Mecánica Cuántica en Modelos Exactamente Resolubles - Gina Solorzano

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TEMA 3 MECÁNICA CUÁNTICA EN MODELOS 
EXÁCTAMENTE RESOLUBLES 
 
 
1. Introducción 
En este tema consideraremos algunos de los más importantes conceptos y resultados de 
la mecánica cuántica; todos ellos dentro del campo de lo que podríamos considerar 
aspectos matemáticos relativamente sencillos. Más adelante, cuando nos enfrentemos a 
conceptos concernientes con aspectos matemáticos un poco más complejos, podremos 
apoyarnos en la analogía con los sistemas más simples para facilitar la comprensión. 
 
 
2. La partícula libre 
Una partícula libre es aquella que no está sujeta a ninguna fuerza o barrera de potencial1 
y es libre para moverse en un espacio sin límites. Una partícula libre debe llevar, desde 
un punto de vista clásico, un movimiento rectilíneo; movimiento que haremos coincidir 
con el eje x. Así, la ecuación de Schrödinger para la partícula libre será 
 
 )()(
2 2
22
xE
dx
xd
m
ψψ =− h → 0)(2)( 22
2
=+ xmE
dx
xd ψψ
h
 (3.1) 
 
Si hacemos 
 2
2 2
h
mEk = (3.2) 
 
la ecuación (3.1) queda en la forma 
 
 0)()( 22
2
=+ xk
dx
xd ψψ (3.3) 
 
La solución general de la ecuación diferencial (3.3) es 
 
 senkxBkxA cos +=ψ (3.4) 
 
o equivalentemente2 
 
 )exp()exp( ikxDikxC −+=ψ (3.5) 
 
donde C y D son constantes distintas de A y B, respectivamente. 
 
 
1 Una partícula libre podría estar sometida a un potencial, pero entonces éste debería ser independiente de 
la posición; es decir, constante. Un potencial constante daría lugar a una energía potencial constante que 
únicamente supondría un escalado de la energía total de la partícula libre. Nosotros, para la partícula libre 
siempre supondremos V = 0. 
 
2 La equivalencia entre las ecuaciones (3.4) y (3.5) puede justificarse de la siguiente forma: 
De acuerdo con la identidad de Euler para números complejos, 
isenkxkxikx += cos)exp( y isenkkxikx −=− cos)exp( 
De las dos igualdades anteriores, sumando y restando, obtenemos 
 2/)}exp(){exp(cos ikxikxkx −+= y iikxikxsenkx 2/)}exp(){exp( −−= 
Con lo cual, 
ikxikxikxikx eDeCiBAeiBAeBsenkxkxA −− +=++−=+ 2/)(2/)(cos . 
 2
Las funciones )exp( ikx± son funciones propias del operador momento lineal 
dx
dih− , 
con valores propios kh± . Si tenemos en cuenta la ecuación (3.2) vemos que los valores 
propios kh± coinciden con mE2± ; es decir, con el momento lineal clásico px de una 
partícula libre con energía cinética E. De acuerdo con la relación de de Broglie, la 
longitud de onda asociada a una partícula libre será: 
 
 
mE
h
p
h
x 2
==λ . (3.6) 
 
El estado de la partícula libre en el que D = 0 (ver ecuación (3.5)) conduce a una 
función de onda ikxCe=ψ que representa una onda plana viajando en la dirección del 
eje x, con sentido hacia la derecha, y con momento lineal mEpx 2= . Por el contrario, 
si es C = 0, la función de onda es ikxDe−=ψ y representa una onda plana viajando en la 
dirección del eje x, con sentido hacia la izquierda, y con momento lineal mEpx 2−= . 
Para valores de C y D no nulos (ver ecuación (3.5)), el estado de la partícula consiste en 
la superposición de dos ondas planas que viajan ambas en el eje x pero que llevan 
sentidos contrarios. 
 
Puesto que la función de onda (3.5) no se anula para ningún valor x de ∞− a ∞+ , 
dicha función no puede ser normalizada en todo el espacio donde tiene presencia. Es 
fácilmente verificable que 
 
 ∫
∞
∞−
∞=dx *ψψ (3.7) 
 
El producto ψψ * representa la densidad de probabilidad, es decir, la probabilidad de 
encontrar la partícula en la unidad de longitud. Para una partícula libre, usando una de 
las dos funciones, ikxCe=ψ o ikxDe−=ψ , obtenemos ψψ * = constante (independiente 
de x); por lo tanto, la probabilidad de encontrar una partícula libre es la misma en 
cualquier punto del eje x. Esto es sinónimo de desconocer completamente cual es su 
posición ( ∞=Δx ). Lo cual, de acuerdo con el principio de incertidumbre, es coherente 
con el hecho de que conozcamos exactamente su momento lineal ( mEpx 2= si 
ikxCe=ψ o mEpx 2−= si 
ikxDe−=ψ ). 
 
Puesto que no hay ninguna restricción en la constante k (salvo que, de acuerdo con la 
ecuación (3.2), debe ser un número real), ésta puede tener un valor cualquiera. Esto 
implica que la energía de la partícula libre puede tener cualquier valor real positivo y, 
por consiguiente, no está cuantizada. 
 
 
3. La partícula en una caja monodimensional 
Si la partícula del apartado anterior es obligada a permanecer en una región finita del 
espacio definida por ax ≤≤0 (donde a es una longitud finita), entonces el sistema es 
conocido como “partícula en la caja”. Este sistema sirve como modelo simple de 
algunos sistemas reales de interés físico: movimiento de traslación de moléculas de 
 3
gases ideales3, electrones en la banda de conducción de los metales y electrones π en 
hidrocarburos conjugados y moléculas relacionadas. Puesto que el modelo de la 
partícula en la caja es matemáticamente simple, puede ser utilizado para la comprensión 
de conceptos mecanocuánticos importantes sin que corramos el peligro de perdernos en 
detalles matemáticamente engorrosos. Puede afirmarse que ningún otro sistema 
mecanocuántico es capaz de dar tanta información con tan poca manipulación 
matemática. 
 
La ecuación de Schödinger para la partícula en la caja es la misma que para la partícula 
libre si asumimos que el potencial dentro de la caja ( ax ≤≤0 ) es el mismo en cualquier 
punto (es decir, V = cte). Así, 
 
ψψψ EV
dx
d
m
=+− 2
22
2
h → 0 )(
2 2
22
=−+ ψψ VE
dx
d
m
h → 0)(2 22
2
=
−
+ ψψ
h
VEm
dx
d → 
 
 0 22
2
=+ ψψ k
dx
d (siendo 2
2 )(2
h
VEmk −= ) (3.8) 
 
(Normalmente tomaremos V = 0 dentro de la caja, pero si no fuera así, no es ningún 
problema ya que siempre podemos hacer VEE −=' ). 
 
Para asegurarnos de que la partícula permanece confinada dentro de la caja, 
supondremos un potencial infinito fuera de ella (es decir ∞=V si 0<x o ax > ). Esto 
nos permite escribir las siguientes condiciones de contorno: 
 
1. 0)( =xψ para x < 0 o x > a 
 2. 0)0( =ψ 
 3. 0)( =aψ 
 
Las condiciones 2 y 3 aseguran que la función de onda es continua en el intervalo 
∞+∞− a . 
 
Si tomamos la ecuación (3.4), BsenkxkxA += cosψ , como solución de la ecuación de 
Schrödinger, ecuación (3.8), el cumplimiento de la condición de contorno 2 ( 0)0( =ψ ) 
obliga a que la constante A de la función de onda sea cero. Así, la función de onda 
queda reducida a 
 Bsenkx=ψ (3.9) 
 
Por otra parte, el cumplimiento de la condición de contorno 3 exige que el argumento ka 
sea un múltiplo de π radianes4. Esta condición puede escribirse como 
 
 πnka = n = 1, 2, 3, … (3.10) 
 
De la ecuación (3.10) vemos que la constante k está cuantizada: 
 
 
a
nk π= n = 1, 2, 3, … (3.11) 
 
3 La partícula libre también puede servir como modelo para este tipo de sistemas siempre que la caja 
tenga una longitud muy grande. 
4El cumplimientote la condición de contorno 3 también se consigue haciendo B = 0, pero como A debe ser 
cero (para que se cumpla la condición de contorno 2), tendríamos ψ = 0, es decir, que, en contra de la 
hipótesis de partida, no habría partícula dentro de la caja. 
 4
Elevando (3.11) al cuadrado y sustituyendo 2k por el valor dado en la ecuación (3.8) 
tendremos 
 
 2
22
2
)(2
a
nVEm π
=
−
h
 
 
Si en la expresión anterior tomamos V = 0, sustituimos h por π2/h y despejamos E, 
obtenemos finalmente, 
 
2
22
8ma
nhE = (n = 1, 2, 3, …) (3.12) 
 
 
donde vemos claramente que, como consecuencia de la condición de contorno 3, la 
energía de la partícula en la caja está cuantizada (al igual que la constante k). 
 
De las ecuaciones (3.9) y (3.11), las soluciones de la ecuación de Schrödinger de la 
partícula en la caja, que cumplan las condiciones de contorno requeridas, son funciones 
del tipo 
 
 
a
xnBsenx πψ =)( n = 1, 2, 3, …(3.13) 
 
donde la constante B puede obtenerse normalizando la función. Así, 
 
 
2
 1 2
0
22
0
* aBdx
a
xnsenBdx
aa
=== ∫∫
πψψ → 
a
B 2= 
 
Llevando el valor obtenido de B a la ecuación (3.13) tendremos 
 
a
xnsen
a
x πψ 2)( = (n = 1, 2, 3, …) (3.14) 
 
 
Los números enteros n = 1, 2, 3, … son los números cuánticos de la partícula en la caja, 
análogos a los números cuánticos que aparecen en el átomo de Borh; con la diferencia 
de que aquí tales números cuánticos no deben postularse a priori, sino que surgen de 
forma natural como consecuencia de las condiciones de contorno. 
 
En la figura 3.1 se muestran las tres primeras funciones (ψ1, ψ 2 y ψ 3, para n = 1, 2 y 3, 
respectivamente) y sus respectivos cuadrados (densidades de probabilidad). Nótese que 
tanto nψ como 
2
nψ tienen n-1 nodos (valores de x donde tanto la función como su 
cuadrado se anulan). Evidentemente, los extremos x = 0 y x = a no se consideran nodos. 
 
Para n = 1 la partícula tiene un solo máximo de densidad de probabilidad justo en el 
medio de la caja (en x = a/2). Para n = 2, la partícula tiene dos máximos de densidad de 
probabilidad, en x = a/4 y en x = 3a/4. Para n = 3, la partícula tiene tres máximos de 
densidad de probabilidad, en x = a/6, en x = 3a/6 y x = 5a/6. (¿Sabrías encontrar una 
forma sistemática de localizar los máximos de densidad de probabilidad para un estado 
cualquiera de número cuántico n?). 
 5
 
 
La ecuación (3.12), para la energía de la partícula en la caja, muestra que los niveles de 
energía permitidos son inversamente proporcionales al cuadrado de la longitud de la 
caja. Por tanto, a medida que a se hace más grande las energías se hacen más pequeñas 
(para un mismo valor de n). 
 
 
 
En la figura 3.2 vemos un diagrama de niveles de energía para los cuatro primeros 
estados. Nótese que la energía del nivel más bajo (n = 1) no es cero, sino )8/( 22 mah . 
x = a x = 0 
 Figura 3.1 
(la línea gruesa es la función y la delgada el cuadrado de la función) 
2
11 ψψ y 
2
22 ψψ y 
2
33 ψψ y 
Energía, 
en unidades 
)8/( 22 mah 
16 
0 
1 
4 
9 
n 
4 
2 
V = 0 
1
3 
Figura 3.2 
 6
Uno puede preguntarse ¿por qué el nivel más bajo de energía (para la partícula en la 
caja) no es cero? Hay dos razones importantes para que no sea así: 
 
− La primera es que si la energía es cero, n debe ser cero y por tanto la función de onda 
para n = 0, 
a
xsen
a
x 02)( πψ = , resultaría ser cero en cualquier punto de la caja. Esto 
sería equivalente a decir que la partícula no existe en el primer estado. 
 
− La segunda razón tiene que ver con el principio de incertidumbre de Heisenberg. En 
efecto, si la energía es cero (energía que resulta ser toda ella energía cinetica) la 
velocidad también será cero y, por tanto, el momento lineal px resultaría cero. De esta 
forma la incertidumbre del momento lineal sería 0=Δ xp . Por otra parte, la máxima 
incertidumbre para el conocimiento de la posición de la partícula es ax =Δ (ya que 
sabemos que la partícula está dentro de la caja). El producto de las incertidumbres de la 
posición y del momento lineal sería 0=ΔΔ xpx , lo cual contradice el principo de 
incertidumbre. 
Nótese que la partícula libre puede tener energía cero sin violar el principio de 
incertidumbre, ya que ∞=Δx . 
 
Es interesante notar que el espaciado entre dos niveles de energía consecutivos aumenta 
a medida que aumenta n. En efecto, 
 
 2
2
2
2
22
1 8
)12(
8
])1[(
ma
hn
ma
hnnEEE nn −=−+=−=Δ + (3.15) 
 
Además, como se deduce de la ecuación (3.15), a medida que la anchura de la caja es 
más pequeña, mayor es el espaciado entre dos niveles consecutivos de energía. Por el 
contrario, a mayor valor de a, menor es el espaciado. En el límite, cuando ∞→a 
(partícula libre), el espaciado 0→ΔE (es otra forma de ver que la energía de la 
partícula libre no está cuantizada, es decir, toma valores continuos). El mismo 
razonamiento podemos hacer con partículas de masas macroscópicas (masas grandes). 
Para este tipo de partículas el espaciado entre dos niveles consecutivos de energía es 
nulo; es decir, la energía no está cuantizada. 
 
 
 
EJERCICIO 3.1 
Demuestra que el conjunto de funciones de onda de la partícula en la caja, 
a
xnsen
a
xn
 2)( πψ = , constituye un constituye un conjunto ortonormal de funciones. Es 
decir, demuestra que nm
a
mn δψψ =∫
0
* (= 1 si m = n y 0 si m ≠ n) 
 
EJERCICIO 3.2 
Obtener la función de onda de la partícula en la caja para el caso en el que la caja esté 
centrada en el origen de coordenadas, es decir 2/2/ axa ≤≤− . 
El potencial V será V = 0 si 2/2/ axa ≤≤− y ∞=V si 2/ || ax > . 
 7
Ayuda.- Puedes partir de BsenkxkxA += cosψ y aplicar las siguientes condiciones de 
contorno 0)2/()2/( ==− aa ψψ . 
Solución.- 
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
…==
…==
→≤≤
−
) 6, 4, (2,par n si 2
) 5, 3, (1,impar n si cos2 
 
22
 
a
xnsen
a
a
xn
aaxaSi
n
n
πψ
πψ
 
 
0 2/ || =→> naxSi ψ 
 
Obsérvese que cuando n es impar, la función de onda nψ es una función simétrica o 
par; es decir, cumple )()( xx ψψ =− . En cambio, si n es par, la función de onda nψ es 
una función antisimétrica o impar; es decir, cumple )()( xx ψψ −=− . 
 
 
 
 
4. La partícula en una caja bidimensional 
El modelo de la partícula en la caja es fácilmente extensible a dos o tres dimensiones. 
Para el caso bidimensional la ecuación de Schrödinger es 
 
 ),(),( 
2 2
2
2
22
yxEyx
yxm
ψψ =⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂− h (3.16) 
 
Dentro de la caja la energía potencial es cero y fuera de ella es infinita: 
 
0),( =yxV si ],0[ ax ∈ e ],0[ by ∈ 
 
∞=),( yxV si ],0[ ax ∉ y/o ],0[ by ∉ 
 
Como el operador ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂−
= 2
2
2
22
 
2 yxm
H h
)
 podemos considerarlo como la suma de los 
operadores independientes 
2 2
22
xm
H x ∂
∂−
=
h) y 2
22
2 ym
H y ∂
∂−
=
h) , podemos usar la técnica 
de separación de variables5 y hacer la siguiente sustitución: 
 
)()(),( yYxXyx =ψ (3.17) 
 
Reorganizando la ecuación (3.16) y sustituyendo, en ella, la (3.17) obtenemos 
 
 )()(2)()()()( 22
2
2
2
yYxXmE
y
yYxX
x
xXyY
h
−
=
∂
∂
+
∂
∂ → 
 
5 La separación de variables de la ecuación de valores propios de la partícula en una caja bi o 
tridimensional es un caso particular de la factorización de la función propia de un operador suma de 
operadores independientes. 
 8
 22
2
2
2 2)(
)(
1)(
)(
1
h
mE
y
yY
yYx
xX
xX
−
=
∂
∂
+
∂
∂ → 
 
 2
2
22
2 )(
)(
12)(
)(
1
y
yY
yY
mE
x
xX
xX ∂
∂
−=+
∂
∂
h
 (3.18) 
 
La igualdad (3.18) sólo puede ser cierta si ambos términos son iguales a una misma 
constante (tener en cuenta que el término de la izquierda únicamente depende de x, y en 
cambio el de la derecha solo depende de y). Por conveniencia, haremos que esta 
constante seal igual a una cantidad que representaremos por 2/2 hymE . De esta forma, a 
partir de la ecuación (3.18) obtenemos las dos ecuaciones diferenciales siguientes: 
 
 22
2 2)(
)(
1
h
ymE
y
yY
yY
=
∂
∂
− (3.19) 
 
 222
2 22)(
)(
1
hh
ymEmE
x
xX
xX
=+
∂
∂ → 22
2 )(2)(
)(
1
h
yEEm
x
xX
xX
−
−=
∂
∂ → 
 
 22
2 2)(
)(
1
h
xmE
x
xX
xX
−=
∂
∂ (siendo )yx EEE −= ) (3.20) 
 
Como puede observarse, hemos transformado el problema bidimensional en dos 
problemas monodimensionales independientes. Las soluciones de las ecuaciones (3.19) 
y (3.20) son ya conocidas; es decir, 
 
 
a
xnsen
a
xX 2)( π= y 2
22
m8 a
nhEx = (con n = 1, 2, 3, …) (3.21) 
 
 
b
ymsen
b
yY 2)( π= y 2
22
m8 b
mhEy = (con m = 1, 2, 3, …) (3.22) 
 
De acuerdo con la ecuación (3.17) la función de onda para la partícula en la caja 
bidimensional será 
 
 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=
b
ymsen
a
xnsen
ab
yx 4),( ππψ (3.23) 
 
y la energía (ver ecuaciones (3.21) y (3.22), 
 
 ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+=+= 2
2
222
m8 b
m
a
nhEEE yx (3.24) 
 
Puede comprobarse que la función de onda ),( yxψ , dada por la ecuación (3.23), esta 
normalizada: 
 9
 1 4 ),(),(
0
2
0
2
0 0
* == ∫∫∫ ∫ dyb
ymsendx
a
xnsen
ab
dxdyyxyx
baa b ππψψ . 
 
Además, dos funciones cualesquiera mnψ y pqψ serán ortogonales a menos que m = p y 
n = q (es decir, a menos que sean la misma función). Esto último lo podemos expresar 
en la siguiente forma 
 
 nqmppqmn dxdy δδψψ =∫ (3.25) 
 
En el caso particular de una caja bidimensional cuadrada (a = b), la energía total, de 
acuerdo con la ecuación (3.24), será 
 
 )(
m8
22
2
2
mn
a
hE += (3.26) 
 
En el caso de una caja cuadrada podemos encontrar soluciones degeneradas cuando 
diferentes combinaciones de los números cuánticos n y m dan el mismo valor para 
22 mn + . Por ejemplo, 
 
 1,2
22
2
2
22
2
2
2,1 )12(m8
)21(
m8
E
a
h
a
hE =+=+= 
 
Esto significa que los estados 2,1ψ y 1,2ψ (los cuales son estados distintos) están 
doblemente degenerados. Además, esta degeneración proviene de una simetría básica 
del sistema: las direcciones x e y son indistinguibles. 
 
Las funciones de onda de la partícula en la caja bidimensional pueden ser representadas 
como superficies resultantes de la distorsión de una superficie plana rectangular, tal y 
como se muestra en la figura 3.3. El estado fundamental (n = m = 1) es un 
“abombamiento positivo” en el plano xy (figura 3.3a), y el estado n = 2, m = 1 (figura 
3.3b) está representado por un abombamiento positivo de media parte del plano de la 
caja y el correspondiente abombamiento negativo (o hundimiento) de la otra media 
parte. Nótese que los estados n =1, m = 2 y n = 2, m = 1 están degenerados (para la caja 
bidimensional cuadrada) y sus funciones de onda pueden hacerse coincidir con un 
simple giro de 90º alrededor de un eje perpendicular al plano de la caja por su centro. 
 
La figura 3.4 ilustra una manera sencilla de representar las funciones de onda para la 
caja bidimensional. Para un estado dado con números cuánticos (n,m) el plano de la caja 
se divide en nm rectángulos (por ejemplo, si n=2 y m=3, nm=6), y cada rectángulo es 
etiquetado “+” o “−“ dependiendo de si en esa zona el abombamiento es positivo o 
negativo (hundimiento). Las fronteras entre distintos rectángulos representan los nodos 
de la función de onda (es decir, los lugares geométricos donde la función de onda 
cambia de signo y por tanto es nula). Obsérvese que en la dirección x habrán n-1 nodos 
mientras que en la dirección y habrán m-1 nodos. 
 10
 
 Figura 3.3 
 
 
 Figura 3.4 
 11
En la figura 3.5 se han dibujado las densidades de probabilidad 2. |),(| yxmnψ para una 
partícula en una caja bidimensional cuadrada y para diferentes valores de los números 
cuánticos (n,m), a saber: (2,1), (2,2), (2,3) y (3,2). Puesto que la densidad de 
probabilidad se obtiene elevando al cuadrado la función de onda, los hundimientos de la 
función de onda (zonas negativas de la figura 3.4) se convierten también en 
abombamientos. Evidentemente los nodos de la función de onda permanecen en las 
figuras representativas de la densidad de probabilidad. 
En la figura 3.5 puede observarse (como es lógico y esperable) que el número de picos 
de cada diagrama de densidad de probabilidad es igual al producto nm. 
 
 
 
 
 Figura 3.5 
 
 12
5. El efecto túnel 
Consideremos una caja monodimensional de longitud a, de tal forma que el potencial en 
el extremo izquierdo (x = -a) sea infinito y en el extremo derecho (x = 0) tenga un valor 
finito 0V . Además, suponemos que la barrera de potencial 0V tiene una anchura b. En 
este apartado se trata de considerar el comportamiento de la partícula con una energía 
0VE < , la cual se encuentra inicialmente confinada en la región comprendida entre 
ax −= y x = 0 (es decir en la zona I de la figura 3.6). 
 
 
De acuerdo con la mecánica clásica, dicha partícula nunca podría escapar de la zona I. 
Sin embargo, nosotros encontraremos que la teoría cuántica predice una probabilidad 
finita (no nula) de encontrar la partícula más allá de la barrera; es decir, en la zona III. 
Tal y como se aprecia en la figura 3.6, hemos considerado tres regiones cuyos 
potenciales son los siguientes: 
 
 Región I: 0=V para 0<<− xa 
 Región II 0VV = para bx ≤≤0 
 Región III 0=V para ∞<< xb 
 
Además, consideramos ∞=V para ax −= , para que la partícula resulte estrictamente 
confinada por la parte izquierda (tal y como ocurre en la partícula en caja). A 
continuación trataremos de obtener una expresión para la probabilidad de encontrar la 
partícula en la región III. 
 
La ecuación de Schrödinger monodimensional es ψψψ EV
dx
d
m
=+
−
2
22
2
h , que podemos 
escribir en la forma 
 ψψ )(2 22
2
VEm
dx
d
−−=
h
 (3.27) 
 
Examinemos la solución de la ecuación (3.27) para cada una de las tres regiones 
consideradas en la figura 3.6. 
 
I II III 
b
V0 
E 
Energía 
-a 0 b x 
 
Figura 3.6 
 13
Región I 0<<− xa y 0=V 
La ecuación (3.27) se convierte en la ecuación de Schrödinger para el caso de la 
partícula libre 
0 22
2
=+ ψψ Ikdx
d con 2
2 2
h
mEkI = (3.28) 
 
La solución para la anterior ecuación diferencial es, como ya hemos visto, 
 
 )exp()exp( xikBxikA III −+=ψ (3.28bis) 
 
Región II bx ≤≤0 y 0VV = 
La ecuación (3.27) se convierte en 02 2
2
=− ψψ IIkdx
d con )(2 02
2 EVmkII −=
h
 (3.29) 
Si hacemos ( ) ( )22' IIII kk −= , la anterior ecuación diferencial queda ( ) 02'2
2
=+ ψψ IIkdx
d , 
formalmente idéntica a la obtenida para la región I y, por tanto, con igual solución 
 
 )exp()exp( '' xikCxikD IIIIII −+=ψ , 
 
pero, de ( ) ( )22' IIII kk −= → IIIIII kikk 1' =−= , que llevado a la anterior ecuación 
conduce a 
 )exp()exp( xkDxkC IIIIII −+=ψ (3.30) 
 
Región III ∞<< xb y 0=V 
La ecuación (3.27), al igual que ocurre en la región I, se convierte en la ecuación de 
Schrödinger para el caso de la partícula libre 0 22
2
=+ ψψ IIIkdx
d con 2
22 2
h
mEkk IIII == . 
La solución, en principio, sería, )exp()exp( xikGxikF III −+=ψ , es decir, el 
solapamiento de dos ondas libres moviéndose en sentidos contrarios (una hacia la 
derecha y la otra hacia la izquierda); pero como en la región III no existe la posibilidad 
de que la onda venga de la derecha (no hay pared contra la que rebotar – a diferencia de 
lo que ocurre en la región I−), G debe ser cero. Así, para la función de onda en la región 
III tendremos 
 )exp( xikF II =ψ con 
2
2
2 2
IIII k
mEk ==
h
 (3.31) 
 
Las condiciones de contorno en x = 0 y en x = b son: 
 
1) )0()0( III ψψ = 
 
2) )()( bb IIIII ψψ = 
 
3) 
0 0 ==
=
x
II
x
I
dx
d
dx
d ψψ 
 
4) 
bx
III
bx
II
dx
d
dx
d
==
=
 
ψψ 
 
 14
El número de veces que la partícula impacta en la barrera, en x = 0 y proveniente desde 
la izquierda, es proporcional a 2|| A , mientras que el número de veces que la partícula 
consigue atravesar la barrera en x = b es proporcional a 2|| F . Por tanto, el coeficiente 
de transmisión χ será 
 2
2
||
||
A
F
=χ (3.32) 
 
El paso de la partícula a través de la pared será posible si χ > 0. Aplicando las 
condiciones de contorno tendremos: 
 
1) ⎯→⎯ DCBA +=+ (3.33) 
 
2) ⎯→⎯ bikbkbk IIIII eFeDeC =+ − (3.34) 
 
3) ⎯→⎯ ( ) 0 =−− −=− xxkIIxkIIxikIxikI IIIIII eDkeCkeAikeAik → 
 )()( DCkBAik III −=− (3.35) 
 
4) ⎯→⎯ bikI
bk
II
bk
II
IIIII FeikeDkeCk =− − (3.36) 
 
El sistema de ecuaciones anterior puede escribirse como 
 
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
=−
=+−−
=+
=−−+
−
−
FeikDekCek
DkCkBikAik
FeDeCe
DCBA
bik
I
bk
II
bk
II
IIIIII
ikbkbk
IIIII
IIIII
 
 
 
 
0 
 
0 
 (3.37) 
 
Como vemos el sistema anterior resulta indeterminado ya que obtendremos A, B, C y D 
en función de F. La solución (llevada a cabo con Matemática) es lasiguiente: 
 
Z
iZiZeFieA
ZbkiZbk II
4
))()(( 222)( +−−
=
−−
 (3.38) 
 
Z
FZeieB
ZbkiZbk II
4
)1)(1( 22)( +−
=
−−
 (3.39) 
 
Z
FiZeC
iZbkI
2
)()( +
=
−−
 (3.40) 
 
Z
FiZeD
iZbkI
2
)()( −
=
+
 (3.41) 
 
Donde 
2
2
0
/2
/)(2
h
h
mE
EVm
k
kZ
I
II −== → 
2/1
0 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −==
E
EV
k
kz
I
II (3.42) 
 
Puede comprobarse, a partir de las ecuaciones (3.38), (3.40) y (3.41), que la relación 
entre los coeficientes A, C y D es 
 
 [ ]DiZCiZA )1( )1(
2
1
++−= (3.43) 
 15
Si la barrera es gruesa (es decir, si b es grande) y 0VE << , tendremos |||| CD >> . Por 
tanto, como una aproximación, podemos despreciar, en la ecuación (3.43), el término 
CiZ )1( − frente al DiZ )1( + . Así, tendremos 
 
 ⎯⎯⎯ →⎯+≅ )41.3( . )1(
2
1 ecDiZA 
Z
iZFieA
iZbk I
4
)( 2)( −
≅
+
 (3.44) 
 
Con lo cual el complejo conjugado será 
Z
iZFieA
iZbkI
4
)( 2)(* +−≅
−
, y 
 
2
2222
* 2
16
)1( ||
Z
ZFeAAA
ZbkI +
≅= (3.45) 
 
De la ecuación anterior, teniendo en cuenta la ecuación (3.32) para el coeficiente de 
transmisión χ , tendremos 
 
 22
22
2
2
)1(
 16
||
||
+
==
−
Z
eZ
A
F ZbkIχ (3.46) 
 
Deshaciendo el cambio, III kkZ /= , podemos escribir la ecuación (3.46) en la forma 
 
 IIbk
I
III e
k
kk 2
22
II
 
k
4 −
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
=χ (3.47) 
 
De acuerdo con las ecuaciones (3.28) y (3.29), 2
0
0
22
II
 )(16
k
4
V
EVE
k
kk
I
III −=
+
, y por tanto el 
coeficiente de transmisión queda 
 
 IIbke
V
EVE 2
2
0
0 )(16 −−=χ (3.48) 
 
En la ecuación (3.48) vemos que el factor clave del coeficiente de transmisión a través 
de la barrera es IIbke 2− , ya que 200 /)(16 VEVE − depende únicamente de los valores 
relativos de E y V0. Teniendo en cuenta el valor de IIk , dado por la ecuación (3.29), 
tendremos 
 [ ]⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −−=− 2/10
2 )(22exp EVmbe IIbk
h
 (3.49) 
 
Evidentemente el coeficiente de transmisión no será cero a no ser que ∞=0V (con lo 
cual tendríamos la partícula en la caja de paredes infinitas), o que ∞=b , o que sea 
∞=m . Puede observarse de la ecuación (3.49) que para unos valores dados de V0, E y 
b, el coeficiente de transmisión aumenta al disminuir la masa de la partícula (es decir, 
las partículas de menos masa, en igualdad de condiciones, son más penetrantes). 
Este efecto de penetración a través de una barrera de potencial, por una partícula cuya 
energía es clásicamente insuficiente para saltar dicha barrera, es lo que se conoce como 
“efecto túnel mecanocuántico”. 
 
 16
En química, este efecto explica, por ejemplo, el fenómeno conocido como inversión de 
la sombrilla en moléculas piramidales como NH3, PH3 y AsH3. 
 
 
El PH3 en la forma [I] con una energía E < V0 puede pasar a la forma [II] sin saltar la 
barrera, atravesándola por efecto túnel. 
 
 
 
7. El oscilador armónico 
El movimiento periódico realizado por una partícula, de tal forma que la aceleración 
dividida por el desplazamiento sea una constante, se dice que es un movimiento 
armónico simple. 
Como ejemplo generalizado de movimiento armónico simple, consideraremos la 
proyección, sobre el eje X, del extremo de un radio vector r, con origen en el origen de 
coordenadas, que realiza una rotación en el plano XY con velocidad angular ω 
constante (ver figura 3.8). 
 
Figura 3.7 
E
V0 
Energía 
[II] [I] 
N 
N
X 
Y
r
O x 
θ m
Figura 3.8 
 17
Vamos a demostrar que la proyección del radio vector r, sobre el eje X, tiene una 
aceleración del tipo kxa −= . 
De acuerdo con la figura 3.8, el valor instantáneo de x será 
 
 trrx ωθ coscos == (3.50) 
 
La velocidad instantánea del punto x será tsenrv
dt
dx ωω −== (3.51) 
y la aceleración 
 xtr
dt
dv
dt
xda 222
2
cos ωωω −=−=== (3.52) 
 
De la ecuación (3.52) vemos que ctexa =−= 2/ ω ; con lo cual comprobamos que el 
movimiento estudiado es armónico simple. 
Si, como puede observarse en la figura 3.8, asociamos una masa m al punto x, al 
conjunto de la masa y del movimiento que lleva le llamamos “oscilador armónico”. Su 
energía cinética será 
 
m
p
vmT x
2
 
2
1 22 == (3.53) 
 
La energía potencial podemos encontrarla a partir de la relación fundamental V−∇=f , 
donde f es la fuerza que actúa sobre el sistema tendiendo a restaurar su posición de 
equilibrio. Para el caso unidimensional podemos no utilizar la notación vectorial y 
escribir 
 
dx
dVf −= (3.54) 
 
Pero, ⎯⎯⎯ →⎯= )52.3( . ecmaf kxxmf −=−= 2ω (3.55) 
 
Siendo 2ωmk = (3.56) 
 
la llamada constante de fuerza (o constante de la ley de Hooke). 
 
Si la velocidad angular la rescribimos en términos de la frecuencia ν del oscilador, 
πνπω 2/2 == T , la constante de fuerza resulta 
 
 224 νπ mk = (3.57) 
 
Nótese que la constante de fuerza es simplemente la fuerza por unidad de 
desplazamiento tendiente a restaurar la partícula a la posición x = 0. 
De las ecuaciones (3.54) y (3.55) tendremos 
 
 kx
dx
dV
= → ∫∫ =
xV
kxdxdV
00
 → 2
2
1 kxV = (3.58) 
 
(como vemos, hemos tomado el criterio de que la energía potencial de la partícula es 
cero en x = 0). 
 
Combinando las ecuaciones (3.53) y (3.58) la energía total del oscilador será 
 
 Ekx
m
p
VT x =+=+ 2
2
2
1
2
 (3.59) 
 18
Ahora vamos a considerar un sistema de mayor importancia práctica por su analogía 
con el modelo de movimiento vibracional de las moléculas diatómicas. Se trata de dos 
masas m1 y m2 (iguales o distintas) conectadas por un muelle ideal (muelle que cumple 
la ley de Hooke) 
 
 
Suponemos que x1 y x2 representan las posiciones instantáneas de las masas m1 y m2, 
respectivamente, respecto al centro de masas. 
Si definimos las coordenadas internas 
 
 21 xxx −= (3.60) 
 
 
21
2 21 1
mm
xmxmxCM +
+
= → 2 21 1 xmxmxM CM += (3.61) 
donde M = m1 + m2. 
 
De las ecuaciones (3.60) y (3.61) podemos obtener: 
 
 x
M
mxx CM 12 −= (3.62) 
 
 x
M
mxx CM 21 += (3.63) 
 
La energía total del sistema será 
 
 221
2
2
 2
2
1
 1 )(2
1
2
1
2
1 xxk
dt
dxm
dt
dxmE −+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛= (3.64) 
 
De las ecuaciones (3.62) y (3.63) podemos obtener, respectivamente, 
 
dt
dx
M
m
dt
dx
dt
dx CM 12 −= → 
dt
dx
dt
dx
M
m
dt
dx
M
m
dt
dx
dt
dx CMCM 2 1
2
2
2
1
22
2 −⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ (3.65) 
 
dt
dx
M
m
dt
dx
dt
dx CM 21 += → 
dt
dx
dt
dx
M
m
dt
dx
M
m
dt
dx
dt
dx CMCM 2 2
2
2
2
2
22
1 +⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ (3.66) 
 
Llevando las ecuaciones (3.65) y (3.66) a la ecuación (3.64) y teniendo en cuenta que 
21 xxx −= , obtenemos 
 
 2
22
2
1 
2
 
2
1 kx
dt
dx
dt
dxME CM +⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=
μ (3.67) 
Figura 3.9 
CM 
x2 x1 
m2 m1
 19
donde hemos tenido en cuenta la definición de masa reducida, 21 /1/1/1 mm +=μ . 
 
Si ahora ponemos las velocidades dtdxCM / y dtdx / en función de los correspondientes 
momentos lineales 
CMX
P y xp , tendremos finalmente, 
 
 2
22
2
1
22
kxp
M
P
E xX CM ++=
μ
 (3.68) 
 
donde el término 
M
P
CMX
2
2
 representa la energía cinética de translación del sistema (como 
un todo), mientras que el término 2
2
2
1
2
kxpx +
μ
 representa la energía de vibración 
(cinética más potencial). 
 
Ignorando la translación del sistema como un todo (o considerando el centro e masas 
fijo), la energía total del oscilador quedará 
 
 2
2
2
1
2
kxpE x +=
μ
 (3.69) 
 
Si comparamos la ecuación obtenida (3.69) con la que hemos obtenido anteriormente en 
el caso de una única masa moviéndose con un movimiento armónico simple, veremos 
que la única diferencia formal es que, en el caso del oscilador compuesto de dos masas, 
hemos de utilizar la masa reducida. 
 
El paso a la mecánica cuántica lo podemos realizar sustituyendo (operador) xx → y 
dx
dipx h−→ . Así, el operador hamiltoniano será 
 
 22
22
2
1
2
kx
dx
d
m
H +−= h
)
 (3.70) 
 
(si consideramos el oscilador armónicode dos masas, pondríamos μ en lugar de m). 
 
La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo, ψψ EH =
)
, quedará 
 
 ψψψ Ekx
dx
d
m
=+− 22
22
2
1
2
h (3.71) 
 
La ecuación diferencial anterior (3.71) puede resolverse mediante el método estándar de 
desarrollos en series de potencias (ver, por ejemplo, Levine tema 4). Esta vía es bastante 
engorrosa y no aporta ningún concepto físico nuevo. Es por ello, que nosotros vamos a 
utilizar un método muy elegante que, sin duda, será de gran utilidad para un curso más 
avanzado de Química Física. El método se denomina método de la factorización y es 
válido para cualquier ecuación diferencial del tipo 0 ),(2
2
=++ λψψψ mxf
dx
d . (Nótese 
que la ecuación (3.71) puede escribirse como 02 22
2
2
2
=+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
+ ψψψ
hh
mmkx
dx
d ; siendo, 
por tanto, 22 /),( hmkxmxf −= y 2/2 hm=λ ). 
 20
Comencemos escribiendo la ecuación diferencial (3.71) en la forma 
 
 ψψ Exkm
dx
d
kmm
k
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ 
2
2
2/12/1
2
2
2/12/1
1/2
h
hh (3.72) 
 
Donde el factor que hemos sacado fuera del corchete tiene dimensiones de energía. En 
efecto, de la ecuación (3.57) se tiene πν2)/( 2/1 =mk y, por tanto, 
22
1/2 νh
m
k
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛h 
(recordar que νh tiene dimensiones de energía). Como consecuencia de lo anterior, el 
corchete de la ecuación (3.72), y por tanto cada sumando de dicho corchete, debe ser 
adimensional. 
 
A continuación vamos a realizar un cambio de variables que elimine las constantes que 
acompañan a la variable x. Este cambio será: 
 
 xkm
2/12/1 2/1
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
h
ξ (ξ es adimensional) (3.73) 
 
De esta forma, 
 
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎬
⎫
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=→
=
 (*) )73.3( 
 
 2/12/1 2/1
h
km
dx
dde
dx
d
d
d
dx
d
ξ
ξ
ξ
 → 
ξd
dkm
dx
d
 2/12/1 2/1
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
h
 → 
 
 
dx
d
d
dkm
dx
d ξ
ξ 2
2 2/12/1 2/1
2
2
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
h
 ⎯⎯ →⎯ (*) ver 2
2 2/1 2/1
2
2
ξd
dkm
dx
d
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
h
 (3.74) 
 
Sustituyendo las ecuaciones (3.73) y (3.74) en la ecuación (3.72) obtenemos 
 
 ψψ
ξ
ξ E
d
d
m
k
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ 
2 2
2
2
2/1
h (3.75) 
 
El término entre corchetes de la ecuación (3.75) nos permite intuir la posibilidad de 
expresar esa “formal diferencia de cuadrados” en función de una “suma por 
diferencia”. Si se tratara de simples números, la sustitución sería inmediata, pero no 
debemos perder de vista que estamos tratando con operadores, y éstos tienen un álgebra 
distinta a la de los números reales. 
 
 
EJERCICIO 3.3 
Demuestra la siguiente relación 1 2
2
2 +⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ +⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ −=− ξξξξξ
ξ dd
d
d (3.76) 
 
 
De las ecuaciones (3.75) y (3.76) tenemos 
 21
 ψψ
ξ
ξ
ξ
ξ E
d
d
d
d
m
k
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ 
2
1
2
1 
2
1 2/1
h (3.77) 
 
A continuación definimos dos nuevos operadores, 
 
- operador de creación: ( )ξξ ddb /
2
1
−=+ (3.78) 
 
- operador de aniquilación: ( )ξξ ddb /
2
1
+= (3.79) 
 
Con las definiciones de +b y b, la ecuación (3.77) se escribe como 
 
 ψψ Ebb
m
k
=+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ + )2/1(
2/1
h 
 
De la ecuación (3.56), ω=2/1)/( mk (frecuencia angular). Por tanto, la ecuación 
anterior queda 
 
 ψψω Ebb =++ )2/1( h → ψωψω )2/( hh −=+ Ebb → 
 
 ψψω 'Ebb =+h (3.80) 
siendo 
 2/' ωh−= EE (3.81) 
 
 
 
EJERCICIO 3.4 
Demostrar que los operadores de creación, +b , y aniquilación, b , definidos por las 
ecuaciones (3.78) y (3.79), respectivamente, presentan la siguiente regla de 
conmutación 
1] ,[
)
=+bb (3.82) 
 
 
 
Resolvamos ahora la ecuación de valores propios (3.80) para el estado fundamental. 
Llamaremos ψ0 al estado fundamental del oscilador armónico, al cual le corresponderá 
el autovalor de energía más bajo '0E . La ecuación (3.80) quedará, por tanto, 
 
 0
'
 00 ψψω Ebb =
+h 
 
multiplicando ambos miembros de la ecuación anterior por el operador b, por la 
izquierda, tenemos 
 0
'
 00 ψψω bEbbb =
+h (3.83) 
 
Por otra parte, de la ecuación (3.82) tenemos 1
)
=− ++ bbbb → bbbb ++ += 1
)
, que 
llevada a la ecuación (3.83) nos permite escribir 
 
 22
 0
'
 00 )1( ψψω bEbbb =+
+
)
h → ))(()( 0
'
00 ψωψω bEbbb hh −=
+ (3.84) 
 
Puesto que ωh es una cantidad positiva, la ecuación (3.84) presenta una contradicción, 
ya que hemos encontrado un estado del sistema, 0ψb , cuya energía ωh−
'
0E es inferior 
al valor que hemos considerado el más bajo (el correspondiente al estado 
fundamental, '0E ). Como la deducción de la ecuación (3.84) es coherente, la única 
posibilidad para compatibilizar (3.84) y el hecho de que '0E corresponda al estado 
fundamental, es que 00 =ψb . Esta conclusión nos permitirá obtener 0ψ . En efecto, 
 
 0 
2
1
00 =⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+= ψ
ξ
ξψ
d
db → 0 00 =+ ξ
ψψξ
d
d → 00 ψξξ
ψ
−=
d
d → 
 
 ξξ
ψ
ψ dd 
0
0 −= → Cln
2
ln
2
0 +−=
ξψ → )2/exp( 20 ξψ −= C (3.85) 
 
(donde C es una constante que se obtiene mediante normalización de la función). 
 
Para obtener la energía 0E , llevamos la función obtenida para 0ψ a la ecuación de 
valores propios (3.80). Tendremos: 
 
2/'
 0
2/ 22 ξξω −−+ = CeECebbh ⎯⎯⎯ →⎯ )79.3( .ec 2/' 0
2/ 22 )/(
2
ξξξξω −−+ =+ CeEeddbCh → 
 
2/'
0
2/2/ 222 ) (
2
ξξξ ξξω −−−+ =− eEeebh → 2/'0
2
 0
2
ξω −+ = eEbh → 
 
 0'0 =E ⎯⎯⎯ →⎯
)81.3( .ec 
20
ωh
=E (3.86) 
 
Puesto que ya tenemos la función de onda y la energía para el estado fundamental, 
estamos en condiciones de obtener las funciones y las energías de los estados excitados 
utilizando convenientemente los operadores de creación y aniquilación. Para ello vamos 
a partir de la ecuación (3.80) particularizada para el estado fundamental 
 
 0 0 00
'
 00 ===
+ ψψψω Ebbh (observar que 0' 0 =E ) 
 
Si la ecuación anterior la multiplicamos, por la izquierda, por el operador +b tendremos 
 
 00b 0 ==
+++ bbb ψωh 
 
Además, de 1] ,[
)
=+bb → 1
)
−= ++ bbbb , que llevada a la anterior ecuación conduce a 
 
 0 )1(b 0 =−
++ ψω
)
h bb → ) ( ) ( b 00 ψωψω
+++ = bbb hh (3.87) 
 
De la ecuación (3.87), comparándola con la ecuación (3.80), concluimos que hemos 
encontrado una función propia 01 ψψ
+= b cuya energía corregida es ωh='1E . Teniendo 
 23
en cuenta quien es el operador +b , la expresión de 0ψ dada por la ecuación (3.85) y la 
definición (3.81) para la energía corregida, tendremos 
 
 ) (
2
 )/(
2
1 2/2/2/
01
222 ξξξ ξξξξψψ −−−+ +=−== eeCeCddb → 
 
 2/ 11
2
 2 ξξψ −= eC (3.88) 
y 
ωω hh =−=
2
1
1
'
1 EE → ωh )2/11(1 +=E (3.89) 
 
Si la ecuación (3.87) la multiplicamos, por la izquierda, por el operador +b , tendremos 
 
 ] )[( ) ( 0
2
0 ψωψω
++++ = bbbbb hh 
 
Por otra parte, de 1] ,[
)
=+bb → 1
)
−= ++ bbbb , que llevada a la ecuación anterior 
conduce a 
 ] )[( ) ( )1( 0
2
0 ψωψω
++++ =− bbbbb h
)
h → 
 
 ] )[( 2])[( 0
2
0
2 ψωψω +++ = bbbb hh (3.90) 
 
Al igual que antes, de la ecuación (3.90), comparándola con la ecuación (3.80), 
concluimos que hemos encontrado una función propia 0
2
2 )( ψψ
+= b cuya energía 
corregida es ωh2'1 =E . La obtención de 2ψ y 2E es inmediata: 
 
( ) =−==== −++++ 2)/(
2
1)()( 2/ 1100
2
2
2ξξξξψψψψ eCddbbbb 
 
 ( )2/ 22/2/ 21 222 2 2 2
2
ξξξ ξξ −−− +− eeeC → 
 
 ( ) 2/ 2 22 2 2 4 ξξψ −−= eC (3.91) 
 
 
ωω hh 22/2
'
2 =−= EE → ωh )2/12(2 +=E (3.92) 
 
Procediendo de esta manera podemos encontrar un conjunto infinito, pero numerable, 
de soluciones (funciones y energías): 
 
 0
v)( ψψ += bv y ωh )2/1v(v +=E (con v = 0, 1, 2, …) (3.93) 
 
La función propia ψv puede expresarse en la forma 
 
 2/v vv
2
 )()( ξξξψ −= eHC (3.94) 
 
donde )(v ξH son los llamados polinomios de Hermite 
 
 1)(0 =ξH 
 24
ξξ 2)(1 =H 
24)( 22 −= ξξH 
 ξξξ 128)( 33 −=H 
 124816)( 244 +−= ξξξH 
 ………………………….. 
 
Deshagamos ahora el cambio de variables paratener )(v xψ en lugar de )(v ξψ . Para 
ello recordemos la ecuación (3.73): xkm
2/12/1 2/1
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
h
ξ . Si hacemos 
h
2/1 2/1 km
=β , la 
relación entre ξ y x será x2/1βξ = . Llevando esta última relación a la ecuación de 
onda (3.94) y normalizando la función )(v xψ de acuerdo con 
 
 1 )( )( )( 2vv
*
v == ∫∫
∞
∞−
∞
∞−
dxxdxxx ψψψ , 
 
puede obtenerse la fórmula general siguiente para la función de onda normalizada del 
oscilador armónico: 
 
 2/ v
2/1 
v
2/1
v
2
 )(
 v!2
)/()( xexHx βπβψ −⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
= (3.95) 
 
 
En la figura 3.10 se ha dibujado la función energía potencial (fig. 3.10a), las cuatros 
primeras funciones de onda (fig. 3.10b) y las funciones de densidad de probabilidad 
correspondientes a las anteriores funciones de onda (fig. 3.10c). 
 
 
 
 Figura 3.10 
 25
Si recordamos que una función )(xf es par cuando )()( xfxf −= e impar cuando 
)()( xfxf −−= , de la anterior figura 3.10 vemos que 0ψ , 2ψ , 4ψ , … son funciones de 
onda pares; en cambio, 1ψ , 3ψ , 5ψ , … son impares. A la misma conclusión llegamos si 
examinamos los polinomios de Hermite (nótese que el factor multiplicativo 2/ 
2xe β− 
siempre es par, por lo tanto la paridad de la función de onda dependerá de la paridad del 
polinomio de Hermite que acompañe). 
 
 
 
EJERCICIO 3.5 
Utilizando el Matemática comprueba que ∫∫
∞∞
∞−
=
0
vv )(2 )( dxxdxx ψψ si v es par, mientras 
que 0 )(v =∫
∞
∞−
dxxψ si v es impar. 
 
 
Un aspecto interesante a notar es el hecho de que, tanto en el caso de la partícula en la 
caja unidimensional como en el oscilador armónico, el número de nodos del estado 
fundamental es cero; y crece de unidad en unidad para los sucesivos estados excitados. 
Esto sucede en todos los problemas mecanocuánticos unidimensionales. El que aumente 
el número de nodos a medida que aumenta la energía (y por tanto el número cuántico 
correspondiente) es comprensible por el hecho de que la energía cinética está 
directamente relacionada con la curvatura de la función de onda (recordar que la 
derivada segunda, 22 / dxd , nos da la curvatura de una función). Por tanto, a medida que 
la energía cinética es mayor, la función de onda se hace más “rizada”; o lo que es lo 
mismo, aumenta el número de nodos. 
En el caso del oscilador armónico también hay un aumento de la energía potencial a 
medida que aumenta el número cuántico v. Esto es debido a que a medida que v 
aumenta, la función de onda )(v xψ se extiende sobre un intervalo mayor; es decir, 
aumenta la amplitud de la oscilación y la energía potencial 2/2kx adquiere valores 
mayores. 
 26
8. Teoría cuántica del momento angular: el rotor rígido 
El momento angular juega un importante papel en muchos sistemas químicos y físicos 
en los que los efectos cuánticos son dominantes. En ciertos sistemas el momento 
angular será una constante del movimiento y, por tanto, esta magnitud será útil para 
clasificar los estados cuánticos. En este capítulo veremos la construcción de operadores 
mecanocuánticos para el momento angular y sus componentes, y veremos cómo utilizar 
los operadores escalera para deducir los valores propios de estos operadores. 
Finalmente, utilizaremos estos resultados para resolver la ecuación de Schrödinger del 
rotor rígido (sistema de dos masas separadas una distancia fija que gira alrededor de su 
centro de masas). Algunos de estos resultados serán empleados en el apartado siguiente 
(apartado 9) para resolver la ecuación de Schrödinger del átomo de hidrógeno. 
 
 
8.1 Revisión clásica del momento angular 
Consideremos una partícula de masa m que describe una trayectoria circular de radio r 
alrededor del origen. 
 
 
El momento angular clásico de la partícula se define, en coordenadas cartesianas, por el 
producto vectorial 
 L = r× p = 
 zyx ppp
zyx
kji
 (3.96) 
 
Donde r = x i + y j + z k y p = px i + py j + pz k. De acuerdo con la ecuación (3.96) las 
componentes cartesianas del vector L serán 
 
yzx pzpyL −= zxy pxpzL −= xyz pypxL −= (3.97) 
 
(Nótese que las componentes están relacionadas por una permutación cíclica de las 
variables x, y, z). 
 
El producto escalar del momento angular consigo mismo tiene, como veremos, un 
especial interés 
 L • L = 2222 zyx LLLL ++= (3.98) 
 
Resulta útil examinar la variación con el tiempo del vector L. Para ello, consideraremos 
primero la variación con el tiempo del vector momento lineal p. De acuerdo con la 
segunda ley de Newton, la fuerza sobre una partícula de masa m es el producto de la 
masa por su aceleración. Así, 
p 
m r
 27
 
 
dt
d
dt
)d(mm pvF === a (3.99) 
 
De la anterior ecuación se deduce que si la fuerza sobre una partícula es cero, la 
variación del momento lineal con el tiempo también resulta nula; es decir, el momento 
lineal se conserva. 
 
Para analizar la variación del vector momento angular (L) con el tiempo, consideremos 
el momento de la fuerza (también llamado torque y representado por τ) con respecto al 
origen de coordenadas. De acuerdo con la definición de momento, 
 
 τ = r× F ⎯⎯⎯ →⎯ )99.3( .ec τ = r
dt
d p 
× (3.100) 
 
Por otra parte, de L = r× p se tiene 
 
 
dt
d
dt
d
dt
d prprL ×+×= → 
dt
d
dt
d prL ×= (3.101) 
 
(téngase en cuenta que 0)( =×=×=× vv pvpr/ mdtd ) 
 
Comparando las ecuaciones (3.100) y (3.101) concluimos que 
 
 τ=×=
dt
d
dt
d prL (3.102) 
 
Por tanto, si el momento τ que actúa sobre una partícula es nulo, la variación con el 
tiempo del vector momento angular L será cero; es decir, el momento angular se 
conserva. 
 
Los operadores mecanocuánticos para el momento angular y sus componentes son 
fácilmente obtenibles a partir de la ecuación clásica (3.96) utilizando las reglas 
ilustradas en el apartado 11 del tema 2. Así, tendremos 
 
 ∇
)hh
)))
)
×=
∂∂∂∂∂∂
== r
kjikji
L 
 
 
 
i
z/y/x/
zyx
i
ppp
zyx
zyx
 (3.103) 
 
de donde podemos extraer las componentes 
 
 
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
=−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
=−=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
=−=
x
y
y
x
i
pypxL
z
x
x
z
i
pxpzL
y
z
z
y
i
pzpyL
xyz
zxy
yzx
h)))
h)))
h)))
 
 
 
 (3.104 
 28
El orden con se que apliquen los operadores 
j
i q
q ∂y (donde iq , jq = x,y,z) es 
irrelevante si ji qq ≠ ; pero no lo es si ji qq = (en este último caso hay que respetar el 
orden). 
El operador mecanocuántico para 2L será 
 
2 2 2 2 
zyx LLLL
))))))
++==• LL (3.105) 
 
 
 
EJERCICIO 3.6 
Demuestra que el operador 2 L
)
 y sus componentes 2 xL
)
, 2 yL
)
 y 2 zL
)
 son operadores 
lineales y hermíticos (es decir, auto-adjuntos). 
 
 
 
8.2 Movimiento rotacional de una partícula en el plano (partícula en un ring) 
El ejemplo más sencillo de movimiento rotacional es el que corresponde a una partícula 
de masa mp que lleva un movimiento estacionario siguiendo una trayectoria circular de 
radio r. Supondremos que la partícula posee únicamente energía cinética y que el plano 
de la trayectoria coincide con el plano XY, es decir, supondremos que el momento 
angular tiene la dirección del eje Z (ver ecuación (3.96)). Puesto que el problema 
planteado tiene simetría circular, es conveniente utilizar coordenadas polares (r,φ)6. 
 
La energía clásica de la partícula será )2/()()2/( 222 pyxp mppmpE +== ; con lo cual, 
realizando las sustituciones 
xi
px ∂
∂
→
h y 
yi
py ∂
∂
→
h , obtendremos la siguiente 
expresión para el operador hamiltoniano: 
 
 ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂−
= 2
2
2
22
2 xxm
H
p
h) (3.106) 
 
Al anterior hamiltoniano hay que añadirle la ligadura r = cte; la cual es más fácil de 
imponer si utilizamos coordenadas polares. Las ecuaciones de cambio serán: 
 
 
Para las primeras derivadas parciales tendremos: 
 
 
6 Puesto que el movimiento lo hemos supuesto en el plano XY, la coordenada θ es constante e igual a π/2. 
Y 
x
φ 
X
y 
(3.107) 
 
r222
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
=→=
+=
x
yarctg
x
ytg
yx
φφ
 
 29
 
xx
r
rxx ∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂ φ
φ
φ
φ
 (r = cte) (3.108) 
Análogamente, 
 
yy ∂
∂
∂
∂
=
∂
∂ φ
φ
 (3.109) 
A partir de las anteriores ecuaciones podemos obtener las derivadas segundas (téngase 
en cuenta que r es constante): 
 
φ
φφφ
φ ∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂ 2
2
2
2
2
2
xxxx
 → 
φ
φ
φ
φ
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
=
∂
∂ 2
2
2
22
2
2
xxx
 (3.110) 
 
Análogamente, 
φ
φ
φ
φ
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
=
∂
∂ 2
2
2
22
2
2
yyy
 (3.111) 
 
Teniendo en cuenta las ecuaciones (3.110) y (3.111), tendremos 
 
 
φ
φφ
φ
φφ
∂
∂
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂ 2
2
2
2
2
222
2
2
2
2
yxyxyx
 (3.112) 
 
Por otra parte, de las ecuaciones (3.107) se tiene (podéis comprobarlo rápidamente con 
el mathemática): 02
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
yx
φφ y 2
22 1
ryx
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂ φφ . Con lo cual, la ecuación 
(3.112), queda 
 2
2
22
2
2
2
 1
φ∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
ryx
 (3.113) 
 
que llevada al hamiltoniano, ecuación (3.106), conduce finalmente a 
 
 2
2
2
 
2
2 φd
d
rm
H
p
h) −
= (3.114) 
 
También podemos obtener la expresión del operador zL
)
 en coordenadas esféricas. En 
efecto, si tenemos en cuenta que ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
=
x
y
y
x
i
Lz
h) , el término 
x
y
y
x
∂
∂
−
∂
∂ , de 
acuerdo con las ecuaciones (3.108) y (3.109) será: 
 
 
φ
φφ
∂
∂
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
−
∂
∂ 
x
y
y
x
x
y
y
x (3.115) 
 
De 
x
yarctag=φ → 
⎩
⎨
⎧
=+=∂∂
−=+−=∂∂
 /)/(/
/)/(/ 
222
222
rxyxxy
ryyxyx
φ
φ
 que llevadas a la ecuación 
(3.115) conduce a 
 30
 
φφ ∂
∂
=
∂
∂+
=
∂
∂
−
∂
∂ 2
22
r
yx
x
y
y
x (3.116) 
 
Lo cual permite escribir zL
)
 en la forma 
 
 
φd
d
i
Lz 
h)
= (3.117) 
(Obsérvese que en las ecuaciones (3.114) y (3.117) hemos cambiado, respectivamente, 
las derivadas parciales 22 / φ∂∂ y φ∂∂ / por las correspondientes derivadas totales 
22 / φdd y φdd / . Esto es posible porque al ser r = cte, el problema, en coordenadas 
esféricas, pasa a depender de una sola variable φ. Es decir, un problema de dos variables 
independientes en coordenadas cartesianas se ha convertido, en virtud de las ligaduras 
impuestas, en un problema idéntico de una sola variable al pasar a coordenadas 
esféricas. 
 
 
 
EJERCICIO 3.7 
Obtener la expresión del hamiltoniano (3.114) a partir de los siguientes datos: 
a) la ecuación clásica para la energía de la partícula en el ring, 2
 
2
2 rm
LE
p
= , 
b) si la trayectoria la suponemos en el plano XY, entonces zLL = , 
c) el operador zL
)
 viene dado, en coordenadas esféricas, por 
φd
d
i
Lz 
h)
= 
 
 
Nótese que los operadores zL
)
 y H
)
 conmutan; es decir [ H
)
, zL
)
] = 0. Esto implica la 
existencia de un conjunto completo de funciones propias comunes a ambos operadores. 
Por tanto, para obtener las funciones propias de la partícula en el ring, podemos resolver 
la ecuación de valores propios de zL
)
 en lugar de resolver la de H
)
. Una vez obtenidas 
tales funciones e impuestas las condiciones de contorno, las llevaremos al operador H
)
 
para obtener las energías. 
 
Si llamamos Lz al autovalor del operador zL
)
 tenemos la siguiente ecuación de valor 
propio 
 ψ
φ
ψ
 zLd
d
i
=
h 
 
Separando variables podemos escribir CdiLd z ln+= ∫∫ φψ
ψ
h
 (donde C es una cte de 
integración. Realizando las integrales tendremos 
 
 φψ mieC = (donde h/zLm = ) (3.118) 
 
Si sumamos 2π al ángulo φ, nos encontramos en el mismo punto del espacio; por tanto 
debe cumplirse la siguiente condición de contorno 
 
 31
 )()2( φψπφψ =+ ⎯⎯⎯ →⎯ )118.3( .ec φπφ )2( mimi eCeC =+ → 12 =πmie → 
 
 1)2( )2cos( =+ ππ msenim → ... ,3 ,2 ,1 ,0 ±±±=m 
 
Vemos que los valores propios del operador zL
)
 están cuantizados, ya que 
 
 
h
zLm = → h mLz = (siendo ... ,3 ,2 ,1 ,0 ±±±=m ) (3.119) 
Si normalizamos la función de onda obtenida, ecuación (3.118), 
 
 1 e e 
2
0
2
2
0
* == ∫∫
==
π
φ
φφ
π
φ
φφψψ dCd i m-i m → 12 2 =πC → )2/(1 π=C , 
 
con lo cual la función resulta ser 
 
 φ
π
ψ mie 
2
1
= (siendo ... ,3 ,2 ,1 ,0 ±±±=m ) (3.120) 
 
Llevando la función de onda anterior a la ecuación de Schrödinger, ψψ EH =
)
, 
podemos obtener (hacerlo como ejercicio) 
 
 2
 
22
2 rm
mE
p
h
= (siendo ... ,3 ,2 ,1 ,0 ±±±=m ) (3.121) 
 
De la ecuación (3.121) se observa que, excepto el estado fundamental m = 0, todos los 
demás estados están doblemente degenerados (los valores cm ±= conducen a la misma 
energía 2
 
22
2 rm
cE
p
h
= ). Esto es debido a que la energía es independiente del sentido de 
rotación (lo cual es lógico). 
 
Otro detalle a destacar es que el valor m = 0 conduce a una función de onda aceptable 
porque no da lugar a una función nula, sino a una constante en todos los puntos de la 
trayectoria circular ( 2/10 )2(
−= πψ ). A esta función constante le corresponde una energía 
cero (energía del estado fundamental). 
 
Por otra parte, de la ecuación (3.119) vemos que la componente z del momento angular 
puede ser positiva si m > 0 (ver figura 3.11a) o negativa si m < 0 (ver figura 3.11b). 
 
 
Lz > 0 (m > 0)
mp 
Y 
X 
(a) 
Lz < 0 (m < 0) 
mp
Y
X
(b) 
Figura 3.11 
 32
La condición )()2( φψπφψ =+ , y por consiguiente la cuantización que deriva tanto 
para zL como para la energía E, puede ser contemplada como una restricción para los 
valores de la longitud de onda λ, que evita el que se produzcan interferencias 
destructivas en la función de onda asociada al giro de la partícula. En efecto, 
 
 
m
rhmhrmhr
mprL
hpph
z
 2 
2
 
 
 / / πλ
πλλ
λλ
=→=→=→
⎭
⎬
⎫
==
=→=
h
h
 (3.122) 
 
Vemos, por tanto, que la longitud de la circunferencia descrita por la partícula, debe ser 
un múltiplo entero de la longitud de onda asociada a dicha partícula. 
En la figura 3.12 vemos la parte real de las funciones de onda del movimiento rotacional 
de la partícula en el plano: 
 
 )( )2()cos()2()2( 2/1 2/1 2/1 φπφππψ φ msenime mi −−− +== . 
 
 
 
 
 
 Figura 3.12 
 
 
Se han dibujado las funciones correspondientes a los números cuánticos m = 0, 1, 2 y 3. 
De acuerdo con la ecuación (3.122), si ∞=→= λ0m , si rm 21 πλ =→= , si 
rm 2 πλ =→= , si 3/ 23 rm πλ =→= , … 
 
De la representación de las funciones de onda para la partícula en el ring (anillo) 
observamos la conexión entre el número de nodos y el valor del momento angular y de 
la energía: a medida que aumenta el número de nodos (lo cual ocurre cuando aumenta 
el número cuántico m), aumenta tanto el momento angular como la energía. En otras 
palabras, las funciones de onda más rizadas tienen mayor momento angular y mayor 
energía. 
 33
8.3 Propiedades de conmutación de los operadores del momento angular 
Muchas de las propiedades importantes de los operadores del momento angular son 
consecuencia de sus relaciones de conmutación. Las propiedades de conmutación de las 
componentes del operador L
)
 se obtienen de las ecuaciones (3.104) como sigue: 
 
],[ yx LL
))
))(())(( yzzxzxyzxyyx pzpypxpzpxpzpzpyLLLL
)))))))))))) −−−−−=−= 
 
yzzzyxzxzyxyzzxz pzpxppxyppzppzyppzxppzppyxpzpy
))))))))))))))))
 
2
 
2
 −++−+−−= 
 
yzzxzyxz pzpxppyzppxzpzpy
))))))))
 −−+= 
 
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
−
∂∂
∂
−
∂∂
∂
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
=
y
z
z
x
zx
zy
zy
zx
x
z
z
y
i
22
2
2h → 
 
],[ yx LL
))
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂∂
∂
−
∂
∂
−
∂∂
∂
−
∂∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
−=
yz
xz
y
x
zx
zy
zy
zx
xz
yz
x
y
2222
 2h 
 
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
−=
x
y
i
i
x
y
y
x
y
x
y
x
x
y 2 2 hhhh ⎯⎯⎯ →⎯ )104.3( .ec 
 
 zyx LiLL
)
h
))
=],[ (3.123a) 
 
Análogamentepodemos encontrar 
 
 xzy LiLL
)
h
))
=],[ (3.123b) 
 
 yxz LiLL
)
h
))
=],[ (3.123c) 
 
Las ecuaciones (3.123a,b,c) son fáciles de recordar por la simetría cíclica que presentan 
sus etiquetas x, y, z. Nótese, por ejemplo, que si en la ecuación (3.123a) cambio x → y, 
y → z y z → x, obtengo la ecuación (3.123b). 
 
A continuación vamos a demostrar que el operador 2 L
)
 conmuta con cualquiera de las 
componentes xL
)
, yL
)
 y zL
)
 del operador L
)
. Para ello, haremos uso de la siguiente 
relación de conmutación7: 
 
 ABABAABA
))))))))
 ],[ ],[ ],[ 2 += (3.124) 
 
 
7 Omitiendo, por comodidad, los circunflejos en los operadores A y B, se tiene: 
 
 [A2, B] ψ = A A B ψ− B A A ψ (I) 
 
De [A , B]=A B − B A obtenemos A B = [A , B] + B A, que sustituido en la ecuación (I) conduce a 
 
 [A2, B]ψ = A ([A , B] + B A) ψ− B A A ψ = A [A , B] ψ + A B A ψ − B A A ψ → 
 
 [A2, B]ψ = A [A , B] ψ + (Α Β − Β Α) Α ψ = A [A , B] ψ + [Α , Β] Αψ → 
 
 [A2, B] = A [A , B] + [Α , Β] Α 
 34
Se trata de demostrar que 
 
],[ 2 xLL
))
 = ],[ 2 yLL
))
 = ],[ 2 zLL
))
 = 0. (3.125) 
 
Puesto que las tres demostraciones son idénticas, es suficiente con demostrar un sólo 
caso. Por ejemplo, vamos a demostrar que ],[ 2 xLL
))
 = 0. En efecto, 
 
],[ 2 xLL
))
 = ],[ 2 2 2 xzyx LLLL
))))
++ = ],[],[],[ 2 2 2 xzxyxx LLLLLL
))))))
++ ⎯⎯⎯⎯ →⎯ = 0 ] ,[
2 
xx LL
))
 
 
],[ 2 xLL
))
 = ],[],[ 2 2 xzxy LLLL
))))
+ (3.126) 
 
Aplicando la igualdad (3.124) se tiene yxyxyyxy LLLLLLLL
))))))))
 ],[],[],[ 
2 += ⎯⎯⎯⎯ →⎯ )123.3( . aec 
 
 )(],[ 
2 
 yzzyyzzyxy LLLLiLLiLLiLL
))))
h
))
h
))
h
))
+−=−−= (3.127) 
 
Análogamente, zxzxzzxz LLLLLLLL
))))))))
 ],[],[],[ 
2 += y, de acuerdo con la ecuación (3.123c), 
 
 )(],[ 
2 
 zyyzzyyzxz LLLLiLLiLLiLL
))))
h
))
h
))
h
))
+=+= (3.128) 
 
Sumando las ecuaciones (3.127) y (3.128) tenemos, 0],[],[ 2 2 =+ xzxy LLLL
))))
, que llevado a 
la ecuación (3.126) conduce, finalmente, a 
 
 ],[ 2 xLL
))
 = 0. 
 
Las demostraciones de ],[ 2 yLL
))
 = 0 y ],[ 2 zLL
))
 = 0 son idénticas a la realizada y se 
dejan al estudiante como ejercicio. 
 
 
 
EJERCICIO 3.8 
Hallar las componentes cartesianas del producto vectorial LL
))
× . 
 
EJERCICIO 3.9 
Demuestra que las relaciones de conmutación entre los componentes xL
)
, yL
)
 y zL
)
 
pueden derivarse de la relación LLL
)
h
))
 i=× . ¿Por qué LL
))
× no es cero, como ocurre 
en álgebra vectorial (el producto vectorial de un vector consigo mismo es nulo)? 
 
 
 
El significado físico de las diversas relaciones de conmutación obtenidas es evidente a 
la luz del principio de incertidumbre; puesto que 2 L
)
 conmuta con todas las 
componentes de L
)
 (es decir, xL
)
, yL
)
 y zL
)
), pero éstas no conmutan entre si 
( 0],[ ≠pq LL
)
 si qp ≠ , siendo p, q = x, y, z), se sigue de ello que sólo 2 L
)
 y una de las 
componentes de L
)
 podrán ser medidas simultáneamente. Además, de acuerdo con el 
teorema 6 (ver tema 2) el operador 2 L
)
 y uno de los componentes del conjunto ( xL
)
, yL
)
 
y zL
)
) podrán tener un conjunto completo de funciones propias. 
 
 35
8.4 Operadores del momento angular en coordenadas polares 
Los operadores 2 L
)
, xL
)
, yL
)
 y zL
)
 a menudo suelen ser expresados en coordenadas 
esféricas. La razón de ello es, como veremos más adelante, que las funciones propias 
comunes a 2 L
)
 y a una de las componentes de L
)
 ( xL
)
, yL
)
 o zL
)
) son también funciones 
propias de los operadores hamiltonianos de sistemas cuyo potencial presenta simetría 
esférica (como es el caso del rotor rígido y del átomo de hidrógeno). 
 
Las ecuaciones de transformación de coordenadas cartesianas (x, y, z) a coordenadas 
esféricas (r, θ, φ) son 
 
 φθ cos senrx = φθ sen senry = θcos rz = (3.129) 
 
Las relaciones inversas serán 
 
 222 zyxr ++= 
r
zarccos=θ 
x
yarctg=φ (3.130) 
 
Las coordenadas esféricas están definidas en los intervalos 
 
 ∞≤≤ r0 πθ ≤≤0 πφ 20 ≤≤ ∞≤≤∞− zyx ,, (3.131) 
 
Las relaciones geométricas entre ambos tipos de coordenadas se derivan de la siguiente 
figura 
 
 
Hay dos ecuaciones de transformación que resultan de suma importancia cuando 
queremos realizar un cambio de coordenadas. Si hacemos que q represente una de las 
tres coordenadas x, y, z, la primera ecuación de transformación es la siguiente: 
 
φ
φ
θ
θ
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂ 
qqrq
r
q
 (3.132) 
 
Esta relación nos permite transformar un operador diferencial dependiente de las 
coordenadas (x,y,z) en otro dependiente de (r,θ,φ). Para las derivadas superiores se tiene 
nnn qq )/(/ ∂∂=∂∂ . 
 
La segunda ecuación de transformación importante se requiere para transformar 
integrales en (x,y,z) a integrales en (r,θ,φ): 
 
drdd
r
zyxg(r,dzdydxzyxf
r
 
),,(
),,( ), ),,(
 0
2
 0 0
φθ
φθ
φθ
π
φ
π
θ
∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫
∞
= = =
∞
∞− ∂
∂
= (3.133) 
φ 
θ 
r
Z 
Y
X
 36
donde 
φθ
φθ
φθ
φθ
zzz
yyy
xxx
r
zyx
r
r
r 
 
),,(
),,( =
∂
∂ (3.134) 
 
y donde qxxq ∂∂= / , qyyq ∂∂= / , qzzq ∂∂= / (siendo q = r, θ, φ). 
 
Utilizando la ecuación de transformación (3.132) es sencillo (aunque bastante laborioso) 
obtener las expresiones de los operadores 2 L
)
, xL
)
, yL
)
 y zL
)
 en coordenadas esféricas. El 
resultado es el siguiente: 
 
 ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
=
φ
φθ
θ
φ coscot gseniLx h
)
 (3.135) 
 
 ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
=
θ
φ
φ
φθ cosencot sgiLy h
)
 (3.136) 
 
 
φ∂
∂
=
i
Lz
h) (3.137) 
 
 ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
−= 2
2
2
 22 1 1
φθθ
θ
θθ sen
sen
sen
L h
)
 (3.138) 
 
El hecho de que la variable r no aparezca en ninguno de los anteriores operadores es 
debido a la simetría esférica de la rotación. 
 
 
 
EJERCICIO 3.10 
Dados dos operadores A
)
 y B
)
, comprueba que siempre es posible factorizar el operador 
2 2 BA
))
+ en la siguiente forma: 
],[))((],[))(( 2 2 BAiBiABiABAiBiABiABA
))))))))))))))
−+−=+−+=+ (3.139) 
 
 
 
8.5 Operadores escalera para el momento angular 
En este apartado vamos a proceder de forma análoga a como resolvimos la ecuación de 
Schrödinger en el caso del oscilador armónico. Utilizaremos los llamados operadores 
escalera (que más adelante definiremos) para resolver las ecuaciones de autovalores de 
los operadores 2 L
)
 y zL
)
. 
De la definición del operador 2 L
)
 es inmediato justificar 
 
 2 2 2 2 yxz LLLL
))))
+=− (3.140) 
 
Utilizando la ecuación (3.139) y teniendo en cuenta que zyx LiLL
)
h
))
 ],[ = , podemos 
escribir 
 
 zyxyxzyxyxz LLiLLiLLLiLLiLLL
)
h
)))))
h
))))))
++−=−−+=− ))(())((2 2 (3.141) 
 37
Los operadores 
+=+ LLiL yx
)))
 (3.142a) 
y −=− LLiL yx
)))
 (3.142b) 
 
reciben el nombre de operadores escalera (más adelante veremos la justificación de esa 
denominación). 
Con la simbología utilizada para los operadores escalera, ecuaciones (3.142ayb), 
podemos reescribir la ecuación (3.141) en la forma 
 
 zzz LLLLLLLL
)
h
)))
h
))))
+=−=− +−−+ 
2 2 (3.143) 
 
 
 
EJERCICIO 3.11 
Demuestra las igualdades: )( h
))))
+= ++ zz LLLL y )( h
))))
−= −− zz LLLL (3.144) 
Resolución.- 
Vamos a resolver la primera de las igualdades (3.144) y dejaremos para el estudiante la 
resolución de la segunda. Utilizando la definición de +L
)
 tenemos 
)( yxzz LiLLLL
)))))
+=+ = yzxz LLiLL
))))
 + (I) 
de yxz LiLL
)
h
))
=],[ → yzxxz LiLLLL
)
h
))))
+= (II) 
de xzy LiLL
)
h
))
=],[ → xzyyz LiLLLL
)
h
))))
−= (III) 
Llevando las ecuaciones (II) y (III) a la ecuación (I) obtenemos 
)()()( h
))))
h
))))
h
)))
h
))))
+=+++=+++= ++ zyxzyxxzyyzxz LLLiLLLiLLLLiLiLLLL (cqd). 
 
 
 
Las relaciones expresadas en las ecuaciones (3.144) pueden utilizarse para demostrar el 
carácter ascendente y descendente de los operadores escalera,+L
)
 y −L
)
, 
respectivamente. Utilizaremos ),(, φθβαY para representar las funciones propias (todavía 
desconocidas) de los operadores 2 L
)
 y zL
)
, las cuales satisfacen las siguientes 
ecuaciones de valor propio: 
 
 βαβα α ,,
2 
 YYL =
)
 (3.145a) 
y βαβα β ,, YYLz =
)
 (3.145b) 
 
(donde α y β son los valores propios de 2 L
)
 y zL
)
, respectivamente). 
 
Si operamos zL
)
 sobre βα , YL+
)
, tendremos 
 
βαβα , , )()( YLLYLL zz ++ =
))))
 ⎯⎯⎯ →⎯ )144.3( .ec βαβα ,, )()( YLLYLL zz h
))))
+= ++ → 
 
) ()( ,, , βαβαβα YYLLYLL zz h
))))
+= ++ ⎯⎯⎯⎯ →⎯
)145.3( . bec βαβα β ,, )()( YLYLLz h
)))
+= ++ → 
 
 ))(()( ,, βαβα β YLYLLz ++ +=
)
h
))
 (3.146) 
 
Análogamente, operando zL
)
 sobre βα , YL−
)
, tendremos 
 38
 ))(()( ,, βαβα β YLYLLz −− −=
)
h
))
 (3.147) 
 
De la ecuación (3.146) se deduce que al operar +L
)
 sobre βα ,Y (función con valor propio 
igual a β para el operador zL
)
) el resultado, βα , YL+
)
, constituye una nueva función cuyo 
valor propio para el operador zL
)
 es h+β ; es decir, el efecto de +L
)
 sobre βα ,Y es 
aumentar el valor propio en una cantidad h . Análogamente, de (3.147) se observa que 
el efecto de −L
)
 sobre βα ,Y es disminuir su valor propio, respecto del operador zL
)
, en 
una cantidad h . 
 
 
EJERCICIO 3.12 
Demuestra que 2 L
)
 conmuta tanto con +L
)
 como con −L
)
; es decir 0],[],[ 2 2 == −+ LLLL
))))
. 
 
EJERCICIO 3.13 
Demuestra que el conmutador de +L
)
 y −L
)
 viene dado por zLLL
)
h
))
 2],[ =−+ . 
 
 
Si aplicamos nuevamente el operador +L
)
 sobre la ecuación (3.146) tendremos 
 
 ))(()( ,
2 
, βαβα β YLYLLL z +++ +=
)
h
)))
 (3.148) 
 
La primera de las ecuaciones (3.144) implica +++ −= LLLLL zz
)
h
))))
 , que sustituida en la 
ecuación (3.148) conduce a 
 
 ))(())(( ,
2 
, βαβα β YLYLLLLz ++++ +=−
)
h
))
h
))
 → 
 
 ))(()()( ,
2 
, , βαβαβα β YLYLLYLLLz +++++ +=−
)
h
))
h
)))
 → 
 
 ))(()()( ,
2 
,
2 
,
2 
βαβαβα β YLYLYLLz +++ +=−
)
h
)
h
))
 → 
 
 ))(2()( ,
2 
,
2 
βαβα β YLYLLz ++ +=
)
h
))
 (3.149) 
 
De forma análoga, aplicando el operador −L
)
 a la ecuación (3.147), y procediendo de 
forma idéntica a como hemos hecho para obtener la ecuación (3.149), se obtiene 
 
 ))(2()( ,
2 
,
2 
βαβα β YLYLLz −− −=
)
h
))
 (3.150) 
 
Las ecuaciones (3.146) y (3.149), por un lado, y las (3.147) y (3.150), por otro, 
muestran que la aplicación de los operadores escalera +L
)
 y −L
)
, a la función βα ,Y , 
generan una serie de valores propios escalonados del operador zL
)
, siendo h la 
diferencia entre dos valores consecutivos. Además se observa que la aplicación de +L
)
 
aumenta el valor propio, mientras que la aplicación de −L
)
 disminuye el valor propio. 
Estas son las razones por las que +L
)
 y −L
)
 reciben el nombre de operadores escalera 
ascendente y descendente, respectivamente. 
 
 39
Puesto que 2 L
)
 conmuta con xL
)
 y yL
)
, ver ecuación (3.125), resulta sencillo verificar 
que 2 L
)
 también conmuta con +L
)
 y −L
)
. Por tanto, podemos obtener 
 
)()( ,
2 
,
2 
βαβα YLLYLL
))))
++ = ⎯⎯⎯⎯ →⎯
)145.3( . aec )()( , ,
2 
βαβα α YLYLL ++ =
)))
 (3.151a) 
 
Análogamente, podemos obtener )()( , ,
2 
βαβα α YLYLL −− =
)))
 (3.151b) 
 
Las ecuaciones anteriores, (3.151a,b), muestran que, a diferencia de lo que ocurre con 
los valores propios de zL
)
, los operadores escalera +L
)
 y −L
)
 no tienen ningún efecto 
sobre los valores propios del operador 2 L
)
. 
 
El efecto de los operadores escalera sobre las funciones βα ,Y (funciones propias 
comunes de los operadores 2 L
)
 y zL
)
) podemos resumirlo en las siguientes expresiones 
 
 1, , +++ = βαβα YCYL
)
 (3.152a) 
y 
 1, , −−− = βαβα YCYL
)
 (3.152b) 
 
donde +C y −C son constantes numéricas. Obsérvese que las ecuaciones (3.152) no son 
ecuaciones de valores propios (téngase en cuenta que 1,,1, −+ ≠≠ βαβαβα YYY ). 
 
 
8.6 Los valores propios de zL
)
 y 2 L
)
 
Puesto que los operadores +L
)
 y −L
)
 son adjuntos uno del otro, +
+
− = LL
)) ; y, por tanto, 
 
 βαβαβαβαβαβα ,,,,
 
,, |||| YLYLYLYLYLLY +++
+
−+− ==
))))))
 
 
 0| 21,1,
2 ≥== ++++ CYYC βαβα (3.153) 
 
donde se ha tenido en cuenta la regla de turnover para la primera igualdad, +
+
− = LL
)) para 
la segunda igualdad, la ecuación (3.152a) para la tercera igualdad y la hipótesis de que 
la función 1, +βαY esté normalizada para la cuarta y última igualdad. 
 
Por otra parte, de acuerdo con la ecuación (3.143), se tiene zz LLLLL
)
h
))))
−−=+−
2 2 ; con lo 
cual 
 βαβαβαβα ,
2 2 
,,, |||| YLLLYYLLY zz
)
h
))))
−−=+− 
 
 βαβαβαβαβαβα ,,,
2 
,,
2 
, |||||| YLYYLYYLY zz
)
h
))
−−= 
 
 βαβαβαβαβαβα ββα ,,,,
2
,, ||| YYYYYY h−−= 
 
Suponiendo, nuevamente, que las funciones βα ,Y están normalizadas; y que, de acuerdo 
con la ecuación (3.153), la integral βαβα ,, || YLLY +−
))
 es 0≥ , tendremos 
 
 0)(|| ,, ≥+−=+− h
))
ββαβαβα YLLY (3.154) 
 40
Análogamente podemos obtener 
 
 0)(|||| ,
2 2 
,,, ≥−−=+−=−+ h
)
h
))))
ββαβαβαβαβα YLLLYYLLY zz (3.155) 
 
Sumando miembro a miembro 0)( ≥+− hββα con 0)( ≥−− hββα , obtenemos 
 
 022 2 ≥+−− hh βββα → 2βα ≥ (3.156) 
 
La desigualdad (3.156) implica que, para un determinado valor de α, existe un mínimo 
y un máximo valor de β; los cuales designaremos por minβ y maxβ , respectivamente. 
 
De las propiedades de los operadores escalera, simbolizadas en las ecuaciones 
(3.152a,b), se tiene 
 0
max, 
=+ βαYL
)
 (3.157a) 
 
y 0
min, 
=− βαYL
)
 (3.157b) 
 
ya que, según la ecuación (3.156), para α no hay un valor compatible de β que sea 
mayor que maxβ ni menor que minβ . 
Las ecuaciones (3.157a,b) indican que los operadores +L
)
/ −L
)
 aniquilan las funciones 
propias que tengan el máximo/mínimo valor propio de zL
)
 para un valor propio dado del 
operador 2 L
)
. 
Si ahora operamos sobre la ecuación (3.157a) el operador −L
)
 y tenemos en cuenta que 
zz LLLLL
)
h
))))
−−=+−
2 2 , tendremos 
 
 [ ] 0 )()(
maxmaxmax ,maxmax,
2 2 
, =+−=−−=+− βαβαβα ββα YYLLLYLL zz h
)
h
))))
 → 
 
 0)( maxmax =+− hββα (3.158) 
 
Análogamente, operando sobre la ecuación (3.157b) con +L
)
 y teniendo en cuenta que 
zz LLLLL
)
h
))))
+−=−+
2 2 , tendremos 
 
 0)( minmin =−− hββα (3.159) 
 
De las ecuaciones (3.158) y (3.159) obtenemos 
 
 )()( minminmaxmax hh −=+ ββββ → 0)( min
2
minmax
2
max =−−+ ββββ hh → 
 
h−= minmax ββ (absurdo porque indica que minmax ββ < ) y minmax ββ −= (3.160) 
 
Esto significa que los valores propios de zL
)
 son simétricos alrededor de cero. Además, 
puesto que sucesivas aplicaciones de +L
)
 a la función propia βα ,Y genera funciones 
propias de zL
)
 con valores propios h+minβ , h2min +β , h3min +β , …, maxβ , debe 
cumplirse necesariamente que 
 
 ...3 ,2 , ,02 maxminmax hhh==− βββ (3.161) 
 
 41
Para el cumplimiento del requerimiento anterior, ecuación (3.161), tenemos dos 
posibilidades: 
a) que max2β sea un múltiplo entero par de h (0, 2h , 4h , …), con lo cual maxβ será un 
múltiplo entero de h (0, h ,2h , …). 
b) que max2β sea un múltiplo entero impar de h (h , 3h , 5h , …), con lo cual maxβ será 
un múltiplo semientero de h (h /2, 3h /2, 5h /2, …). 
Estas relaciones vienen ilustradas en la figura 3.13 para los casos específicos en los que 
max2β = 4h ( maxβ múltiplo entero de h ) y max2β = 3h ( maxβ múltiplo semientero de 
h ). 
 
 
Como es habitual, el valor propio máximo del operador zL
)
, compatible con un 
determinado valor α (valor propio del operador 2 L
)
), suele representarse por lh , y los 
distintos valores de β, comprendidos entre minβ y maxβ (es decir, entre -lh y lh ), 
suelen representarse por lm h . Por tanto, 
 
 ... ,3 ,2 , ,0 minmax hhhh ==−= lββ o h /2, 3h /2, 5h /2, … (3.162a) 
 
 ... ,3 ,2 , ,0 hhhh±±±== lmβ o ± h /2, ± 3h /2, ± 5h /2, … (3.162b) 
 
De la ecuación (3.158), sustituyendo hl→maxβ , o de la ecuación (3.159), sustituyendo 
hl−→minβ , obtenemos los valores propios del operador 
2 L
)
: 
 
 2)1( h+= llα (3.163) 
 
Los valores propios del operador zL
)
 , compatibles con el anterior valor α, serán, por 
tanto, hlm , donde 
 
 lml l ≤≤− ( ll,llml ,1 ..., 1 ,0 ..., ,1 , −+−−= ) (3.164) 
 
Las ecuaciones (3.145ayb) pueden ser rescritas en la forma: 
 
 
ll mlml
YllYL ,
2
,
2 )1( h
)
+= (3.165a) 
 
ll mllmlz
YmYL , , h
)
= (3.165b) 
 
−3/2 −1/2 1/2 3/2 
Figura 3.13 
-−2 −1 0 1 2 
2βmax = 4h h2max =→ β 
2βmax = 3h 2/3max h=→ β 
→ / hβ 
→ / hβ 
 42
Puesto que cada valor propio del operador 2 L
)
 está asociado con 2l+1 valores diferentes 
de lm , podemos afirmar que cada función propia del operador 
2 L
)
 es 2l+1 veces 
degenerada. 
 
Los valores propios h lm del operador zL
)
 pueden ser interpretados físicamente como la 
proyección del momento angular total |L| = h )1( +ll en el eje z: 
 
 
Los distintos valores de lm , compatibles con un valor dado de l (y por tanto de α), 
corresponderán a las distintas posiciones posibles del vector |L| (distintos ángulos ϕ) 
respecto del eje z. 
 
 
8.7 Las funciones propias de zL
)
 y 2 L
)
 
Puesto que los operadores zL
)
 y 2 L
)
 conmutan, tendremos un conjunto completo común 
de funciones propias; estas funciones las hemos simbolizado por ),(, φθlmlY . En este 
apartado se trata de encontrar dicho conjunto de funciones propias. 
Recordemos la forma de los operadores zL
)
 y 2 L
)
 en coordenadas esféricas (ecuaciones 
(3.137) y (3.138), respectivamente): 
 
φ∂
∂
=
i
Lz
h) ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
−= 2
2
2
 22 1 1
φθθ
θ
θθ sen
sen
sen
L h
)
 
 
Puesto que el operador zL
)
 no es función de la variable θ , la función ),(, φθlmlY puede 
separarse como un producto de dos funciones )(θΘ )(φΦ . Llevando esta función 
producto a la ecuación de autovalores de 2 L
)
 (
ll mlml
YllYL ,
2
,
2 )1( h
)
+= ) tenemos 
 
 )()()1()()( 1 1 22
2
2
 2 φθφθ
φθθ
θ
θθ
ΦΘ+=ΦΘ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
− hh ll
sen
sen
sen
 → 
 
 )()()1()( )()( )( 2
2
2 φθφ
φ
θ
θ
θ
θθ
θθ
φ
ΦΘ+−=
ΦΘ
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ΘΦ ll
d
d
send
dsen
d
d
sen
 
 
(obsérvese que, en la última expresión, hemos cambiado las derivadas parciales por 
derivadas totales). 
 
L siendo |L| = h )1( +ll 
donde 
)1(
cos
+
=
ll
mlϕ 
ϕ 
h lm 
 43
Si en la expresión anterior dividimos por )(θΘ )(φΦ , multiplicamos por θ2sen y 
reorganizamos los términos, obtenemos 
 
 2
22 )(
)(
1)( )1()(1 
)( φ
φ
φ
θ
θ
θθ
θθθ
θ
d
dll
d
dsen
d
d
sen
sen Φ
Φ
−=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
Θ++⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ Θ
Θ
 → 
 
 2
2
2
 22 )(
)(
1)( )1()( cot)( 
)( φ
φ
φ
θ
θ
θθ
θ
θ
θ
θ
d
dll
d
dg
d
dsen Φ
Φ
−=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
Θ++
Θ
+
Θ
Θ
 (3.166) 
 
La ecuación (3.166) es cierta para cualquier valor de θ y φ; por tanto, ambos términos 
de la igualdad deben ser iguales a una misma constante k . Es decir, 
 
 kll
d
dg
d
dsen
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
Θ++
Θ
+
Θ
Θ
)( )1()( cot)( 
)( 2
 22
θ
θ
θθ
θ
θ
θ
θ (3.167a) 
 
 k
d
d
=
Φ
Φ
− 2
2 )(
)(
1
φ
φ
φ
 (3.167b) 
 
Por otra parte, de acuerdo con la ecuación (3.165b), 
ll mllmlz
YmYL , , h
)
= , teniendo en 
cuenta la separación de variables efectuada y la forma del operador zL
)
 en coordenadas 
esféricas, tenemos 
 
 )( )(
d
))( )((
 φθφ
φθ
ΦΘ=
ΦΘ
h
h
lm
d
i
 → )( 
d
)(
 φφ
φ
Φ=
Φ
lmi
d (3.168) 
 
Derivando de nuevo la ecuación (3.168) se tiene, 
φ
φ
φ
φ
d
dmid l
)( 
d
)(
 2
 2 Φ
=
Φ ⎯⎯⎯ →⎯ )168.3( .ec 
 
 )( 
d
)( 22
2
 2
φ
φ
φ
Φ=
Φ
lmi
d → 22
 2
d
)(
)(
1
lm
d
=
Φ
Φ
−
φ
φ
φ
 (3.169) 
 
Comparando las ecuaciones (3.167b) y (3.169) concluimos que 2lmk = . Con lo cual, la 
ecuación (3.167b) resulta 22
2 )(
)(
1
lmd
d
=
Φ
Φ
−
φ
φ
φ
, cuya solución (una vez normalizada) es 
 
 )exp(
2
1)( 
2/1
φ
π
φ lm mil ⎟⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=Φ (con ... ,2 ,1 ,0 ±±=lm ) (3.170a) 
 
(expresión que ya conocíamos porque es idéntica a la obtenida en el caso del 
movimiento rotacional de una partícula en el plano – ver ecuación (3.120) −). 
 
Para la resolución de la ecuación (3.167a), una vez sustituido k por 2lm , es conveniente 
realizar el cambio de variable θcos=x ; con lo cual, 
 
dx
dsen
d
d θ
θ
−= y 2
2
2
2
2
 cos
dx
dsen
dx
d
d
d θθ
θ
+−= . 
 
 44
Realizando los cambios indicados, la ecuación (3.167a) resulta 
 
 0 
1
)1(2)1( 2
2
2
2
2 =Θ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−++
Θ
−
Θ
−
x
mll
dx
dx
dx
dx l (3.170b) 
 
Esta última ecuación es idéntica a la llamada ecuación diferencial asociada de Legendre: 
0))1/()1((
dx
dy 2)1( 222
2
2 =−−++−− yxprrx
dx
ydx . Es bien sabido que para que la 
ecuación diferencial asociada de Legendre tenga solución aceptable, es necesario que r 
sea un entero positivo o cero y que rp ≤ || . En estas condiciones, las soluciones de la 
ecuación diferencial asociada de Legendre son conocidas con el nombre de polinomios 
asociados de Legendre. Por consiguiente, estos polinomios asociados de Legendre 
también serán las soluciones de nuestra ecuación diferencial (3.170b), con el 
requerimiento de que l sea un entero positivo o cero y lml ≤ || . 
 
En la tabla siguiente se han anotado algunos ejemplos de funciones )(, θlmlΘ 
(polinomios asociados de Legendre) en los que hemos deshecho el cambio θcos→x . 
Dichas funciones ya están normalizadas. En la misma tabla podemos ver también las 
correspondientes funciones )(φ
lm
Φ . 
 
l lm )(, θlmlΘ )(φlmΦ 
0 0 2/1 2/1)2/1( π 
1 0 θcos)2/3( 2/1 2/1)2/1( π 
1 ± 1 θsen2/1)4/3( )exp()2/1( 2/1 φπ i±m 
2 0 )1cos3()8/5( 22/1 −θ 2/1)2/1( π 
2 ± 1 θθ cos)4/15( 2/1 sen )exp()2/1( 2/1 φπ i±m 
2 ± 2 θ22/1)16/15( sen )2exp()2/1( 2/1 φπ i± 
 
Las funciónes )( )(),( ,, φθφθ lll mmlmlY ΦΘ= son conocidas como armónicos esféricos. 
Estos armónicos esféricos, además de ser las soluciones del rotor rígido (apartado 
siguiente), aparecen también en la resolución de la ecuación de Schrödinger del átomo 
de hidrógeno. 
 
Resulta instructivo comparar la secuenciación del número cuántico lm obtenido 
utilizando los operadores escalera (ver ecuación (3.162b)) con el que resulta de aplicar 
las condiciones de contorno a la ecuación diferencial k
d
d
=
Φ
Φ
− 2
2 )(
)(
1
φ
φ
φ
. En el primer 
caso tenemos la posibilidad de números enteros y semienteros. En cambio, en el 
segundo caso, como el número cuántico resulta de imponer la condición de contorno 
)2()( πφφ +Φ=Φ , la única posibilidad es llllml ,1 ,...,1 ,0 ..., ,1 , −+−−= ; es decir, 
números enteros. El método de los operadores escalera es más general que la simple 
resolución de la ecuación diferencial, y abarca un segundo tipo de momento angular que 
denominamos espín. Cuando no se realiza un tratamiento cuántico relativista (como es 
el que hemos hecho), el espín no surge de los postulados, sino que necesita un postulado 
adicional. La introducción del espín no causa ningún desajuste en el tratamiento general 
 45
del momento angular que hemos realizado a partir de los operadores escalera. Es como 
si la mecánica cuántica estuviera preparada para introducir esta nueva magnitud en su 
formulación. 
 
Puede comprobarse que los armónicos esféricos constituyen un conjunto ortonormal de 
funciones (sería un ejercicio muy instructivo comprobarlo utilizando el Mathematica). 
Así, podemos escribir: 
 
 '''''' ,,
2
 0 0
,
*
,,, )(),(),( llllll mmllmlmlmlml ddsenYYYY δδφθθφθφθ
π
φ
π
θ
== ∫ ∫
= =
 (3.171) 
 
 
8.8 El rotor rígido 
Denominamos rotor rígido al sistema constituido por dos masas m1 y m2, separadas una 
distancia R constante, que pueden girar alrededor de su centro de masas. 
 
 
De acuerdo con la mecánica clásica, la energía cinética debida a la rotación será 
 
 
22
2
2 2
2
1 1 vmvmT