Resumen I1 Intro al Álgebra lineal- SGD - Claudia Contreras Pedroza

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Tema I : matrices
o la matriz se forma con los coeficientes de las ecuaciones
.
Una matriz , por
ejemplo de 3×3 , significa que tiene 3 filas C-) y 3 columnas ( I ) . mxn
o la matriz ampliada de un sistema tiene las incógnitas a la izquierda y losresultados
a la derecha .
[ ¡ { ¥ ! f) 9 y h son resultados-
Matriz coeficientes= A
° Un sistema se dice que no tiene solución cuando es Inconsistente , por ejemplo cuando queda
O = n . Gráficamente las rectas son paralelas . Su conjunto solución es vacío (d) .
Un sistema es consistente y puede tener :
→ única solución = cuando encontramos valores para cada una de las incógnitas , O
cuando el número de Pivotes es igual al número de variables ( incógnitas) .
→ Infinitas soluciones = encontramos una variable libre i O el número de variables es
menor al número de pivotes . Gráficamente las rectas están ma sobre la otra .
PIVOTES : cuando una matriz está escalonada , es decir queda de la sgte . forma :
[§ ¡ 3g ) → elempho nomás . los pivotes son los números más a la izaoierda distintos de cero .
Variable libre : es la variable de la G) cual les) las demás variables dependen .
Por ejemplo : I → Xp
-
pénmo µ } II) → ×, i jjj
""stxs } Aañ notamos que xayx,
dependen de X3 . Io Xz es
ejemplo , pero 0 1 O
laidea se ent una variable libre
Para llegar a la forma escalonada podemos : sumar , permutar y multiplicar .
Todos esos pasos se pueden revertir y volvemos a la matriz original . La
idea es ir generando pivotes y ceros de abajo hacia arriba
o cada matriz es igual por filas a una y solo a una matriz escalonada reducida :
Matriz escalonada reducida → [ y q oz x ejemplo
.
La entr
O O o]
ada principal en cada fila diferente de cero es 1 .
@ OJO : cuando tenemos un sistema así → [¡ ¡ §] N1 significa que Xr = 0 ,sino que Xn es una
} Propiedades variable libre ! .
Sofía Gallegos Durán
Tema I : Vectores
¿Qué es un vector ? → un vector es una secuencia ordenada de elementos , también llamados
componentes , reales . Todos los números reales son vectores , incluido el 0 .
Están compuestos por :
→MI : longitud expresada en un valor numérico .
→Di: ángulo del vector con respecto al eje × .
"
Recta soporte
"
del vector
→5¥: positivo / negativo . Orientación del vector , dónde está la punta .
° n - tuplas : es la secuencia ordenada de n objetos llamados componentes . Por lo tanto,
el conjunto de n - tuplas ordenadas se derrota como IR
"
, y sus elementos se denominan
Vectores .
Por eiemrw : ¥ e.IN?mji.iiiiiiiiii.aueienaremossoomrsoneni-es . IoriJia ?
↳ Tuplas
Entonces , IR
"
= { v = [ En] tal que Xr . . . xn E IR}
Vectores canónicos :
ei =
ftp.go )
← i
, para ir . . . n → Explicación
:
AZ
[ = (1 1 0) = en nz
= 1010,1 )
÷
.
i
"
J = ( 0,1 , 0 ) = la L -
E3 = [ §)¥ E IR
3
Z = (O , 0 , 1) = ez
X
L '
° Mi OIO)
• OJO ! En los vectores importa mucho el orden . Notar que :[¥
,
) ¥ [§
,] e IR3
° Dados los vectores µ , v :
- µ = v implica que sus componentes son iguales . Es decir , [ tq ) --µ = a- [ ¥) R'
- Mtv corresponde a la sma de sus componentes . Es decir , n = f } ) t r = [ ¥)
mí:)
- la ponderación deµ ó r por m escalar es el vector cuyas componentes son
el producto del escalar por los componentes deµ o v.
Es decir , n = [ }) a =3 e: qu = [ } )
- Cuando tenemos , n = 2 el conjunto de vectores es R2 , por lo tanto un vector
sería de la forma : [ ¥,)
la suma de elementos de R2 corresponde a la suma de
" flechas
"
.
For instante ,
n = [ Y r -- EH , entre f: )
( 1,2 )
µ
15 , 3)
Corresponde a la diagonal del paralelogramo definido por los sumandos"
} parauusaramo
La ponderación de elementos de IR? tb lo podemos ver con piedras .
→ 2 . X
- cuando tenemos n =3 el conjunto de vectores es IR
'
y su representación se hace en
un espacio tridi .
"
p
XFIÍIÉIIIFTÁ sobresaliendo .
÷
a
xr
-
-
I
- -
Xrl
la suma tb corresponde a la diagonal del paralelogramo y la ponderación serepresentade forma similar al caso de IR?
Sofia , piensa esto como la esquina de la pieza .
EÉ"?
Ponderaciones :
÷!:: ⇐÷
PROPIEDADES :
\
Ecuaciones vectoriales : X n ar t Xz Xz . . - t XNXN = b , donde :
Xn , 92 . . . an , b son escalares de IR
"
y Xn , Xz , Xn son vectores .
Ci : Tenemos ( vs , va . . . rm) que corresponde a I vectores que
están contenidos en IR
"
,
entonces una combinación lineal de esos vectores es el
vector : VE xk t Xzvz . . . XNVN . Hasta 0 , con Xr , da . . . dn E IR
E-Templo : los vectores :
[!) , { } ) , {%) dan como combinación lineal = [{ ) , pues existen
✓ 1 Va vz
VX .
4=2 i da = - r y dos = 5 tales que . f}] . 2 t [ §) . - n t [%] . 5-
- ¿§)
: dado un espacio vectorial , S que está contenido en IR
"
,
Gen S es el conjunto de vectores , pertenecientes a S , a partir del cual se
puede generar el espacio vectorial S completo . Son todas las combinaciones lineales .
} Propiedades
→
son todos los v ×
loóntnmtwaaoráslontforesmasGimnástica
Por ejemplo , el vector : -3
-
¡ y
Pertenece al conjunto generado por
- 6
mueves
÷::[ ii.%:*::
"
÷:S
en v
.
[%) xz tftzfxr = [} ) rrxr trrxa = r
Nota : cuando me preguntan si un vector b está en Men {ve . . . rn} equivale a preguntar si la
ecuación vectorial va a n t . . . vnxn = b tiene solución.
Descripción geométrica de qen
→ bien huir } es el plano en IR
'
que contiene a u , v y 0 . contiene la recta en IR
3
que pasa por µ y
0 y a la recta que pasa por r y 0 .
Tema III : Ecuación Matricial .
• Una matriz es un arreglo ordenado de n vectores de IR
"
.
Donde n en Mi
matriz son vas columnas l # variables) y m son las filas l # ecuaciones) .
←
¿÷:L
.
mail.i.fr. . Hola al:p .I II II l
-
A = ( vs i VL , V3)
El producto de una matriz por escolares : AX - Xevrtxzvz . . . Xnvn → esto
es ma
[} !} !! ) (¥;) =/ {µtf§)xzt[ xs combinaciónLINEAL !
A X
X1
ozo , los escolares se ven así = ¿;)
Al final lo que se forma con esta ecuación es un sistema lineal
de m ecuaciones y n variables , expresado como = AX = b
BIEN ¥
.
} → Esta ftp.tfdxs.l :)
A . × = b
= 2X n - Xz t 7×3 = 4
3×1 - 8×3=1
Notar que va x que acompaña a la Matriz A corresponde a vos sol .
Ax está definido solamente si elnúmero de columnas de A es
igual al número de entradas en x . → n - m
Existencia de soluciones
El sistema se dice homogéneo si b =J . b es C. lineal de las columnas de A .
Cuando Ax -- b es inconsistente significa que b no es un vectorcombinaciónlineal de A . Es decir rnxrtvaxz . . . vnxn 7- b , esto porque AX es
la combinación lineal de los vectores columna cn) de A .
Una combinación unen yma Gens me uevan siempre a Ax = b
Matriz ampliada : Ejemplo : Xf2×2=3
- ex TX, = 2
1! :L ;) x. III. mmm EH t.lk
NOTA : cuando dicen
"
las columnas de A generan a IR
" "
, significa que cada b en IRM
es una combinación lineal de las columnas de A . Gen { rr . . .vn } = IR
Sistema homogéneo : Ax - 0 . Es un sistema donde todas las variables son
0
.
Un sistema puede tener A 0 Única sol ( esta corresponde a la sol . trivial , es
decir , a 01 . son sistemas siempre consistentes .
si en un sistema homogéneo hay menos filas que columnas, es decir hay
menos ecuaciones que variables Liman) siempre tiene infinitas soluciones .
la única forma de
-
que este sistema tenga una sol . no trivial ( to) si
y solo si la ecuación tiene al menos una variable libre .
C CÓMO LEER SOLUCIONES ?
-
⇒ cuando encontramos soluciones nos Referimos a la X en AX - b . Por lo tanto,
cuando tenemos , por ejemplo un sistema homogéneo con co soluciones , las soluciones
se pueden expresar así ,
[ f)
Por qenpro :
× = Xz → × 1 = -X3 con Xz como variable libre .
X z = O
Xz = X3
× = ×
a [ -4g ) t xaf} ) → ¿ E at
"
con xzyxa como variables libres .
X3=-3×2-3×4
xq = Xa
Esto quiere decir que todas las soluciones pueden ser expresadas como
combinación lineal de los vectores f-f) ó ¥;) yµ;) -
Cuando nos Referimos al conjunto solución de los sistemas , nosreferíación lineal
. De modo que, el conjunto sol del primero es :mi:{EEI son seamoaamll! .fi:B
Sistema lineal no homogéneo
la solución de un sistemano homogéneo , AX = b está dada por :X -- Xptxn
donde Xp es la solución del sistema y Xh es la solución delsistemahomogéneo asociado Ax = 0 .
Entonces → A xp = b y Axn = 0 , de forma que :
AX = Axp t Axh = b
Nota : se dice que 2 sistemas son equivalentes sitienen el mismo conjunto solución
Observación : cuando un conjunto solución está descrito explícitamente por dos
vectores se dice que la solución está en forma vectorial paramétrica .
\
FÓRMULAS VECTORIALES PARAMÉTRICAS DE UNA RECTA y UN PLANO .
Forma vectorial paramétrica de ma RECTA está dada por : × = rt tu , donde .
t es un número real
, myr son vectores .@ando la recta pasa por el origen es sin
v. )
Ahora , la forma vectorial paramétrica de un PLANO está dada por :
X = V ttnMr ttr Mz . . .
,
con v q u vectores y * como número real .
OJO , M plano siempre está formado por dos vectores no paramos , es decir
un y mz NI son paralelos .
Además hay que notar que µ, y na son
linealmente independientes , sino los vectores ya no forman un plano ,
sino que forman una recta .
icómo negar a una ecuación cartesiana del plano
?
Descomponiendo x = v
FÉFII! f- t.fi?.tIIfI:{¡
' ""nos lo siguiente :
× = vs t tn Mr
. n
t ta Ma - r
y = vz ttn Mr . a t tz Ma - 2
7 = Vz t tn Mr . z t t 2 M2. 3
Al NUminar tu y ta , nos queda solo con (X , y , 7) , de esta forma :
AX t By t Cz =D . El vector formado por f Aq )
se llama vector normal del
-
Plano . Es 1 a todos los vectores
en el plano
Independencia lineal
• un conjunto de vectores es linealmente independiente si la ecuación
vectorial Xnvr t Xrvr . . . Xmvm =P solo se forma con Xp , Xz . . . Xm = 0 . En
caso contrario es meramente dependiente .
• si en un conjunto qen S mo de los vectores es combinación lineal de los
otros , entonces los vectores son linealmente dependientes - (Basta conque 1 sea)
• si un sistema tiene menos ecuaciones que variables (Man ) . entonces siempre
es LD , ya que tenemos menos pivotes que variables , por lo que hay variables
libres , es decir el n
's tema tiene a soluciones
• los vectores canónicos son siempre linealmente independientes
• si en un conjunto se encuentra J , entonces esos vectores son LD .
• si Sr E Sr z Sr es LI , entonces Sr tb lo es .
¡ Hay m di B . . . que al ponerlos en combinación lineal me dan como resultado Ó ?
• gráficamente dos vectores son linealmente dependientes si y solo si están sobre la
misma recta que pasa por el origen .
Tema II : Introducción a las Transformaciones lineales
Es posible encontrar una ecuación matricial Ax = lo que no esté directamente relacionada
con combinaciones lineares de vectores . Esto para cuando la matriz A actúa sobre
un vector
"
x
"
multiplicándolo para Obtener un nuevo vector AX (b) .
multiplicación+"
A transforma a n en b
"
: µa-b
Ir de x a AX es como parar a x por una función .
a
Entonces , una transformación T de IR
"
→ IR
"
es una regla que asigna a cada vector X
en IR
"
un vector Tlxl en IR
"
.
R
"
= dominio de T IRM = codominio de T
→
* El conjunto de todas las Imágenes es el rango de T
PRE - IMAGEN IMAGEN
Una transformación lineal tiene que cumplir con :
→ Tlrn t va) = Tlvn) t T lvr)
→ TI Rx) = KTLX) x - vector y ke número real
Multiplicación matricial
Para cada × en IR
"
,
TLX) se calcula como AX (con A matriz de Ñíxcn) . El rango de T es el
conjunto de todas las combinaciones lineales de las columnas de A
Por elemplo : A = [§
-
§ ) , x
= |} ) una transformación Tlxl de IR
'
→ R
'
es :
al + Y} ) = E) TEEI - III
Matriz de una transformación lineal
la nave para encontrar la matriz A está en Observar que T estádeterminada
por su acción sobre las columnas de la matriz identidad de nxn
Matriz identidad : matriz formada por los vectores canónicos . A- = fea . . . es]
[ en . . . CJ ] × = X ser . . . TX] es → T (x ) = TCX, en - - . x ] es) =
xr Tler) t . . . XJT le ]) → ftlerl - - - T le ] ) ] [ ¥!] = Ax = TCXI
-
Matriz estándar para la transformación lineal
la matriz identidad tiene la propiedad de ser el elemento neutro delproductode matrices
,
es decir el producto de la MI por cualquier A- no tiene
ningún erecto .
Ahora , cuando me piden buscar la matriz estándar me tengo que rizar
para que IR me la piden , porque así sé cuantos vectores canónicas
usar .
Por ejemplo , encontrar la ME para Tlx) =3 × , para × en IR
'
Tlerl = 3 ei = 3ft ] = Eso ] y T leal = 3er = 3 (9) = [ 5)
-
-
los m se unen en una matriz : [ 30oz ] = A . esta es la M - E !
se dice que un mapeo T : IR
"
→ IRM es sobre IRM si cada b en IRM es imagen de algún × en IR
"
.
Una ayuda para problemas con trigonometría :
→ Recordar antihorario es :
M
→ siguiente círculo es crucial :
( - seno , caso ) •
1011 ) = ez
•
Caos o , seno)
en
→ reunión con respecto a ese x :§.ES ME . Yo %)
* .iq
.
→ reunión con respecto a ese y : %µ
"
M
. E . [
-
I )
e-
EH
v
→ anexión a través de z-x.kt.IM#qM.E--f9H
→ reunión a través de y = - x ftp.qq#n.E--fiI ]
→ Reunión a través del origen
¡íü¥% meto :3
→ contracción a expansión nmrmri : "Ü¥¥
"" K " )
→ contracción nrexrannüveriica' µµ§% Í÷¥
" " K "
→
rrasanmaonorrmwm.iq#qe;jiinqq
" " li "
K 20
→ trasquilado vertical : Ü¥. a.li#XtffE
" " K " )
K - - - → 1k]
KCO
R30
^
→ proyección sobre eresix | ME = Yo 8)
5%1
'
→ Proyección sobre uejey MI ME = % 9)
No
.
SOBRE
T es sobre IRM cuando todo el rango de T es codominio de IR
"
.
T mapea
IR
"
sobre IRM si para nada b en el co dominio de IRM hay al menos una
solución de TTX) = b
,
si no hay sol , entonces el mapeo de T no es sobre .
→ El mapeo es 1-1 si cada b en IRM es imagen de máx m × en IR
"
→ T una transf . lineal , T es 1-1 sí y solo si THEO tiene solo sol trivial .
→ T mapea IR
"
sobre IR
"
syss las columnas de A generan a RM
→ T es 1-1 syss las columnas de A Son L - I .