em192_clase12_control_optimo_tiempo_discreto - Bárbara Bautista Aguilar

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Econom´ıaMatem´atica–EAE-319B
Control ÓptimoenTiempoDiscreto
JaimeCasassus
InstitutodeEconom´ıa
PontificiaUniversidadCat´olicadeChile
Casassus(UC) EAE-319B-Econom´ıaMatem´atica 25-Nov-19
Problema de Optimización
• Suponga que existen n variables de estado x(t) = (x1(t), · · · , xn(t)) y m variables
de control u(t) = (u1(t), · · · , um(t)).
• Usted busca maximizar la siguiente función objetivo
max
u(t)
T∑
t=0
F (x(t), u(t))
sujeto a
x(t + 1) = x(t) + f (x(t), u(t))
x(0) = x0
u(t) ∈ U
Casassus (UC) EAE-319B - Econoḿıa Matemática 25-Nov-19
Teorema: El Principio del Máximo de Pontryagin
• Sea H el “Hamiltoniano” del problema de optimización:
H(x(t), u(t), λ(t + 1)) = F (x(t), u(t)) + λ(t + 1)>f (x(t), u(t))
donde λ es una variable auxiliar (conocida como variable “adjunta”)
• Suponga que u(t) y x(t) representan las dinámicas óptimas del problema anterior.
• Entonces, existe una trayectoria adjunta óptima λ(t), tal que u(t), x(t) y λ(t)
satisfacen las siguientes condiciones:
1. x(t + 1) = x(t) + f (x(t), u(t)) (n ecuaciones de sistema)
2. x(0) = x0 (n condiciones iniciales)
3. −λ(t + 1) = −λ(t) + DHx(x(t), u(t), λ(t + 1)) (n ODE’s adjuntas)
4. λ(T + 1) = 0 (solo si X (T + 1) es libre)
5. H(x(t), v(t), λ(t + 1)) ≤ H(x(t), u(t), λ(t + 1)), para cualquier v(t) ∈ U
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Ejemplo 1
• Usted quiere maximizar max
c(t)
2∑
t=0
√
c(t)
1.1t+1
sujeto a x(t + 1) = 1.2x(t)− c(t) con x(0) = 100 y x(3) = 0
• Sea el Hamiltoniano
H(x(t), c(t), λ(t + 1), t) =
√
c(t)
1.1t+1
+ λ(t + 1)(0.2x(t)− c(t))
• La dinámica óptima de λ(t) es (sin condición final):
−λ(t + 1) = −λ(t) + 0.2λ(t + 1) =⇒ λ(t) = K
1.2t
• Sabemos que c maximiza el Hamiltoniano, por lo tanto
∂H(t)
∂c(t)
=
1
2
√
c(t)1.1t+1
− K
1.2t+1
= 0 =⇒ c(t) = 1
4K 2
(
1.2
1.1
)2(t+1)
• Resolviendo x(t + 1) = 1.2x(t)− 1
4K2
(
1.2
1.1
)2(t+1)
y usando x(0) y x(3) se tiene
K−2 = 135.56 =⇒

c(0) = 40.33
c(1) = 48.00
c(2) = 57.12
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Tarea
• Usted quiere maximizar el siguiente problema estático
max
c0,c1,c2
√
c0
1.1
+
√
c1
1.12
+
√
c2
1.13
sujeto a
x1 = 120− c0
x2 = 1.2x1 − c1
x3 = 1.2x2 − c2 = 0
• Use multiplicadores de Lagrange λ1, λ2 y λ3.
• Demuestre que la solución óptima es
c0 = 40.33
c1 = 48.00
c2 = 57.12
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Ejemplo 2
• Usted quiere maximizar
max
c(t)
T∑
t=0
u(c(t))
sujeto a
W (t + 1) = g(W (t)− c(t)) con W (0) = W0 y W (T + 1) = 0
• Sea el Hamiltoniano
H(W (t), c(t), λ(t + 1)) = u(c(t)) + λ(t + 1)(g(W (t)− c(t))−W (t))
• La dinámica óptima de λ(t) es (sin condición final):
−λ(t+1) = −λ(t)+λ(t+1)(g ′(W (t)−c(t))−1)⇒ λ(t) = λ(t+1)g ′(W (t)−c(t))
• Sabemos que c maximiza el Hamiltoniano, por lo tanto
∂H(t)
∂c(t)
= u′(c(t))−λ(t+1)g ′(W (t)−c(t)) = 0⇒ u′(c(t)) = λ(t+1)g ′(W (t)−c(t))
• Usando las últimas 2 ecuaciones se obtiene una Ecuación de Euler
u′(c(t)) = u′(c(t + 1))g ′(W (t)− c(t))
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Ejemplo 2 (cont.)
• Suponga que
u(c) =
c1−γ − 1
1− γ ⇒ u
′(c) = c−γ
g(x) = µ xα ⇒ g ′(x) = µα xα−1
• Ecuación de Euler
c(t)−γ = c(t + 1)−γµα (W (t)− c(t))α−1
• Si α = 1, entonces c(t + 1) = c(t)µ1/γ ⇒ c(t) = K µt/γ
• Resolviendo la dinámica de la riqueza W (t)
W (t + 1) = µ
(
W (t)− K µt/γ
)
⇒W (t) = µt
(
W (0)− K µ
t(−1+1/γ) − 1
1− µ−1+1/γ
)
• y usando W (0) = W0 y W (T + 1) = 0 se obtiene
K = W0
1− µ−1+1/γ
µ(T+1)(−1+1/γ) − 1
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