Mate 1 Activados

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MATEMÁTICA
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MATEMÁTICA
Equivalente a 7.º
Gerente editorial
Daniel Arroyo
Jefe del área de Matemática
Gabriel H. Lagoa
Autores
Roxana Abálsamo
Adriana Berio
Cintia Kotowski
Lourdes Liberto
Silvana Mastucci
Gabriela Prandini
Nora Quirós
Susana Vázquez
Foto Activados: Laura Pezzatti
Corrector de estilo
Gabriel Valeiras
Coordinadora de Diseño
Natalia Udrisard
Diseñadora de maqueta
Patricia Cabezas
Diagramación
Pablo Alarcón y Alberto Scotti para Cerúleo
Ilustradores
Wally Gómez
Viñetas de humor: Claudio Kappel
Fotografías
Archivo de imágenes de Grupo Macmillan
Latinstock
Thinkstock
Wikimedia commons
Gerente de Preprensa y Producción Editorial
Carlos Rodríguez
Matemática 1 : fotoactivados / Roxana Abálsamo ... [et.al.]. - 1a ed. 2a reimp. - 
Boulogne: Puerto de Palos, 2013. 
 224 p.: il.; 28 x 20 cm - (Activados)
ISBN 978-987-547-527-4 
1. Matemática. 2. Enseñanza Secundaria. 3. Libros de Texto. I. Abálsamo, 
Roxana 
CDD 510.712
© Editorial Puerto de Palos S.A., 2012.
Editorial Puerto de Palos S.A. forma parte del Grupo Macmillan.
Av. Blanco Encalada 104, San Isidro, provincia de Buenos Aires, Argentina.
Internet: www.puertodepalos.com.ar
Queda hecho el depósito que dispone la Ley 11.723.
Impreso en Argentina.
Printed in Argentina.
ISBN 978-987-547-527-4
La presente obra se ha elaborado teniendo en cuenta los aportes surgidos de los encuentros organizados por 
el “Instituto Nacional contra la Discriminación, la Xenofobia y el Racismo” (INADI) con los editores de texto.
No se permite la reproducción parcial o total, el almacenamiento, el alquiler, la transmisión o la 
transformación de este libro, en cualquier forma o por cualquier medio, sea electrónico o mecánico, mediante 
fotocopias, digitalización y otros métodos, sin el permiso previo del editor.
Su infracción está penada por las leyes 11.723 y 25.446.
Primera edición, segunda reimpresión. 
Esta obra se terminó de imprimir en enero de 2014, en los talleres de Impresiones Sud América, 
Andrés Ferreyra 3769, Ciudad Autónoma de Buenos Aires, Argentina. 
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MATEMÁTICA
Es una nueva propuesta que facilita el aprendizaje de la matemática a través de 
635 actividades que favorecen la comprensión de los distintos temas.
En formato binarizado, la sección Foto Activados conecta la matemática con la 
vida cotidiana a través de la fotografía.
Foco y Mira son los personajes de esta serie. Les gusta mucho sacar fotos, principalmente 
de todo aquello que los hace recordar algún tema de matemática. Así, le encuentran sentido a 
todas las cosas que aprenden día a día en la escuela.
Apertura: cada capítulo comienza 
con una actividad ilustrada 
relacionada con la foto que aparece 
en la sección Foto Activados.
En la situación inicial de 
aprendizaje se introduce el tema del 
capítulo a través de una estrategia de 
resolución de problemas.
En el cuadro de 
contenidos aparecen los 
temas numerados para su 
fácil identificación.
InfoActiva: brinda 
definiciones, clasificaciones, 
procedimientos básicos y 
ejemplos de cada contenido 
que facilitan la comprensión.
Conector: invita a repasar 
conceptos explicados en páginas 
anteriores.
Test de comprensión: incluye 
preguntas básicas que permiten 
evaluar la comprensión de la teoría y 
revisar errores comunes.
Mira
Foco
LOS CAPÍTULOS INCLUYEN LAS SIGUIENTES SECCIONES Y PLAQUETAS:
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Actividades: para cada tema se 
proponen distintas actividades que 
están organizadas de manera 
secuencial (las actividades de cada 
capítulo llevan una numeración 
independiente a la de los otros).
menteACTIVA: propone 
situaciones problemáticas con un 
mayor nivel de complejidad.
situaciones problemáticas con un 
mayor nivel de complejidad.
Integración: incluye más 
actividades para resolver en la 
carpeta.
Autoevaluación: propone 
más actividades para que cada 
alumno pueda evaluar los 
conocimientos adquiridos 
durante el capítulo.
Trabajos prácticos: 
incluyen más actividades para 
practicar los temas del 
capítulo.
Foto ACTiVAdos: en esta sección, Laura 
Pezzatti, especialista en el área de la matemática, 
ofrece una serie de actividades que conectan la 
matemática con la vida cotidiana a través de la 
fotografía.
Foco y Mira presentan las fotos que obtuvieron 
para que podamos advertir cuánta matemática hay a 
nuestro alrededor.
foto
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Capítulo 1: NÚMEROS NATURALES .............. 8
 1. Sistema de numeración decimal. ......... 9
 2. Multiplicación y división. 
 Propiedad distributiva. ........................ 11
 3. Potenciación y radicación. ................. 13
 4. Operaciones combinadas. .................. 15
 Integración .......................................... 19
 5. Divisibilidad y factorización. .............. 21
 6. Múltiplo común menor 
 y divisor común mayor. ..................... 23
 7. Lenguaje simbólico. Ecuaciones. ........ 25
 Integración .......................................... 29
 Autoevaluación ................................ 31
Capítulo 2: FRACCIONES 
 Y EXPRESIONES DECIMALES ......................... 32
 8. Orden y representación. ..................... 33
 9. Fracciones equivalentes. .................... 35
 10. Operaciones con números 
 racionales. .......................................... 37
 11. Potenciación y radicación 
 de fracciones. ..................................... 41
 12. Operaciones combinadas 
 con fracciones. ................................... 43
 Integración .......................................... 47
 13. Fracciones y expresiones decimales. .... 49
 14. Operaciones con expresiones 
 decimales. Porcentaje. ....................... 51
 15. Operaciones combinadas. .................. 55
 Integración .......................................... 57
 Autoevaluación ................................ 59
Capítulo 3: FUNCIONES ............................. 60
 16. Gráficos y tablas. ................................ 61
 17. Funciones. ........................................... 65
 18. Función de proporcionalidad directa. ... 67
 19. Función de proporcionalidad inversa. ... 69
 Integración .......................................... 71
 Autoevaluación ................................ 73
Capítulo 4: CUERPOS ................................. 74
 20. Clasificación de los cuerpos. .............. 75
 21. Poliedros regulares. ............................ 77
 22. Desarrollo plano de cuerpos. ............. 79
 23. Punto, recta y plano. ......................... 83
 Integración .......................................... 85
 Autoevaluación ................................ 87
Capítulo 5: ÁNGULOS ................................ 88
 24. Sistema sexagesimal. Operaciones. ...... 89
 25. Ángulos complementarios 
 y suplementarios. ............................... 91
 26. Ángulos adyacentes y opuestos 
 por el vértice. ..................................... 93
 27. Mediatriz de un segmento 
 y bisectriz de un ángulo. ................... 95
 Integración .......................................... 97
 Autoevaluación ................................ 99
Capítulo 6: FIGURAS PLANAS .................. 100
 28. Triángulos. Elementos 
 y propiedades. ................................... 101
 29. Construcción de triángulos. ............. 103
 30. Cuadriláteros. Elementos 
 y propiedades. .................................. 107
 31. Construcción de cuadriláteros. ......... 109
 Integración ......................................... 113
 32. Círculo y circunferencia. Elementos 
 y propiedades. ................................... 115
 33. Construcción de circunferencias. ....... 117
 34. Polígonos. .......................................... 119
 35. Construcción de polígonosregulares. ............................................ 121
 Integración ........................................ 125
 Autoevaluación .............................. 127
Índice general
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Capítulo 7: PERÍMETRO, ÁREA 
Y VOLUMEN ................................................ 128
 36. Perímetro y área de 
 figuras planas. .................................. 129
 37. Área lateral y total de prismas, 
 pirámides y cilindros. ....................... 133
 38. Unidades de capacidad y 
 unidades de volumen. ...................... 137
 39. Volumen del prisma, de la pirámide, 
 del cilindro y del cono. .................... 139
 Integración ........................................ 143
 Autoevaluación .............................. 145
Capítulo 8: PROBABILIDAD 
Y ESTADÍSTICA ............................................ 146
 40. Variables, población y muestra ........ 147
 41. Recolección y organización 
 de datos. Tablas. .............................. 149
 42. Frecuencias absolutas y relativas. ....... 151
 43. Gráficos. ............................................ 153
 Integración ........................................ 157
 44. Promedio, mediana y moda. ............ 159
 45. Experimentos aleatorios. 
 Probabilidad simple. ......................... 161
 46. Cálculo combinatorio. ....................... 163
 Integración ........................................ 165
 Autoevaluación .............................. 167
Capítulo 9: NÚMEROS ENTEROS ............. 168
 47. Números negativos. 
 Orden y representación. ................... 169
 48. Adición y sustracción. ....................... 171
 49. Multiplicación y división. ................. 173
 50. Operaciones combinadas. ................ 175
 Integración ........................................ 177
 Autoevaluación .............................. 179
Trabajos prácticos .................................... 180
 Trabajo práctico 1 .............................. 181
 Trabajo práctico 2 ............................ 183
 Trabajo práctico 3 ............................ 185
 Trabajo práctico 4 ............................ 187
 Trabajo práctico 5 ............................ 189
 Trabajo práctico 6 ............................. 191
 Trabajo práctico 7 ............................ 193
 Trabajo práctico 8 ............................ 195
 Trabajo práctico 9 ............................ 197
Control de resultados ............................... 199
foto
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8
NÚMEROS NATURALES
Contenidos
1. Sistema de numeración 
decimal.
2. Multiplicación y división. 
Propiedad distributiva.
3. Potenciación y radicación.
4. Operaciones combinadas.
5. Divisibilidad y factorización.
6. Múltiplo común menor y 
divisor común mayor.
7. Lenguaje simbólico. 
Ecuaciones.
1
Situación inicial de aprendizaje
1. Observen la imagen y resuelvan.
a. Si todos van a ir al Circo Mágico, ¿cuánto dinero deberán pagar en total de entradas? 
Escriban un cálculo para encontrar el resultado.
b. Si solo van a ir algunas personas, inventen situaciones que se respondan con cada uno de 
los siguientes cálculos. Luego, respóndanlas.
• 2 . 13 + 2 . 30 = • 3 . 13 + 2 . 30 + 4 . 20 =
c. Comparen las situaciones que inventaron con las de sus compañeros.
capítulo
a. 3 . $13 + 2 . $30 + 4 . $20 = $179 Deberán pagar $179. b. Solución a cargo del alumno.
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9
3 4 5 7 86 9 10
Sistema de numeración decimal
Nuestro sistema de numeración es:
• decimal, porque utiliza diez símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.
• posicional, porque el valor de cada cifra depende de la posición que ocupa en el número.
billón mil de millón millón mil
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
ce
nt
en
a
ce
nt
en
a
ce
nt
en
a
ce
nt
en
a
de
ce
na
de
ce
na
de
ce
na
de
ce
na
un
id
ad
un
id
ad
un
id
ad
un
id
ad
un
id
ad
Los números naturales se pueden descomponer de distintas formas. Por ejemplo:
35 042 = 30 000 + 5 000 + 40 + 2
35 042 = 3 . 10 000 + 5 . 1 000 + 4 . 10 + 2 . 1
35 042 = 3 . 104 + 5 . 103 + 4 . 101 + 2 . 100
Se lee: treinta y cinco mil cuarenta y dos.
20 040 010 000 = 20 000 000 000 + 40 000 000 + 10 000
20 040 010 000 = 2 . 10 000 000 000 + 4 . 10 000 000 + 1 . 10 000
20 040 010 000 = 2 . 1010 + 4 . 107 + 1 . 104
Se lee: veinte mil cuarenta millones diez mil.
Todos los números se pueden escribir como una suma de productos en los cuales uno de los 
factores es una potencia de base 10.
Las unidades de un número se pueden expresar como el producto entre este y una potencia de 
diez de exponente cero (tengan en cuenta que todo número elevado a la cero es igual a uno).
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Cuál de las descomposiciones del número 3 085 es correcta?
3 . 102 + 8 . 101 + 5 . 100 3 . 103 + 0 . 102 + 8 . 101 + 5 . 100
b. En la descomposición del número 38 548 194, ¿el 5 se multiplica por 105 o por 106?
c. ¿Es verdad que 1 000 000 000 es igual a 1 . 109?
d. ¿Es cierto que 10 es uno de los símbolos del sistema de numeración decimal?
9
1 2
Nombre: Curso: Fecha: / /
test de comprensión
infoactiva
a. La segunda. b. 105. c. Sí. d. No.
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10
1. Unan con flechas cada número con su descomposición.
a. 4 048 080 380 • 4 . 108 + 4 . 107 + 8 . 106 + 8 . 105 + 8 . 103 + 4 . 100
b. 4 480 080 840 • 4 . 108 + 8 . 107 + 3 . 105 + 8 . 104 + 8 . 103 + 8 . 102
c. 480 388 800 • 4 . 109 + 4 . 107 + 8 . 106 + 8 . 104 + 3 . 102 + 8 . 101
d. 448 808 004 • 4 . 109 + 4 . 108 + 8 . 107 + 8 . 104 + 8 . 102 + 4 . 101
2. Completen para que se verifique la igualdad.
a. 6 . 107 + . 10 + 3 . 10
2 + 2 . 100 = 60 050 302
b. 1 . 109 + 1 . 106 + 5 . 105 + . 10 + 1 . 10
1 = 1 001 501 010
c. 9 . 1012 + 9 . 107 + . 10 + 9 . 10
3 = 9 000 090 019 000
d. 8 . 1014 + . 10 + 8 . 10
6 + 3 . 105 + 5 . 100 = 800 000 908 300 005
3. Escriban la descomposición en potencias de diez de los siguientes números.
a. 4 040 404 = 
b. 78 615 615 = 
c. 142 208 056 = 
4. Marquen con una X las expresiones que correspondan al número 360 306.
a. Trescientos seis mil trescientos seis. 
b. 300 000 + 6 000 + 300 + 6 
c. 3 . 107 + 6 . 105 + 3 . 103 + 6 . 101 
d. Trescientos sesenta mil trescientos seis. 
e. Tres centenas de mil, seis decenas de mil, tres centenas y seis unidades. 
f. 3 . 106 + 6 . 105 + 3 . 103 + 6 . 101 
g. 3 . 105 + 6 . 104 + 3 . 102 + 6 . 100 
h. Trescientos millones sesenta mil trescientos seis. 
i. 300 000 + 60 000 + 300 + 6 
5. Rodeen con color el número que cumple con las condiciones dadas.
Es mayor que doscientos mil y menor que doscientos diez mil. El valor de dos de sus cifras 
equivale a 5 . 10 3 y 3 . 10 2 . La cifra de las unidades es el doble de tres.
205 356 215 356 206 536 205 303
1 Sistema de numeración decimalACTIVIDADES
10
5
1
1
9
4
3
4
8
1 . 108 + 4 . 107 + 2 . 106 + 2 . 105 + 8 . 103 + 5 . 101 + 6 . 100
7 . 107 + 8 . 106 + 6 . 105 + 1 . 104 + 5 . 103 + 6 . 102 + 1 . 101 + 5 . 100
4 . 106 + 4 . 104 + 4 . 102 + 4 . 100
X
X
X
X
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11
1 4 5 6 8 97 10 11
Multiplicación y división. Propiedad distributiva
Nombre: Curso: Fecha: / /
11
2 3
Los números que intervienen en una multiplicación y en una división tienen nombres especiales.
 Multiplicación División
 a . b = c D d
 r c
 /
 D = d . c + r
producto dividendo divisor
factores resto cociente
Propiedades de la multiplicación
Asociativa: si se cambia el orden de los 
paréntesis, el resultado no cambia.
(5 . 12) . 4 = 5 . (12 . 4)
Conmutativa: el orden de los factores no 
cambia el resultado.
6 . 8 = 8 . 6
Disociativa: un factor se puede descomponer 
en otros factores.
7 . 24 = 7 . (2 . 12)
Elemento neutro: el número 1 como factor 
no cambia el resultado.
15 . 1 =1 . 15 = 15
Propiedad distributiva de la multiplicación
 
 
3 . (4 + 5) = 3 . 4 + 3 . 5 (9 – 3) . 2 = 9 . 2 – 3 . 2
Propiedad distributiva de la división
 
 
(12 + 4) : 2 = 12 : 2 + 4 : 2 (15 – 9) : 3 = 15 : 3 – 9 : 3
En la división, solo se puede distribuir el divisor.
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. Si se multiplica un número por uno, ¿qué número se obtiene?
b. ¿A qué es igual 532 . 70? ¿Cómo se puede resolver aplicando propiedades?
c. Los cálculos (3 + 6) . 5 y 3 + 6 . 5, ¿dan el mismo resultado?
d. ¿Cuál es el resultado de 0 : 5? ¿Y de 5 : 0?
e. Los cálculos (15 + 20) : 5 y 5 : (15 + 20), ¿dan el mismo resultado?
f. Para obtener el resultado de 120 : (10 + 2), ¿se puede aplicar la propiedad distributiva?
infoactiva
test de comprensión
a. El mismo número. b. 37 240. Disociativa y asociativa. c. No. d. 0. No se puede resolver. e. No. f. No.
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6. Expresen las siguientes sumas como multiplicación, si es posible, y resuelvan.
a. 3 + 3 + 3 + 3 = = d. 3 + 4 = = 
b. 2 + 2 + 2 = = e. 5 + 4 + 21 = = 
c. 4 + 4 = = f. 9 + 9 + 9 = = 
7. Escriban V (Verdadero) o F (Falso), según corresponda.
a. 1 . 3 = 1 c. 0 . 0 = 0 e. 0 : 10 = 0 
b. 3 . 0 = 3 d. 10 : 10 = 0 f. 10 : 0 = 0 
8. Resuelvan las siguientes divisiones.
a. 45 : 3 = d. 108 : 12 = 
b. 78 : 6 = e. 248 : 8 = 
c. 140 : 10 = f. 1 260 : 20 = 
9. Completen con = o ≠, según corresponda. Expliquen la respuesta.
a. 3 + (2 + 4 + 1) 3 . 2 + 3 . 4 + 1 d. (20 + 40) : 5 20 + 40 : 5
b. (20 + 40) . 5 20 . 5 + 40 . 5 e. 120 : (20 + 40) 120 : 20 + 120 : 40
c. (6 + 12) : 6 6 : 6 + 12 : 6 f. (165 – 90) : 15 165 : 15 – 90 : 15
10. Resuelvan de dos maneras diferentes, cuando sea posible.
Sin aplicar la propiedad distributiva Aplicando la propiedad distributiva
(96 + 60 + 12) : 6
7 . (20 – 6)
150 : (20 + 10)
(25 – 13 + 18) . 4
(25 + 15) : 5
11 . (13 + 5)
2 Multiplicación y división. Propiedad distributivaACTIVIDADES
12
≠ ≠
≠=
= =
F
6
8
12 7
30
27
3 . 2
2 . 4
4 . 3
15 9
63
13 31
14
No.
No.
3 . 9
F F F
V V
= 168 : 6
= 28
= 96 : 6 + 60 : 6 + 12 : 6
= 16 + 10 + 2
= 28
= 7 . 14
= 98
= 7 . 20 – 7 . 6
= 140 – 42
= 98
= 150 : 30
= 5
No se puede aplicar la propiedad 
distributiva.
= 30 . 4
= 120
= 25 . 4 – 13 . 4 + 18 . 4
= 100 – 52 + 72
= 120
= 40 : 5
= 8
= 11 . 18
= 198
= 25 : 5 + 15 : 5
= 5 + 3
= 8
= 11 . 13 + 11 . 5
= 143 + 55
= 198
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5 6 7
Potenciación y radicación
Nombre: Curso: Fecha: / /
13
2 3 4 98 11 1210
Potenciación
La potenciación es una operación que permite escribir en forma abreviada una multiplicación de 
factores iguales.
 4 2 = 4 . 4 = 16 “cuatro elevado al cuadrado” 4 3 = 4 . 4 . 4 = 64 “cuatro elevado al cubo”
Propiedades de la potenciación Ejemplo
• Para multiplicar dos potencias de igual base, se 
escribe la misma base y se suman los exponentes.
32 . 33 = 3 . 3 . 3 . 3 . 3
= 3 2+3 = 35
• Para dividir dos potencias de igual base, se escribe 
la misma base y se restan los exponentes.
25 : 22 = (2 . 2 . 2 . 2 . 2) : (2 . 2)
= 25–2 = 23
• Para calcular la potencia de otra potencia, se escribe 
la misma base y se multiplican los exponentes.
 (52) 3 = (5 . 5) 3 
= (5 . 5) . (5 . 5) . (5 . 5)
= 52 . 3 = 56
• La potenciación es distributiva con respecto a la 
multiplicación y a la división.
(4 . 3)2 = 42 . 32
(12 : 4)2 = 122 : 42
Radicación
La radicación es la operación inversa a la potenciación.
√ 
___
 64 = 8, porque 82 = 64 3 √ 
___
 27 = 3, porque 33 = 27
 Se lee “la raíz cuadrada de 64 es 8”. Se lee “la raíz cúbica de 27 es 3”.
Propiedades de la radicación Ejemplo
• La radicación es distributiva con respecto a 
la multiplicación y a la división.
 √ 
______
 9 . 16 = √ 
__
 9 . √ 
____
 16 
 √ 
________
 64 : 16 = √ 
____
 64 : √ 
___
 16 
• Para multiplicar o dividir raíces de igual índice, 
se escribe una raíz con el mismo índice y con el 
radicando igual a la multiplicación o división de 
los radicandos dados, según corresponda.
 √ 
__
 8 . √ 
__
 2 = √ 
_____
 8 . 2 
 3 √ 
_____
 243 : 3 √ 
__
 9 = 3 √ 
________
 243 : 9 
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Cuáles son los cuadrados de los primeros diez números? ¿Qué raíces pueden calcular conociéndolos?
b. El procedimiento 30 . 3 . 32 = 33, ¿es correcto?
c. Para resolver 4 √ 
___
 16 , ¿se debe calcular 16 : 4?
infoactiva
test de comprensión
a. 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64; 81; 100. b. Sí. c. No.
P12-3083-C01.indd 13 2/27/15 3:23 PM
3 Potenciación y radicaciónACTIVIDADES
14
11. Escriban el desarrollo de cada potencia y resuelvan.
a. 72 = e. 105 = 
b. 35 = f. 28 = 
c. 14 = g. 54 = 
d. 41 = h. 63 = 
12. Escriban cómo se lee cada potencia.
a. 25: 
b. 32: 
c. 23: 
13. Escriban como potencia los siguientes productos y resuelvan.
a. = 5 . 5 . 5 = d. = 7 . 7 . 7 = 
b. = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = e. = 6 . 6 . 6 . 6 = 
c. = 3 . 3 = f. = 9 . 9 . 9 = 
14. Completen con V (Verdadero) o F (Falso).
a. (5 + 3)2 = 52 + 32 d. (8 : 4)
2 = 82 : 42 
b. (5 . 3)2 = 52 . 32 e. 2
3 = 32 
c. (8 – 4)2 = 82 – 42 f. ( 2 
7 ) 2 = 27 . 22 
15. Completen con los números que faltan.
a. √ 
__
 9 = , porque 
2
 = 9 f. 
3
 √ 
___________
 = 10, porque 10 = 
b. √ 
___
 25 = , porque 
2
 = 25 g. √ 
___________
 = 8, porque 8 = 
c. 3 √ 
__
 8 = , porque 
3
 = 8 h. 
4
 √ 
___________
 = 2, porque 2 = 
d. 3 √ 
__
 1 = , porque 
3
 = 1 i. √ 
___________
 = 11, porque 11 = 
e. √ 
____
 100 = , porque 
2
 = 100 j. 
4
 √ 
___________
 = 5, porque 5 = 
16. Resuelvan aplicando propiedades, cuando sea posible.
a. 23 . 23 . 2 . 20 = f. √ 
__
 2 . √ 
___
 18 = 
b. 1012 : 1010 . 10 = g. √ 
___
 75 : √ 
__
 3 = 
c. 843 : 810 . 825 : 857 = h. 3 √ 
__
 5 . 3 √ 
___
 25 = 
d. (32)2 . 32 = i. √ 
_________
 81 . 16 : 4 = 
e. (10 . 2 : 5)2 = j. 3 √ 
____________
 64 . 27 . 125 = 
7 . 7 = 49 10 . 10 . 10 . 10 . 10 = 100 000
3 . 3 . 3 . 3 . 3 = 243 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 256
4 6 . 6 . 6 = 216
dos elevado a la quinta potencia.
tres elevado al cuadrado.
dos elevado al cubo.
1 . 1 . 1 . 1 = 1 5 . 5 . 5 . 5 = 625
5 7
2 6
3 9
125 343
64 1 296
9 729
3 3
6 4
2 3
F V
V F
F F
3 3
5 5
22
1 1
1010
1 0001 000
6464
1616
625625
121121
3
2
4
2
4
23+3+1+0 = 27 = 128 √ 
______
 2 . 18 = √ 
___
 36 = 6
843–10+25–57 = 81 = 8 
3
 √ 
______
 5 . 25 = 3 √ 
____
 125 = 5 
32.2 . 32 = 34+2 = 36 = 729 √ 
___
 81 . √ 
___
 16 : √ 
__
 4 = 18
102 . 22 : 52 = 16 
3
 √ 
___
 64 . 3 √ 
___
 27 . 3 √ 
____
 125 = 60
1012–10+1 = 103 = 1 000 √ 
______
 75 : 3 = √ 
___
 25 = 5
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6 7 8 109 12 1311
Operaciones combinadas
Nombre: Curso: Fecha: / /
15
3 4 5
Para resolver una operación combinando todas las operaciones, se pueden seguir estos pasos.
 1. Se separa en términos.
2 . √ 
____
 36 + 12 : 2 + 52 . 3 – 615 . 68 : 621 = 2. Se resuelven las potencias y raíces 
2 . 6 + 12 : 2 + 25 . 3 – 62 = (aplicando las propiedades cuando 
2 . 6 + 12 : 2 + 25 . 3 – 36 = sea posible). 
12 + 6 + 75 – 36 = 3. Se resuelven las multiplicaciones y 
93 – 36 = divisiones.
= 57 4. Se resuelven las sumas y restas.4. Se resuelven las sumas y restas.
Si hay operaciones en el radicando o como base de una potenciación, se deben resolver antes 
de calcular la raíz o la potencia.
 √ 
______________
 52 + 12 . 3 + 3 – (15 : 3 – 3) 2 + 144 : 12 = 1. Se separan los términos.
 √ 
_______________
 25 + 12 . 3 + 3 – (15 : 3 – 3) 2 + 144 : 12 = 2. Se resuelven las operaciones que hay
 √ 
____________
 25 + 36 + 3 – (5 – 3) 2 + 144 : 12 = en el radicando y en la base de la 
 √ 
____
 64 – 22 + 12 = potencia respetando la jerarquía.8 – 4 + 12 = 3. Se resuelven las potencias y raíces.
= 16 4. Se resuelven las sumas y restas.
1. Respondan y expliquen las respuestas.
 
a. En el cálculo 10 . (5 + 4) : 3, ¿se separó en términos correctamente?
b. ¿En qué orden se deben resolver las operaciones que encierran los paréntesis?
c. ¿Cómo se suprimen los paréntesis en el cálculo (3 + 8) . 2 + 6 . (5 + 4), sin resolver las 
operaciones que ellos encierran?
d. ¿Es cierto que √ 
_____________
 2 . 12 + 3 . 22 = 36?
En la página 13 
podrán repasar las 
propiedades de la 
potenciación y la 
radicación.
 
infoactiva
test de comprensión
a. No. b. Solución a cargo del alumno. c. Aplicando la propiedad distributiva. d. No. Es igual a 6.
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4 Operaciones combinadasACTIVIDADES
16
17. Resuelvan.
a. 2 . √ 
___
 81 – 42 = e. 25 . √ 
____
 100 + 3 . 42 =
 
b. (50 . 2 – 62 : 12)0 = f. √ 
__
 52 + 50 : 16 + √ 
___
 25 . 9 – 33 =
 
c. ( 3 √ 
__
 1 + 13)3 = g. (0 . 3 √ 
__
 1 + 3 . 5 . 14 – 3 √ 
___
 27 ) : √ 
____
 144 =
 
d. √ 
____
 100 + √ 
___
 25 : (22 + 50) – 14 = h. ( 25 + √ 
___
 36 ) . √ 
__________
 22 + 72 : 6 = 
 
18. Escriban el cálculo y resuélvanlo.
a. El doble de la raíz cuadrada de veinticinco.
b. La raíz cuadrada del doble de cincuenta.
c. La raíz cúbica del triple de setenta y dos.
d. El cuadrado del producto entre diez y el doble de cinco. 
e. El cuadrado de la resta entre el cubo de cinco y cien.
f. El doble de la suma entre dieciocho y el cubo de tres, menos veintitrés.
2 . √ 
___
 25 = 10
 √ 
______
 2 . 50 = 10
 3 √ 
______
 3 . 72 = 6
(10 . 2 . 5)2 = 10 000
(53 – 100)2 = 625
2 . (18 + 33) – 23 = 67
2
1
298
24
1
152
8
10
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4 Operaciones combinadasACTIVIDADES
17
Nombre: Curso: Fecha: / /
19. Resuelvan aplicando las propiedades de la potenciación y la radicación, cuando sea posible. 
a. 317 : 315 + 4 √ 
___
 16 = h. 23 . 2 . 23 + 5 . 3 √ 
__________
 (2 + 7) . 3 =
 
b. 52 . 5 . 5 + √ 
__
 8 : √ 
__
 2 = i. 42 : 7 + (23)2 . ( √ 
___
 121 – 3 √ 
__
 6 . 3 √ 
___
 36 ) =
 
c. 100 : (102 – 52 . 3) – 
3
 √ 
_________
 1 000 : 103 = j. 3 √ 
__________
 10 000 : 10 + √ 
___
 10 . √ 
_____
 1 000 =
 
d. (47)12 . 43 : (442)2 – 32 : 16 = k. (53)9 . (54)8 : 526 : (55)6 + 83 : 43 =
 
e. 29 . 27 . 2 : (28 . 28) – 0 : 3 √ 
_____
 1 000 = l. 
4
 √ 
___________
 103 + 74 . 4 + 154 : (3 . 5)2 – 480 : 60 =
 
f. ( √ 
___
 81 + √ 
__
 9 ) : 22 + 517 : 516 = m. √ 
____
 441 : √ 
___
 49 . ( 5 – 3 √ 
__
 8 + 22 ) =
 
g. √ 
__
 3 . √ 
___
 27 + (10 + 3)2 : √ 
____
 169 = n. (39)2 : (315 . 3) + √ 
_______________
 10 . (2 + 3) – 30 =
 
11
627
143
326
110
133
223
21
16
3
62
 2
8
22
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4 Operaciones combinadasACTIVIDADES
20. Completen con <, > o =, según corresponda.
a. √ 
______
 4 . 36 4 . √ 
___
 36 e. 112 + 122 – 63 11
2 + 63 – 122
b. 26 . 16 8
2 . 15 . 3 √ 
__
 1 f. √ 
____
 100 . 102 + 1 1 + 10
2 . √ 
____
 100 
c. [29 . (27)2] (220 . 23) g. √ 
___
 20 . √ 
__
 5 
( 3 √ 
__
 3 . 3 √ 
__
 9 ) 2 
d. 6 √ 
___
 64 . 27 6 √ 
___
 64 . 72 h. 
3
 √ 
__
 82 + 22 + √ 
___
 16 4
0 + 0 : 52 + 4 √ 
___
 81 
21. Marquen con una X el cálculo que corresponde a cada situación y resuelvan.
a. ¿Cuál es el resultado de la suma entre el cubo de la raíz cuadrada de veinticinco y la raíz 
cúbica del cuadrado de ocho?
 25
3 + √ 
__
 82 ( √ 
___
 25 )3 + 
3
 √ 
__
 82 3 . √ 
___
 25 + 3 √ 
_____
 2 . 8 
b. ¿A qué es igual el doble de la diferencia entre el cuadrado de cinco y la raíz cuadrada del 
cubo de cuatro?
 2 . 5
2 – √ 
__
 43 2 . (5 . 2 – 
4
 √ 
__
 43 ) 2 . (5
2 – √ 
__
 43 )
22. Completen. 
a. √ 
___
 16 + √ 
___________
 = 4 + 5 = 
b. √ 
_______________
 50 – = √ 
___________
 = 7
c. √ 
__
 9 + √ 
___________
 = 3 + = 12
d. 
3
 √ 
___________
 + 102 = + = 109
e. 
3
 + 3 √ 
_____
 1 000 = + = 74
f. 
2
 + 120 : = + 20 = 69
g. √ 
________
 144 . 100 + = √ 
___________
 . √ 
____
 100 + 
 = . 10 + = 168 
h. – √ 
_______
 64 : 16 = – √ 
___
 64 : √ 
___________
 
 = – : = 13
18
Para hacer un trabajo de educación artística, Luis y Juan deben cortar figuras de cartón. Luis 
necesita doce cuadrados de 25 cm de lado y Juan, diez rectángulos de 15 cm por 42 cm.
a. ¿Cuánto mide la superficie de cada cuadrado? ¿Y la de cada rectángulo?
b. ¿Quién usará más cartón para cortar todas las figuras?
menteACTIVA
<
=
=
> >
>
X
X
=
<
25
1
81
729
4
7
48 144 48
4812
15 16
15 8 4
15
496
64 10
9 100
9
49
9
a. Luis: 625 cm2. Juan: 630 cm2. b. Luis.
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Integración
capítulo
11.2.3.4CONTENIDOS
Nombre: Curso: Fecha: / /
23. Escriban los números que corresponden a 
las siguientes expresiones. Luego, ordénenlos 
de mayor a menor.
a. 4 C de mil, 8 U de mil y 4 u 
b. 4 . 106 + 8 . 103 + 4 
c. 5 unidades de millón, 5 unidades.
d. 500 000 + 6 000 + 5 
e. 4 . 104 + 8 . 103 + 5 . 100 
f. 400 000 + 80 000 + 80 + 6 
24. Escriban el mayor y el menor número posi-
ble usando todas las cifras de cada uno de los 
siguientes números.
Número Mayor Menor
28 719
162 357
84 165
98 716
25. Marquen con una X el número que corres-
ponde a la siguiente expresión.
4 . 108 + 4 . 105 + 3 . 104 + 9 . 103 + 1 . 102
a. 400 439 100 
b. 404 309 100 
c. 400 403 910 
26. Descompongan cada número de tres for-
mas diferentes.
a. 500 641 d. 948 999
b. 1 206 181 e. 35 112 048 910
c. 400 004 f. 6 200 200 200 200
27. Respondan.
a. En una división el cociente es 20, el divi-
sor es el doble de 12 y el resto es la cuarta 
parte del cociente. ¿Cuál es el dividendo?
b. Al multiplicar dos números, se obtiene 
9 526. Si uno de los factores es 11, ¿cuál es el 
otro factor?
28. Completen las operaciones teniendo en 
cuenta el siguiente cálculo.
30 . 25 = 750
a. 60 . 25 = 
b. 30 . 5 = 750
c. 3 . 25 = 
d. 30 . 250 = 
29. Resuelvan las multiplicaciones y divisiones.
a. 16 . 3 . 5 =
b. 47 . 2 . 100 =
c. 32 . 6 . 10 : 30 =
d. 15 . 4 : 6 . 5 =
e. 104 . 15 : 5 . 24 =
f. 450 : 90 . 20 . 13 =
g. 8 100 : 9 : 3 . 5 =
h. 12 . 21 : 14 . 8 : 24 =
30. Completen con = o ≠, según corresponda. 
Expliquen la respuesta.
a. 3 . 4 4 + 4 + 4
b. (3 + 8) . 2 3 . 2 + 8 . 2
c. 10 : (20 + 30) 20 : 10 + 30 : 10
d. (2 + 8) . (8 + 3) 2 + 8 . 8 + 3
e. (20 + 30) : 10 20 : 10 + 30 : 10
f. (3 + 8) . 2 3 + 8 . 2
31. Resuelvan.
a. 3 + 4 . 12 – 10 : 2 =
b. (3 + 4) . 12 – 10 : 2 =
c. 3 + 4 . (12 – 10) : 2 =
d. 3 + (4 . 12 – 10) : 2 =
32. Resuelvan aplicando la propiedad distributiva.
a. (384 + 336) : 12 =
b. 35 . (42 – 18) =
c. 27 . (12 + 15 – 21) =
d. (105 – 40 + 75) : 5 =
e. (16 + 8 – 10) . 26 =
19
Solución a cargo del alumno.
240
9 400
64
50
7 488
1 300
1 500
46
60
79
840
7
162
22
28
364
6
408 004
4 008 004
48 005
480 086
485
866
5 000 005
506 005
98 721 12 789
7 500
75
1 500
86 541 14 568
765 321 123 567
98 761 16 789
X
2
=
=
=
≠
≠
≠
P12-3083-C01.indd 19 2/27/15 3:23 PM
20
33. Escriban un par de paréntesis para obtener 
el resultado indicado.
a. 12 + 56 : 8 . 2 + 36 = 74
b. 100 : 50 – 5 . 5 + 8 . 6 = 52
c. 34 – 16 : 2 + 7 . 2 = 12
d. 15 + 3 . 18 – 50 : 2 + 26 = 43
34. Resuelvan.
a. 340 . 2 + 120 . 3 – 110 . 2 = 
b. 100 . 7 – 10 . 5 + 8 . 9 =
c. 16 . 4 + 8 : 2 – 4 . 2 =
d. 158 + (78 : 2 – 27) =
e. 372 + (28 + 36 : 4) – 119 = 
f. 543 – (25 . 5 + 16 : 2) = 
35. Escriban V (Verdadero) o F (Falso), según 
corresponda. Expliquen las respuestas.
a. 34 = 12 
b. (3 . 2)5 = 35 . 25 
c. 32 = 23 
d. √ 
____
 100 = 50 
e. (3 + 2 + 5)2 = 32 + 22 + 52 
f. √ 
__
 9 + √___
 16 = √ 
___
 25 
g. √ 
__
 8 . √ 
__
 2 = √ 
___
 16 
h. 3 √ 
___
 16 : 3 √ 
__
 2 = 3 √ 
______
 16 : 2 
36. Completen.
a. ( 6 – ) . 8 = – 40 = 8
b. (3 + 4) . = 39 + = 
c. 2 . ( + ) = 36 + 22 = 
d. ( 27 + ) : 9 = + 5 = 
e. ( + ) : 2 = + 13 = 39
f. (84 – 28) : = – = 4
37. Escriban el cálculo y resuélvanlo.
a. La tercera parte del cubo de seis.
b. La raíz cuadrada de la suma entre ocho y 
cincuenta y seis.
c. La raíz cuadrada de treinta y seis, más la 
quinta parte de doscientos cincuenta.
38. Resuelvan aplicando las propiedades.
a. 2318 . (235)4 : (2330 . 237) . 23 =
b. 658 : (613)3 : 619 . (62)2 =
c. (1015)10 . 10124 : (1010)20 : 1070 =
d. 5 √ 
__
 5 . 
5
 √ 
__
 53 . 
5
 √ 
__
 54 : 
5
 √ 
__
 53 =
e. 6 √ 
___
 16 . 6 √ 
__
 8 : 6 √ 
__
 2 =
f. √ 
___________
 81 . 64 : 144 =
39. Rodeen con color el valor que hace cierta 
la igualdad en cada caso.
a. 28 . 2 . 27 = 2 15 | 1 | 16
b. ( + 5 ) 
2
 = 36 13 | 1 | 6
c. 32 + = 12 3 | 6 | 2
d. 
3
 √ 
____
 . 3 √ 
____
 125 = 5 5 | 1 | 25
e. (32)8 : (3 . 3 . 3
10) = 9 3 | 4 | 2
f. √ 
__________
 100 + = 11 121 | 1 | 21
40. Escriban el cálculo y resuélvanlo.
a. La resta entre el cubo del doble de diez y 
el triple del cuadrado de cuarenta.
b. La resta entre el cubo de seis y la mitad 
de la raíz cuadrada de cuatro.
c. El triple del producto entre el cuadrado de 
dieciséis y la raíz cuadrada de dieciséis.
d. La mitad de la mitad del triple del cuadra-
do de dieciséis.
e. La mitad de la raíz cúbica de la resta entre el 
cuadrado de diez y el cuadrado de seis.
f. La tercera parte de la diferencia entre 
ochenta y seis y cinco, aumentada en la raíz 
cuadrada de ciento sesenta y nueve.
41. Resuelvan.
a. √ 
____
 100 . 4 + 53 – 3 . 17 =
b. ( √ 
___
 25 + √ 
__
 9 ) . 4 =
c. 102 . 3 + 92 . 5 =
d. 10 . (106 . 109 : 1012) – 103 =
e. 3 √ 
____________
 100 : 10 + 17 + 82 =
f. 25 : (29 : 27 + 16) + 4 . 10 =
g. √ 
___________________
 (2 . 8 : √ 
___
 64 + 50) . 3 =
h. 3 √ 
_____
 4 + 4 – √ 
__
 4 + 3 . (27 : 64) =
i. 3 √ 
____
 343 + 3 √ 
____
 512 . 53 – √ 
___
 49 = 
j. 8 . ( √ 
____
 900 + √ 
_____
 1 600 – √ 
_____
 2 500 ) =
20
5
52 26 26
2614
13
18 11 58
8345
52 91
48
(
(
(
(
)
)
)
)
F
F
F
F
F
V
V
V
820
 722
 60
 170
 290
410
64 = 1 296
232 = 529
104 = 10 000
 
5
 √ 
__
 55 = 5
 6 √ 
___
 64 = 2
 √ 
___
 81 . √ 
___
 64 : √ 
____
 144 = 6
114
32
705
3
9 000
6
67
1 000
45
160
3 200
192
2
40
a. 72. b. 8. c. 56.
3 072
215
P12-3083-C01.indd 20 2/27/15 3:23 PM
Un número a es divisible por otro b, cuando a : b es exacta, es decir, tiene resto igual a 0.
15 es divisible por 3 15 es múltiplo de 3 3 es divisor de 15
Criterios de divisibilidad
Un número es divisible por: Ejemplo
• 2, cuando es par. 76; 174
• 3, cuando la suma de sus cifras es un múltiplo de 3. 153; 6 231
• 4, cuando sus dos últimas cifras son ceros o múltiplos de 4. 12; 300
• 5, cuando termina en 0 o en 5. 80; 315 
• 6, cuando es divisible por 2 y por 3 a la vez. 138; 942
• 9, cuando la suma de sus cifras es un múltiplo de nueve. 198; 909
• 10, cuando termina en 0. 50; 230
Un número es primo cuando tiene dos divisores: el 1 y el mismo número. Por ejemplo, 5 es primo, 
ya que tiene como divisores el 1 y el 5.
Un número es compuesto cuando tiene más de dos divisores. Por ejemplo, 12 es compuesto, ya 
que tiene los siguientes divisores: 1, 2, 3, 4, 6 y 12.
Un número compuesto se puede descomponer de manera única en factores primos. A la descom-
posición se la denomina factorización. Para factorear un número, se pueden utilizar los siguientes 
esquemas:
 
35
70
5
7
270
35
7
1
2
5
7 70 = 2 . 5 . 7
Para encontrar todos los divisores de un número, se puede realizar el siguiente procedimiento.
 70 = 2 . 5 . 7 1. Se factoriza el número.
2 . 5 = 10 2 . 7 = 14 5 . 7 = 35 2. Se calculan todos los productos posibles
 de sus factores primos.
Divisores de 70: 1; 2; 5; 7; 10; 14; 35; 70 3. Todo número es divisible por 1 y por sí mismo. 
Divisibilidad y factorización
Nombre: Curso: Fecha: / /
21
4 7 8 9 11105 6 13 1412
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. Para saber si un número es divisible por 6, ¿alcanza con saber que es divisible por 2?
b. ¿Es correcto decir que 1 es un número primo?
c. El número 95 356, ¿es múltiplo de 4?
infoactiva
test de comprensión
a. No. b. No. c. Sí.
P12-3083-C01.indd 21 2/27/15 3:23 PM
5 Divisibilidad y factorizaciónACTIVIDADES
22
42. Escriban los números que cumplen con la condición indicada.
a. Los múltiplos de 3, mayores que 120 y menores que 141: 
b. Los múltiplos de 8, mayores que 200 y menores que 250: 
c. Los divisores de 6: 
d. Los divisores de 20: 
e. Los divisores primos de 60: 
43. Escriban un número que cumpla con las condiciones dadas, usando las cifras 4, 5, 7 y 8.
a. Múltiplo de 2, pero no múltiplo de 4: 
b. Múltiplo de 4 menor que 7 000: 
c. Múltiplo de 11 y par: 
d. Divisible por 4 y que la cifra de las unidades sea menor que 8: 
e. Divisible por 5 y mayor que 8 000: 
44. Marquen una X, según corresponda. 
Es divisible por... 1 2 3 4 5 6 8 9 10 25 100
20
264
415
550
1 125
6 500
9 801
48 000
45. Factoreen los siguientes números y exprésenlos como una multiplicación.
a. 792 b. 600 c. 1 089 d. 4 410
792 = 600 = 1 089 = 4 410 = 
46. Completen con la factorización de los siguientes números. Tengan en cuenta el ejemplo.
a. 280 = . . d. 390 = . . . 
b. 165 = . . e. 297 = . 
c. 720 = . . f. 3 025 = . 
2 7 5
3 1 1
23 . 32 . 11 23 . 3 . 52 32 . 112 2 . 32 . 5 . 72
123, 126, 129, 132, 135, 138
4 578, 4 758, 5 478, 5 874, 7 458, 7 854, 8 574, 8 754 
208, 216, 224, 232, 240, 248
5 784, 5 748, 7 548, 7 584
1, 2, 3, 6
5 478, 5 874, 7 458, 7 854
1, 2, 4, 5, 10, 20
5 784, 7 584
2, 3, 5
8 745, 8 475
X X X X X
X X X X X X
X X
X X X X X
X X X X X
X X X XX X X
X X X
X X X X X X X X X X
2
3 3
2 5
3
5 11
3 11
11
5 13
5
1
1 3
4 2
1
1 1
2 2
1
1 1
1
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Múltiplo común menor y divisor común mayor
Nombre: Curso: Fecha: / /
23
5 8 9 14 1512 1310 116 7
 1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. Para calcular el mcm de dos o más números, ¿siempre hay que multiplicar los números?
b. Dos números son coprimos si su dcm es 1. ¿Dos números consecutivos siempre son coprimos?
c. ¿Cuáles son los factores primos comunes entre 10 y 15? ¿Y los no comunes?
El múltiplo común menor (mcm) entre dos números es el menor de los múltiplos que tienen en 
común esos números, sin tener en cuenta el 0.
Algunos múltiplos de 4 son: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24…
Algunos múltiplos de 6 son: 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36…
12 es el menor múltiplo 
que tienen en común.
mcm (4;6) = 12
Para hallar el mcm (12;30) se factorean los números y se eligen los factores para obtener el 
múltiplo común menor.
 
12 3
 4 2
 2 2
 1
30 2
15 3
 5 5
 1 
 12 = 3 . 2 . 2 30
 12 . 30 = 3 . 2 . 2 . 2 . 3 . 5
 30 = 2 . 3 . 5 
 
12
mcm (12;30) = 22 . 3 . 5 = 60 Para calcular el mcm se multiplican los factores comunes y no
 comunes con su mayor exponente.
El divisor común mayor (dcm) entre dos números es el mayor de los divisores que tienen en común 
esos números.
Los divisores de 18 son: 1, 2, 3, 6, 9, 18
Los divisores de 24 son: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
Para hallar el dcm (28;98) se factorean los números y se eligen los factores para obtener el divisor 
común mayor.
 
28 2
14 2
 7 7
 1 
98 2
49 7
 7 7
 1
 28 = 2 . 2 . 7
 2 . 7 es divisor común mayor entre 28 y 98.
 98 = 2 . 7 . 7
 
dcm (28;98) = 2 . 7 = 14 Para calcular el dcm se multiplican los factores comunes con su menor 
 exponente.
6 es el mayor de los divisores que 
tienen en común.
dcm (18;24) = 6
infoactiva
test de comprensión
a.No. b. Sí. c. 1 y 5; 2 y 3.
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6 Múltiplo común menor y divisor común mayorACTIVIDADES
24
47. Factoreen los siguientes números. Luego, hallen el mcm y el dcm en cada caso.
a. 108 180 392 108 = 
 180 = 
 392 = 
mcm (108;180;392) = dcm (108;180;392) = 
b. 20 200 2 000 20 = 
 200 = 
 2 000 = 
mcm (20;200;2 000) = dcm (20;200;2 000) = 
c. 60 36 65 60 = 
 36 = 
 65 = 
mcm (60;36;65) = dcm (60;36;65) = 
48. Planteen y resuelvan.
a. En un local de iluminación decoraron la vidriera con tres tipos distintos de luces LED azules, 
blancas y lilas. Las luces azules se encienden cada 20 minutos; las blancas, cada 30 minutos y las 
lilas, cada 15 minutos. ¿Cada cuántos minutos se encienden simultáneamente los tres tipos de luz?
b. Un grupo de chicos recolectó 300 muñecas, 420 pistolas de agua, 480 pelotas y 600 rompe-
cabezas para formar paquetes y regalar en el Día del Niño en un club del barrio. Si en cada 
paquete colocarán la misma cantidad de cada juguete, ¿cuál es la mayor cantidad de paquetes 
que podrán armar? ¿Cuántos juguetes de cada tipo tendrá cada paquete?
c. Juan va al club cada tres días, Santiago cada cuatro y Agustín cada seis días. Si fueron los tres 
juntos el 1 de junio, ¿cuándo volverán a encontrarse? ¿Se encontrarán el 23 de junio? ¿Y el 25?
d. Para festejar el Día del Amigo, Camila compró 12 esmaltes, 6 collares, 18 anillos y 36 carame-
los. Si quiere armar bolsas de regalo con la misma cantidad de obsequios de cada tipo, ¿para 
cuántas amigas le alcanza? ¿Qué deberá colocar en cada bolsa?
122 . 32 . 5 . 13 = 2 340
5 . 13
22 . 32
22 . 3 . 5
22 . 5 = 2024 . 53 = 2 000
24 . 53
23 . 52
22 . 5
22 = 423 . 33 . 5 . 72 = 52 920
23 . 72
22 . 32 . 5
22 . 33
Se encienden cada 60 minutos.
Podrán armar 60 paquetes con 5 muñecas, 7 pistolas, 8 pelotas y 10 rompecabezas cada uno.
El 13 de junio. No. Sí.
Para 6 amigas. Deberá colocar 2 esmaltes, 1 collar, 3 anillos y 6 caramelos.
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Lenguaje simbólico. Ecuaciones
Nombre: Curso: Fecha: / /
25
6 9 10 11 13127 8 15 1614
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. El siguiente de un número, ¿cómo se expresa en lenguaje simbólico?
b. ¿Cómo se traduce x 2 al lenguaje coloquial?
c. La ecuación 5x + x + 2x = 56, ¿es equivalente a 7x = 56?
El lenguaje de las palabras, que puede ser oral o escrito, se denomina lenguaje coloquial.
La matemática utiliza un lenguaje particular denominado lenguaje simbólico.
Lenguaje coloquial Lenguaje simbólico
El triple de un número. 3 . x
La cuarta parte de un número. a : 4
El anterior de un número. b – 1
El doble de un número, disminuido en cuatro. 2 . x – 4
Si entre un número y la letra no se indica la operación, se entiende que hay un signo de multiplicar.
6 . x = 6x
Una ecuación es una igualdad en la que hay, por lo menos, un valor desconocido llamado incógnita.
x – 3 = 20
 
 1.° miembro 2.° miembro
Resolver una ecuación significa encontrar el valor o los valores de la incógnita que hacen verda-
dera la igualdad. Cada valor de la incógnita es una solución de la ecuación.
Para resolver una ecuación, se deben obtener ecuaciones equivalentes, es decir, con la misma 
solución, teniendo en cuenta las siguientes propiedades.
• Se suma o resta un mismo número a ambos miembros de la igualdad.
• Se multiplica o divide por un mismo número (distinto de cero) a ambos miembros de la igualdad.
• Se aplica una potencia o raíz a ambos miembros de la igualdad.
 x + 3 = 12 6 . x = 42 x4 = 81
 x + 3 – 3 = 12 – 3 6 . x : 6 = 42 : 6 4 √ 
__
 x4 = 4 √ 
___
 81 
 x = 9 x = 7 x = 3
 x – 8 = 21 x : 5 = 8 3 √ 
__
 x = 5
 x – 8 + 8 = 21 + 8 x : 5 . 5 = 8 . 5 3 √ 
__
 x 3 = 53
 x = 29 x = 40 x = 125
infoactiva
test de comprensión
a. x + 1. b. Un número elevado al cuadrado. c. No, a 8x = 56.
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49. Traduzcan al lenguaje simbólico.
a. El doble de un número. 
b. El anterior del doble de un número. 
c. El doble del anterior de un número. 
d. La mitad de un número. 
e. La diferencia entre un número y su anterior. 
f. El producto entre el doble de un número y su consecutivo. 
50. Unan con flechas cada enunciado con la expresión simbólica correspondiente.
a. La tercera parte del cuadrado de un número. • (x : 3)2
b. El cuadrado de la tercera parte de un número. • x2 : 3
c. El producto entre un número y su cubo. • x . x3
d. El cubo del producto entre un número y su cubo. • [x + (x – 1)] : 2
e. La mitad de la suma entre un número y su anterior. • 3 √ 
_________
 x – (x – 1) 
f. La raíz cúbica de la resta entre un número y su anterior. • (x . x3)3
51. Escriban un problema para cada una de las siguientes ecuaciones y resuélvanlas.
a. 2 . (x – 5) = 36 b. x : 2 + 24 = 2 . 15
 
52. Encuentren el valor de cada incógnita y verifiquen.
a. 8 + m = 52 d. 3 + a : 2 = 19
 
b. t – 8 = 23 e. y3 = 25 . 2
 
c. 3 + x . 2 = 19 f. √ 
__
 n = 32 + 50
 
7 Lenguaje simbólico. EcuacionesACTIVIDADES
26
El doble de la diferencia entre un número y cinco 
es igual a treinta y seis.
La mitad de un número, aumentada en 24 es 
igual al doble de quince.
m = 17 a = 32
t = 16 y = 4
x = 8 n = 100
2a
2a – 1
2 . (a – 1)
a : 2
a – (a – 1) 
2a . (a + 1)
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7 Lenguaje simbólico. EcuacionesACTIVIDADES
27
Nombre: Curso: Fecha: / /
53. Resuelvan cada ecuación y verifiquen la solución.
a. 3 + x = √ 
_______
 25 – 16 h. 10x + 15 + 4 = 37 + 4x 
 
b. 5x – 2 2 = √ 
___
 36 i. 42 + 9x + √ 
__
 4 = 16 . 5 + 2 + 7x 
 
c. x . (4 + 50) = 53 j. 6x – 6 + 3x = 3x + 6
 
d. √ 
__
 9 + x : 3 = 32 k. 3x + 5x – 49 = 2x + x + 11
 
e. 5 + x : 2 = 20 : 4 l. 9x + 45 – 5x = 16 + 5 . 6 + 3x
 
f. 6x + 3x + 7 . 3 = 5 + 35 . 2 m. 6x + 343 : 72 – x = (22 + 1) : 5 + 14 + 3x
 
g. 3x + 50 + x = 25 + 3 √ 
__
 1 n. 4x + 15 + 6x + 3 √ 
__
 8 : 2 = √ 
____
 100 + 8x 
 
x = 0 x = 3
x = 2 x = 32
x = 25 x = 2
x = 87
x = 0
x = 6
x = 8
x = 12
x = 1
x = 4
x = 4
P12-3083-C01.indd 27 2/27/15 3:24 PM
28
7 Lenguaje simbólico. EcuacionesACTIVIDADES
28
El triple de la edad que Sebastián tendrá dentro de cinco años es igual al doble de la edad 
que tendrá dentro de 23 años. ¿Cuál es la edad actual de Sebastián?
menteACTIVA
54. Resuelvan las siguientes ecuaciones aplicando la propiedad distributiva.
a. 4 . (x + 2) = 28 e. 17x – 5 = 5 . (2x + 1) – 3
 
b. 36 + 59 = (20x + 10) : 2 f. 6 . (3x + 5) = 3 . (20 + x)
 
c. 3 . (4x + 6) = 198 g. 3 . (x + 2) = 2 . (x + 2) + 2
 
d. (x + 6) . 9 + 19 = 181 h. 3 . (x – 6) = (2x + 1) . 5 – 8 . 9
 
55. Resuelvan las siguientes ecuaciones con potenciación y radicación. Verifiquen los resultados.
a. x3 + 3 . 14 = 52 . 10 + 8 c. (x – 2)3 + 18 = 530
 
b. 3 . 100 + 26 + √ 
__
 x = 12 . 28 d. √ 
_________
 6 . (x + 9) = 2 . 6
 
x = 5 x = 1
x = 9 x = 2
x = 15 x = 0
x = 12
x = 6
x = 100
Sebastián tiene 31 años.
x = 7
x = 10
x = 15
P12-3083-C01.indd 28 2/27/15 3:24 PM
29
56. Escriban.
a. Todos los divisores de 28.
b. Todos los divisores de 45.
c. Todos los múltiplos de 15 mayores que 16 
y menores que 90.
57. Con las cifras 0, 2, 8 y 5 escriban un 
número que cumpla con las condiciones dadas.
a. Un número de cuatro cifras distintas que 
sea múltiplo de 2 y de 5 a la vez. 
b. Un número de cuatro cifras distintas que 
sea divisible por 2, pero que no sea divisible 
por 5.
c. Un número de cuatro cifras distintas que 
sea divisible por 3, pero que no sea divisible 
por 6.
58. Resuelvan.
a. Marcos dividió un número por 15 y obtuvo 
resto 0.
• ¿El número es múltiplo de 15?
• ¿El número es múltiplo de 3?
• ¿El número es múltiplo de 10?
• ¿El número es múltiplo de 5?
• ¿El número es múltiplo de 30?
b. Florencia dividió un número por 8 y obtu-
vo resto 5.
• Si quiere convertir el número para que sea 
divisible por 8, ¿cuánto deberá sumarle?
• Si quisiera que el nuevo número fueramúl-
tiplo de 80, ¿por qué número debería multi-
plicarlo?
59. Factoreen los siguientes números y expré-
senlos como multiplicación.
a. 1 400 = d. 2 835 = 
b. 1 056 = e. 2 548 =
c. 2 500 = f. 7 007 = 
60. Observen las siguientes potencias de diez 
y respondan. Expliquen sus respuestas.
1023 1012 1021 103
a. ¿Cuál expresa el dcm entre ellas?
b. ¿Cuál expresa el mcm entre ellas?
61. Resuelvan.
a. Si se divide un número por 3, por 5 y por 
7, el resto es 0; pero si se lo divide por 6, 
sobra 3. ¿Cuál es el número?
b. Si al número de la actividad anterior se lo 
divide por 2, ¿qué resto se obtiene? ¿Por qué? 
c. Si se divide un número por 5, por 9 y por 
7, el resto es 0; pero si se lo divide por 2, 
sobra 1. Si se cuadruplica el número, ¿qué 
número se obtiene?
d. ¿Por qué número se debe dividir 1 548 para 
que el cociente sea 64? ¿Cuál será el resto?
62. Tengan en cuenta la descomposición de los 
siguientes números y escriban V (Verdadero) o 
F (Falso), según corresponda. Expliquen la res-
puesta.
2 100 = 2 2 . 3 . 5 2 . 7 441 = 3 2 . 7 2 
2 200 = 2 3 . 5 2 . 11 440 = 2 3 . 5 . 11
a. 8 es divisor de 2 200. 
b. 440 es divisible por 22. 
c. 49 es divisor de 441. 
d. 25 es divisor de 2 100 y de 2 200. 
e. 2 200 es divisible por 55. 
f. El dcm entre los cuatro números es 4. 
g. El mcm entre los cuatro números es: 
23 . 32 . 52 . 72 . 11 
h. 440 y 441 son coprimos. 
i. 2 200 y 441 son coprimos. 
j. 1 es el dcm entre los cuatro números. 
k. 2 100 es divisible por 7, pero no por 49. 
l. El dcm de 2 100 y 2 200 es: 22 . 52. 
63. Escriban.
a. Tres números mayores que 4 y que tengan 
el 64 como mcm.
b. Tres números menores que 80 y que ten-
gan el 20 como dcm.
29
Integración
capítulo
15.6.7CONTENIDOS
Nombre: Curso: Fecha: / /
1, 2, 4, 7, 14, 28
Sí.
3
No se sabe.
1, 3, 5, 9, 15, 45
Sí.
Sí.
Por 10.
103
1023
20; 40; 60
16; 32; 64
No se sabe.
30, 45, 60, 75.
105
1 260
Por 24. El resto será 12.
2 850
1
5 028
8 025
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
F
V
23 . 52 . 7
25 . 3 . 11
22 . 54
34 . 5 . 7
22 . 72 . 13
72 . 11 . 13
P12-3083-C01.indd 29 2/27/15 3:24 PM
3030
64. Hallar el mcm y el dcm entre los siguien-
tes números.
a. 60; 90; 150.
b. 175; 200; 280.
c. 48; 80; 120; 180.
d. 17; 7; 11.
e. 84; 350; 450.
f. 27; 243; 729.
65. Resuelvan.
a. Si el papá de Ema recibe una publicación 
deportiva trimestralmente, una revista de 
actualización médica bimestralmente y un 
suplemento deportivo europeo cada 5 meses, 
¿cada cuántos meses recibe simultáneamente 
las tres publicaciones?
b. La mamá de Andrea tiene 300 cintas ver-
des y 450 blancas para armar moños de rega-
lo. Si todos los moños deben tener la misma 
cantidad de cintas de cada color, ¿cuántos 
moños podrá hacer? ¿Qué cantidad de cintas 
verdes y blancas tendrá cada moño? 
66. Planteen la ecuación y resuelvan. Luego 
verifiquen.
a. El doble de la edad de Mariana es igual a 
la mitad de cincuenta y seis. ¿Cuál es la edad 
de Mariana?
b. El precio de tres kilogramos de helado es 
igual a cuatro veces cuarenta y cinco. ¿Cuánto 
cuesta el kilo de helado?
c. El peso de Luca aumentado en seis es 
igual a la mitad de veinte kilogramos. 
¿Cuántos kilogramos pesa Luca?
d. La cuarta parte de lo vendido en el puesto 
de panchos es igual al doble de ciento ocho. 
¿Cuánto se vendió en total?
67. Resuelvan las ecuaciones y verifiquen.
a. (x + 12) : 6 – 5 = 3
b. (x – 3) : 3 + 20 = 42 + 8
c. 5x – 100 = 69 – 8x
d. 6x – 18 + 2x = 3x + 17 . 6
e. 3 . (x + 5) – 2x + 1 = 48 : 3
f. (x – 2) . 4 + 36 = 45 . 2 + x + 4
68. Resuelvan.
a. Agustín y su hermana Belén completaron un 
álbum de 420 figuritas deportivas. Agustín con-
siguió 162 figuritas más que su hermana. Si x 
representa la cantidad de figuritas que consiguió 
Belén, ¿cuál de las siguientes expresiones permi-
te calcular esas figuritas? ¿Cuántas figuritas obtu-
vo cada uno de ellos?
 x + 162 = 420 162 + x + x = 420
x + 162 + x – 162 = 420
b. Dos amigas, Sandra y Andrea, han tejido 
mantitas para vender. Andrea tejió 8 mantitas 
menos que Sandra y entre ambas se compro-
metieron a entregar 60 mantitas. Si x represen-
ta la cantidad de mantitas que tejió Sandra, 
¿cuál de las siguientes expresiones permite cal-
cular esa cantidad? ¿Cuántas mantitas tejió 
cada una?
 8 – x – 60 = x 8 – x + x = 60
x – 8 + x = 60
69. Escriban la ecuación y resuélvanla.
a. La suma entre el triple de un número y 
el doble de su siguiente es igual a la mitad 
de 84.
b. El cociente entre 20 y 5 es igual al doble del 
anterior de un número, aumentado en 4. ¿Cuál 
es el número?
70. Resuelvan las ecuaciones e indiquen cuá-
les tienen la misma solución.
a. √ 
____
 144 + x : 23 = 70 + 6 . 2
b. x + 3x – 812 : 811 = √ 
___
 64 
c. (x + 2) . 32 = (37)3 : 318
d. (54 – 53) . x – 25 . 10 = 250
71. Resuelvan las siguientes ecuaciones con 
potenciación y radicación. Verifiquen los resul-
tados.
a. x2 – (36 + 2 . 5) = 2 . 32
b. 25 + x3 = 36 + 82 + 2 . 25
c. 45 : (7 + 23) = 3x2
d. 3 √ 
__
 x + 6 . 8 = 52 . 2
e. (7 + 2)2 + √ 
__
 x = 9 . 10
f. √ 
__
 x + 6 . 5 = 22 . 32
30
mcm = 900; dcm = 30
Cada 30 meses.
mcm = 720; dcm = 4
mcm = 1 400; dcm = 5
mcm 1 309; dcm = 1
mcm = 729; dcm = 27
150 moños. 2 cintas verdes y 3 blancas.
mcm = 6 300; dcm = 2
14 años. 20 : 5 = 2 . (x – 1) + 4; x = 1
3x + 2 . (x + 1) = 84 : 2; x = 8
4 kg
$60
864
x = 15 x = 5
x = 4
x = 24 x = 8
x = 1
x = 13 x = 1
x = 1
x = 0 x = 81
x – 8 + x = 60; x = 34
x = 36 x = 8
x = 8
162 + x + x = 420; x = 129
x = 22 x = 36
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31
Autoevaluación 1
72. Descompongan de tres formas diferentes.
26 062 206 = 
73. Resuelvan aplicando propiedades cuando sea posible.
a. 4 . (5 . 7 + 10) + 270 : 30 – (18 – 4 . 2) = 
b. 58 . 513 : 519 + (4 . 9 – 12)0 – √ 
___
 45 : √ 
__
 5 = 
c. 
3
 √ 
___________
 23 . 40 + 231 + 102 . 5 = 
74. Resuelvan.
El médico le recetó a Florencia tomar un antibiótico cada 8 horas y un analgésico cada 6 horas.
a. ¿Cada cuántas horas debe tomar los dos medicamentos juntos?
b. ¿Cuántas pastillas del antibiótico debe tomar por día? ¿Y del analgésico?
75. Calculen el mcm y el dcm entre 675, 540 y 180.
76. Escriban en lenguaje simbólico y resuelvan. Verifiquen el resultado.
El doble de la suma entre un número y veinticinco es igual a la mitad de ciento ochenta y cuatro, 
disminuido en cuatro.
31
capítulo
2 . 107 + 6 . 106 + 0 . 105 + 6 . 104 + 2 . 103 + 2 . 102 + 0 . 101 + 6 . 100 
2 . 10 000 000 + 6 . 1 000 000 + 6 . 10 000 + 2 . 1 000 + 2 . 100 + 6 
20 000 000 + 6 000 000 + 60 000 + 2 000 + 200 + 6
507
Cada 24 horas.
3 pastillas del antibiótico y 4 del analgésico.
mcm (180;540;675) = 2 700; dcm (180;540;675) = 45
2 . (x + 25) = 184 : 2 – 4; x = 19
179
23
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32
Fracciones y expresiones 
decimales
Contenidos
8. Orden y representación.
9. Fracciones equivalentes.
10. Operaciones con números 
racionales.
11. Potenciación y radicación 
de fracciones.
12. Operaciones combinadas 
con fracciones.
13. Fracciones y expresiones 
decimales.
14. Operaciones con 
expresiones decimales. 
Porcentaje.
15. Operaciones combinadas.
2
Situación inicial de aprendizaje
1. Observen la imagen y resuelvan.
a. Completen.
En el grupo hay chicos, donde son varones y son mujeres.
b. Inventen preguntas cuyas respuestas sean cada una de las siguientes fracciones.
 4 __ 9 ; 
5 __ 9 ; 
3 __ 5 ; 
2 __ 9 
c. Comparen con sus compañeros las preguntas que realizaron.
capítulo
9 5 4
b. ¿Qué fracción representa la cantidad de mujeres que hay? ¿Y la cantidad de varones? ¿Qué fracción repre-
senta a los varones de remera rayada? ¿Y a los chicos que usan anteojos?
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33
Orden y representación
Números racionales
Los números racionales son aquellos que se pueden escribir como fracción.
Se denomina fracción al cociente entre dos números naturales a y b (con b distintode 0).
5
— 
8
numerador
denominador
Queda 5 __ 8 de torta.
Toda fracción mayor que un entero se puede expresar como número mixto.
 4 __ 3 = 1 
1 __ 3 
 un entero 1 __ 3 
Representación en la recta numérica
Para representar fracciones en la recta numérica, se divide cada unidad en tantas partes iguales 
como indica el denominador y se toman tantas partes como indica el numerador.
Para representar 3 __ 2 :
 0 1 2
3 
2
Como el denominador de la fracción es 2, 
se divide cada unidad en dos partes iguales.
Como el numerador es 3, 
se toman 3 de esas partes. 
Comparación de fracciones
Para comparar dos fracciones, se pueden usar distintos procedimientos.
• Para comparar 1 __ 4 y 
5 __ 6 : se multiplican cruzados los numeradores y denominadores, comenzan-
do por el numerador de la primera fracción. Se escriben los resultados obtenidos y se los 
compara. 1 __ 4 y 
5 __ 6 1 . 6 < 4 . 5 6 < 20, entonces 
1 __ 4 < 
5 __ 6 .
• Para comparar 1 __ 3 y 
1 __ 7 : como los numeradores son iguales y en 
1 __ 3 se divide al entero en menos 
partes que en 1 __ 7 , entonces 
1 __ 3 > 
1 __ 7 .
• Para comparar 5 __ 6 y 
6 __ 5 : como 
5 __ 6 es menor que un entero y 
6 __ 5 es mayor que 1, entonces 
5 __ 6 < 
6 __ 5 .
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. Para representar 4 __ 6 en la recta numérica, ¿en cuántas partes se puede dividir la unidad?
b. ¿Cuál de las siguientes fracciones es mayor? 4 __ 3 o 
20 ___ 15 
c. ¿Cómo pueden comparar 3 __ 8 con 
3 __ 5 ? ¿Y 
7 __ 8 con 
8 __ 7 ?
test de comprensión
33
10 11 12 14 15138 97 16 17
infoactiva
Nombre: Curso: Fecha: / /
a. 6 o 3. b. Son iguales. c. Se analizan los denominadores. 7 __ 8 es menor que 1 y 
8 __ 7 es mayor.
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34
1. Representen en la recta numérica las siguientes fracciones.
a. 5 __ 3 ; 
1 __ 3 ; 
3 __ 3 ; 
7 __ 3 
10 2
b. 1 __ 3 ; 
2 __ 3 ; 
3 __ 4 ; 
5 __ 4 
0 1
c. 1 __ 4 ; 
3 __ 6 ; 
2 __ 3 ; 
5 __ 6 
0 1
2. Escriban la fracción que representan los puntos indicados con letras.
0 dca b 1 e2 3
a = 
 
 b = 
 
 c = 
 
 d = 
 
 e = 
 
3. Escriban como número mixto las fracciones de la actividad anterior, siempre que sea posible.
a = 
 
 b = c = d = 
 
e = 
4. Ordenen de menor a mayor las fracciones que aparecen en el enunciado.
Elvira decidió hacer un pan dulce para compartir con sus nietos. Compró 3 __ 4 kg de frutas abrillanta-
das, 1 __ 2 kg de pasas de uva, 
3 __ 5 kg de almendras acarameladas y 
4 __ 5 de nueces.
5. Escriban la fracción que indica la parte pintada. Luego, ordénenlas de mayor a menor.
a. 
 
 b. 
 
 c. 
 
6. Ordenen de menor a mayor las siguientes fracciones y represéntenlas en una recta numérica.
 10 ___ 9 - 
7 __ 6 - 
5 __ 6 - 
4 __ 9 - 
4 __ 3 - 
2 __ 3 - 
1 __ 6 - 
5 __ 9 
8 Orden y representaciónACTIVIDADES
34
 5 __ 3 
7 __ 3 
1 __ 3 
 1 __ 3 
2 __ 3 
3 __ 4 
5 __ 4 
 1 __ 4 
3 __ 6 
2 __ 3 
5 __ 6 
 3 __ 3 
4
4
3 10 7
6 3 6 2
0 0 1 2 3
6 12 24 29
9
9
5 5 5
9 9 9 9
9 9 9 9
 1 __ 2 ; 
3 __ 5 ; 
3 __ 4 ; 
4 __ 5 
 1 __ 6 < 
4 __ 9 < 
5 __ 9 < 
2 __ 3 < 
5 __ 6 < 
10 ___ 9 < 
7 __ 6 < 
4 __ 3 
 10 ___ 5 ; 
7 __ 5 ; 
3 __ 5 
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35
Fracciones equivalentes
Nombre: Curso: Fecha: / /
35
8 11 12 13 15149 10 17 1816
Dos fracciones son equivalentes cuando representan el mismo número racional.
0 1
3— 
5
6—— 
10
3— 
5
6—— 
10
Para obtener fracciones equivalentes a una dada, se pueden aplicar estos procedimientos.
Procedimientos para obtener fracciones equivalentes
Amplificación Simplificación
Se multiplican el numerador y el denominador 
por un mismo número natural distinto de cero.
4—— 
14
2— 
7
. 2
. 2
Se dividen el numerador y el denominador por 
un mismo número natural que sea divisor de 
los dos.
2— 
5
8—— 
20
: 4
: 4
2— 
5 es irreducible porque 
no se puede simplificar.
Para verificar si dos fracciones son equivalentes, se puede aplicar la propiedad fundamental de 
las proporciones. Si al multiplicar el numerador de la primera fracción por el denominador de la 
segunda, se obtiene el mismo resultado que al multiplicar el denominador de la primera por el 
numerador de la segunda, las fracciones son equivalentes.
 15 ___ 12 es equivalente con 
20 ___ 16 , porque 15 . 16 = 12 . 20 = 240
Fracción irreducible
Una fracción es irreducible cuando el numerador y el denominador son coprimos, es decir que 
solo tienen a 1 como divisor común.
 4 __ 7 es irreducible porque 4 y 7 son coprimos.
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Cómo reconocen una fracción irreducible?
b. La fracción irreducible de 35 ___ 15 , ¿es 
7 __ 3 ?
c. ¿Cómo se puede comprobar que 36 ___ 30 y 
48 ___ 40 son equivalentes?
d. ¿Cuál es la fracción irreducible de 56 ___ 36 ?
test de comprensión
infoactiva
a. El numerador y el denominador son coprimos. b. Sí. c. 36 . 40 = 30 . 48. d. 14 ___ 9 .
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7. Escriban la fracción irreducible que representa cada color, en la siguiente figura.
a. Rojo: 
 
d. Amarillo: 
 
b. Verde: 
 
e. Blanco: 
 
c. Azul: 
 
8. Tachen las fracciones que no son equivalentes a la fracción dada.
a. 2 __ 7 
12 ___ 17 
6 ___ 21 
20 ___ 70 
10 ___ 42 
32 ___ 112 c. 
18 ___ 4 
9
 __ 2 
45 ___ 10 
90
 ___ 20 
27 ___ 6 
216 ____ 52 
b. 4 __ 5 
44 ___ 55 
16 ___ 25 
36 ___ 45 
68 ___ 85 
56 ___ 75 d. 
6 __ 3 
120 ____ 60 2 
108 ____ 57 
30 ___ 15 
1 __ 2 
9. Escriban como fracción irreducible la parte sombreada de cada figura.
a. d. 
 
b. e. 
 
c. f. 
 
10. Simplifiquen las siguientes fracciones y exprésenlas como fracción irreducible.
a. 84 ___ 48 = 
 
c. 248 ____ 52 = 
 
e. 630 ____ 180 = 
 
 g. 420 ____ 840 = 
 
b. 72 ___ 96 = 
 
d. 36 ____ 108 = 
 
f. 150 ____ 225 = 
 
 h. 825 ____ 396 = 
11. Completen con una fracción que se encuentre entre las fracciones dadas.
a. 3 __ 8 < < 
6 __ 8 c. 
7 __ 4 < < 
7 __ 3 e. 
2 __ 3 < < 
3 __ 2 g. 
2 __ 7 < < 
1 __ 2 
b. 4 __ 6 < < 
5 __ 6 d. 
9
 __ 5 < < 
9
 __ 2 f. 
1 __ 8 < < 
1 __ 5 h. 
2 __ 7 < < 
3 __ 8 
9 Fracciones equivalentesACTIVIDADES
36
1 1
1 1
1
2 24
4 8
12
1
3
1
4
3
8
1
4
1
2
7
4
62
13
7
2
1
2
3
4
1
3
2
3
25
12
3
16
5
8
25
12
5
6
5
14
13
18
20
10
6
40
19
56
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Operaciones con números racionales
Nombre: Curso: Fecha: / /
37
9 12 13 14 161510 11 18 1917
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Es cierto que 8 __ 5 + 
3 __ 5 = 
11 ___ 10 ?
b. Cuando se multiplican dos fracciones, ¿conviene simplificar antes de hacer el cálculo?
c. En el cálculo 2 ___ 15 : 
5 __ 3 , ¿se pueden simplificar el 15 y el 5?
test de comprensión
infoactiva
Adición y sustracción
Para sumar o restar dos fracciones de distinto denominador, se buscan fracciones equivalentes 
que tengan el mismo denominador. Para encontrar un denominador común, se busca el múltiplo 
común menor entre los denominadores.
 2 __ 5 + 
1 __ 4 = 
8 ___ 20 + 
5 ___ 20 = 
13 ___ 20 
7 __ 4 – 
5 __ 6 = 
21 ___ 12 – 
10 ___ 12 = 
11 ___ 12 
mcm (5;4) = 20 mcm (4;6) = 12
Los siguientes cálculos se pueden resolver mentalmente.
1 entero son 5 __ 5 1 + 
2 __ 5 = 
7 __ 5 2 enteros son 
14 ___ 7 2 – 
3 __ 7 = 
11 ___ 7 
Multiplicación y división
Para multiplicardos fracciones, se multiplican los numeradores y los denominadores entre sí.
 
3— 
4
2— 
3
 2 __ 3 
. 3 __ 4 = 
2 . 3 _____ 3 . 4 = 
1 __ 2 
2 __ 3 
. 3 __ 4 = 
2 . 3 ____ 3 . 4 = 
6 ___ 12 = 
1 __ 2 
1 1 1
2 21
Se simplificaron 
las fracciones que 
se quiere multiplicar.
En los dos casos 
se llega al mismo 
resultado.
Se simplificó 
la fracción 
resultado.
Para calcular una fracción de un entero, se debe multiplicar el número por el numerador de la 
fracción y dividirlo por el denominador.
 3 __ 4 de 1 000 = 
3 __ 4 
. 1 000 = 3 . 1 000 ________ 4 = 750
Toda fracción distinta de cero admite un inverso multiplicativo. Por ejemplo, el inverso multipli-
cativo de 2 __ 3 es 
3 __ 2 , porque 
2 __ 3 
. 3 __ 2 = 1. Para dividir dos fracciones, se multiplica la primera fracción por 
el inverso multiplicativo de la segunda.
 3 __ 4 : 
1 ___ 12 = 
3 __ 4 
. 12 ___ 1 = 9
a. No, es 11 __ 5 . b. Sí. c. No.
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38
12. Resuelvan mentalmente.
a. 1 __ 7 + 
8 __ 7 = c. 
8 __ 5 – 
3 __ 5 + 
1 __ 5 = e. 
3 __ 8 + 2 = 
b. 10 ___ 3 – 
4 __ 3 = d. 
5 __ 6 – 
1 __ 6 + 
3 __ 6 = f. 1 – 
4 __ 9 = 
13. Marquen con una X el cálculo que representa la situación y resuélvanlo.
Un micro de larga distancia salió de la estación de Retiro rumbo a la costa atlántica. En el cami-
no, realizó varias paradas en las que subieron o bajaron pasajeros. En Retiro subió 3 __ 5 del pasaje, 
en San Clemente subió 1 ___ 10 del total, en Santa Teresita bajó 
1 __ 3 de los pasajeros y en San Bernardo 
subió 2 __ 5 . Si el recorrido finalizó en Mar de Ajó, ¿qué parte del pasaje llegó?
a. 3 __ 5 + 
1 ___ 10 – 
1 __ 3 + 
2 __ 5 = b. 1 – 
3 __ 5 + 
1 ___ 10 – 
1 __ 3 + 
2 __ 5 = c. 1 – ( 3 __ 5 + 1 ___ 10 – 1 __ 3 + 2 __ 5 ) = 
14. Resuelvan.
a. 3 __ 4 – 
1 __ 2 + 
1 __ 8 = = 
b. 3 __ 4 – ( 1 __ 2 + 1 __ 8 ) = = 
c. 2 __ 5 + 
1 __ 2 – 
1 __ 3 = = 
d. 2 __ 5 – 
1 __ 2 + 
1 __ 3 = = 
e. 9 __ 4 – 2 + 
1 __ 7 = = 
f. 9 __ 4 – ( 2 + 1 __ 7 ) = = 
15. Completen los cálculos.
a. 1 __ 3 + = 
8 __ 3 b. – 
3 __ 5 = 
6 __ 5 c. + 
1 __ 4 = 2 d. 
17 ___ 9 – = 
8 __ 9 
16. Escriban <, > o = según corresponda.
a. 6 + 4 __ 3 7 b. 5 – 
2 __ 5 3 c. 
2 __ 4 + 
1 __ 2 1 d. 7 – 
20 ___ 6 4 
10 Operaciones con números racionalesACTIVIDADES
38
9
7
6
5
19
8
6
3
7
6
5
9
X
 18 ___ 30 + 
3 ___ 30 – 
10 ___ 30 + 
12 ___ 30 = 
23 ___ 30 
Llegó 23 ___ 30 del pasaje.
 6 __ 8 – 
4 __ 8 + 
1 __ 8 
 6 __ 8 – ( 4 __ 8 + 1 __ 8 ) = 6 __ 8 – 5 __ 8 
 12 ___ 30 + 
10 ___ 30 – 
15 ___ 30 
 63 ___ 25 – ( 56 ___ 28 + 4 ___ 28 ) = 63 ___ 28 – 60 ___ 28 
 12 ___ 30 + 
15 ___ 30 – 
10 ___ 30 
 63 ___ 28 – 
56 ___ 28 + 
4 ___ 28 
3
8
17
30
7
30
11
28
3
28
1
8
7
3
9
5
7
4
9
9
> > = <
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17. Simplifiquen y resuelvan.
a. 12 ___ 5 
. 15 ___ 9 = b. 
21 ___ 7 
. 14 ___ 28 = c. 6 
. 1 ___ 12 = d. 
3 __ 5 
. 10 = 
18. Completen las siguientes igualdades.
a. 1 __ 2 
. = 5 b. . 7 __ 3 = 
6 __ 7 c. 
. 4 __ 5 = 20 d. 11 
. = 55 ___ 4 
19. Escriban en lenguaje simbólico y resuelvan.
a. El doble de 5 __ 2 : d. Un tercio de 93: 
b. El triple de 4 __ 4 : e. Un medio de 412: 
c. El cuádruple de 1 __ 8 : f. Tres cuartos de 56: 
20. Lean atentamente y resuelvan.
a. Florencia regaló 2 __ 5 de las 45 figuritas que tenía repetidas. ¿Cuántas regaló en total? ¿Qué parte 
aún conserva?
b. Para llegar a Mar del Plata, Rubén consumió 3 __ 4 del tanque de nafta de su auto. Si el tanque 
tiene una capacidad de 52 litros, ¿cuántos litros le quedan aún?
c. Camila gasta 1 __ 3 de su sueldo en impuestos y 
1 __ 4 , en el alquiler de su departamento. Si su suel-
do es de $7 800, ¿cuánto dinero destina para alquiler e impuestos? ¿Qué parte de su sueldo le 
queda para otros gastos?
21. Resuelvan.
a. 13 ___ 9 : 
14 ___ 9 = b. 
9
 __ 4 : 
1 ___ 16 = c. 
135 ____ 27 : 
125 ____ 54 = d. 
6 ___ 17 : 
24 ___ 34 = 
22. Completen con la fracción que verifica la igualdad.
a. 1 __ 4 : = 
1 ___ 10 b. 
3 __ 7 : = 9 c. : 
1 __ 2 = 
5 __ 2 d. : 
1 __ 2 = 
2 __ 5 
10 Operaciones con números racionalesACTIVIDADES
3939
Nombre: Curso: Fecha: / /
4
1
3
2
1
2
6
1
5
4
25
1
18
49
10
1
1
5
5
4
1
21
10
4
13
14
36
1
54
25
1
2
 2 __ 5 
. 45 = 18; 45 – 18 = 27
Regaló 18 figuritas en total. Aún conserva 27.
 3 __ 4 
. 52 = 39; 52 – 39 = 13
Le quedan aún 13 litros.
 1 __ 3 
. 7 800 = 2 600; 1 __ 4 
. 7 800 = 1 950; 7 800 – 2 600 – 1 950 = 3 250
Para alquiler e impuestos gasta $4 550. Le quedan $3 250 para otros gastos.
2 . 5 __ 2 = 5 
1 __ 3 
. 93 = 31
3 . 4 __ 4 = 3 
1 __ 2 
. 412 = 206
4 . 1 __ 8 = 
1 __ 2 
3 __ 4 
. 56 = 42
P12-3083-C02.indd 39 2/27/15 3:26 PM
23. Resuelvan y completen con <, > o =, según corresponda.
a. 1 __ 5 
. 2 __ 3 
1 __ 5 : 
3 __ 2 c. 5 : 
1 __ 5 
1 __ 5 
. 5 
b. 2 __ 7 
. 7 14 ___ 5 : 
14 ___ 5 d. 
1 __ 2 
. 3 __ 4 
21 ___ 6 : 
7 __ 3 
24. Escriban la letra del enunciado que corresponde a cada cálculo. Luego, resuélvanlo.
a. Un poste se pintó la mitad de blanco y la tercera parte de azul. ¿Qué parte está pintada?
b. La mitad de una herencia se reparte entre tres personas. ¿Qué parte le corresponde a cada una?
c. Dos amigos recorren un camino en su auto; el primero maneja la mitad del recorrido y el 
segundo, una tercera parte. ¿Qué parte aún no recorrieron?
d. Eduardo llenó el tanque de nafta de su auto para salir de viaje. Luego de consumir la mitad 
del combustible, cargó nuevamente un tercio de la capacidad del tanque. ¿Qué parte del tanque 
tiene nafta?
 1 – ( 
1 __ 2 + 
1 __ 3 ) = 
1 __ 2 + 
1 __ 3 = 
1 __ 2 : 3 = 1 – 
1 __ 2 + 
1 __ 3 = 
25. Resuelvan las siguientes situaciones problemáticas.
a. La mamá de Josefina compró cuatro cajas de veinte bombones cada una. Entre Josefina y su 
hermana Micaela comieron una caja y 1 __ 4 de otra. ¿Cuántos bombones quedan?
b. En un micro escolar viajan 36 alumnos. Si 1 __ 3 de los alumnos desciende en el barrio de 
Saavedra, 2 __ 9 lo hace en Belgrano y 
1 __ 4 en Núñez, ¿cuántos alumnos continúan en el micro?
c. En una biblioteca hay 540 libros. Si se prestaron 1 ___ 18 de sus libros el lunes, y el martes se 
devolvieron 15, ¿cuántos libros quedan aún en la biblioteca?
10 Operaciones con números racionalesACTIVIDADES
40
Don Prudencio desea plantar 5 variedades de flores, que en total son 240 plantines: 60 son 
jazmines, 18 son fresias, 78 son rosales, 30 son lirios y el resto son orquídeas.
a. ¿Cuántos plantines de orquídeas tiene?
b. ¿Qué fracción representa cada variedad?
menteACTIVA
Quedan 55 bombones.
Quedaron 525 libros.
7 alumnos.
= >
> <
1
6
5
6
1
6
5
6
c a b d
Tiene 54 plantines de orquídeas.
J: 1 __ 4 ; F: 
3 ___ 40 ; R: 
13 ___ 40 ; L: 
1 __ 8 ; O: 
9 ___ 40 
a. 3 __ 6 + 
2 __ 6 = 
5 __ 6 b. 
1 __ 2 
. 1 __ 3 = 
1 __ 6 
c. 1 – ( 3 __ 6 + 2 __ 6 ) = 6 __ 6 – 5 __ 6 = 1 __ 6 d. 6 __ 6 – 3 __ 6 + 2 __ 6 = 5 __ 6 
P12-3083-C02.indd 40 2/27/15 3:26 PM
Potenciación y radicación de fracciones
Nombre: Curso: Fecha: / /
41
10 13 14 15 171611 12 19 2018
Potenciación
La potenciación permite escribir en forma abreviada una multiplicaciónde factores iguales.
 ( 1 __ 4 ) 
2 = 1 __ 4 
. 1 __ 4 = 
1 ___ 16 ( 1 __ 4 ) 
3 = 1 __ 4 
. 1 __ 4 
. 1 __ 4 = 
1 ___ 64 ( 2 __ 5 ) 
1 = 2 __ 5 ( 2 __ 5 ) 
0 = 1 
1— 
3
1— 
3
El sector pintado ocupa la novena parte del cuadrado.
 ( 1 __ 3 ) 
2 = 1 __ 3 
. 1 __ 3 = 
1 __ 9 
Para obtener la potencia de una fracción, se debe calcular 
la potencia del numerador y la del denominador.
 ( 4 __ 3 ) 
2 = 4 
2 ___ 
 3 2 
 = 16 ___ 9 
Radicación
La radicación es la operación inversa a la potenciación.
Para obtener la raíz de una fracción, se debe calcular la 
raíz del numerador y la del denominador.
 √ 
___
 64 ___ 25 = 
 √ 
___
 64 
—————
 √ 
___
 25 
 = 8 __ 5 
 √ 
___
 16 ___ 81 = 
4 __ 9 porque ( 4 __ 9 ) 
2
 = 16 ___ 81 √ 
____
 1 ___ 27 = 
1 __ 3 porque ( 1 __ 3 ) 
3 = 1 ___ 27 
La potenciación y la radicación de fracciones cumplen las 
mismas propiedades que para los números naturales. 
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Qué indica el exponente en la potenciación? ¿Y el índice en la radicación?
b. ¿Es cierto que ( 3 __ 7 ) 
2
 = 6 ___ 14 ?
c. ¿Cómo se resuelve 
4
 √ 
__
 16 ___ 81 ?
test de comprensión
infoactiva
En la página 13 
pueden repasar 
las propiedades de 
la potenciación y 
la radicación.
 
En la página 13 
a. Solución a cargo del alumno. b. No. c. Se calcula la raíz del numerador y la del denominador.
P12-3083-C02.indd 41 2/27/15 3:26 PM
11 Potenciación y radicación de fraccionesACTIVIDADES
42
Si el área de un cuadrado es de 64 ____ 225 m
2, ¿cuál es la longitud de su lado?
menteACTIVA
26. Resuelvan las siguientes potencias.
a. ( 1 __ 5 ) 
2
 = b. ( 1 __ 3 ) 
4
 = c. ( 2 __ 7 ) 
2
 = d. ( 3 __ 2 ) 
3
 = 
27. Resuelvan las siguientes raíces.
a. √ 
___
 64 ___ 81 = b. √ 
___
 16 ___ 121 = c. 
3
 √ 
___
 125 ____ 64 = d. 
5
 √ 
____
 32 ____ 243 = 
28. Escriban en lenguaje simbólico y resuelvan.
a. La raíz cuadrada de cuarenta y nueve cuartos. 
b. El cuadrado de cuatro tercios. 
c. La raíz cúbica de ciento veinticinco sesentaicuatroavos. 
d. El cubo de cinco sextos. 
e. La raíz quinta de un treintaidosavos. 
f. El doble de la raíz cuarta de un medio de treinta y dos. 
29. Completen los cálculos.
a. ( ) 
3
 = 1 ____ 343 b. ( ) 
4
 = 625 ____ 81 
 
c. √ 
_____
 = 11 ___ 12 d. 
5
 √ 
_____
 = 3 __ 2 
30. Calculen el área de las siguientes figuras.
a. 
 1 __ 5 m
b. 
 2 __ 3 m
1
25
1
81
4
49
5
4
4
11
8
9
27
8
 2
 3
 √ 
___
 49 ___ 4 = 
7 __ 2 
 
3
 √ 
____
 125 ____ 64 = 
5 __ 4 
 ( 4 __ 3 ) 
2
 = 16 ___ 9 
 ( 5 __ 6 ) 
3
 = 125 ____ 216 
 
5
 √ 
___
 1 ___ 32 = 
1 __ 2 
2 . 
4
 √ 
______
 1 __ 2 
. 32 = 2 . 
4
 √ 
___
 16 = 2 . 2 = 4
1
7
121
144
243
32
5
3
 ( 1 __ 5 m ) 
2
 = 1 ___ 25 m
2
 ( 2 __ 3 m ) 
2
 : 2 = 4 __ 9 m
2 . 1 __ 2 = 
2 __ 9 m
2
La longitud del lado del cuadrado es igual a 8 ___ 15 m.
P12-3083-C02.indd 42 2/27/15 3:26 PM
Operaciones combinadas con fracciones
Nombre: Curso: Fecha: / /
43
11 14 15 16 181712 13 19
Para resolver una operación combinando las operaciones estudiadas, pueden seguir estos pasos.
 ( 2 __ 3 ) 
2 + √ 
__
 1 __ 4 
. 2 + 7 __ 5 : 
3 __ 5 = 1. Se separa en términos. 
 4 __ 9 + 
1 __ 2 
. 2 + 7 __ 5 : 
3 __ 5 = 2. Se resuelven las potencias y raíces.
 4 __ 9 + 1 + 
7 __ 3 = 3. Se resuelven las multiplicaciones y divisiones.
= 34 ___ 9 4. Se resuelven las sumas y restas.
Existen calculadoras que no respetan la jerar-
quía de las operaciones, es decir, no realizan la 
separación en términos.
Tengan en cuenta que en los cálculos donde 
aparecen paréntesis, primero se resuelven las 
operaciones que ellos encierran.
 
 ( 3 __ 5 ) 
2 + ( √ 
____
 9 ____ 121 
. 11 – 5 __ 6 ) : 25 ___ 6 = 1. Se separa en términos. 
 ( 3 __ 5 ) 
2 + 13 ___ 6 : 
25 ___ 6 = 2. Se resuelven los cálculos que están dentro de los paréntesis.
 9 ___ 25 + 
13 ___ 6 : 
25 ___ 6 = 3. Se resuelven las potencias y raíces.
 9 ___ 25 + 
13 ___ 25 = 4. Se resuelven las multiplicaciones y divisiones.
= 22 ___ 25 5. Se resuelven las sumas y restas.
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Cuáles son los pasos para realizar un cálculo combinado?
b. ¿Es lo mismo ( 1 __ 3 + 2 __ 7 ) . 4 __ 9 que 1 __ 3 + 2 __ 7 . 4 __ 9 ?
c. En el cálculo 5 __ 7 
. 21 ___ 25 
. 14 ___ 3 , ¿se puede simplificar antes de resolver la operación?
test de comprensión
infoactiva
20 21
a. Solución a cargo del alumno. b. No. c. Sí.
P12-3083-C02.indd 43 2/27/15 3:26 PM
31. Resuelvan las siguientes operaciones combinadas.
a. ( 1 __ 9 + 1 __ 3 ) . 2 __ 5 – 2 ___ 15 = 
 
d. √ 
___
 25 ___ 121 
. 11 __ 4 – ( 2 __ 3 ) 
2
 = 
 
b. ( 2 __ 3 – 1 __ 6 ) . ( 54 ___ 5 – 12 ___ 5 . 9 __ 4 ) = 
 
e. ( 12 ___ 4 . 5 ___ 24 ) 
2
 + 3 √ 
___
 27 ___ 64 = 
 
c. 5 __ 2 + 
10 ___ 6 : 
15 ___ 12 – 
1 __ 3 = 
 
f. 5 __ 9 + 
4
 √ 
_____
 1 296 _____ 256 
. ( 4 __ 9 ) 
2
 = 
 
32. Planteen y resuelvan. 
a. Eduardo leyó un libro de 840 páginas en 3 días. El primer día, leyó 2 __ 5 del libro. El segundo día, 
la tercera parte del resto. ¿Qué parte leyó el tercer día? ¿Cuántas páginas representa?
b. Tres amigas repartieron una torta de chocolate. Noelia se quedó con la mitad de la torta y Belén, 
con la tercera parte del resto. ¿Qué parte le corresponde a Celeste?
c. Un atleta participó en una competencia de ciclismo que se realizó en cuatro etapas.
	 • Primera etapa: recorrió 1 __ 8 del total.
	 • Segunda etapa: recorrió 1 __ 7 del resto.
	 • Tercera etapa: recorrió las dos terceras partes de lo que llevaba recorrido.
¿Qué parte recorrió en la cuarta etapa?
12 Operaciones combinadas con fraccionesACTIVIDADES
44
2
45
29
36
73
64
27
10
7
2
23
27
1 – 2 __ 5 – 
1 __ 3 
. 3 __ 5 = 
2 __ 5 ; 840 
. 2 __ 5 = 336
El tercer día leyó las 2 __ 5 partes restantes, que representan 336 páginas.
Noelia: 1 __ 2 ; Belén: 
1 __ 2 
. 1 __ 3 = 
1 __ 6 ; Celeste: 1 – ( 
1 __ 2 + 
1 __ 6 ) = 1 __ 3 
A Celeste le corresponde 1 __ 3 de la torta.
1.° etapa: 1 __ 8 del total. 3.° etapa: 
1 __ 6 del total. 
2 __ 3 
. 2 __ 8 = 
1 __ 6 
2.° etapa: 1 __ 8 del total. 
1 __ 7 
. 7 __ 8 = 
1 __ 8 4.° etapa: 
7 ___ 12 del total. 1 – ( 1 __ 8 + 1 __ 8 + 1 __ 6 ) = 7 ___ 12 
P12-3083-C02.indd 44 2/27/15 3:26 PM
33. Planteen y resuelvan las siguientes situaciones.
a. En la siguiente figura, abc y noc son triángulos equiláteros. Escriban la expresión que permite 
calcular el perímetro del área sombreada. 
 
 1— 4 m
b
o
a
n
c
3— 
4 m
b. En la siguiente figura, el lado del cuadrado efcg mide 1 __ 3 m y el del cuadrado abcd, 
2 __ 3 m. 
Escriban la expresión que permite calcular el área sombreada.
 
 
a
d g
e
c
f
b
34. Completen con <, > o =, sin hacer los cálculos.
a. ( 1 __ 3 ) 
2
 + ( 1 __ 3 ) 
2
 1 c. ( 6 __ 5 ) 
2
 1
b. 1 __ 2 + 
1 __ 2 1 d. 
3 __ 4 + 
1 __ 3 
. 3 2
35. Resuelvan.
a. √ 
__
 1 __ 4 
. √ 
___
 4 ___ 36 + 
5 ___ 12 
. 18 ___ 5 = 
 
c. √ 
___
 25 ___ 9 
. 9 ___ 25 + 
6 ___ 10 – 
6 __ 5 : 
12 ___ 10 = 
 
b. ( 3 __ 2 ) 
2
 – 5 __ 3 
. 6 ___ 15 
. 2 + √ 
__
 9 ___ 16 = 
 
d. 27 ___ 2 : 
15 ___ 4 –