Descarga la aplicación para disfrutar aún más
Lea materiales sin conexión, sin usar Internet. Además de muchas otras características!
Matemática 2 Entre llaves - Pablo Effenberger - Alma Ninette López Hernández
Desafio PASSEI DIRETO
Compartir
Vista previa del material en texto
Autoria y edicion
Pablo Effenberger
Lectura critica y correcciones matematicas
Lidia Lindenbaum
Correccion de estilo
Pilar Flaster
Diagramacion
Pablo Cerrolaza
Edicion grofica
Florencia Cortelletti
Tratamiento de imagenes,
arcbiuo y preimpresion
Liana Agrasar
© Estacion Mand1oca de ed1ciones s.a.
Jose Bonifacio 2524 (C1406GYD) Buenos Aires - Argentina
Tel./Fax: ( +54) 11 4637-9001
ISBN: 978-987-4113-12-2
Queda hecho el dep6sito que dispone la Ley 11723.
lmpreso e Argentina. Printed in Argentina.
Primera edici6n: marzo de 2017.
Secretaria editorial
Lidia Chico
Produccion industrial
Lidia Chico
Leticia Groizard
Fotografia
lmagenes utilizadas conforme a la licencia de
Shutte rstock.com.
Effenberger, Pablo
Matematica 2 I Pablo Effenberger. - 1a. edici6n para el alum no -
Ciudad Aut6noma de Buenos Aires: Estacion Mandioca, 2017.
176 p. ; 28 x 22 cm. - (Llaves)
ISBN 978-987-4113-12-2
1. Matematica. I. Titulo.
CDD 507
Este l1bro no puede se reproducido total ni parcialmente per
ningun medic, tratam1ento o procedim1ento, ya sea mediante
reprografia, fotocop1a, microfilmac16n o m1meografia, o cualqu1er
otro sistema mecan1co, electr6nico, fotoquimico, magnetico,
informatico o electro6ptico. Cualqu1er reproducci6n no autarizada
par las editores viola derechas reservadas, es ilegal y constituye
un delito.
Numeros naturales 7
v Numeracion decimal ....................................... 7
v Lectura y escritura de numeros ................. 8
vla recta numerica ............................................. 9
vMultiplicacion y division .............................. 10
v(alculos combinados .................................... 11
v Potenciacion y radicacion ........................... 12
v(alculos combinados .................................... 13
v Lenguaje coloquial y simbolico ................ 14
v Ecuaciones .......................................................... 15
• Revision final .................................................... 16
CAPiTUL002
Numeros enteros 17
v El conj unto de las numeros enteros ..... 17
v Reconocimiento de numeros enteros .. 18
v El cero como referencia ............................... 19
v Reeta numerica y orden de los
nu meros enteros ............................................ 20
v Modulo. Enteros opuestos y
consecutivos ...................................................... 21
v Adici6n y sustraccion ..................................... 22
v Sumas algebraicas .......................................... 23
v Sup res ion de parentesis .............................. 24
• Revision parcial ............................................... 25
v Multiplicacion y division ............................. 26
vCalculos combinados .................................... 27
v Potenciacion de enteros ............................. 28
v Propiedades de la potenciacion .............. 29
vRadicaci6n de enteros ................................. 30
v Propiedades de la radicacion ................... 31
v Calculos combinados .................................... 32
R • . , . l 33 • ev1s1on parc1a .............................................. .
• Revision final ................................................... 34
Ecuaciones e inecuaciones 35
v Lenguaje coloquial y simbolico ................ 35
vTraduccion del lenguaje coloquial al
simb6lico y viceversa ................................... 36
v Expresiones algebraicas. Sucesiones .... 37
v Ecuaciones ......................................................... 38
v Resolucion de ecuaciones ......................... 39
v Problemas que se resuelven
planteando una ecuacion .......................... 40
• Revision parciat ............................................... 41
v Ecuaciones con raices ................................... 42
v Ecuaciones con potencias .......................... 43
v Ecuaciones con dos inc6gnitas.
Sistemas de ecuaciones ............................. 44
v Resoluci6n anal1tica de un sistema ...... 45
v lnecuaciones ..................................................... 46
• Revision parcial ............................................... 47
• Revision final ................................................... 48
101
v Cuadrilateros. Elementos .......................... 101
v Clasificaci6n de los cuadrilateros ........ 102
v Construcciones .............................................. 103
v Propiedades de los cuadrilateros ........ 104
v Problem as de aplicaci6n .......................... 105
v Superficie de figuras ................................... 106
• Revision parcial ............................................. 107
v Cuerpos poliedros y redondos .............. 108
v Elementos de un poliedro ....................... 109
v Poliedros regulares ...................................... 110
v Superficie lateral y total de
un poliedro ....................................................... 111
v Superficie lateral y total de
los cuerpos redondos ................................. 112
v Unidades de volumen ................................. 113
vVolumen de un cuerpo ............................... 114
v Capacidad y volu men .................................. 115
v Equivalencias entre la capacidad
y el volumen .................................................... 116
R
. . , . '
117• ev1s1on parc1a, ............................................ .
• Revision final .................................................. 118
Probabilidad y estadistica
v Sucesos aleatorios.
119
Espacio muestral ........................................... 119
v Sucesos seguros, probables
e imposibles .................................................... 120
v Diagramas de arbol . ..................................... 121
v Calculo combinatorio .................................. 122
v Probabilidad simple ..................................... 123
v Calculo de probabilidades ........................ 124
• Revision parcial... .......................................... 125
v Estad1stica. Poblaciones
y variables ........................................................ 126
v Variables cuantitativas
y cualitativas .................................................... 127
v Frecuencia absoluta, relativa y
porcentual ........................................................ 128
v Promedio, moda y mediana ..................... 129
v Graficos de barras ........................................ 130
v Graficos circulares o de torta .................. 131
v lntervalos de clase. Histogramas .......... 132
• Revision pardal ............................................. 133
• Revision final ................................................. 134
135
• Capitulo 1 ......................................................... 136
• Capitulo 2 ......................................................... 139
• Capitulo 3 ......................................................... 145
• Capitulo 4 ......................................................... 149
• Capitulo 5 .......................................................... 153
• Capitulo 6 .......................................................... 161
• Capitulo 7 ......................................................... 168
• Capitulo 8 .......................................................... 171
r
\.
'--
Capitulo
01 NUmeros naturales
T Secuencia de contenidos �'( ntli"'"? f,01-10 T€ fut "=,., cl t:x,<11c,.i S<Jd��
r-'Ur1C�oS ,.,,..Tv121-,a.s ?
ti
ti
ti
ti
ti
ti
ti
ti
Numeraci6n decimal.
Lectura y escritura de numeros.
Descomposici6n en potencias de 10.
Reeta numerica.
t>e f'€,-,t::.1: ... � cos ,.._,.;,..1:�or ,-J"T"t'-Al!:S .so,-., esos <()t.,,E
µ,o ll,!,VM.J A l>.-r,vo.r O COr,.>Sl:�VA>.J/l!S A�ri f'ici"'. lcs yTc 'l)l,JA.., f:l ff::lo /JA(/J/i!./,,l' SUAV€ y Sl!o Do S<, ?
esT'= ... /'JO.
ti
Multi plicaci6n.
Division.
Cociente y resto.
Potenciaci6n y radicaci6n.
Calculos combinados.
ti Problemas de aplicaci6n.
.I Lenguaje coloquial y simb6lico .
.; Ecuaciones.
Numeraci6n decimal
1. Escribi c6mo se lee cada numero.
a. 708 560:
b. 3 057 014:
C. 250 603 800:
d. 94 070 247:
e. 4 520 801 500:
2. Escribi los siguientes numeros.
a. Dos millones cincuenta mil trescientos nueve:
b. Ochocientos cuatro mil doscientos trece:
c. Ciento dos millones veinte mil sesenta y uno:
d. Cincuenta mil treinta millones siete mil catorce:
... E,.,rorJ(l:S HA.l.
e. Dos billones setenta y dos mil millones novecientos mil cincuenta:
[CAPITULO 01] • 7 •
Po Lo b�Lo�e:
/ d . deSfOmposicion
numeros ec1moles
3. Marca con una X la opci6n correcta.
a. Treinta y ocho mil noventa.
30 800 090 D 38 090 D
b. Ocho millones ocho mil ocho.
8 080 008 D 8 800 008 D
c. Doscientos cuatro millones cien mil.
240 100 ooo D 204 101 ooo D
d. Cinco mil un millones.
5 001 ooo ooo D 5100 ooo ooo D
e. Cuatro billones siete mil millones.
4 ooo ooo 700 ooo D 4 007 ooo ooo ooo D
4. Escribi cada uno de los siguientes numeros.
a. 5 ooo ooo + 30 ooo + 7 ooo + 60 =
b. 600 + 400 000 + 8 + 20 000 000 =
c. 90 + 80 000 + 100 + 300 000 + 700 000 000 =
38 ooo 090 D
8 008 008 D
204 100 ooo D
5 ooo ooo 001 D
4 ooo 007 ooo ooo D
f. 5,8 mil: h. 1,23 miles de millones:
9. 0,75 millones: i. 4,69 billones:
5. Completa la tabla.
Cien mil mas Mil mas Numero Mil menos Cien mil menos
300 000
1 999 000
400 000
805 000
1 612 000
• 8 • [MATEMATICA II]
I"
\.
l
\,_..
L
L,
L
L,
L,
orden millones
recto numerico
Reeta numerica
6. Escribi el numero que corresponde a cada letra.
0 A B
a.
100 C D
A=[ l B=l c=r D=[ E=[
b.
0 F G 2 000 H M R
F=�----- G = ('--____,
7. Elegi una escala adecuada y representa Los siguientes numeros en la recta.
2 500 10 000 12 500 4 000 6 500
0
8. Marca el Oen la siguiente recta.
1 200 3 600
9. Tacha Los numeros rojos que esten mal ubicados y ubicalos correctamente.
0 200 600 750 1 000 1 300
10. Coloca v (verdadero) o F (falso) segun corresponda.
F p
8. 10
5
(I. s = 106 D
b. F = 550 000 D
s T
c. z > 2.106 D
d. P = o, 75 millones 0
w z
1,5 millones
e. T < 1 200 ooo 0
f, W = 1,4 millones 0
[CAPITULO 01] • 9
I
I
I
I
I
I
I
I,
• 1_.-
1--
I/
Po Lo btld�e: diuisi6n multiplicaci6n
calculo mental
Multiplicaci6n y division
11. Para un acto escolar, se colocan 12 filas iguales con 21 sillas en cada una .
Calcula y responde.
a. iCuantas sillas se colocaron?
b. [Cuantas filas con 9 sillas se pueden armar con esa cantidad de sillas?
c. LY cuantas sillas por fila se deben colocar si se arman 18 filas?
12. Plantea la multiplicacion que permita calcular la cantidad de cubos que forman el
prisma y resolvela.
13. Com pleta Los casilleros.
a. (0+4). 7=3s+O=Oc. {12-0).0=60-0=20
b.0.(9+3)=36+0=0 d. 6.(0-0)=0-4s=1s
14. Calcula mentalmente el cociente y el resto de cada division.
a. 48: 10 b. 709: 100 C. 583 : 10 d. 3 184 : 100
Cociente: Cociente: _J Cociente: } Cociente: :J
Resto: J Resto: ___=1 Resto: Resto: �
15. Coloca la cifra que corresponda para que las siguientes divisiones sean exactas.
a.ru:7 b.GTIIJ:9 C. �:11 d.@ill:12
16. Resolve mentalmente las siguientes operaciones aplicando la propiedad distributiva.
0. 29.4 = b. 520:5 = C. 8.102 = d. 3 060:30 =
• 10 • [MATEMATICA II]
\
res to
cociente
propiedad distributiua
17. Un camion trasporta 198 cajas con 15 paquetes cada una y cada paquete pesa 7 kg.
Plantea y resolve.
a. LCuantos paquetes trasporta el camion? b. LCuanto pesa la carga?
18. En un supermercado, reciben 237 botellas vacias y las colocan en cajones para
12 botellas.
Plantea y resolve.
a. LCuantos cajones se llenan? b. LCuantas faltan para llenar otro cajon?
19. Marca con una X el o Los calculos que permiten conocer la cantidad total de cuadrados
rojos.
[4.13-2.8 _ �13-2.50
20. Resolve Los siguientes calculos.
0. 8 + 10: 2 + 7 = C� 9. 4 + 5-15: 3 =
b. 20 : 5 + 8 - 3. 2 = d. (20 + 8: 4). 5 =
e. 36:(12-5.2)=
f. 60 -4. ( 9 + 2. 3) =
(CAPITULO 01] • 11 •
Po ob���e: productos t . ra'i-z po enc1a o
Potenciaci6n y radicaci6n
21. Expresa Los siguientes productos como una potencia.
a. 6.6.6 = C. 15 .15 =
b. 3 . 3 . 3 . 3 . 3 = d. 7. 7. 7. 7 =
22. Calcula las siguientes potencias.
a. 172 = c. 34 = e. 73 =
b. 83 = d. 23° = f. 54 =
23. Calcula las siguientes raices.
a. [49 = C. ifii = e. �144 =
b. /i21 = d. V216 = f. ef81 =
e. 2.2.2.2.2.2 =
f. 13. 13. 13 =
g. 2
5 =
h. 10 6 =
g. '{/256 =
h. V64 =
24. Escribi entre que numeros naturales consecutivos se encuentra cada raiz.
0
- C< v'4s <O
b.O< m <O
c. �< .J200 <O
d.C< rss <O
25. Escribi el numero que corresponda.
a. )[...___
) = 13 C. 0)64 = 2
b. [� _ __.) 3 = 512 d. 30 = 243
26. Coloca V (verdadero) o F (falso) segun corresponda.
a. 53 .5 = 54 D
b. /9 +-tis= /36 D
• 12 • [MATEMATICA II]
c. 43 =3 2 D
d. 14. Jw = l64 D
e. O< V42 <O
f. O< V300 <O
f. ..__[ _ ___.J) 2 = 361
e. (23)2 = 25 D
r. /9+/9 =2/9 D
r
,,.
c6Lculos combinados
27. Resolve los siguientes calculos combinados.
a. 6 . 2 2 - ../ 4 . 25 + 7 . 3 =
b. (24:3-5)3 +../S0-7 ° =
c. ..J 9 . 4 - 11 + 4 2 : ( 7 . 2 - 6) =
[CAPITULO 01] • 13
I
I
I
lenguaje coloquial .
b , L. Sim O ICO
Lenguaje coloquial y simb6lico
28. Expresa en lenguaje simbolico y resolve.
o. La diferencia entre trece y nueve.
b. El producto entre ocho y dace.
c. El cociente entre sesenta y cuatro.
29. Expresa en lenguaje coloquial.
o. 3 . ( 16 - 1) �
b. 4.8+1 �
c. (9+1)2 �
d. 20:5-1 �
e. (14+1):3 �
30. Marca con una X la opci6n correcta.
o. El doble del anterior de un numero.
I 2x - 1 :J ' 2 ( x -1 ) [ )
b. El siguiente del doble de un numero.
[ 2x + 1 [ ) 'i(x + 1 ):0
31. Halla la minima expresion.
o. 2x + x + 5x =
b. 8X + 3 - X + 1 =
• 14 • [MATEMATICA II]
d. El doble del siguiente de quince.
e. La mitad del anterior a diecinueve.
f. El siguiente del cuadrado de siete.
c. La tercera parte del siguiente de un
numero.
�):3 ( 1 : x:3+1 l 1
d. El anterior de la mitad de un numero.
G2-1r) ,(x-1):20
C. 9 + 7X - 4 - 3X =
d. 6 ( X + 1 ) + X - 2 =
,.
\.
\.
L,
L
l�
L...,
L,
L,;
L,
L;
G
ecuac1ones perimetro uolor x
Ecuaciones
32. Halla mentalmente el valor de x en cada ecuacion.
0. X + 8 = 13 � x = ( C. x:2+1 = 6 � x = [
b. 3x-2 = 10 � x = [ d. 15-x = 9 � x = (
33. Resolve las siguientes ecuaciones.
a. 4x + 3 = 15 d. 6x -2x = 21 -13
b. sx = 2x+18
c. 3x-7 = x+ 3
e. 3(x-2) = 18
f. 4(x + 1) + 3x = 25
g. x
2 + 5 = 30
h. ,/x+3 = 7
i. 2x 3 - 30 = 24
34. Tradud al lenguaje simbolico y halla el numero que cumple con cada condicion.
a. Su triple es igual a la mitad de b. El doble de su siguiente es treinta y
cuarenta y dos. cuatro.
35. Calcula el perimetro de cada figura.
a.
3x-3cm
�o
b.
u
..,:t-
+
X
4x-3cm
,, ... •' '-��--- -�· . -··"
' . .
'.- .,,· � .
2x+ 9cm
[CAPITULO 01] • 15
'
i
,�
I:
• - "·
Reuisi6n final
36. Ordena de menor a mayor Los
siguientes numeros.
��ei-nte mil�
i0,45 mil millones 1
�o ooo + 90 ooo ooo J
[ 7 .107 + 8 .106 + 5 . 105 J
'360-000-�oo]
37. lndica el valor de R, S y T en la recta.
0,75 mil 2 000
R s T
38. Sabiendo que 24. 30 = 720, calcula:
a. 12 . 30
b. 24. 60
c.12.15
d. 24. 3
39. Completa Los casilleros vacios.
a. (s + ) .
b. 6.( ]-L
I= 56 + 63 = ]
) = 54-LJ= 12
40. Plantea y resolve.
a. Hernan compra 8 gaseosas, paga
con un billete de$ 500 y recibe
$ 52 de vuelto. ;_Cuanto cuesta
cada gaseosa?
b. Comprar 7 pilas grandes de $ 36
cada una cuesta lo mismo que
comprar 9 pilas chicas. tCuanto
cuesta cada pila chica?
41. Calcula mentalmente el resto de cada
division.
a. 385: 2 b. 5 694: 10 c. 12 637: 100
42. Completa Los casilleros vacios.
a. 0 3 = 343 c. )D= 11
43. Resolve Los siguientes calculos.
a. 12 : ( 3 . 5 -11 ) + J 62 + 7 . 4 -2 3 =
b. v'112 -40+5°+(4.5-17)2=
44. Traduci al lenguaje simbolico y resolve.
a. La diferencia entre el doble de trece
y la tercera parte de cincuenta y uno.
b. Eltriple de la cuarta parte de la
suma entre catorce y cincuenta.
45. Expresa en lenguaje simbolico.
a. La mitad del anterior de un numero.
b. El siguiente del triple de un numero.
46. Resolve las siguientes ecuaciones.
o. 5x + 4 = 2x + 25
b. 3x-5+x=19
C. 2 (X+5)=32
d. 7X + 3 = 2 ( X + 7) + 9
e. ( 2x + 3 )2 = 81
f. 3 y' X - 4 = 12
47. Plantea la ecuacion y resolve.
a. El triple del siguiente de un numero
es 102. lcual es el numero?
b. La suma de dos numeros
consecutivos es 113. iCuales son
los numeros?
c. Axel y Ezequiel tienen $ 84. Si Axel
tiene $ 12 mas que Ezequiel, tcuanto
dinero tiene cada uno?
d. El doble de la edad que Fernanda
tendra dentro de tres anos es 60.
;.Que edad tiene Fernanda?
r
r
r
r
Capitulo
02 NUmeros enteros
T Secuencio de contenidos
El conjunto de los numeros
enteros.
Representacion en la recta
numerica.
Orden de los numeros enteros.
Enteros consecutivos y opuestos.
Modulo de un entero.
Adicion y sustraccion.
Supresion de parentesis.
Multiplicacion y division.
Potenciacion. Propiedades.
Radicacion. Propiedades.
Calculos combinados.
'!///,�
2
/<.t fot.>�(c Al
1,-.,TEGR�tJtc t)E'
LA. "is�NDA. De loS
H/�.itMArico..t"
<f11E lo A.S.A.l fc?
El conjunto de los numeros enteros
-- --- ---------------------------------· -...... -------------------- ---------------------------------- ------- - - ---------- --- - --------------- ---
Los numeros naturales (N) se utilizan para contar y designar cantidades.
N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ..... }
Pero por ejemplo, para designar subsuelos de un edifico o deudas, no son suficientes y es
necesario agregar los numeros negativos.
Los numeros naturales, el cero y los numeros negatives forman el conjunto de los numeros
enteros (Z).
Z = { ... - 5, - 4, - 3, - 2, - 1, 0, l, 2, 3, 4, 5 ... }
El cero (0) no es negativo ni positivo, como tampoco es par o impar, es el numero que
establece una referencia entre los positivos y los negativos.
Para distinguir, por ejemplo, temperaturas de S°C sabre o bajo cero, se utlliza S
°C y - 8°C,
respect1vamente.
-- - - ----.. ------· ------------------------ --------------.. -------.. -- ----------------..... - ---.. --------- ----------------- ----------- -------------
[CAPITULO 02] • 17 •
0 .( : 0 r t L
enteros
u ctaue: no uro es
1. Escribi un numero entero que represente cada situacion.
cero
a. Un alpinista esta a doscientos cincuenta metros de altura. � [ _____}
b. Se hace un retire de quinientos pesos de una cuenta bancaria. � [ )�---
c. Un hecho ocurri6 noventa y cinco anos antes de Cristo. � [,...__ __ ._J]
d. Un ascensor esta en el cuarto subsuelo. � ( )�---,--'
e. Un buzo se encuentra a cuarenta y tres metros de profundidad. � [ J----
f. Un avian esta a siete mil metros de altura. � [.._ __ ._..J}
g. Se realiza un dep6sito de dos mil pesos en una cuenta bancaria. � ( ]�---,,--'
h. Un freezer tiene una temperatura de quince grados bajo cero. � (.._ __ ___,
)
2. Un submarine esta a ochenta metros de profundidad.
Pensa y responde.
a. lcuantos metros debe bajar para llegar a los cien de profundidad?
b. ly cuantos debe subir desde ahi para estar a cuarenta de profundidad?
3. Un ascensor esta en el cuarto piso.
Pensa y responde.
a. lcuantos pisos debe bajar para llegar al tercer subsuelo?
b. ly cuantos debe subir desde ese subsuelo hasta el novene piso?
4. Ezequiel tiene $ 500 en su cuenta bancaria el 07/09.
Completa la tabla con Los movimientos de su cuenta.
Fecha Operacion Saldo
a. 08/09 Extracci6n de $ 700
b. 09/09 Dep6sito de $ 600
c. 10/09 - $100
d. 11 /09 $ 300
• 18 • [MATEMATICA II]
. )
r
,
\...
ser1e positiuos negotiuos
5. Escribi los terminos que faltan en cada serie.
6. La amplitud termica es la cantidad de grados que varia la temperatura en un dia.
Completa la tabla con la amplitud termica de cada dia de la semana en una ciudad.
a.
b.
C.
d.
e.
f.
g.
Dia de la semana
Lunes
Martes
Miercoles
Ju eves
Viernes
Sabado
Domingo
Pensa y responde.
Temperatura minima Temperatura maxima Amplitud termica
1 °c 8° C
- 1°c 6oc
- 3°c 7°c
2°c 11°c
- 60( 0° C
- 8° C _ ,oc
- 5°c 3°c
h. Si la amplitud termica es de 8° C y la temperatura minima de - 3° C, iCUal es la
temperatura maxima?
i. Si la amplitud termica es de 6°C y la temperatura maxima de 4° C, iCual es la
temperatura minima?
7. Los paquetes de galletitas de una misma marca tienen un peso promedio de 300 g.
En la tabla, se muestra cuantos gramos mas o menos tiene cada paquete respecto del
peso promedio.
Sabor Chocolate Limon Vainilla Coco Naranja Salva do Avena
Peso + 50 0 - 20 + 30 - 50 -40 + 10
Observa la tabla y responde.
a. iCuanto pesa un paquete de galletitas de vainilla?
b. i_Y cuanto un paquete de galletitas de avena?
c. i_Y un paquete de galletitas de lim6n?
d. i_Oue paquete pesa 250 g?
e. i_Cual pesa 330 g?
f. i_Y cual 260 g?
g. i_Cual es la diferencia de peso entre el paquete de galletitas de naranja y el de
chocolate?
[CAPITULO 02] • 19 •
�
�
I
I
I
'
claue:
or den enteros
recto numerico
Reeta numerica y orden de los enteros
Para ubicar numeros enteros en la recta numerica. se toma el cero coma referencia.
Los numeros positivos se colocan a la derecha y los negativos a la izquierda siempre
a la misma distancia uno de otro.
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 2
• El orden de los numeros enteros depende de su ubicaci6n
en la recta numerica. Cualquier numero ubicado a la
derecha es mayor que cualquiera ubicado a la izquierda.
-6<-5<-4<-3<-2<-1<0<1<2<3<4<5<6
• Cualquier numero positivo es mayor que cualquier
negativo y cualquier negativo es menor que cualquier
positivo. El O es mayor que cualquier negativo y menor
que cualquier positivo.
3 4 5
• Cuando se
representa
una recta de
manera vertical.
los numeros
positivos se
colocan arriba
del O; y los
negativos.
debajo.
8. Escribi Los numeros que corresponden a Los puntos rojos en cada recta.
-3 2
a.
b.
0
9. Ubica Los numeros - 180, - 50, - 230, - 70 y - 110 en la recta.
-100
10. CoLoca > o < segun corresponda.
m r a p 0 s b
6
e
0
a. s b C. 0 r e. e b g. a
b. p a d. r m f. m 0 h. p
• 20 • [MATEMATICA II]
3
2
1
0
-1
-2
-3
10
s
r
,-
\..
\. -
I,....,
m6dulo op
consecutiuos
estos
alor absolu o
Modulo. Enteros opuestos y consecutivos
----------- - ----------. ---·--.. -.. ----------------------- ' -------..... ------... ---------------------------------- ---------............... -----------------
• El modulo o valor absoluto de un numero entero es su distancia al O en la recta numerica.
Es siempre positivo, y el modulo de un numero x se simboliza Ix 1-
-7 0 9
l-7/=7 /9/=9
• Dos numeros enteros son opuestos cuando, en la recta numerica, estan a la rnisma distancia
del O y tienen distinto signo. Es decir, tienen el mismo modulo, pero clistinto signo.
-8 0 8
I - 8 I = I 8 I � - 8 y 8 son opuestos.
• Un numero es el siguiente de otro cuando esta inmediatamente a su derecha en la recta
numerica; y es el antenor cuando esta inmediatamente a su izquierda.
-7 -6 -5 0
• Un numero y su siguiente o un numero y su anterior se denominan consecutivos.
3 y - 4 0 y 1 o 8 y - 9 son numeros consecutivos.
---- ---------------------- - -----.. ---............. -----.. - ----------------------....... -.. -.... ------------------------..... ---------------......... -.. ----.. ------
11. Escribi el numero que corresponda.
a. El opuesto de 7:
b. El opuesto de - 9:
12. Coloca > o < segfm corresponda.
a. sO l-91 b. I-SI O -5
c. El siguiente de - 11:
d. El anterior a - 4:
c. oO l-31 d. I - 7 I D I - 6 I
13. Escribi todos Los numeros que cumplen con cada condicion.
a. Su modulo es menor que 4. c. Es negativo y su modulo es menor que 6.
b. Es mayor que - 2 y menor que 5. d. Su modulo es mayor que 7 y menor que 10.
[CAPITULO 02] • 21
I
I
I
I
I
•
rr1 o �or r: 16 d u lo
menor modulo
adici6n
Adici6n y sustracci6n
.. --------------------------------·-···-----·-----·---------------------------....................................................................................................................................
Para sumar y restar numeros enteros, hay que tener en cuenta los signos de cada numero.
• Si tienen distinto signo, al de mayor modulo, se le resta el de menor modulo. El resultado
lleva el signo del numero de mayor modulo.
+5 8= 3 +7 3=+4 3+10=+7 12 + 4 = 8
• Si ambos son negativos, se suman sus modulos, y el resultado es negativo.
1 6= 7 - 9 4 = 13 2 7 5 = 14
--------------------------------------- -----------------· - ----- -· --------------------·--·------------------ - ------------------------
14. Un, cada calculo con su resultado.
o. 2-4
d. -2-4
b. -2 + 4
e. 4-2
C. -4+2 f. -4-2
15. Resolve las siguientes operaciones.
o.3-8=[___j
b.-7+5= �
c.-9-1 =0
d.5-6= �
e.-2 +7=CJ
f.-4-6=�
2
6
-2
\
(-6
g.13-18=�
h. -11 +4=0
i. -19+25=0
16. Completa el signo y el numero para que se cumplan las igualdades.
o. s00=-3
b.-400=5
C. -2 00=-7
d.00+6=-2
e. 00-8=4
f. 00-3=-9
17. Resolve las siguientes operaciones.
0. I -6 I+ I -s 1 = b. 4 -1-9 I =
• 22 • [MATEMATICA II]
9.-2000=0
h.o00=-1s
i. -700=-10
C. l-31-1-71=
r
,..
l..,
L
G
L,
(_,
L..,
sustracci6n pro ie�ad cancelatiua
sumo al9ebra1ca
Sumas algebraicas
----- - - - -------- -----.. ------------------------ ----------------------.... ------------- - --------------- - - - --------------------... ---------------
Una suma algebraica es una sucesi6n de sumas y restas.
Para resolver una suma algebraica, a la suma de todos los positives, se le resta la suma de
todos los .
- +6-'>+2�6+2-( + )=8- =-1
En una suma algebraica, se puede aplicar la propiedad cancelativa para simplificar su
resoluci6n.
--------- .. ------------------------------ ------------ - -------.. ------.. ----------------------------- - --------------------------- -------------
18. Observa cada suma algebraica y, sin resolverla, escribi si el resultado es POSITIVO
o NEGATIVO.
a. - 2 -5 -7 -1 """7 [ __________] C. 6 -3 + 5 -6 """7 [�--------'
b. 1 + 9 + 8 -5 """7[ ,....--==============) d. -8 + 7 - 4 + 8 + 4 """7 [ _______ _____,
19. Resolve cada suma algebraica y aplica la propiedad cancelativa cuando sea posible.
a. -9 + 4-7 + 2 -3 = C. -11 + 7-10 + 27 =
b. 10-6 -15 + 8 + 6 =
20. Plantea el calculo y resolve.
a. Un buzo esta a 24 m de profundidad,
desciende 17 m mas, asciende 34 m
y vuelve a descender 28 m. lA que
profundidad se encuentra?
d. -18 + 20 -30 -20 + 13 =
b. Lautaro abre una cuenta corriente
y deposita $ 253, luego retira $ 472,
deposita $ 96 y retira $ 357. lCual es
su saldo actual?
[CAPITULO 02] • 23 •
Polob���e: suprimir parentesis s1gnos
Supresion de parentesis
Para suprimir un parentesis, se debe considerar el signo que esta adelante.
• Si el signo es un +, se suprime el parentesis, y el o los signos dentro del parentesis NO SE
CAMBIAN.
+ (+ 5) = + 5 +( 7)= 7 + ( + 3 8) = + 3 - 8 + (- 2 6) = 2 6
• Si el signo es un , se suprime el parentesis, y el o los signos dentro del parentesis SE
CAMBIAN por el signo contrario.
(+ 4) = 4 ( 1) = + 1
21. Suprimi Los parentesis y resolve.
a. + ( + 5) -( + 3)=
b. -( + 8 )-( -4) =
C. -(-2)+(-5)=
g. - 7 + ( -8 + 3) - 10 =
h. -( 5 + 4 - 3) + 6 - 9 =
- (+ 9 2) = 9 + 2 ( 5 + 7) = + 5- 7
d. + ( -9) -( -9) =
e. +(+1)+(-6)=
f. -(-7)-(-8)=
i. 12 - ( - 8 + 15 - 3 + 7) =
j. 6 + ( -11 + 5 -4) -( 8 -5) =
22. Completa Los casilleros y coloca parentesis cuando sea necesario.
a. 7 + [ ] = 2 d. -1 -[ ) = 3
b. -2 + [ 1 = -8 e. 6 +[ ] = -1
c. 4 -{ ) = 7 f. - 9-( ] = -20
23. Escribi Los numeros que faltan en cada suma algebraica.
0. -0 + 5 -3 + 9 = 4 C. -(2 - 9 + 4 -0) = 8
b.-s-(-7+0) = -3 d.-(-7+3)+1-0 = -2
• 24 • [MATEMATICA II]
r
r
r
l
l
l.
c..,
L
l
L,
l..,
w
L;
L,
Reuisi6n parcial. ..
24. El precio promedio de una pizza
es$ 120.
Escribi el numero entero que
represente cuanto mas o menos del
precio promedio cuesta una pizza en
diferentes pizzerias.
a. $ 118 d. $ 132
b. $ 125 e. $ 120
C. $ 107 f. $ 143
Escribi el precio de una pizza segun el
entero que lo representa.
g. +3 j. -11
h. -6 k. +19
i. + 15 L -28
25. Coloca v (verdadero) o F (fatso) segun
corresponda.
26. Un dia en la Antartida, la temperatura
era de - 7° C a las 16:00.
Pensa y responde.
a. lQue temperatura hab1a a las 13:00
si had a 5° C mas?
b. lQue temperatura a las 20:00 si hizo
4° C menos?
C. l(uantos grados mas hubo el dia
anterior si la temperatura fue de
-10(?
d. lcuantos grados menos hubo al
otro dia si la temperatura fue de
- 15° (?
27. Elegi una escala adecuada y
representa los siguientes numeros en
una recta numerica.
- 35 80 - 60 -20 45 -5
28. Coloca >, < o = segun corresponda.
a. -8 D -12 C.701-71
b. 1-91 D -s d. -4 D 1-41
a. El modulo de un numero es
mayor o igual a cero. 0
29. Resolve las siguientes operaciones.
b. Si dos numeros distintos tienen 0
igual modulo son opuestos.
c. Entre dos numeros siempre es 0mayor el de mayor modulo.
d. Si un numero es mayor que otro 0
SU modulo tambien es mayor.
e. El anterior de un numero tiene
mayor modulo que el numero. D
a. -9 + 13 =
b. 7-15 =
C. -4-8 =
d. -16 + 11 =
e. 8-19 =
f. -5-7=
g. -3 + 12-20 + 7 =
h. 5 -11 + 8 -5 + 3 =
i. -6 +(-8) =
j. -(-9)-5 =
k. -2+(-8+3)-( 6+4-3)=
L 11-( 6-2+9+7)-(-3-4)=
[ CAPITULO 02] • 25 •
d i U id i r multi licar
enteros
Multiplicaci6n y division
-----------------------------------·------------------··----------------------------------------------------------------------------------
Para multiplicar o dividir dos numeros enteros, se aplica una regla que establece el signo del
producto o cociente a partir de los signos de los factores.
• Silos signos de cada factor son distintos, el signo del producto o cociente es negativo.
6. (-4) = - 24 18: (- 3) = - 6 - 7. 5 = - 35 - 36: 9 = - 4
• Si los signos de cada factor son iguales, el signo del producto o cociente es positivo.
- 7 . ( - 8) = 56 - 5 . (- 11) = 55 -40 : (- 5) = 8 - 21 : (- 3) = 7
Para resolver mas de dos multiplicaciones y/o divisiones, se deb e respetar el orden de
resoluci6n de izquierda a derecha.
30: (- 5). 2 = - 6. 2 = -12 - 7. 6: (- 3) = -42: (- 3) = 14
--------------------------------------------·---------------------------------------------------------------------------------------------
30. Resolve Las siguientes operaciones.
a. 20:(-4) = O c. -56:7 = 0 e. -72:(-9) = CJ
b. -9.5=0 d. 7.(-3)=0 f. -6.(-8)=0
g. 21:(-3).5 = O i. 72:(-6):(-4)= O
h. -4.(-9):6 = O j. -5.(-6).(-5)= O
31. Completa los casilleros.
a. 4 . O = - 28 c. - 6 . O = 30
b. -60 : O = -12 d. 32 : O = -8
g.o. (4 -0)=-28+0=21
h. (-3 + 8). O = 0- 40 = O
32. Resolve Los siguientes calculos.
0. - 6 . ( 2 -7) = C. ( -5 + 13) . ( - 6) =
b. ( - 8 - 12) : 5 = d. - 72 : ( 4 - 10) =
• 26 • [MATEMATICA II]
e.0.5=-45
f. 0:(-7)=5
e. ( 3 - 11 ) . ( -4 + 6) =
f. (-14+5):(7-10)=
(
r
r
r
\.
I...-,
L
L
L,
L,
L,
L..,
L.,
L..,
operac1ones
parentesis
negatiuos
positiuos
33. Completa los casilleros y coloca parentesis cuando sea necesario.
a. -1. +2=7 e. -2. +1=9
b. 2. -5 = -13 f. 3. +10=-8
--
C. -20: I +2 = 6 g. - 7 + 2. =-15
d.l __ :(-4)-1=2 h. L :(-3)+2=0
34. Resolve los siguientes calculos combinados.
a. 60:(-9-6)-54:( 3-3.4)-8= d. ( 14-5.8).3-(-35+77):( 3-10)=
b. ( 24-7.8):8.( 5-12)-48:(-10-2)= e. ( 7.5+7):(-7)+28:(-14)-63:(-9)=
C. - 28: (-4). (-2)-(-42 + 70): (-4) + 25 = f. ( 17 -5. 4). 6: 2 + ( 5. 4 -6). (-5 + 7)-20 =
35. Escribi tres pares de numeros enteros a y b que cumplen con cada condici6n.
a. - 4 :5 a . b < O b. - 1 o < a . b :5 - 6 c. - 2 :5 a : b < O
[CAPITULO 02] • 27 •
l /' b r.r1
ctaue: base
Potenciaci6n de enteros
exponenle
potencia
La potenciaci6n es una forma abreviada de escribir un producto de factores iguales.
exponente
base� a_j, = _Q � potenc1a j
a.a .a .a.a.a .. a = an
n veces
Cuando la base es un numero negativo, se debe aplicar la regla de las signos.
(-2) =(-2) (-2) (-2)
3
=(-2).(-2) (-2)
+4
(-2)4 = (-2).(-2).(-2) .(-2) ( -2 )5 = ( -2) ( -2). ( -2). ( -2) ( -2)
+4 ; l
8
+lr
32
En conclusion:Si la base es negativa y el exponente es par, la potencia es positiva.
Si la base es negativa y el exponente es impar, la potencia es negativa.
Tener en cuentaque-22 =- 2.2 =-4 � r -21 1=(-2t J
36. Caloca P (positiva) o N (negativa) a cada potencia seg(m corresponda.
a. (-1)
8 D
b. -s
5 D
C. (-6)
9 0
d. -s 1 D
37. Calcula las siguientes potencias.
a. (-5)3 = d. -90 =
b. -10 2 = e. (-2)6 =
C. (-3)
4 = f. -1
8 =
e. (-9)
0 D
r. (-1)
2°
D
g.
h.
i.
g. -4
o D
h. -1
12 D
(-11)2 =
-63 =
(-1)13 =
38. Resolve Los siguientes calculos.
a. -24 +(-3)2 = b. (-7)
2 -(-4)3 = C. 8 - 5 2 + ( -1 )7 =
• 28 • [MATEMATICA II]
(-"'>
-
r
r
(
multiplicaci6n diuision
distributiua
Propiedades de la potenciaci6n
adici6n
sust.rocci6n
----------------------.. -.. ---.. ---.. ------------------------------------------------------------- ----- --- .... ----- -------------- -------- ------
r /' a la multiplicaci6n.
[ (a. b )" = a". b0 )
• La potenciaci6n es distributiva con respecto ,
l
l
l.,
L,
L.
l
L,
L.,
l...,
L..,
(_
� a la division . ( (a: b )" = a: : b 11 ]
• No es distributiva con respecto a la adici6n y a la sustracci6n.
(3+2tt3 +2·
5- =J 9 + 4
25 -I 13
• Producto de dos potencias de igual base.
• Cociente de dos potencias de igual base.
• Potencia de otra potencia. [(an)m=anm]
(5-3}\t: 5 -3 1
22 125 -9
4 I 16
- -------------.. --.. --- ---------- - -----------------------.. ------------------ .. - ------ --------... ----------------------------------------.. ------
39, Resolve aplicando La propiedad distribituva cuando sea posible.
a. (-2+5)2 =
b. (-2. 3)3 =
40. Resolve aplicando propiedades.
a. (-5)5 :(-5)3 =
b. ( -3 )2 . ( -3 )2 =
( 3 )5 8 ( 2 )10 f. ( - 6) . ( -6) : ( - 6) =
41. Reduci a La minima expresion.
a. a2 • a. a3 =
C. ( -12: 3 )2 =
d. (5- 7)2 =
c. ( -2) . ( -2 )3 . ( -2) =
d. ((-4)2 )
2
=
d. (d 2)4 , d 7 =
e. ( e 6 )5 : ( e 3 )9 =
f. (gs .g6:g9 )6 =
[CAPITULO 02] • 29
I
I
I
I
•
'
olobttd�
e
: base
ind ice
Radicaci6n de enteros
---------------------------------------------------------------------------------------------------·---------·----------------------------
La radicaci6n es una operaci6n en la que hay que
encontrar un numero (raiz) que, elevado al indice, sea
igual a la base.
indice � 1a = c = en = a
J, J,
base raiz
/49 = 7 porque 72 = 49 w;f. = 3 porque 34 = 81
V-64 = - 4 porque ( - 4)3 = -64 5J - 32 = - 2 porque ( - 2 )5 = -32
Las raices de indice par y base negativa NO tienen soluci6n en el conjunto de los numeros
enteros, ya que no existe ningun numero negativo que, elevado a un exponente par, de un
resultado positivo .
.J- 25 y '!./- 81 no tiene soluci6n.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------·--------------
42. Calcula las siguientes rakes.
a. V-216 = d. VITT= g. V-32 =
b . ../144 = e. V-512= h. y-1 =
C. 'V-243 = f. if16 = i. V-343 =
43. Escribi la base de cada raiz.
a.){ ] = 13 d. �[ ) = - 9 g. �[ ) = - 10 ���� ���� ����
b. �I I= s e. �l l = - 2 h. )I l = 14
c. �I I= - 4 r. �l J = 1 i. �[ J = 2
44. Escribi entre que numeros enteros consecutivos se encuentra cada raiz.
45. Calcula las siguientes rakes.
a. ../ ( 2 4 -8 . 5) . ( 1 -2) =
b. v- 5 . 15 + 4 7 . ( -3) =
C • ../12.8+25.4 =
d. 'v'-57:3 + 2.(8 .5 + 5.2) =
• 30 • [MATEMATICA II)
,--- propiedad distributiua
res ta
diuisi6n multiplicaci6n s u m 0
Propiedades de la radicaci6n
-------------------------------------------------------------------------------·-----·----------------------------------------------------
/' a la multiplicaci6n. [ efaJ5 == efa. eff5 ] • La radicaci6n es distributiva con respecto , � a la division. [ 'iaT5 == 'fa: eff5
• No es distributiva con respecto a la adici6n y a la sustracci6n.
Jg + 16 i= Jg+ /f6
fi5 t= 3+4
5 t= 7 ----
• Rafz de otra rafz. [ � == n 1efa_]
J100 - 64 # J100 - ./64
/36110-8
6:;62
--------- - - ---------------------- -------------------- -------------------------- ---------- - ------------ --------- ------------------------ ---
46. Coloca V (verdadero) o F (fatso} seg(m corresponda.
a. vx + rx = Vx D
b. 1v.1v =y D
C. ��frn = 61m D
d. rs+ 1s + 1s = 3 . 1s D
e. -rr.-rr =Vr D
f. Vb:Vb =O D
g. ffn =Vn D
h. IP. IP. IP= [3p D
47. Resolve aplicando las propiedades de La radicaci6n.
a. V1 000:(-s)= d. V-64:s =
b. /./625 = e. �144:9 =
C. �100.16 = f. 3J/64 =
48. Escribi el numero que corresponda en cada caso.
o. j2. J -�}=6 b.J� -]=3 c. )100 : J =5
'- 49. Factorea las bases, aplica propiedades y halla cada raiz.
\.-,
L
L
L
L,
L,
L
L,
o. �1 296 b. °V4096 = C. V20736 =
[CAPITULO 02] • 31 •
b
ccilculos combinados
• ro '1 -z· 0 0 ���e: potenc1a o
Calculos combinados
50. Resolve los siguientes calculos combinados.
d. (-24: 3-7° ). 2 + -/7. ffs +(12-24 )
3
= j. -144:(-2)
3
:(-3)
2 +(1 .23 -60)
3
+ V2401: V7 =
• 32 • [MATEMATICA II]
r-
r
l
l
l
( ...
Lr
L.,
G
L,
Reuisi6n parcial. ..
51. Resolve aplicando la propiedad distributiva.
a. -8 . ( -3 + 7) = �- ( -42 + 66): ( -6) =
b. ( 35-75):(-5)=
52.. Resolve las siguientes operaciones.
o. (-104 + 68): (-24 + 30) =
b. ( 74-85).(-4-9)=
53. Resolve los calculos combinados.
d. ( -6 + 10) . ( -7) =
c. ( -75 + 66) . ( -4 -8) =
d. ( 58-103):(-14+23)=
o. ( 24 -7. 8): 8. ( -7)-56: ( 1 -8) + 48: (-10 -2) =
b. -64: ( -4): ( -2 )-( -42 + 70): (-4 )-( 12 -4. 9). (-2) =
C. 60: (-9 -6 )-54: ( 3 -3. 4) + ( 32 -8. 9): (-5). (-1 + 7) =
d. ( 14 -5 . 8) . 3 -( -35 + 77): ( 3 -10) -72 : ( -3) : ( -2) =
54. Resolve las potencias y raices.
a. ( 13.5-4.17)5=
b. V-68. 7-11. 23 =
c. ( 9.5-141:3)6=
55.. Resolve aplicando propiedades.
o. 32• 33• 3: 34 =
56. Resolve Los calculos combinados.
d. V-37.8-18.12=
e. ( 17.6-26.4/=
f. V-781:11-29.5=
(. /3. [48 =
d. V 5oo: 3fi+ =
a.(-82 + 52 ): �53 + 22 • -,/102 + 3. 7 + ffi. fii =
b. �24.(-3)3-(-3)4+(-8°-82):J102+23.3 =
c. ( -2) 13 : ( - 2 )8 -72 - 48: ( -4 )2 . ( -19 + 7. 2) =
d. rs. m + (-82 - 23 ): � 43 + 23 • -J92 + 57 = 3 =
e. ( -5) 13: ( - 5 )1° -32 - 48: (-2 )3. (-17 + 62) =
f. /54. /6-(-72+(-9)2 ): �112-3. J132+3.26 =
g. 360:(-2)3 :(-3)2+( 5.33-6.23)4-V4 374:V6 =
Lr ............................................................................ ��
l...,
L,
[CAPITULO 02] • 33 •
Reuisi6n final
57. Plantea y resolve.
o. Un ascensor subi6 9 pisos y lleg6 al
piso 7. iDe cual parti6?
b. Despues de realizar un dep6sito de
$ 720, el saldo es$ 480. iCual era el
saldo anterior al dep6sito?
c. La amplitud termica en un dia fue
11° c y la temperatura minima, - 3° C.
lcual fue la temperatura maxima?
58. Halla y representa Los siguientes
numeros en un misma recta.
a. El anterior a - 9.
b. El opuesto de 7.
c. El siguiente de -13.
d. El opuesto de - 10.
e. De modulo 4.
f. Entre - 2 y 3.
59. Resolve las siguientes operaciones.
a. -8+ 13 =
b. 9-20 =
C. -7-2 =
d. -14+ 6 =
e. -8 + ( -5 + 1 ) =
f. -( -6 + 10 + 7) + 3 =
g. 12-8-(5+2-10)=
60. Coloca Los parentesis necesarios
para que se cumplan las siguientes
igualdades.
a. 107 - 7 + 10 1 = 89
b. 95 - 2 . 3 + 2 = 85
: 61. Resolve Los siguientes calculos.
a. (8-11).(-7)=
b. -12: (-5 + 3) =
C. - 5 . (-6 + 13) =
d. ( 13-28):(-1-4)=
e. -3.12:(-4) =
f. 30:(-2).5 =
62. Resolve las siguientes operaciones.
a. 20:(-4)-4+(-18:6-7):2=
b. 63:(-7-2)+28:(-10-4)=
c. 7 + ( 4 -9). ( 7 -5. 3) + 6 =
d. 5 . ( -6) : ( -4 -6 )-8 -42 : 6 =
63. Resolve Los siguientes calculos.
a. 22 -( 1 -3 )3 =
b. 7 . 3 + ( -3 )3 =
C. -28 -( 2 -6)3 =
d. -72 - .fffi =
e. 3J- 64 -9° =
f. ( - 5 )
2
- 3J- 125 =
64. Resolve las siguientes calculos
combinados.
a . ..ffi. . ./8 -(-7 2 + 92 ) =
b. J 112 - 3 . '113 2 + 3 . 2 6 =
c. ( - 6 )15: ( - 6 )12 - 72 =
d. 56:(-2)3 .(-18+82)=
e. (-17+22-2)2:9:5 =
f. V112+s 3 .2_33 _3,,:(33)3=
r
r
r ,
r
r •
L
l -
L
"\..
L,
L.
l.
L,
-L,
L
Copitulo
03 Ecuaciones e inecuaciones... Secuencia de contenidos
.I Lenguaje coloquial y
simb6lico.
.I Sucesi6n de numeros enteros .
.I Ecuaciones. Conjunto
soluci6n.
.I Aplicaci6n de la propiedad
d istri butiva.
.I Ecuaciones con potencias y
raices
.I Sistemas de ecuaciones .
.I Resoluci6n analitica .
.I lnecuaciones. Conjunto
soluci6n.
itx:>cTc:,1<, tJO f>uft>o �iett,·� ·'ii Sufreo
De iNSOHt-JiO //
f e�o M ,· t\MiGo .. · U Ht I) c .S (J IJ G,IV\,J
M�T't.M,;,irn ·,...,o f'teo6o C"C)1'JT�"'� O\JciAs?
i jv.rTA.MENTt ! .. /flf,.Meteo lA s ruc,..,ro,
�Jfocs l.AJ .SIJMO, l/\S �cSio I
HA GO Eel.IA C/01-Jc 5 Y ,\l
Fi1vA.l Mc t°Asc Dcsf:Yc�fo
�� lA NOC/.1( �cSol\J/E�f't)
f>�o(!,(. EHA.S /
Lenguaje coloquial y simb6Iico
------ -------------- ----------- - - ------------ - ------- -----------------------------------------------------.. -- ·-----------------,. .... --------
El lenguaje coloquial es el que utiliza palabras y el lenguaje simb6lico es el que utiliza
simbolos matematicos.
( Lenguaje coloquial Lenguaje simb6lico
La suma entre siete y menos nueve � 7 + (-9)
La d1ferencia entre menos tres y cinco � -3-5
El producto entre ocho y menos dos � 8. (- 2)
El cociente entre menos veinte y menos cuatro � -20: (-4)
El triple de menos seis � 3 . (- 6)
La mitad de cincuenta y cuatro � 54: 2
El cuadrado de menos tres � (-3)
La raiz cubica de menos ocho � J-8
El anterior a menos diez � -10 - 1
El siguiente de menos dos � -2 + 1
El opuesto de menos cinco � - (-5)
El modulo de menos siete � -71
------.. ---------------------------------------... ----------------------------- ----------------------------- ------------ - - ---...... ----------- .....
[CAPITULO 03) • 35 •
Polobr r
c oue: Lenquoje
coloquial
simb6Lico
1. Expresa en lenguaje simbolico y resolve.
a. La diferencia entre seis y menos once. e. La suma entre nueve y menos catorce.
b. El producto entre menos dace y cinco. f .. La cuarta parte de menos treinta y dos.
c. El cubo de menos cuatro. g. El siguiente de menos treinta.
d. El cociente entre cincuenta y menos dos. h. El opuesto de menos diecisiete.
------------------------------------------------------------.-----.----------------------------------- .. ----.. --------------------------------
Hay expresiones que combinan varias operaciones.
( Lenguaje coloquial ]
El doble del siguiente de menos cuatro �
El s1guiente del doble de menos siete �
El tnple de la suma entre menos dos y cinco �.
La terce.ra parte de la dif erencia entre uno y diez �
El cuadrado del anter:im a menos dace �
El anterior de la raiz de cien �
Lenguaje simb6lico
2. (-4 + 1)
2. (- 7) + 1
3, (- 2 + 5)
(1 - 10): 3
( -12 - 1f
�100 - 1
-----------------------------------------------------------------------------------·-------------------------------------------·----------
2. Expresa en lenguaje coloquial.
a. 4.(-8-1) �
b. -12:2+1 �
C. (-6+1).3 �
d. (-2)
3 -1 �
3. Expresa en lenguaje simbolico y resolve.
a. El siguiente de la suma entre menos once y menos trece.
b. La mitad de la diferencia entre menos nueve y once.
c. El triple del cociente entre el anterior a menos quince y menos dos.
d. El cubo del siguiente de menos nueve.
• 36 • [MATEMATICA II]
r
r
r
(
(
r
l
l
L
L
L,
L
l-,
l-,
L;
I.....
l,_;
. ,
suces1on , formula general
4. Marca con una X el o Los pares de numeros que cumplan con cada condicion.
0. X + y = -3
6y-3 o 7 y-10 D -8y-5 D -1 y4 D -11 y 8 D
b. X. y < -10
S y-2 0 8y-3 D -4y-3 D -9y2 D 7 y-1 D
C. x:y>-2
10 y 5 D 8y-4 D -9y9 D 21 y-3 D -24y-8Q
S. Coloca V (verdadero) o F (fatso) segun corresponda.
a. x+ x + x = 3x 0 d. X. X = 2X 0 g. 2x+Sx=7x2 0
b. 7x-7x = x 0 e. 8x:x = 8 0 h. 4x. Sx = 20x 0
c. x:x=O D f� 10x:10 =x 0 i. x-2x =-x 0
j. Resolve correctamente Los que son falsos.
---------------------------------------.. --------------------------------------------------------------------------------------------------
Una sucesi6n es un conjunto ordenado de numeros con una regla de formaci6n, que es una
formula general para generar todos sus terminos.
n = 1 n = 2 n = 3
J, J, J,
5
n = 4
11 ... � 3n - 1
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
6. Escribi Los primeros cinco terminos de cada sucesion.
a. I 2n -:=_ 5
b. I 1- 4n
c.J-� 2 +2
(
(
(
]�[ l�l
J�( )�[
J�[ l�[
7. Halla la formula de cada una de las sucesiones.
a.[� CD � � �
b. CD GJ � 0 �
C. � B 0 GJ [TI
... �
... �
... �
J�[ l�[
)�[ l�[
)�[ J�[
(
[
[
[CAPITULO 03] • 37
I
I
I
I
I
I
I
I
I
•
. /
ecuoc1on conjunto soluci6n
Ecuaciones
------------------------·-··--------... ··----------------------------·--··---·----·--··-------------------------------------------·---... -----
Una ecuaci6n es una igualdad con, por lo menos, un valor desconocido (inc6gnita).
El conjunto soluci6n de una ecuaci6n es el o los valores de la inc6gnita que verifican la
igualdad.
• Las ecuaciones con soluci6n l'.mica son aquellas donde existe un numero entero que las verifica.
x + 2 = 7 --"7 x = 5 porque 5 + 2 = 7 ConJunto soluci6n: x = 5 o S = {5}
2(x - 3) = 12 --"7 x = 9 porque 2(9 - 3) = 12 Conjunto soluci6n: x = 9 o S = {9}
• Las ecuaciones que no tienen soluci6n son las que ningun numero entero verifica.
x = x - 1 --"7 ningun numero es igual a su anterior Con1unto soluci6n:
x2 = - 4 --"7 ningun numero entero elevado al cuadrado es negativo S = 0
• Existen ecuaciones que las verifica cualquier numero entero.
2(x + 1) = 2x + 2 --"7 cualquier numero verifica la ecuaci6n
x + x + x = 3x --"7 cualquier numero verifica la ecuaci6n
Con1unto soluci6n.
S=Z
----------------------------------------------------------·-------------------------------------------------------------------------------
8. Marca con una X el valor que verifica cada ecuaci6n.
9.
a. 5 (x - 3) = 2X + 3
b. X2 + X = 30
C. (x + 2) 2 = 9
d. (x+2){x-3) = 0
e. ../13 -X + X = 7
--"7
--"7
--"7
--"7
--"7
x=2 D x=-30
x=4 D x=S D
x=O D x=-1 o
x=1 D x=-30
x=-20 x=4 D
Uni cada ecuaci6n con su conjunto soluci6n.
a. 2x+ x = 3x
b. x-x = 1
c. x-x = O
d. X :X = 0
e. x:x=1
f. X. X = X2
10. Escribi una ecuaci6n que cumpla con cada condici6n.
a. Con soluci6n (mica. b. Que no tenga soluci6n.
• 38 • [MATEMATICA II]
x=6 D x=4 D
x=O D x=3 D
x=-30 x=-50
x=-20 x=2 D
x=-1 o x=O D
S= 0
S=Z
c. Que cualquier numero la
verifique.
r
,.
r
1.._.,
L
L,
L
L,
L.,
L.,
I....,
L.,
Le� uniforme
Resoluci6n de ecuaciones
cancelatiua
igualdad
- -- - - --.. -..... -.. ----------------------------------------------------.... ------ -------------- - - - ------ ....... --------------------------------- ------
Para resolver una ecuaci6n, se aplica la ley uniforme y la cancelativa.
2x = -8 3x = 21 -4x =-20
2x: 2 = - 8: 2 - 3x: (- 3) = 21 : (- 3) -4x: {- 4) = - 20: (- 4)
X=-4 X=-7 X=5
• Cuando una ecuaci6n no tiene soluci6n,
surge una contradicci6n.
x+1=x+5
x-x =5-1
0=4 � FALSO
S= 0
• Cuando una ecuaci6n se verifica para
cualquier valor, surge una igualdad.
X + X + X = 3x
3x -3x = 0
0 = 0 � VERDADERO
S=Z
11. Halla mentalmente el valor de x en cada ecuacion.
o. x+2 = -5 � x = [ d. -3x = 12 � x = (
b. 4-x=9 � x = ( l e. x:(-4) = 2 � x = ( l
c. x:2 = -3 � x = [ l f. -sx = 20
12. Halla el conjunto solucion de cada ecuacion.
a. 2x - 9 = -17 c. 4 -2x -19 + 7x = 5
b. Sx + 3 - x = 27 d. 6x + 7 - x = Sx + 3
� x = [ )
e. 4 -Sx -2x + 20 = x
f. - 6x + 3 + 4x = 3 - 2x
13. Plantea la ecuacion y decidi si existe uno, todos o ning(m numero que cumpla con
cada enunciado.
a. La diferencia con su anterior es cuatro. c. Su anterior es igual a su siguiente.
b. Su triple es igual a su siguiente
aumentado en cinco.
d. La suma de su anterior y su siguiente
es igual a su doble.
[ CAPITULO 03] • 39 •
doble
diferencia
� Po Lo b���e: opuesto
anterior
�
14. Halla el conjunto solucion de cada ecuacion.
a.1-2(x-2)=3(x-5) d. 7x-20=5(2x-3)-(3x-7)
b. 8(x -2) = 6x-3(1-Sx)
c. 3x -2 ( 4x -3) = 7 ( x + 6)
e. 4(3x-2 )=5(3x-7)-3(x-9)
f. 5 (x -4) = 2 ( X + 5) -3 ( 4 + X)
15. Plantea la ecuacion y halla el numero que cumpla con cada condicion.
a. La suma con el doble de su anterior es c. La suma entre su doble y el opuesto de
diecinueve. su anterior es quince.
b. La diferencia entre su quintuplo y el
triple de su siguiente es nueve.
16. Plantea la ecuacion y resolve.
d. La diferencia con el triple de su anterior
es diecisiete.
a. Si el doble de la edad que tendra Ezequiel dentro de cinco arias es treinta y cuatro,
lque edad tiene Ezequiel?
b. En un rectangulo, la base es 8 cm menor que el doble de la altura. Si el perimetro
es 26 cm, lcual es la longitud de cada lado?
• 40 • [MATEMATICA II]
r Reuisi6n parcial. ..
17. Plantea el calculo y resolve.
O. X = 5 I\ y = - 3 � 2 . ( X - y) =
b. X = - 7 I\ y = 2 � ( X + y) . ( X - y) =
C. X = -10 I\ y = -6 � �X2 -y2 =
18. Expresa en lenguaje simbolico y halla
la minima expresi6n.
a. La suma entre un numero y su
consecutivo.
b. La diferencia entre el qu1ntuplo y el
doble de un numero.
c. El doble del anterior de un numero.
d. El consecutivo del cuadruplo de un
numero.
e. La diferencia entre el triple y el
doble del anterior de un numero.
19. Expresa en lenguaje coloquial.
a. n + 1 = 20
b. 2n -1 = 7
C. 3( n + 1) = 21
d. n(n -1) = 35
20. Escribi Los primeros cinco terminos de
cada sucesi6n.
a. 3- 2n b. n 2 - n
21. Halla la formula de cada una de las
sucesiones.
22. Escribi 3 pares de numeros que
cumplan con cada condici6n.
0. X + y < 0
b. x-y = -3
c. -S<x.y<-2
d. X: y = -1
23. Halla el conjunto solucion de cada
ecuac1on.
a. -4x+x=-2+14
b. 3x + 7 = Sx - 9
c. -6x + 4x = 5 -2x
d. 8-lx-2 = x-3x-14
e. Sx + 4 -4x = 3 + x + 1
f. 6(x -4 )-9x = x + 8
g. X - 5 ( X + 8) = 2 ( X - 2)
h. -2-4(3x-5)= 6(3-2x)
24. Plantea la ecuaci6n y resolve.
a. [Cual es el nCtmero que sumado
al triple de su anterior es igual a
diecisiete?
b. La diferencia entre el doble de
un nCtmero y el qu1ntuplo de su
siguiente es dieciseis. [De que
numero se trata?
c. Si la suma de tres numeros
consecutivos es 84, f CUales son
esos numeros?
d. En u n triangu lo isosceles de 54 cm
de per1metro, cada lado igual es
3 cm mayor que el lado desigual.
f Cual es la longitud de cada lado
del triangulo?
[CAPITULO 031 • 41 •
inc6gnita ..
soluc1on
Ecuaciones con raices
Si la inc6gnita esta afectada por una raiz � ' ('ix)"= x )
Jx + 6 = 7
( Jx + 6 )2 = 72
X + 6 = 49
X =43
ffx = 6
( ffx/ = 62
2x = 36
X = 18
25. Halla mentalmente el valor de x en cada ecuacion.
Vx -4 = 2
<Vx -4 )3 = 23
x-4=8
X = 12
a. /ix=4 � x = J d. .fx-1 = 2 �x =
b. Vx-1 =-2 � x = e. 2.fx = 10 � X =
C. Vx+1 = 3 � x = I f. Vx-3=0 � x =
26. Halla el conjunto solucion de cada ecuacion.
a. 5 ../x + 7 = 20 C. (../3x + 1): 2 + 5 = 9 e. 10=3Vx+3+4
b. V3x+ 1 = -2 d. V 4x + 41 + 2 = s f. 9-2v'x+1=3
27. Aplica propiedades y halla el conjunto solucion.
a . ../3 . .fx = 6 b. 3fi. . V x + 3 = 2 C. )../x-5 = 3 d. Vx.x = 4
• 42 • [MATEMATICA II]
r
r
r
r
r
r
r
\_
\
potencia
calculo mental
propiedades
Ecuaciones con potencias
Si la inc6gnita esta afectada por una potencia �
x2 = 49 x3 = - 125
R= /49 if?= 3J- 125
lxl = 7 x=-5
x = ±7
71 x sin es impar
vY!1
/ -
� Ix I si n es impar
x4 = 81 x5 = 32
w = 1/Bf Vx5 = 3/32
lxl = 3 x = 2
x = ±3
28. Halla mentalmente el valor de x en cada ecuacion.
a. x2+3 = 28 � X = [ l d.
b. (x+2)3 = 27 � x= ( I e.
C. 2X2 = 200 � X = ( f.
29. Halla el conjunto solucion de cada ecuacion.
o. 3x2 -7 = 5 C. 4(x2-2) = 28
b. 5 + 2x3 = 21 d. (x5 + 50): 3 = 6
x5-32 = 0 � x = {
8+x3 = 0 � x = ( l
x2 :4 = 9 � x = { l
e. 2(3x2-5)-5 = 9
f. (30 + 3x3 ): 2 = 3
30. Aplica propiedades y halla el conjunto solucion.
O. X. X
2 = -216 b. X7 : X5 = 121 d. (x3 )4 : x7 = - 32
[CAPITULO 03] • 43 •
Polobt��
e
: uolores descoroci9os
Sistema I ncog n I tas
Ecuaciones con dos inc6gnitas
Una ecuaci6n con dos inc6gnitas tiene dos valores desconocidos y su conjunto soluci6n son
todos los pares de numeros que la verifican, que son infinitos.
X + y = 5 � S = { ( 2; 3) , ( 4; 1) , ( 5; 0), ( - 2; 7), ( 8; - 3 ), ... }
31. Escribi cinco pares de numeros enteros que verifiquen cada ecuacion.
a. x+y=1 �
b. x-y=3 �
c. 2x+y = O �
32. Escribi dos ecuaciones distintas que tengan por solucion cada uno de Los pares.
a. ( 5 ; 7) b. ( 4 ; 3)
Sistemas de ecuaciones
Un sistema son dos ecuaciones con dos inc6gnitas � {x + y =
3
5 x-y=
Resolverlo es encontrar el par de numeros que verifican ambas ecuaciones.
{X + y = 3
x-y=5
� S = {(1;2),(0;3),(-2;5),(4;-1),(-6;3), ... }
� S = {(6;1),(4;-1),(5;0),(2-3),(7; 2). ... }
(4 ;-1) verifica ambas ecuaciones � S = {( 4 ;-1)}
33. Marca con una X la solucion de cada sistema.
0. {X +3y = 2 5={(2;0)} 0 5 ={(5;-1)} J2x-y = 11
5 = {(6;1)} 0
b. {3x-4y = 10 5={(6;2)} D 5 = {(3;2)} D 5={(2;-1)} j-x+Sy = -7
34. Escribi un sistema que tenga la solucion pedida en cada caso.
a. 5 = { ( 2 ; 5)} b. 5 = { ( - 1 ; - 4)}
• 44 • lMATEMATICA II)
r
sustituci6n
analiticamente uariables
Resoluci6n analitica de un sistema
Uno de los metodos analiticos para resolver un sistema de ecuaciones es el de sustituci6n.
• Se despeja una de las variables de alguna de las ecuaciones.
{X + y = 9 � X = 9-yx-2y = 3
• Se reemplaza ese valor en la otra ecuaci6n y se obtiene el valor de una de las inc6gnitas.
X - 2y = 3 � 9 -y - 2y = 3 � 9 - 3y = 3 � - 3y = - 6 � y = 2
• Se reemplaza el valor obtenido de la inc6gnita en cualquiera de las ecuaciones y se
obtiene el valor de la otra inc6gnita.
X=9-y � X=9-2 � X=7 � S = {(7;2)}
35. Resolve analiticamente cada sistema.
Q. {X +y = 8
x-y=2
b. {2x+y = 5x-y=7
36 .. Plantea el sistema de ecuaciones y resolve.
c. {4x + y = Oy-X = 10
d. {3x-2y = 3y-4x = 1
o. La suma de dos numeros es doce y su c. Si el perimetro de un rectangulo es
diferencia es dos. tDe que numeros se 26 cm y la base supera a la altura en
trata? 3 cm, tcuanto mide cada lado?
b. Dos amigos tienen juntas$ 130, y uno
de ellos tiene $ 20 masque el otro.
tCuanto tiene cada uno?
d. Dos angulos complementarios difieren
en 18° . tCual es la amplitud de cada
angulo?
[CAPITULO 03] • 45 •
0 0 r.r1c: claue:
. . /
1necuoc1on desigualdad
Inecuaciones
Una inecuaci6n es una desigualdad en la que hay por lo menos un valor desconocido, y su
conjunto soluci6n son todos los valores que verifican la desigualdad.
X < 2 � S = {1;0;-1;-2;-3; ... }
X > -8 � S = {-7;-6;-5;-4;-3; ... }
X.'.S -3 � 8 = {-3;-4;-5;-6;-7; ... }
X 2: 5 � S = {5;6;7;8;9; .. }
37. Marca con una X la o las inecuaciones que corresponden a cada conjunto solucion.
a. S = { 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; ... } � x<3 D x� 3 D x> 2 D x�2 D
b. S = { -1 ; -2 ; - 3 ; -4 ; ... } � x>-sO x<-1 o x� -1 o x<O D
c. S={-6;-5;-4;-3;-2; ... } � x�-60 x>-70 x�-1 o x�-20
38. Escribi todos los numeros que cumplen con cada una de las siguientes condiciones. 1
O. 2 < X < 9 C. 1 < X � 6 L
b. -3 � X < 2 d. -5 � X � 0
Una inecuaci6n se resuelve igual que una ecuaci6n, salvo que se multipliquen o dividan ambos
miembros por un numero negativo; en ese caso, se invierte el sentido de la desigualdad.
-3x + 1 :S 10
-3x :S 10 - 1
-3x : ( -3) 2: 9: ( -3)
X 2: -3
( 2x -3) : ( -5} > -7
( 2x - 3) : ( - 5) . ( - 5) < -7 ( - 5)
2x < 35 + 3
X < 38·2
X < 19
39. Halla el conjunto solucion de las siguientes inecuaciones.
o.17-7x> 1-3x c. -6+4x<6(x+1)+8 e. 4-3(x-2)<3+2(x+6)
b. Sx + 3 - Bx � - 8. ( - 3)
• 46 • [MATEMATICA HJ
d. ( 2x -1 ) : ( -3) � 5 -3x f. 2x + 11 � ( 2x -4) : ( -2)
I_
I
I
l_
r
r
r(
Reuisi6n parcial. ..
40. Calcula mentalmente el conjunto
solucion.
a. x 3 + 5 = -3 ----? x = D
b. 2x2 = 32 ----? x = D
c. .J x + 15 = 6 ----? x = D
d. vx+3= 0----? x=D
e. (2x)2 = 144 ----? x = D
f. 4/x = 20 ----? x= D
41. Resolve aplicando propiedades.
a. ffx = 5
b. X
5
• X
7
: X
8 = 81
c. Vfi.. 3fx = - 6
d. (x4 )3 : X 10 = 169
42. Halla el conjunto solucion.
0. 3 + 2 J X + 1 = 9
b. 3 ( X + 4 )3 + 1 = 25
C. ( .J 2X -5 -15) : 2 = -6
d. 3 + 2 ( X 2 - 3) = 15
43. Escribi cinco pares de numeros que
verifiquen cada ecuacion.
a. x+y=-2
b. 2x-y = 10
44. Resolve analiticamente los sistemas.
o. {x+y = 33x + 2y = 1
b. {2x-y = 103x+y = 5
45. Halla el conjunto solucion.
o. 3(x-2)-1 > 5x+9
b. 4 - 5 ( X + 3) :S X + 1
C. 2 ( X - 7) + 8 < 5 - 3 ( X + 2)
46. Plantea y resolve.
o. lcual es el per1metro de un
cuadrado de 144 cm2 de superficie?
b. Si la ra1z cuadrada del anterior del
doble de un numero es 7, lde que
numero se trata?
c. La cuarta parte del cubo del
siguiente de un numero es 54.
lcual es el numero?
d. Si la suma de dos numeros es 20 y
uno es seis unidades menor que el
otro, iCuales son esos numeros?
e. La suma de las edades de dos
chicos es 29, y uno es 5 anos mayor
que el otro. iOue edad tiene cada
uno?
f. En una alcanda, hay 16 monedas
de $ 1 y de $ 5. Si hay en total $ 52,
iCuantas monedas de cada valor hay?
[CAPITULO 03] • 47 •
Reuisi6n final
47. Expresa en lenguaje simbolico y 52. Plantea la ecuacion y halla el numero
resolve. que cumple con cada condicion.
a. El triple de la suma entre nueve y el a. La suma entre su doble y el
opuesto de veinte. quintuplo de su opuesto es
b. El producto entre el anterior a trece cincuenta y uno.
y la mitad del opuesto de catorce. b. La diferencia entre su anterior y el
c. La diferencia entre los cuadrados de triple de su consecutivo es veinte.
siete y nueve. c. La cuarta parte del cubo de su
d. El cubo de la diferencia entre ocho anterior es dieciseis.
y trece. d. El triple de la raTz cuadrada de su
siguiente es nueve.
48. Expresa en lenguaje simbolico y reduci
a la minima expresion. 53. Plantea la ecuacion y resolve.
a. La suma de tres numeros a. Si la base y la altura de un
consecutivos. rectangulo de 30 cm de perimetro
b. El producto entre el anterior y el son numeros consecutivos, lcual es
doble de un numero. la superficie del rectangulo?
c. La diferencia entre el triple de un b. La suma entre la edad de Pablo y el
numero y su siguiente. triple de la que tenTa hace 5 af\os es
85. lQue edad tiene Pablo?
49. Escribi Los primeros cinco terminos de
cada sucesion. 54. Resolve analiticamente Los sistemas.
a. 3n -8
b. (n -2)2 a. fx + y = 5
l2x+3y = 4
50. Calcula mentalmente el conjunto
solucion. b. r-y = 10
O. ( X + 5) : 3 = 4 3x+y = 2
b. 3 ( X - 6) = 15
C. X
2-9 = 40 55. Halla el conjunto solucion.
d. '}j x + 3 = -1
a. 7 -3(x -4) 2:: 1 + 3x
51. Halla el conjunto solucion de cada b. 2(3x+7)-x < 7(x+6)
ecuacion.
a. 3x-7+5x=1+11x-14 56. Plantea y resolve.
b. 6x -13 -11x + 4 = 7 -Sx a. La diferencia entre dos numeros es
c. -4x-17-7x+30 = 6-11x+7 tres. Si el doble del mayor supera
d. 6 ( X -3) -5 ( X + 2) = 4X + 5 en dos al triple del menor, lcuales
e. 7x-5-4(3x-5) = 5(3-x) son los numeros?
f. 9x -2 ( 7 -3x) -6 = 1 o ( 2x + 3) b. El perimetro de un triangulo
g. (x2 - 1): 4 = 6 isosceles es 35 cm. Si la diferencia
h. 3�7x+8=24 entre cada lado igual y el desigual
i. 7=2+(x3+2):(-5) es 4 cm, lcuanto miden los lados
j. (Vx-20 -13): s = -2 del triangulo?
r
r
r
r
l
l
\...
-L
L
"\.
L.
Copitulo
04 Geometria I
T Secuencia de contenidos
.( Angulos c6ncavos y convexos.
.( Clasificaci6n de angulos .
.( Angulos complementarios
y suplementarios.
.( Angulos adyacentes
y opuestos por el vertice .
.( Angulos entre dos rectas
paralelas cortadas por
una transversal.
.( Triangulos. Propiedad
triangular .
.( Clasificaci6n de triangulos .
.( Propiedad pitag6rica .
.( Criterios de igualdad .
.( Puntos notables.
.( Construcci6n de triangulos.
'(!,(l.AVO fr'T(Goi?4S Ii iv Teotefrl
A.. Jc,l1,(>(: {t>S
1Ttt.i'A'>JGv<.os tr a�i(lA�rc !
i Th�tHA.. ?. .. �LIM, N<:> lo IIA8,'� l"t.vr�t>o
... €,.i ttf:A c./t...._1) e�Tl\�Pi �tf'A..rA,,,,t>o ,c.s
fLiH!)o;; PA�/\. /.(�re� <A �U"A. <f11c
H.c. t,-;JE ,:;A1<0"" e,.i fl cl,N('SQ ct O.A.iGI\Mi'.
Angulos concavos y convexos
------
---- ------------------ - - - --------------------- ------- ----- --.... ------------------ - ----------------------------------------------.. ---- ------
Un angulo es cada una de las regiones del plano determinada
por dos semirrectas con el origen en comun.
• Las semirrectas mi y rs son los lados del angulo,
y r es su vertice.
• Ouedan determinados un angulo convexo y uno c6ncavo.
• Los angulos convexos son los que miden menos de 180° .
• Los c6ncavos, los que miden mas de 180° .
m"rs (c6ncavo)
r
m
mrs
- --.. ---- --------- ---------------------- ----- --- .. ---- ----------------- ----------------------- - - ----- ... --------------------- - ----------------
[ CAPITULO 04] • 49 •
�
Po Lo btfaue: angulos �
conuexos
concauos
��
1. Marca cada angulo en la figura.
. "
./ Con roJo el sra.
,I Con verde el mar (c6ncavo).
"
./ Con azul el amp .
"
.I Con a'laranJaao el ipa .
./ Con violeta el rap (c6ncavo).
2. Marca y nombra en la poligonal.
a. Tres angulos convexos.
b. Tres angulos c6ncavos.
Clasificaci6n de angulos
0
m ___ ---,
b
t
----------------------·--------------------------------------------------------------------------·----------------------------------------
Los angulos se clasifican segun su amplitud.
• Angulos convexos.
nulo agudo recto
a m L
mam = 0° 0° < a < 90° 90°
obtuso
�
90° < y < 180°
• Angulos c6ncavos: miden mas de 180° y menos de 360°.
llano
r 0 p
I I I ),
rop = 180°
--------- - -- - -- - - - -- - --------.. --------------------- -- -- - - -- ------------------------ ------ -- - --- - - - ------- .. -.. ----------- - ------- - - ---------
3. Observa la figura y clasifica cada uno de Los angulos.
a. rog�
b. mop�
"
C. hoi�
"
d. par�
e.
"
sos�
• 50 • [MATEMATICA II)
r
r
r
(
(
(
I..
I..
l
L.
L
l
L
L,
L
\....;
L..
L.,
agudo
llano
recto obtuso
4. Observa la figura y nombra el angulo pedido. n e
a. Nulo:
b. Agudo:
c. Recto:
d. Obtuso:
e. Llano:
f. C6ncavo:
0
5. Completa con <, > o = seg(m corresponda.
a. a es uano y � recto� a D 2 � f. a es llano y � agudo � a: 2 D �
b. a es nano y � agudo � a D 2 � g. a es abtusa y � abtuso � a+ � O 1so0
C. a es obtuso y � llano� 2a O � h. a es nulo y � agudo� a+� 090°
d. a es agudo y � recto� a+� 0180° i. a es rectoy � nulo� a+� 090°
e. a es agudo y � agudo � a+ � D 1so0 j. a es recto y � recto � a+ � O 1ao0
6. Resolve y clasifica cada angulo.
/\
a. a = 87° 27' 48" + 92° 22' 12" C. 6 = 4. 19° 47' + 10° 52'
b. f3 = 132° 25' 17" - 47° 38' 53" /\ d. w = 107° 18' 30": 5 - 21° 27' 42"
[CAPITULO 04] • 51
I
< /1 J
• I
PolobtQ�
e
: amplitud suplementaric
complementario
Angulos complementarios y suplementarios
• Dos angulos son complementarios cuando • Dos angulos son suplementarios cuando la
la suma de sus amplitudes es 90° . suma de sus amplitudes es 180° .
I\
I\
a y � con complementarios.
I\
I\
6 y y son suplementanos
I\
I\
a es el complemento de � .
I\
I\
� es el complemento de a .
I\
I\
6 es el suplemento de y .
I\
I\
y es el suplemento de 6 .
7. Observa la figura y uni cada par de angulos con su propiedad.
I\ /\ a
a. chb y bho
/\
d. ock y ekm
COMPLEMENTARIOS
1
e
/\ I\
b. oef y fed
/\ /\ d
e. ack y hoe
/\ /\
SUPLEMENTARIOS c. dmfy omk f ___,
f.
/\ /\
ade y bdm
8. Calcula.
b
0
a. La tercera parte del complemento de b. El quintuplo del suplemento de
19° 37' 42". 107° 41' 18".
9. Plantea la ecuacion y halla la amplitud de cada angulo.
a. {� = 2x-15°
� = 3x-25°
• 52 • [MATEMATICA II]
b. {Y = 3x-20°
£ = x+10°
C
k
r
� consecutiuos
opuestos por el uertice
adyacentes
r
L
<..
l
L.,
L
L
L
L...
L.,
G
L.,
Angulos adyacentes y opuestos por el vertice
--------------------------- --------------------- ------------------ ---------- -- -------------------------------------- ----------------------
• Dos angulos sonconsecutivos
cuando tienen
un lado y el
vertice en
co mun.
• Dos angulos son adyacentes
cuando tienen un lado en comun
y los otros dos son semirrectas
opuestas.
Los angulos adyacentes son
suplementarios.
• Dos angulos son opuestos
por el vertice cuando
sus lados son semirrectas
opuestas.
Los angulos opuestos por el
vertice son iguales.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
10. Observa La figura y completa el cuadro.
Angulo Opuesto por el vertice Adyacente
A
omq
A
ymt
A
pmr
11. Calcula La amplitud de Los angulos desconocidos.
a.
� = 40° 23' 41"
b. {� = 46° 18' 21"
1l = 39° 16' 53"
12. Coloca V (verdadero) o F (falso) seg(m corresponda.
a. Dos angulos adyacentes pueden ser iguales.
C.
� = 21° 46' 28"
b, Dos angulos opuestos por el vertice pueden ser complementarios.
c. Dos angulos agudos pueden ser suplementarios.
d. Un angulo recto no tiene complemento.
e. El suplemento de un angulo obtuso es obtuso.
f. El complemento de un angulo agudo es agudo.
[CAPITULO 04] • 53 •
I
I
I
I
' l ',
Po Lo bt@�e: ecuac1ones 6ngulos
amplitud
13. Plantea la ecuacion y calcula la amplitud de cada angulo desconocido.
a.
b.
C.
{� = 3x
-2 °
� = Bx-5°
{� = 4x+1
5°
y = 2x+45°
I\
{E=Sx+2
°
y=4x+16 °
• 54 • [MATEMATICA II]
d.
e.
f.
{
� = 3x + 3°
a = 4x+2 °
I\ I\
y+ 6 = 61 °
{
� = 2X + 6°
a= 6x-13°
I\ lp = X + 14°
{
�=x+18°
a= sx-1°
I\
TT= 3X-2°
r
r
alternos . conjugados
correspond1entes
Anguios determinados por dos rectas cortadas por una transversal
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Dos rectas coplanares (A y B) cortadas por una transversal (C) determinan ocho angulos.
{
Intemos j � Y �
y y lfJ Altemos
Extemos j � Y �
�YE
{
Intemos j � Y Y"
. WYlfJConJugados
j
" "
Extemos � Y;
� y I\
Correspondientes
I\ I\ ayy
I\
I\
6yE
I\
I\
�yw
I\
I\
lfJ y I\
Extern as
Intern as
Extern as
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
14. Escribi el nombre de cada par de angulos.
I\ I\
a. Eyw �
I\ I\
b. Ay8 �
I\ I\
C. yyn �
I\ I\
d. f3yy �
I\ I\
e. nyw �
I\ I\
f. Ayo�
I\ I\
g. OyE �
I\ I\
i. f3 ya�
I\ I\
j. Syn�
I\ I\
k. f3y8�
I\ I\
L EYY�
'----.---,.--,.--,.--,.--,.--,.--,.--,.--,.-,-�
'----.---,.--,.--,.--,.--,.--,.--,.--,--,.__,.__,
[ CAPITULO 04] • 55 •
Po Lo btP � . para Le Las atternos iguates
toue. conjugodos suplementorios
,
Angulos entre rectas paralelas
----.----------·---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Si las rectas A y B son paralelas, entonces:
• los angulos correspondientes son iguales,
• los angulos alternos son iguales y
• los angulos conjugados son suplementarios.
---------------------------------------------· .. --------------------------------·-----------------------------------------------·----------
15. Calcula la amplitud de Los angulos desconocidos en cada figura.
a. a = 95° 37' 52"
R
A
b. TI= 74° 28' 15"
D A
B
C
M // R A // B // C
16. Plantea la ecuacion y halla la amplitud de Los angulos de cada figura.
Q.
b.
{
� = 5x + 17°
'3 = 2x + 68°
A//B
{
� = 3x-9°
E = 5x-3°
M//N
• 56 • [M�TEMATICA II]
C
A
c.
B
d.
R
{"
a= 2x+8°
A
E = 4x-62°
R//SAP//Q
s �
p
{
�=3x+10° C
E = 4X +37°
A//B
r
r
r
(
l
l.
(._
L
l
l
G
(._
G
L,
G
L,
l_;
Reuisi6n parcial. ..
17. Nombra y marca en la figura un par de
angulos:
a. opuestos par el vertice.
b. complementarios.
c. adyacentes.
d. suplementarios no adyacentes.
18. Calcula la amplitud de Los angulos
desconocidos.
n = 37° 28' 42"
19. Halla.
a. La cuarta parte del suplemento de
124° 29' 48".
b. El triple del complemento de
38° 26' 54".
20. Calcula la amplitud de a y �.
/\ A
o. a y � son complementarios.
/\ /\
a = x+16° y � = 2x-10°
/\ /\
b. a y � son adyacentes.
/\ /\ a = 3x -35° y � = 4x + 5°
c. a y � son opuestos por el vertice.
/\ /\
a = 2x + 35° y � = 6x -5°
21. Halla la amplitud de los angulos
desconocidos.
o. a = 51° 28' 47"
A// B
b. a = 62° 19· 41" s
E
R
C
a
E // R
22. Plantea la ecuacion y halla la amplitud
de los angulos de cada figura.
o.1 � = Bx + 23 °
� = 3x-8°
A //B
b.
{
T = 9x -29°
n = 5x+41°
M//R
c.
1
� = 10x-3°
w = 11x-6°
5//W//X
/\
d. i\. = 7x + 33 °
� = 12x-32°
D //E
F //K
C A
[ CAPITULO 04 J • 57 •
equilotero
escoleno is6sceles
Triangulos
Propiedad triangular
• Cada lado debe ser menor que la suma de los otros dos.
ab<ac+bc ac<�+bc bc<ac+ab
• A mayor lado, se opone mayor angulo; a menor lado, menor
angulo; y a igual lado, igual angulo.
- - I\ /\ I\ be > ac > ab � a > b > c
Clasificaci6n de triangulos
I Escaleno
Segun sus lados ] / Los tres lados distintos.
b
�
I
Isosceles . , c
Por lo menos, dos lados iguales. � I Eqmlatero Los tres lados iguales.
I Rectangulo l / Tiene un angulo recto.
Segun SUS angulos . . ' I
Acutangulo
� j Obhcua�gulo / Los tres angulos agudos. No t1ene angulos rectos. �
1
Obtusangulo
Un angulo obtuso.
23. a. Medi y escribi la longitud de cada segmento.
Coloca una P (posible) o I (imposible) a cada uno de los siguientes triangulos.
b.D
c
.v
d
·v··D
f
-v
D D D D D
24. Escribi las posibles longitudes del lado lie en cada triangulo.
a. b
C
a 15 cm
LJcm<bc<LJcm
• 58 • [MATEMATICA II]
b.
b
C
cm< be< cm
r '
r
(
\
L
l
l_
L,
L
l_.,
L,
L,
L,
L
L,
oblicuanguLo recto n g u Lo hipotenusa
obtusOngulo acutClngulo
25. Ordena las medidas de cada Lado o angulo seg(m corresponda.
a. b.
m
26. Nombra cada uno de Los siguientes triangulos.
a. Isosceles obtusangulo:
b. Equilatero:
c. Escaleno acutangulo:
d. Rectangulo:
e. Escaleno obtusangulo:
A
i d b g e
27. Responde y justifica la respuesta.
a. tPuede un triangulo ser rectangulo
isosceles?
b. ly puede ser obtusangulo equilatero?
Propiedad pitagorica
--------------------------------------------------------- - ------------- ------ - - ------------ - ---------------------------------------- ------
En un triangulo rectangulo, el lado opuesto al angulo recto
es la hipotenusa, y los otros dos lados son los catetos.
En todo triangulo rectangulo, se verifica la propiedad pitag6rica:
el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de
los cuadrados de las longitudes de los catetos. r
[os'=or'+rs'] �
S 0
0
+-I
(l)
+-I
<1:1
u
cateto
----------------------------------... - ------------- - -------- --------------------- -- --- ------------------------------------------------------
28. Calcula la longitud del segmento a6 en cada figura.
a. b.
C
b
a
a
d
C.
b a
C
[CAPiTULO 04) • 59
I
I
1-, \
• IJ I
)
Polob���e: tri6ngulos
Propiedades de los angulos de un triangulo
ongulos interiores
exteriores
--------------·---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• La suma de los angulos interiores es 180° y la de los exteriores es 360° .
[ bac + abc + acb = 180° 1 [ a + § + 6 = 360° l
• Cada angulo interior es suplementario con su exterior
correspondiente.
[ bac +a= 180° J [ abc + § = 180° J ( acb + 6 = 180° l
• Cada angulo exterior es igual a la suma de los dos interiores
no adyacentes con el.
[ & = abc + acb ] [ § = bac + acb ) [ g = bac + abc]
a
--------------------------------------------- - ... -----------------------------------------..... -----.. ---------------------- --- -------... ---------
29
/::,. A A • En el triangulo abc, a= 58° 42' 17" y b = 97° 36' 54" .
Calcula la amplitud del angulo C.
30. Plantea y resolve.
a. Uno de los angulos agudos de un
triangulorectangulo mide 73° 28' 46".
iCuanto mide el otro angulo agudo?
b. El angulo opuesto al lado desigual de
un triangulo isosceles mide 74° 49' 12".
lcuanto mide cada angulo igual?
c. Cada uno de los angulos iguales de un
triangulo isosceles mide 53° 24' 37".
lcuanto mide el angulo desigual?
• 60 • [MATEMATICA II]
d. Uno de los angulos exteriores de un
triangulo rectangulo mide 124° 39' 51".
l(uanto miden SUS angulos agudos?
e. El angulo exterior de uno de los angulos
iguales de un triangulo isosceles mide
108° 34' 19". iCuanto miden los angulos
interiores?
f. El angulo exterior del angulo opuesto al
lado desigual de un triangulo isosceles
mide 116° 45' 6". icuanto miden los
angulos interiores?
r
r
(
(
(
(
(
(
(
(
I..
L
(.
l
L
L
l
L,
L....
L,
L,
L.,
suplementarios od�ocentes
31. Plantea la ecuacion y halla la amplitud de los angulos interiores de cada triangulo.
a.
b.
C.
I\
{
a = 3x+5°
� = 2x+45°
c = 9x-10°
{�
=6x+10°
r = 10x -22°
{�
= 2x + 12°
y = X + 23°
d.
C
s<J
e.
f.
a
32. Calcula la amplitud de los angulos a, �, v y r.
{i = 4x + 12°
� = 2x + 30°
a=10x-2°
A
B
A// B // C
j� = x+102°
� = 2x-18°
I\
v= 2x
{
0=15x-73
°
a= Sx-3°
I\
b=3x+19°
{
a= Bx-6°
� = 6x-1°
6 = 7x-11°
�-
[CAPITULO 04] • 61 •
I
I
I
r: .,,
.I
Polob���e: mediotri!bisectri;s
Puntos notables de un triangulo
incentro
circuncentro
------.. -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• La mediatriz correspondiente al lado de
un triangulo es la recta que equidista de los
extremos del lado.
El punto de intersecci6n de las mediatrices es
el circuncentro del triangulo y es el centro
de la circunf erencia circunscripta en el.
M es la mediatriz de ac
N es la mediatriz de be
p es la mediatriz de an
o es el circuncentro
• La bisectriz correspondiente al angulo
interior de un triangulo es la semirrecta que
equidista de los lados del angulo.
El punto de intersecci6n de las bisectrices es
el incentro del triangulo y es el centro de la
circunf erencia inscripta en el.
am es la bisectriz de a
bp es la bisectriz de b
er es la bisectriz de c
o es el incentro
a
b
C
circunferencia
circunscripta
circunferencia
inscripta
33. Traza La circunferencia circunscripta en cada triangulo.
a. a b.
b
m
C
34. Traza la circunferencia inscripta en cada triangulo.
a f �
m
g
• 62 • [MATEMATICA II]
n
r
r
r
(
(
(
r
\
(
\.
l
L
L,
L
L,
L
L,
L,
l-,
oblicuangulo O Ltu ro
mediana
baricentro
ortocentro
--- ---------- .. -------------------------- - - - - - ------------- - -------- - --------- -------- --------- - -------------------.. --------.. ---------- ----
• La mediana correspondiente al lado de un
triangulo es el segmento que une el punto
medio del lado y el vertice opuesto.
• La altura correspondiente al lado de un
triangulo es el segmento perpendicular al
lado, o a su prolongaci6n, cuyo extrema es el
vertice opuesto.
El punto de intersecci6n de las medianas es
el baricentro y es el centro de gravedad del
triangulo.
El punto de intersecci6n de las alturas, o de
sus prolongaciones, es el ortocentro del
triangulo.
bs es la mediana de ac
ar es la med1ana de be
cm es la mediana de ab
o es el baricentro
a
C
b rd es la altura
correspondiente a pm
sp es la altura
correspondiente a rm
em es la altura
correspondiente a pr
o es el ortocentro
m
-------------- ------------ ------ -- ------------------ - --------.. ------ ----- - --- ------ - - - -- .. -----------.. - ---------- - -------------------- - ----
35. Traza el baricentro de cada triangulo.
a.
a
e
36. Traza el ortocentro de cada triangulo.
a.
b
f
d
s
b.
r
g
0
b.
C
h
[ CAPITULO 04] • 63 •
I
/
,�.
.... ,
,___, ./
__1-1
Polob���e: Lado elementos
angulo
com pas
Construcci6n de triangulos
---------------------------------------------------------------------·----------------... --------------------------------... ------------------
Un triangulo se puede construir a partir de tres de sus elementos.
• Dados los tres lados.
- Trazar el primer lado.
- Abrir el compas con la medida del segundo lado, pinchar en uno
de los extremos del primer lado y marcar un arco.
- Abrir el compas con la medida del tercer lado, pinchar en el otro
extrema del primer lado y trazar otro arco.
- Donde se cortan los dos areas, trazar los lados del triangulo.
• Dados dos de sus angulos y el lado comprendido.
- Trazar el lado comprendido.
- Trazar uno de los angulos en uno de los extremos del lado.
- Trazar el otro angulo en el otro de los extremos.
- Donde se cortan los lados de los angulos, queda determinado el
tercer vertice del triangulo.
• Dado dos de sus lados y el angulo comprendido.
- Trazar el angulo.
- Abrir el compas con la medida de uno de los lados, pinchar
en el vertice del angulo y trazar un arco que carte a uno
de los lados del angulo.
- Abrir el compas con la medida del otro lado, pinchar en el vertice
del angulo y trazar un arco que carte el otro lado del angulo.
- El segmento que une los extremos de ambos lados determina el
triangulo.
'
'
'
'
-------------.. ----- ------------------ ----------...... ------------... --------------------... - ------------------------------ --........ ------------ ------
37. Construi los siguientes triangulos.
a. Rectangulo cuyos catetos miden
6 cm y 4 cm.
• 64 • !MATEMATICA II]
b. Equilatero de 15 cm de per1metro.
r
r
r
r-
r
...
\.
\..
�
L
L
C-
(_,
L.,
L
G
L,
�
figura onOLisis
construcci6n
38. Construi Los siguientes triangulos.
39. Observa la figura de analisis y construi Los siguientes triangulos.
a.
h�o/\
�
7cm
b.p
'-0§ 70°
45°
C.
triangulos
I
I
I
I
I
[ CAPITULO 04 t • 65 • --
J
Po Lo bttdae: tri6ngulos criterios
Criterios de igualdad de tria.ngulos
igualdad
Dos triangulos son iguales cuando sus tres lados y sus tres angulos son iguales.
Existen tres criterios para determinar si dos triangulos son iguales sin necesidad de conocer
sus tres lados y sus tres angulos.
Criterio lado - angulo - Criterio angulo - lado -
lado (LAL) _angulo (ALA)
Si dos triangulos tienen dos Si dos triangulos tienen
lados iguales y el angulo un lado igual y las angulos
comprendido igual, son adyacentes a el iguales, son
iguales. iguales.
Criterio lado - lado - lado
(LLL)
Si dos triangulos tienen
las tres lados iguales, son
iguales.
40. lndica por cuaL de Los criterios son iguaLes Los siguiente pares de triangulos.
� � C
C d ____ e
il
a 4 cm b f
b 5 cm c
V
a
41. Coloca V (verdadero) o F (falso) seg(m corresponda.
Dos triangulos rectangulos son iguales si
a. tienen los catetos iguales. 0 c. tienen un angulo agudo y un cateto igual.O
b. tienen los angulos agudos iguales.O d. la hipotenusa y un cateto iguales. 0
42. Justifica que mtrn = nip en cada caso.
o. I A//B -
l mn = rp
• 66 • !MATEMATICA II]
b.
{mo=op
m
�
r
no= or o
n p
r
r
,
,
Reuisi6n parcial. ..
43.
44.
Marca con una X los trios de
segmentos con los que se puede
construir un triangulo.
a. 10 cm, 6 cm y 3 cm D
b. 8 cm, 2 cm y 8 cm D
c. 7 cm, 5 cm y 12 cm D
d. 4 cm, 6 cm y 8 cm D
Completa la tabla correspondiente
ti
a los angulos interiores del abc .
a.
b.
C.
" "
b C
47
°
25' 18" 32
°
47' 39"
62
°
18' 44" 27
°
41' 16"
38
°
17' 52" 103
°
24' 16"
Clasifica cada triangulo seg(m SUS
lados y angulos.
45. Calcula la longitud de los lados del
triangulo.
{
ab= x+4cm
bc = 3x-6cm
PerTmetro: 25 cm
46. Determina cual de los rectangulos
tiene mayor diagonal.
u
co
u
°'
11 cm
10 cm
47. Calcula los angulos interiores del
triangulo.
b
r
b = 3x-12°
� = 2x +34°
� = 107°
48. lndica si los pares de triangulos son
iguales.
a b.
..
49. Traza en cada triangulo:
a. la circunferencia
Continuar navegando
Materiales relacionados
208 pag.Activados Matemática 1 - Saúl Plutarco
Desafio PASSEI DIRETO
54 pag.
170 pag.matematicas secundaria
Cristian Furman
101 pag.
Preguntas relacionadas
Compartir