente 
expresión:
 
1- ti
1- ti ti
1- ti
 ti
1- ti
1- ti ti ti
 ti P
PP
P
d
P
PPd
R




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Una vez que disponemos de la distribución de probabilidad de los posibles 
rendimientos de un título determinado, calcularemos su valor esperado 
utilizando la esperanza matemática. 
En el ejemplo planteado dado que conocemos los rendimientos de los tres 
activos en los últimos 12 años, el rendimiento esperado de cada uno de ellos 
se calculará promediando los respectivos datos históricos. Así resultan, E1 =
0,0891, E2 = 0,2137 y E3 = 0,2346.
La herramienta estadística utilizada para medir el riesgo de un título es la 
desviación típica (o la varianza), debido a tres razones:
• El rendimiento esperado y su desviación típica son las dos medidas 
necesarias para describir una distribución normal de probabilidad de los 
títulos (si estos se ajustan a dicha distribución).
• Los estudios empíricos realizados demuestran que las distribuciones de 
frecuencia de la mayoría de los títulos siguen una distribución normal o muy 
próxima a la misma.
• Es fácil de calcular.
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De esta forma cuanto mayor sea la desviación típica o la varianza del
rendimiento de un título,mayor será su riesgo. La varianza es la suma de los
cuadrados de las dispersiones alrededor del rendimiento esperado, ponderados
por sus probabilidades,
Si la distribución es normal sabemos que la probabilidad de que el rendimiento
obtenido caiga en el intervalo formado por la media más, o menos, una vez su
desviación típica es del 68%; será del 95% si el intervalo se agranda a dos
veces la desviación típica y al 99,7% si se agranda a tres veces.
En base a los datos disponibles, estimaremos la varianza del rendimiento del i-
ésimo activo mediante la fórmula .
Una vez que el inversor ha obtenido el rendimiento y el riesgo de cada valor
en particular, podrá pasar a calcular el rendimiento y el riesgo de las diversas
combinaciones que haga de los mismos, es decir, de las carteras que pueda
formar.
2
i
12
1t
t i
2
i )E(R112
1σ 

 

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El riesgo de una cartera se medirá. a través de la varianza del rendimiento 
esperado de la misma, de la siguiente forma: 
q1qq ,1q
322331132112
2
q
2
q
2
3
2
3
2
2
2
2
2
1
2
1
xx2...
xx2xx2xx2x...xxx


σij es la covarianza del rendimiento del activo i con el del rendimiento del 
activo j. Recordemos que la covarianza es una medida estadística de la 
relación entre dos variables aleatorias cualesquiera, esto es, mide de qué
manera dos variables aleatorias, tales como los rendimientos de dos activos, se 
“mueven conjuntamente”. Un valor positivo de la covarianza indicará que 
ambos rendimientos tienden a moverse en el mismo sentido, mientras que uno 
negativo indicará que se mueven en sentidos opuestos. Por otro lado, un valor 
próximo a cero indicará una posible ausencia de relación entre ambos 
rendimientos. La covarianza σij es igual al E[(Rit – Eit) ·(Rjt – Ejt].
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Con los datos históricos que disponemos estimaremos σij mediante la fórmula
. Los resultados obtenidos pueden
expresarse mediante una matriz de covarianza:
)E)(RE(R
112
1σ jtj i
12
1t
t iij 

 

donde las diagonales son las varianzas de cada título mientras que las
covarianzas que se encuentran encima de dicha diagonal son las mismas que
las que están debajo de ella, es decir, los dos lados de la matriz son simétricos
(puesto que σ13= σ31); por ello, no hará falta calcular las seis covarianzas sino
sólo tres de ellas. Luego, la función objetivo del problema planteado puede
formularse como xTijx, siendo x = (x1, x2, x3)T y ij la matriz de covarianza.














2
33231
23
2
221
1312
2
1
ij
 
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Los valores de la matriz de covarianza obtenidos mediante la hoja de cálculo 
Excel así como también la solución del problema a través de Solver se 
muestran a continuación.
Observación. El cálculo de i2 y σij mediante la función covarianza
de Excel (COVAR()) introduce un leve sesgo en las estimaciones ya 
que no toma en cuenta los grados de libertad perdidos (utiliza n es 
vez de n – 1). 
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La recomendación es entonces una cartera de aproximadamente 53.00% en 
AT&T, 35.64% en G. M. y 11.35% en S. STEEL. El mínimo de la varianza 
del rendimiento anual es de 0,02054595.
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Por último observemos que si quisiésemos formar una cartera integrada por k
acciones ordinarias cotizadas en un mercado según el procedimiento anterior, 
tendríamos que estimar k esperanzas matemáticas del rendimiento, k varianzas 
y (k2- k)/2 covarianzas. El ejemplo presentado constituye sólo una breve 
introducción para el estudio del análisis de carteras.