Divertimentos matemáticos - Brian Bolt - Saúl Plutarco

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Divertimentos matemáticos
 
Brian Bolt 
EDITORIAL LABOR, S.A.
 
Traducción de 
Mariano Martínez Pérez 
La edición, 2. a reimpresión: 1990 
Título de la edición original:
 
The arnazing mathematical amusernent arcade
 
© Cambridge University Press, 1984
 
© de la edición en lengua castellana y de la traducción:
 
Editorial Labor, S. A. - Calabria, 235-239 - 08029 Barcelona, 1987
 
El autor y los editores agradecen a la Mansel1 Collection
 
el permiso para reproducir Melancolía de A. Durero
 
Depósito legal: B. 31345-1990 
ISBN: 84-335-5111-6 
Printed in Spain - Impreso en España 
Impreso en: Ingoprint, S. A. - Maracaibo, 11 - 08030 Barcelona 
INTRODUCCIÓN 
Mucha gente de todas las edades disfruta tratando de 
resolver rompecabezas de tipo matemático. Esta colección de 
pasatiempos y otras actividades ha sido seleccionada de un 
libro de complementos, escrito para profesores de 
matemáticas, y que alcanzó un éxito notable. Se han reunido 
aquí aquellas actividades creativas del libro anterior, que no 
requerían conocimientos matemáticos especiales, y un gran 
número de nuevas ideas. Muchos de estos pasatiempos tienen 
una larga historia, otros son originales, y algunos han tenido 
que esperar a la llegada de la calculadora de bolsillo para 
poder ser atacados de una manera factible y realista. 
Aparecerán cerillas, monedas, complicados cruces de 
ríos, ingeniosas situaciones de maniobras de trenes, 
problemas de ajedrez, cuadrados mágicos, estrellas y 
circunferencias, billares, dardos y dianas, paradojas 
geométricas ... , ¡todo esto y mucho más tiene cabida en esta 
maravillosa galería! Quien nunca haya cortado en dos una 
banda de Mobius, tiene aquí la oportunidad de alcanzar la 
deliciosa sensación de la perplejidad. 
La segunda parte del libro está.dedicada a dar, o sugerir, 
la solución de los rompecabezas y a comentarlos, de manera 
que el lector pueda comprobar si su solución es correcta o 
descubrir una pista, cuando se encuentre atascado en alguna 
dificultad. Pero le aconsejamos vivamente que persista en sus 
intentos de encontrar una solución. ¡Produce una gran 
satisfacción resolver un rompecabezas por sí mismo y, una 
vez resuelto, desafiar a los amigos a que hagan otro tanto! 
Brian Bolt 
ÍNDICE 
El primer número, en negrita, se refiere a la página donde se plantea el 
pasatiempo; el segundo, a la página en la que se da la solución, comentarios, 
etcétera. Un asterisco indica la conveniencia de utilizar calculadora. 
Introducción 
1 Triángulos hechos a base de cerillas 1, 73 
2 El embrollo del cruce del río 1, 73 
3 El maquinista perplejo 2, 73 
4 Hazte tus propios dados 2, 73 
5 Plegando mapas 3, 74 
6 El lechero ingenioso 3, 74 
7 Los peones sobre el tablero de ajedrez 4, 74 
8 Evitando tres en raya 4, 75 
9 Dos mitades hacen un todo 5, 75 
10 Cubismo 5, 75 
11 Cuadrados construidos con cerillas 5, 75 
12 Curvas de persecución 6, 75 
13 Los misiles extraviados 7 
14 Modelos 8 
15 Soldados en apuros 8, 76 
16 El granjero y el redil 9,76 
17 La danza de los caballos 9, 77 
18 Los apartaderos de la vía férrea 10, 77 
19 El cubo multicolor 10, 77 
20 Los maridos celosos 11, 78 
21 La extensión de cable más barata posible 11, 79 
22 El juego del «Hex» 13 
23 El cuadrado, la cruz y el círculo 14, 80 
24 La banda de M6biús 14, 80 
25 Una jardinera ahorrativa 16, 80 
26 ¿Cuántos triángulos puedes encontrar? 16, 81 
27 Dos lanchas motoras poco amistosas 16, 81 
28 Los caballos guardianes 17, 81 
29 Invirtiendo el orden de los trenes 17, 82 
30 Cuatro piezas iguales 18, 82 
31 Complétese el cuadrado 18, 83 
32 Monedas que dan vueltas 18, 83 
33 Una red que va creciendo 19, 83 
34 Circuitos unicursales y grafos eulerianos 20, 83 
35 Giros que parecen imposibles 21, 85 
36 El cazador obstinado 21, 85 
37 Cuatro puntos en un plano 21, 86 
38 Dados de letras 22, 86 
39 La defensa de la reina 22, 86 
VI 
40 Ver es creer 23, 88 
41 La inspección de carreteras 23, 89 
42 Las fichas del dominó y el tablero de ajedrez 23, 89 
43 Caminando en zigzag 24 
44 Un paseo a caballo 24, 89 
45 Aserrando un cubo 27, 91 
46 Un agujero imposible 27, 91 
47 Dos gemelos idénticos 28, 91 
48 El teorema de los cuatro colores 28, 91 
49 Unas cerillas desconcertantes 28, 92 
50 La cuadratura del triángulo equilátero 29, 92 
51 La cuadratura de la tetera 29, 93 
52 Un ama de casa perpleja 29, 93 
53 Jugando a invertir el triángulo 30, 93 
54 El billar americano 30, 94 
55 Buscando cuadrados (para dos jugadores) 32, 94 
56 La polilla hambrienta 33, 95 
57 El desvío más barato 33, 95 
58 Piezas que llenan todo un espacio 34, 95 
59 Curvas formadas al cortarse circunferencias 34, 95 
60 ¡El ultimátum de una amante! 36, 96 
61 Sólo cuatro rectas 36, 96 
62 ¿A qué velocidad eres capaz d.e pedalear? 37, 97 
63 La pista de bobsleighs 37, 97 
64 Cuestión de vocales 37, 98 
65 Juegos con fichas para un solo jugador 38,98 
66 Dos piezas iguales 40, 98 
67 Cómo pintar un cubo 40, 99 
68 Los problemas de la vía única 40, 100 
69 Dos a la vez 41, 100 
70 Cara y cruz 41, 100 
71 La cuadratura de la cruz griega 41, 100 
72 El reparto de gasolina 42, 100 
73 Un reparto justo 42, 101 
74 Magia con monedas 42, 101 
75 La raüa obstinada 42; 101 
76 Cómo ordenar una estantería 43, 101 
77 Partiendo un círculo 43, 102 
78 Números casi cuadrados'" 44, 103 
79 Un jardinero aficionado a la matemátíca 44, 103 
80 Triángulos mágícos 44, 103 
81 Números curiosos * 45, 104 
82 Unas restas chocantes * 46, 105 
83 ¿Cuál es el mayor número que puedes obtener? * 46, 106 
84 Los cuatro cuatros 47, 106 
85 ¿Cuáles eran los datos? * 47, 107 
86 Un filón muy productivo * 48, 107 
87 Centenas, decenas y unidades 49, 108 
VIl 
88 Círculos mágicos 49, 108 
89 El número de teléfono de la doctora Numerati * 50, 110 
90 Completa un siglo 50, 110 
91 Ruedas de números 51, 110 
92 Un reto a las calculadoras * 51, 111 
93 Divisiones que se repiten * 52, 111 
94 Algunos números distinguidos * 53, 113 
95 Estrellas mágicas 54, 113 
96 La seguridad lo primero 54, 114 
97 La estrategia secreta del tahúr 55, 114 
98 El problema del transporte 55, 115 
99 Nuevos y curiosos esquemas numéricos * 56, 115 
100 Las temas pitagóricas * 56, 116 
101 Multiplicaciones misteriosas * 57, 116 
102 Un diamante mágico 57, 116 
103 Fechas capicúas 58, 117 
104 Tarjetas numéricas adivinatorias 58, 117 
105 Cuadrados mágicos 3 x 3 60, 118 
106 Cuadrados mágicos 4 x 4, y mayores 62, 118 
107 Un cubo mágico * 64, 119 
108 Un problema con balanzas sin pesas 64, 119 
109 Nuevos retos a la calculadora * 64, 119 
110 Un problema de peso 65, 120 
111 Rectángulos semejantes 65, 121 
112 Inventando un nuevo tipo de diana * 65, 121 
113 El único hexágono mágico 66, 121 
114 El juego de Nim 66, 122 
115 Triangulando el cuadrado 67, 123 
116 ¿Quién la liga? 67, 123 
117 Averigua qué cartas hay sobre la mesa 67, 123 
118 El problema de dividir una herencia 68, 124 
119 ¡El fin del mundo! 68, 124 
120 Un maratón patrocinado * 69, 125 
121 Los efectos de la inflación * 69, 125 
122 Entretenimientos de octogenario * 69, 125 
In Las moneoa" hoca arriha 70, 126 
124 Colas de milano 71, 126 
125 Más rompecabezas con cerillas 71, 127 
126 Pontoneros de maniobras 72, 127 
VIII 
1 
2 
PASATIEMPOS Y OMPECABEZAS
 
Triángulos hechos
 
a hase de cerillas
 
Coloca sobre la mesa 
nueve cerillas formando 
cuatro triángulos equiláteros. 
A continuación trata de 
construir cuatro triángulos 
de la misma forma y tamaño 
que los anteriores, utilizando 
sólo seis cerillas. 
El embrollo del cruce del río 
Este rompecabezas es muy antiguo. Se cuenta que había 
una vez un titiritero que recorría el país llevando consigo un 
lobo, una cabra y una col. Nuestro hombre llega a la orilla de 
un río y se encuentra con que la única manera de atravesarlo 
es utilizando una barca en la que sólo cabe él y el lobo, o él y 
la c~bra, o él y la col. Desgraciadamente no se atreve a dejar 
aliaba solo con la cabra, ni tampoco a lacabra sola con la 
col, porque en el primer caso el lobo se comería a la cabra, y 
en el segundo, la cabra se comería la col. Después de pensar 
un rato, llegó a la conclusión de que podría atravesar el río 
con todas sus pertenencias, con ayuda de la barca, sin perder 
ninguna de el1as en la operación. ¿Cómo 10 consiguió? 
1 
3 
4 
El maquinista perplejo 
La figura nos muestra 
o 
una vía muerta circular, al 
final de una línea de 
ferrocarril. 
V representa un vagón de 
ganado vacuno, G un vagón 
de ganado lanar, Luna 
locomotora y PPun puente o 
para peatones sobre la vía 
férrea. 
El problema, para el perplejo 
maquinista, es hacer las 
maniobras necesarias para intercambiar entre sí las 
posiciones de los vagones de ganado vacuno y lanar, y, al 
final, volver a colocar la locomotora en la vía principal. 
Debes tener en cuenta, además, que la altura del puente
 
PP es tal que la locomotora puede pasar por debajo, pero no
 
los vagones, porque son demasiado altos. ¿Podrías ayudar al
 
atribulado maquinista?
 
Hazte tus propios dados 
Cada una de estas tres figuras se puede recortar, doblar y 
pegar para construir un dado. En cada una faltan tres 
números. Numéralas de manera que se cumpla la condición 
de que los números correspondientes a dos caras opuestas de 
cada uno de los dados siempre sumen siete. 
MANiOBRAS 
pp 
6 2 
3 
5 
6 
3 
4 
6 
2 
l. ­I
 
al b) el 
2 
5 Plegando mapas 
Tenemos un mapa que es doble largo que ancho y, 
naturalmente, podemos plegarlo de muchas maneras distintas 
hasta que su tamaño quede reducido al de un cuadrado que 
sea la octava parte del mapa desplegado. Numera los ocho 
cuadrados tal como indica la figura, en un rectángulo de papel 
de las dimensiones adecuadas, y cuenta de cuántas maneras 
distintas puedes plegarlo. La mejor manera de ir llevando la 
cuenta de las distintas posibilidades es de anotar el orden en 
que se suceden los números del 1 al 8 en el mapa plegado. 
Una buena prueba de tu habilidad puede ser la de plegar 
el mapa de manera que los números queden en el orden 1, 2, 
3,4, 5,6,7,8. 
El lechero ingenioso 
Un lechero dispone únicamente de dos jarras de 3 y S 
litros de capacidad para medir la leche que vende a sus 
clientes. 
¿Cómo podrá medir un litro sin desperdiciar la leche? 
6 
3 
7 Los peones sobre el tablero de ajedrez 
Éste es el clásico problema de colocar 16 
peones sobre un tablero de ajedrez, de 
manera que no haya tres peones en línea 
recta. No se trata de ninguna situación 
complicada, pero lo cierto es que sobre un 
tablero de 8 X 8 cuadros no resulta tan fácil 
darse cuenta de cuándo tres peones están 
alineados (o no). 
La figura muestra tres filas de peones 
alineados, a pesar de que, a primera vista, no 
sea evidente; los ABC, ECD y FCG. 
Cuando creas que ya has colocado 
correctamente los 16 peones sobre el tablero 
8 X 8 sin que haya tres alineados, pide a otra 
persona que compruebe si tu solución es 
correcta antes de mirar la que aparece en la 
segunda parte del libro. 
8 Evitando tres en raya 
A este juego se puede jugar con peones o 
con fichas del juego de las damas sobre un 
tablero de ajedrez, o bien con otras fichas 
sobre papel cuadriculado, etc. 
Los jugadores van colocando, por turnos, 
sus fichas sobre el tablero. Pierde el jugador 
que coloque por primera vez una ficha 
alineada con otras dos. 
Observa que el juego nunca puede 
sobrepasar los 17 movimientos, pues el 
máximo número de fichas que se pueden 
colocar sobre un tablero 8 X 8, sin que 
aparezcan tres alineadas, es 16. La astucia en 
este juego radica en seleccionar posiciones 
que fuercen al adversario a completar una 
línea de tres fichas. 
En la figura hay sólo 12 fichas sobre el 
tablero, pero están colocadas con tan mala 
idea que el jugador, al que le toque poner la 
siguiente, irremediablemente hará tres en 
raya, y, por lo tanto, perderá. Comprueba, 
uno por uno, todos los cuadros vacíos para 
convencerte de que la situación es ésta. Una 
regla puede ayudarte en la comprobación. 
4 
9 Dos mitades hacen un todo 
Muestra cómo se puede cortar la figura rayada A en dos 
e
partes, de manera que, al 
volver a reunirlas, se pueda 
formar cualquiera de las B 
figuras B, e, D, E, F YG. 
D 
G 
FE 
10 Cubismo 
A cuatro cubos de madera se les han cortado algunas 
esquinas. 
Sólo quedan dos cubos 
que tengan exactamente la 
misma forma. 
¿Cuáles son? 
B e o 
11 Cuadrados construidos con cerillas 
Retira tres cerillas de las 
quince que forman esta 
figura, de manera que sólo 
queden tres cuadrados. 
Intenta retirar sólo dos 
cerillas, y que queden 
también tres cuadrados. 
(Esta vez no se exige que los 
cuadrados sean del mismo 
tamaño.) 
5 
12 Curvas de persecución 
Seguramente has visto alguna vez a 
un perro persiguiendo a un coche o a un 
ciclista, pero ¿te has parado a pensar en 
el camino que sigue? El perro no puede 
prever lo que va a ir ocurriendo y, en 
consecuencia, no corre hacia donde 
estaría el coche cuando él lo pudiera 
alcanzar, sino que suele correr hacia 
donde está el coche en el mismo 
instante en que lo ve. 
La figura muestra la trayectoria que suele seguir un 
perro, en A, desde el momento en que ve un coche en la 
posición B. Supongamos que el coche sigue la línea recta Be 
a una velocidad constante y, supongamos, también, que la 
velocidad del coche es doble que la del perro. 
El camino que recorre el perro lo podemos construir 
fácilmente. Traza la recta B I e, que representa la trayectoria 
del coche, y toma un punto Al que representa la posición 
inicial del perro (cualquiera puede valer, pero supondremos 
que no está sobre la recta B l e, ¿por qué?). 
Une por una recta los puntos Al y 8 1; ésta es la dirección 
en la que el perro empieza a correr. Pero está claro que 
ningún perro puede cambiar fácilmente de dirección dando 
un salto en el aire, así que se moverá en esta misma 
dirección durante una corta distancia A¡A2, que en el dibujo 
representamos por ~ cm. e 
Pero mientras el perro corre de A I a A 2, el coche se 
desplaza de BI a B2, recorriendo una distancia de 1 cm en la 
figura. 
Al llegar a A2> el perro cambia de dirección hacia el 
coche, que ahora está en B2, y corre en esa dirección, 
mientras el coche se desplaza de B2 a B3• Repitiendo este 
proceso se puede ir construyendo la trayectoria que seguirá 
el perro. 
Empieza por hacer un dibujo más o menos como el de la 
figura. Piensa luego qué ocurrirá si, por ejemplo, el coche 
recorre una circunferencia en vez de una recta, o si cambian 
las velocidades relativas del perro y del coche. 
¡En realidad, hay infinitas posibilidades! 
6 
13 Los misiles extraviados al R 
R 
R 
p ......------------"Q 
P Q 
p Q P, 
El bonito dibujo que aparece en la figura resulta de otro 
problema de búsqueda de curvas de persecución. Imagínate el 
R 
tres misiles teledirigidos P, Qy R, estacionados en tres bases 
que ocupan los vértices de un triángulo equilátero de 100 
km de lado. Se lanzan los tres misiles en el mismo instante, 
de manera que el P se dirige a derribar al Q, el Q al R y el R 
al P. A intervalos de tiempo regulares (y muy cortos) cada 
uno de los tres misiles cambia de dirección para apuntar a la 
nueva posición que ocupa su blanco. Las figuras a), b), e), d) 
muestran cómo ir construyendo la trayectoria que va a 
seguir cada uno de los tres misiles en su intento por cazar a p Q 
su vecmo. P2 
Comienza dibujando un triángulo equilátero de 10 cm R 
de lado, y señala en él los puntos PI' Q¡ y RI, cada uno de dl 
ellos a 1 cm de los P, Qy R, respectivamente; dibuja el 
triángulo p¡ Q¡ R¡ Yseñala ahora en él los puntos P2, Q2 y R2 
a 1 cm de los PI' QI y R¡; dibuja el triángulo P2Q2R2 y 
continúa el proceso de la misma manera, tomando siempre 
las distancias a lo largo de los lados del último triángulo que 
has construido ¡hasta que los tres misiles exploten juntos en 
el centro del triángulo! 
¿Cuál sería el aspecto de las trayectorias, si hubiéramos 
partido de cuatro misiles situadosen las esquinas de un 
cuadrado? P P3 
Q 
7 
14 Modelos
 
Toda la matemática se 
refiere al estudio, análisis y 
utilización de modelos, que 
pueden ser numéricos o 
geométricos. El artístico 
dibujo que nos muestra la 
figura es la mera conjunción 
de cuatro dibujos análogos a 
los del número anterior. 
Partiendo de la misma idea 
se pueden construir muchos 
otros bellos e interesantes 
diseños. Todo lo que se 
necesita es un poco de 
paciencia y hacer los dibujos 
con mucho cuidado. 
15 Soldados en apuros 
Una patrulla de soldados, de maniobras por la jungla, se 
encuentra de pronto con un gran río, profundo e infestado de 
cocodrilos. En la otra orilla ven a dos muchachos nativos con 
una canoa. La canoa sólo puede transportar a un soldado con 
su fusil y su mochila, o a los dos muchachos. ¿Cómo 
conseguirán los soldados atravesar el río sin «alimentar» a los 
cocodrilos? 
8 
16 El granjero y el redil
 
La figura nos muestra 
'G
cómo pensaba arreglárselas 
un granjero para construir 
seis rediles idénticos donde 
guardar sus ovejas, utilizando 
trece vallas todas iguales. Al 
tratar de hacerlo descubre 
que, desgraciadamente, una 
de las vallas está rota y no ee::::::========:J ••t:::::==========:::::¡ ••t:::=======:::J 
sIrve. 
Coge doce cerillas, que 
representarán las doce vallas 
aprovechables, y trata de 
mostrar cómo podría el 
granjero construir con ellas 
los seis rediles idénticos que 
desea. 
17 La danza de los caballos 
Sobre un tablero de 
ajedrez están colocados los 
dos caballos blancos y los 
dos negros, ocupando las 
esquinas de un cuadrado de 
dimensiones 3 X 3 tal como 
indica la figura. 
¿Cómo se podrían 
intercambiar las posiciones 
de los caballos blancos y 
negros en el mínimo número 
de movimientos? 
9 
18 Los apartaderos de la vía férrea 
Una vía de tren BCtiene dos apartaderos BA y CA a una 
vía muerta A muy corta. En cada apartadero está situado un 
vagón, representados por VI y V2 , y en la vía principal B C hay 
una locomotora. Debes ingeniártelas para intercambiar, con 
ayuda de la locomotora, las posiciones de los vagones VI y V2, 
de manera que al final de la.s maniobras la locomotora pueda 
volver a la vía principal. Antes de intentarlo, ten en cuenta 
que la vía muerta A, común a los dos apartaderos, es tan corta 
,. ~::'.. '" . . , 
v, 
• co~~I)SA DE. F'ERHOr.4, 
t:f:s-~ A ~.f~ 
LOCOt'\01tIRA ~ 
Vz , 
que en ella sólo cabe un vagón como los VI y V2, pero no la 
locomotora, de manera que si la locomotora entra en A por 
CA, no puede salir por AB. Los vagones pueden engancharse 
uno al otro o a cualquiera de los dos extremos de la 
locomotora, pero ¡no se permite saltarse los parachoques 
situados en A! 
19 El cubo multicolor 
Imagínate que tienes ocho cubos de madera de 1 cm de 
arista; explica cómo se podrían pintar de manera que puedan 
Rojoreunirse para formar otro cubo de 2 cm de arista, todo él de 
ocolor rojo o todo él de color azul. . azul 
Considera ahora el problema análogo para 27 cubos de 
1 cm. ¿Podrías colorearlos de manera que puedan formar 
otro cubo de 3 cm de arista todo rojo, o todo azulo todo 
amarillo? 
10 
20 Los maridos celosos 
Tres matrimonios se 
encuentran en un hotel 
completamente rodeados de 
agua a causa de una 
inundación, y disponen de 
una barca para escapar, en la 
que sólo caben tres personas. 
Los maridos son tan celosos 
que no están dispuestos a 
permitir que sus esposas se 
encuentren en la barca, o en 
cualquiera de las dos orillas, 
con otro hombre u hombres, 
si no están presentes. 
Trata de descubrir la 
manera en que pueden 
escapar las tres parejas, 
cumpliendo la condición 
anterior, y además la de que 
la barca haga el mínimo 
número posible de viajes. ¡No 
se permite ni salir nadando ni 
en helicóptero! 
Una vez resuelto este 
caso inténtalo de nuevo, pero 
esta vez para el caso de cinco 
matrimonios. 
21 La extensión de cable más barata posible 
Una habitación tiene 10 m de largo, 4 ro de ancho y otros 
4 m de alto. En el punto A, en el medio de la pared del fondo 
y a medio metro del suelo, hay un enchufe. Se necesita tender 
un cable para conectar el enchufe A con una lámpara situada 
en el punto medio B de la pared de enfrente, a medio metro 4 m 
del techo. 
Por evidentes razones de seguridad, el cable debe ir sujeto 
a las paredes, suelo o techo, y nunca por el aire. Calcula la 
longitud de cable mínima necesaria para resolver el 
problema. ¡No! La respuesta no es 14 m. 
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22 El juego del «Hex» 
El «hex» es un juego que inventó en 1942 un matemático danés 
llamado Piet Hein. En la figura se muestra un típico tablero para jugar al 
«hex», en este caso en forma de «diamante», o rombo, formado por un 
«embaldosado» de hexágonos regulares. Para que vayas familiarizándote 
con el juego, este tablero tiene sólo seis hexágonos por lado, pero los 
buenos jugadores suelen usar un tablero bastante más grande, de once 
hexágonos de lado. 
Uno de los dos jugadores tiene fichas negras, y el otro fichas blancas 
(cualquier clase de objetos pequeños y fáciles de distinguir también pueden 
servir: botones, chinchetas de dos colores, etc.). Los jugadores colocan, por 
turnos, sus fichas en cualquier hexágono del tablero que aún no esté 
ocupado. El objeto del juego es completar una cadena continua de fichas 
del mismo color que vaya de un borde del tablero al opuesto, no importa 
por dónde, y ganará el primer jugador que lo consiga. Las fichas negras 
juegan, por ejemplo, de A a A, y las blancas de B a B. Cada jugador, a la vez 
que intenta completar su propia cadena, tratará de bloquear al 
contrincante. 
Los dibujos a) y b) muestran el final de dos partidas de «hex». 
Observa que los cuatro hexágonos de las esquinas, rayados, pueden 
considerarse como pertenecientes, indistintamente, a los dos jugadores. 
Es un juego más complicado de lo que parece. ¡Desafía a tus amIgos 
a jugar, diviértete y constrúyete un tablero más grande, «profesional»! 
a) 
b) 
13 
8 
23 El cuadrado, la cruz y el círculo 
En una plancha metálica hay tres agujeros recortados como los de la 
figura. 
¿Cómo podrías tallar un bloque que pudiese pasar a través de cada uno 
de estos agujeros, pero, en cada caso, llenando completamente el hueco en 
cuestión? 
24 La banda de Mobius 
Toma una tira de papel ABCD de unos 30 cm de largo y 
de unos 2 cm de ancho, y pega sus extremos como muestra a). 
No debes girar sobre sí misma la cinta de papel, es decir, A 
debe coincidir con D, y B con C. Esta banda cerrada tiene dos 
A o 
A D 
B 
e 
al 
caras, la interior y la exterior; colorea, por ejemplo, la cara 
interior. 
¿Cuántos bordes tiene esta banda? 
¿Qué le ocurrirá a dicha banda si haces un corte, a lo 
largo, como indica b)? 
corte 
bl 
Las respuestas no tienen ningún misterio, pero lo que 
viene a continuación seguro que te va a sorprender, si no lo 
has visto antes. 
14 
e) 
Coge otra tira de papel ABCD igual a la anterior. Gira 
uno de los extremos, por ejemplo el CD, 1800 antes de 
pegarlo al AB, y forma una banda en la que A coincida con C, 
y B con D, como se ve en d). 
A e 
d) 
Este nuevo modelo de banda se conoce con el nombre de 
banda de Mübius, y tiene propiedades verdaderamente 
fascinantes. 
Por ejemplo, intenta colorear el «interiOr» de la banda y 
descubrirás que ¡sólo tiene una cara! Los ingenieros suelen 
utilizarlo en las correas de transmisión de las máquinas; al 
hacer de la correa una banda de Mübius, el ingeniero se 
asegura de que el desgaste por el uso sea igual por las dos 
«caras». ¿Cuántos bordes tiene una banda de Mübius? 
¡Otra sorpresa más! Corta la banda a lo largo, por el 
medio, hasta volver al punto de partida. ¿Cuál ha sido el 
resultado? 
Construye ahora otra banda de Mübius y córtala de 
nuevo a lo largo, pero esta vez haciendo el corte a un tercio 
e) 
de su anchura (véase e). Después de ir cortando a Jo largo de 
dos vueltas, te encontrarás con que has vuelto al punto de 
partida.¿Cuál ha sido esta vez el resultado? ¿Te lo imaginabas 
antes de hacerlo? Experimenta con bandas que tengan más 
giros sobre sí mismas, e intenta sacar algún tipo de conclusión 
general. 
15 
25 Una jardinera ahorrativa 
Una jardinera quería sacar el mayor partido posible de las 
plantas que tenía, y un buen día descubrió, mientras plantaba 
un macizo de rosas, que había colocado siete plantones de 
rosas de manera que formaban seis líneas con tres rosales en 
cada una de ellas. ¿Cómo lo consiguió? 
Muy contenta con este resultado, la jardinera trató de 
encontrar otras distribuciones interesantes, y descubrió la 
manera de plantar diez rosales de modo que formaran cinco 
líneas y que hubiera cuatro rosales en cada línea. 
Adivina cómo lo logró e investiga por tu cuenta otras 
ordenaciones «económicas». 
26 ¿Cuántos triángulos puedes encontrar? 
Esta figura contiene muchos triángulos, de los que 
algunos se solapan entre sí. 
Cópiala en un papel, y trata de inventarte una manera 
sistemática de contar todos los triángulos, sin olvidar 
ninguno. 
27 Dos lanchas motoras poco amistosas 
Dos lanchas motoras controladas por radio se hallan en los puntos A y 
B de un gran lago, a 200 m de distancia una de otra. Las dos están 
controladas por un mismo radiotransmisor y pueden moverse a la misma 
velocidad. Sin embargo, la lancha que parte de B tiene estropeado el 
mecanismo del timón y se mueve en una dirección que forma un ángulo de 
90° con la dirección de la lancha que parte de A. ¿Cómo conseguirá el 
controlador gobernar las dos lanchas para que lleguen a encontrarse? 
16 
28 Los caballos guardianes 
Muestra cómo se podrían 
colocar doce caballos sobre 
un tablero de ajedrez, de 
manera que cada cuadro esté 
ocupado o amenazado por 
un caballo. 
29 Invirtiendo el orden de los trenes 
La figura nos muestra el 
plano de la red del metro de 
una gran ciudad. Cada 
círculo pequeño representa 
una estación y cada número 
un tren. En la estación 
inferior no hay ningún tren. 
Demuestra que se pueden hacer maniobras con los trenes, 
moviendo un tren cada vez a la estación que esté vacía, en ese 
momento, hasta colocarlos en orden inverso, es decir, pasar 
ella la posición del 7, el 2 a la del 6, y así sucesivamente. 
El primer movimiento habrá que hacerlo con uno de los 
trenes 1,2,6 o 7. 
La inversión del orden de los trenes puede hacerse en 15 
movimientos. 
17 
30 Cuatro piezas
 
iguales 
Muestra cómo puede 
dividirse esta figura en cuatro 
piezas idénticas. 
31 Complétese el cuadrado 
Dibuja cuidadosamente 
sobre papel cuadriculado las 
cinco piezas de la figura, 
recórtalas y trata de formar 
con ellas un cuadrado. Es 
posible hacerlo, ¡no te 
desesperes! 
32 Monedas que dan vueltas 
Dos monedas idénticas A 
y B parten de la posición que 
indica la figura. La moneda B 
permanece en reposo, 
mientras que la A rueda 
alrededor de B, sin deslizar, 
hasta que vuelve a su 
posición inicial. ¿Cuántas 
vueltas habrá dado la 
moneda A? 
18 
33 Una red que va creciendo 
Éste es un interesante juego para dos jugadores que a 
veces recibe el nombre de «los retoños». Todo lo que se 
necesita para jugar es una hoja de papel y un lápiz. 
Señala sobre el papel tres puntos cualesquiera, a). 
·C ·C 
a) b) 
Estos puntos se convertirán en nudos de una red, a 
medida que avanza el juego. El primer jugador debe unir con 
un arco dos de estos puntos y marcar otro punto en medio de 
dicho arco, que será un nuevo nudo de la red, b). Puede 
también dibujar un arco que empiece y termine en el mismo 
nudo, pero debe añadir un nudo nuevo en medio, e). 
El otro jugador añade, a su vez, un nuevo arco a la red y 
un nuevo nudo en medio del arco. Puede utilizar como 
extremo de su arco cualquier nudo, salvo que a él vayan a 
parar ya tres arcos; en cuanto a un nudo lleguen tres arcos, 
queda excluido de cualquier unión futura, y, para indicarlo, se 
le rodea de un circulito. 
Los dibujos de la figura d) muestran algunos de los 
posibles «movimientos» del segundo jugador, si el primero ha 
unido A con B. 
--e---B 
AA 
C 
CO nuevo nudo 
e) 
B 
A 
._..--_B 
·C 
C 
O 
d) 
19 
El objetivo del juego es dejar al adversario sin posibilidad 
de movimiento. Gana el último jugador que consiga dibujar 
un arco. Una última regla: los arcos no pueden cruzarse. 
Vale la pena no olvidar esta última regla, ya que a veces 
puede haber nudos que queden aislados de los otros y no 
sean ya utilizables, a pesar de que de ellos no partan tres 
ramas o arcos. 
La figura e) muestra cómo puede quedar la red al final de 
una partida, y en ella se ve que, si bien quedan dos nudos, X e 
y, en los que no terminan tres ramas, no se pueden unir. 
Juega a este juego con tus amigos e intenta resolver las 
siguientes cuestiones: 
1)	 Trata de explicar por qué este juego debe terminar
 
siempre después de un número limitado de
 
movimientos (¿cuántos?).
 
2) Haz la prueba de comenzar con cuatro o cinco puntos. 
3) Investiga las consecuencias que tendría el admitir
 
nudos de cuatro en la red (es decir, nudos en los que
 
terminen cuatro arcos) en vez de nudos de tres.
 
34 Circuitos unicursales y grafos eulerianos 
El dibujo a) representa un mapa de una red de carreteras. 
Un ingeniero de caminos planea recorrer cada carretera una 
sola vez partiendo de A y regresando otra vez a A. ¿Cómo lo 
podrá hacer? 
La red b) no puede dibujarse con un lápiz sin levantarlo 
del papel y comenzar por otro punto, salvo que recorramos 
algunos de los trazos dos veces. 
Calcula el mínimo número de veces que es necesario 
levantar el lápiz del papel para dibujar b). 
8 
e) 
eA 
b) 
E 
a) 
o 
20 
38 Dados de letras
 
Un juego de palabras utiliza dados con una letra en cada 
cara. En la figura se ven tres aspectos distintos de uno de 
estos dados. 
¿Qué letra es la que figura en la cara opuesta a la que 
ocupa la m 
39 La defensa de la reina 
¿Cuál es el mínimo número de reinas que se necesita 
colocar sobre un tablero de ajedrez n X n, de manera que 
ocupen o controlen todos 
los cuadros del tablero? 
En la figura puede verse una solución para el tablero 4 X 4 
(dos reinas), y otra para el tablero 5 X 5 (tres reinas). 
Busca otras soluciones para estos tableros 4 x 4 y 5 x 5, 
y después trata de hallar una solución para el tablero 6 X 6 
con sólo tres reinas. ¿Cuántas reinas se necesitarán para n = 7 
Yn=8? 
En 1862 Jaenisch propuso una variante de este problema: 
no sólo debían estar ocupados o controlados todos los 
cuadros del tablero, sino que, además, ninguna reina debía 
ocupar un cuadro que estuviera atacado por otra. 
Otro problema parecido: halla el mínimo número de 
reinas necesario para ocupar o controlar todos los cuadros 
del tablero, con la restricción adicional de que cada reina esté 
protegida por otra. 
Problemas análogos se pueden proponer para otras 
piezas del ajedrez. 
22 
43 Caminando en zigzag 
A o e ePara este juego se G • 1~ 
necesita un cuadrado 
de 7 X 7 o 9 X 9 puntos. 
El juego comienza en el 
centro S. El primer jugador 
dibuja una flecha que va de S 
a uno de los puntos situados 
inmediatamente encima, 
• 
• 
e 
• 
e 
• 
• 
e 
• 
I 
1 
t-­
I
-1 
I 
0---~ 
S 
I 
1__._. 
I 
I 
t• • 
1• 
debajo, a su derecha o a su 
izquierda. El segundo • • • • • • • 
jugador prolonga esta flecha 
un paso más en una de las • • • • • • • 
cuatro direcciones, 
formando un camino 
continuo. 
• • • • • G 
El objeto del juego es B 
construir un camino desde S 
hasta la casa de cada jugador 
(A para el primero y B para 
el segundo), sin pasar dos 
veces por el mismo punto. 
Ganará la partida el primer 
jugador que consiga alcanzar 
su casa. 
44 Un paseo a caballo 
Uno de los problemas más antiguos de la matemática 
recreativa es el que consiste en averiguar qué camino debe 
seguir un caballo de ajedrez para recorrer una y sólo una vez 
todos los cuadros del tablero. Durante los últimos 200 años 
han sido muchos los matemáticos famosos que se han 
ocupado de este problema,entre ellos De Moivre, Euler y 
Vandermonde; pero siempre queda algo nuevo por descubrir. 
Una solución para el tablero 8 X 8, debida a De Moivre, 
aparece en a). En b) puede verse otra manera de 
representarla. Cada una de ellas tiene sus ventajas y debes 
decidir cuál es la que te parece mejor para tus investigaciones. 
(En cualquier caso, lo que sí vas a necesitar es una buena 
cantidad de papel cuadriculado, si de verdad quieres avanzar 
en la resolución del problema, elijas el método que elijas). El 
segundo método no aparece terminado en la figura, pero ya 
se puede ver claramente la estrategia seguida por De Moivre, 
que se reduce a moverse alrededor del tablero en una 
24 
a) b) 
dirección determinada, manteniéndose siempre tan cerca 
como se pueda del borde. Copia la figura b) en un papel 
cuadriculado y termina de dibujar la solución de De Moivre 
antes de empezar a buscar otra original. 
En este tipo de problemas suele ayudar comenzar con un 
tablero más pequeño. 
En un tablero 3 X 3 se capta de inmediato que el 
problema no tiene solución. Una de dos, o el caballo parte de 
uno de los cuadros del borde del tablero, en cuyo caso puede 
recorrer fácilmente todos los cuadros exteriores pero no el 
Inicio tliJíi~ 
Final 
e) 
central, o bien parte de este cuadro central, en cuyo caso no 
puede hacer ni un solo movimiento, y se frustra el paseo e). 
¿Es posible en un tablero 4 X 4? La figura d) nos muestra 
un camino equivocado que acaba en la casilla 4 ante la 
imposibilidad de seguir haciendo movimientos. Si no 
consigues recorrer los 16 cuadros, ¿cuál será el número 
máximo que puedas visitar sin pasar dos veces por el mismo? 
Investiga los recorridos sobre tableros 5 X 5, 6 X 6 Y 
7 X 7. 
d) 
25 
La figura e) muestra un recorrido del caballo en un 
tablero 8 X 4. ¿Se puede encontrar un recorrido completo en 
un tablero rectangular más pequeño? 
el 
Resulta interesante investigar la posibilidad de recorrer a 
caballo tableros de formas más raras. El de la figura 1) se 
puede, ja pesar de que el propio autor llegó a convencerse de 
que no era posible, cuando lo estudió por primera vez! 
f)Sin embargo, y volviendo al clásico tablero cuadrado, los 
matemáticos que lo estudiaron intentaron hallar soluciones 
que tuvieran propiedades especiales. Una era encontrar un 
recorrido que termine justo a un movimiento de caballo del 
cuadro en que comenzó. En la figura g) puede verse una 
solución de este tipo (Euler). Se suele decir que tal solución 
constituye un camino «con vuelta a casa». La solución g) tiene 
otra propiedad extremadamente sorprendente: se ha 
recorrido toda la mitad inferior del tablero antes de comenzar 
con la mitad superior. 
g) Solución de Euler de los semitableros h) Cuadrado mágico de Euler 
«con vuelta a casa» 
26 
I 
---L I 
I ---i-_.... / 
I I 
---t--_.... I , r_.... 
I 
Trata de construir un camino «con vuelta a casa» sobre un 
tablero 6 X 6. 
Hay una elegante demostración de que en cualquier tablero con un 
número impar de cuadros es completamente imposible encontrar un 
camino «con vuelta a casa». Trata de averiguar por qué. Sin embargo, son 
posibles sobre una gran variedad de tableros. Inténtalo sobre el 
de la figura i). 
Otra solución sumamente ingeniosa, también de Euler, 
con la que venció a muchos otros competidores, fue 
encontrar un recorrido del caballo tal que los números que 
van correspondiendo a los cuadros formen un cuadrado 
mágico 8 X 8, es decir, que las sumas de los números de 
cada fila y de cada columna (no de las diagonales) den 
siempre el mismo resultado, en este caso 260. Lo 
ofrecemos en h). Comprueba su carácter «mágico» e 
investiga la simetría del camino seguido. 
Hay un interesante juego de estrategia para dos 
jugadores: partiendo de un cuadro cualquiera de un tablero 
5 X 5, cada jugador, por tumos, hace un movimiento de 
caballo a partir de la posición en que lo dejó el otro i)
jugador. Los movimientos no deben llevar nunca a un 
cuadro ya recorrido, y ganará el jugador que haya podido 
mover por última vez. 
·45
 Aserrando 
un cubo 
Nos han pedido aserrar
 
un cubo de madera de 3 cm
 
de arista para obtener 27
 
cubitos de 1 cm. ¿Será
 
posible hacerlo con menos
 
de seis cortes?
 
46
 Un agujero imposible 
Por difícil que parezca, es 
posible hacer un agujero 
atravesando un cubo sólido 
de manera que pueda pasar, 
de un extremo al otro, un 
segundo cubo mayor que el 
pnmero. 
¿Cómo harías el agujero? 
47 
Divide cada una de las 
figuras X e Yen dos partes 
iguales. 
Invéntate otros casos 
análogos. 
Dos gemelos idénticos 
48 El teorema de los cuatro colores 
¿Cuántos colores se necesitan para colorear un mapa, de 
manera que dos países, que tengan frontera común, 
aparezcan pintados de distinto color? Dos países que tengan 
sólo un punto de frontera común sí pueden tener el mismo 
color. 
En el mapa de la figura se han utilizado cinco colores, 
numerados y que parecen indispensables, pero uno se podría 
arreglar con sólo cuatro. ¿De qué manera? 
Desde que se hacen mapas, los cartógrafos han creído que 
se podrían colorear con sólo cuatro colores. Los matemáticos 
han estado intentando resolver teóricamente este problema 
desde que en 1840 Mobius lo presentó en una de sus 
lecciones. Sin embargo, el problema resistió todos los 
esfuerzos de los matemáticos, hasta que en 1978 dos 
americanos utilizaron un potente ordenador para analizar la 
situación. Pero muchos tienen aún la secreta sospecha (¿o 
esperanza?) de que alguien aparezca un buen día con un 
mapa bajo el brazo que no se pueda colorear sólo con cuatro 
colores ... ¿Podrías encontrar uno? 
49 
28 
50 La cuadratura. del triángulo equilátero 
B 
Construye de cartulina o madera un triángulo equilátero 
ABCy divídelo en cuatro partes tal como indica la figura, 
siendo 
AP=BP, CQ=BQ,AR=iAC, CS=i CA 
y PMy SNperpendiculares a RQ. Una buena longitud para el 
lado A C puede ser 8 o 10 cm. 
Recorta las cuatro piezas y reordénalas para formar con 
ellas un cuadrado. 
A R s e 
51 La cuadratura de la tetera 
En esta figura, el rayado representa la sección transversal 
de una tetera, que está limitada por arcos de cuatro 
circunferencias iguales. Muestra cómo dos rectas podrían 
dividir dicha sección en tres trozos, de modo que, con ellos, 
se pueda formar un cuadrado. 
52 Un ama de casa perpleja 
La señora Paca solía coger el autobús en una parada de la 
calle Mayor para ir al mercado. No se preocupaba por los 
horarios, porque le servía igual un autobús de la línea P que 
uno de la línea Q. Sabía que de cada uno pasaban seis 
autobuses por hora y nunca había tenido que esperar mucho. 
Sin embargo, le sorprendía que muy pocas veces cogía un 
Q. Decidió, pues, llevar la cuenta del tipo de autobús en que 
montaba y descubrió que viajaba en un autobús Q 
aproximadamente sólo una vez de cada diez. 
¡La señora Paca estaba completamente perpleja! ¿Podrías 
ayudarla a entender lo que pasaba? 
29 
53 Jugando a invertir el triángulo 
Se tiene un triángulo formado por diez monedas iguales a). 
¿Cuál es el mínimo número de monedas que hay que 
cambiar de sitio para que el triángulo quede en posición 
invertida, como en b)? 
a) b) 
54 El billar americano 
A B 
e 
a) 
En el billar, cuando se golpea con el taco una bola P hacia 
una banda lateral de la mesa, la bola rebota en ella lo mismo 
que si la banda fuera un espejo. En a) puede verse el camino 
que seguirá la bola P lanzada contra la banda AB. 
Suponiendo que no se encuentra con ninguna otra bola en su 
camino, la bola P se «reflejará» en la banda BC, y después en 
la otra banda CD, y así sucesivamente, hasta que, por fin, se 
detenga. 
En el billar americano, la bola P ha de chocar con una 
bola determinada, que el contrincante ha escondido 
intencionadamente entre otras. Si se toca cualquier otra bola, 
se pierden puntos. En este juego, la habilidad consiste en 
saber cómo utilizar las bandas para, haciendo rebotar en ellas 
la bola lanzada por el taco, conseguir quellegue a chocar 
con la bola deseada. 
30 
A B 
P 
o 
Imagen de Q 
en Be 
--- --- -----o 
a'o a 
eD 
b) 
La figura b) representa una situación en la que la bola 
«blanco» Q está escondida entre otras tres bolas. En este 
caso, se puede hacer rebotar la bola P en la banda Be. Para 
elegir correctamente el punto de la banda BC al que debe 
dirigirse la bola P, imagínate el punto Q, que sería la imagen 
reflejada del Q si BCfuera un espejo, y golpea P en la 
dirección PQ. Entonces P se «reflejará» en el punto E y se 
dirigirá hacia Q.. 
Se puede fácilmente generalizar este mismo método para 
salir de situaciones más difíciles (¡al menos en teoría!), 
recurriendo a hacer rebotar la bola en dos o más bandas. La 
figura e) nos muestra cómo puede llegar la bola P al blanco T, 
después de rebotar, primero en la banda AB, y después en la 
Be. ~o 
~------ T" 
~ 
A ~~B 
p 
o 
T 
D e 
e) 
Puesto que P, al rebotar en BC ha de dirigirse hacia T, 
debe dirigirse a Be en la dirección de T', que es la imagen 
especular de T en Be. Para ello tiene que dirigirse antes a la 
banda AB en la dirección de T", que es la imagen especular de 
T' respecto a AB. 
31 
Averigua en qué dirección habría que golpeClr la bola Pen 
cada una de las tres situaciones d), e), 1) para que choque con 
la bola T 
o T 
O • 
O 00 O 
T 
• o 
p
• 
o 
o O 
O • 
P00 
• O •
 O
 T 
P 
d) e) f) 
SS Buscando cuadrados (para dos jugadores) 
Otra versión del juego 
del «tres en raya», que puede 
jugarse sobre una hoja de 
papel cuadriculado. Dibuja 
un cuadrado 6 X 6, o más 
grande. 
Los dos jugadores irán 
poniendo en las cuadrículas, 
círculos y cruces 
alternativamente, y ganará la 
partida el primer jugador que 
consiga que cuatro de sus 
señales ocupen los vértices 
de un cuadrado. En la 
partida representada, ha 
ganado el jugador que ponía 
círculos. 
/0"" 
)( X 
c(
.", [P 
"'cr O X 
X 
¿De cuántas maneras se puede formar un cuadrado en un 
tablero 6 X 6? 
Una variante del juego consiste en seguir jugando hasta 
que todo el tablero esté marcado, y después contar qué 
jugador ha hecho más cuadrados. 
Otra alternativa es jugar a no formar cuadrados. Pierde el 
primer jugador que se vea forzado a construir un cuadrado. 
32 
56 La polilla ham.brienta 
Una polilla hambrienta ataca una enciclopedia de cinco volúmenes, 
La polilla empieza a comer y a abrirse camino a través de los libros, 
desde la cubierta anterior del volumen I hasta la cubierta posterior del 
volumen V. Si cada tomo tiene 3 cm de grueso, ¿qué distancia ha recorrido 
la polilla en su alimenticio destrozo? 
57 El desvío más barato 
La construcción de carreteras resulta muy cara, y por este 
motivo los ingenieros de caminos tratan de hacerlas lo más 
cortas que sea posible. Una nueva autopista en construcción 
va a pasar en línea recta cerca de los pueblos de Villafranca y 
Villavieja, tal como indica la figura. Los ingenieros se 
proponen hacer un desvío en un punto D de la autopista para 
unirla a Villafranca y a Villavieja por dos carreteras rectas DF 
y D V ¿Dónde deberá estar situado el desvío D para que sea 
mínima la longitud total de las dos carreteras DFy D V? 
Autopista 
;;;;~~~3~~~~;;~::::::::1f::::::-41<rn en construcción 
\~ \ 
\ 
\\ 
\ 1 
\ 1 km \\ 2 km
 
\
 
\\ 
\\ 
\ 
F • \ \
 
Vi Ilafranca
 \ 
-d;;;;:::::::::::::::::::::==­
• V 
Villavieja 
33 
58
 Pieza.s que llenan todo un espacio 
Un cubo de arista unidad puede acoplarse a otros siete 
cubos idénticos para formar otro cubo mayor de dos 
unidades de arista. ¿Cuántos cubos son necesarios para 
construir un cubo de arista tres unidades? 
Dada una colección de tetraedros regulares idénticos, 
¿podrías construir con ellos un tetraedro más grande, de 
arista doble que los primeros? En caso afirmativo ¿cuántos 
necesitarías? 
59
 Curvas formadas al cortarse 
circunferencias 
Dibujando sistemas de circunferencias que se corten 
pueden obtenerse muchas curvas y dibujos interesantes. La 
figura nos muestra dos ejemplos. 
En el primero se han dibujado dos conjuntos de 
circunferencias con centros en A yen B. El dibujo original, 
antes de reducirlo, se hizo tomando una distancia AB de 
12 cm y aumentando el radio en 1 cm cada vez. Un conjunto 
de circunferencias con el mismo centro, y que parecen las 
ondas que se forman al arrojar una piedra en un estanque de 
aguas tranquilas, se llaman circunferencias concéntricas. 
Cuando se dibujan dos sistemas de circunferencias 
concéntricas como éstos, entonces sus intersecciones 
determinan una familia de elipses. En la figura aparecen 
dibujadas cuatro de estas elipses: para el caso de la elipse 
etiquetada con el número 20 es fácil ver que cualquiera de sus 
puntos P cumple la condición de que AP+ BP= 20. 
Esta propiedad se puede comprobar fácilmente. Toma, 
por ejemplo, el punto Pque está en la octava circunferencia 
de centro A y comprobarás que está a la vez en la número 12 
de las de centro B. 
Intenta dibujar las elipses correspondientes a los números 
18 y 26. 
34 
35
 
Si tienes a mano una fotocopiadora, dibuja los dos 
sistemas de circunferencias concéntricas y haz varias 
fotocopias antes de empezar a dibujar las elipses. En la figura 
inferior puede verse la manera de hacer resaltar las distintas 
elipses pintando de negro una sí y otra no las regiones en que 
quedó dividida la primera figura, como en un tablero de 
ajedrez. El resultado nos ofrece, de propina, un bonito 
diseño. ¿Puedes identificar otra familia de curvas en este 
mismo dibujo? 
La tercera figurá nos muestra otro 
ejemplo; la curva que aparece envolviendo 
a todas las circunferencias se llama una 
cardioide. 
Para reconstruir esta figura se toma 
una «circunferencia base» cualquiera, y 
sobre ella un punto A. Las restantes 
circunferencias son todas las que tienen 
como centro un punto cualquiera de la 
circunferencia base y que pasan por A. 
Dibuja una cantidad de circunferencias 
suficiente para que la curva envolvente se 
vea con claridad. 
¿Qué ocurriría si hiciéramos lo mismo 
pero a partir de un punto A que no 
estuviera en la circunferencia base? 
60 ¡El ultimátum de una amante!
 
Un bosquecillo habéis de plantar, mi 
senor, 
si queréis demostrar que soy vuestro amor. 
Esta arboleda, aunque pequeña, ha de 
estar compuesta 
por veinticinco arbolitos en doce filas bien 
dispuestas, 
yen cada fila cinco árboles plantaréis 
o mi lindo rostro nunca más veréis. 
61 Sólo cuatro rectas 
• • • 
• • • Traza cuatro rectas, sin levantar el 
• • • 
lápiz del papel, de manera que pasen por 
los nueve puntos del cuadrado de la figura. 
36 
62 ¿A qué velocidad eres capa.z de pedalear? 
En la etapa contra reloj de una carrera ciclista, un 
corredor quiere alcanzar una velocidad media de 40 km por 
hora entre dos ciudades A y eque distan 10 km. A medio 
camino entre A y Chay otra ciudad B que se encuentra en el 
punto más alto del recorrido. Al llegar a B el ciclista calcula 
que hasta ese momento su velocidad media ha sido sólo de 
20 km por hora. ¿A qué velocidad debe pedalear en la bajada 
de B a C, si quiere conseguir el objetivo de alcanzar una 
velocidad media de 40 km por hora entre A y C? 
B 
63 L'a pista de bobsleighs 
En una conocida estación de 
esquí han decidido construir una s 
nueva pista de bobsleighs. Esta pista __I(.......({((~ 
comenzará en la cumbre S de una 
colina, al lado de los remontes, y 
terminará 500 m más abajo, en el 
pueblo V. SOOm 
No se escatimarán gastos para 
conseguir que el descenso sea Jo 
más rápido posible. ¿Qué curva ha L-... ~:-=-::--=-- --.JV 
de seguir el camino de 5 a V para JOOom 
lograr este objetivo? 
64 Cuestión de vocales 
El tablero contiene las cinco 
vocales repetidas cinco veces. Corta 
el cuadrado 5 x 5 en cinco trozos 
de manera que en cada uno 
aparezcan las cinco vocales. 
Una vez resuelto, intenta 
construir otros rompecabezas 
parecidos. 
E A 1 O 1 
U E U E O 
O 1 A O A 
1 U E A 1 
A O U E U 
37 
65 Juegos con fichas para un solo jugador 
Con un tablerode agujeros y varios juegos de clavijas de distintos 
colores, puedes pasártelo bien durante horas, jugando a alguno de los 
siguientes solitarios. (Puedes usar fichas o peones sobre un tablero de 
ajedrez.) 
El salto de la rana 
Para jugar al primer solitario se necesitan siete agujeros (o cuadros) en 
fila, tres fichas de un color (rojo), y otras tres de otro color (negro). Coloca 
estas seis fichas como indica la figura, dejando un agujero vacío entre las 
negras y las rojas. Los movimientos del juego consistirán en: 
1) mover una ficha al agujero contiguo, si está vacío; o 
2) saltar sobre otra ficha a un agujero vacío situado inmediatamente 
tras ésta, de la misma manera que se «come» en el juego de damas. 
Los dos tipos de movimientos aparecen ilustrados en la figura, y se 
alternan desde el primer movimiento. 
El objeto del juego es hallar el mínimo número de movimientos que 
permita intercambiar las posiciones de las fichas negras y rojas. 
Estudia también otras variantes con distinto número de fichas negras y 
rojas, e intenta hallar una fórmula para el mínimo número de movimientos 
necesarios para intercambiar, de los extremos del tablero, x fichas negras e 
y rojas. 
Todo cambia 
El segundo juego se parece bastante al primero, pero se 
juega en un tablero cuadrado. La figura muestra un tablero 
S X S con la posición inicial de las fichas; hay 12 fichas 
negras, 12 rojas, y un agujero vacío en el centro del tablero. 
Los movimientos permitidos son los mismos que en el 
«salto de la rana», salvo que ahora las fichas pueden moverse 
en cualquier fila horizontal o vertical, pero nunca en diagonal. 
Se trata, una vez más, de intercambiar las posiciones de 
las fichas negras y las rojas en 48 movimientos. 
38 
• 
• • 
• 
Otro solitario 
El tercer juego tiene una	 
larga historia y se juega en	 
todo el mundo. Se suele	 
encontrar a la venta en las	 
más variadas formas.	 
E] tablero tiene 33	 
agujeros dispuestos en forma	 
de cruz griega como indica la	 
figura. Hay 32 fichas, esta	 
vez todas del mismo color,	 
fij 
• 
que al comienzo del juego	 
ocupan todos los agujeros •
 
menos el centra!.	 
En este caso el único movimiento permitido es saltar 
sobre otra ficha a un agujero vacío al otro lado; al mismo 
tiempo se «come», y se retira del tablero, la ficha sobre la • 
que se ha saltado. Las fichas sólo pueden moverse en filas 
horizontales y verticales, y el objetivo del juego es el de 
terminar con una única ficha en el tablero. 
Hay muchas soluciones posibles, pero se suelen 
considerar las mejores aquellas en las que el juego termina • • 
con la última ficha en el centro del tablero. ¡Intenta 
conseguirlo! 
o O O
 O O O O@O 
O~O O ~O ~~~ 
O O ~~®O O O O~~@O O O ~~~~~ O 
O O O ~ O O O O~~~~~O O O O~O O O 
O O
 O~OO O ~~®~~~~ O O O ~ O O O 
O O O O O O ~~~ 
O O O
 O O O ~~~ 
Cruz latina	 Pirámide Lámpar~ 
Sobre este mismo tablero pueden plantearse otros	 
muchos problemas, en los que ya no se trata de terminar con	 
una única ficha en el centro del tablero, sino con varias fichas	 
que formen una figura convenida de antemano.	 
Como los tres ejemplos anteriores. 
39 
66 Dos piezas iguales
 
Las figuras Py Q se pueden dividir, cada una de ellas, en 
dos piezas idénticas. Las dos se han dibujado siguiendo el 
mismo principio, de modo que, si encuentras la solución para 
una, la otra tampoco se te resistirá mucho. 
p 
Q 
67 Cómo pintar un cubo 
¿Cuál es el mínimo de colores que se necesitan para 
pintar un cubo de manera que dos caras adyacentes tengan 
siempre distinto color? 
¿Cuántos cubos diferentes se pueden obtener usando 
cuatro colores? (Recuerda que cada cara ha de ir pintada sólo 
de un color y, naturalmente, caras adyacentes de colores 
distintos). 
68 Los problemas de la vía única
 
APARíAP~RO 
LI'N!:A PRINCIPAl-
Dos trenes de viajeros, cada uno con cuatro vagones, se encuentran 
enfrentados en sentidos opuestos en una línea que tiene vía única. La vía 
principal tiene un apartadero a una vía muerta en la que desgraciadamente 
sólo cabe una locomotora con dos vagones. Estudia cuál será la mejor 
manera de hacer maniobras con los vagones para que los dos trenes 
púedan cruzarse y continuar su viaje. 
40 
69 Dos a la vez
 
Coloca diez monedas iguales en fila. Un movimiento del 
juego consiste en coger una moneda, saltar dos y ponerla 
sobre la tercera. Muestra cómo se podrían agrupar las 
monedas en cinco parejas igualmente espaciadas en sólo 
cinco movimientos. ¡Atención, que no es tan fácil como 
parece! 
70 Cara y cruz 
Coloca ocho monedas iguales en fila, alternativamente 
cara H y cruz T, como en la figura. Un movimiento consistirá 
en coger dos monedas seguidas de la fila y llevarlas a un 
extremo o a cualquier lugar de la fila en que haya un hueco, 
sin alterar nunca el orden en que estaban. 
Es posible colocarlas alineadas, en cuatro movimientos, 
en el orden TTTTHHHH sin dejar ningún hueco entre ellas. 
71 La cuadratura de la cruz griega 
Recorta una cruz griega como la de la figura. Divídela, 
con dos cortes rectilíneos, en cuatro trozos, de manera que, 
con las cuatro piezas resultantes, se pueda formar un 
cuadrado. 
41 
72 El reparto de gasolina YefÓSllo centra! 
Una gran ciudad tiene un sistema 
de calles circulares y transversales, 
como indica la figura. En cada 
empalme de calles la Compañía de 
Gasolinas tiene una gasolinera, 
Demuestra que el conductor de 
un camión cisterna puede salir del 
depósito central, recorrer todas las 
gasolineras y regresar al depósito sin 
pasar dos veces por el mismo punto. 
Dos granjeros amigos 
compraron, entre los dos, un barril 
de sidra de ocho cántaros, y querían 
repartírselo a partes iguales, pero 
sólo disponían de dos recipientes 
para medirla, uno de 5 cántaros y 
otro de 3. ¿Cómo lo consiguieron? 
73 Un reparto justo :-r T j ¡ "T"f
s\1) R,A EX1l{A'.. "-." ,,­ '~ 
o
 
o
 
o	 
74 
o o 
Coloca ocho monedas iguales formando un cuadrado de 
tres monedas de lado, como indica la figura. o
 Mueve cuatro monedas para formar un cuadrado ¡con 
cuatro monedas en cada lado! 
o o 
75 La rana obstinada 
Buscando agua, una rana cayó en un pozo de 30 m de 
hondo. En su intento de volver a salir, la obstinada rana no 
hacía grandes progresos, ya que cada día conseguía subir tres 
metros, pero por la noche resbalaba y bajaba dos metros. 
¿Podrías decir cuántos días tardó la rana en salir del 
pozo? 
42 
76 Cómo ordenar una estantería
 
Volver a ordenar los libros en los estantes de una biblioteca es un 
trabajo pesado, y la bibliotecaria quería hacerlo con el mínimo esfuerzo 
posible. Descubrió que la mejor manera de ordenarlos era intercambiar 
dos libros entre sí. Es decir, sacar dos libros cualesquiera mal colocados de 
la estantería y volver a colocarlos en orden inverso. 
¿Cuántos intercambios tendrá que hacer para colocar los volúmenes de 
la enciclopedia de la figura en el orden 1,2,3,4,5,6,7,8 Y9? 
¿Cuál sería la mejor manera de reordenarla, si los volúmenes hubieran 
estado en el orden 4, 5, 7, 6, 8, 1,9,2 Y3? 
Propón una estrategia para reordenar, de la manera más rápida posible, 
una enciclopedia desordenada, independientemente del orden en que 
hayan quedado sus volúmenes. 
77 Partiendo un círculo 
Estas figuras muestran lo que ocurre cuando tomamos varios puntos 
sobre una circunferencia y trazamos todas las cuerdas posibles que unan 
dos puntos distintos. Si coges unas tijeras y recortas cada uno de los 
c~rculos por las cuerdas dibujadas, obtendrás, respectivamente, 2, 4, 8 Y16 
pIezas. 
¿Cuántas piezas calculas que resultarán si repetimos el proceso con seis 
puntos distintos de la circunferencia? 
¡No te precipites en tus generalizaciones! 
43 
78 Números casi cuadrados 
El número 24 tiene la propiedad de que es «casi» un cuadrado perfecto, 
y de que su doble también es «casi» un cuadrado: 
24 + 1 = 25 = 52 
(24 X 2) + 1 = 49 = 72 
¿Cuál es el siguiente número con esta misma propiedad? 
79 Un jardinero aficionado a la matemática 
Un jardinerodisponía de cierto número de losetas cuadradas, todas 
iguales, con las que pudo formar dos embaldosados, también cuadrados, 
y casi del mismo tamaño uno que otro. Como era tan aficionado 
a los problemas matemáticos, se dio cuenta de que con el mismo número 
de losetas podría haber hecho dos embaldosados cuadrados distintos de 
los anteriores, y, esta vez, uno mucho más grande que el otro. 
~ 
~ (~. 
80 Triángulos mágicos 
Los números 1,2,3,4,5 Y6 forman un triángulo en el que la suma de los 
tres números que están sobre cada lado da siempre el mismo resultado, 10. 
Comprueba que los mismos números se pueden colocar en el triángulo 
en otro orden, de manera que las sumas sigan siendo iguales, 
pero distintas de 10; hay otras tres posibilidades. 
Los números que se pueden colocar formando un triángulo 
de este tipo se llaman números mágicos. 
Intenta formar triángulos mágicos con los dos conjuntos 
de números siguientes: 
1) 1 2 3 5 6 7 
2) 1 2 3 4 6 7 
Hay dos maneras diferentes de hacerlo en ambos casos. 
44 
81 Números curiosos	 
Hay muchos números que tienen una curiosa distribución 
de sus cifras, y cuya formación vale la pena investigar. Aquí 
van unos cuantos ejemplos, para empezar a pensar en ello. 
1
 Elige un dígito cualquiera, por ejemplo el 5. Multiplica 5 
por 9 y con resultado, 45, haz la siguiente multiplicación: 
12345679 X 45 
¿No te sorprende el resultado? 
Probemos con otro dígito, por ejemplo el 3; multiplica 
3 por 9, que da 27, y a continuación haz la multiplicación 
12345679 X 27 
¿Podrías explicar por qué sale ese resultado? 
2
 Otro caso parecido. Elige un dígito, por ejemplo el 2; 
multiplica 2 por 7, Ycon el resultado, 14, efectúa el 
producto 
15873 X 14 
Investiga lo que pasa con otros dígitos, y da una 
explicación de los resultados obtenidos. 
3 Haz las operaciones siguientes y explica el modelo: 
143 X 2 X 7 = 
143 X 3 X 7 = 
143 X 4 X 7 = 
143 X 5 X 7 = 
143 X 6 X 7 = 
143 X 7 X 7 = 
143 X 8 X 7 = 
143 X 9 X 7 = 
4
 ¿Podrías explicar la forma de los números que se 
obtienen haciendo estas operaciones? 
1) (O X 9) + 1 = 2) 6X7 
(1 x 9) + 2 = 66 x 67	 
(12X9)+3= 666 X 667
 
(123 X 9) + 4 = 6666 X 6667	 
(1234 X 9) + 5 = 66666 X 66667	 
45 
82
 Unas restas chocantes 
Elige cuatro dígitos cualesquiera, por ejemplo, 3,6, 2 Y8, 
Yescribe con ellos el número de cuatro cifras más grande y el 
más pequeño posibles, en nuestro caso 8632 y 2368. 
Resta ahora el menor del mayor y, con los cuatro dígitos 
del resultado repite el proceso anterior, una y otra vez: 
8632 6642 7641 
- 2368 - 2466 - 1467 
6264 4176 6174 
En el ejemplo, los dígitos 1, 4, 6 y 7 aparecen en el 
resultado en la segunda etapa, y, a partir de la tercera, no 
aparece ningún otro número nuevo. 
Investiga lo que ocurre partiendo de distintos conjuntos 
de cuatro dígitos, y continúa el proceso haciendo las restas 
indicadas hasta que ya no salga ningún número nuevo. ¿Qué 
se puede observar? 
¿Cuál es la cadena de restas más larga que puedes 
encontrar hasta que no aparece ningún número nuevo? 
83
 ¿Cuál es el mayor número 
que puedes obtener? 
Toma seis dígitos cualesquiera, como 5,3,9, 7, 4 Y2, Y 
forma con ellos dos números de tres dígitos sin usar dos veces 
el mismo dígito, por ejemplo, 324 y 579. 
Ahora suma y multiplica estos dos números: 
324 + 579 = 903 
324 X 579 = 187 596 
El objetivo es obtener una suma y un producto tan 
grandes como sea posible. 
¿Puedes inventarte una estrategia que te dé siempre los 
resultados máximos a la primera? Si es así, puedes desafiar a 
alguno de tus amigos a ver quién es el primero en obtener el 
número máximo posible a partir del conjunto de seis dígitos 
dado. 
Este problema admite diversas variantes, como puede ser 
la de formar tres números de dos dígitos y tratar de que su 
suma y su producto sean lo más grandes posible, o bien partir 
de siete dígitos y formar dos números, uno de tres dígitos y el 
otro de cuatro. 
46 
84 Los cuatro cuatros
 
Éste es un problema muy conocido, que ha sido el culpable de muchas 
horas de entretenimiento y de frustración para mucha gente. Se trata de 
expresar tantos números como sea posible entre 1 y 100, utilizando sólo 
cuatro cuatros y cualquier símbolo de operación matemática conocido. 
Por ejemplo: 
44 4 
15= --- + 4 o bien = 4 X 4 -- ­
4 4 
16=(4X4)+4-4 o bien = (4 x f4 + (4 x f4) 
Algunos números se pueden expresar de varias maneras, como se ve en 
los dos ejemplos anteriores, pero otros puede resultar difícil expresarlos. 
Además de las cuatro operaciones aritméticas básicas +, -, x,: y ¡ ­
puede que te sean útiles estas observaciones: 
4 !, o «cuatro factoriab), es 4 X 3 X 2 X 1 = 24 
admitiremos también 0,4 = 4 : 10, 
4 por tanto, = 10 
0,4 
n 
0,4 significa 0,4444444 ... , que es igual a 4 : 9, de manera que 
se puede escribir 
4 
--n- 9 
0,4 
Con esta ayuda deberías ser capaz de encontrar, al menos, una manera 
de expresar la mayoría de los números del 1 al 100, si no todos. 
Puede ser divertido jugar a este juego con un compañero, y desafiar a 
otro par de amigos a ver cuál de los dos equipos puede encontrar más 
soluciones en un intervalo de tiempo prefijado. 
85 ¿Cuáles eran los datos? 
El resultado de dividir dos números de dos cifras en una calculadora ha 
sido: 
¿Cuáles eran esos dos números? 
,-, I , , , ,-, ,,-, ,- ,-, 
'_'. - ., CJ e '::'" 
47 
86 Un filón muy productivo 
Una compañía minera, que trabaja en los desiertos 
australianos, ha hecho una serie de perforaciones para 
comprobar la riqueza de un gran yacimiento de mineral. Los 
resultados de esta prospección se han representado en un 
mapa rectangular dividido en cuadros iguales, indicando en 
cada uno de ellos el valor de los depósitos de mineral que 
contiene esa zona en millones de pesetas, como indica la 
figura. 
Debido a la estructura del terreno y al método de 
explotación al aire libre, la empresa debe comenzar por el 
cuadrado señalado Inicio, e ir avanzando de parcela en 
parcela, hacia arriba, abajo, a la derecha o a la izquierda, pero 
nunca en diagonal. Una misma parcela no puede ser 
perforada dos veces. 
Halla el recorrido más rentable en los 13 primeros 
cuadrados que exploten. 
32 80 19 98 1 90 14 85 
66 22 73 52 72 57 83 31 
30 84 41 73 16 74 45 92 
77 6 70 24 Inicio 28 67 11 
32 99 44 81 27 75 42 98 
68 21 72 56 59 42 75 17 
34 87 19 92 5 99 27 88 
Por ejemplo, un camino posible sería:
 
2470677306622 73 1998 1 90 14
 
que daría un beneficio global de 590 millones.
 
¡Lo puedes mejorar mucho, sin gran esfuerzo! 
48 
87 Centenas, decenas y unidades 
Torna un número cualquiera de tres cifras, por ejemplo, 
235. Escribe el que resulta de invertir el orden de sus cifras, 
532; resta el menor del mayor: 
532
 
-235
 
297 
Al número obtenido súmale el que resulta de invertir el 
orden de sus cifras: 
297 
+ 792 
1089 
Cuando lo hayas repetido varias veces con distintos 
números, podrás predecir, sin dificultad, el resultado y 
sorprender a tus amigos. 
88 Círculos mágicos 
Coloca los números 1,2,3,4,5 Y6 
en los cuadraditos, de manera que los 
números situados sobre cada una de las 
tres circunferencias sumen lo mismo. 
Cuando se da esta situación se dice que 
tenemos un conjunto de círculos 
mágicos. 
¿Podrías dar una regla sencilla para 
encontrar otros seis números que, 
colocados en los cuadrados, hicieran 
mágicos a los círculos? 
Si es así, podrás resolver el siguiente 
problema, ya que se basa en la misma 
idea. Coloca cada uno de los números 1, 
2,3, ..... , 10,11 Y12 en una de las 
intersecciones de las cuatro 
circunferencias de la figura, de manera 
que resulten círculos mágicos. 
¿Es evidente que el número mágico 
para cada círculo ha de ser el 39? 
49 
89 El número de teléfono de la doctora Numerati 
La doctora Numerati era una de esas personas que 
siempre andan buscando relaciones entre números. Por 
ejemplo, un buen día se dio cuenta de que los números de su 
casa y de las de dos de sus amigas eran tres números primos 
consecutivostales que multiplicados los tres daban su 
número de teléfono. _. 
La doctora Numerati vivía entre sus dos amigas y tenía un 
número de teléfono de cinco cifras que empezaba por 6. 
Averigua el número de la casa de la doctora Numerati, así 
como su número de teléfono. 
90 Completa un siglo 
Coloca entre las nueve cifras siguientes signos de las 
cuatro operaciones aritméticas en los lugares adecuados (no 
necesariamente en todos), para que esta expresión sea una 
igualdad: 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 100 
Hay más de una solución, así que a ver cuántas puedes 
encontrar. 
50 
91 Ruedas de números 
Los tres números sobre cada lado y sobre cada radio de la 
rueda de la figura dan como suma el mismo número. ¿Cuál es 
.. este número? Completa los números que faltan. 
Coloca los números del 1 al 19 en otra rueda análoga de 
manera que la suma sobre cada una de las doce líneas sea 22. 
92 Un reto a las calculadoras 
1) 56 406 es el producto de dos números consecutivos 
¿cuáles? 
2) 357 627 ~s el producto de tres números impares 
consecutivos. Halla dichos números. 
3) 1 405 es la suma de dos cuadrados perfectos 
consecutivos. ¿Cuáles son estos cuadrados? 
4)
 Un cubo tiene un volumen de 200 cm3. Calcula la 
longitud de su arista con toda la exactitud que permita tu 
calculadora de bolsillo. 
51 
93 Divisiones que se repiten 
1) Utiliza tu calculadora para expresar en forma decimal 
1 2 3 4 5 6 
777 7 7 7 
¿Qué ocurre con los seis primeros dígitos a partir de la coma7 
Escribe, sin utilizar la calculadora, las expresiones decimales de 8/7, 
9/7 Y16/7 con seis decimales. 
Si dispones de una calculadora más potente, ¿cuáles serían los 12 
primeros decimales de 1/77 ¿Podrías escribir directamente el 
esquema repetitivo que resulta en las divisiones por 77 
Para toda división se verifica que, o bien la división se termina o 
bien genera una serie recurrente, lo que en matemáticas se llama un 
número decimal periódico; por ejemplo: 
3 
0,1875
16 
3 
0,428 571 428 571 428 571... 
7 
Al dividir un número cualquiera por otro que se pueda expresar 
como una potencia de 2 por una potencia de 5, como 16,20,64,125, 
320, etc., la división siempre se termina. ¿Por qué? En cambio, si 
dividimos por cualquier otro número, la operación nos conduce 
siempre a un número decimal periódico. Al dividir por 7 nos 
encontraremos con un período de seis dígitos y, en general, al dividir 
por n el período que se repite estará formado por n-l dígitos o menos. 
¿Cómo lo explicarías? 
2)	 Para investigar el esquema que siguen los dígitos al dividir por 17, se 
utilizó una calculadora, pero su capacidad no era suficiente como para 
mostrar el período completo. Los primeros resultados fueron: 
1 
0,058 823 5 
17 
2 4 
0,117647 1 D,235 294 1 
17	 17 
3 5 
0,1764705 0,294 117 6 
.17	 17 
6
 
52 
Sabiendo que en este caso el período consta de 16 cifras, escribe el 
que corresponde a cada una de las divisiones anteriores, expresando 
5/17 con 20 decimales exactos. Intenta averiguar cuál sería el 
resultado de hacer las divisiones 6/17, 7/17, etc., antes de 
comprobarlo con la calculadora. 
3)	 Trata de averiguar el período al dividir por 19, utilizando lo menos
 
posible la calculadora.
 
4)	 Por último, trata de hallarlos períodos correspondientes a divisiones
 
por otros números; por ejemplo, los casos del 11 y del 13 son
 
especialmente interesantes.
 
94 Algunos números distinguidos 
Números capicúas 
Se leen igual de derecha a izquierda que de izquierda a derecha, como 
el 25452. 
Si descontamos los números de una sola cifra, ¿cuál es el menor 
número primo capicúa, y cuál el mínimo cuadrado perfecto capicúa? 
¿Cuántos cuadrados perfectos capicúas hay menores que 1 OOO? 
Hay cinco primos capicúas entre 100 y 200. ¿Cuáles son? ¿Por qué no 
hay ningún primo capicúa entre 400 y 700? Demuestra que todos los 
números capicúas entre 1 000 Y2 000 tienen un factor común. 
Pares de números amigos 
Algunas parejas de números tienen la interesante 
propiedad de que la suma de los divisores de cada uno de 
ellos (excluido él mismo) da como resultado el otro. Esta 
relación recíproca tan curiosa ha llamado la atención de 
muchos matemáticos, que les dieron el nombre de números 
amigos. La pareja de números más pequeños con esta 
propiedad es la formada por 220 y 284. En efecto: 
220: 1+2+4+ 5+ 10+ 11 +20+22+44+ 55+ 110=284 
284: 1+2+4+71+142=220 
Euler hizo un estudio de estas parejas y público en 1750 una lista 
de 60. Resulta bastante sorprendente que se le escapara la segunda en el 
orden creciente, 1 184 Y 1 210, que no se conoció hasta el año 1866, en 
que la descubrió un muchacho italiano de 16 años llamado Paganini. 
Calcula los divisores de estos dos números y comprueba que cumplen 
las condiciones para ser amigos. 
He aquí otras parejas que puedes investigar: 
2620 6232 17296
 
2924 6368 18416
 
53 
95 Estrellas mágicas 
Coloca números en los círculos de las estrellas a) y b), de 
manera que cada línea recta en las dos estrellas sume lo 
mismo. 
a) b) 
Las estrellas e) y d) también son mágicas y, además, 
tienen el mismo número mágico. Los números que faltan en 
las dos estrellas son los mismos: 1,3,4,5 Y7. 
¿Qué más ayuda quieres? 
e) d) 
CROSS 
+ROADS 
96 La seguridad lo primero 
SEND 
+MOREEl mensaje a) es una suma en cla'(e, cada letra representa 
un dígito distinto; por ejemplo, la S representa al 3. ¿Qué DANGER MONEY 
dígitos representan las demás letras? 
a) b)
b) es otro problema clásico del mismo tipo. 
S4 
97 La. estrategia secreta del tahúr 
Un tahúr se fabricó tres dados de diferentes colores. El 
rojo tenía en sus caras, repetidos, los números 2, 4 Y9. El azul 
los números 3, 5 Y7 duplicados, y el amarillo los números 1, 
6 Y8. 
La suma total es la misma en los tres, pero, aun asÍ, el 
tahúr cree que si su contrincante es el primero en elegir y 
lanzar uno de los dados, él puede elegir otro que le dará 
mayores probabilidades de superar su puntuación. ¡Explica 
por qué! 
98 El problema del transporte 
Tres compañías de autobuses A, By Catienden el 
transporte de los escolares de cuatro colegios P, Q, R YS, 
desde el colegio a casa. 
Para transportar a todos los niños, el número de 
autobuses que se necesita en cada colegio es A 
P:8 Q:5 R:7 s: 5 
B 
y cada una de las tres compañías de autobuses dispone en 
sus cocheras del siguiente número de autobuses: 
A:9 B:6 C: 10 
La primera tabla muestra una de las muchas maneras en 
que se podrían distribuir los autobuses disponibles por 
colegios. 
La tabla siguiente nos muestra las distancias en 
kilómetros de las estaciones de autobuses a los colegios; por 
ejemplo, la distancia de la cochera C al colegio Q es de 6 km. 
Como es lógico, las autoridades educativas quieren que el 
coste global del transporte sea lo menor posible, de manera 
que su intención es la de hacer la distribución de autobuses 
por los colegios de forma que el total de kilómetros 
recorridos desde las cocheras sea el mínimo posible. 
Así, por ejemplo, la distribución de la primera tabla nos 
daría un total de kilómetros recorridos de 
(3X3)+(1 X2)+(5X5)+(2X3)+(4X4)+(5X5)+ (4X6)+(1 X8) 
= 9 + 2 + 25 + 6 + 16 + 25 + 24 + 8 
= 115 km. 
Haciendo una mejor distribución, puede reducirse este 
número sustancialmente. De hecho, puede reducirse a 67 km. 
¿Cómo habría que hacer la distribución? 
p Q R s 
3 1 5 
2 4 
5 4 1 
8 5 7 5 
Autobuses necesarios 
p Q R 
A 
B 
e 
3 2 5 1 
2 1 3 4 
5 6 4 8 
(/l 
Q,l 
::c
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99 Nuevos y curiosos esquemas numerlCOS 
1) 32- 22= 9 - 4 = 5 = 3 + 2 
42- 32= 16 - 9 = 7 = 4 + 3 
52 - 42= 25 - 16 = 9 = 5 + 4 
~ 
Explica el modelo y demuestra que siempre se cumple. 
2) 32= 9 2X4= 8 
42=16 3X5=15 
52 = 25 4 X 6 = 24 
Generaliza el esquema. 
3) Investiga las potencias sucesivas de un número natural, 
como 3, 32, 33, 34, 35,... Ytrata de descubrir de acuerdo 
con qué ley va apareciendo el último dígito. 
4) Completala tabla siguiente y prolóngala dos líneas más: 
1=
 
3+5=
 
7+9+11=
 
13+15+17+19=
 
¿Podrías descubrir el esquema que sigue estas sumas? 
5) Completa la tabla siguiente y trata de sacar una ley general 
de lo que observes: 
1 = 13= 
1+2= P+23 = 
1+2+3= 13+23 +33 = 
1+2+3+4= 13+23 +3 3 +43 = 
100 Las ternas pitagóricas 
El teorema de Pitágoras, que relaciona las longitudes de 
los lados de un triángulo rectángulo, es bien conocido. 
También se sabe que si los lados de un triángulo están en la 
razón 3, 4, 5 Yel triángulo es necesariamente rectángulo, pues 
a32+ 42= 52. 
Se llaman ternas pitagóricas a las ternas de números 
2 + b2 2naturales que, como 3, 4 Y5, satisfacen la relación a = e • 
Utiliza tu calculadora para formar una tabla de los 
cuadrados de los números del 1 al 50 y encontrar todas las 
ternas pitagóricas. 
¿Podrías encontrar dos triángulos rectángulos distintos 
cuyos lados sean números enteros y que tengan áreas iguales? 
56 
Un problema análogo en tres dimensiones es el de hallar 
las longitudes de las aristas de un paralelepípedo, siendo las 
aristas y la diagonal todos ellos nlÍmeros enteros. Los cuatro 
números tienen que cumplir 
2a 2 + b 2 + e = d 2 
Una solución es 
¿Podrías encontrar otras? 
101 Multiplicaciones misteriosas 
Jugando un buen día con su calculadora, multiplicó Rosa 
Mari los números 159 y 48, lo que le dio como resultado 
7632. Observó que en la igualdad 159 X 48 = 7 632 
aparecían la cifras 1,2,3,4,5,6, 7, 8 Y9 una y sólo una vez, 
en el primer miembro o en el segundo. Rosa Mari apenas 
podía creérselo y pensó que debía ser un resultado único. ¡Sin 
embargo, se equivocaba! Hay otras parejas de números que, 
al multiplicarlos, aparecen en el resultado todos los dígitos 
una y sólo una vez. ¿Puedes encontrar algunas? 
Otra multiplicación sorprendente es 
16583742 x 9 = 149 253 678 
en la que todos los dígitos aparecen una y sólo una vez a cada 
lado del signo igual. ¿Podrías encontrar otros productos con 
esta propiedad? 
102 Un diamante mágico 
15 9 
Averigua qué números 
debes colocar en los círculos 
en blanco, para que la suma 
de los números sobre una 
12 6 misma recta del «diamante» 
sea la misma. 
57 
103 Fechas capicúas 
El28 de septiembre de 1982, un locutor de 
radio hizo observar a sus oyentes que las cifras 
de la fecha tenían una distribución curiosa, si se 
escribían en la forma abreviada usual: 28-9-82, 
es decir, era una fecha capicúa. Este hecho hizo 
pensar a Susan Nasus, la empollona de la clase, 
en cómo estarían distribuidas estas fechas 
capicúas. No tardó en llegar a la conclusión de 
que algunos años tienen más que otros, y se 
puso a buscar las dos fechas capicúas más 
próximas una de otra de este siglo. ¿Tú cómo lo 
harías? 
104 Tarjetas numéricas adivinatorias 
Imagínate que dispones, para pesar, de una 
y sólo una pesa de cada uno de los tamaños 
1 kg 2 kg 4 kg 8 kg 16 kg 
Con ellas se puede pesar cualquier número 
exacto de kilogramos desde 1 a 31 kg. Copia y 
completa la siguiente tabla hasta la fila 31, 
indicando en cada paso las pesas necesarias de 
las que figuran en la cabecera de la tabla. 
16 8 4 2 
1 ./ 
2 ,/ 
3 ,/ ,/ 
4 ,/ 
5 ,/ ./ 
6 ,/ ,/ 
7 ,/ ./ ./ 
8 ./ 
9 ,/ ./ 
10 ,/ ./ 
11 ,/ ,/ ,/ 
12 ,/ ./ 
13 ./ ./ ,/ 
14 ../ ,/ ,/ 
15 ./ ,/ ,/ ./ 
16 ,/ 
17 ./ ,/ 
58 
1 3 5 7 
q 11 J3 15 
11 lq 21 23 
15 17 2q 31 
A continuación recorta cinco tarjetas cuadradas 
idénticas, digamos de 10 por 10 cm, y apunta en la primera 
los pesos de la tabla para los que se necesita la pesa de 1 kg; 
el resultado, si lo has hecho con cuidado, debe ser como el 
de la figura. 
En la segunda tarjeta escribe los números 
correspondientes a los pesos para cuya pesada fue necesario 
utilizar la pesa de 2 kg (es decir 2,3,6, 7,10, 11, etc.). En la 
tercera tarjeta escribe todos los números correspondientes a 
pesos para los que se necesitó la pesa de 45 kg, y así en las 
siguentes. 
Así pues, tienes cinco tarjetas con dieciséis números en 
cada una. Comprueba si las has hecho bien, consultando la 
segunda parte del libro. 
El juego consiste en pedir a un amigo que piense un 
número del 1 al 31, y, a continuación, mostrarle por orden las 
cinco tarjetas anteriores. Al ver cada tarjeta debe decir «sí» o 
«no» según figure o no en ella el número pensado. «¿Cómo?», 
te preguntarás sorprendido. 
Supón que tu amigo ha pensado el número 21; entonces 
aparecerá en tres tarjetas, la correspondiente a la pesa de 
1 kg, la de 4 kg y la ,de 16 kg. Todo lo que tienes que hacer es 
sumar 1 + 4 + 16, los números correspondientes a las 
tarjetas a las que tu amigo ha respondido «sí», para hallar el 
número pensado, 21. Es conveniente, para no hacerse un lío, 
apuntar por detrás de cada tarjeta el número correspondiente 
1,2,4,80 16, de manera que tú puedas verlo, pero lo más 
pequeño posible para que tus amigos no se den cuenta. 
Después puedes ir enseñando las tarjetas en cualquier 
orden, y sin ver siquiera la cara de la tarjeta que enseñas a tu 
amigo, cosa que le sorprenderá aún más. 
Practica antes con alguien de tu familia, para coger soltura 
y dominar bien la técnica. 
Puedes repetir todo lo que hemos hecho, pero partiendo 
de una pesa adicional de 32 kg Yprolongando la lista hasta el 
número 63. En este caso te saldrán seis tarjetas de 32 
números cada una, pero todo lo demás es igual. 59 
105 Cuadrados mágicos 3 X 3 
Un cuadrado mágico consiste en un cuadro de números tal que 
todas las filas, columnas y diagonales den la misma suma. Así, el 
cuadrado a) es mágico, porque todas sus líneas suman 24, su 
número mágico. 
Completa los cuadrados mágicos b) Y e), empezando por 
calcular su número mágico a partir de alguna de sus líneas que esté 
completa. a) 
6 
7 5 3 
10 
7 
4 5 
b) e) 
Intenta ahora lo mismo con los cuadrados d) y e), en los que 
conoces más números, pero también hay que pensar algo más. 
14 3 
13 
8 15 
11 1 
9 7 
15 5 
d) el 
11 3 10 
7 8 9 
6 13 5 
La construcción de cuadrados mágicos es un pasatiempo 
antiquísirno que se remonta a la antigua China. Así, por ejemplo, se 
atribuye el cuadrado mágico básico f) al emperador chino Yu, que 
reinó hacia el 2200 a. de C. La fascinación que ejercen estos 
cuadrados no ha disminuido con el paso del tiempo, como vienen a 
demostrar las publicaciones recientes sobre el tema. 
Todos los cuadrados mágicos 3 X 3 obedecen esencialmente 
al mismo esquema, el de la distribución de los nueve dígitos 1, 2, 
3'00" 9 en el cuadrado básico f). f) 
A partir de éste se pueden formar otros cuadrados mágicos 
aumentando todos los números en un número dado, por ejemplo el 
6. Otra alternativa es sustituir los números 1 a 9 por los nueve 
primeros impares 1,3,5,..., 17. 
Hay otra manera muy interesante de generar un conjunto de 
nueve números que puedan formar un cuadrado mágico 3 X 3 y que 
no es tan secilla. 
8 1 6 
3 5 7 
4 9 2 
60 
Escoge un número cualquiera, por ejemplo el 3, y otros dos 
números distintos, por ejemplo el 2 y el 5, que se le irán sumando 
repetidamente a13 (el 5 por filas y el 2 por columnas) tal como se 
indica. 
+5 +5 
~~ 
+2t3 8 13 
+2~5 10 15 
7 12 17 
Ordénalos de menor a mayor, por filas, 
3,8,13,5,10,15,7,12,17 
los colocas, por este orden, en lugar de 1, 2, 3, ..., 9 del cuadrado
 
básico, y obtendrás el cuadrado mágico g), cuyo número mágico es
 
30.
 
Ahora ya puedes construir otros cuadrados mágicos.
 
¿Crees que este método valdría para números decimales o
 
negativos? ¿Podrías demostrar que el método es válido en general? g) 
12 3 15 
13 10 7 
5 17 8 
61 
106 Cuadrados mágicos 4 X 4, Y mayores 
La primera prueba de que en Europa se estudiaban los cuadrados 
mágicos es de comienzos del siglo xv. Agrippa construyó cuadrados 
mágicos de todos los tamaños del 3 X 3 al 9 X 9, asociándolos a los 
planetas de nuestro sistema solar. Las gentes de todas las épocas han 
cultivado siempre un cierto misticismo numérico (muchos creen que el 13 
trae mala suerte), y los cuadrados