em192_clase11_control_optimo_tiempo_continuo_parte2 - Bárbara Bautista Aguilar

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Econom´ıaMatem´atica–EAE-319B
Control ÓptimoenTiempoContinuo-Parte2
JaimeCasassus
InstitutodeEconom´ıa
PontificiaUniversidadCat´olicadeChile
Casassus(UC) EAE-319B-Econom´ıaMatem´atica 20-Nov-19
Restricciones Terminales
• ¿Qué pasa cuando se impone que x(T ) = xT?
◦ x(T ) ya no es una variable de control, por lo tanto ∂J0
∂x(T )
6= 0
⇒ la condición terminal para λ(T ) se reemplaza por x(T ) = xT
• Suponga que existen r ≤ n restricciones terminales xi (T ) = xiT
• Las condiciones del Principio del Máximo de Pontryagin para las trayectorias
óptimas u(t), x(t) y λ(t) son:
1. x ′(t) = f (x(t), u(t))
2a. x(0) = x0
2b. xi (T ) = xiT para i = 1, . . . , r
3. −λ′(t) = DHx(x(t), u(t), λ(t))
4. λi (T ) = Dψx(x(T ))i para i = r + 1, . . . , n
5. H(x(t), v(t), λ(t)) ≤ H(x(t), u(t), λ(t)), para cualquier v(t) ∈ U
donde H(x , u, λ) es el Hamiltoniano del problema
Casassus (UC) EAE-319B - Econoḿıa Matemática 20-Nov-19
Ejemplo 1
• Usted quiere maximizar
max
u(t)
−
∫ 1
0
√
1 + u(t)2dt
sujeto a
x ′(t) = u(t) con x(0) = 0 y x(1) = 1
• Sea el Hamiltoniano
H(x , u, λ) = −
√
1 + u2 + λ u
• La dinámica óptima de λ(t) es (sin condición final porque r = n = 1):
−λ′(t) = ∂H(t)
∂x(t)
= 0 =⇒ λ(t) = K constante
• Sabemos que u maximiza el Hamiltoniano, por lo tanto
∂H(t)
∂u(t)
= − u(t)
2
√
1 + u(t)2
+ K = 0 =⇒ u(t) = B constante
• Integrando x ′(t) = B se obtiene x(t) = A + B t y usando x(0) y x(1) se tiene
x(t) = t y u(t) = 1
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Ejemplo 2
• Usted quiere maximizar
max
u(t)
−
∫ 1
0
u(t)2
2
dt
sujeto a
x ′(t) = x(t) + u(t) con x(0) = 3 y x(1) = 10
• Aqúı el Hamiltoniano es: H(x , u, λ) = − u
2
2
+ λ(x + u)
• La dinámica óptima de λ(t) es (sin condición final porque r = n = 1):
−λ′(t) = λ(t) =⇒ λ(t) = C e−t
• pero u maximiza el Hamiltoniano
∂H(t)
∂u(t)
= −u(t) + λ(t) = 0 =⇒ u(t) = λ(t) = C e−t
• Integrando x ′(t) = x(t) + C e−t =⇒ x(t) = −C
2
e−t + D et y usando x(0) y x(1)
C =
2(10− 3e)
e − e−1 y D =
10− 3e−1
e − e−1
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Ejemplo 3: mina de cobre
• Sea q(t) la producción de cobre y x(t) la cantidad extráıda hasta t
x(t) =
∫ t
0
q(s)ds =⇒ x ′(t) = q(t)
• Usted quiere maximizar el valor presente neto de la mina
max
q(t)
∫ T
0
e−r t
(
P q(t)− C q(t)
2
2
)
dt
sujeto a
x ′(t) = q(t) con x(0) = 0 y x(T ) = R (reservas totales)
• Aqúı el Hamiltoniano es: H(x , q, λ, t) = e−r t
(
P q − C q
2
2
)
+ λ q
• La dinámica óptima de λ(t) es (sin condición final porque r = n = 1):
−λ′(t) = 0 =⇒ λ(t) = K constante
• Sabemos que q maximiza el Hamiltoniano, por lo tanto
∂H(t)
∂q(t)
= e−r t(P − C q(t)) + K = 0 =⇒ q(t) = K e
r t + P
C
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Ejemplo 3: mina de cobre (cont.)
• Integrando
x ′(t) =
K er t + P
C
=⇒ x(t) = K
C
er t
r
+
P
C
t + A
• evaluando en x(0) y x(T ) se obtiene
A = −K
C
=⇒ K = r(R C − P T )
er T − 1
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Ejemplo 4: producción y almacenaje
• Usted quiere maximizar
max
u(t)
−
∫ T
0
(C1u(t)
2 + C2x(t))dt
sujeto a
x ′(t) = u(t) con x(0) = 0 y x(T ) = B
• Aqúı el Hamiltoniano es: H(x , u, λ) = −(C1u2 + C2x) + λ u
• La dinámica óptima de λ(t) es:
−λ′(t) = C2 =⇒ λ(t) = K + C2t
• Sabemos que u maximiza el Hamiltoniano
∂H(t)
∂u(t)
= −2C1u(t) + K + C2t = 0 =⇒ u(t) =
K + C2t
2C1
• Integrando x ′(t) = u(t) =⇒ x(t) = K
2C1
t + C2
2C1
t2 + A y usando x(0) y x(T )
A = 0 y K =
2C1B
T
− C2T
2
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Tiempo Terminal Libre
• ¿Qué pasa si uno pudiera elegir el tiempo terminal T?
• Se necesita la siguiente condición extra de optimalidad
H(x(T ), u(T ), λ(T )) = 0
• Intuición: usando la función Lagrangiana
J0 =
∫ T
0
H(x(t), u(t), λ(t))dt + ψ(x(T ))−
∫ T
0
λ(t) x ′(t)dt
• y derivando con respecto a T
∂J0
∂T
= 0 ⇐⇒ H(x(T ), u(T ), λ(T )) + ψ′(x(T ))x ′(T )− λ(T )x ′(T ) = 0
• pero ψ′(x(T )) = λ(T ), por lo tanto
H(x(T ), u(T ), λ(T )) = 0
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Ejemplo 5
• Usted quiere maximizar
max
u(t),T
−
∫ T
0
(u(t)2 + x(t) + u(t))dt
sujeto a
x ′(t) = x(t) + u(t) con x(0) = 4 y x(T ) = 8
• Aqúı el Hamiltoniano es: H(x , u, λ) = −(u2 + x + u) + λ(x + u)
• La dinámica óptima de λ(t) es:
−λ′(t) = −1 + λ(t) =⇒ λ(t) = 1 + B e−t
• Sabemos que u maximiza el Hamiltoniano
∂H(t)
∂u(t)
= −2u(t)− 1 + (1 + B e−t) = 0 =⇒ u(t) = B
2
e−t
• Integrando x ′(t) = x(t) + u(t) =⇒ x(t) = Aet − B
4
e−t y usando x(0) y x(T )
A = 4 +
B
4
y B =
4(8− 4eT )
eT − e−T
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Ejemplo 5 (cont.)
• Tiempo T óptimo satisface H(x(T ), u(T ), λ(T )) = 0, que se traduce en
−(u(T )2 + x(T ) + u(T )) + λ(T )(x(T ) + u(T )) = 0
pero x(T ) = 8 y λ(T ) = 1 + 2u(T ), por lo tanto
−(u(T )2 + 8 + u(T )) + (1 + 2u(T ))(8 + u(T )) = u(T )(u(T ) + 16) = 0
• dada la forma funcional de u(T ), hay dos soluciones:
◦ Si u(T ) + 16 = 0, entonces T = −0.69 < 0 (descartado)
◦ Si u(T ) = 0, entonces T = 0.69 (tiempo terminal óptimo!)
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