Prueba 2 2011 I - Erick Noguéz Vera

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE
FACULTAD DE MATEMÁTICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
MAT210E. Cálculo I
Interrogación N◦ 2 V.20.05.11
Solucionario
(1) (a) Sea f(x) =
{
a sen x + b si : x ≤ π
x2 + 2x + a si : x > π .
(i) Encuentre alguna relación entre a y b para que f sea continua en R.
(ii) Determine valores de a y b para que f no sea derivable en x = π.
(b) Demuestre que la ecuación
√
x =
1
x + 8
tiene al menos una solución real.
Solución:
Para (a):
Para (i):
Deberá tenerse:
ĺım
x→π−
(a sen x+b) = ĺım
x→π+
(x2+2x+a) ⇐⇒ a sen π+b = π2+2π+a ⇐⇒ b = π2+2π+a.
Para (ii):
Por el teorema de que diferenciable implica continua, basta que la función no sea
continua en x = π, luego eligiendo cualquier valor de a, b que no satisfaga b =
π2 + 2π + a se tendrá lo pedido, por ejemplo a = 1, b = π2 + 2π.
También pueden usar la definición: se pide que
ĺım
h→0
f(π + h)− f(π)
h
no exista
y para ésto es suficiente que uno de los ĺımites laterales no exista, o que en caso de
existir sean distintos.
Se tiene:
ĺım
h→0−
f(π + h)− f(π)
h
= ĺım
h→0−
a sen(π + h) + b− (a sen(π) + b)
h
= ĺım
h→0−
a cos(π) sin(h)
h
= −a.
1
ĺım
h→0+
f(π + h)− f(π)
h
= ĺım
h→0+
(π + h)2 + 2(π + h) + a− (a sen(π) + b)
h
= ĺım
h→0+
π2 + 2πh + h2 + 2π + 2h + a− b
h
= ĺım
h→0+
π2 + 2π + a− b + h2 + 2πh + 2h
h
= ĺım
h→0+
π2 + 2π + a− b
h
+
h2 + 2πh + 2h
h
= ĺım
h→0+
π2 + 2π + a− b
h
+ h + 2π + 2,
y este último ĺımite no existe si por ejemplo π2 +2π+a−b 6= 0. Si π2 +2π+a−b = 0,
entonces el ĺımite existe y vale 2π + 2, en cuyo caso, para que f no sea derivable en
x = π se necesita que a 6= −2π − 2.
Para (b):
Consideramos la función f(x) =
√
x − 1
x + 8
. Se tiene que f es continua, y además
tenemos que f(0) = −1
8
< 0 y f(1) = 1− 1
9
=
8
9
> 0. Luego, por el teorema del valor
intermedio resulta que existe x0 ∈
[
0, 1
]
tal que f(x0) = 0, o sea
√
x0 =
1
x0 + 8
.
(2) (a) ¿Para qué valores de a, b, c ∈ R se tiene que los gráficos asociados a las funciones
f(x) = x2 + ax + b y g(x) = x3 + cx tienen una recta tangente común en el
punto P0(2, 2)?
(b) Calcule ĺım
x→−∞
√
2x2 + 3
4x + 2
.
Solución:
Para (a):
En primer lugar tenemos que.
(2 = 4 + 2a + b , 2 = 8 + 2c) ⇒ (2a + b = −2 , c = −3).
En segundo lugar deberá cumplirse:
f ′(2) = g′(2) ⇒ 2 · 2 + 2a = 3 · 22 ⇒ a = 4,
luego, utilizando lo anterior, resulta b = −10. Aśı, la respuesta es a = 4, b = −10,
c = −3.
Para (b):
ĺım
x→−∞
√
2x2 + 3
4x + 2
= ĺım
y→∞
√
2(−y)2 + 3
4(−y) + 2 = ĺımy→∞
√
2y2 + 3
2− 4y ·
√
2y2 + 3√
2y2 + 3
=
= ĺım
y→∞
2y2 + 3
(2− 4y)
√
2y2 + 3
= ĺım
y→∞
2 + 3y2(
2
y − 4
) √
2 + 3y2
= −
√
2
4
.
2
(3) Sabiendo que la ecuación ln(x + y + 1) + xey = 0 define impĺıcitamente a y como
función de x y que y(0) = 0. Calcule y′(0) e y′′(0).
Solución:
Tenemos que al derivar resulta:
1 + y′
x + y + 1
+ ey + xeyy′ = 0,
y como cuando x = 0 se tiene y(0) = 0, se consigue:
1 + y′(0)
0 + 0 + 1
+ e0 + 0 · e0 · y′(0) ⇒ y′(0) = −2.
Derivando por segunda vez se obtiene:
y′′(x + y + 1)− (1 + y′)2
(x + y + 1)2
+ 2y′ey + xey(y′)2 + xeyy′′ = 0,
y como en x = 0 se tiene y(0) = 0 e y′(0) = −2 se deduce que:
y′′(0)(0 + 0 + 1)− (1− 2)2
(0 + 0 + 1)2
+2 ·(−2) ·e0 +0 ·e0 ·(−2)2 +0 ·e0 ·y′′(0) = 0 ⇒ y′′(0) = 5.
(4) Calcule f ′(x) sabiendo que f(x) = tg
(
sen x + ex
2
cos x + ex
)
.
Solución:
Utilizando, al derivar, la regla de la cadena resulta:
f ′(x) = sec2
(
sen x + ex
2
cos x + ex
)
· (cos x + 2xe
x2)(cos x + ex)− (senx + ex2)(ex − sen x)
(cos x + ex)2
=
3