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MATEMÁTICA Equivalente a 7.º P12-3083-C00-preliminares.indd 1 10/31/12 4:47 PM MATEMÁTICA Equivalente a 7.º Directora editorial Graciela Valle Gerente editorial Daniel Arroyo Jefe del área de Matemática Gabriel H. Lagoa Editoras Yanina Sousa Belén Boscaroli Autores Roxana Abálsamo Adriana Berio Cintia Kotowski Lourdes Liberto Silvana Mastucci Gabriela Prandini Nora Quirós Susana Vázquez Foto Activados: Laura Pezzatti Corrector de estilo Gabriel Valeiras Coordinadora del área de Marcas y derechos Amorina Scalercio Gerente de Diseño y Producción Editorial Carlos Rodríguez Jefe del departamento de Arte y Diseño Lucas Frontera Schällibaum Coordinadora de Diseño Natalia Udrisard Diseñadora de maqueta Patricia Cabezas Diagramación Pablo Alarcón y Alberto Scotti para Cerúleo Ilustradores Wally Gómez Viñetas de humor: Claudio Kappel Fotografías Archivo de imágenes de Grupo Macmillan Latinstock Thinkstock Wikimedia commons Matemática 1. Fotoactivados: versión para el docente / Roxana Abálsamo ... [et. al.]. - 1a ed. - San Isidro: Puerto de Palos, 2012. 224 p.: il.; 28 x 20 cm - (Activados) ISBN 978-987-547-530-4 1. Matematica. 2. Guía Docente. I. Abálsamo, Roxana CDD 371.1 © Editorial Puerto de Palos S.A., 2012. Editorial Puerto de Palos S.A. forma parte del Grupo Macmillan. Av. Blanco Encalada 104, San Isidro, provincia de Buenos Aires, Argentina. Internet: www.puertodepalos.com.ar Queda hecho el depósito que dispone la Ley 11.723. Impreso en Argentina. Printed in Argentina. ISBN 978-987-547-530-4 La presente obra se ha elaborado teniendo en cuenta los aportes surgidos de los encuentros organizados por el “Instituto Nacional contra la Discriminación, la Xenofobia y el Racismo” (INADI) con los editores de texto. No se permite la reproducción parcial o total, el almacenamiento, el alquiler, la transmisión o la transformación de este libro, en cualquier forma o por cualquier medio, sea electrónico o mecánico, mediante fotocopias, digitalización y otros métodos, sin el permiso previo del editor. Su infracción está penada por las leyes 11.723 y 25.446. Primera edición. Esta obra se terminó de imprimir en noviembre de 2012 en los talleres de FP Compañía Impresora, Beruti 1560, Florida, provincia de Buenos Aires, Argentina. P12-3083-C00-preliminares.indd 2 12/11/12 13:37 MATEMÁTICA Equivalente a 7.º P12-3083-C00-preliminares.indd 3 10/31/12 4:47 PM matemática Es una nueva propuesta que facilita el aprendizaje de la matemática a través de 635 actividades que favorecen la comprensión de los distintos temas. En formato binarizado, la sección Foto Activados conecta la matemática con la vida cotidiana a través de la fotografía. Foco y Mira son los personajes de esta serie. Les gusta mucho sacar fotos, principalmente de todo aquello que los hace recordar algún tema de matemática. Así, le encuentran sentido a todas las cosas que aprenden día a día en la escuela. Apertura: cada capítulo comienza con una actividad ilustrada relacionada con la foto que aparece en la sección Foto Activados. En la situación inicial de aprendizaje se introduce el tema del capítulo a través de una estrategia de resolución de problemas. En el cuadro de contenidos aparecen los temas numerados para su fácil identificación. InfoActiva: brinda definiciones, clasificaciones, procedimientos básicos y ejemplos de cada contenido que facilitan la comprensión. Conector: invita a repasar conceptos explicados en páginas anteriores. Test de comprensión: incluye preguntas básicas que permiten evaluar la comprensión de la teoría y revisar errores comunes. Mira Foco LOS capítuLOS incLuyen LaS SiguienteS SecciOneS y pLaquetaS: P12-3083-C00-preliminares.indd 4 10/31/12 4:47 PM Actividades: para cada tema se proponen distintas actividades que están organizadas de manera secuencial (las actividades de cada capítulo llevan una numeración independiente a la de los otros). menteACTIVA: propone situaciones problemáticas con un mayor nivel de complejidad. Integración: incluye más actividades para resolver en la carpeta. Autoevaluación: propone más actividades para que cada alumno pueda evaluar los conocimientos adquiridos durante el capítulo. Trabajos prácticos: incluyen más actividades para practicar los temas del capítulo. Foto activados: en esta sección, Laura Pezzatti, especialista en el área de la matemática, ofrece una serie de actividades que conectan la matemática con la vida cotidiana a través de la fotografía. Foco y Mira presentan las fotos que obtuvieron para que podamos advertir cuánta matemática hay a nuestro alrededor. foto P12-3083-C00-preliminares.indd 5 10/31/12 4:47 PM Capítulo 1: NúMeros Naturales .............. 8 1. Sistema de numeración decimal. ......... 9 2. Multiplicación y división. Propiedad distributiva. ........................ 11 3. Potenciación y radicación. ................. 13 4. Operaciones combinadas. .................. 15 Integración .......................................... 19 5. Divisibilidad y factorización. .............. 21 6. Múltiplo común menor y divisor común mayor. ..................... 23 7. Lenguaje simbólico. Ecuaciones. ........ 25 Integración .......................................... 29 Autoevaluación ................................ 31 Capítulo 2: FraccioNes y expresioNes deciMales ......................... 32 8. Orden y representación. ..................... 33 9. Fracciones equivalentes. .................... 35 10. Operaciones con números racionales. .......................................... 37 11. Potenciación y radicación de fracciones. ..................................... 41 12. Operaciones combinadas con fracciones. ................................... 43 Integración .......................................... 47 13. Fracciones y expresiones decimales. .... 49 14. Operaciones con expresiones decimales. Porcentaje. ....................... 51 15. Operaciones combinadas. .................. 55 Integración .......................................... 57 Autoevaluación ................................ 59 Capítulo 3: FuNcioNes ............................. 60 16. Gráficos y tablas. ................................ 61 17. Funciones. ........................................... 65 18. Función de proporcionalidad directa. ... 67 19. Función de proporcionalidad inversa. ... 69 Integración .......................................... 71 Autoevaluación ................................ 73 Capítulo 4: cuerpos ................................. 74 20. Clasificación de los cuerpos. .............. 75 21. Poliedros regulares. ............................ 77 22. Desarrollo plano de cuerpos. ............. 79 23. Punto, recta y plano. ......................... 83 Integración .......................................... 85 Autoevaluación ................................ 87 Capítulo 5: ÁNgulos ................................ 88 24. Sistema sexagesimal. Operaciones. ...... 89 25. Ángulos complementarios y suplementarios. ............................... 91 26. Ángulos adyacentes y opuestos por el vértice. ..................................... 93 27. Mediatriz de un segmento y bisectriz de un ángulo. ................... 95 Integración .......................................... 97 Autoevaluación ................................ 99 Capítulo 6: Figuras plaNas .................. 100 28. Triángulos. Elementos y propiedades. ................................... 101 29. Construcción de triángulos. ............. 103 30. Cuadriláteros. Elementos y propiedades. .................................. 107 31. Construcción de cuadriláteros. ......... 109 Integración ......................................... 113 32. Círculo y circunferencia. Elementos y propiedades. ................................... 115 33. Construcción de circunferencias. ....... 117 34. Polígonos. ..........................................119 35. Construcción de polígonos regulares. ............................................ 121 Integración ........................................ 125 Autoevaluación .............................. 127 Índice general P12-3083-C00-preliminares.indd 6 10/31/12 4:47 PM Capítulo 7: períMetro, Área y voluMeN ................................................ 128 36. Perímetro y área de figuras planas. .................................. 129 37. Área lateral y total de prismas, pirámides y cilindros. ....................... 133 38. Unidades de capacidad y unidades de volumen. ...................... 137 39. Volumen del prisma, de la pirámide, del cilindro y del cono. .................... 139 Integración ........................................ 143 Autoevaluación .............................. 145 Capítulo 8: probabilidad y estadística ............................................ 146 40. Variables, población y muestra ........ 147 41. Recolección y organización de datos. Tablas. .............................. 149 42. Frecuencias absolutas y relativas. ....... 151 43. Gráficos. ............................................ 153 Integración ........................................ 157 44. Promedio, mediana y moda. ............ 159 45. Experimentos aleatorios. Probabilidad simple. ......................... 161 46. Cálculo combinatorio. ....................... 163 Integración ........................................ 165 Autoevaluación .............................. 167 Capítulo 9: NúMeros eNteros ............. 168 47. Números negativos. Orden y representación. ................... 169 48. Adición y sustracción. ....................... 171 49. Multiplicación y división. ................. 173 50. Operaciones combinadas. ................ 175 Integración ........................................ 177 Autoevaluación .............................. 179 Trabajos prácticos .................................... 180 Trabajo práctico 1 .............................. 181 Trabajo práctico 2 ............................ 183 Trabajo práctico 3 ............................ 185 Trabajo práctico 4 ............................ 187 Trabajo práctico 5 ............................ 189 Trabajo práctico 6 ............................. 191 Trabajo práctico 7 ............................ 193 Trabajo práctico 8 ............................ 195 Trabajo práctico 9 ............................ 197 Control de resultados ............................... 199 foto P12-3083-C00-preliminares.indd 7 10/31/12 4:47 PM 8 NÚMEROS NATURALES Contenidos 1. Sistema de numeración decimal. 2. Multiplicación y división. Propiedad distributiva. 3. Potenciación y radicación. 4. Operaciones combinadas. 5. Divisibilidad y factorización. 6. Múltiplo común menor y divisor común mayor. 7. Lenguaje simbólico. Ecuaciones. 1 Situación inicial de aprendizaje 1. Observen la imagen y resuelvan. a. Si todos van a ir al Circo Mágico, ¿cuánto dinero deberán pagar en total de entradas? Escriban un cálculo para encontrar el resultado. b. Si solo van a ir algunas personas, inventen situaciones que se respondan con cada uno de los siguientes cálculos. Luego, respóndanlas. • 2 . 13 + 2 . 30 = • 3 . 13 + 2 . 30 + 4 . 20 = capítulo c. Comparen las situaciones que inventaron con las de sus compañeros. P12-3083-C01.indd 8 10/31/12 4:53 PM 9 3 4 5 7 86 9 10 Sistema de numeración decimal Nuestro sistema de numeración es: • decimal, porque utiliza diez símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. • posicional, porque el valor de cada cifra depende de la posición que ocupa en el número. billón mil de millón millón mil 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ce nt en a ce nt en a ce nt en a ce nt en a de ce na de ce na de ce na de ce na un id ad un id ad un id ad un id ad un id ad Los números naturales se pueden descomponer de distintas formas. Por ejemplo: 35 042 = 30 000 + 5 000 + 40 + 2 35 042 = 3 . 10 000 + 5 . 1 000 + 4 . 10 + 2 . 1 35 042 = 3 . 104 + 5 . 103 + 4 . 101 + 2 . 100 Se lee: treinta y cinco mil cuarenta y dos. 20 040 010 000 = 20 000 000 000 + 40 000 000 + 10 000 20 040 010 000 = 2 . 10 000 000 000 + 4 . 10 000 000 + 1 . 10 000 20 040 010 000 = 2 . 1010 + 4 . 107 + 1 . 104 Se lee: veinte mil cuarenta millones diez mil. Todos los números se pueden escribir como una suma de productos en los cuales uno de los factores es una potencia de base 10. Las unidades de un número se pueden expresar como el producto entre este y una potencia de diez de exponente cero (tengan en cuenta que todo número elevado a la cero es igual a uno). 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿Cuál de las descomposiciones del número 3 085 es correcta? 3 . 102 + 8 . 101 + 5 . 100 3 . 103 + 0 . 102 + 8 . 101 + 5 . 100 b. En la descomposición del número 38 548 194, ¿el 5 se multiplica por 105 o por 106? c. ¿Es verdad que 1 000 000 000 es igual a 1 . 109? d. ¿Es cierto que 10 es uno de los símbolos del sistema de numeración decimal? 9 1 2 Nombre: Curso: Fecha: / / test de comprensión infoactiva P12-3083-C01.indd 9 10/31/12 4:53 PM 10 1. Unan con flechas cada número con su descomposición. a. 4 048 080 380 • 4 . 108 + 4 . 107 + 8 . 106 + 8 . 105 + 8 . 103 + 4 . 100 b. 4 480 080 840 • 4 . 108 + 8 . 107 + 3 . 105 + 8 . 104 + 8 . 103 + 8 . 102 c. 480 388 800 • 4 . 109 + 4 . 107 + 8 . 106 + 8 . 104 + 3 . 102 + 8 . 101 d. 448 808 004 • 4 . 109 + 4 . 108 + 8 . 107 + 8 . 104 + 8 . 102 + 4 . 101 2. Completen para que se verifique la igualdad. a. 6 . 107 + . 10 + 3 . 10 2 + 2 . 100 = 60 050 302 b. 1 . 109 + 1 . 106 + 5 . 105 + . 10 + 1 . 10 1 = 1 001 501 010 c. 9 . 1012 + 9 . 107 + . 10 + 9 . 10 3 = 9 000 090 019 000 d. 8 . 1014 + . 10 + 8 . 10 6 + 3 . 105 + 5 . 100 = 800 000 908 300 005 3. Escriban la descomposición en potencias de diez de los siguientes números. a. 4 040 404 = b. 78 615 615 = c. 142 208 056 = 4. Marquen con una X las expresiones que correspondan al número 360 306. a. Trescientos seis mil trescientos seis. b. 300 000 + 6 000 + 300 + 6 c. 3 . 107 + 6 . 105 + 3 . 103 + 6 . 101 d. Trescientos sesenta mil trescientos seis. e. Tres centenas de mil, seis decenas de mil, tres centenas y seis unidades. f. 3 . 106 + 6 . 105 + 3 . 103 + 6 . 101 g. 3 . 105 + 6 . 104 + 3 . 102 + 6 . 100 h. Trescientos millones sesenta mil trescientos seis. i. 300 000 + 60 000 + 300 + 6 5. Rodeen con color el número que cumple con las condiciones dadas. Es mayor que doscientos mil y menor que doscientos diez mil. El valor de dos de sus cifras equivale a 5 . 10 3 y 3 . 10 2 . La cifra de las unidades es el doble de tres. 205 356 215 356 206 536 205 303 1 Sistema de numeración decimalACTIVIDADES 10 P12-3083-C01.indd 10 10/31/12 4:53 PM 11 1 4 5 6 8 97 10 11 Multiplicación y división. Propiedad distributiva Nombre: Curso: Fecha: / / 11 2 3 Los números que intervienen en una multiplicación y en una división tienen nombres especiales. Multiplicación División a . b = c D d r c / D = d . c + r producto dividendo divisor factores resto cociente Propiedades de la multiplicación Asociativa: si se cambia el orden de los paréntesis, el resultado no cambia. (5 . 12) . 4 = 5 . (12 . 4) Conmutativa: el orden de los factores no cambia el resultado. 6 . 8 = 8 . 6 Disociativa: un factor se puede descomponer en otros factores. 7 . 24 = 7 . (2 . 12) Elemento neutro: el número 1 como factor no cambia el resultado. 15 . 1 = 1 . 15 = 15 Propiedad distributiva de la multiplicación 3 . (4 + 5) = 3 . 4 + 3 . 5 (9 – 3) . 2 = 9 . 2 – 3 . 2 Propiedad distributiva de la división (12 + 4) : 2 = 12 : 2 + 4 : 2 (15 – 9) : 3 = 15 : 3 – 9 : 3 En la división, solo se puede distribuir el divisor. 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. Si se multiplica un número por uno, ¿qué número se obtiene? b. ¿A qué es igual 532 . 70? ¿Cómo se puede resolver aplicando propiedades?c. Los cálculos (3 + 6) . 5 y 3 + 6 . 5, ¿dan el mismo resultado? d. ¿Cuál es el resultado de 0 : 5? ¿Y de 5 : 0? e. Los cálculos (15 + 20) : 5 y 5 : (15 + 20), ¿dan el mismo resultado? f. Para obtener el resultado de 120 : (10 + 2), ¿se puede aplicar la propiedad distributiva? infoactiva test de comprensión P12-3083-C01.indd 11 10/31/12 4:53 PM 6. Expresen las siguientes sumas como multiplicación, si es posible, y resuelvan. a. 3 + 3 + 3 + 3 = = d. 3 + 4 = = b. 2 + 2 + 2 = = e. 5 + 4 + 21 = = c. 4 + 4 = = f. 9 + 9 + 9 = = 7. Escriban V (Verdadero) o F (Falso), según corresponda. a. 1 . 3 = 1 c. 0 . 0 = 0 e. 0 : 10 = 0 b. 3 . 0 = 3 d. 10 : 10 = 0 f. 10 : 0 = 0 8. Resuelvan las siguientes divisiones. a. 45 : 3 = d. 108 : 12 = b. 78 : 6 = e. 248 : 8 = c. 140 : 10 = f. 1 260 : 20 = 9. Completen con = o ≠, según corresponda. Expliquen la respuesta. a. 3 + (2 + 4 + 1) d. (20 + 40) : 5 20 + 40 : 5 b. (20 + 40) . 5 e. 120 : (20 + 40) 120 : 20 + 120 : 40 c. (6 + 12) : 6 f. (165 – 90) : 15 165 : 15 – 90 : 15 10. Resuelvan de dos maneras diferentes, cuando sea posible. Sin aplicar la propiedad distributiva Aplicando la propiedad distributiva (96 + 60 + 12) : 6 7 . (20 – 6) 150 : (20 + 10) (25 – 13 + 18) . 4 (25 + 15) : 5 11 . (13 + 5) 2 Multiplicación y división. Propiedad distributivaACTIVIDADES 12 3 . 2 + 3 . 4 + 1 20 . 5 + 40 . 5 6 : 6 + 12 : 6 P12-3083-C01.indd 12 10/31/12 4:53 PM 5 6 7 Potenciación y radicación Nombre: Curso: Fecha: / / 13 2 3 4 98 11 1210 Potenciación La potenciación es una operación que permite escribir en forma abreviada una multiplicación de factores iguales. 4 2 = 4 . 4 = 16 “cuatro elevado al cuadrado” 4 3 = 4 . 4 . 4 = 64 “cuatro elevado al cubo” Propiedades de la potenciación Ejemplo • Para multiplicar dos potencias de igual base, se escribe la misma base y se suman los exponentes. 32 . 33 = 3 . 3 . 3 . 3 . 3 = 3 2+3 = 35 • Para dividir dos potencias de igual base, se escribe la misma base y se restan los exponentes. 25 : 22 = (2 . 2 . 2 . 2 . 2) : (2 . 2) = 25–2 = 23 • Para calcular la potencia de otra potencia, se escribe la misma base y se multiplican los exponentes. (52) 3 = (5 . 5) 3 = (5 . 5) . (5 . 5) . (5 . 5) = 52 . 3 = 56 • La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división. (4 . 3)2 = 42 . 32 (12 : 4)2 = 122 : 42 Radicación La radicación es la operación inversa a la potenciación. √ ___ 64 = 8, porque 82 = 64 3 √ ___ 27 = 3, porque 33 = 27 Se lee “la raíz cuadrada de 64 es 8”. Se lee “la raíz cúbica de 27 es 3”. Propiedades de la radicación Ejemplo • La radicación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división. √ ______ 9 . 16 = √ __ 9 . √ ____ 16 √ ________ 64 : 16 = √ ____ 64 : √ ___ 16 • Para multiplicar o dividir raíces de igual índice, se escribe una raíz con el mismo índice y con el radicando igual a la multiplicación o división de los radicandos dados, según corresponda. √ __ 8 . √ __ 2 = √ _____ 8 . 2 3 √ _____ 243 : 3 √ __ 9 = 3 √ ________ 243 : 9 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿Cuáles son los cuadrados de los primeros diez números? ¿Qué raíces pueden calcular conociéndolos? b. El procedimiento 30 . 3 . 32 = 33, ¿es correcto? c. Para resolver 4 √ ___ 16 , ¿se debe calcular 16 : 4? infoactiva test de comprensión P12-3083-C01.indd 13 10/31/12 4:53 PM 3 Potenciación y radicaciónACTIVIDADES 14 11. Escriban el desarrollo de cada potencia y resuelvan. a. 72 = e. 105 = b. 35 = f. 28 = c. 14 = g. 54 = d. 41 = h. 63 = 12. Escriban cómo se lee cada potencia. a. 25: b. 32: c. 23: 13. Escriban como potencia los siguientes productos y resuelvan. a. = 7 . 7 . 7 = b. = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = e. = 6 . 6 . 6 . 6 = c. = 3 . 3 = f. = 9 . 9 . 9 = 14. Completen con V (Verdadero) o F (Falso). a. (5 + 3)2 = 52 + 32 d. (8 : 4)2 = 82 : 42 b. (5 . 3)2 = 52 . 32 e. 23 = 32 c. (8 – 4)2 = 82 – 42 f. ( 2 7 ) 2 = 27 . 22 15. Completen con los números que faltan. a. √ __ 9 = , porque 2 = 9 f. 3 √ ___________ = 10, porque 10 = b. √ ___ 25 = , porque 2 = 25 g. √ ___________ = 8, porque 8 = c. 3 √ __ 8 = , porque 3 = 8 h. 4 √ ___________ = 2, porque 2 = d. 3 √ __ 1 = , porque 3 = 1 i. √ ___________ = 11, porque 11 = e. √ ____ 100 = , porque 2 = 100 j. 4 √ ___________ = 16. Resuelvan aplicando propiedades, cuando sea posible. a. 23 . 23 . 2 . 20 = f. √ __ 2 . √ ___ 18 = b. 1012 : 1010 . 10 = g. √ ___ 75 : √ __ 3 = c. 843 : 810 . 825 : 857 = h. 3 √ __ 5 . 3 √ ___ 25 = d. (32)2 . 32 = i. √ _________ 81 . 16 : 4 = e. (10 . 2 : 5)2 = j. 3 √ ____________ 64 . 27 . 125 = = 5 . 5 . 5 = d. = 5, porque 5 P12-3083-C01.indd 14 10/31/12 4:53 PM 6 7 8 109 12 1311 Operaciones combinadas Nombre: Curso: Fecha: / / 15 3 4 5 Para resolver una operación combinando todas las operaciones, se pueden seguir estos pasos. 1. Se separa en términos. 2 . √ ____ 36 + 12 : 2 + 52 . 3 – 615 . 68 : 621 = 2. Se resuelven las potencias y raíces 2 . 6 + 12 : 2 + 25 . 3 – 62 = (aplicando las propiedades cuando 2 . 6 + 12 : 2 + 25 . 3 – 36 = sea posible). 12 + 6 + 75 – 36 = 3. Se resuelven las multiplicaciones y 93 – 36 = divisiones. = 57 4. Se resuelven las sumas y restas. Si hay operaciones en el radicando o como base de una potenciación, se deben resolver antes de calcular la raíz o la potencia. √ ______________ 52 + 12 . 3 + 3 – (15 : 3 – 3) 2 + 144 : 12 = 1. Se separan los términos. √ _______________ 25 + 12 . 3 + 3 – (15 : 3 – 3) 2 + 144 : 12 = 2. Se resuelven las operaciones que hay √ ____________ 25 + 36 + 3 – (5 – 3) 2 + 144 : 12 = en el radicando y en la base de la √ ____ 64 – 22 + 12 = potencia respetando la jerarquía. 8 – 4 + 12 = 3. Se resuelven las potencias y raíces. = 16 4. Se resuelven las sumas y restas. 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. En el cálculo 10 . (5 + 4) : 3, ¿se separó en términos correctamente? b. ¿En qué orden se deben resolver las operaciones que encierran los paréntesis? c. ¿Cómo se suprimen los paréntesis en el cálculo (3 + 8) . 2 + 6 . (5 + 4), sin resolver las operaciones que ellos encierran? d. ¿Es cierto que √ _____________ 2 . 12 + 3 . 22 = 36? En la página 13 podrán repasar las propiedades de la potenciación y la radicación. infoactiva test de comprensión P12-3083-C01.indd 15 10/31/12 4:53 PM 4 Operaciones combinadasACTIVIDADES 16 17. Resuelvan. a. 2 . √ ___ 81 – 42 = e. 25 . √ ____ 100 + 3 . 42 = b. (50 . 2 – 62 : 12)0 = f. √ __ 52 + 50 : 16 + √ ___ 25 . 9 – 33 = c. ( 3 √ __ 1 + 13)3 = g. (0 . 3 √ __ 1 + 3 . 5 . 14 – 3 √ ___ 27 ) : √ ____ 144 = d. √ ____ 100 + √ ___ 25 : (22 + 50) – 14 = h. ( 25 + √ ___ 36 ) . √ __________ 22 + 72 : 6 = 18. Escriban el cálculo y resuélvanlo. a. El doble de la raíz cuadrada de veinticinco. b. La raíz cuadrada del doble de cincuenta. c. La raíz cúbica del triple de setenta y dos. ___ d. El cuadrado del producto entre diez y el doble de cinco. e. El cuadrado de la resta entre el cubo de cinco y cien. f. El doble de la suma entre dieciocho y el cubo de tres, menos veintitrés. P12-3083-C01.indd 16 10/31/12 4:53 PM 4 Operaciones combinadasACTIVIDADES 17 Nombre: Curso: Fecha: / / 19. Resuelvan aplicando las propiedades de la potenciación y la radicación, cuando sea posible. a. 317 : 315 + 4 √ ___ 16 = h. 23 . 2 . 23 + 5 . 3 √ __________ (2 + 7) . 3 = b. 52 . 5 . 5 + √ __ 8 : √ __ 2 = i. 42 : 7 + (23)2 . ( √ ___ 121 – 3 √ __ 6 . 3 √ ___ 36 ) = c. 100 : (102 – 52 . 3) – 3 √ _________ 1 000 : 103 = j. 3 √ __________ 10 000 :10 + √ ___ 10 . √ _____ 1 000 = d. (47)12 . 43 : (442)2 – 32 : 16 = k. (53)9 . (54)8 : 526 : (55)6 + 83 : 43 = e. 29 . 27 . 2 : (28 . 28) – 0 : 3 √ _____ 1 000 = l. 4 √ ___________ 103 + 74 . 4 + 154 : (3 . 5)2 – 480 : 60 = f. ( √ ___ 81 + √ __ 9 ) : 22 + 517 : 516 = m. √ ____ 441 : √ ___ 49 . ( 5 – 3 √ __ 8 + 22 ) = g. √ __ 3 . √ ___ 27 + (10 + 3)2 : √ ____ 169 = n. (39)2 : (315 . 3) + √ _______________ 10 . (2 + 3) – 30 = P12-3083-C01.indd 17 10/31/12 4:53 PM 4 Operaciones combinadasACTIVIDADES 20. Completen con <, > o =, según corresponda. a. √ ______ 4 . 36 4 . √ ___ 36 e. 112 + 122 – 63 11 2 + 63 – 122 b. 26 . 16 8 2 . 15 . 3 √ __ 1 f. √ ____ 100 . 102 + 1 1 + 10 2 . √ ____ 100 c. [29 . (27)2] (220 . 23) g. √ ___ 20 . √ __ 5 ( 3 √ __ 3 . 3 √ __ 9 ) 2 d. 6 √ ___ 64 . 27 6 √ ___ 64 . 72 h. 3 √ __ 82 + 22 + √ ___ 16 4 0 + 0 : 52 + 4 √ ___ 81 21. Marquen con una X el cálculo que corresponde a cada situación y resuelvan. a. ¿Cuál es el resultado de la suma entre el cubo de la raíz cuadrada de veinticinco y la raíz cúbica del cuadrado de ocho? 25 3 + √ __ 82 ( √ ___ 25 )3 + 3 √ __ 82 3 . √ ___ 25 + 3 √ _____ 2 . 8 b. ¿A qué es igual el doble de la diferencia entre el cuadrado de cinco y la raíz cuadrada del cubo de cuatro? 2 . 5 2 – √ __ 43 2 . (5 . 2 – 4 √ __ 43 ) 2 . (5 2 – √ __ 43 ) 22. Completen. a. √ ___ √ ___________ = 4 + 5 = b. √ _______________ 50 – = √ ___________ = 7 c. √ __ 9 + √ ___________ = 3 + = 12 d. 3 √ ___________ + 102 = + = 109 e. 3 + 3 √ _____ 1 000 = + = 74 f. 2 + 120 : = + 20 = 69 g. √ ________ 144 . 100 + = √ ___________ . √ ____ 100 + = . 10 + = 168 h. – √ _______ 64 : 16 = – √ ___ 64 : √ ___________ = – : = 13 18 Para hacer un trabajo de educación artística, Luis y Juan deben cortar figuras de cartón. Luis necesita doce cuadrados de 25 cm de lado y Juan, diez rectángulos de 15 cm por 42 cm. a. ¿Cuánto mide la superficie de cada cuadrado? ¿Y la de cada rectángulo? b. ¿Quién usará más cartón para cortar todas las figuras? menteACTIVA P12-3083-C01.indd 18 10/31/12 4:53 PM 16 + Integración capítulo 11.2.3.4COnTEnIDOS Nombre: Curso: Fecha: / / 23. Escriban los números que corresponden a las siguientes expresiones. Luego, ordénenlos de mayor a menor. a. 4 C de mil, 8 U de mil y 4 u b. 4 . 106 + 8 . 103 + 4 c. 5 unidades de millón, 5 unidades. d. 500 000 + 6 000 + 5 e. 4 . 104 + 8 . 103 + 5 . 100 f. 400 000 + 80 000 + 80 + 6 24. Escriban el mayor y el menor número posi- ble usando todas las cifras de cada uno de los siguientes números. número Mayor Menor 28 719 162 357 84 165 98 716 25. Marquen con una X el número que corres- ponde a la siguiente expresión. b. 404 309 100 c. 400 403 910 a. 500 641 b. 1 206 181 c. 400 004 parte del cociente. ¿Cuál es el dividendo? 28. Completen las operaciones teniendo en cuenta el siguiente cálculo. 30 . 25 = 750 a. 60 . 25 = b. 30 . 5 c. 3 . 25 = d. 30 . 250 = 29. Resuelvan las multiplicaciones y divisiones. a. 16 . 3 . 5 = b. 47 . 2 . 100 = c. 32 . 6 . 10 : 30 = d. 15 . 4 : 6 . 5 = e. 104 . 15 : 5 . 24 = f. 450 : 90 . 20 . 13 = g. 8 100 : 9 : 3 . 5 = h. 12 . 21 : 14 . 8 : 24 = 30. Completen con = o ≠, según corresponda. Expliquen la respuesta. a. 3 . 4 4 + 4 + 4 b. (3 + 8) . 2 3 . 2 + 8 . 2 c. 10 : (20 + 30) 20 : 10 + 30 : 10 d. (2 + 8) . (8 + 3) e. (20 + 30) : 10 f. (3 + 8) . 2 31. Resuelvan. a. 3 + 4 . 12 – 10 : 2 = b. (3 + 4) . 12 – 10 : 2 = c. 3 + 4 . (12 – 10) : 2 = d. 3 + (4 . 12 – 10) : 2 = 32. Resuelvan aplicando la propiedad distributiva. a. (384 + 336) : 12 = b. 35 . (42 – 18) = c. 27 . (12 + 15 – 21) = d. (105 – 40 + 75) : 5 = e. (16 + 8 – 10) . 26 = 19 26. Descompongan cada número de tres for- mas diferentes. d. 948 999 e. 35 112 048 910 f. 6 200 200 200 200 27. Respondan. 28. En una división el cociente es 20, el divi- sor es el doble de 12 y el resto es la cuarta b. Al multiplicar dos números, se obtiene 9 526. Si uno de los factores es 11, ¿cuál es el otro factor? = 750 4 . 108 + 4 . 105 + 3 . 104 + 9 . 103 + 1 . 102 a. 400 439 100 2 + 8 . 8 + 3 20 : 10 + 30 : 10 3 + 8 . 2 P12-3083-C01.indd 19 10/31/12 4:53 PM 20 33. Escriban un par de paréntesis para obtener el resultado indicado. a. b. 100 : 50 – 5 . 5 + 8 . 6 = 52 c. 34 – 16 : 2 + 7 . 2 = 12 d. 15 + 3 . 18 – 50 : 2 + 26 = 43 34. Resuelvan. a. 340 . 2 + 120 . 3 – 110 . 2 = b. 100 . 7 – 10 . 5 + 8 . 9 = c. 16 . 4 + 8 : 2 – 4 . 2 = d. 158 + (78 : 2 – 27) = f. 543 – (25 . 5 + 16 : 2) = 35. Escriban V (Verdadero) o F (Falso), según corresponda. Expliquen las respuestas. a. 34 = 12 b. (3 . 2)5 = 35 . 25 c. 32 = 23 d. √ ____ 100 = 50 e. (3 + 2 + 5)2 = 32 + 22 + 52 f. √ __ 9 + √ ___ 16 = √ ___ 25 g. √ __ 8 . √ __ 2 = √ ___ 16 h. 3 √ ___ 16 : 3 √ __ 2 = 3 √ ______ 16 : 2 36. Completen. a. ( 6 – ) . 8 = b. (3 + 4) . = 39 + c. 2 . ) = 36 + 22 = d. ( 27 + ) : 9 = + 5 = f. (84 – 28) : = – 38. Resuelvan aplicando las propiedades. a. 2318 . (235)4 : (2330 . 237) . 23 = b. 658 : (613)3 : 619 . (62)2 = c. (1015)10 . 10124 : (1010)20 : 1070 = d. 5 √ __ 5 . 5 √ __ 53 . 5 √ __ 54 : 5 √ __ 53 = e. 6 √ ___ 16 . 6 √ __ 8 : 6 √ __ 2 = f. √ ___________ 81 . 64 : 144 = 39. Rodeen con color el valor que hace cierta la igualdad en cada caso. a. 28 . 2 . 27 = 2 15 | 1 | 16 b. ( + 5 ) 2 = 36 13 | 1 | 6 c. 32 + = 12 3 | 6 | 2 d. 3 √ ____ . 3 √ ____ 125 = 5 5 | 1 | 25 e. (32)8 : (3 . 3 . 310) = 9 3 | 4 | 2 f. √ __________ 100 + = 11 121 | 1 | 21 41. Resuelvan. a. √ ____ 100 . 4 + 53 – 3 . 17 = b. ( √ ___ 25 + √ __ 9 ) . 4 = c. 102 . 3 + 92 . 5 = d. 10 . (106 . 109 : 1012) – 103 = e. 3 √ ____________ 100 : 10 + 17 + 82 = f. 25 : (29 : 27 + 16) + 4 . 10 = g. √ ___________________ (2 . 8 : √ ___ 64 + 50) . 3 = h. 3 √ _____ 4 + 4 – √ __ 4 + 3 . (27 : 64) = i. 3 √ ____ 343 + 3 √ ____ 512 . 53 – √ ___ 49 = j. 8 . ( √ ____ 900 + √ _____ 1 600 – √ ____ 2 500 ) = 20 e. ( 5 + 26 ) : 2 = + 13 = 39 2 = 4 ( 18 + – 40 = 8 52 = ( ( ( ( )12 + 56 : 8 . 2 + 36 = 74 ) ) ) e. 372 + (28 + 36 : 4) – 119 = 37. Escriban el cálculo y resuélvanlo. 38. La tercera parte del cubo de seis. 39. La raíz cuadrada de la suma entre ocho y cincuenta y seis. 40. La raíz cuadrada de treinta y seis, más la quinta parte de doscientos cincuenta. 40. Escriban el cálculo y resuélvanlo. 41. La resta entre el cubo del doble de diez y el triple del cuadrado de cuarenta. 42. La resta entre el cubo de seis y la mitad de la raíz cuadrada de cuatro. 43. El triple del producto entre el cuadrado de dieciséis y la raíz cuadrada de dieciséis. 44. La mitad de la mitad del triple del cuadra- do de dieciséis. 45. La mitad de la raíz cúbica de la resta entre el cuadrado de diez y el cuadrado de seis. 46. La tercera parte de la diferencia entre ochenta y seis y cinco, aumentada en la raíz cuadrada de ciento sesenta y nueve. P12-3083-C01.indd 20 10/31/12 4:53 PM Un número a es divisible por otro b, cuando a : b es exacta, es decir, tiene resto igual a 0. 15 es divisible por 3 15 es múltiplo de 3 3 es divisor de 15 Criterios de divisibilidad Un número es divisible por: Ejemplo • 2, cuando es par. 76; 174 • 3, cuando la suma de sus cifras es un múltiplo de 3. 153; 6 231 • 4, cuando sus dos últimas cifras son ceros o múltiplos de 4. 12; 300 • 5, cuando termina en 0 o en 5. 80; 315 • 6, cuando es divisible por2 y por 3 a la vez. 138; 942 • 9, cuando la suma de sus cifras es un múltiplo de nueve. 198; 909 • 10, cuando termina en 0. 50; 230 Un número es primo cuando tiene dos divisores: el 1 y el mismo número. Por ejemplo, 5 es primo, ya que tiene como divisores el 1 y el 5. Un número es compuesto cuando tiene más de dos divisores. Por ejemplo, 12 es compuesto, ya que tiene los siguientes divisores: 1, 2, 3, 4, 6 y 12. Un número compuesto se puede descomponer de manera única en factores primos. A la descom- posición se la denomina factorización. Para factorear un número, se pueden utilizar los siguientes esquemas: 35 70 5 7 270 35 7 1 2 5 7 70 = 2 . 5 . 7 Para encontrar todos los divisores de un número, se puede realizar el siguiente procedimiento. 70 = 2 . 5 . 7 1. Se factoriza el número. 2 . 5 = 10 2 . 7 = 14 5 . 7 = 35 2. Se calculan todos los productos posibles de sus factores primos. Divisores de 70: 1; 2; 5; 7; 10; 14; 35; 70 3. Todo número es divisible por 1 y por sí mismo. Divisibilidad y factorización Nombre: Curso: Fecha: / / 21 4 7 8 9 11105 6 13 1412 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. Para saber si un número es divisible por 6, ¿alcanza con saber que es divisible por 2? b. ¿Es correcto decir que 1 es un número primo? c. El número 95 356, ¿es múltiplo de 4? infoactiva test de comprensión a. No. b. No. c. Sí. P12-3083-C01.indd 21 10/31/12 4:53 PM 5 Divisibilidad y factorizaciónACTIVIDADES 22 42. Escriban los números que cumplen con la condición indicada. a. Los múltiplos de 3, mayores que 120 y menores que 141: b. Los múltiplos de 8, mayores que 200 y menores que 250: c. Los divisores de 6: d. Los divisores de 20: e. Los divisores primos de 60: 43. Escriban un número que cumpla con las condiciones dadas, usando las cifras 4, 5, 7 y 8. a. Múltiplo de 2, pero no múltiplo de 4: b. Múltiplo de 4 menor que 7 000: c. Múltiplo de 11 y par: d. Divisible por 4 y que la cifra de las unidades sea menor que 8: e. Divisible por 5 y mayor que 8 000: 44. Marquen una X, según corresponda. Es divisible por... 1 2 3 4 5 6 8 9 10 25 100 20 264 415 550 1 125 6 500 9 801 48 000 45. Factoreen los siguientes números y exprésenlos como una multiplicación. a. 792 b. 600 c. 1 089 d. 4 410 792 = 600 = 1 089 = 4 410 = 46. Completen con la factorización de los siguientes números. Tengan en cuenta el ejemplo. a. 280 = . . d. 390 = . . . b. 165 = . . e. 297 = . c. 720 = . . f. 3 025 = . P12-3083-C01.indd 22 10/31/12 4:53 PM Múltiplo común menor y divisor común mayor Nombre: Curso: Fecha: / / 23 5 8 9 14 1512 1310 116 7 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. Para calcular el mcm de dos o más números, ¿siempre hay que multiplicar los números? b. Dos números son coprimos si su dcm es 1. ¿Dos números consecutivos siempre son coprimos? c. ¿Cuáles son los factores primos comunes entre 10 y 15? ¿Y los no comunes? El múltiplo común menor (mcm) entre dos números es el menor de los múltiplos que tienen en común esos números, sin tener en cuenta el 0. Algunos múltiplos de 4 son: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24… Algunos múltiplos de 6 son: 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36… 12 es el menor múltiplo que tienen en común. mcm (4;6) = 12 Para hallar el mcm (12;30) se factorean los números y se eligen los factores para obtener el múltiplo común menor. 12 3 4 2 2 2 1 30 2 15 3 5 5 1 12 = 3 . 2 . 2 30 12 . 30 = 3 . 2 . 2 . 2 . 3 . 5 30 = 2 . 3 . 5 12 mcm (12;30) = 22 . 3 . 5 = 60 Para calcular el mcm se multiplican los factores comunes y no comunes con su mayor exponente. El divisor común mayor (dcm) entre dos números es el mayor de los divisores que tienen en común esos números. Los divisores de 18 son: 1, 2, 3, 6, 9, 18 Los divisores de 24 son: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 Para hallar el dcm (28;98) se factorean los números y se eligen los factores para obtener el divisor común mayor. 28 2 14 2 7 7 1 98 2 49 7 7 7 1 28 = 2 . 2 . 7 2 . 7 es divisor común mayor entre 28 y 98. 98 = 2 . 7 . 7 dcm (28;98) = 2 . 7 = 14 Para calcular el dcm se multiplican los factores comunes con su menor exponente. 6 es el mayor de los divisores que tienen en común. dcm (18;24) = 6 infoactiva test de comprensión P12-3083-C01.indd 23 10/31/12 4:54 PM 6 Múltiplo común menor y divisor común mayorACTIVIDADES 24 47. Factoreen los siguientes números. Luego, hallen el mcm y el dcm en cada caso. a. 108 180 392 108 = 180 = 392 = mcm (108;180;392) = dcm (108;180;392) = b. 20 200 2 000 20 = 200 = 2 000 = mcm (20;200;2 000) = dcm (20;200;2 000) = c. 60 36 65 60 = 36 = 65 = mcm (60;36;65) = dcm (60;36;65) = b. Un grupo de chicos recolectó 300 muñecas, 420 pistolas de agua, 480 pelotas y 600 rompe- cabezas para formar paquetes y regalar en el Día del Niño en un club del barrio. Si en cada paquete colocarán la misma cantidad de cada juguete, ¿cuál es la mayor cantidad de paquetes que podrán armar? ¿Cuántos juguetes de cada tipo tendrá cada paquete? c. Juan va al club cada tres días, Santiago cada cuatro y Agustín cada seis días. Si fueron los tres juntos el 1 de junio, ¿cuándo volverán a encontrarse? ¿Se encontrarán el 23 de junio? ¿Y el 25? d. Para festejar el Día del Amigo, Camila compró 12 esmaltes, 6 collares, 18 anillos y 36 carame- los. Si quiere armar bolsas de regalo con la misma cantidad de obsequios de cada tipo, ¿para cuántas amigas le alcanza? ¿Qué deberá colocar en cada bolsa? 48. Planteen y resuelvan. 49. En un local de iluminación decoraron la vidriera con tres tipos distintos de luces LED azules, blancas y lilas. Las luces azules se encienden cada 20 minutos; las blancas, cada 30 minutos y las lilas, cada 15 minutos. ¿Cada cuántos minutos se encienden simultáneamente los tres tipos de luz? P12-3083-C01.indd 24 10/31/12 4:54 PM Lenguaje simbólico. Ecuaciones Nombre: Curso: Fecha: / / 25 6 9 10 11 13127 8 15 1614 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. El siguiente de un número, ¿cómo se expresa en lenguaje simbólico? b. ¿Cómo se traduce x 2 al lenguaje coloquial? c. La ecuación 5x + x + 2x = 56, ¿es equivalente a 7x = 56? El lenguaje de las palabras, que puede ser oral o escrito, se denomina lenguaje coloquial. La matemática utiliza un lenguaje particular denominado lenguaje simbólico. Lenguaje coloquial Lenguaje simbólico El triple de un número. 3 . x La cuarta parte de un número. a : 4 El anterior de un número. b – 1 El doble de un número, disminuido en cuatro. 2 . x – 4 Si entre un número y la letra no se indica la operación, se entiende que hay un signo de multiplicar. 6 . x = 6x Una ecuación es una igualdad en la que hay, por lo menos, un valor desconocido llamado incógnita. x – 3 = 20 1.° miembro 2.° miembro Resolver una ecuación significa encontrar el valor o los valores de la incógnita que hacen verda- dera la igualdad. Cada valor de la incógnita es una solución de la ecuación. Para resolver una ecuación, se deben obtener ecuaciones equivalentes, es decir, con la misma solución, teniendo en cuenta las siguientes propiedades. • Se suma o resta un mismo número a ambos miembros de la igualdad. • Se multiplica o divide por un mismo número (distinto de cero) a ambos miembros de la igualdad. • Se aplica una potencia o raíz a ambos miembros de la igualdad. x + 3 = 12 6 . x = 42 x4 = 81 x + 3 – 3 = 12 – 3 6 . x : 6 = 42 : 6 4 √ __ x4 = 4 √ ___ 81 x = 9 x = 7 x = 3 x – 8 = 21 x : 5 = 8 3 √ __ x = 5 x – 8 + 8 = 21 + 8 x : 5 . 5 = 8 . 5 3 √ __ x 3 = 53 x = 29 x = 40 x = 125 infoactiva test de comprensión P12-3083-C01.indd 25 10/31/12 4:54 PM 49. Traduzcan al lenguaje simbólico. a. El doble de un número. b. El anterior del doble de un número. c. El doble del anterior de un número. d. La mitad de un número. e. La diferencia entre un número y su anterior. f. El producto entre el doble de un número y su consecutivo. 50. Unan con flechas cada enunciado con la expresiónsimbólica correspondiente. a. La tercera parte del cuadrado de un número. • (x : 3)2 b. El cuadrado de la tercera parte de un número. • x2 : 3 c. El producto entre un número y su cubo. • x . x3 d. El cubo del producto entre un número y su cubo. • [x + (x – 1)] : 2 e. La mitad de la suma entre un número y su anterior. • 3 √ _________ x – (x – 1) f. La raíz cúbica de la resta entre un número y su anterior. • (x . x3)3 51. Escriban un problema para cada una de las siguientes ecuaciones y resuélvanlas. a. 2 . (x – 5) = 36 b. x : 2 + 24 = 2 . 15 52. Encuentren el valor de cada incógnita y verifiquen. a. 8 + m = 52 d. 3 + a : 2 = 19 b. t – 8 = 23 e. y3 = 25 . 2 c. 3 + x . 2 = 19 f. √ __ n = 32 + 50 7 Lenguaje simbólico. EcuacionesACTIVIDADES 26 P12-3083-C01.indd 26 10/31/12 4:54 PM 7 Lenguaje simbólico. EcuacionesACTIVIDADES 27 Nombre: Curso: Fecha: / / 53. Resuelvan cada ecuación y verifiquen la solución. a. 3 + x = √ _______ 25 – 16 h. 10x + 15 + 4 = 37 + 4x b. 5x – 2 2 = √ ___ 36 i. 42 + 9x + √ __ 4 = 16 . 5 + 2 + 7x c. x . (4 + 50) = 53 j. 6x – 6 + 3x = 3x + 6 d. √ __ 9 + x : 3 = 32 k. 3x + 5x – 49 = 2x + x + 11 e. 5 + x : 2 = 20 : 4 l. 9x + 45 – 5x = 16 + 5 . 6 + 3x f. 6x + 3x + 7 . 3 = 5 + 35 . 2 m. 6x + 343 : 72 – x = (22 + 1) : 5 + 14 + 3x g. 3x + 50 + x = 25 + 3 √ __ 1 n. 4x + 15 + 6x + 3 √ __ 8 : 2 = √ ____ 100 + 8x P12-3083-C01.indd 27 10/31/12 4:54 PM 28 7 Lenguaje simbólico. EcuacionesACTIVIDADES 28 menteACTIVA 54. Resuelvan las siguientes ecuaciones aplicando la propiedad distributiva. a. 4 . (x + 2) = 28 e. 17x – 5 = 5 . (2x + 1) – 3 b. 36 + 59 = (20x + 10) : 2 f. 6 . (3x + 5) = 3 . (20 + x) c. 3 . (4x + 6) = 198 g. 3 . (x + 2) = 2 . (x + 2) + 2 d. (x + 6) . 9 + 19 = 181 h. 3 . (x – 6) = (2x + 1) . 5 – 8 . 9 55. Resuelvan las siguientes ecuaciones con potenciación y radicación. Verifiquen los resultados. a. x3 + 3 . 14 = 52 . 10 + 8 c. (x – 2)3 + 18 = 530 b. 3 . 100 + 26 + √ __ x = 12 . 28 d. √ _________ 6 . (x + 9) = 2 . 6 El triple de la edad que Sebastián tendrá dentro de cinco años es igual al doble de la edad que tendrá dentro de 23 años. ¿Cuál es la edad actual de Sebastián? P12-3083-C01.indd 28 10/31/12 4:54 PM 29 56. Escriban. a. Todos los divisores de 28. b. Todos los divisores de 45. 58. Resuelvan. a. Marcos dividió un número por 15 y obtuvo resto 0. • ¿El número es múltiplo de 15? • ¿El número es múltiplo de 3? • ¿El número es múltiplo de 10? • ¿El número es múltiplo de 5? • ¿El número es múltiplo de 30? b. Florencia dividió un número por 8 y obtu- vo resto 5. 59. Factoreen los siguientes números y expré- senlos como multiplicación. a. 1 400 = d. 2 835 = b. 1 056 = e. 2 548 = c. 2 500 = f. 7 007 = 60. Observen las siguientes potencias de diez y respondan. Expliquen sus respuestas. 1023 1012 1021 103 a. ¿Cuál expresa el dcm entre ellas? b. ¿Cuál expresa el mcm entre ellas? b. Si al número de la actividad anterior se lo divide por 2, ¿qué resto se obtiene? ¿Por qué? 62. Tengan en cuenta la descomposición de los siguientes números y escriban V (Verdadero) o F (Falso), según corresponda. Expliquen la res- puesta. 2 100 = 2 2 . 3 . 5 2 . 7 441 = 3 2 . 7 2 2 200 = 2 3 . 5 2 . 11 440 = 2 3 . 5 . 11 a. 8 es divisor de 2 200. b. 440 es divisible por 22. c. 49 es divisor de 441. d. 25 es divisor de 2 100 y de 2 200. e. 2 200 es divisible por 55. h. 440 y 441 son coprimos. i. 2 200 y 441 son coprimos. j. 1 es el dcm entre los cuatro números. k. 2 100 es divisible por 7, pero no por 49. l. El dcm de 2 100 y 2 200 es: 22 . 52. 29 Integración capítulo 15.6.7COnTEnIDOS Nombre: Curso: Fecha: / / • Si quiere convertir el número para que sea divisible por 8, ¿cuánto deberá sumarle? 3 • Si quisiera que el nuevo número fuera múl- tiplo de 80, ¿por qué número debería multi- plicarlo? 63. Escriban. 64. Tres números mayores que 4 y que tengan el 64 como mcm. 65. Tres números menores que 80 y que ten- gan el 20 como dcm. c. Todos los múltiplos de 15 mayores que 16 y menores que 90. 61. Resuelvan. 62. Si se divide un número por 3, por 5 y por 7, el resto es 0; pero si se lo divide por 6, sobra 3. ¿Cuál es el número? c. Si se divide un número por 5, por 9 y por 7, el resto es 0; pero si se lo divide por 2, sobra 1. Si se cuadruplica el número, ¿qué número se obtiene? d. ¿Por qué número se debe dividir 1 548 para que el cociente sea 64? ¿Cuál será el resto? 57. Con las cifras 0, 2, 8 y 5 escriban un número que cumpla con las condiciones dadas. 58. Un número de cuatro cifras distintas que sea múltiplo de 2 y de 5 a la vez. 59. Un número de cuatro cifras distintas que sea divisible por 2, pero que no sea divisible por 5. 60. Un número de cuatro cifras distintas que sea divisible por 3, pero que no sea divisible por 6. f. El dcm entre los cuatro números es 4. g. El mcm entre los cuatro números es: 23 . 32 . 52 . 72 . 11 P12-3083-C01.indd 29 10/31/12 4:54 PM 3030 64. Hallar el mcm y el dcm entre los siguien- tes números. a. 60; 90; 150. b. 175; 200; 280. c. 48; 80; 120; 180. d. 17; 7; 11. e. 84; 350; 450. f. 27; 243; 729. 67. Resuelvan las ecuaciones y verifiquen. a. (x + 12) : 6 – 5 = 3 b. (x – 3) : 3 + 20 = 42 + 8 c. 5x – 100 = 69 – 8x d. 6x – 18 + 2x = 3x + 17 . 6 e. 3 . (x + 5) – 2x + 1 = 48 : 3 f. (x – 2) . 4 + 36 = 45 . 2 + x + 4 x + 162 = 420 162 + x + x = 420 x + 162 + x – 162 = 420 b. Dos amigas, Sandra y Andrea, han tejido mantitas para vender. Andrea tejió 8 mantitas menos que Sandra y entre ambas se compro- metieron a entregar 60 mantitas. Si x represen- ta la cantidad de mantitas que tejió Sandra, ¿cuál de las siguientes expresiones permite cal- cular esa cantidad? ¿Cuántas mantitas tejió cada una? 8 – x – 60 = x 8 – x + x = 60 x – 8 + x = 60 70. Resuelvan las ecuaciones e indiquen cuá- les tienen la misma solución. a. √ ____ 144 + x : 23 = 70 + 6 . 2 b. x + 3x – 812 : 811 = √ ___ 64 c. (x + 2) . 32 = (37)3 : 318 d. (54 – 53) . x – 25 . 10 = 250 71. Resuelvan las siguientes ecuaciones con potenciación y radicación. Verifiquen los resul- tados. a. x2 – (36 + 2 . 5) = 2 . 32 b. 25 + x3 = 36 + 82 + 2 . 25 c. 45 : (7 + 23) = 3x2 d. 3 √ __ x + 6 . 8 = 52 . 2 e. (7 + 2)2 + √ __ x = 9 . 10 f. √ __ x + 6 . 5 = 22 . 32 30 65. Resuelvan. 66. Si el papá de Ema recibe una publicación deportiva trimestralmente, una revista de actualización médica bimestralmente y un suplemento deportivo europeo cada 5 meses, ¿cada cuántos meses recibe simultáneamente las tres publicaciones? 67. La mamá de Andrea tiene 300 cintas ver- des y 450 blancas para armar moños de rega- lo. Si todos los moños deben tener la misma cantidad de cintas de cada color, ¿cuántos moños podrá hacer? ¿Qué cantidad de cintas verdes y blancas tendrá cada moño? 69. Escriban la ecuación y resuélvanla. 70. La suma entre el triple de un número y el doble de su siguiente es igual a la mitad de 84. 71. El cociente entre 20 y 5 es igual al doble del anterior de un número, aumentado en 4. ¿Cuál es el número? 66. Planteen la ecuación y resuelvan. Luego verifiquen. 67. El doble de la edad de Mariana es igual a la mitad de cincuenta y seis. ¿Cuál es la edad de Mariana? 68. El precio de tres kilogramos de helado es igual a cuatro veces cuarenta y cinco. ¿Cuánto cuesta el kilo de helado? 69. El peso de Luca aumentado en seis es igual a la mitad de veinte kilogramos. ¿Cuántos kilogramos pesa Luca? 70. La cuarta parte de lo vendido en el puesto de panchos es igual al doble de ciento ocho. ¿Cuánto se vendió en total? 68. Resuelvan. 69. Agustín y su hermana Belén completaron un álbum de 420 figuritas deportivas. Agustín con- siguió 162 figuritas más que su hermana. Si x representa la cantidad de figuritas que consiguió Belén, ¿cuál de las siguientes expresiones permi- te calcular esas figuritas? ¿Cuántas figuritas obtu- vo cada uno de ellos? P12-3083-C01.indd30 10/31/12 4:54 PM 31 Autoevaluación 1 72. Descompongan de tres formas diferentes. 26 062 206 = 73. Resuelvan aplicando propiedades cuando sea posible. a. 4 . (5 . 7 + 10) + 270 : 30 – (18 – 4 . 2) = b. 58 . 513 : 519 + (4 . 9 – 12)0 – √ ___ 45 : √ __ 5 = c. 3 √ ___________ 23 . 40 + 231 + 102 . 5 = 74. Resuelvan. El médico le recetó a Florencia tomar un antibiótico cada 8 horas y un analgésico cada 6 horas. a. ¿Cada cuántas horas debe tomar los dos medicamentos juntos? 76. Escriban en lenguaje simbólico y resuelvan. Verifiquen el resultado. 31 capítulo b. ¿Cuántas pastillas del antibiótico debe tomar por día? ¿Y del analgésico? 75. Calculen el mcm y el dcm entre 675, 540 y 180. El doble de la suma entre un número y veinticinco es igual a la mitad de ciento ochenta y cuatro, disminuido en cuatro. P12-3083-C01.indd 31 10/31/12 4:54 PM 32 Fracciones y expresiones decimales Contenidos 8. Orden y representación. 9. Fracciones equivalentes. 10. Operaciones con números racionales. 11. Potenciación y radicación de fracciones. 12. Operaciones combinadas con fracciones. 13. Fracciones y expresiones decimales. 14. Operaciones con expresiones decimales. Porcentaje. 15. Operaciones combinadas. 2 Situación inicial de aprendizaje 1. Observen la imagen y resuelvan. a. Completen. En el grupo hay chicos, donde son varones y son mujeres. b. Inventen preguntas cuyas respuestas sean cada una de las siguientes fracciones. capítulo 9 __4 ; 9 __5 ; 5 __3 ; 9 __2 c. Comparen con sus compañeros las preguntas que realizaron. P12-3083-C02.indd 32 10/31/12 5:56 PM 33 Orden y representación Números racionales Los números racionales son aquellos que se pueden escribir como fracción. Se denomina fracción al cociente entre dos números naturales a y b (con b distinto de 0). 5 — 8 numerador denominador Queda 5 __8 de torta. Toda fracción mayor que un entero se puede expresar como número mixto. 4 __ 3 = 1 1 __3 un entero 1 __3 Representación en la recta numérica Para representar fracciones en la recta numérica, se divide cada unidad en tantas partes iguales como indica el denominador y se toman tantas partes como indica el numerador. Para representar 3 __ 2 : 0 1 2 3 2 Como el denominador de la fracción es 2, se divide cada unidad en dos partes iguales. Como el numerador es 3, se toman 3 de esas partes. Comparación de fracciones Para comparar dos fracciones, se pueden usar distintos procedimientos. • Para comparar 1 __ 4 y 5 __ 6 : se multiplican cruzados los numeradores y denominadores, comenzan- do por el numerador de la primera fracción. Se escriben los resultados obtenidos y se los compara. 1 __ 4 y 5 __ 6 1 . 6 < 4 . 5 6 < 20, entonces 1 __ 4 < 5 __ 6 . • Para comparar 1 __ 3 y 1 __ 7 : como los numeradores son iguales y en 1 __ 3 se divide al entero en menos partes que en 1 __ 7 , entonces 1 __ 3 > 1 __ 7 . • Para comparar 5 __ 6 y 6 __ 5 : como 5 __ 6 es menor que un entero y 6 __ 5 es mayor que 1, entonces 5 __ 6 < 6 __ 5 . 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. Para representar 4 __ 6 en la recta numérica, ¿en cuántas partes se puede dividir la unidad? b. ¿Cuál de las siguientes fracciones es mayor? 4 __ 3 o 20___ 15 c. ¿Cómo pueden comparar 3 __ 8 con 3 __ 5 ? ¿Y 7 __ 8 con 8 __ 7 ? test de comprensión 33 10 11 12 14 15138 97 16 17 infoactiva Nombre: Curso: Fecha: / / P12-3083-C02.indd 33 10/31/12 5:56 PM 34 1. Representen en la recta numérica las siguientes fracciones. a. 5 __ 3 ; 1 __ 3 ; 3 __ 3 ; 7__ 3 10 2 b. 1 __ 3 ; 2 __ 3 ; 3 __ 4 ; 5__ 4 0 1 c. 1 __ 4 ; 3 __ 6 ; 2 __ 3 ; 5__ 6 0 1 2. Escriban la fracción que representan los puntos indicados con letras. 0 dca b 1 e2 3 a = b = c = d = e = 3. Escriban como número mixto las fracciones de la actividad anterior, siempre que sea posible. a = b = c = d = e = 4. Ordenen de menor a mayor las fracciones que aparecen en el enunciado. Elvira decidió hacer un pan dulce para compartir con sus nietos. Compró 3 __ 4 kg de frutas abrillanta- das, 1 __ 2 kg de pasas de uva, 3 __ 5 kg de almendras acarameladas y 4 __ 5 de nueces. 5. Escriban la fracción que indica la parte pintada. Luego, ordénenlas de mayor a menor. a. b. c. 6. Ordenen de menor a mayor las siguientes fracciones y represéntenlas en una recta numérica. 8 Orden y representaciónACTIVIDADES 34 9 ___10 - 6 __7 - 6 __5 - 9 __4 - 3 __4 - 3 __2 - 6 __1 - 9 __5 6 1__ < 9 __4 < 9 __5 < 3 __2 < 6 __5 < 9 ___10 < 6 __7 < 3 __4 P12-3083-C02.indd 34 10/31/12 5:56 PM 35 Fracciones equivalentes Nombre: Curso: Fecha: / / 35 8 11 12 13 15149 10 17 1816 Dos fracciones son equivalentes cuando representan el mismo número racional. 0 1 3— 5 6—— 10 3— 5 6—— 10 Para obtener fracciones equivalentes a una dada, se pueden aplicar estos procedimientos. Procedimientos para obtener fracciones equivalentes Amplificación Simplificación Se multiplican el numerador y el denominador por un mismo número natural distinto de cero. 4—— 14 2— 7 . 2 . 2 Se dividen el numerador y el denominador por un mismo número natural que sea divisor de los dos. 2— 5 8—— 20 : 4 : 4 2— 5 es irreducible porque no se puede simplificar. Para verificar si dos fracciones son equivalentes, se puede aplicar la propiedad fundamental de las proporciones. Si al multiplicar el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda, se obtiene el mismo resultado que al multiplicar el denominador de la primera por el numerador de la segunda, las fracciones son equivalentes. 15 ___ 12 es equivalente con 20 ___ 16 , porque 15 . 16 = 12 . 20 = 240 Fracción irreducible Una fracción es irreducible cuando el numerador y el denominador son coprimos, es decir que solo tienen a 1 como divisor común. 4 __ 7 es irreducible porque 4 y 7 son coprimos. 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿Cómo reconocen una fracción irreducible? b. La fracción irreducible de 35 ___ 15 , ¿es 7 __ 3 ? c. ¿Cómo se puede comprobar que 36 ___ 30 y 48 ___ 40 son equivalentes? d. ¿Cuál es la fracción irreducible de 56 ___ 36 ? test de comprensión infoactiva P12-3083-C02.indd 35 10/31/12 5:56 PM 7. Escriban la fracción irreducible que representa cada color, en la siguiente figura. a. Rojo: d. Amarillo: b. Verde: e. Blanco: c. Azul: 8. Tachen las fracciones que no son equivalentes a la fracción dada. a. 2__7 12 ___ 17 6 ___ 21 20 ___ 70 10 ___ 42 32___ 112 c. 18___ 4 9 __ 2 45 ___ 10 90 ___ 20 27 ___ 6 216____ 52 b. 4__5 44___ 55 16___ 25 36 ___ 45 68 ___ 85 56___ 75 d. 6__ 3 120____ 60 2 108 ____ 57 30 ___ 15 1 __2 9. Escriban como fracción irreducible la parte sombreada de cada figura. a. d. b. e. c. f. 10. Simplifiquen las siguientes fracciones y exprésenlas como fracción irreducible. a. 84 ___ 48 = c. 248 ____ 52 = e. 630 ____ 180 = g. 420 ____ 840 = b. 72 ___ 96 = d. 36 ____ 108 = f. 150 ____ 225 = h. 825 ____ 396 = 11. Completen con una fracción que se encuentre entre las fracciones dadas. a. 3__8 < < 6__ 8 c. 7__ 4 < < 7__ 3 e. 2__ 3 < < 3__ 2 g. 2__ 7 < < 1 __2 b. 4__6 < < 5__ 6 d. 9__ 5 < < 9__ 2 f. 1 __8 < < 1 __5 h. 2__ 7 < < 3__ 8 9 Fracciones equivalentesACTIVIDADES 36 P12-3083-C02.indd 36 10/31/12 5:56 PM Operaciones con números racionales Nombre: Curso: Fecha: / / 37 9 12 13 14 161510 11 18 1917 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿Es cierto que8 __ 5 + 3 __ 5 = 11 ___ 10 ? b. Cuando se multiplican dos fracciones, ¿conviene simplificar antes de hacer el cálculo? c. En el cálculo 2 ___ 15 : 5 __ 3 , ¿se pueden simplificar el 15 y el 5? test de comprensión infoactiva Adición y sustracción Para sumar o restar dos fracciones de distinto denominador, se buscan fracciones equivalentes que tengan el mismo denominador. Para encontrar un denominador común, se busca el múltiplo común menor entre los denominadores. 2 __ 5 + 1 __ 4 = 8 ___ 20 + 5 ___ 20 = 13 ___ 20 7 __ 4 – 5 __ 6 = 21 ___ 12 – 10 ___ 12 = 11 ___ 12 mcm (5;4) = 20 mcm (4;6) = 12 Los siguientes cálculos se pueden resolver mentalmente. 1 entero son 5__5 1 + 2 __ 5 = 7 __5 2 enteros son 14 ___7 2 – 3 __7 = 11___ 7 Multiplicación y división Para multiplicar dos fracciones, se multiplican los numeradores y los denominadores entre sí. 3— 4 2— 3 2 __ 3 . 3 __ 4 = 2 . 3 _____ 3 . 4 = 1 __2 2 __ 3 . 3 __ 4 = 2 . 3 ____ 3 . 4 = 6 ___ 12 = 1 __ 2 1 1 1 2 21 Se simplificaron las fracciones que se quiere multiplicar. En los dos casos se llega al mismo resultado. Se simplificó la fracción resultado. Para calcular una fracción de un entero, se debe multiplicar el número por el numerador de la fracción y dividirlo por el denominador. 3 __ 4 de 1 000 = 3 __4 . 1 000 = 3 . 1 000 ________ 4 = 750 Toda fracción distinta de cero admite un inverso multiplicativo. Por ejemplo, el inverso multipli- cativo de 2 __ 3 es 3 __ 2 , porque 2 __ 3 . 3 __ 2 = 1. Para dividir dos fracciones, se multiplica la primera fracción por el inverso multiplicativo de la segunda. 3 __ 4 : 1 ___ 12 = 3 __4 . 12 ___ 1 = 9 P12-3083-C02.indd 37 10/31/12 5:56 PM 38 12. Resuelvan mentalmente. a. 1 __ 7 + 8 __ 7 = c. 8 __ 5 – 3 __ 5 + 1 __ 5 = e. 3 __ 8 + 2 = b. 10 ___ 3 – 4 __ 3 = d. 5 __ 6 – 1 __ 6 + 3 __ 6 = f. 1 – 4 __ 9 = 13. Marquen con una X el cálculo que representa la situación y resuélvanlo. Un micro de larga distancia salió de la estación de Retiro rumbo a la costa atlántica. En el cami- no, realizó varias paradas en las que subieron o bajaron pasajeros. En Retiro subió 3 __ 5 del pasaje, en San Clemente subió 1 ___ 10 del total, en Santa Teresita bajó 1 __ 3 de los pasajeros y en San Bernardo subió 2 __ 5 . Si el recorrido finalizó en Mar de Ajó, ¿qué parte del pasaje llegó? a. 3 __ 5 + 1 ___ 10 – 1 __ 3 + 2 __ 5 = b. 1 – 3 __ 5 + 1 ___ 10 – 1 __ 3 + 2 __ 5 = c. 1 – ( 3 __ 5 + 1 ___ 10 – 1 __ 3 + 2 __ 5 ) = 14. Resuelvan. a. 3 __ 4 – 1 __ 2 + 1 __ 8 = = b. 3 __ 4 – ( 1 __ 2 + 1 __ 8 ) = = c. 2 __ 5 + 1 __ 2 – 1 __ 3 = = d. 2 __ 5 – 1 __ 2 + 1 __ 3 = = e. 9 __ 4 – 2 + 1 __ 7 = = f. 9 __ 4 – ( 2 + 1 __ 7 ) = = 15. Completen los cálculos. a. 1 __ 3 + = 8__ 3 b. – 3 __ 5 = 6__ 5 c. + 1 __ 4 = 2 d. 17 ___ 9 – = 8__ 9 16. Escriban <, > o = según corresponda. a. 6 + 4__3 7 b. 5 – 2__ 5 3 c. 2 __ 4 + 1 __2 1 d. 7 – 20___ 6 4 10 Operaciones con números racionalesACTIVIDADES 38 P12-3083-C02.indd 38 10/31/12 5:56 PM 17. Simplifiquen y resuelvan. a. 12 ___ 5 . 15 ___ 9 = b. 21 ___ 7 . 14 ___ 28 = c. 6 . 1 ___ 12 = d. 3 __ 5 . 10 = 18. Completen las siguientes igualdades. a. 1 __ 2 . = 5 b. . 7 __ 3 = 6__ 7 c. . 4 __ 5 = 20 d. 11 . = 55___4 19. Escriban en lenguaje simbólico y resuelvan. a. El doble de 5 __ 2 : d. Un tercio de 93: b. El triple de 4 __ 4 : e. Un medio de 412: c. El cuádruple de 1 __ 8 : f. Tres cuartos de 56: 20. Lean atentamente y resuelvan. a. Florencia regaló 2 __ 5 de las 45 figuritas que tenía repetidas. ¿Cuántas regaló en total? ¿Qué parte aún conserva? b. Para llegar a Mar del Plata, Rubén consumió 3 __ 4 del tanque de nafta de su auto. Si el tanque tiene una capacidad de 52 litros, ¿cuántos litros le quedan aún? c. Camila gasta 1 __ 3 de su sueldo en impuestos y 1 __ 4 , en el alquiler de su departamento. Si su suel- do es de $7 800, ¿cuánto dinero destina para alquiler e impuestos? ¿Qué parte de su sueldo le queda para otros gastos? 21. Resuelvan. a. 13 ___ 9 : 14 ___ 9 = b. 9 __ 4 : 1 ___ 16 = c. 135 ____ 27 : 125 ____ 54 = d. 6 ___ 17 : 24 ___ 34 = 22. Completen con la fracción que verifica la igualdad. a. 1 __ 4 : = 1 ___10 b. 3 __ 7 : = 9 c. d. 10 Operaciones con números racionalesACTIVIDADES 3939 Nombre: Curso: Fecha: / / : 2 __1 = 5 __2 : 2 __1 = 2 __5 4 P12-3083-C02.indd 39 10/31/12 5:56 PM 23. Resuelvan y completen con <, > o =, según corresponda. a. 1 __ 5 . 2__3 1 __ 5 : 3__ 2 c. 5 : 1 __5 1 __ 5 . 5 b. 2 __ 7 . 7 14 ___ 5 : 14___ 5 d. 1 __ 2 . 3__4 21 ___ 6 : 7__ 3 24. Escriban la letra del enunciado que corresponde a cada cálculo. Luego, resuélvanlo. a. Un poste se pintó la mitad de blanco y la tercera parte de azul. ¿Qué parte está pintada? b. La mitad de una herencia se reparte entre tres personas. ¿Qué parte le corresponde a cada una? c. Dos amigos recorren un camino en su auto; el primero maneja la mitad del recorrido y el segundo, una tercera parte. ¿Qué parte aún no recorrieron? d. Eduardo llenó el tanque de nafta de su auto para salir de viaje. Luego de consumir la mitad del combustible, cargó nuevamente un tercio de la capacidad del tanque. ¿Qué parte del tanque tiene nafta? 1 – ( 1 __ 2 + 1 __ 3 ) = 1 __ 2 + 1 __ 3 = 1 __ 2 : 3 = 1 – 1 __ 2 + 1 __ 3 = 25. Resuelvan las siguientes situaciones problemáticas. a. La mamá de Josefina compró cuatro cajas de veinte bombones cada una. Entre Josefina y su 10 Operaciones con números racionalesACTIVIDADES 40 b. ¿Qué fracción representa cada variedad? menteACTIVA hermana Micaela comieron una caja y 4 __1 de otra. ¿Cuántos bombones quedan? c. En una biblioteca hay 540 libros. Si se prestaron ___18 1 de sus libros el lunes, y el martes se devolvieron 15, ¿cuántos libros quedan aún en la biblioteca? b. En un micro escolar viajan 36 alumnos. Si 3 __1 de los alumnos desciende en el barrio de Saavedra, 9 __2 lo hace en Belgrano y 4 __1 en Núñez, ¿cuántos alumnos continúan en el micro? Don Prudencio desea plantar 5 variedades de flores, que en total son 240 plantines: 60 son jazmines, 18 son fresias, 78 son rosales, 30 son lirios y el resto son orquídeas. a. ¿Cuántos plantines de orquídeas tiene? P12-3083-C02.indd 40 10/31/12 5:56 PM Potenciación y radicación de fracciones Nombre: Curso: Fecha: / / 41 10 13 14 15 171611 12 19 2018 Potenciación La potenciación permite escribir en forma abreviada una multiplicación de factores iguales. ( 1 __ 4 ) 2 = 1 __4 . 1 __ 4 = 1 ___16 ( 1 __ 4 ) 3 = 1 __4 . 1 __ 4 . 1 __ 4 = 1 ___64 ( 2 __ 5 ) 1 = 2 __5 ( 2 __ 5 ) 0 = 1 1— 3 1— 3 El sector pintado ocupa la novena parte del cuadrado. ( 1 __ 3 ) 2 = 1 __ 3 . 1 __ 3 = 1 __9 Para obtener la potencia de una fracción, se debe calcular la potencia del numerador y la del denominador. ( 4 __ 3 ) 2 = 4 2 ___ 3 2 = 16___9 Radicación La radicación es la operación inversa a la potenciación. Para obtener la raíz de una fracción, se debe calcular la raíz del numerador y la del denominador. √ ___ 64 ___ 25 = √ ___ 64 ————— √ ___ 25 = 8 __5 √ ___ 16 ___ 81 = 4 __ 9 porque ( 4 __ 9 ) 2 = 16 ___ 81 √ ____ 1 ___ 27 = 1 __ 3 porque ( 1 __3 ) 3 = 1 ___27 La potenciación y la radicación de fracciones cumplen las mismas propiedades que para los números naturales. 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿Qué indica el exponente en la potenciación? ¿Y el índice en la radicación? b. ¿Es cierto que ( 3 __ 7 ) 2 = 6 ___ 14 ? c. ¿Cómo se resuelve 4 √ __ 16 ___ 81 ? test de comprensión infoactiva En la página 13 pueden repasar las propiedades de la potenciación y la radicación. P12-3083-C02.indd 41 10/31/12 5:56 PM 11 Potenciación y radicación de fraccionesACTIVIDADES 42 Si el área de un cuadrado es de 64 ____ 225 m 2, ¿cuál es la longitud de su lado? menteACTIVA 26. Resuelvan las siguientes potencias. a. ( 1 __ 5 ) 2 = b. ( 1 __ 3 ) 4 = c. ( 2 __ 7 ) 2 = d. ( 3 __ 2 ) 3 = 27. Resuelvan las siguientes raíces. a. √ ___ 64 ___ 81 = b. √ ___ 16 ___ 121 = c. 3 √ ___ 125 ____ 64 = d. 5 √ ____ 32 ____ 243 = 28. Escriban en lenguaje simbólico y resuelvan. a. La raíz cuadrada de cuarenta y nueve cuartos. b. El cuadrado de cuatro tercios. c. La raíz cúbica de ciento veinticinco sesentaicuatroavos. d. El cubo de cinco sextos. e. La raíz quinta de un treintaidosavos. f. El doble de la raíz cuarta de un medio de treinta y dos. 29. Completen los cálculos. a. 3 = 1 ____343 b. 4 = 625____81 c. √ _____ = 11___12 d. 5 √ _____ = 3__2 30. Calculen el área de las siguientes figuras. a. 1 __ 5 m b. 2 __ 3 m 5 ( ) 3 P12-3083-C02.indd 42 10/31/12 5:56 PM ( ) Operaciones combinadas con fracciones Nombre: Curso: Fecha: / / 43 11 14 15 16 181712 13 19 Para resolver una operación combinando las operaciones estudiadas, pueden seguir estos pasos. ( 2 __ 3 ) 2 + √ __ 1 __ 4 . 2 + 7 __5 : 3 __5 = 1. Se separa en términos. 4 __ 9 + 1__ 2 . 2 + 7 __5 : 3 __5 = 2. Se resuelven las potencias y raíces. 4 __ 9 + 1 + 7 __ 3 = 3. Se resuelven las multiplicaciones y divisiones. = 34___9 4. Se resuelven las sumas y restas. Existen calculadoras que no respetan la jerar- quía de las operaciones, es decir, no realizan la separación en términos. Tengan en cuenta que en los cálculos donde aparecen paréntesis, primero se resuelven las operaciones que ellos encierran. ( 3 __ 5 ) 2 + ( √ ____ 9 ____ 121 . 11 – 5 __ 6 ) : 25 ___ 6 = 1. Se separa en términos. ( 3 __ 5 ) 2 + 13___ 6 : 25 ___ 6 = 2. Se resuelven los cálculos que están dentro de los paréntesis. 9 ___ 25 + 13___ 6 : 25 ___ 6 = 3. Se resuelven las potencias y raíces. 9 ___ 25 + 13 ___ 25 = 4. Se resuelven las multiplicaciones y divisiones. = 22 ___25 5. Se resuelven las sumas y restas. 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿Cuáles son los pasos para realizar un cálculo combinado? b. ¿Es lo mismo ( 1 __ 3 + 2 __ 7 ) . 4 __ 9 que 1 __ 3 + 2 __ 7 . 4 __ 9 ? c. En el cálculo 5 __ 7 . 21 ___ 25 . 14 ___ 3 , ¿se puede simplificar antes de resolver la operación? test de comprensión infoactiva 20 21 P12-3083-C02.indd 43 10/31/12 5:56 PM 31. Resuelvan las siguientes operaciones combinadas. a. ( 1 __ 9 + 1 __ 3 ) . 2 __ 5 – 2 ___ 15 = d. √ ___ 25 ___ 121 . 11 __ 4 – ( 2 __ 3 ) 2 = b. ( 2 __ 3 – 1 __ 6 ) . ( 54 ___ 5 – 12 ___ 5 . 9 __ 4 ) = e. ( 12 ___ 4 . 5 ___ 24 ) 2 + 3 √ ___ 27 ___ 64 = c. 5 __ 2 + 10 ___ 6 : 15 ___ 12 – 1 __ 3 = f. 5 __ 9 + 4 √ _____ 1 296 _____ 256 . ( 4 __ 9 ) 2 = 32. Planteen y resuelvan. a. Eduardo leyó un libro de 840 páginas en 3 días. El primer día, leyó 2 __ 5 del libro. El segundo día, la tercera parte del resto. ¿Qué parte leyó el tercer día? ¿Cuántas páginas representan? b. Tres amigas repartieron una torta de chocolate. Noelia se quedó con la mitad de la torta y Belén, con la tercera parte del resto. ¿Qué parte le corresponde a Celeste? c. Un atleta participó en una competencia de ciclismo que se realizó en cuatro etapas. • Primera etapa: recorrió 1 __ 8 del total. • Segunda etapa: recorrió 1 __ 7 del resto. • Tercera etapa: recorrió las dos terceras partes de lo que llevaba recorrido. ¿Qué parte recorrió en la cuarta etapa? 12 Operaciones combinadas con fraccionesACTIVIDADES 44 P12-3083-C02.indd 44 10/31/12 5:56 PM 33. Planteen y resuelvan las siguientes situaciones. a. En la siguiente figura, abc y noc son triángulos equiláteros. Escriban la expresión que permite calcular el perímetro del área sombreada. 1— 4 m b o a n c 3— 4 m b. En la siguiente figura, el lado del cuadrado efcg mide 1 __ 3 m y el del cuadrado abcd, 2 __ 3 m. Escriban la expresión que permite calcular el área sombreada. a d g e c f b 34. Completen con <, > o =, sin hacer los cálculos. a. ( 1 __ 3 ) 2 + ( 1 __ 3 ) 2 ( ) 1 b. 1 __ 2 + 1 __2 1 d. 3 __ 4 + 1 __ 3 . 3 2 35. Resuelvan. a. √ __ 1 __ 4 . √ ___ 4 ___ 36 + 5 ___ 12 . 18 ___ 5 = c. √ ___ 25 ___ 9 . 9 ___ 25 + 6 ___ 10 – 6 __ 5 : 12 ___ 10 = b. ( 3 __ 2 ) 2 – 5 __ 3 . 6 ___ 15 . 2 + √ __ 9 ___ 16 = d. 27 ___ 2 : 15 ___ 4 – 35 ___ 5 . 10 ___ 24 = 12 Operaciones combinadas con fraccionesACTIVIDADES 45 Nombre: Curso: Fecha: / / < 1 c. 5 __6 2 > P12-3083-C02.indd 45 10/31/12 5:56 PM 46 12 Operaciones combinadas con fraccionesACTIVIDADES 46 36. Resuelvan. a. ( 1 __ 2 + 1 __ 4 ) 2 : 1 __ 4 – √ __ 9 __ 4 + 1 __ 5 = d. √ ___ 16 ___ 25 + 7 __ 2 : 14___ 4 . 13 – √ ___ 49 ___ 5 2 = b. √ ______ 2 __ 5 + 6 ___ 25 . 1 __ 2 + 3 √ ___ 27 ___ 8 – 2 3 __ 5 = e. √ ______ 2 . 18 ___ 25 + √ _______ 1 + 21 ____ 100 – 3 __ 5 = c. ( 1 __ 2 + 1 __ 4 + 1 __ 3 ) . 1 ___ 13 + 2 __ 3 – 3 √ _____ 125 _____ 1 000 = f. 3 √ _____ 3 __ 2 . 9 __ 4 + 4 √ ___ 81 – ( 1 __ 4 ) 2 = b. La diferencia entre las dos quintas partes de quince medios y la décima parte de doce. Uno de los lados de una alfombra rectangular mide 3 __ 5 m y el otro, 2 __ 3 m aumentado en 2 m. Indiquen cuál de las expresiones permite calcular. a. El perímetro de la alfombra. i. 2 . 3 __ 5 + 2 . 2 __ 3 + 2 ii. 2 . 3 __ 5 + 2 . ( 2 __ 3 + 2 ) iii. 2 . 3 __ 5 + 2 __ 3 + 2 b. El área de la alfombra. i. 2 __ 3 + 2 . 3__5 ii. 2 + ( 2 __ 3 . 3 __ 5 ) iii. ( 2 __ 3 + 2 ) . 3__5 menteACTIVA 37. Escriban en lenguaje simbólico y resuelvan. 38. La suma entre un cuarto de diez y dos tercios de trece. 19___20 P12-3083-C02.indd 46 10/31/12 5:56 PM 47 39. Indiquen la fracción irreducible que repre- sentan los puntos marcados con letras. 0 1 c d ea b 2 3 40. Tengan en cuenta el entero e indiquen la fracción que representa cada figura. Entero: a. c. b. d. 41. Completen para obtener fracciones equiva- lentes. a. 8 ___ 20 = 10 = 80 = 2 = 48 b. 56 ___ 34 = 28 = 168 = 560 = 204 c. 105 ____ 315 = 21 = 21 = 3 = 35 42. Escriban la fracción irreducible que corres- ponde a la parte sombreada de cada figura. a. c. b. d. 43. Completen cada figura para obtener el entero correspondiente a cada fracción. a. Un tercio. c. Un medio. b. Dos séptimos. d. Tres cuartos. 44. Simplifiquen las siguientes fracciones. a. 150 ____ 120 = d. 64 ____ 124 = b. 86 ____ 108 = e. c. 1 800 _____ 108 = f. 45. Resuelvan. Escriban el resultado como frac- ción irreducible. a. 2 __ 7 + 5 __ 9 – 1 __ 3 – 1 __9 = d. 20 ___ 16 . 32 ___ 15 . 25 ___ 8 = b. 9 ___ 18 + 25 ___ 4 – 7 __ 6 = e. 56 ___ 18 . 15 ___ 14 : 6 __ 5 = c. 49 ___ 32 : 147 ____ 16 = f. 15 ___ 16 : 21 ___ 20 : 50 ___ 14 = c. El producto entre un medio y dos quintos. d. El cociente entre diez novenos y diez tercios. e. La mitad de la suma entre dos tercios y cinco cuartos. f. El cuadrado de siete quintos, más uno. 47 Integración capítulo 28.9.10.11.12CONTENIDOS Nombre: Curso: Fecha: / / ____200 450 =54 ____336 288 = 3 4 336 46. Ordenen de menor a mayor los resultados de la actividad anterior. 47. Escriban en lenguaje simbólico y resuelvan. 48. El triple de la raíz cuadrada de dieciséis novenos. 49. La raíz cúbica de la mitad de cincuenta y cuatro. 38. Representen en la recta numérica. 39. 2 __1 ; 4 __3 ; 3 __2 ; 6 __5 40. 6 __1 ; 5 __2 ; 3 __4 ; 2 __3 P12-3083-C02.indd 47 10/31/12 5:56 PM 4848 48. Lean atentamente y resuelvan. a. Anabella tiene 108 fotos que se tomó con sus amigas. La cuarta parte las tiene pegadas en un mural en su pared, la mitad las colocó en un álbum y el resto, las quiere guardar en una caja. ¿Qué parte de las fotos piensa guar- dar? ¿Cuántas fotos tiene pegadas en el mural? na 1 __ 4 para el alquiler de su departamento, 1 __ 5 para impuestos, la tercera parte para dis- tintos gastos del mes y el resto lo ahorra. ¿Qué parte ahorra del sueldo? 49. Resuelvan. a. 3 √ ___ 27 ___ 8 . [ ( 2 __ 3 ) 2 + 8 __ 3 ] – 10 ___ 3 = b. 1 – ( 1 __ 2 ) 2 + 6 __ 8 . 1 __ 3 + √ ___ 36 ___ 9 = c. 2 . [ 16 ___ 5 : 8 __ 3 + 7 ___ 10 . 5 ___ 14 – 1 __ 2 . ( 4 __ 3 . 12 ___ 8 ) ] = d. √ ______ 13 ___ 9 – 1 . ( 5 __ 3 + 7 ___ 12 ) + 5 __ 3 = 50. Resuelvan. a. Al casamiento de Graciela asistieron 60 invi- tados, entre adultos, jóvenes y niños. Si hay gastó en cada compra? 51. Planteen y resuelvan las siguientes situa- ciones. a. El área y el perímetro del siguiente rectángulo. 1— 3 m 2— 5 m d cg a b fe c. El perímetro de la siguiente figura sabiendo que abce es un cuadrado, cde es un triángulo equilátero y ab = 1 __ 4 m. a b e c d lo, ab = 9 __ 2 cm y bc = 3 __ 4 cm. a b d ce 52. Escriban en lenguaje coloquial y resuelvan. a. 3 __ 8 . 1 __ 6 = c. √ ______ 25 ___ 9 – 1 = b. 3 __ 5 : 10 ___ 3 = d. 3 __ 4 . √ ___ 25 ___ 9 = 48 2 __1 de adultos y 20 jóvenes, ¿cuántos niños hay en la reunión? . b. Nicolás tenía ahorrados $432. Destinó la mitad para comprar una bici, la cuarta parte para comprar un videojuego para la computado- ra, la sexta parte para un libro y ___112 para hacerle un regalo a su hermana menor. ¿Cuánto dinero c. En el cumpleaños de Rodrigo, su mamá cortó la torta en 16 porciones. Si su amigo Juan come 8 __1 de la torta, su hermana Mariana ___116 y Rodrigo 4 __1 , ¿cuántas porciones sobraron? d. La cuarta parte de un edificio está com- puesta por departamentos de un ambiente, las dos terceras partes por departamentos de dos ambientes y el resto de tres ambientes. Si en total son 48 departamentos, ¿cuántos de cada tipo hay? b. ¿Cuál es el perímetro de un cuadrado, si se sabe que su área es de ____121100 cm 2? 22___5 cm c. Adriana tiene un sueldo de $6 360; desti- a. 5 m 2; P = ___15 22 m b. El área sombreada sabiendo que abcd y efcg son cuadrados, ab = 5 __6 m y cf = 2 __1 . ab. c. d. El área sombreada, si abcd es un rectángu- P12-3083-C02.indd 48 10/31/12 5:56 PM Fracciones y expresiones decimales Nombre: Curso: Fecha: / / 49 12 15 16 17 191813 14 Una fracción representa una relación entre dos cantidades. Agustina quiere pintar las paredes de su casa. Para lograr el color que le gusta, mezcló dos potes rojos con cinco amarillos. ¿Cuál es la fracción que representa la relación entre los potes rojos y amarillos? La fracción 2 __ 5 indica que cada dos potes rojos se deben utilizar cinco amarillos. Si se efectúa la división entre el numerador y el denominador de una fracción, el cociente que se obtiene es la expresión decimal de la fracción, que está formada por una parte entera y una parte decimal. 5 ___ 10 = 0,5 “cinco décimos” 5 ____ 100 = 0,05 “cinco centésimos” 5 ______ 1 000 = 0,005 “cinco milésimos” El denominador de una fracción decimal tiene tantos ceros como lugares decimales tiene la expresión decimal que le corresponde. Una fracción irreducible tiene una expresión decimal finita, cuando los factores primos del deno- minador son potencias de 2, de 5 o de ambos. 3 __ 2 = 15 ___ 10 = 1,5 8 ___ 25 = 32 ____ 100 = 0,32 1 __ 8 = 125 ______ 1 000 = 0,125 Existen fracciones que no se pueden escribir como fracción decimal y por lo tanto, no tienen una expresión decimal finita. 2 __ 9 no tiene una fracción decimal equivalente, porque uno de sus factores primos (el 3) no es potencia de 2 ni de 5. Por lo tanto, 2 __9 es una expresión decimal periódica. 2 __ 9 = 2 : 9 = 0,222… = 0,2 Se puede seguir dividiendo infinitamente. La expresión tiene infinitas cifras decimales periódicas. 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿Cómo se obtiene la expresión decimal de una fracción? b. La expresión 2,10, ¿se lee dos enteros diez décimos o dos enteros diez centésimos? c. ¿Qué estrategia pueden utilizar para decidir si la expresión decimal correspondiente a 42___63 es finita o periódica (sin hacer la división)? test de comprensión infoactiva 2120 22 P12-3083-C02.indd 49 10/31/12 5:56 PM 53. Escriban la expresión decimal que corresponde a cada fracción. a. 1 __ 4 = c. 8 ___ 10 = e. 1 __ 2 = g. 4 __ 9 = b. 1 __ 3 = d. 5 ___ 10 = f. 2 __ 3 = h. 1 ___ 20 = 54. Escriban la fracción que corresponde a cada expresión decimal. a. 0,5 = b. 0,14 = c. 2,5 = d. 0,23 = 55. Completen con <, > o = según corresponda. a. 0,7 0,7 d. 0,23 1,03 b. 0,24 0,241 e. 2,777 7__9 c. 0,6 2__3 f. 1,03 1,3 i. 1 ___25 0,04 56. Marquen con una X las fracciones decimales. a. 1 ____100 c. 5 ___12 e. 7 ___18 g. 4 ____125 b. 7 ___10 d. 12___ 20 f. 3__ 8 h. 4 ___45 57. Completen con una expresión decimal que se encuentre entre los números dados. a. 1,5 1,7 e. 1,12 1,12 b. 1,5 1,6 f. 0,83 0,83 c. 0,05 0,5 g. 0,83 0,83 d. 1,05 1,5 h. 0,68 0,68 58. Resuelvan. a. Escriban dos cuentas de dividir entre números naturales que den como resultado 0,2. 59. Completen la tabla. Fracción irreducible Fracción equivalente Fracción decimal Expresión decimal 3__5 10___8 1,36 13 Fracciones y expresiones decimalesACTIVIDADES 50 2,7 h. 0,7 0,2 g. 1,03 b. Escriban dos cuentas de dividir entre números naturales que den como resultado 1,75. P12-3083-C02.indd 50 10/31/12 5:56 PM Operaciones con expresiones decimales. Porcentaje Nombre: Curso: Fecha: / / 51 13 16 17 18 1914 15 El resultado de multiplicar dos expresiones decimales finitas tiene tantos lugares decimales como la suma de los lugares decimales de los factores. Cuando se multiplica una expresión decimal por 10, 100, 1 000, etc., se corre la coma a la dere- cha tantos lugares como ceros tenga el 10, 100, 1 000, etc. 1,21 . 10 = 121 ____ 100 . 10 = 121 ____ 10 = 12,1 Para realizar la división decimal, se debe multiplicar el dividendo y el divisor por 10, 100, 1 000, para que el divisor sea un número natural. 43,25 : 1,5 22,8 : 4,12 . 10 . 10 . 100 . 100 432,5 : 15 2 280 : 412 Cuando se divide una expresión decimal por 10, 100, 1 000, etc., se corre la coma a la izquierda tantos lugares como ceros tenga 10, 100, 1 000, etc. Para calcular la potencia o raíz de una expresión decimal, se puede escribir la forma fraccionaria de la expresión y luego, se resuelve
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