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MAT1610 — Cálculo I
Luis Dissett
Facultad de Matemáticas
Pontificia Universidad Católica de Chile
Clase 23 — Integral de Riemann (cont).
La variable de integración
Note que la variable x que aparece en la notación∫ b
a
f (x)dx
(la que llamamos variable de integración) es una variable
muda: puede ser reemplazada por cualquier variable que no se
use en f (x) (el integrando) sin producir cambios.
O sea: ∫ b
a
f (x)dx =
∫ b
a
f (z)dz =
∫ b
a
f (u)du
y así sucesivamente.
Ejemplo
Calcularemos
∫ b
a f (x)dx si f (x) = K, K constante.
Solución:
Sea Π = (P1,P2, . . . ) una sucesión de particiones de [a, b] con
la propiedad de que lim
k→∞
||Pk|| = 0.
Si, dada una partición Pk = (x0, x1, . . . , xn) de esta secuencia
elegimos puntos α1 ∈ [x0, x1], α2 ∈ [x1, x2], . . . , αn ∈ [xn−1, xn],
entonces la suma de Riemann correspondiente es
S(f ; a, b; (x0, x1, . . . , xn); (α1, α2, . . . , αn)) =
n∑
i=1
f (αi)∆xi
=
n∑
i=1
K∆xi = K
n∑
i=1
∆xi = K
n∑
i=1
(xi − xi−1) = K(xn − x0) = K(b− a).
Conclusión del ejemplo:
∫ b
a Kdx.
Como todas las sumas de Riemann son iguales a K(b− a), los
límites de S(f ; a, b;Pk,Ak) son todos iguales a K(b− a), por lo
que ∫ b
a
f (x)dx =
∫ b
a
Kdx = K(b− a).
Corolario
Tomando K = 1 en lo anterior, se obtiene
∫ b
a
dx = (b− a).
Interpretaciones de la integral
Las integrales pueden ser interpretadas, al menos, de tres
maneras distintas:
Interpretación geométrica: La integral entendida como área
bajo una curva (o entre la curva y el eje x
(considerando los signos).
Interpretación como promedio: Dada una función f definida
sobre un intervalo de largo L, cada suma de
Riemann de la función
f
L
corresponde a un
promedio ponderado de algunos valores de la
función (¿cuáles serían los ponderadores?).
Así, la integral sería un límite de promedios, y por
lo tanto corresponde a un “promedio general” de
la función en el intervalo.
Interpretaciones de la integral (cont.)
Interpretación cinemática: Si la función f corresponde a la
velocidad de un móvil en movimiento rectilíneo,
entonces
∫ b
a
f (t) dt es el desplazamiento total del
móvil entre los instantes t = a y t = b.
Pregunta: ¿qué pasa si f representa la
aceleración?
Aditividad de la integral
Sea f ∈ R[a,b], y sea c tal que a < c < b. Entonces f ∈ R[a,c],
f ∈ R[c,b] y ∫ b
a
f (x)dx =
∫ c
a
f (x)dx +
∫ b
c
f (x)dx. (1)
Bosquejo de la demostración
Supongamos que f ∈ R[a,b], sea Π = (P1,P2, . . . ) una sucesión
de particiones cuya norma tiende a 0, y sea A = (A1,A2, . . . )
una sucesión de elecciones de puntos donde Ak es una
elección de puntos de los respectivos intervalos de Pk.
Entonces podemos formar dos nuevas sucesiones
Π′ = (P ′1,P ′2, . . . ) y A′ = (A′1,A′2, . . . ) como sigue:
I En Pk, si xi = c entonces P ′k = Pk y A′i = Ai.
I Si en P se tiene c 6= xi para todo i, entonces formamos P ′k
agregándole c a los puntos de Pk, y agregando un punto
αi = c a la elección A′i.
Bosquejo de la demostración (cont.)
Es fácil ver que la norma de P ′k tiende a cero, por lo que la
suma de la izquierda converge a
∫ b
a f (x)dx.
También se ve que cada suma S(f ; a, b;P ′k,A′k) puede ser
escrita como
S(f ; a, b;P ′k,A′k) = S(f ; a, c;P ′k,A′k) + S(f ; c, b;P ′k,A′k),
por lo que si las sumas de la derecha convergen —y de ser
así, necesariamente lo hacen a
∫ c
a f (x)dx y a
∫ b
c f (x)dx
respectivamente— entonces se tiene la igualdad.
Un poco más difícil es darse cuenta de que, si f /∈ R[a,c] o
f /∈ R[c,b] entonces sería posible construir dos sucesiones de
particiones (con normas tendientes a cero) de [a, b] cuyas
sumas de Riemann converjan a dos distintas (o no converjan).
Extendiendo la definición
Hasta aquí hemos definido
∫ b
a
f (x)dx sólo para a < b.
Si queremos definir
∫ b
a
f (x)dx para los casos en que b ≤ a, en
forma tal que se siga cumpliendo (1), debe tenerse∫ a
a
f (x)dx = 0 y
∫ b
a
f (x)dx = −
∫ a
b
f (x)dx si b < a.
Justificación de la definición
En efecto, si existe
∫ a
a
f (x)dx y se cumple la aditividad, debe
tenerse ∫ b
a
f (x)dx =
∫ a
a
f (x)dx +
∫ b
a
f (x)dx,
de donde
∫ a
a
f (x)dx = 0.
Del mismo modo, si b < a y existe
∫ b
a
f (x)dx entonces (para
que se cumpla la aditividad) debe tenerse
0 =
∫ a
a
f (x)dx =
∫ b
a
f (x)dx +
∫ a
b
f (x)dx,
de donde el valor de
∫ b
a
f (x)dx debe ser −
∫ a
b
f (x)dx.
Álgebra de integrales
Sean f , g ∈ R[a,b] y β ∈ R, entonces:
(i)
∫ b
a
βf (x)dx = β
∫ b
a
f (x)dx
(ii)
∫ b
a
(f (x) + g(x)) dx =
∫ b
a
f (x)dx +
∫ b
a
g(x)dx
Demostración.
Ejercicio (es inmediata de la definición de integral y de las
propiedades de linealidad del límite y de la sumatoria).
Álgebra de integrales (cont.)
Observación
De (i) y (ii), se tiene que, para todo α, β ∈ R,∫ b
a
(αf (x) + βg(x)) dx = α
∫ b
a
f (x)dx + β
∫ b
a
g(x) dx.
Además, si se considera α = 1 y β = −1, entonces se tiene
que: ∫ b
a
(f (x)− g(x)) dx =
∫ b
a
f (x)dx−
∫ b
a
g(x)dx.
Propiedades de las integrales
(a) Si f ∈ R[a,b] y ∀x ∈ [a, b] se tiene f (x) ≥ 0, entonces:∫ b
a
f (x)dx ≥ 0.
Demostración.
Inmediata, pues dada cualquier partición y elección de puntos,∑
i
f (αi)∆xi ≥ 0, por lo que
∫ b
a f ≥ 0
(b) Si f , g ∈ R[a,b] y ∀x ∈ [a, b] se tiene f (x) ≤ g(x), entonces:∫ b
a
f (x)dx ≤
∫ b
a
g(x)dx.
Demostración.
Basta considerar h(x) = g(x)− f (x), usar (a) y la linealidad de la
integral.
Propiedades de las integrales (cont.)
(c) Si f ∈ R[a,b] y ∀x ∈ [a, b] se tiene m ≤ f (x) ≤ M, entonces:
m(b− a) ≤
∫ b
a
f (x)dx ≤ M(b− a)
Demostración.
Usar (b) y el hecho de que
∫ b
a
dx = (b− a).
Teorema de existencia
Un resultado sumamente importante, que no demostraremos,
es el siguiente:
Teorema (Teorema de Existencia de la integral)
Sea f : [a, b]→ R una función continua en [a, b]. Entonces
existe ∫ b
a
f (x)dx.
La importancia de este teorema es la siguiente: a partir de este
momento, si f : [a, b]→ R es continua, entonces nos basta
encontrar una sucesión Π = (Pk) de particiones tal que
lim
k→∞
||Pk|| = 0 y una sucesión de elecciones A = (Ak) para que
∫ b
a
f (x) dx = lim
k→∞
S(f ; a, b;Pk,Ak).
Discontinuidades
¿Qué pasa si f : [a, b]→ R es acotada, pero es discontinua en
c ∈ (a, b)?
En este caso,
∫ b
a
f (x) dx =
∫ c
a
f (x) dx +
∫ b
c
f (x) dx.
Bosquejo de la demostración
Ya que la diferencia de alturas de los rectángulos que
contienen a c en su base es a lo más M − m (con M,m las
cotas superior e inferior de f en [a, b]), y sus bases tienden a
cero, la diferencia de áreas entre dos sumas de Riemann debe
irse a cero, por lo que las sucesiones deben tender a lo mismo;
así, se tiene f ∈ R[a,b] y:∫ b
a
f (x)dx =
∫ c
a
f (x)dx +
∫ b
c
f (x)dx.
O sea, una función con una discontinuidad en [a, b] es
integrable “a pedazos”.
Discontinuidades (cont.)
Por supuesto, si f tiene una cantidad finita cualquiera de
discontinuidades en [a, b] entonces f es integrable en [a, b],
simplemente cortando el dominio en tantos pedazos como
determine la cantidad de discontinuidades (si hay n
discontinuidades, hay que tomar n + 1 pedazos). Esto se
puede demostrar por inducción.
Un resultado quizás más sorprendente que los anteriores es el
siguiente:
Teorema
Si f tiene una cantidad infinita de discontinuidades en [a, b],
pero el conjunto de discontinuidades de f en [a, b] puede ser
expresado como una sucesión de números reales (xn)n∈N,
entonces f es integrable en [a, b].
Importancia del teorema de existencia
Gracias al teorema de existencia, es posible calcular
∫ b
a f (x)dx
para cualquier función continua, simplemente eligiendo una
sucesión de particiones (Pn) y una sucesión (An) de
elecciones de puntos en los intervalos de cada una de dichas
particiones, y calculando el límite de las sumas de Riemann
cuando n tiende a infinito.
Ejemplo: Cálculo de
∫ b
a x dx
Calculemos
∫ b
a x dx usando sumas de Riemann.
Para ello, consideremos la partición Pn:
x0 = a, x1 = a+
b− a
n
, x2 = a+
2(b− a)
n
, . . . , xn = a+
n(b− a)
n
= b,
y en cada intervalo [xi−1, xi] = [a +
(i−1)(b−a)
n , a +
i(b−a)
n ],
tomemos elextremo derecho, o sea, el punto
αi = xi = a +
i(b−a)
n . A esta elección de puntos la llamaremos
An. Note que, para la partición Pn, tenemos
∆xi = xi − xi−1 =
b− a
n
.
Cálculo de
∫ b
a x dx (cont.)
Para la partición Pn, con la elección dada por An, la suma de
Riemann correspondiente es
S(f ; a, b;Pn,An) =
n∑
i=1
f
(
a +
i(b− a)
n
)
∆xi
=
n∑
i=1
(
a +
i(b− a)
n
)(
b− a
n
)
=
n∑
i=1
a · (b− a)
n
+
(b− a)2
n2
n∑
i=1
i
= n
(
a · (b− a)
n
)
+
(b− a)2
n2
· n(n + 1)
2
= a(b− a) + (b− a)
2
2
· (n + 1)
n
.
Cálculo de
∫ b
a x dx (cont.)
Así, el valor de
∫ b
a x dx es
lim
n→∞
S(f ; a, b;Pn,An) = lim
n→∞
a(b− a) + (b− a)
2
2
· (n + 1)
n
= a(b− a) + (b− a)
2
2
=
b2 − a2
2
.
Progresión aritmética y progresión geométrica
Hemos visto cómo calcular
∫ b
a K dx e
∫ b
a x dx usando como
partición Pn aquella en que xi = a + i(b−a)n . Notamos que para
esta partición, ∆xi = b−an , es decir, ∆xi es el mismo sin
importar el valor de i.
En el curso de introducción al cálculo (o álgebra) se vio que
una colección de valores x0, x1, x2, . . . , xn en que el valor de
xi − xi−1 no depende de i es lo que se llama una progresión
aritmética.
Progresión aritmética y progresión geométrica (cont.)
Muchos resultados de cálculo de integrales por definición
(aparte de los ya vistos) pueden ser obtenidos con particiones
en que los extremos de los intervalos están en progresión
aritmética; entre éstos podemos citar:
I
∫ b
a
x2 dx (¡ejercicio!) y I
∫ b
a
sen x dx.
Sin embargo, hay funciones f (x) para las que no es posible
calcular
∫ b
a f (x) dx usando particiones en progresión aritmética,
y es necesario recurrir a particiones de [a, b] en progresión
geométrica.
Particiones en progresión geométrica
Mostraremos una integral que es difícil (si no imposible) de
calcular si no es usando una partición en que los extremos de
los intervalos están en progresión geométrica.
Sea k ∈ N, k > 2, y sean a, b ∈ R tales que 0 < a < b.
Queremos calcular
∫ b
a x
k dx.
Para cada n ∈ N, consideraremos la partición Pn en que x0 = a,
y para cada i ∈ N tal que 1 ≤ i ≤ n se tenga
xi
xi−1
=
n
√
b
a
.
Si llamamos qn a la cantidad n
√
b
a , entonces xi = a · (qn)
i
= a ·
(
n
√
b
a
)i
por lo que xn = a · ba = b; es decir,
Pn = (x0, x1, . . . , xn) es una partición de [a, b]. Nótese que, ya
que en Pn la razón entre los extremos de cada intervalo es
qn = n
√
b/a, los puntos xi están en P.G. de razón qn.
La integral de xk
La suma de Riemann de f (x) = xk obtenida tomando la
elección An dada por αi = xi vale
S(f ; a, b;Pn,An) =
n∑
i=1
f (αi) ·∆xi =
n∑
i=1
(
a · (qn)i
)k · (xi − xi−1)
=
n∑
i=1
ak(qn)ik
(
a · (qn)i − a · (qn)i−1
)
= ak+1(qn − 1)
n∑
i=1
(qn)ik(qn)i−1
= ak+1
(qn − 1)
qn
n∑
i=1
(qn)ik(qn)i
= ak+1
(qn − 1)
qn
n∑
i=1
(
(qn)k+1
)i
.
La integral de xk (cont.)
Veíamos que la suma de Riemann es
S(f ; a, b;Pn,An) = ak+1(qn)k(qn − 1)
n−1∑
i=0
(
(qn)k+1
)i
ak+1(qn)k(qn − 1)
=
n−1∑
i=0
(
(qn)k+1
)i
= ak+1(qn)k(qn − 1) ·
(
(qn)k+1
)n − 1
(qn)k+1 − 1
=
(qn)k · ak+1 ·
{(
(qn)k+1
)n − 1}
(qn)k+1 − 1
qn − 1
.
Pero (
(qn)k+1
)n − 1 = ((qn)n)k+1 − 1 = (ba
)k+1
− 1,
por lo que
ak+1 ·
{(
(qn)k+1
)n − 1} = bk+1 − ak+1.
La integral de xk (cont.)
Así,
S(f ; a, b;Pn,An) =
(qn)k ·
(
bk+1 − ak+1
)
(qn)k+1 − 1
qn − 1
=
(qn)k ·
(
bk+1 − ak+1
)
(qn)k + (qn)k−1 + (qn)k−2 + · · ·+ (qn)2 + qn + 1
.
De esta última expresión, ya que lim
n→∞
qn = 1, vemos que
lim
n→∞
S(f ; a, b;Pn,An) =
1 ·
(
bk+1 − ak+1
)
1k + 1k−1 + 1k−2 + · · ·+ 12 + 11 + 1
=
bk+1 − ak+1
k + 1
.
O sea, ∫ b
a
xk dx =
bk+1 − ak+1
k + 1
.
Usando integrales para calcular límites
Una aplicación del cálculo de integrales (cuando sepamos
calcularlas) es el cálculo de algunos límites que pueden ser
expresados como límites de sumas de Riemann de funciones
continuas.
En una primera etapa, nos contentaremos con simplemente
expresar dichos límites como integrales definidas.
Ejemplo
Queremos calcular lim
n→∞
n∑
k=1
n
k2 + n2
.
Tomando f (x) =
1
x2 + 1
, tenemos
lim
n→∞
n∑
k=1
n
k2 + n2
= lim
n→∞
n∑
k=1
n2
k2 + n2
· 1
n
= lim
n→∞
n∑
k=1
1
1 + k2n2
· 1
n
= lim
n→∞
n∑
k=1
f
(
k
n
)
· 1
n
=
∫ 1
0
dx
x2 + 1
.