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Gerente editorial Daniel Arroyo Jefa de contenidos editoriales Verónica Lombardo Jefe del área de Matemática Gabriel H. Lagoa Editora Yanina Sousa Editing Belén Boscaroli Autores Aperturas: Pablo Amster ¿Para qué sirve?: Laura Pezzatti Roxana Abálsamo Adriana Berio Silvana Mastucci Nora Quirós Fernando De Rossi Corrector de estilo Gabriel Valeiras Coordinadora del área de Marcas y derechos Amorina Scalercio Jefe del departamento de Arte y diseño Lucas Frontera Schällibaum Diseñadoras de maqueta Patricia Cabezas Laura Porta Diagramación Alberto G. Scotti y Pablo Alarcón para Cerúleo Ilustrador Pablo Zerda Fotografías Archivo de imágenes de Grupo Macmillan Thinkstock Gerente de Producción editorial Carlos Rodríguez Matemática 3. Fotoactivados / Roxana Abálsamo ... [et.al.]. - 1a ed. - San Isidro: Puerto de Palos, 2013. 256 p.: il.; 28 x 20 cm - (Activados) ISBN 978-987-547-529-8 1. Matemática. 2. Enseñanza Secundaria. I. Abálsamo, Roxana CDD 510.712 © Editorial Puerto de Palos S.A., 2013. Editorial Puerto de Palos S.A. forma parte del Grupo Macmillan. Av. Blanco Encalada 104, San Isidro, provincia de Buenos Aires, Argentina. Internet: www.puertodepalos.com.ar Queda hecho el depósito que dispone la Ley 11.723. Impreso en Argentina. Printed in Argentina. ISBN 978-987-547-529-8 La presente obra se ha elaborado teniendo en cuenta los aportes surgidos de los encuentros organizados por el “Instituto Nacional contra la Discriminación, la Xenofobia y el Racismo” (INADI) con los editores de texto. No se permite la reproducción parcial o total, el almacenamiento, el alquiler, la transmisión o la transformación de este libro, en cualquier forma o por cualquier medio, sea electrónico o mecánico, mediante fotocopias, digitalización y otros métodos, sin el permiso previo del editor. Su infracción está penada por las leyes 11.723 y 25.446. Primera edición. Esta obra se terminó de imprimir en febrero de 2013, en los talleres de F P Compañía Impresora, Beruti 1560, Florida, provincia de Buenos Aires, Argentina. Gerente editorial Daniel Arroyo Jefa de contenidos editoriales Verónica Lombardo Jefe del área de Matemática Gabriel H. Lagoa Editora Yanina Sousa Editing Belén Boscaroli Autores Aperturas: Pablo Amster ¿Para qué sirve?: Laura Pezzatti Roxana Abálsamo Adriana Berio Silvana Mastucci Nora Quirós Fernando De Rossi Corrector de estilo Gabriel Valeiras Coordinadora del área de Marcas y derechos Amorina Scalercio Jefe del departamento de Arte y diseño Lucas Frontera Schällibaum Diseñadoras de maqueta Patricia Cabezas Laura Porta Diagramación Alberto G. Scotti y Pablo Alarcón para Cerúleo Ilustrador Pablo Zerda Fotografías Archivo de imágenes de Grupo Macmillan Thinkstock Gerente de Preprensa y Producción editorial Carlos Rodríguez Matemática 4 ¿Para qué sirve? / Adriana Beatriz Berio... [et.al.]. - 1a ed. - Boulogne: Puerto de Palos, 2013. 256 p.: il.; 28x20 cm. - (Activados) ISBN 978-987-547-579-3 1. Matemática. 2. Enseñanza Secundaria. I. Berio, Adriana Beatriz CDD 510.712 © Editorial Puerto de Palos S.A., 2013. Editorial Puerto de Palos S.A. forma parte del Grupo Macmillan. Av. Blanco Encalada 104, San Isidro, provincia de Buenos Aires, Argentina. Internet: www.puertodepalos.com.ar Queda hecho el depósito que dispone la Ley 11.723. Impreso en Argentina. Printed in Argentina. ISBN 978-987-547-579-3 La presente obra se ha elaborado teniendo en cuenta los aportes surgidos de los encuentros organizados por el “Instituto Nacional contra la Discriminación, la Xenofobia y el Racismo” (INADI) con los editores de texto. No se permite la reproducción parcial o total, el almacenamiento, el alquiler, la transmisión o la transformación de este libro, en cualquier forma o por cualquier medio, sea electrónico o mecánico, mediante fotocopias, digitalización y otros métodos, sin el permiso previo del editor. Su infracción está penada por las leyes 11.723 y 25.446. Primera edición. Esta obra se terminó de imprimir en octubre de 2013, en los talleres de F P Compañía Impresora, Beruti 1560, Florida, provincia de Buenos Aires, Argentina. Gerente editorial Daniel Arroyo Jefa de contenidos editoriales Verónica Lombardo Jefe del área de Matemática Gabriel H. Lagoa Editora Yanina Sousa Editing Belén Boscaroli Autores Aperturas: Pablo Amster ¿Para qué sirve?: Laura Pezzatti Roxana Abálsamo Adriana Berio Silvana Mastucci Nora Quirós Fernando De Rossi Corrector de estilo Gabriel Valeiras Coordinadora del área de Marcas y derechos Amorina Scalercio Jefe del departamento de Arte y diseño Lucas Frontera Schällibaum Diseñadoras de maqueta Patricia Cabezas Laura Porta Diagramación Alberto G. Scotti y Pablo Alarcón para Cerúleo Ilustrador Pablo Zerda Fotografías Archivo de imágenes de Grupo Macmillan Thinkstock Gerente de Preprensa y Producción editorial Carlos Rodríguez Matemática 4: ¿para qué sirve?: versión para el docente / Roxana Abálsamo ... [et.al.]. - 1a ed. - Boulogne: Puerto de Palos, 2013. 256 p.: il.; 28x20 cm. - (Activados) ISBN 978-987-547-582-3 1. Matemática. 2. Guía Docente. I. Abálsamo, Roxana CDD 371.1 © Editorial Puerto de Palos S.A., 2013. Editorial Puerto de Palos S.A. forma parte del Grupo Macmillan. Av. Blanco Encalada 104, San Isidro, provincia de Buenos Aires, Argentina. Internet: www.puertodepalos.com.ar Queda hecho el depósito que dispone la Ley 11.723. Impreso en Argentina. Printed in Argentina. ISBN 978-987-547-582-3 La presente obra se ha elaborado teniendo en cuenta los aportes surgidos de los encuentros organizados por el “Instituto Nacional contra la Discriminación, la Xenofobia y el Racismo” (INADI) con los editores de texto. No se permite la reproducción parcial o total, el almacenamiento, el alquiler, la transmisión o la transformación de este libro, en cualquier forma o por cualquier medio, sea electrónico o mecánico, mediante fotocopias, digitalización y otros métodos, sin el permiso previo del editor. Su infracción está penada por las leyes 11.723 y 25.446. Primera edición. Esta obra se terminó de imprimir en octubre de 2013, en los talleres de F P Compañía Impresora, Beruti 1560, Florida, provincia de Buenos Aires, Argentina. Es una nueva propuesta que facilita el aprendizaje de la matemática a través de XXX actividades que favorecen la comprensión de los distintos temas. En formato binarizado, la sección ¿Para que sirve? conecta la matemática con la vida cotidiana a través de una pregunta que surge constantemente en el aula. Apertura: en esta sección, Pablo Amster, especialista en el área de la matemática, ofrece textos relacionados con la historia y evolución del pensamiento matemático. En el cuadro de contenidos aparecen los temas numerados para su fácil identificación. InfoActiva: presenta definiciones, clasificaciones, procedimientos básicos y ejemplos de cada contenido que facilitan la comprensión. Conector: invita a repasar conceptos explicados en páginas anteriores. Test de comprensión: incluye preguntas básicas que permiten evaluar la Mira Foco Es una nueva propuesta que facilita el aprendizaje de la matemática a través de 681 actividades que favorecen la comprensión de los distintos temas. En formato binarizado, la sección ¿Para que sirve? conecta la matemática con la vida cotidiana a través de una pregunta que surge constantemente en el aula. Apertura: en esta sección, Pablo Amster, especialista en el área de la matemática, ofrece textos relacionados con la historia y evolución del pensamiento matemático. En el cuadro de contenidos aparecen los temas numerados para su fácil identificación. InfoActiva: presenta definiciones, clasificaciones, procedimientos básicos y ejemplos de cada contenido que facilitan la comprensión. Conector: invita a repasar conceptos explicados en páginas anteriores. Conexión a ¿Para qué sirve? Actividades: para cada tema se proponen distintasactividades que están organizadas de manera secuencial. menteACTIVA: propone situaciones problemáticas con un mayor nivel de complejidad. Integración: incluye más actividades para resolver en el cuaderno. Autoevaluación: propone más actividades para que cada alumno pueda evaluar los conocimientos adquiridos durante el capítulo. Trabajos prácticos: incluyen más actividades para practicar los temas del capítulo. ¿Para qué sirve?: en esta sección, Laura Pezzatti, especialista en el área de la matemática, ofrece una serie de textos que conectan los contenidos de los capítulos con la vida cotidiana y otras disciplinas con el objetivo de responder a la pregunta inicial que se plantea. ¿Para qué sirve? Actividades: para cada tema se proponen distintas actividades que están organizadas de manera secuencial. menteACTIVA: propone situaciones problemáticas con un mayor nivel de complejidad. Integración: incluye más actividades para resolver en el cuaderno. Autoevaluación: propone más actividades para que cada alumno pueda evaluar los conocimientos adquiridos durante el capítulo. ¿Para qué sirve?: en esta sección, Laura Pezzatti, especialista en el área de la matemática, ofrece una serie de textos que conectan los contenidos de los capítulos con la vida cotidiana y otras disciplinas con el objetivo de responder a la pregunta inicial que se plantea. ¿Para qué sirve? Test de comprensión: incluye preguntas básicas que permiten evaluar la comprensión de la teoría y revisar errores comunes. Capítulo 1: NÚMEROS REALES ..................... 9 1. Números reales. .................................. 10 2. Números racionales. ........................... 12 3. Operaciones con números racionales. 14 Integración .......................................... 18 4. Módulo de un número real. ............... 20 5. Ecuaciones. ......................................... 22 6. Inecuaciones. ...................................... 24 Integración .......................................... 26 Autoevaluación .................................... 28 Capítulo 2: NÚMEROS IRRACIONALES ....... 29 7. Propiedades de la potenciación y la radicación. ...................................... 30 8. Números irracionales. ......................... 32 9. Radicales. Adición y sustracción. ....... 34 10. Multiplicación y división de radicales. .. 36 11. Operaciones combinadas. .................. 38 12. Racionalización de denominadores. ... 42 Integración .......................................... 46 13. Sucesiones. ......................................... 48 14. Sucesiones aritméticas. ...................... 50 15. Sucesiones geométricas. .................... 52 Integración .......................................... 54 Autoevaluación .................................... 56 Capítulo 3: FUNCIONES ............................. 57 16. Funciones. ........................................... 58 17. Análisis de funciones I. ...................... 60 18. Análisis de funciones II. ..................... 62 Integración .......................................... 66 19. Función lineal. .................................... 68 20. Distancia entre dos puntos. ............... 70 21. Ecuación de la recta. .......................... 74 22. Función módulo. ................................. 78 Integración .......................................... 80 Autoevaluación .................................... 82 Capítulo 4: FUNCIÓN CUADRÁTICA ............ 83 23. Función cuadrática. ............................ 84 24. Raíces de una función cuadrática. Discriminante. ..................................... 86 25. Distintas expresiones de la función cuadrática. .......................................... 88 26. Gráfico de una función cuadrática. .... 92 Integración .......................................... 96 27. Ecuaciones de segundo grado. .......... 98 28. La parábola como lugar geométrico. 102 29. Ecuación de la parábola. ................. 104 Integración ........................................ 106 Autoevaluación .................................. 108 Capítulo 5: POLINOMIOS ......................... 109 30. Polinomios. Características. ............... 110 31. Suma y resta de polinomios. ............ 112 32. Multiplicación de polinomios. ........... 114 Integración ......................................... 118 33. División de polinomios. ................... 120 34. La regla de Ruffini. Teorema del resto. .......................................... 122 35. Raíces de un polinomio. .................. 124 36. Operaciones combinadas. ................ 126 Integración ........................................ 130 Autoevaluación .................................. 132 Índice generalÍndice general Capítulo 1: NÚMEROS REALES ..................... 9 1. Números reales. .................................. 10 2. Números racionales. ........................... 12 3. Operaciones con números racionales. 14 Integración .......................................... 18 4. Módulo de un número real. ............... 20 5. Ecuaciones. ......................................... 22 6. Inecuaciones. ...................................... 24 Integración .......................................... 26 Autoevaluación .................................... 28 Capítulo 2: NÚMEROS IRRACIONALES ....... 29 7. Propiedades de la potenciación y la radicación. ...................................... 30 8. Números irracionales. ......................... 32 9. Radicales. Adición y sustracción. ....... 34 10. Multiplicación y división de radicales. .. 36 11. Operaciones combinadas. .................. 38 12. Racionalización de denominadores. ... 42 Integración .......................................... 46 13. Sucesiones. ......................................... 48 14. Sucesiones aritméticas. ...................... 50 15. Sucesiones geométricas. .................... 52 Integración .......................................... 54 Autoevaluación .................................... 56 Capítulo 3: FUNCIONES ............................. 57 16. Funciones. ........................................... 58 17. Análisis de funciones I. ...................... 60 18. Análisis de funciones II. ..................... 62 Integración .......................................... 66 19. Función lineal. .................................... 68 20. Distancia entre dos puntos. ............... 70 21. Ecuación de la recta. .......................... 74 22. Función módulo. ................................. 78 Integración .......................................... 80 Autoevaluación .................................... 82 Capítulo 4: FUNCIÓN CUADRÁTICA ............ 83 23. Función cuadrática. ............................ 84 24. Raíces de una función cuadrática. Discriminante. ..................................... 86 25. Distintas expresiones de la función cuadrática. .......................................... 88 26. Gráfico de una función cuadrática. .... 92 Integración .......................................... 96 27. Ecuaciones de segundo grado. .......... 98 28. La parábola como lugar geométrico. 102 29. Ecuación de la parábola. ................. 104 Integración ........................................ 106 Autoevaluación .................................. 108 Capítulo 5: POLINOMIOS ......................... 109 30. Polinomios. Características. ............... 110 31. Suma y resta de polinomios. ............ 112 32. Multiplicación de polinomios. ........... 114 Integración ......................................... 118 33. División de polinomios. ................... 120 34. La regla de Ruffini. Teorema del resto. .......................................... 122 35. Raíces de un polinomio. .................. 124 36. Operaciones combinadas................. 126 Integración ........................................ 130 Autoevaluación .................................. 132 Capítulo 6: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS ................................... 133 37. Factor común y factor común por grupos. ....................................... 134 38. Trinomio cuadrado perfecto y cuatrinomio cubo perfecto. .............. 136 39. Suma y resta de potencias de igual exponente. ............................... 138 40. Teorema de Gauss. ........................... 140 Integración ........................................ 142 41. Casos combinados de factoreo. ....... 144 42. Ecuaciones de grado mayor a dos. . 148 43. Estudio de funciones polinómicas. .. 150 Integración ........................................ 154 44. Expresiones algebraicas fraccionarias. ..................................... 156 45. Operaciones con expresiones algebraicas fraccionarias. ................. 158 46. Ecuaciones con expresiones algebraicas fraccionarias. ................. 162 Integración ........................................ 166 Autoevaluación .................................. 168 Capítulo 7: SISTEMAS DE ECUACIONES ... 169 47. Sistemas de ecuaciones lineales. Método gráfico. ................................ 170 48. Resolución de sistemas de ecuaciones I. ..................................... 172 49. Resolución de sistemas de ecuaciones II. .................................... 176 50. Sistemas de ecuaciones mixtos. ...... 178 Integración ........................................ 182 Autoevaluación .................................. 184 Capítulo 8: GEOMETRÍA Y FIGURAS PLANAS .............................. 185 51. Teorema de Thales. .......................... 186 52. Aplicaciones del teorema de Thales. 188 53. Semejanza de triángulos. ................. 192 Integración ........................................ 196 54. Trigonometría. .................................. 198 55. Cálculo de razones trigonométricas. 200 56. Resolución de triángulos rectángulos. 202 57. Teoremas del seno y del coseno. .... 204 58. Resolución de triángulos oblicuángulos. ............................................. 206 Integración ........................................ 210 Autoevaluación .................................. 212 Capítulo 9: PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA ..................................... 213 59. Combinatoria. ................................... 214 60. Binomio de Newton. Triángulo de Pascal. ......................................... 218 61. Probabilidad. .................................... 220 62. Probabilidad condicional. ................. 222 Integración ........................................ 224 Autoevaluación .................................. 226 Control de resultados ............................... 227 ¿Para qué sirve?¿Para qué sirve? Capítulo 6: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS ................................... 133 37. Factor común y factor común por grupos. ....................................... 134 38. Trinomio cuadrado perfecto y cuatrinomio cubo perfecto. .............. 136 39. Suma y resta de potencias de igual exponente. ............................... 138 40. Teorema de Gauss. ........................... 140 Integración ........................................ 142 41. Casos combinados de factoreo. ....... 144 42. Ecuaciones de grado mayor a dos. .... 148 43. Estudio de funciones polinómicas. ..... 150 Integración ........................................ 154 44. Expresiones algebraicas fraccionarias. ..................................... 156 45. Operaciones con expresiones algebraicas fraccionarias. ................. 158 46. Ecuaciones con expresiones algebraicas fraccionarias. ................. 162 Integración ........................................ 166 Autoevaluación .................................. 168 Capítulo 7: SISTEMAS DE ECUACIONES ... 169 47. Sistemas de ecuaciones lineales. Método gráfico. ................................ 170 48. Resolución de sistemas de ecuaciones I. ..................................... 172 49. Resolución de sistemas de ecuaciones II. .................................... 176 50. Sistemas de ecuaciones mixtos. ...... 178 Integración ........................................ 182 Autoevaluación .................................. 184 Capítulo 8: SEMEJANZA Y TRIGONOMETRÍA ...................................... 185 51. Teorema de Thales. .......................... 186 52. Aplicaciones del teorema de Thales. ... 188 53. Semejanza de triángulos. ................. 192 Integración ........................................ 196 54. Trigonometría. .................................. 198 55. Cálculo de razones trigonométricas. .... 200 56. Resolución de triángulos rectángulos. ....................................... 202 57. Teoremas del seno y del coseno. .... 204 58. Resolución de triángulos oblicuángulos. ............................................. 206 Integración ........................................ 210 Autoevaluación .................................. 212 Capítulo 9: COMBINATORIA Y PROBABILIDAD ......................................... 213 59. Combinatoria. ................................... 214 60. Binomio de Newton. Triángulo de Pascal. ......................................... 218 61. Probabilidad. .................................... 220 62. Probabilidad condicional. ................. 222 Integración ........................................ 224 Autoevaluación .................................. 226 Control de resultados ............................... 227 Números reales Contenidos 1. Números reales. 2. Números racionales. 3. Operaciones con números racionales. 4. Módulo de un número real. 5. Ecuaciones. 6. Inecuaciones. ca p ít u lo1 Los números racionales aparecen en los primeros textos matemáticos de la historia. Se encuentran presentes en las tablillas babilónicas y en el célebre papiro egipcio de Ahmes, escrito hacia 1650 a. C. Allí se detallan las opera- ciones con fracciones, que los egipcios escribían como sumas de fracciones de numerador igual a 1; estos desarrollos no son únicos. Es un hecho nota- ble que los números racionales se puedan representar siempre de esa forma, y más notable aún que lo supieran ya los antiguos egipcios. Por ejemplo, el 1 también se puede pensar como 1 __ 2 + 1 __ 3 + 1 __ 6 . En aquellos tiempos, la notación era muy diferente a la actual. La barra de fracción, que separa el numerador del denominador, fue introducida recién en el siglo XIII por Leonardo de Pisa, más conocido como Fibonacci. Por su parte, las fracciones decimales tuvieron que esperar hasta el siglo XVI, cuando el belga Simon Stevin ideó la forma de calcular empleando décimas, centésimas, etc., aunque todavía faltaba para llegar a la notación actual: en su sistema un número como 37 654 ______ 1 000 se escribía 37(0)6(1)5(2)4(3). 1. Lean atentamente y resuelvan. a. ¿Por qué son tan importantes los números racionales? b. Representen las siguientes fracciones utilizando el método egipcio. 5 __ 4 3 __ 5 4 __ 9 a. Respuesta abierta. b. 5 __ 4 = 1 __ 2 + 1 __ 3 + 1 __ 4 + 1 __ 6 3 __ 5 = 1 __ 2 + 1 ___ 10 = 1 __ 3 + 1 __ 5 + 1 ___ 15 4 __ 9 = 1 __ 3 + 1 __ 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Números reales Los números racionales son aquellos que pueden ser expresados como el cociente entre dos núme- ros enteros. Existen dos maneras de escribir un mismo número racional: como fracción o en forma decimal; una y otra designan exactamente al mismo número. La expresión decimal de un número racional tiene un número finito de cifras decimales, o es periódica. 34 ___ 9 = 3,777... = 3,7 –13 ___ 4 = –3,25 17 ___ 6 = 2,8333... 2,83 Los números irracionales son aquellos que no pueden ser expresados como un cociente entre dos números enteros, por tener infinitas cifras decimales no periódicas. Todas las raíces no exactas de base entera son números irracionales. __ 5 = 2,236067... 3 __ 6 = 1,817120... 4 ___ 21 = 2,140695... Hay números irracionales que se determinan a partir de una ley de formación. 2,246810... –0,12223242... 5,1122334455... 14,0123456... El conjunto de los números reales ( ) está formado por los números racionales ( ) y los irracionales ( ). Los números reales se grafican sobre una recta denominada recta real. A un punto de la misma se le asigna el 0, se elige un segmento unidad y se ubican los números restantes. A cada número real le corresponde un punto de la recta y viceversa. –1 – 1 __ 2 0 1 __ 8 1 Intervalos reales Se denomina intervalo real a toda semirrecta o segmento de la recta real. Algebraicamente se designa un intervalo por sus extremos encerrados entre paréntesis o corchetes: paréntesis, si los extremos no están incluidos (intervalo abierto); corchetes, si se incluyen los extremos (intervalo cerrado). A = x ∈ ∧ –3 ≤ x ≤ 1 = [–3;1] E = x ∈ ∧ x ≥ 3,5 = [3,5;+∞) –3 1 [ ] 3,5 [ B = x ∈ 4 < x < 7 = (4;7) F = x ∈ ∧ x > –6 = (–6;+∞) 4 7 ( ) –6 ( C = x ∈ –5 ≤ x < 0 = [–5;0) G = x ∈ ∧ x ≤ 1 = (–∞;1] –5 0 [ ) 1 ] D = x ∈ –4 < x ≤ –1 = (–4;–1] H = x ∈ ∧ x < – 1 __ 2 = ( –∞;– 1 __ 2 ) –4 –1 ( ] ) – 1 __ 2 INFOACTIVA ¿Para qué sirve?PÁGINA 2 Test de comprensión 1 ACTIVIDADES Números reales Test de comprensión 1. Coloquen una X donde corresponda. Número Naturales Enteros Racionales Irracionales Reales –4 1 __ 3 __ 5 __ 9 1,34 2. Representen cada uno de los siguientes intervalos en la recta numérica. a. ( –2;3 ) c. [ 1 __ 3 ; 1 __ 2 ] b. ( –5; __ 5 ] d. [– 3 ___ 27 ; 3 ___ 27 ) 3. Escriban el intervalo real correspondiente en los siguientes casos. a. x ∈ ∧ x ≥ –3 = d. x ∈ ∧ –3,5 < x < 0 = b. x ∈ ∧ –1 ≤ x < 7 = e. x ∈ ∧ –1,2 < x ≤ 1,2 = c. x ∈ ∧ x ≠ 3 = f. x ∈ ∧ x ≤ –2 ∧ x > 1 = 4. Expresen de tres formas distintas los intervalos que se indican a continuación. a. Todos los números reales mayores o iguales que –3 y menores que 2. b. Todos los números reales mayores o iguales que –5. c. Todos los números menores que –3 o mayores o iguales que 2. d. Todos los números reales mayores que –2 y menores o iguales que –1. 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. Todo número que tiene infinitas cifras decimales ¿es irracional? b. ¿Cuál es la diferencia entre (2;3) y [2;3]? Test de comprensión 11 a. No, los números periódicos son racionales. b. El primer intervalo no incluye los extremos y el segundo, sí. X X X X X X X X X X X X X [–3;+∞) (–3,5;0) [–1;7) (–1,2;1,2] (–∞;3) ∪ (3;+∞) (–∞;–2] ∪ (1;+∞) x ∈ ∧ –3 ≤ x < 2 = [–3;2) x ∈ ∧ x ≥ –5 = [–5;+∞) x ∈ ∧ x < –3 ∨ x ≥ 2 = (–∞;–3) ∪ [2;+∞) x ∈ ∧ –2 < x ≤ –1 = (–2;–1] ( ) –2 3 ( ] –5 __ 5 [ ] 1 __ 3 1 __ 2 [ ) – 3 ___ 27 3 ___ 27 [ ) –3 2 [ –5 ( ] –2 –1 ) [ –3 2 12 111098765432 Números racionales Al efectuar la división no exacta de dos números enteros, puede suceder que: el resto de la división sea cero; en ese caso el cociente es una expresión decimal con un número finito de cifras decimales (expresiones decimales finitas). 5 __ 2 = 5 : 2 = 2,5 9 ___ 12 = 9 : 12 = 0,75 – 12 ___ 10 = –12 : 10 = –1,2 el resto nunca se anule; necesariamente se repite y al repetirse también lo hacen las cifras deci- males del cociente, determinando el período (expresiones decimales periódicas). 2 __ 3 = 2 : 3 = 0,6 – 10 ___ 11 = –10 : 11 = –0, 90 16 ___ 15 = 16 : 15 = 1,06 Para transformar una expresión decimal periódica en fracción, se escribe en el numerador de la misma el número decimal, sin la coma, menos la parte no periódica y en el denominador, tantos 9 como cifras decimales periódicas tenga la expresión, seguidos de tantos ceros como cifras decimales no periódicas contenga. 3,2 = 32 – 3 ______ 9 = 29 ___ 9 3, 15 = 315 – 3 _______ 99 = 312 ____ 99 = 104 ____ 33 –15,83 = – 1 583 – 158 ___________ 90 = – 1425 _____ 90 = – 95 ___ 6 Aproximación Cuando se trabaja con números que tienen muchas o infinitas cifras decimales, se realizan aproxi- maciones cometiendo un pequeño error que es aceptado por razones de orden práctico. Para calcular el promedio final de las calificaciones de un alumno en una asignatura determinada, se suman las notas obtenidas en los tres trimestres y se las divide por 3. Los promedios finales se aproximan por redondeo a dos decimales. Asignatura 1.° trimestre 2.° trimestre 3.° trimestre Promedio final Lengua 5 8 7 6,67 Historia 7 7 8 7,33 Para aproximar por redondeo se considera la cifra siguiente a la última que se va a dejar; si es mayor o igual que 5, se suma uno a dicha última cifra y si es menor, se deja igual. 5 + 8 + 7 ________ 3 = 20 ___ 3 = 6,6666... ≅ 6,67 (ε < 0,01) 7 + 7 + 8 ________ 3 = 22 ___ 3 = 7,3333... ≅ 7,33 (ε < 0,01) Otra manera de aproximar es por truncamiento, que consiste en eliminar directamente las cifras que no desean considerarse. __ 5 = 2,236067... ≅ 2,23 (ε < 0,01) e = 2,7182818... ≅ 2,7182 (ε < 0,0001) Error El valor más probable es el promedio de los valores obtenidos. _ x = x 1 + x 2 + ... + x n ______________ n Se denomina error absoluto ( ε a ) al módulo de la diferencia entre el valor de cada medición ( x i ) y el valor más probable (x x ). ε a = | x i – _ x | El error relativo es el cociente entre el error absoluto y el valor más probable. ε r = ε a __ _ x El error porcentual es el error relativo multiplicado por 100. ε % = ε r . 100 INFOACTIVA 1 ¿Para qué sirve? PÁGINA 3 13 Test de comprensión 5. Completen para obtener números racionales periódicos. Escriban la expresión decimal correspondiente. a. 12 _____ = b. _____ 7 = c. 2 _____ = d. _____ 3 = 6. Rodeen con color las expresiones equivalentes en cada caso. a. 233 ____ 100 2,33 2,3 0,233 2,033 b. 1 __ 9 1,11 0, 1 0,1 1,11 c. 2 __ 5 4 ___ 10 4 0,4 2,5 7. Escriban como fracción irreducible los siguientes números. a. 3,2 = c. 1,24 = e. 1,15 = g. 5,36 = b. 0,3 = d. 1,6 = f. 0,09 = h. 4,26 = 8. Completen las siguientes tablas. a. 23,1456 b. __ 8 Error Truncamiento Redondeo Error Truncamiento Redondeo ε < 0,1 ε < 0,1 ε < 0,01 ε < 0,01 ε < 0,001 ε < 0,001 9. Calculen el error porcentual de cada una de las siguientes aproximaciones por redondeo. a. __ 5 , ε < 0,001 b. 15 ___ 7 , ε < 0,01 10. Lean atentamente y respondan. Pablo tiene que repartir con sus tres socios los $3 000 de la ganancia de la semana. Para calcular cuánto dinero le corresponde a cada uno, realiza las siguientes operaciones. 1 __ 3 = 0,333… 0,33 . $3 000 = $990 cada uno. ¿Es correcto esto? ¿Por qué? 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿Siempre es importante trabajar con la expresión decimal exacta de un número? b. ¿La expresión 3,2 es equivalente a 3 __ 2 ? 2 ACTIVIDADES Números racionales. Operaciones. a. Depende del contexto que se esté trabajando. b. No, es equivalente a 29 ___ 9 . 12 5 6 3 Hay infinitas posibilidades. 16 31 52 59 5 25 45 11 3 5 1 64 10 3 11 15 23,1 23,1 2,8 2,8 23,14 23,15 2,82 2,83 23,145 23,146 2,828 2,828 0,003 0,1333 No, le corresponden $1 000 a cada uno, porque al haber trabajado con la expresión decimal periódica truncada, no se repartió el dinero en su totalidad. 14 Operaciones con números racionales Una operación donde aparecenexpresiones decimales periódicas conviene resolverla en forma frac- cionaria, respetando la jerarquía de las operaciones y sus propiedades. 15 ___ 4 . 0,26 + 5 –1 – _____ 0,25 = 1. Se escriben como fracción las expresiones decimales. 15 ___ 4 . 24 ___ 90 + 1 __ 5 – ____ 25 ____ 100 = 2. Se simplifica cuando sea posible. 15 ___ 4 . 4 ___ 15 + 1 __ 5 – 5 ___ 10 = 3. Se resuelven las potencias y raíces. 1 + 1 __ 5 – 1 __ 2 = 7 ___ 10 4. Se resuelven las multiplicaciones y divisiones. Luego, las sumas y restas. Si aparecen paréntesis, corchetes y llaves, se deben resolver primero las operaciones que estos encierran. 0,08 . [ ( 1 __ 2 ) 4 . 3 __ 8 + ___ 25 ___ 64 ] – 0,26 = 8 ___ 90 . ( 1 ___ 16 . 2 + 5 __ 8 ) – 24 ___ 90 = 4 ___ 45 . ( 1 __ 8 + 5 __ 8 ) – 4 ___ 15 = 4 ___ 45 . 3 __ 4 – 4 ___ 15 = = 1 ___ 15 – 4 ___ 15 = – 1 __ 5 Si el cálculo está expresado como fracción, se deben resolver el numerador y el denominador por separado y luego, obtener el cociente correspondiente. 0,03 . 5 _______ 0,1 + 3 _______ 0,5 – 3 __ 8 ________ 2 –3 = 3 ____ 100 . 5 ________ 1 __ 9 + 3 _______ 5 ___ 10 – 3 __ 8 ________ ( 1 __ 2 ) 3 ( 2 __ 5 + 0,3 . 9 __ 2 ) : 0,6 _____________ ________ 0,21 + 1 – ( 5 __ 2 ) 2 = ( 2 __ 5 + 3 __ 9 . 9 __ 2 ) : 2 __ 3 _____________ _______ 21 ____ 100 + 1 – ( 5 __ 2 ) 2 = 3 ___ 20 ____ 1 __ 9 + 3 __ 1 __ 8 ____ 1 __ 8 = ( 2 __ 5 + 3 __ 2 ) : 2 __ 3 ___________ ____ 121 ____ 100 – ( 5 __ 2 ) 2 = 3 ___ 20 : 1 __ 9 + 1 __ 2 : 1 __ 8 = 19 ___ 10 : 2 __ 3 _______ 11 ___ 10 – 25 ___ 4 = 27 ___ 20 + 4 = 57 ___ 20 _____ – 103 ____ 20 = 107 ____ 20 = 57 ___ 20 . ( – 20 ____ 103 ) = – 57 ____ 103 INFOACTIVA 12111098765432 15 Test de comprensión 3 ACTIVIDADES Operaciones con números racionales 11. Resuelvan las siguientes operaciones combinadas. a. 3 __ 5 . 15 – 1,2 . ( –0,5 ) = f. ( 0,54 . 3 __ 7 ) . 1 __ 7 – ( 0,24 + 3 __ 5 + 0,26 ) = b. 5 __ 3 : 15 ___ 9 + 0,3 : 0,5 = g. ( 0,18 + 0,21 ) : ( 0,2 + 0,05 ) + 0,3 = c. ( 0,583 – 0,3 : 1 __ 2 ) . 1,2 = h. ( 0,35 : 0,15 + 1 __ 4 ) . ( 0,002 : 0,007 + 1 ) = d. ( 3 – 1 __ 5 : 0,7 ) . ( 15 ___ 4 . 0,2 ) = i. – ( 0,4 . 11 __ 8 + 2 ) + ( 0,2 + 1,1 ) . 3,5 = e. – ( 3 __ 5 + 0,09 : 0,03 ) – 0,5 : 0,125 = j. [ 2 . 0,2 + (–10 + 3,75) : 3 __ 2 ] : 0,3 = 12. Resuelvan. a. 0,2 2 = e. ____ 2,7 = b. 2,3 –3 = f. ___ 0,4 = c. 0,3 2 = g. ______ 0,009 = d. 1,6 3 = h. 3 ______ 0,064 = 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. Al resolver una operación, ¿por qué conviene escribir las expresiones decimales periódicas como fracción? b. Las expresiones decimales periódicas, ¿cumplen con las propiedades de los números naturales? a. Porque así se tienen en cuenta todos sus decimales. b. Sí, cumplen con las mismas propiedades. 29 ___ 3 – 97 ___ 90 8 __ 5 16 ___ 9 – 1 ___ 50 93 ___ 28 95 ___ 42 37 ___ 18 – 38 ___ 5 – 113 ___ 10 4 ___ 81 5 __ 3 27 ____ 343 2 __ 3 9 ____ 100 1 ___ 10 125 ____ 27 2 __ 5 16 3 ACTIVIDADES Operaciones con números racionales 13. Escriban el cálculo combinado que responde a cada pregunta y resuelvan. a. ¿Cuál es la mitad de la quinta parte de veinte? b. ¿Cuál es el inverso del triple de 0,3? c. ¿Cuál es el triple de 0,2 aumentado en 0, 1? d. ¿Cuál es el doble de 0,07 disminuido en 1 __ 2 ? 14. Encuentren el error en la resolución de los siguientes cálculos, si es que lo hay. Luego, resuél- vanlos correctamente. a. – 0,3 2 + (0,5 + 0,3) . 5 = b. _________ 2,5 + 0,2 . ____________ 2 . 0,7 + 0,2 2 + 0,03 = – ( 1 __ 3 ) 2 + 0,8 . 5 = ______ 23 ___ 9 + 2 __ 9 . ______ 7 __ 5 + 1 ___ 25 + 3 ___ 90 = – 1 __ 9 + 4 = 37 ___ 9 1,6 . 6 __ 5 + 3 ___ 90 = 61 ___ 30 15. Resuelvan. a. ________________ 0,04 . 10 __ 8 – 0,015 __________________ 0,2 = c. 5 _______________ 0,24 + 3 __ 5 + 0,15 _________________ _______ 0,027 = b. 0,2 + 1, 1 ________ 0,6 + 0,4 . 3,5 _______ 0,3 = d. 3 ________________________ (0,7 + 0,3) 5 . (2,7 : 10) . 0,1 –1 _________________________ (2,9 : 7) 3 = 20 . 1 __ 5 : 2 = 2 ( 1 __ 3 . 3 ) –1 = 1 3 . 0,2 + 0, 1 = 7 __ 9 2 . 0,07 – 1 __ 2 = – 31 ___ 90 En el segundo término, se toma 0,3 como 0,3 al resolver la sustracción. El cálculo está resuelto correctamente. 9 ___ 10 6 20 ___ 3 343 ____ 90 17 16. Marquen las opciones correctas. a. ( 0,6 . 3 ___ 125 ____ 8 + 0,1 ) : 1,75 = 32 ___ 35 8 __ 7 14 ___ 5 b. ( 1,6 + 0,1 ) 2 : 8 __ 9 = 113 ___ 36 32 ___ 9 3,6125 c. 10 ___ 9 + 0,2 ________ 1 __ 3 + 0,3 2 = 5 __ 3 37 ___ 9 4 __ 3 d. ________ 0,20 . 11 __ 5 – ( 0,3 – 1 ) 0 = 0 –0,33 – 1 __ 3 e. ( 0,35 + 1 __ 9 ) : 0,05 + 3 __ 2 = – 99 ___ 10 99 ___ 10 9 ___ 10 17. Resuelvan los siguientes cálculos combinados. a. 3 _________ 2 – 1,992 + 7 __ 3 – ( 0,45 . ___ 121 + 0,3 ) = e. 0,6 2 + 0,05 . [ ( 3 ___ 1 ____ 125 ) 2 . 5 __ 9 + 0,3 ] –1 = b. [ 2,02 – ( 0,2 – 0,17 + 1,3 – 2 ) ] : 3 ______ 0,008 = f. 0, 18 . 1,1 _________ ( 3 __ 2 + 2,5 ) 2 + 0,1 = c. ____ __ 1 ___ 81 + ( 0,2 – 1,03 ) : 0,01 = g. _____________________ ( 0,6 + 0,32 + 1 __ 6 ) : 0,02 _______________________ 0,23 + 53 ___ 30 = d. _________ 1,4 + 0,04 + _________________ ( 1,5 – 1,2 ) : ( 1 – 1 __ 3 ) – ( 0,03 _____ 0,5 ) –1 = h. _______ 0,04 . 1 __ 4 . [0, 9 – (0,03 + 0, 1)] __________________________ ( 3 _____________ 0,14 – 1 __ 2 . 0,03 ) –1 = 3 ACTIVIDADES Operaciones con números racionales X X X X X – 14 ___ 5 173 ____ 288 40 ___ 3 9 ___ 80 – 218 ____ 3 7 __ 2 – 113 ___ 10 77 _____ 1 800 18 INTEGRACIÓN 18. Escriban V (Verdadero) o F (Falso) según corresponda. Expliquen las respuestas. Todo número... a. ... natural es un número entero. b. ... entero es un número natural. c. ... real es un número natural. d. ... irracional es un número real. e. ... irracional es un número racional. 19. Hallen el valor de x en cada caso e indiquen a qué conjunto numérico pertenece la solución. a. c. Perímetro = x 2,3 cm 1 __ 3 cm 7 cm 5 cm x b. d. Área = x 4 cm x 3 cm __ 2 cm 5 cm 20. Escriban V (Verdadero) o F (Falso) según pertenece (∈) o no (∉) al intervalo. a. 2 ∈ (2;5] b. 2 ∈ [2;5] c. 5 ∉ (2;5] d. 5 ∉ (2;5) e. 0 ∈ (–5;–1) f. –3 ∈ [–3;2] 21. Representen los siguientes intervalos en la recta numérica. a. x ∈ ∧ –3 < x < 5 b. x ∈ x ≤ –1 ∧ x > 1 __ 5 c. x ∈ ∧ 1 __ 3 < x ≤ 7 __ 2 d. x ∈ ∧ x ≥ 5 22. Respondan. a. ¿Cuántos números naturales, incluido el cero, se encuentran en el intervalo (–2;4]? ¿Y núme- ros enteros? b. ¿Cuántos números reales se encuentran en elintervalo [–2;–1]? 23. Escriban el intervalo indicado en cada caso. Luego, represéntenlo en la recta numérica. a. Todos los números reales mayores o iguales que 5. b. Todos los números reales mayores que 3 y menores o iguales que 8. c. Todos los números reales menores o iguales que 3 ___ 34 . d. Todos los números reales mayores que – 1 __ 2 y menores que 3. e. Todos los números reales mayores o iguales que – 7 __ 5 y menores o iguales que 0 f. Todos los números reales mayores que 0. 24. Representen de dos maneras distintas los siguientes intervalos. a. [2;3) b. (–∞; –5] ∪ (7; +∞) c. [–2; +∞) d. (–∞;–1] ∪ [2;+∞) 25. Escriban los intervalos representados en cada recta. a. 3 5 ) [ b. –3 5 ( ) c. 1 ( d. –2 3 [ ) e. –4 2 ] [ f. –8 –1 ( ] V F F V F P = 79 ___ 15 , , . x = ___ 74 cm, y . x = 5 cm, , , , . A = 5 . __ 2 , y . F V V F F V Solución a cargo del alumno. 5 números naturales. 6 números enteros. Hay infinitos números reales. [5;+∞) (3;8] (–∞; 3 ___ 34 ] ( – 1 __ 2 ;3 ) [– 7 __ 5 ; 0 ] (0;+∞) x ∈ ∧ –2 ≤ x < 3 x ∈ ∧ x ≤ –5 ∨ x > 7 x ∈ ∧ x ≥ –2 x ∈ ∧ x ≤ –1 ∨ x ≥ 2 Recta numérica a cargo del alumno. (–∞;3) ∪ [5;+∞) (–3; 5) (1; +∞) [–2; 3) (–∞;–4] ∪ [2;+∞) (–8; –1] 19 1*2*3 CONTENIDOS 26. Escriban la expresión decimal de cada una de las siguientes fracciones. Clasifíquenlas. a. 3 __ 2 = e. 1 __ 9 = b. 7 ___ 28 = f. 5 __ 9 = c. 1 ___ 15 = g. 12 ___ 5 = d. 3 ___ 16 = h. 15 ___ 9 = 27. Completen el siguiente cuadro realizando una aproximación por truncamiento. Número 1,345 __ 6 2 __ 3 3 __ 7 ε < 0,1 ε < 0,01 ε < 0,001 ε < 0,0001 28. Completen el siguiente cuadro realizando una aproximación por redondeo. Número 2,345 __ 7 2 __ 9 3 __ 3 ε < 0,1 ε < 0,01 ε < 0,001 ε < 0,0001 29. Calculen el error porcentual de cada una de las siguientes aproximaciones por redondeo con ε < 0,01. a. 113 ___ 9 c. __ 7 e. __ 2 b. __ 5 d. 5 __ 7 f. 4 __ 7 30. Aproximen por redondeo a los milésimos el número 25 ___ 14 e indiquen los errores. a. ε a b. ε r c. ε % 31. Lean atentamente, escriban el cálculo en cada caso y resuelvan. a. El doble de la tercera parte de 15, aumenta- do en la raíz cuadrada del doble de 9 __ 8 . b. La diferencia entre un cuarto de 16 ___ 9 y las tres quintas partes de 25. c. La raíz cuadrada de la suma entre un quinto de cinco y el producto de 36 ___ 5 y 10 ___ 9 . d. El cociente entre el cuadrado de la diferen- cia entre un tercio y tres quintos, y cinco medios elevado a menos uno. e. La raíz cúbica de la diferencia entre uno y siete octavos, disminuida en el doble de la raíz cuadrada de 2,7. f. La diferencia entre el cociente de la raíz cua- drada de 81 ___ 16 y la raíz cuarta de 81 ___ 16 , y el doble de cinco cuartos. 32. Resuelvan las siguientes operaciones combi- nadas. a. –3 . 3,2 + ( 1 __ 5 – 1 __ 3 ) = b. ( 9 __ 7 . 0,25 – 5 __ 7 ) . ___ 121 = c. ( 0,6 + 0,02 – 1 ___ 20 . 2,2 ) : 1,4 = d. 0,4 . 3,3 + 0,2 + 0,3 2 + 0,2 = e. ( 0,2 + 0,5 ) . 1,5 1 –1 + 1 __ 3 + 0,7 : 1,5 = f. [ 11 – ( 0,5 : 0,1 + 3,3 + 0,2 ) ] 2 = g. [ – 5 __ 3 . ( 0,5 – 0,2 + 1 ___ 10 . 3,3 : 1,6 ) + 1 ] – 0,7 = h. ( –0,3 + 2 . 0,5 ) – ( 0,09 + 0,2 ) . 1 ___ 29 + 0, 1 = i. [ 0,5 : 5,9 : ( 0,7 – 0,3 ) + 1 ] : ( – 1 __ 2 ) = j. ________________ ( 6,19 – 5,29 ) . 0,1 ___________________ 0,07 – 0,13 . 9 + 1 = k. [ ( 1 __ 4 ) 2 . 4 ___ 16 + 5 __ 8 ] . 0,08 ____________________ 0,26 = l. –0,2 + ( 1,3 – 0,3 ) : ( – 1 __ 6 ) _____________________ 1,3 : 0,83 – 0,2 . 9 __ 5 = 1 capítulo 1,5 E.D.F. 0, 1 E.D.P. 0,25 E.D.F. 0,5, E.D.P. 0,06, E.D.P. 2,4 E.D.F. 0,1875, E.D.F. 1,6, E.D.P. 0,03538 0,1606 0,2979 0,1758 0,6 0,25 25 ___ 14 ≅ 1,786 a. |1,786 – 25 ___ 14 | b. ε r = | 1,786 – 25 ___ 14 | __________ 25 ___ 14 c. ε % = |1,786 – 25 ___ 14 | __________ 25 ___ 14 . 100 23 ___ 2 – 131 ___ 9 3 8 ___ 45 – 17 ___ 6 –1 – 49 ___ 5 – 30 ___ 7 2 __ 5 17 ___ 9 4 __ 3 9 – 11 ___ 18 0,8 – 29 ___ 12 – 27 ___ 11 1 __ 4 –5 1,3 2,4 0,6 1,9 1,34 2,44 0,66 1,91 1,345 2,449 0,666 1,912 1,3455 2,4494 0,6666 1,9129 2,3 2,6 0,2 1,4 2,35 2,65 0,22 1,44 2,346 2,646 0,222 1,442 1,3456 2,6458 0,2222 1,4422 20 Módulo de un número real El módulo o valor absoluto de un número real es su distancia al cero sobre la recta real. Para todo número real x, su módulo se expresa: |x|. ∀x ∈ : |x| = { x si x ≥ 0 –x si x < 0 |3| = 3 |–5| = –(–5) –5 0 3 |–5| = 5 |3| = 3 Propiedades del módulo |x| ≥ 0 | 2 __ 3 | = 2 __ 3 |0| = 0 |–15,7| = 15,7 |x| = |–x| |4,03| = |–4,03| |247| = |–247| = –(–4,03) = 4,03 = –(–247) = 247 |x + y| ≤ |x| + |y| |3,2 + 5| ≤ |3,2| + |5| |8,9 + (–6)| ≤ |8,9| + |–6| |8,2| ≤ 3,2 + 5 |2,9| ≤ 8,9 + 6 8,2 ≤ 8,2 2,9 ≤ 14,6 |x . y| = |x| . |y| |4 . (–3)| = |4| . |–3| |–2,4 . 1,95| = |–2,4| . |1,95| |–12| = 4 . 3 |–4,68| = 2,4 . 1,95 12 = 12 4,68 = 4,68 Para entender mejor las propiedades que siguen, se representan los siguientes intervalos reales. –a 0 a ()( ) x < –a –a < x < a x > a |x| > a ∧ a > 0 ⇒ x > a ∨ x < –a ⇒ x ∈ (–∞;–a) ∪ (a;+∞) –a 0 a () |x| > a |x| > 8 ∧ 8 > 0 ⇒ x > 8 ∨ x < –8 |x| ≥ 4,1 ∧ 4,1 > 0 ⇒ x ≥ 4,1 ∨ x ≤ –4,1 ⇒ x ∈ (–∞;–8) ∪ (8;+∞) ⇒ x ∈ (–∞;–4,1] ∪ [4,1;+∞) |x| < a ∧ a > 0 ⇒ –a < x < a ⇒ x ∈ (–a;a) –a 0 a ( ) |x| < a |x| < 3 ∧ 3 > 0 ⇒ –3 < x < 3 |x| ≤ 2 __ 5 ∧ 2 __ 5 > 0 ⇒ – 2 __ 5 ≤ x ≤ 2 __ 5 ⇒ x ∈ (–3;3) ⇒ x ∈ [ – 2 __ 5 ; 2 __ 5 ] INFOACTIVA 131211109876543 21 Test de comprensión 33. Calculen los siguientes módulos. a. |–3| = d. |–a| = g. |3 . (–2)| = b. |–20| = e. |3 – 5| = h. |–12 : 6| = c. |a| = f. |5 + 7| = i. |3 . (–5) – 8| = 34. Completen con <, > o =, según corresponda. a. |–45| |45| c. |a + 3| |a| + |3| e. |x| . |–2| |x| . (–2) b. –3 |3| d. |–2 + 5| |–2| + |5| f. |5 . (–3)| |5| . |–3| 35. Escriban el conjunto solución. a. |x| = 3 c. |x| 2 e. |x| > 2,3 b. |x| = –5 d. |x| 3 f. |x| < 0, 1 36. Resuelvan los siguientes cálculos. a. | –3 + 1 __ 3 | : 0,6 + 3 _______ | –0,125 | = c. 3 ______ 0,008 – | –2,3 + 2,5 | ___________________ | ____ 0,64 – 3 | = b. |–3 + 0,2| – | – __ 1 __ 4 | – 1 – 0,2 ______ 0,2 = d. | 1, 5 – 1, 2 – 3 | _____________ 0,6 = 37. Representen sobre la recta numérica los conjuntos de números que se indican a continuación. a. |x| = 3 __ 5 e. x < 0 ∧ |x| > 7 b. |x| ≥ a f. |x| < 4 ∧ x > 9 c. |x| ≤ 4 ∧ x ≥ 4 g. |x| > 2 ∨ x = 0 d. |x| > 2 ∧ x < 3 h. |x| < 6 ∨ x = 2 4 ACTIVIDADES Módulo de un número real 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. Dos números opuestos ¿tienen el mismo módulo? b. ¿Cuál es el signo del valor del módulo del cociente entre un número positivo y otro negativo? a. Sí, porque ambos se ubican a la misma distancia del cero en la recta numérica. b. El resultado es positivo. 3 a, si a > 0 6 20 2 2 a, si a > 0 12 23 = < > < < = S = {–3;3} [–2;2] ( –∞;– 7 __ 3 ) ∪ ( 7 __ 3 ;+∞ ) Absurdo. (–∞;–3] ∪ [3;+∞) ( – 1 __ 9 ; 1 __ 9 ) 9 __ 2 0 – 13 ___ 10 4 x x –7 –a a ø 4 –2 0 2 –2 0 2 3 –6 6 ] [ ) ( ( )) ( ) ) 22 Ecuaciones Una identidad es una igualdad que se verifica para cualquier valor de la/s variable/s. h + h = 2h m + n = n + m cn + dn = (c + d) . n 3,5x + 2 – x + 0,4 = –0,6x + 1,3 Unaecuación es una igualdad que se verifica para uno, algunos o ningún valor de la/s variable/s. x + 3 = 0 8 – 2x = 0 x + 5 = x – 2 a + 2b + c = 0 9 + x = 4 – 2 x 2 – 8 Resolver una ecuación es encontrar, si existen, el o los valores de las variables que verifican la igualdad planteada. Dichos valores determinan el conjunto solución de la ecuación. Una ecuación de primer grado o lineal es aquella cuya forma general es: ax + b = 0, siendo a y b números reales y a ≠ 0. –6 . ( x – 1 __ 3 ) = ( – 4 __ 5 x + 2 ) : 1 __ 2 3x – 2 + 2 . ( 1 __ 3 x + 1 __ 4 ) = x – 4 __ 3 . (x – 4) –6x + 2 = – 8 __ 5 x + 4 3x – 2 + 2 __ 3 x + 1 __ 2 = x – 4 __ 3 x + 4 –6x + 8 __ 5 x = 4 – 2 11 ___ 3 x – 3 __ 2 = – 1 __ 3 x + 4 – 22 ___ 5 x = 2 4x = 11 ___ 2 x = – 5 ___ 11 x = 11 ___ 8 Ecuaciones con módulo Para resolver ecuaciones lineales en las que aparecen módulos que incluyen la incógnita, se deben tener presentes tanto la definición de este concepto como sus propiedades. |x + 5| = 8 Se elimina el módulo, aplicando la definición. x + 5 ≥ 0 ⇒ x ≥ –5 ∨ x + 5 < 0 ⇒ x < –5 x + 5 = 8 ⇒ x = 3 ∨ –x – 5 = 8 ⇒ x = –10 –5 0 3 [ –10 –5 0 ) Solución = {–10; 3} 2 . |2 – 3x| + 5 = x + 9 Se elimina el módulo, aplicando la definición. 2 – 3x ≥ 0 ⇒ x ≤ 2 __ 3 ∨ 2 – 3x < 0 ⇒ x > 2 __ 3 2 . (2 – 3x) + 5 = x + 9 ∨ 2 . (–2 + 3x) + 5 = x + 9 4 – 6x + 5 = x + 9 –4 + 6x + 5 = x + 9 –7x = 0 5x = 8 x = 0 x = 8 __ 5 0 2 __ 3 1 ] 0 2 __ 3 1 8 __ 5 ( Solución = {0; 8} INFOACTIVA 1413121110987654 23 Test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿La solución de la ecuación –3x = 15 es x = 18? b. ¿Es cierto que en |x – 5| = –2 el valor de x es igual a 3? 38. Marquen las opciones correctas. a. ¿Cuáles ecuaciones tienen infinitas soluciones? 7a + 2a = 9a 7a + 2a = 9 7 + 2a = 9a 7 + 2a = 9 b. ¿Cuáles ecuaciones tienen solución única? 8 – |x| = |x| b . 1 __ 2 = b + 0,6 2a – b = –b + 2a |a| + 2 = 5 c. ¿Cuáles ecuaciones no tienen solución? x + 5 = 1,7 – x x – 0,2 = x + 1 __ 5 –x + 3 __ 7 = 2x + 1 2 . (x – 4) = x – 4 39. Resuelvan las siguientes ecuaciones. a. 5 __ 3 x + 8,2 = 10 – 5 __ 6 x d. 2,4 . ( – 5 __ 11 + 3x ) = 1,5 . ( – 3 __ 7 x + 1 ) b. 2,6 + 5,2 = –x + 7 __ 8 x e. x – ( 2x + 0,32 ) – 3x = 1 __ 9 + 9x c. 1,8 + 0,3x – 1 __ 3 = –0,7x f. –0,4 . ( 2,8 – 0,4 ) + 7 ___ 15 x = ( 0,3x – 0,3 _________ –15 ) . (–13) 40. Resuelvan las siguientes ecuaciones con módulos. a. | x + 5 | = 2,5 c. 0,25 . | –3x + 4 | = 7 __ 4 x b. | 2x – 1 | = 0,5 d. 2 . | 1 __ 2 x – 0,25 | = 2x – 3 __ 4 41. Planteen las ecuaciones y resuelvan. a. El quíntuplo del módulo del siguiente del tercio de un número es igual a dos. b. La cuarta parte de la suma entre un número y su anterior es igual al siguiente de su triple. 5 ACTIVIDADES Ecuaciones a. No, es –5. b. No, porque el módulo de un número real es siempre positivo. X X X x = 18 ___ 25 x = 1 __ 3 x = – 944 ____ 15 – 1 ___ 30 x = – 7 __ 5 x = 10 ___ 3 x = –2,5; x = –7,5 x = 2 __ 5 x = 7 __ 9 ; x = 2 __ 9 x = 5 ___ 12 5 . | 1 __ 3 x + 1 | = 2; x = – 9 __ 5 ; x = – 21 ___ 5 1 __ 4 . (x + x – 1) = 3x + 1; x = – 1 __ 2 24 Inecuaciones Las desigualdades que contienen variables se llaman inecuaciones. Resolver una inecuación es encontrar todos los valores de la incógnita que la verifican, y el con- junto solución es un intervalo real o el conjunto vacío. Una inecuación se resuelve como una ecuación, salvo en el caso en que se divida o se multiplique a ambos miembros por un número negativo, lo que invierte el sentido de la desigualdad. –5x > 7 – 2 __ 5 x ≤ –4 –2x < 9 – 3 __ 4 x ≥ –2 –5x : (–5) < 7 : (–5) – 2 __ 5 x : ( – 2 __ 5 ) ≥ –4 : ( – 2 __ 5 ) –2x : (–2) > 9 : (–2) – 3 __ 4 x : (– 3 __ 4 ) ≤ –2 : (– 3 __ 4 ) x < – 7 __ 5 x ≥ 10 x > – 9 __ 2 x ≤ 8 __ 3 S = ( –∞;– 7 __ 5 ) S = [10;+∞) S = ( – 9 __ 2 ;+∞ ) S = ( –∞; 8 __ 3 ] Inecuaciones con módulo |3x – 5| < 4 Debe eliminarse el módulo, aplicando la definición. 3x – 5 ≥ 0 ⇒ x ≥ 5 __ 3 ∨ 3x – 5 < 0 ⇒ x < 5 __ 3 3x – 5 < 4 ⇒ x < 3 ∨ –3x + 5 < 4 ⇒ x > 1 __ 3 x ≥ 5 __ 3 ∧ x < 3 ⇒ 5 __ 3 ≤ x < 3 x < 5 __ 3 ∧ x > 1 __ 3 ⇒ 1 __ 3 < x < 5 __ 3 0 1 5 __ 3 2 3 [ ) [ 5 __ 3 ;3 ) 0 1 _ 3 1 5 __ 3 2 3 ( ) ( 1 __ 3 ; 5 __ 3 ) La solución es la unión de los intervalos: S = ( 1 __ 3 ; 5 __ 3 ) ∪ [ 5 __ 3 ;3 ) = ( 1 __ 3 ;3 ) 0 1 _ 3 1 2 3 ( ) 4 . |x + 3| – 1 > 1 – x Debe eliminarse el módulo, aplicando la definición. x + 3 ≥ 0 ⇒ x ≥ –3 ∨ x + 3 < 0 ⇒ x < –3 4 . (x + 3) – 1 > 1 – x ∨ 4 . (–x – 3) – 1 > 1 – x 4x + 12 – 1 > 1 – x –4x – 12 – 1 > 1 – x 5x > –10 ⇒ x > –2 –3x > 14 ⇒ x < – 14 ___ 3 x ≥ –3 ∧ x > –2 ⇒ x > –2 x < –3 ∧ x > – 14 ___ 3 ⇒ x < – 14 ___ 3 –6 –5 –4 –3 –2 –1 [ ( ( –2;+∞) –6 –5 – 14 __ 3 –4 –3 –2 –1 ) ) ( –∞;– 14 ___ 3 ) La solución es la unión de los intervalos: S = ( –∞;– 14 ___ 3 ) ∪ ( –2;+∞ ) –6 –5 – 14 __ 3 –4 –3 –2 –1 ) ( INFOACTIVA 15141312111098765 25 Test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿Es cierto que la solución de la inecuación –5x ≤ 20 es x ≥ –4? b. ¿La inecuación |x – 3| < 4 tiene como solución todos valores que se encuentran entre –1 ≤ x ≤ 7? 42. Marquen las opciones correctas. a. La solución de – x __ 5 . (–4) ≤ –20 es: (–∞;–25) (–∞;–25] (–25;+∞) [–25;+∞) b. La solución de |4x – 2| < 4 es: [ 1 __ 2 ; 3 __ 2 ) ( – 1 __ 2 ; 1 __ 2 ) ( – 1 __ 2 ; 3 __ 2 ) ( – 1 __ 2 ; 3 __ 2 ] c. La solución de 2 . |x – 6| > 4 es: [4;8] (8;+∞) (–∞;4) (–∞;4) ∪ (8;+∞) 43. Resuelvan las siguientes inecuaciones y escriban el conjunto solución. a. 0,6x – 1 __ 9 ≥ – 5 ___ 18 d. –0,3 . ( 1 __ 3 x – 5 ___ 12 ) ≤ 0,3x b. 7 __ 6 x – 3,2 < 9 __ 2 x e. 4,1x + 8,4 _________ 2x ≤ 0,9 c. 1 __ 2 x + 5,07 – x > 5,57 f. –3x _____ x – 1 < 2,8 44. Resuelvan las siguientes inecuaciones con módulo y escriban el conjunto solución. a. 6 . |x – 2| ≤ 8x c. 4 . (x + 1) < |x – 3| + 4x b. |–5| . |2x – 3| ≥ 10 d. 3 . |4x – 1| > 10x 45. Escriban en lenguaje simbólico y resuelvan. a. El módulo del anterior del triple de un número es menor que el módulo de menos cinco. b. La tercera parte del siguiente de un número es mayor que la suma entre dicho número y su doble. 6 ACTIVIDADES Inecuaciones a. Sí, al pasar el –5 dividiendo cambia el sentido de la desigualdad. b. No, no se deben considerar los extremos. X X X S = [ – 1 __ 4 ;+∞ ) S = [ 15 ___ 52 ;+∞ ) S = ( – 29 ___ 30 ;+∞ ) S = [–4;0 ) S = ( –∞;–1 ) S = (–∞; 26 ___ 53 ) ∪ ( 1;+∞ ) S = [ 6 __ 7 ;+∞ ) S = (–∞;–1) ∪ (7;+∞) S = ( –∞; 1 __ 2 ] ∪ [ 5 __ 2 ;+∞ ) S = ( –∞; 3 ___ 22 ) ∪ ( 3 __ 2 ;+∞ ) |3x – 1| < |–5|; S = ( – 4 __ 3 ;2 ) 1 __ 3 . (x + 1) ≥ x + 2x; S = ( –∞; 1 __ 8 ) 26 INTEGRACIÓN 46. Calculen los siguientes módulos. a. |–15| = e. |–3 . 20| = b. |–29| = f. |10 : (–2)| = c. |45| = g. |2 + 4 . 3| = d. |–1 – 5| = h. |12 : (–6) + 1| = 47. Respondan. La distancia de un número a cero es 5. ¿Cuáles son los números que cumplen con esa condición? 48. Escriban el conjunto de valores que verifican las siguientes igualdades. a. |x| = 23 c. |x| = 0 b. |x| = –4 d. |x| = 7 49. Escriban en lenguaje simbólico y resuelvan. a. La tercera parte de la diferencia entre el doble de un número y su mitad es igual al doble del cuadrado de tres. ¿Cuál es ese número? b. El anterior de la mitad de un númeroes igual al doble del mismo. ¿Cuál es dicho número? c. La suma de dos números consecutivos es igual al triple del siguiente de dicho número. ¿Cuáles son esos números? d. La diferencia entre el triple de un número y su quinta parte, es igual al doble de seis quintos. 50. Resuelvan las ecuaciones. a. 0,7 . (x + 1) = 0,2 + 0,7 b. –2x + 3 _______ 3 + x __ 6 = 2x c. 5 __ 2 x + 0,3 = 3x + 1 ______ 2 + 0,2x ____ 4 d. 7 – 8x ______ 6 + 2x – 2 ______ 3 = –10x + 1 ________ 3 e. 2,1 x + 1 __ 4 x – 3 . ( 1 __ 9 x – 1 __ 6 ) = 6 –2 x 51. Escriban en lenguaje coloquial. a. 2 . (0,5 + x) = x + 1 b. 1 __ 4 . ( 1 __ 3 x – 1 ) = 5x – 2 c. |x + 5| : 2 = |–16| d. 3 . 1 __ 2 = 3 . | 2x – 1 __ 2 | 52. Resuelvan las siguientes ecuaciones con módulo. a. |x| + 5 = 12 e. |x + 4| = 2 b. |x| + 4 = 12 f. 1 __ 3 . |x + 1| = 2 c. –2 . |x| + 1 = –11 g. 3 . |x – 3| + 1 = 7 d. 0,2 – |x| = 0 h. –2 . |x –1| – 3 = –15 53. Escriban el conjunto representado como ecuación o inecuación con módulo. a. –3 3 b. –5 5 [ ] c. –1 1 ) ( 54. Escriban en lenguaje simbólico y resuelvan. a. El módulo de la diferencia entre un número y cinco es siete. ¿Cuál es dicho número? b. El doble del módulo de la suma de un núme- ro y cuatro es doce. ¿Cuál es dicho número? c. La tercera parte del módulo de la suma entre un número y uno es uno. ¿Cuál es dicho número? d. El triple del módulo de la suma entre siete y un número es nueve. ¿Cuál es dicho número? 55. Calculen todos los números que verifican las siguientes igualdades. a. |x| + 4 = 5 d. 5 __ 3 + 0,2 – |x| = 1 b. 2 __ 3 . |x| – 2 = 3 e. |x + 4| = 3 c. 5 __ 2 – |x| = 4 f. 2 + 3 . |x + 1| = 5 __ 2 56. Unan cada ecuación con su conjunto solución. a. |x – 4| = 2 {0;8} b. |2x – 4| = 2 {2;6} c. 2 . |x – 4| = 2 {3;5} d. |x – 4| : 2 = 2 {1;3} 15 60 29 5 45 14 6 1 –5 y 5 S = {–23; 23} S = {0} Absurdo. S = {–7; 7} Solución a cargo del alumno. x = 13 ___ 70 x = 2 __ 5 x = 3 ___ 17 x = – 1 ___ 16 x = – 1 __ 4 Solución a cargo del alumno. S = {–7;7} S = {–6;–2} S = {–8;8} S = {–7;5} S = {–6;6} S = {1;5} S = {– 1 __ 5 ; 1 __ 5 } S = {–5;7} |x| = 3 |x| ≤ 5 |x| > 1 a. –2;12 b. –10;2 c. –4;2 d. –10;–4 S = {–1;1} S = {– 8 __ 9 ;– 8 __ 9 } S = {– 15 ___ 2 ; 15 ___ 2 } S = {–7;–1} S = ∅ S = {– 7 __ 6 ;– 5 __ 6 } 27 4*5*6 CONTENIDOS 57. Escriban el conjunto solución de las siguien- tes inecuaciones. a. |x| > 3 d. |x – 2| < 4 b. |x| ≤ __ 7 e. 2 . |x – 3| ≥ 8 c. |x + 1| > 2 f. 1 __ 3 . |x + 4| ≤ 2 58. Escriban V (Verdadero) o F (Falso) según corresponda. a. Una ecuación es una igualdad que se verifica para todos los valores de la variable. b. Toda ecuación lineal es de la forma ax + b = 0. c. En la ecuación |2x – 7| = –3, el valor de x es 2. d. El conjunto solución de una inecuación siem- pre es un intervalo real. e. Cuando se multiplican ambos miembros de una desigualdad por un número negativo, la desigualdad no cambia su sentido. 59. Escriban la expresión con módulo que corresponde a cada representación. a. –3 3 ) ( b. 0 1 __ 3 [ ) c. –2 2 4 d. –a a [ ] 60. Escriban en lenguaje simbólico y obtengan el conjunto solución. a. La quinta parte del anterior de un número es mayor o igual que el doble de dicho número. b. El siguiente del triple de un número es menor que dicho número aumentado en dos novenos. c. El doble del módulo de la tercera parte de un número disminuido en nueve es menor que siete. 61. Unan cada inecuación con su conjunto solución. a. 2 . (x – 1) 3 < 16 x > 2 b. –2 . (x – 1) 3 > 16 x < 3 c. [2 . (x + 1)] 3 > 8 x > 0 d. [–2 . (x + 1)] 3 < –8 x > –1 62. Marquen las opciones correctas. a. El doble del módulo del siguiente de un número es menor que su triple. 2 . |x + 1| < 3x |2x + 1| < 3x |2 . (x + 1)| < 3x |2x| + 1 < 3x b. El módulo del anterior de la mitad de un número es mayor que su doble. | 1 __ 2 . (x – 1) | ≥ 2x 1 __ 2 . | x – 1 | ≥ 2x | 1 __ 2 x – 1 | ≥ 2x | 1 __ 2 . x| – 1 ≥ 2x 63. Resuelvan las inecuaciones con módulo. a. 5 + |3x – 4| ≤ 12 – 4x b. 3 – (2x – 8) + 5 > |–x – 4| . |–3| c. 2 . (2x – 6) < |3x – 7| + 3 d. 4 . |2x + 5| + 3 ≥ 1 __ 2 . (4x + 6) e. 6 + |2x + 3| – 4x > 5x + 1 f. |7x – 4| + 8 ≤ 2 . (x – 6) + 10 g. 2x + |2x + 3| ≥ –3 . (x + 2) h. 7 . |x + 2| – 10 < 3x + 2 i. 3 . |–x + 3| + 2x ≤ –2x + 7 j. | 1 __ 3 x – 5 | + 8 ≤ 2 __ 3 x + 10 64. Marquen las opciones correctas. ¿Cuál es el conjunto solución de… a. … 1 ___ 12 . |–5x + 2,6| > 0,16? ( 2 ___ 15 ;+∞ ) ( –∞; 2 ___ 15 ) ∪ ( 14 ___ 15 ;+∞ ) ( –∞; 14 ___ 15 ) ( 2 ___ 15 ; 14 ___ 15 ) b. … 2x + 2 – 5 . (x – 3) ≤ x – 8? [ 25 ___ 4 ;+∞ ) ( –∞; 25 ___ 4 ) ( 25 ___ 5 ;+∞ ) ( –∞; 25 ___ 4 ] 1 capítulo Solución a cargo del alumno. F V F F F |x| > 3 |x| < 1 __ 3 ∧ x 0 |x| = 2 ∨ x > 4 |x| ≤ a a. 1 __ 5 . (x – 1) ≥ 2x; S = ( –∞;– 1 __ 9 ] b. 3x + 1 < x + 0,2; S = ( –∞;– 7 ___ 18 ) c. 2 . | 1 __ 3 x – 9 | < 7; S = (16,5;37,5) X X S = ( –∞; 11 __ 7 ] S = ( –28; 4 __ 5 ) S = (–∞;8) S = S = ( –∞; 8 __ 7 ) S = ∅ S = [– 9 __ 7 ;+∞) S = (–2,6;–0,5) S = ( –∞;–2 ] S = [ –3;+∞ ) X X AUTOEVALUACIÓN 28 1 capítulo Marquen las opciones correctas 65. ¿Cuál es el intervalo que corresponde en cada caso? a. x ∈ ∧ –2 < x < 2 (–∞;–2) ∪ (2;+∞) (–2;2) {–2;2} Ninguna de las anteriores. b. x ∈ ∧ x < –3 ∨ x > 5 (–∞;–3) ∪ (5;+∞) [–3;5) (–∞;–3] ∪ [5;+∞) Ninguna de las anteriores. c. x ∈ ∧ x = –4 ∨ x > 3 (–4;3) {–4;3} (–4;+∞) Ninguna de las anteriores. 66. ¿Cuál es el error porcentual de ___ 15 por redondeo con ε < 0,001? a. 0,000429 b. 0,429 c. 0,000000429 67. ¿Cuál es el resultado de cada cálculo? a. 1 _________ 3 __ 8 . ____ 100 . 0, 20 ________________ (0, 25 – 0, 30) . 2,1 21 ___ 2 – 2 ___ 21 2 ___ 21 b. 3 . |x| + 2 = 5 {–1;1} (–1;1) [–1;1] c. 5 + 2 . |x + 1| = 15 {4} {–6;4} {–6} 68. ¿Cuál es la ecuación que corresponde a cada problema? a. La mitad del siguiente de un número es igual a su doble, aumentado en la tercera parte de 30. ¿Cuál es el número? 1 __ 2 . 2x + 1 = 2x + 1 __ 3 . 30 1 __ 2 x + 1 = 2x + 3 . 30 1 __ 2 . (x + 1) = 2x + 1 __ 3 . 30 b. El anterior de la tercera parte de un número es igual a la raíz cuadrada del producto entre dieci- séis y el cuadrado del desconocido. 1 __ 3 . (x – 1) = ____ 16 x 2 1 __ 3 . x – 1 = ____ 16 x 2 1 __ 3 x – 1 2 = ___ 16 x 2 69. ¿Cuál es el conjunto solución de la ecuación? |–2| . | 1 __ 2 x – 0,3 | 1,3 a. (–∞;2] b. [–0,6;+∞) c. [–0,6;2] d. (–∞;2] ∪ [–0,6;+∞) X X X X X X X X x = – 19 ___ 3 X S = ∅ X Números irracionales Contenidos 7. Propiedades de la potenciación y la radicación. 8. Números irracionales. 9. Radicales. Adición y sustracción. 10. Multiplicación y división de radicales. 11. Operaciones combinadas. 12. Racionalización de denominadores. 13. Sucesiones. 14. Sucesiones aritméticas. 15. Sucesiones geométricas. ca p ít u lo2 En la historia matemática hay una leyenda que ha atravesado los siglos: la del descubrimiento de los irracionales por parte de los pitagóricos. Se cuenta que Pitágoras, el célebre filósofo de la antigua Grecia, tenía la idea de que todo en el universo está basado en los números. Y los números eran, para él, enteros o fracciones de enteros. Sin embargo, uno de sus discípulos encontró una magnitud que no podía escribirse como fracción de enteros: esto era terrible, pues conmovía toda una visión del mundo. Y la magnitud en cuestión no era otra que la diagonal del cuadrado, cuyo cálculo procede deun teorema que lleva jus- tamente el nombre de Pitágoras, aunque era conocido mil años antes por los babilonios. Si el lado del cuadrado mide 1, el cuadrado de su diagonal tiene que valer 1 2 + 1 2 = 2; de esta forma, la diagonal mide la raíz cuadrada de 2. Se cuenta que los pitagóricos, avergonzados, no quisieron revelar a nadie el secreto de su hallazgo; otra leyenda va más allá y afirma que a quien dio a cono- cer tal secreto lo arrojaron por la borda de un navío. No se cree que esto sea cierto aunque, de alguna forma, deja entrever que los pitagóricos se vieron un tanto “desbordados” por los acontecimientos. 1. Lean atentamente y resuelvan. a. ¿Cómo se diferencian los números racionales de los irracionales? b. Además de __ 2 , ¿qué otros números irracionales conocen? a. Porque los números irracionales no se pueden escribir como fracción de enteros. b. Por ejemplo, los más “famosos” son π, la constante e y el número de oro (φ). 6 30 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Propiedades de la potenciación y la radicación Propiedades de la potenciación Potencia de exponente cero. a 0 = 1 ⇔ a ≠ 0 Potencia de exponente negativo. a –n = 1 __ a n ⇔ a ≠ 0 Potencia de otra potencia. ( a n ) m = a n . m Producto de potencias de igual base. a n . a m = a n + m Cociente de potencias de igual base. a n ___ a m = a n – m ⇔ a ≠ 0 Distributividad respecto de la multiplicación. (a . b) n = a n . b n Distributividad respecto de la división. ( a __ b ) n = a n __ b n ⇔ b ≠ 0 Propiedades de la radicación La radicación se puede expresar como una potencia de exponente fraccionario: n __ a p = a p __ n __ 6 = 6 1 __ 2 3 __ 5 = 5 1 __ 3 4 __ x 3 = x 3 __ 4 3 __ 1 __ x 7 = x – 7 __ 3 Las propiedades de la radicación son análogas con las de la potenciación. Raíz de raíz. n ___ m __ a = ( a 1 __ m ) 1 __ n = a 1 ____ n.m = m.n __ a Distributividad respecto de la multiplicación. n _____ a . b = (a . b) 1 __ n = a 1 __ n . b 1 __ n = n __ a . n __ b Distributividad respecto de la división. n __ a __ b = ( a __ b ) 1 __ n = a 1 __ n ___ b 1 __ n = n __ a ____ n __ b ⇔ b ≠ 0 Simplificación de índices. n ___ a m = a m __ n = a m:r ___ n:r = n:r ___ a m:r ⇔ r ≠ 0 ∧ a > 0 6 ___ 5 3 = 3 __ 5 4 ___ 64 = 4 ___ 2 6 = ___ 2 3 10 ___ 81 = 10 ___ 3 4 = 5 ___ 3 2 Eliminación del radical. n __ a n = a ⇔ n es impar ∨ n __ a n = |a| ⇔ n es par ___ 49 = ___ 7 2 = |7| = 7 4 ___ 81 = 4 ___ 3 4 = |3| = 3 5 ___ 32 = 5 ___ 2 5 = 2 3 ___ –8 = 3 _____ (–2) 3 = –2 Amplificación de índices. n ___ a m = a m __ n = a m.p ____ n.p = n.p ____ a m.p ⇔ p ≠ 0 ∧ a > 0 __ 3 = 2 . 2 ____ 3 1 . 2 = 4 ___ 3 2 = 4 __ 9 5 __ 4 = 5 . 3 ____ 2 2 . 3 = 15 ___ 2 6 = 15 ___ 64 6 __ x 3 = 6 . 4 ___ x 3 . 4 = 24 ___ x 12 INFOACTIVA 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿Es cierto que ( 3 __ 4 ) – 2 = ( – 4 __ 3 ) 2 ? b. ¿Es correcto decir que 3 __ a 3 = |a|? Test de comprensión 7 ACTIVIDADES Propiedades de la potenciación y la radicación 1. Marquen las respuestas correctas. a. (ab) –5 : (ab) 2 . a = a –2 b –3 a –6 b –7 a –7 b –7 a –8 b –7 b. ____ a 4 b 5 . ____ a 2 b = a 6 b 6 a 4 b 3 a 3 b 3 a b 2 c. __ a . __ b . a 3 __ 2 : b 4 = a 2 b – 7 __ 2 a 2 b 7 __ 2 a 2 b – 9 __ 2 a 2 b 9 __ 2 d. __ a . 3 __ b . _____ a . b . a –4 = a –3 b 5 __ 6 a 5 b 5 __ 6 a –3 b – 1 __ 6 a 5 b – 1 __ 6 2. Escriban V (Verdadero) o F (Falso). Expliquen las respuestas. a. 3 –2 = 1 __ 9 d. 2 . 2 0 : 2 –3 = 2 3 g. (2a) 5 = 2 a 5 b. ( 7 2 ) –3 = 7 6 e. 3 ___ __ 5 = 6 __ 5 h. 3 ___ 25 = 5 2 __ 3 c. 4 –3 : 4 –5 = 4 –8 f. 5 __ 9 5 = |9| i. ( 2 __ 5 ) – 3 __ 2 = ( – 5 __ 2 ) 3 __ 2 3. Expresen como una única potencia aplicando las propiedades. a. 2 –5 . 2 : 2 –4 = d. (ab) 3 . (ab) –2 = g. __ 6 . __ 6 3 . __ 6 6 = b. [ (–3) 3 : (–3) –3 ] –2 = e. __ 5 . 3 __ 5 2 . 6 __ 5 5 = h. ___ ab : ____ a 2 b = c. (5 . 4) 2 : ( 5 2 . 4) 3 = f. ____ ___ 64 . __ 2 = i. ( a –1 b) 5 . ___ ab = 4. Identifiquen el error y resuelvan correctamente. ( 2 4 : 2 . 2 6 ) –3 = ( 2 10 ) –3 = 2 7 5. Resuelvan expresando con un índice común. a. 3 __ 5 . __ 3 _______ 6 ______ 9 . 125 = b. 4 __ 2 . 8 ___ 81 _______ 8 _____ 1 296 = c. 5 __ 3 . __ 2 _______ 10 __ 3 . __ 3 = d. 3 __ 3 . __ 2 _______ 12 __ 3 . 4 __ 2 = 31 a. No, la base de la segunda expresión debe ser positiva. b. No, esto ocurre si el índice y el exponente son pares. X X X X V F F F V V F V F 2 0 ab 6 5 (–3) –12 5 2 a – 1 __ 2 5 –4 4 –1 2 2 a – 9 __ 2 b 11 __ 2 ( 2 9 ) –3 = (2) –27 6 __ 3 __ 5 8 __ 1 __ 4 10 ___ 2 5 __ 3 4 12 _____ 3 3 . 2 3 7 32 171615141312111088 Números irracionales Los números irracionales son aquellos que no pueden ser expresados como el cociente entre dos números enteros y tienen infinitas cifras decimales no periódicas. Como ya se vio, las raíces no exactas de números racionales son números irracionales. Se denomina radical a la raíz indicada de un número o de una expresión, siempre que esta tenga solución real. Representación en la recta numérica Cada número irracional tiene asociado un punto sobre la recta real. Para representar ese punto sobre la recta numérica, si el irracional es de la forma __ a , se debe recurrir al teorema de Pitágoras: A2 = B2 + C2 B c A Representación de __ 2 . Se determina sobre la recta un triángulo rectán- gulo isósceles cuyos catetos midan 1. El valor de la hipotenusa es: ______ 12 + 12 = __ 2 __ 2 0 1 __ 2 2 Representación de __ 3 . Se determina sobre la recta un triángulo rectán- gulo cuyos catetos midan 1 y __ 2 , respectivamente. El valor de la hipotenusa es: _______ ( __ 2 ) 2 +12 = __ 3 0 1 __ 2 __ 3 2 __ 2 __ 3 Representación de __ 5 . Se determina sobre la recta un triángulo rectán- gulo cuyos catetos midan 1 y 2, respectivamente. El valor de la hipotenusa es: ______ 12 + 22 = __ 5 0 1 2 __ 5 3 __ 5 De este modo se puede representar cualquier raíz cuadrada de un número natural, siempre que se elijan convenientemente los catetos del triángulo rectángulo. INFOACTIVA 33 Test de comprensión 6. Marquen las opciones correctas. a. Los números que son irracionales. – __ 3 – __ 4 π ___ –2 b. Las operaciones cuyos resultados son números irracionales. __ 2 . ___ 18 __ 5 + 1 – __ 2 + __ 3 – __ 9 + 1 __ 2 7. Representen los números √ __ 6 ; √ __ 8 ; – √ __ 2 en la recta numérica. 8. Representen en la recta numérica los siguientes números, usandouna escala de 1 cm. a. __ 3 ___ 2 d. – __ 2 + 2 b. __ 5 – 1 e. __ 2 + __ 3 c. –2 . __ 3 f. –2 . __ 5 + __ 2 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. En el triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide __ 6 , si uno de los catetos mide 1 cm, ¿cuánto debe medir el otro cateto? b. Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 1 cm y 4 cm, ¿la medida de la hipotenusa corres- ponde a un número racional o irracional? 8 ACTIVIDADES Números irracionales a. El otro cateto debe medir __ 5 cm. b. Racional, se representa _____ 9 cm = 3 cm. X X X X X Solución a cargo del alumno. –4 –3 –2 –1 0 1 __ 2 2 3 4 5 – __ 2 __ 6 __ 6 __ 8 __ 8 __ 2 8 34 Radicales. Adición y sustracción Extracción de factores de un radical Existen factores, dentro de un radical, que pueden ser extraídos si el exponente de los mismos es mayor o a lo sumo igual que el índice de la raíz. Para ello deben aplicarse las propiedades de la poten- ciación y radicación. 3 _____ 16 x 8 = 3 ______ 2 4 x 6 x 2 = 3 ________ 2 3 . 2 x 6 x 2 = 3 ___ 2 3 . 3 __ 2 . 3 __ x 6 . 3 __ x 2 = 2 . 3 __ 2 . x 2 . 3 __ x 2 = 2 x 2 . 3 √ ____ 2 x 2 _______ 63 x 6 y z 5 = __________ 3 2 . 7 x 6 y z 4 z = ___ 3 2 . __ 7 . __ x 6 . __ y . __ z 4 . __ z = 3 . __ 7 . x 3 . __ y . z 2 . __ z = 3 x 3 z 2 . √ ____ 7yz 4 ______ 729 ____ 625 m 5 = 4 _____ 3 6 ___ 5 4 m 5 = 4 ___ 3 4 . 4 ___ 3 2 _________ 4 ___ 5 4 . 4 ___ m 4 . 4 __ m = 3 __ 5 m . 4 √ ___ 9m _____ 343 a 2 ______ b 3 = _____ 7 3 . a 2 _____ b 3 = ___ 7 2 . __ 7 . __ a 2 ____________ __ b 2 . __ b = 7 . __ 7 . a _______ b . __ b = 7a ___ b . √ __ 7 __ b Radicales semejantes Dos radicales son semejantes cuando tienen igual índice y el mismo radicando. Términos con radicales semejantes: – 5 __ 3 y 5 __ 3 ; –2 . 3 __ 2 y 4 . 3 __ 2 ; 3 . 4 __ x3 y –8 . 4 __ x3 . Términos con radicales no semejantes: – 3 __ 7 y __ 7 ; 5 . __ 3 y 7 . __ 2 ; –4 . 4 __ 3 y 9 . 3 __ 4 . Adición y sustracción de radicales Solo es posible sumar o restar términos que contienen radicales semejantes. 6 . __ 3 + 4 . __ 3 – __ 3 = (6 + 4 – 1) . __ 3 = 9 . √ __ 3 5 . __ 6 – 9 . __ 2 + 3 . __ 6 + 4 . __ 2 = (5 + 3) . __ 6 + (–9 + 4) . __ 2 = 8 . √ __ 6 – 5 . √ __ 2 Existen casos en los cuales ciertos radicales son semejantes luego de llevarlos a su mínima expresión. 3 . __ 3 – 5 . ____ 243 + 7 . ___ 27 – 8 . ___ 75 = 3 . __ 3 – 5 . ___ 3 4 . __ 3 + 7 . ___ 3 2 . __ 3 – 8 . ___ 5 2 . __ 3 = 3 . __ 3 – 45 . __ 3 + 21 . __ 3 – 40 . __ 3 = (3 – 45 + 21 – 40) . __ 3 = –61 . √ __ 3 4 . __ 2 – 6 . 4 ___ 49 – 8 . __ 8 + ___ 63 = 4 . __ 2 – 6 . 4 ___ 7 2 – 8 . ___ 2 2 . __ 2 + ___ 3 2 . __ 7 = 4 . __ 2 – 6 . __ 7 – 8 . 2 . __ 2 + 3 . __ 7 = 4 . __ 2 – 6 . __ 7 – 16 __ 2 + 3 . __ 7 = (4 – 16) . __ 2 + (–6 + 3) . __ 7 = –12 . √ __ 2 – 3 . √ __ 7 INFOACTIVA 1817161514131211109 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿Es cierto que 3 __ 2 8 = 4 . 3 __ 4 ? ¿Por qué? b. ¿Por qué __ 3 y 3 __ 3 no son semejantes? 35 Test de comprensión 9 ACTIVIDADES Radicales. Adición y sustracción 9. Extraigan los factores del radical. a. ___ 32 = f. _____ 27 c 5 ____ 343 = b. 3 _____ 0,125 = g. 4 _________ 81 a 4 b 8 c 12 _________ 2 401 c 4 = c. ____ 64 a 3 = h. 5 ________ 32 a 6 b 8 _______ 729 b 3 c 3 = d. 3 ________ 2 401 b 5 c = i. _________ 128 a 5 b 9 c 10 __________ 9b c 11 = e. 4 _______ 234 a 3 b 7 = j. 3 _________ 512 a 2 b 3 c 4 _________ 125 d 5 = 10. Marquen las opciones correctas. ¿Cuáles de los siguientes radicales son semejantes a 3 __ 2 ? a. 3 ___ –2 b. 5 . 3 ___ 64 c. –2 . 3 ____ 128 d. 3 . 6 __ 2 2 11. Resuelvan las siguientes sumas y restas. a. –3 . __ 5 – 7 . __ 5 + 2 . __ 5 = b. 2 . __ 2 + 5 . __ 2 – __ 2 = c. – __ 3 + __ 3 – 5 . __ 3 = d. 2 . __ b – 3 . __ a – 2 . __ b – __ a = e. 5 . __ a – 6 . __ b – __ b = 12. Resuelvan las siguientes sumas algebraicas. a. __ 5 + __ 8 – ___ 32 = d. –3 . __ 1 __ 2 – 5 . ___ 1 ___ 32 + __ 1 __ 8 = b. 3 . __ 7 – 3 . ___ 28 + ___ 63 = e. ___ 54 + ___ 12 – __ 6 = c. –4 . ___ 1 ___ 27 + __ 1 __ 3 – 2 . ____ 1 ____ 243 = f. ___ 20 + 3 . __ 8 – 5 . __ 5 = a. Sí, al aplicar propiedades se obtiene 3 __ 2 8 = 3 ________ 2 3 . 2 3 . 2 2 = 3 __ 2 3 . 3 __ 2 3 . 3 __ 2 2 = 4 . 3 __ 2 2 = 4 . 3 __ 4 . b. Porque para que sean semejantes el índice y el radicando deben ser iguales. 4 . __ 2 3 __ 7 c 2 . ___ 3c ___ 7 0,5 3 __ 7 a b 2 c 2 8a . __ a 2 __ 3 ab . 5 ___ a ___ 3 c 3 7 b 3 . 3 ____ 7 b 2 c 2 3 a 2 b 4 . ___ 2a ___ c 3b . 4 _____ 3 a 3 b 3 8bc ____ 5d . 3 ___ a 2 c ___ d 2 X X –8 . __ 5 6 . __ 2 –5 . __ 3 –4 . __ a 5 . __ a – 7 . __ b __ 5 – 2 . __ 2 – 15 ___ 4 . __ 1 __ 2 0 2 . __ 6 + 2 . __ 3 – 5 __ 9 . __ 1 __ 3 –3 . __ 5 + 6 . __ 2 9 36 Multiplicación y división de radicales Para efectuar cualquier multiplicación o división de radicales, estos deben tener el mismo índice. La operatoria con radicales cumple con las siguientes propiedades. Propiedad distributiva de la multiplicación y división respecto de la suma y resta. a . (b ± c) = (b ± c) . a = ab ± ac (b ± c) : a = b : a ± c : a __ 3 . ( __ 3 + ___ 27 ) = __ 3 . __ 3 + __ 3 . ___ 27 = __ 9 + ___ 81 = 3 + 9 = 12 ( ____ 125 – ___ 20 ) : __ 5 = ____ 125 : __ 5 – ___ 20 : __ 5 = ___ 25 – __ 4 = 5 – 2 = 3 Cuadrado de un binomio y diferencia de cuadrados. (a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2 (a + b) . (a – b) = a 2 – b 2 ( __ 2 – __ 3 ) 2 = ( __ 2 ) 2 – 2 . __ 2 . __ 3 + ( __ 3 ) 2 = 2 – 2 . __ 6 + 3 = 5 – 2 . __ 6 ( ___ 10 + __ 7 ) . ( ___ 10 – __ 7 ) = ( ___ 10 ) 2 – ( __ 7 ) 2 = 10 – 7 = 3 Multiplicación y división de radicales de distinto índice Para que los índices de dos o más radicales sean iguales, se debe calcular el mcm de los índices de los radicales dados, obteniéndose así el mínimo común índice. 4 __ a 2 y 6 __ x mcm(4;6) = 12, ambos radicales deben tener índice 12. 4 __ a 2 =
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