393955776-Mecanica-Cuantica-II-UMSS

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MECÁNICA CUÁNTICA II
Anónimo
Cochabamba - Bolivia
22 Noviembre 2018
Resumen
Se presenta la segunda parte de un documento de estudio sistematizado sobre mecánica cuántica no-relativista,
basado en un compendio de diversas fuentes bibliográficas, entre las cuales se destacan el libro “Quantum Mechanics”
(1996) del autor francés y premio Nobel C. Cohen-Tannoudji [et al.] y los apuntes de la materia “Mecánica Cuántica II”
impartida por el docente H. Rojas en el semestre II-2018 como parte del plan de estudios en la carrera de Licenciatura
en Física de la Universidad Mayor de San Simón (UMSS). Como anexos a este documento, se presentan otros dos
documentos escaneados (de 14 páginas el primero y 16 páginas el segundo) que han sido realizados a mano e incluyen
absolutamente todos los procedimientos necesarios para rendir los exámenes. Como se presentan tales anexos, este
documento aún no ha sido completado y sirve solamente como guía de la estructura general del contenido. Para
sugerir correcciones o solicitar el archivo .tex para mejorarlo o modificarlo, escribir en la sección contacto del sitio
web: ns137.wordpress.com.
Palabras clave: mecánica cuántica — momento angular — spin — potencial central — átomo de hidrógeno —
teoría de perturbaciones — UMSS
Contenido
1 Momento Cinético General . . . . . . . . . . . . 3
1.1 Introducción 3
1.2 Relaciones de Conmutación 3
1.3 Momento Cinético General J 3
1.3.1 Observable J**2 . . . . . . . . . . . 3
1.3.2 Operadores J+ y J- . . . . . . . . . 3
1.4 Valores Propios 3
1.4.1 Resultados . . . . . . . . . . . . . . 3
1.5 Base Estándar 3
1.5.1 Base ortonormal kjm+/-1 . . . . . . 3
1.6 Representación Matricial 3
1.6.1 Para j=0 . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.6.2 Para j=1/2 . . . . . . . . . . . . . 3
1.6.3 Para j=1 . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Momento Cinético Orbital . . . . . . . . . . . . 3
2.1 Representación en Coordenadas Esféricas 3
2.2 Función de Onda para L**2 y Lz 3
2.3 Armónicas Esféricas Y 3
2.4 Valores Propios de L**2 y Lz 3
2.5 Solución de Y para m=l 3
2.6 Normalización de Y 3
2.7 Kets Propios de L**2 y Lz 3
2.8 Construcción de Y 3
2.9 Ejemplos de Armónicas Esféricas 3
2.10 Valor Medio y Desviaciones 3
2.10.1 Para Lx . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.10.2 Para Ly . . . . . . . . . . . . . . . 3
3 Momento Cinético de Spin . . . . . . . . . . . . 3
3.1 Experimento de Stern–Gerlach 3
3.2 Postulados de Pauli 3
3.3 Partícula de Spin 1/2 3
3.4 Representación Matricial 3
3.5 Medición de Sx y Sy 3
3.5.1 Valores y estados propios de Sx . . . 3
3.5.2 Valores y estados propios de Sy . . . 3
3.6 Representación ket r–epsilon 3
3.6.1 Spinor . . . . . . . . . . . . . . . . 3
4 Interacción entre Dos Partículas . . . . . . . . . 4
4.1 Planteamiento del Problema 4
4.2 Transformaciones 4
4.2.1 Transformaciones Canónicas . . . . 4
4.2.2 Transformación Inversa . . . . . . . 4
4.3 Hamiltoniano 4
4.4 Solución HG 5
4.5 Solución HR 5
5 Partícula en Potencial Central . . . . . . . . . . 6
5.1 Ecuación Principal 6
5.1.1 Sobre la ODE . . . . . . . . . . . . 6
5.2 Condición de Borde 7
5.2.1 Parte 1 (evaluación c.r**s) . . . . . 7
5.2.2 Parte 2 (cambio R=u/r) . . . . . . 7
5.2.3 Parte 3 (análisis) . . . . . . . . . . 7
5.3 Condición de Normalización 7
6 Átomo de Hidrógeno . . . . . . . . . . . . . . . 8
6.1 Planteamiento del Problema 8
6.1.1 Sobre la ODE . . . . . . . . . . . . 8
6.1.2 Estrategia de Solución . . . . . . . . 8
6.2 Potencial Efectivo 8
6.3 Definiciones 9
6.3.1 Radio de Bohr . . . . . . . . . . . . 9
6.3.2 Cambio a rho . . . . . . . . . . . . 9
1
NS137-MC2 Mecánica Cuántica II
6.3.3 Energía Base . . . . . . . . . . . . . 9
6.3.4 Lambda . . . . . . . . . . . . . . . 9
6.3.5 Números Cuánticos . . . . . . . . . 9
6.4 Ecuación Principal en rho 9
6.5 Solución Radial 9
6.5.1 Parte 1 (rho infty) . . . . . . . . . . 9
6.5.2 Parte 2 (y_kl) . . . . . . . . . . . . 9
6.5.3 Parte 3 (sumatoria) . . . . . . . . . 9
6.5.4 Determinación de cq . . . . . . . . 9
6.5.5 Condición Final (lambda) . . . . . . 9
6.5.6 Construcción de R . . . . . . . . . . 9
6.5.7 Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . 9
6.6 Cuantización de la Energía 10
6.6.1 Capas y Subcapas . . . . . . . . . . 10
6.6.2 Niveles de Energía . . . . . . . . . . 10
6.6.3 Degeneración de la Energía . . . . . 10
6.7 Función de Onda 10
6.7.1 Función Angular . . . . . . . . . . . 10
6.7.2 Función Radial . . . . . . . . . . . . 10
6.7.3 Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . 10
6.8 Conmutación de H 10
6.9 Iones Hidrogenoides 10
7 Teoría de Perturbaciones . . . . . . . . . . . . . 11
7.1 Problema 11
7.2 Solución 11
7.3 Acotación 11
7.4 Estado Degenerado 12
8 Oscilador Armónico Perturbado . . . . . . . . . . 13
8.1 Oscilador No-Perturbado 13
8.1.1 Hamiltoniano y Solución . . . . . . 13
8.1.2 Operadores X, N y a . . . . . . . . 13
8.1.3 Estados Propios . . . . . . . . . . . 13
8.2 Perturbación Lineal 14
8.2.1 Solución Aproximada . . . . . . . . 14
8.2.2 Solución Exacta . . . . . . . . . . . 15
8.2.3 Carga en Campo Eléctrico . . . . . 15
8.2.4 Momento Dipolar Eléctrico . . . . . 16
8.3 Perturbación Cuadrática 16
8.3.1 Solución Aproximada . . . . . . . . 16
8.3.2 Solución Exacta . . . . . . . . . . . 17
8.4 Perturbación Cúbica 17
8.4.1 Solución Aproximada . . . . . . . . 17
8.4.2 Oscilador Anarmónico . . . . . . . . 18
8.4.3 Molécula Diatómica . . . . . . . . . 18
9 Composición de Momentos Cinéticos . . . . . . . 22
10 Método de Variaciones . . . . . . . . . . . . . . 22
11 Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
12 Anexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2
NS137-MC2 Mecánica Cuántica II
4. Interacción entre Dos Partículas
4.1. Planteamiento del Problema
Dos partículas aisladas sometidas a un potencial V tienen
el siguiente hamiltoniano:
H “
1
2m1
~P 21 `
1
2m2
~P 22 ` V p~R1 ´ ~R2q (1)
Donde ~R1 y ~R2 son las observables posición de cada par-
tícula, así como ~P1 y ~P2 son las observables de cantidad
de movimiento. Con esto podremos plantear el problema de
valores y estados propios:
H |ϕ〉 “ E |ϕ〉
Para encontrar las energías propias y la función de onda
correspondiente al sistema:
ϕp~r1, ~r2q “ 〈~r1, ~r2 | ϕ〉
4.2. Transformaciones
Resulta conveniente sin embargo, expresar el problema en
términos de otras cuatro observables: ~R, ~P , ~RG y ~PG; que
nos permitirán estudiar el movimiento del centro de masa y
el movimiento relativo entre las dos partículas. Las relacio-
nes de estas cuatro nuevas observables con respecto a las
observables de cada partícula se presentan a continuación.
4.2.1. Transformaciones Canónicas
Definamos las observables ~RG y ~PG de la siguiente forma:
$
’
’
&
’
’
%
~RG “
m1 ~R1 `m2 ~R2
m1 `m2
~PG “ ~P1 ` ~P2
(2)
Definamos las observables ~R y ~P de la siguiente forma:
$
’
’
&
’
’
%
~R “ ~R1 ´ ~R2
~P “
m2 ~P1 ´m1 ~P2
m1 `m2
(3)
Las relaciones presentadas anteriormente se denominanan
“canónicas” porque, como se puede demostrar, cumplen con
las siguientes relaciones de conmutación:
$
’
’
’
&
’
’
’
%
rRGx, PGxs “ i h̄ ; rX,Pxs “ i h̄
rRGy, PGys “ i h̄ ; rY, Pys “ i h̄
rRGz, PGzs “ i h̄ ; rZ,Pzs “ i h̄
(4)
Para demostrar lo anterior debemos recordar las relaciones
de conmutación entre observables posición y cantidad de
movimiento, las cuales, adaptadas a la nomenclatura co-
rrespondiente al sistema de dos partículas en estudio, son:
$
’
’
’
&
’
’
’
%
rX1, P1xs “ rY1, P1ys “ rZ1, P1zs “ i h̄
rX2, P2xs “ rY2, P2ys “ rZ2, P2zs “ i h̄
todas las demás conmutaciones son cero
(5)
Nótese que siendo 12 observables, todas las conmutaciones
posibles son 132, de las cuales solo las 6 presentadas ante-
riormente cumplirán con el principio de indeterminación.
4.2.2. Transformación Inversa
Partiendo de las transformaciones canónicas es inmediato
el cálculo que permite despejar las observables de cada par-
tícula.
Para la primera partícula:
$
’
’
&
’
’
%
~R1 “ ~RG `
m2
m1 `m2
~R
~P1 “ ~P `
m1
m1 `m2
~PG
(6)
Para la segunda partícula:
$
’
’
&
’
’
%
~R2 “ ~RG `
m1m1 `m2
~R
~P2 “ ´~P `
m2
m1 `m2
~PG
(7)
4.3. Hamiltoniano
Con las expresiones de transformación inversa podremos re-
emplazar las observables de cada partícula en el hamilto-
niano inicial para obtener:
H “
1
2m1
~P 21 `
1
2m2
~P 22 ` V p~R1 ´ ~R2q
“ ...
“
1
2µ
~P 2 `
1
2M
~P 2G ` V p~Rq
Donde M “ m1 `m2 es la masa total del sistema, y µ se
denomina “masa reducida” y viene dada por:
1
µ
“
1
m1
`
1
m2
(8)
4
NS137-MC2 Mecánica Cuántica II
N.B. Al desarrollar los binomios de observables cantidad
de movimiento al cuadrado se puede aplicar la fórmula
pa ` bq2 “ a2 ` b2 ` 2 a b, porque todas las observables
involucradas conmutan entre sí.
De la última expresión hallada para el hamiltoniano de las
dos partículas, se puede evidenciar que el problema puede
ser dividido en dos partes que llamaremos HR y HG, y cada
una tendrá el siguiente hamiltoniano:
$
’
’
&
’
’
%
HR “
1
2µ
~P 2 ` V p~Rq
HG “
1
2M
~P 2G
(9)
De modo que el hamiltoniano total será:
H “ HR `HG
Entonces, el problema podrá ser reformulado en términos de
dos “partículas ficticias” e independientes entre sí, cada una
con masas M y µ. El problema a valores y estados propios
podrá descomponerse en:
$
&
%
HG |ϕG〉 “ EG |ϕG〉
HR |ϕR〉 “ ER |ϕR〉
Y al resolver ambas ecuaciones se podrán construir los va-
lores y estados propios de H del siguiente modo:
$
&
%
E “ EG ` ER
|ϕ〉 “ |ϕG〉b |ϕR〉
Donde b es un producto tensorial (Cf. Cohen-Tannoudji
§II-F p.153).
4.4. Solución HG
El hamiltoniano:
HG “
1
2M
~P 2G ,
corresponde al estudio de una partícula libre con masa M y
vector posición ~RG, problema en el cual se obtuvieron (Cf.
NS137-MC1) los siguientes resultados:
$
’
’
&
’
’
%
EG “
h̄2
2M
~k 2G
ϕ~kGp~rGq “ c e
i~kG¨~rG
Donde ~kG “ pkGx, kGy, kGzq es el vector de onda.
Nótese que ~RG apunta al centro de masa del sistema, y por
lo que, si se analiza el problema en un sistema de referencia
con origen en el centro de masa, la solución correspondiente
a HG sería nula.
4.5. Solución HR
El hamiltoniano:
HR “
1
2µ
~P 2 ` V p~Rq ,
corresponde al estudio de una partícula de masa µ sometida
a un potencial central V p~Rq, problema que se estudiará de
forma independiente en la siguiente sección.
5
NS137-MC2 Mecánica Cuántica II
5. Partícula en Potencial Central
En esta sección estudiaremos un partícula con masa m so-
metida a un potencial central. Su hamiltoniano es:
H “
1
2m
~P 2 ` V p~Rq
5.1. Ecuación Principal
El problema de valores y estados propios en la representa-
ción |~r〉 será:
〈~r |H |ϕ〉 “ 〈~r |E |ϕ〉
〈~r | 1
2m
~P 2 ` V p~Rq |ϕ〉 “ 〈~r |E |ϕ〉
〈~r | 1
2m
ˆ
h̄
i
∇
˙ 2
` V p~rq |ϕ〉 “ 〈~r |E |ϕ〉
„
´h̄2
2m
∇2 ` V p~rq

〈~r | ϕ〉 “ E 〈~r | ϕ〉
„
´h̄2
2m
∇2 ` V p~rq

ϕp~rq “ E ϕp~rq
Llegado a este punto, recordemos que hay una relación im-
portante entre las armónicas esféricas (§ Momento Angular)
y la parte angular del laplaciano en coordenadas esféricas,
de tal modo que podemos escribir:
B2
Bθ2
`
1
tan θ
B
Bθ
`
1
sin2 θ
B2
Bφ2
“
´~L 2
h̄2
(10)
De modo que podremos escribir el laplaciano en coordena-
das esféricas del siguiente modo:
∇2 “ 1
r2
B
Br
ˆ
r2
B
Br
˙
loooooooomoooooooon
ξ
`
1
r2
˜
´~L 2
h̄2
¸
(11)
N.B. En el libro Cohen-Tannoudji y en clases de H. Rojas ξ
se considera (al parecer incorrectamente):
ξ “
1
r
B2
Br2
r
Recordemos también (§ Momento Angular Orbital) que los
valores propios de ~L2 son ` p` ` 1q h̄2. Entonces, podre-
mos retomar el problema de valores y estados propios del
siguiente modo:
«
´h̄2
2m
«
ξ `
1
r2
˜
´~L 2
h̄2
¸ff
` V p~rq
ff
ϕp~rq “ E ϕp~rq
„
´h̄2
2m
ξ ´
h̄2
2mr2
„
´` p`` 1q h̄2
h̄2

` V p~rq

ϕp~rq “ E ϕp~rq
„
´h̄2
2m
ξ `
h̄2
2m
` p`` 1q
r2
` V p~rq

ϕp~rq “ E ϕp~rq
Por otro lado, recordemos que la función de onda puede
separarse en una función radial R, y otra Y que depende
solo de las variables angulares. Esto nos permitirá conside-
rar solamente la parte radial de ϕ. Nótese además que en
la última ecuación diferencial no ha variables angulares, por
lo cual V p~rq “ V prq, y por tanto:
„
´h̄2
2m
ξ `
h̄2
2m
` p`` 1q
r2
` V prq

Rk `prq “ ERk `prq
N.B. En la expresión anterior vemos que existe una ecua-
ción para cada valor de ` (recordemos que ` “ 0, 1, 2, ...).
Además la ecuación no depende de m, por lo cual los esta-
dos están degenerados p2 `` 1q veces; a esto se denomina
“degeneración esencial”.
5.1.1. Sobre la ODE
La resolución de la ecuación diferencial obtenida preceden-
temente permitirá obtener la denominada “función radial”
Rk `prq, que es la parte radial de la función de onda pa-
ra una partícula en potencial central V prq. Como partimos
de un problema a valores y estados propios, naturalmente
se pretende encontrar también las “energías propias” E del
sistema.
La solución del problema tiene cierto grado de dificultad de-
bido a que estamos ante una ecuación diferencial ordinaria
(ODE por el acrónimo inglés) del tipo:
„
a
1
x
d2
dx2
x` b
1
x2
` V pxq

y “ c y
a
x
d2px yq
dx2
`
»
—
–
b
x2
` V pxq ´ c
looomooon
vpxq
fi
ffi
fl
y “ 0
a
x
d
dx
`
y ` x y1
˘
`
„
b
x2
` vpxq

y “ 0
a
x
`
y1 ` y1 ` xy2
˘
`
„
b
x2
` vpxq

y “ 0
y2 `
2
x
y1 `
„
b
a x2
` vpxq

y “ 0
y2 `
2
x
y1 ` fpxq y “ 0
6
NS137-MC2 Mecánica Cuántica II
Donde a, b y c son constantes auxiliares interpretadas en el
contexto de cada expresión. Es importante considerar que
la función f “ fpx, `q debe estar sujeta a la condición del
número cuántico orbital: ` “ 0, 1, 2, 3, ...; y por lo tanto la
solución de la ecuación diferencial debe hallarse en términos
de `.
5.2. Condición de Borde
Se trata de determinar el valor de la solución cuando r Ñ 0.
5.2.1. Parte 1 (evaluación c.r**s)
Para este fin se considerará que Rk, `prq „ c rs. Reempla-
zando la expresión anterior en la ecuación principal tenemos:
„
´h̄2
2m
1
r
d2
dr2
r `
h̄2
2m
` p`` 1q
r2
` V prq

pc rsq “ E pc rsq
Expresión de la cual analizaremos los primeros dos términos:
´h̄2
2m
1
r
d2
dr2
rr pc rsqs `
h̄2
2m
` p`` 1q
r2
pc rsq
¨ ¨ ¨
Lo cual nos permitirá considerar que, para evitar una inde-
terminación, la expresión anterior debe ser cero, y por lo
tanto sus coeficientes deben cumplir:
´s ps` 1q ` ` p`` 1q “ 0
Ecuación en s que tiene dos soluciones: s “ ` y s “ ´p``1q,
lo cual significa:
#
Rk, `prq „ c r
´`´1 . . . . . . no válido
Rk, `prq „ c r
` . . . . . . aceptable
En las proposiciones anteriores el criterio de selección está
sujeto a la condición ` “ 0, 1, 2, 3, ...; la primera expresión
no es válida porque implicaría singularidades en la función
de onda.
N.B. Al tener solo una ecuación físicamente válida, pode-
mos afirmar que tH, ~L 2, Lzu forman un conjunto completo
de observables que conmutan. Esta propiedad será verifica-
da y comentada más profundamente al finalizar el estudio
del átomo de hidrógeno (§Conmutación de H).
5.2.2. Parte 2 (cambio R=u/r)
Será conveniente buscar una solución de la forma:
Rk, `prq “
1
r
uk, `prq (12)
Lo cual nos permitiría escribir (recordando el resultado ob-
tenido en la parte anterior):
uk, `prq “ r Rk, `prq „ r
`
c r`
˘
„ c r``1
Sin embargo, antes será importante calcular las consecuen-
cias del cambio de variable en la ecuación principal:
„
´h̄2
2m
1
r
d2
dr2
r `
h̄2
2m
` p`` 1q
r2
` V prq
 „
1
r
uk, `prq

“ E
„
1
r
uk, `prq

¨ ¨ ¨
Ahora bien, recordemos que buscamos la solución cuando
r Ñ 0, considerando el cambio de variable:
ĺım
rÑ0
uk, `prq “ ĺım
rÑ0
`
c r``1
˘
“ 0
5.2.3. Parte 3 (análisis)
La “nueva” ecuación principal, escrita en términos del cam-
bio de variable efectuado, será:
„
´h̄2
2m
d2
dr2
`
h̄2
2m
` p`` 1q
r2
` V prq

uk, `prq “ E uk, `prq
N.B. El primer término de la expresión entre corchetes es
una especie de “energía cinética”(i.e. „ :R). El segundo y
tercer término, debido a su dependencia explícita de r, son
denominados en conjunto como “potencial efectivo”: Veff .
Con respecto a la condición de borde:
uk, `p0q“ 0 (13)
5.3. Condición de Normalización
Recordando que d~r “ r2 sin θ dr dθ dφ (Cf. §Momento Or-
bital) , es evidente que debido al cambio de variable r2
desaparecerá y quedará solamente:
ż 8
0
dr |uk, `prq|
2
“ 1 (14)
7
NS137-MC2 Mecánica Cuántica II
6. Átomo de Hidrógeno
6.1. Planteamiento del Problema
El átomo de hidrógeno es un problema de dos partículas so-
metidas a potencial central de tipo eléctrico. Sin embargo,
como la masa del electrón es muy pequeña en comparación
con la masa del protón, i.e. me ! mp, se pueden realizar
las siguientes simplificaciones: la masa total M « mp y la
masa reducida µ « me.
Una tercera simplificación sería considerar al protón en re-
poso, o bien analizar el sistema con origen en el centro de
masas (que estará virtualmente en el núcleo), con lo cual
la dinámica del sistema (H “ HG ` HR « HR) quedaría
determinada solo por el electrón.
Por lo tanto, en esta sección se estudiará el átomo de hidró-
geno, como si el sistema solo se tratara de una partícula con
masa µ « me, sometida a un potencial central eléctrico.
6.1.1. Sobre la ODE
Veamos la forma general que tiene la ecuación diferencial
ordinaria (ODE), obtenida en base al problema de valores y
estados propios, cuando el potencial es eléctrico:
„
a
1
x
d2
dx2
x` b
1
x2
` V pxq

y “ c y
„
a
1
x
d2
dx2
x` b
1
x2
` e
1
x

y “ c y
a
x
`
y1 ` y1 ` xy2
˘
`
„
b
x2
`
e
x
´ c

y “ 0
y2 `
2
x
y1 `
„
b
a x2
`
e
a x
´
c
a

y “ 0
y2 `
a
x
y1 `
ˆ
b
x2
`
c
x
` e
˙
y “ 0
Aunque las soluciones serán determinadas de forma explícita
en las siguientes secciones, de forma anticipada se presentan
algunos ejemplos de la forma que asumirán:
$
’
’
&
’
’
%
ypxq “ a e´x{b
ypxq “ pa xq e´x{b
ypxq “ pa` b xq e´x{b
¨ ¨ ¨
Donde a, b, c y e son constantes auxiliares interpretadas en
el contexto de cada expresión.
6.1.2. Estrategia de Solución
En términos generales, la estrategia a seguir para encon-
trar la solución Rprq de la ecuación diferencial (principal),
consiste en considerar primero que una parte de la solución
corresponderá a:
ĺım
rÑ8
Rprq “ e´c{r
Luego, la solución general deberá tener la forma:
Rprq “
gprq
r
e´c r
Donde c dependerá de ` y un parámetro entero adicional n.
Finalmente se adoptará una sumatoria de polinomios hasta
el orden N (límite a determinar) para la función gprq, i.e.
gprq “
N
ÿ
i“0
ai r
bi
.
N.B. Las variables numéricas a, b, c y las funciones ypxq y
gprq utilizadas aquí son entidades auxiliares que permiten
mostrar solamente la “forma” de las funciones involucra-
das. Una descripción detallada de las mismas, usando otra
nomenclatura, se presentará en las siguientes secciones.
6.2. Potencial Efectivo
Considerando el segundo postulado de Bohr, referente a la
interacción eléctrica entre protón y neutrón, el potencial
eléctrico es:
V prq “ ´kC
e2
r
Donde kC es la constante eléctrica y e la carga elemental.
El potencial efectivo, como había sido definido en la sección
de Partícula en Potencial Central, será entonces:
Veff prq “
h̄2
2me
` p`` 1q
r2
´ kC
e2
r
Se presenta a continuación un gráfico del potencial efectivo:
Figura 1: Potencial efectivo.
8
NS137-MC2 Mecánica Cuántica II
6.3. Definiciones
Antes de proseguir será conveniente enunciar algunas de-
finiciones, aunque algunas parezcan un poco apresuradas,
servirán de referencia para su utilización más adelante.
6.3.1. Radio de Bohr
El radio de Bohr se define como:
a0 “
h̄2
kC me e2
« 0.5ˆ 10´10 [m] (15)
6.3.2. Cambio a rho
Será conveniente realizar el siguiente cambio de variable:
r “ a0 ρ (16)
6.3.3. Energía Base
La energía del estado no–exitado (n=1) en el átomo de
hidrógeno es:
EI “
´h̄2
2me a20
« 13.6 [eV] (17)
6.3.4. Lambda
Este valor, de gran importancia como parámetro en la so-
lución final, se define como:
λ2k,` “
´Ek,`
EI
(18)
6.3.5. Números Cuánticos
Los números cuánticos necesarios para describir la función
de onda del átomo de hidrógeno son tres, como tres son las
dimensiones en que puede moverse el electrón: el número
cuántico principal: n “ 1, 2, 3, ...; el número cuántico orbi-
tal: ` “ 0, 1, 2, 3, ..., pn ´ 1q; y el número cuántico orbital
magnético: m “ ´`,´`` 1, ..., `´ 1, `.
6.4. Ecuación Principal en rho
La ecuación principal de partícula en potencial central se
puede expresar en términos de r “ a0 ρ:
„
´h̄2
2me
d2
dr2
`
h̄2
2me
` p`` 1q
r2
´ kC
e2
r

uk, `prq “ E uk, `prq
¨ ¨ ¨
„
d2
dρ2
´
` p`` 1q
ρ2
`
2
ρ
´ λ2k `

uk `pρq “ 0
6.5. Solución Radial
6.5.1. Parte 1 (rho infty)
6.5.2. Parte 2 (y_kl)
6.5.3. Parte 3 (sumatoria)
6.5.4. Determinación de cq
6.5.5. Condición Final (lambda)
n “ k ` l
6.5.6. Construcción de R
Paso 1:
yk,`pρq “ ρ
``1
k´1
ÿ
q“0
cq ρ
q
Paso 1.5:
cq “
2λ pq ` `q ´ 2
q pq ` 2 `` 1q
cq´1
Paso 2:
uk,`pρq “ yk,`pρq e
´λk,` ρ
Paso 3:
ż 8
0
|uk,`pρq|
2 a0 dρ “ 1
Paso 4:
In “
ż 8
0
ρn e´ρ dρ ; I0 “ 1 ; In “ n! In´1
Paso 5:
Rk,`prq “
1
r
uk,`
ˆ
r
a0
˙
6.5.7. Ejemplos
n=1, l=0
n=2,l=1
n=2,l=0
9
NS137-MC2 Mecánica Cuántica II
6.6. Cuantización de la Energía
6.6.1. Capas y Subcapas
6.6.2. Niveles de Energía
Figura 2: Niveles de energía.
6.6.3. Degeneración de la Energía
6.7. Función de Onda
Se expresa la función de onda como:
ψk.`,m “ Rk,`prqY
m
` pθ, ϕq
6.7.1. Función Angular
Denotada por Y m` pθ, ϕq, se denomina “armónicas esféricas”.
La solución completa fue descrita en la sección de momento
cinético angular.
Ejemplos de Orbitales Cf. Cohen-Tannoudji §EV II p.841.
Figura 3: Representación gráfico de la norma al cuadrado
de tres armónicos eféricos.
Figura 4: Estructura esquemática de H2O.
Figura 5: Estructura esquemática de C2H4.
6.7.2. Función Radial
Denotada por Rk,`prq ha sido encontrada en las secciones
precedentes.
6.7.3. Ejemplos
6.8. Conmutación de H
Se vio que ... forman un CCOC en la condición de borde de
una partícula en potencial central.
6.9. Iones Hidrogenoides
Son aquellos átomos a los que se les quitaron todos sus elec-
trones menos uno, siendo posible analizarlos con el desarro-
llo teórico presentado en esta sección porque tienen un solo
electrón orbitando alrededor de un núcleo con carga: +Ze.
10
NS137-MC2 Mecánica Cuántica II
7. Teoría de Perturbaciones
Se estudiará la teoría de perturbaciones estacionarias, es de-
cir considerando que el hamiltoniano no depende del tiem-
po. Cf. Cohen-Tannoudji §XI p.1093 & Eisberg–Resnick
§Appendix J.
7.1. Problema
Conociendo los autovalores E0n (energías propias) y los esta-
dos propios
ˇ
ˇϕ in
〉
de un sistema conocido con hamiltoniano
(no-perturbado) H0, se desean encontrar los valores y vec-
tores propios de un nuevo hamiltoniano H, que representará
el sistema perturbado, de tal modo que:
H “ H0 ` λ Ŵ (19)
Donde W “ λ Ŵ es la perturbación, siendo λ P < un nú-
mero muy pequeño. Entonces, se buscará resolver:
Hpλq |ϕpλq〉 “ Epλq |ϕpλq〉 (20)
7.2. Solución
Para resolver el problema de valores y estados propios se
asumirá una solución de la forma:
$
’
’
’
’
’
&
’
’
’
’
’
%
Epλq “
8
ÿ
q“0
�q λ
q
|ψpλq〉 “
8
ÿ
q“0
|q〉 λq
Sujeta a las condiciones:
$
&
%
〈ψpλq | ψpλq〉 “ 1
〈0 | ψpλq〉 P <
Donde |0〉 ” |q “ 0〉. Es decir se buscará una solución de
la forma:
$
&
%
Epλq “ �0 ` λ �1 ` λ
2 �2 ` ...
|ψpλq〉 “ |0〉` λ |1〉` λ2 |2〉` ...
Resolviendo para los primeros términos (q ď 2) se obtiene:
$
’
’
’
’
’
’
’
&
’
’
’
’
’
’
’
%
Epλq “ E0n ` λ 〈ϕn | Ŵ |ϕn〉`
λ2
ř
m‰n
ˇ
ˇ
ˇ
〈ϕm | Ŵ |ϕn〉
ˇ
ˇ
ˇ
2
E0n ´ E
0
m
` ...
|ψnpλq〉 “ |ϕn〉` λ
ř
m‰n
〈ϕm | Ŵ |ϕn〉
E0n ´ E
0
m
|ϕm〉` ...
Si se considera la degeneración
ˇ
ˇϕim
〉
, la solución requiere
considerar una sumatoria adicional en i entes de la suma-
toria en q [cf. Cohen-Tannoudji §11-B y §11-C].
N.B. El coeficiente de λ para los estados propios contiene
kets |ϕm‰n〉, esto se denomina “contaminación” de |ϕn〉.
7.3. Acotación
Se puede determinar cuál será el límite que puede alcan-
zar el coeficiente de λ2 para la energía propia. Es decir,
queremos acotar(considerando el caso degenerado):
�2 “
ÿ
m‰n
ÿ
i
ˇ
ˇ
ˇ
〈
ϕ im
ˇ
ˇ Ŵ |ϕn〉
ˇ
ˇ
ˇ
2
E0n ´ E
0
m
Recordemos que:
ˇ
ˇ
ˇ
〈
ϕ im
ˇ
ˇ Ŵ |ϕn〉
ˇ
ˇ
ˇ
2
“ 〈ϕn | Ŵ
ˇ
ˇϕ im
〉 〈
ϕ im
ˇ
ˇ Ŵ |ϕn〉
Ahora bien, considerando un valor m1 tal que ∆E “
|E0n ´E
0
m1 | sea mínimo, podemos escribir con toda seguri-
dad que:
|�2| ď
1
∆E
ÿ
m‰n
ÿ
i
〈ϕn | Ŵ
ˇ
ˇϕ im
〉 〈
ϕ im
ˇ
ˇ Ŵ |ϕn〉
ď
1
∆E
〈ϕn| Ŵ
ÿ
m‰n
ÿ
i
ˇ
ˇϕ im
〉 〈
ϕ im
ˇ
ˇ
loooooooooomoooooooooon
Ŵ |ϕn〉
ď
1
∆E
〈ϕn| Ŵ
por relación de cierre
hkkkkkkkkikkkkkkkkj
p1´ |ϕn〉 〈ϕn|q Ŵ |ϕn〉
ď
1
∆E
”
〈ϕn | Ŵ 1 Ŵ |ϕn〉´ 〈ϕn | Ŵ |ϕn〉 〈ϕn| Ŵ |ϕn〉
ı
ď
1
∆E
»
–〈ϕn | Ŵ 2 |ϕn〉´ 〈ϕn | Ŵ |ϕn〉2
looooooooooooooooooomooooooooooooooooooon
desviación cuadrática media
fi
fl
ď
1
∆E
´
∆Ŵ
¯2
Por lo tanto:
|�2| ď
´
∆Ŵ
¯2
∆E
N.B. Como la sumatoria en m no considera n (m ‰ n), es
evidente que la relación de cierre asume la forma:
|ϕn〉 〈ϕn| `
ÿ
m‰n
ÿ
i
ˇ
ˇϕ im
〉 〈
ϕ im
ˇ
ˇ “ 1
11
NS137-MC2 Mecánica Cuántica II
7.4. Estado Degenerado
Si existen fn valores propios de �1 diferentes, puede ocu-
rrir una de las siguientes situaciones: si fn “ gn se dice
que la generación se levanta completamente, si fn “ 1 la
degeneración se mantiene, si 1 ă fn ă gn se dice que la
degeneración se levanta parcialmente.
Figura 6: Cada curva Epλq corresponde a un estado propio
de H “ H0 ` λ Ŵ . Para λ “ 0 se tiene el espectro de
H0. La perturbación puede eliminar la degeneración (E03),
puede mantenerla (E04), o incluso crear una nueva (λ1).
12
NS137-MC2 Mecánica Cuántica II
8. Oscilador Armónico Perturbado
En esta sección se aplicará la teoría de perturbaciones a un
sistema del tipo oscilador armónico (en una dimensión).
8.1. Oscilador No-Perturbado
Un desarrollo completo del enfoque cuántico del oscilador
armónico se presenta en “Mecánica Cuántica I” de esta serie
de documentos (ns137). A continuación se describirán solo
las definiciones y resultados más importantes que han sido
obtenidos al respecto.
8.1.1. Hamiltoniano y Solución
El hamiltoniano del oscilador armónico, que llamaremos en
adelante “no perturbado”, puede ser escrito como:
H0 “
1
2m
P 2 `
1
2
mω2X2 (21)
Donde X y P son las observables de posición y cantidad
de movimiento respectivamente. Este hamiltoniano en la
representación t|~r〉u es:
H0 “
´h̄2
2m
d2
dx2
`
1
2
mω2 x2 (22)
La solución obtenida para el problema a valores y vectores
propios daba como resultado estados propios |ϕn〉 y ener-
gías propias:
E0n “
ˆ
n`
1
2
˙
h̄ ω ; n “ 0, 1, 2, ... (23)
8.1.2. Operadores X, N y a
Resulta conveniente efectuar el siguiente cambio de varia-
ble:
X̂ “
c
mω
h̄
X (24)
Nótese que X̂ es adimensional. Otros operadores de gran
importancia habían sido definidos de tal modo que:
$
’
’
’
’
’
&
’
’
’
’
’
%
N |ϕn〉 “ n |ϕn〉
a |ϕn〉 “
?
n |ϕn´1〉
a: |ϕn〉 “
?
n` 1 |ϕn`1〉
(25)
Donde N se denomina operador “número”, a operador de
“aniquilación” (annhilation) y a: operador de “creación”. Re-
cordar también que:
N “ a:a (26)
Y que las reglas de conmutación son:
$
’
’
’
&
’
’
’
%
“
a, a:
‰
“ 1
“
N, a:
‰
“ a:
rN, as “ ´a
(27)
Finalmente será conveniente recordar que X̂ podrá ser es-
crito de la siguiente forma:
X̂ “
1
?
2
`
a` a:
˘
(28)
8.1.3. Estados Propios
Primer Nivel
Se sabe que la forma de la función de onda es:
ϕn“0pxq “ c e
´c̃ x2
Figura 7: Función de onda del primer nivel (n “ 0) para el
oscilador armónico.
Segundo Nivel
Conocido el estado |ϕ0〉 se pueden determinar los siguientes
mediante la apliación del operador de creación:
|ϕ1〉 “ a: |ϕ0〉
“
1
?
2
´
X̂ ´ i P̂
¯
|ϕ0〉
“
1
?
2
ˆ
c
mω
h̄
X ´ i
1
?
mω h̄
P
˙
|ϕ0〉
Lo cual nos permitirá escribir, en la representación t|~r〉u, la
función de onda que buscamos:
ϕn“1pxq “
1
?
2
ˆ
c
mω
h̄
x´
1
?
mω h̄
h
i
d
dx
˙
ϕ0pxq
13
NS137-MC2 Mecánica Cuántica II
Figura 8: Función de onda del segundo nivel (n “ 1) para
el oscilador armónico.
8.2. Perturbación Lineal
Cf. Cohen-Tannoudji §AXI -1 p.1110.
8.2.1. Solución Aproximada
Se aplicará la teoría de perturbaciones a un oscilador armó-
nico cuando:
Ŵ “ h̄ ω X̂ (29)
Cálculos Preliminares El cálculo de los elementos de la
matriz Ŵ es el siguiente:
〈ϕm | Ŵ |ϕn〉 “ 〈ϕm | h̄ ω X̂ |ϕn〉
“ h̄ ω 〈ϕm |
a` a:
?
2
|ϕn〉
“
h̄ ω
?
2
`
〈ϕm | a |ϕn〉` 〈ϕm | a: |ϕn〉
˘
“
h̄ ω
?
2
`
〈ϕm |
?
n |ϕn´1〉` 〈ϕm |
?
n` 1 |ϕn`1〉
˘
“
h̄ ω
?
2
`?
n 〈ϕm | ϕn´1〉`
?
n` 1 〈ϕm | ϕn`1〉
˘
“
h̄ ω
?
2
`?
n δm,n´1 `
?
n` 1 δm,n`1
˘
También será conveniente determinar:
E0n ´ E
0
n˘1 “
ˆ
n`
1
2
˙
h̄ ω ´
„
pn˘ 1q `
1
2

h̄ ω
“
ˆ
n`
1
2
˙
h̄ ω ´
ˆ
n`
1
2
˙
h̄ ω ¯ h̄ ω
“ ¯ h̄ ω
Energías Propias
El coeficiente de λ es:
�1 “ 〈ϕm“n | Ŵ |ϕn〉
“
h̄ ω
?
2
`?
n δn,n´1 `
?
n` 1 δn,n`1
˘
“
h̄ ω
?
2
“?
n p0q `
?
n` 1 p0q
‰
“ 0
El coeficiente de λ2 es:
�2 “
ÿ
m‰n
ˇ
ˇ
ˇ
〈ϕm | Ŵ |ϕn〉
ˇ
ˇ
ˇ
2
E0n ´ E
0
m
“
ÿ
m‰n
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
h̄ ω
?
2
`?
n δm,n´1 `
?
n` 1 δm,n`1
˘
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
2
E0n ´ E
0
m
“
h̄2 ω2
2
«
p
?
n δn´1,n´1q
2
E0n ´ E
0
m
`
`?
n` 1 δn`1,n`1
˘2
E0n ´ E
0
m
ff
“
h̄2 ω2
2
ˆ
n
E0n ´ E
0
m“n´1
`
n` 1
E0n ´ E
0
m“n`1
˙
“
h̄2 ω2
2
ˆ
n
h̄ ω
`
n` 1
´h̄ ω
˙
“
h̄ ω
2
pn´ n´ 1q
“
´h̄ ω
2
Por lo tanto, la serie de energías propias será:
Epλq “ �0 ` λ �1 ` λ
2 �2 ` ...
“
ˆ
n`
1
2
˙
h̄ ω ´
h̄ ω
2
λ2 ` ...
Estados Propios
El coeficiente de λ es:
|1〉 “
ÿ
m‰n
〈ϕm | Ŵ |ϕn〉
E0n ´ E
0
m
|ϕm〉
“
ÿ
m‰n
h̄ ω
?
2
`?
n δm,n´1 `
?
n` 1 δm,n`1
˘
E0n ´ E
0
m
|ϕm〉
“
h̄ ω
?
2
ˆ ?
n
E0n ´ E
0
n´1
|ϕn´1〉`
?
n` 1
E0n ´ E
0
n`1
|ϕn`1〉
˙
“
h̄ ω
?
2
ˆ?
n
h̄ ω
|ϕn´1〉`
?
n` 1
´h̄ ω
|ϕn`1〉
˙
“
c
n
2
|ϕn´1〉´
c
n` 1
2
|ϕn`1〉
14
NS137-MC2 Mecánica Cuántica II
Por lo tanto, la serie de estados propios será:
|ψn〉 “ |ϕn〉` λ
c
n
2
|ϕn´1〉´ λ
c
n` 1
2
|ϕn`1〉` ...
8.2.2. Solución Exacta
Se puede verificar que la solución aproximada obtenida
usando la teoría de perturbaciones es la misma que se ob-
tendría si analizamos un hamiltoniano del tipo:
H “ H0 ` λ Ŵ
“
ˆ
1
2m
P 2 `
1
2
mω2X2
˙
` λ
´
h̄ ω X̂
¯
“
1
2m
P 2 `
1
2
mω2X2 ` λ h̄ ω
ˆ
c
mω
h̄
X
˙
“
1
2m
P 2 `
1
2
mω2
ˆ
X2 `
2
mω2
λ h̄ ω
c
mω
h̄
X
˙
“
1
2m
P 2 `
1
2
mω2
«˜
X2 ` 2λ
c
h̄
mω
X
¸
` T ´ T
ff
“
1
2m
P 2 `
1
2
mω2
»
–
˜
X ` λ
c
h̄
mω
¸2
´ λ2
h̄
mω
fi
fl
Para formar el trinomio cuadrado perfecto se sumó y restó
la siguiente expresión:
T ” λ2
h̄
mω
El hamiltoniano H, encontrado previamente, en la repre-
sentación t|~r〉u quedará naturalmente en términos de x. Si
efectuamos el siguiente cambio de variable:
x1 “ x` λ
c
h̄
mω
;
d2x1
dx2
“
d2x
dx2
Energías Propias
Con el cambio de variable efectuado, el hamiltoniano será:
H “
1
2m
ˆ
h̄
i
d
dx
˙2
`
1
2
mω2
„
`
x1
˘2
´ λ2
h̄
mω

“
´h̄2
2m
d2
dx12
`
1
2
mω2 x12
looooooooooooomooooooooooooon
H10 (osc. arm. no perturbado)
´
h̄ ω
2
λ2
Es decir, podremos escribir la ecuación de valores y estados
propios de la siguiente forma:
ˆ
H 10 ´
h̄ ω
2
λ2
˙
|ψ〉 “ E |ψ〉
H 10 |ψ〉 “
ˆ
E `
h̄ ω
2
λ2
˙
|ψ〉
Pero sabemos qué valor de energías propias corresponde al
hamiltoniano de un oscilador armónico no perturbado, y por
lo tanto podremos igualar ese valor al paréntesis del lado
derecho de la ecuación anterior y obtener:
E `
h̄ ω
2
λ2 “
ˆ
n`
1
2
˙
h̄ ω
E “
ˆ
n`
1
2
˙
h̄ ω ´
h̄ ω
2
λ2
Que es la misma expresión que se encontró para las energías
propias usando la teoría de perturbaciones.
N.B. Las energías propias del oscilador armónico sometido a
una perturbación lineal se reducirán todas por la constante
λ2h̄ ω{2.
Función de Onda
Debido al cambio de variable efectuado, la función de onda
para el sistema perturbado será:
ψnpx
1q “ ψn
˜
x` λ
c
h̄
mω
¸
N.B. La función de onda tendrá la forma de la función de
onda del oscilador armónico no perturbado (una gaussiana
para n “ 0), pero desplazada del origen una distancia igual
a λ
a
h̄{pmωq.
8.2.3. Carga en Campo Eléctrico
Cf. Cohen-Tannoudji §FV -1p.552.
Bajo ciertas condiciones, el estudio cuántico de una car-
ga en presencia de un campo eléctrico puede considerarse
como una perturbación lineal de un oscilador armónico.
Consideremos una carga q es descrita por el hamiltoniano
de un oscilador amónico:
H0 “
1
2m
P 2 `
1
2
mω2X2 (30)
Consideremos también que la energía potencial ∆U de un
campo eléctrico constante E es ∆U “ ´q E x, y aplicando
las reglas de cuantización sería:
∆U “ ´q E X
Lo cual permite escribir el hamiltoniano del sistema así:
H “ H0 ´ q E X
Si comparamos la expresión anterior con el hamiltoniano de
un oscilador armónico sometido a una perturbación lineal:
H “ H0 ` λ Ŵ , vemos que:
15
NS137-MC2 Mecánica Cuántica II
´q E X “ λ Ŵ “ λ
´
h̄ ω X̂
¯
“ λ h̄ ω
ˆ
c
mω
h̄
X
˙
λ “
´q E
h̄ ω
c
h̄
mω
Utilizando este valor de λ en los resultados obtenidos ante-
riormente (solución exacta), las energías propias serán:
E “
ˆ
n`
1
2
˙
h̄ ω ´
h̄ ω
2
λ2
“
ˆ
n`
1
2
˙
h̄ ω ´
h̄ ω
2
˜
´q E
h̄ ω
c
h̄
mω
¸2
“
ˆ
n`
1
2
˙
h̄ ω ´
q2E2
2 h̄ω
h̄
mω
“
ˆ
n`
1
2
˙
h̄ ω ´
q2E2
2mω2
Y las funciones propias:
ψnpx
1q “ ψn
˜
x` λ
c
h̄
mω
¸
“ ψn
«
x`
˜
´q E
h̄ ω
c
h̄
mω
¸
c
h̄
mω
ff
“ ψn
ˆ
x´
q E
mω2
˙
En cuanto a la forma del potencial de energía cuando el
sistema es sometido a una perturbación lineal, podemos
evidenciar que el gráfico se comporta de la siguiente forma:
Figura 9: Potencial U y perturbación lineal W .
8.2.4. Momento Dipolar Eléctrico
Cf. Cohen-Tannoudji §FV -2 p.554.
Bajo ciertas condiciones, el estudio cuántico de momento
dipolar magnético puede considerarse como una perturba-
ción lineal de un oscilador armónico.
8.3. Perturbación Cuadrática
Cf. Cohen-Tannoudji §AXI -2 p.1113.
8.3.1. Solución Aproximada
Se aplicará la teoría de perturbaciones a un oscilador armó-
nico cuando:
Ŵ “
h̄ ω
2
X̂2 (31)
Cálculos Preliminares
Primero será necesario desarrollar:
X̂2 “
„
1
?
2
`
a` a:
˘
2
“
1
2
´
a2 ` a:
2
` a a: ` a:a
¯
Lo cual nos permitirá aplicarlo sobre un ket del siguiente
modo:
X̂2 |ϕn〉 “
1
2
´
a2 ` a:
2
` a a: ` a:a
¯
|ϕn〉
“
1
2
´
a2 |ϕn〉` a:
2
|ϕn〉` a a: |ϕn〉` a:a |ϕn〉
¯
“ ...
El cálculo de los elementos de la matriz Ŵ es el siguiente:
〈ϕm | Ŵ |ϕn〉 “ 〈ϕm |
h̄ ω
2
X̂2 |ϕn〉
“ ...
También será conveniente determinar:
E0n ´ E
0
n˘2 “ ¯ 2 h̄ ω
Energías Propias
El coeficiente de λ es:
�1 “ 〈ϕm“n | Ŵ |ϕn〉
“ ...
El coeficiente de λ2 es:
�2 “
ÿ
m‰n
ˇ
ˇ
ˇ
〈ϕm | Ŵ |ϕn〉
ˇ
ˇ
ˇ
2
E0n ´ E
0
m
“ ...
Por lo tanto, la serie de energías propias será:
Epλq “ �0 ` λ �1 ` λ
2 �2 ` ...
“
ˆ
n`
1
2
˙
h̄ ω
ˆ
1`
1
2
λ´
1
8
λ2...
˙
16
NS137-MC2 Mecánica Cuántica II
8.3.2. Solución Exacta
Se puede verificar que la solución aproximada obtenida
usando la teoría de perturbaciones es la misma que se ob-
tendría si analizamos un hamiltoniano del tipo:
H “ H0 ` λ Ŵ
“
ˆ
1
2m
P 2 `
1
2
mω2X2
˙
`
λ
2
´
h̄ ω X̂2
¯
“
1
2m
P 2 `
1
2
mω2X2 `
λ
2
h̄ ω
ˆ
c
mω
h̄
X
˙2
“
1
2m
P 2 `
1
2
mω2X2 `
λ
2
mω2X2
“
1
2m
P 2 `
1
2
m ω2 p1` λq
loooomoooon
N.B.
X2
Nótese la conveniencia de realizar el cambio de variable:
ω1 2 “ ω2 p1` λq
ω1 “ ω
?
1` λ
Un oscilador con tal frecuencia, tendrá las siguientes ener-
gías propias:
En “
ˆ
n`
1
2
˙
h̄ ω1
“
ˆ
n`
1
2
˙
h̄ ω
?
1` λ
Expresión que podemos aproximar mediante la serie de Tay-
lor:
p1` λqn « 1`
n
1!
λ`
n pn´ 1q
2!
λ2...
« 1`
1{2
1
λ`
p1{2q p1{2´ 1q
2
λ2...
« 1`
1
2
λ´
1
8
λ2...
De modo que:
En “
ˆ
n`
1
2
˙
h̄ ω
ˆ
1`
1
2
λ´
1
8
λ2...
˙
Que es la misma expresión que se encontró para las energías
propias usando la teoría de perturbaciones.
8.4. Perturbación Cúbica
Cf. Cohen-Tannoudji §AXI -3 p.1114.
8.4.1. Solución Aproximada
Se aplicará la teoría de perturbaciones a un oscilador armó-
nico cuando:
Ŵ “ h̄ ω X̂3 (32)
N.B. En este caso no existe una solución analítica.
Cálculos Preliminares
Primero será necesario desarrollar:
X̂3 “
„
1
?
2
`
a` a:
˘
3
“ ...
Lo cual nos permitirá aplicarlo sobre un ket del siguiente
modo:
X̂3 |ϕn〉 “ ...
El cálculo de los elementos de la matriz Ŵ es el siguiente:
〈ϕm | Ŵ |ϕn〉 “ 〈ϕm | h̄ ω X̂3 |ϕn〉
“ 〈ϕm | h̄ ω
„
1
?
2
`
a` a:
˘
3
|ϕn〉
Tomar en cuenta que, como a y a: no conmutan, el desa-
rrollo es:
`
a` a:
˘3
“
`
a` a:
˘ `
a` a:
˘2
“ ...
“ a3 ` a:
3
` 3N a: ` 3N a` 3 a
Siendo el cálculo precedente un tanto extenso, se ha dividi-
do el mismo en los siguientes componentes:
ξ1 ” 〈ϕn´1 | Ŵ |ϕn〉 “ 3 h̄ ω
´n
2
¯3{2
ξ2 ” 〈ϕn`1 | Ŵ |ϕn〉 “ 3 h̄ ω
ˆ
n` 1
2
˙3{2
ξ3 ” 〈ϕn´3 | Ŵ |ϕn〉 “ h̄ ω
c
npn´ 1qpn´ 2q
8
ξ4 ” 〈ϕn`3 | Ŵ |ϕn〉 “ h̄ ω
c
pn` 3qpn` 2qpn` 1q
8
De tal modo que el elemento de matriz buscado será:
〈ϕm | Ŵ |ϕn〉 “
ξ1 δm,n´1 ` ξ2 δm,n`1 ` ξ3 δm,n´3 ` ξ4 δm,n`3
También será conveniente determinar:
E0n ´ E
0
n˘p “ ¯ p h̄ ω
Energías Propias
17
NS137-MC2 Mecánica Cuántica II
El coeficiente de λ es:
�1 “ 〈ϕm“n | Ŵ |ϕn〉
“ a p0q ` b p0q ` c p0q ` d p0q
“ 0
El coeficiente de λ2 es:
�2 “
ÿ
m‰n
ˇ
ˇ
ˇ
〈ϕm | Ŵ |ϕn〉
ˇ
ˇ
ˇ
2
E0n ´ E
0
m
“ ...
“ ´
15
4
λ2
ˆ
n`
1
2
˙2
h̄ω ´
7
16
λ2h̄ ω
Por lo tanto, la serie de energías propias Epλq “ �0`λ �1`
λ2 �2 ` ..., será igual a:
Epλq “
ˆ
n`
1
2
˙
h̄ω ´
15
4
λ2
ˆ
n`
1
2
˙2
h̄ ω
´
7
16
λ2h̄ ω ` ...
Estados Propios
El coeficiente de λ es:
|1〉 “
ÿ
m‰n
〈ϕm | Ŵ |ϕn〉
E0n ´ E
0
m
|ϕm〉
“ ...
“
ξ1
h̄ ω
|ϕn´1〉`
ξ2
´h̄ ω
|ϕn`1〉`
ξ3
3 h̄ ω
|ϕn´3〉`
ξ4
´3 h̄ ω
|ϕn`3〉
Y la serie de estados propios |ψn〉 “ |ϕn〉 ` λ |1〉 ` ...,
truncada al primer orden será:
|ψn〉 “
|ϕn〉` λ p γ1 |ϕn´1〉` γ2 |ϕn`1〉
`γ3 |ϕn´3〉` γ4 |ϕn`3〉 q
Donde:
γ1 ” 3
´n
2
¯3{2
γ2 ” ´3
ˆ
n` 1
2
˙3{2
γ3 ”
1
3
c
npn´ 1qpn´ 2q
8
γ4 ”
´1
3
c
pn` 3qpn` 2qpn` 1q
8
8.4.2. Oscilador Anarmónico
Figura 10: Oscilación anarmónica.
8.4.3. Molécula Diatómica
Cf. Cohen-Tannoudji §AXI -3-c p.1117 & §AV -1-a p.511.
Introducción
Cuando dos átomos neutros tienen cada uno diferente nú-
mero de electrones se produce un dipolo eléctrico. El poten-
cial de energía correspondiente a esta molécula diatómica
es:
Figura 11: Potencial de interacción entre dos átomos dife-
rentes.
Donde r es la distancia de separación entre las moléculas y
re es la posición de equilibrio. Nótese que la región inferior
de la curva corresponde a un oscilador armónico sometido a
una perturbación cúbica, es decir, con correcciones al tecer
orden.
Considerando esto, será posible aplicar la teoría desarrolla-
da precedentemente para estudiar las reglas de selección de
una molécula diatómica, de modo que podamos determinar
las frecuencias que pueden ser emitidas o absorvidas.
Planteamiento del Problema
18
NS137-MC2 Mecánica Cuántica II
Recordemos que (véase la primera parte de este documen-
to) la evolución temporal del valor medio de una observable
en un sistema conservativo está dada por el ket:
|ψptq〉 “
ÿ
n
cnpt0q e
´ ih̄ En pt´t0q |ϕn〉 (33)
El bra asociado al ket anterior es:
〈ψptq| “
ÿ
n1
c˚n1pt0q e
i
h̄ En1 pt´t0q 〈ϕn1 | (34)
Recordar también que, según lo anterior, las frecuencias de
Bohr son:
νn1n “
ω
2π
“
|En1 ´ En|
h
(35)
Si queremos determinar la evolución temporal del valor me-
dio de la polarizabilidad D “ q X, utilizamos:
〈D〉 ptq “ 〈ψptq | q X |ψptq〉
“ q
ÿ
n1 n
c˚n1pt0q cnpt0q e
i 2π νn1n pt´t0q 〈ψn1 |X |ψn〉
Es evidente de la expresión anterior que las reglas de se-
lección —i.e. saber qué frecuencias de Bohr permanecen y
cuales no—, dependerán de la existencia de los elementos
〈ψn1 |X |ψn〉. Considerando el estado inicial de la molécula
|ψ0〉, se procederá a calcular los tres primeros elementos de
matriz, y serán aplicados sobre el operador adimensional X̂,
pues solo se requiere saber cuáles serán cero y cuáles no.
Entonces, se requiere calcular:
$
’
’
’
’
’
&
’
’
’
’
’
%
〈ψ0 | X̂ |ψ0〉 “?
〈ψ1 | X̂ |ψ0〉 “?
〈ψ2 | X̂ |ψ0〉 “?
Cálculo del ket cero
Primero se determinará el ket |ψ0〉, usando la fórmula ha-
llada para los estados propios (hasta el primerorden, i.e.
λ1) mediante la teoría de perturbaciones:
|ψ0〉 “
|ϕ0〉` λ p γ1 |ϕ0´1〉` γ2 |ϕ0`1〉
`γ3 |ϕ0´3〉` γ4 |ϕ0`3〉 q
“ |ϕ0〉` λ pγ1 |ϕ´1〉` γ2 |ϕ1〉` γ3 |ϕ´3〉` γ4 |ϕ3〉q
Pero en la expresión anterior, los kets con subíndice nega-
tivo no tiene validez física, por lo tanto son descartados, y
queda solamente:
|ψ0〉 “ |ϕ0〉` λ pγ2 |ϕ1〉` γ4 |ϕ3〉q
“ |ϕ0〉` λ
«
´3
ˆ
1
2
˙3{2
|ϕ1〉`
´1
3
c
p3qp2qp1q
8
|ϕ3〉
ff
“ |ϕ0〉` λ
»
—
—
—
–
´3
?
8
loomoon
γ12
|ϕ1〉`
´1
3
c
3
4
looomooon
γ14
|ϕ3〉
fi
ffi
ffi
ffi
fl
Cálculo de X sobre el ket 0
Aplicando el operador X̂ tenemos:
X̂ |ψ0〉 “
1
?
2
`
a` a:
˘
|ψ0〉
“
1
?
2
`
a |ψ0〉` a: |ψ0〉
˘
La aplicación del operador de aniquilación da:
a |ψ0〉 “ a
“
|ϕ0〉` λ
`
γ12 |ϕ1〉` γ14 |ϕ3〉
˘‰
“ λ γ12
?
1 |ϕ0〉` λ γ14
?
3 |ϕ2〉
“ λ
´3
?
8
?
1 |ϕ0〉` λ
´1
3
c
3
4
?
3 |ϕ2〉
“ λ
´3
?
8
|ϕ0〉` λ
´1
2
|ϕ2〉
La aplicación del operador de creación da:
a: |ψ0〉 “ a:
“
|ϕ0〉` λ
`
γ12 |ϕ1〉` γ14 |ϕ3〉
˘‰
“
?
1 |ϕ1〉` λ γ12
?
2 |ϕ2〉` λ γ14
?
4 |ϕ4〉
“ |ϕ1〉` λ
´3
?
8
?
2 |ϕ2〉` λ
´1
3
c
3
4
?
4 |ϕ4〉
“ |ϕ1〉` λ
´3
2
|ϕ2〉` λ
´1
?
3
|ϕ4〉
Por lo tanto:
X̂ |ψ0〉 “
1
?
2
`
a |ψ0〉` a: |ψ0〉
˘
“
1
?
2
„
|ϕ1〉` λ
ˆ
´3
?
8
|ϕ0〉´ 2 |ϕ2〉´
1
?
3
|ϕ4〉
˙
N.B. En adelante es muy importante considerar que los tér-
minos de orden mayor a λ (i.e. λ2, λ3, etc.), si hubieran,
deberán ser descartados porque la aproximación que reali-
zamos mediante la teoría de perturbaciones solo llega hasta
primer grado.
Cálculo para el bra 0
Puesto que conocemos el ket |ψ0〉, sabemos que el bra aso-
ciado será:
〈ψ0| “ 〈ϕ0| ` λ
«
´3
?
8
〈ϕ1| `
´1
3
c
3
4
〈ϕ3|
ff
19
NS137-MC2 Mecánica Cuántica II
Recordemos que:
X̂ |ψ0〉 “
1
?
2
„
|ϕ1〉` λ
ˆ
´3
?
8
|ϕ0〉´ 2 |ϕ2〉´
1
?
3
|ϕ4〉
˙
Ahora bien, en el cálculo del elemento de matriz que sería
un producto de un trinomio por un cuatrinomio (resultando
una expresión con 12 términos), podemos realizar ciertas
simplificaciones si denotamos por B y K a los bras y kets
con sus respectivos coeficientes. Tendríamos entonces:
〈ψ0 | X̂ |ψ0〉 “ pB0 ` λB1,3q
ˆ
1
?
2
rK1 ` λK0,2,4s
˙
Que da como resultado la siguiente expresión:
1
?
2
`
B0K1 `B0 λK0,2,4 ` λB1,3K1 ` λ
2B1,3K0,2,4
˘
Expresión de la cual debemos descartar el término con λ2
(porque realizamos una aproximación solo al primer orden
en λ con el método de perturbaciones). También sabemos
que BnKm “ 〈ϕn | ϕm〉 “ 0 @ n ‰ m, por lo tanto nos
queda solamente:
〈ψ0 | X̂ |ψ0〉 “
1
?
2
pλB0K0 ` λB1K1q
“
λ
?
2
ˆ
´3
?
8
`
´3
?
8
˙
“
´2λ
?
2
ˆ
3
2
?
2
˙
“
´3
2
λ
Cálculo para el bra 1
El ket |ψ1〉, descartando los subíndices negativos, será:
|ψ1〉 “ |ϕ1〉` λ pγ1 |ϕ0〉` γ2 |ϕ2〉` γ4 |ϕ4〉q
“ |ϕ1〉` λ
„
3
1
?
8
|ϕ0〉`´3 |ϕ2〉`
´1
3
?
3 |ϕ4〉

En base a la expresión anterior:
〈ψ1| “ 〈ϕ1| ` λ
„
3
1
?
8
〈ϕ0| ´ 3 〈ϕ2| `
´1
?
3
〈ϕ4|

Recordemos que:
X̂ |ψ0〉 “
1
?
2
„
|ϕ1〉` λ
ˆ
´3
?
8
|ϕ0〉´ 2 |ϕ2〉´
1
?
3
|ϕ4〉
˙
Por lo tanto, aplicando la notación B-K descrita a detalle
en el “cálculo para el bra 0”, se tiene:
〈ψ1 | X̂ |ψ0〉 “ pB1 ` λB0,2,4q
ˆ
1
?
2
rK1 ` λK0,2,4s
˙
“
1
?
2
pB1K1q
“
1
?
2
Cálculo para el bra 2
El ket |ψ2〉, descartando los subíndices negativos, será:
|ψ2〉 “ |ϕ2〉` λ pγ1 |ϕ1〉` γ2 |ϕ3〉` γ4 |ϕ5〉q
“ |ϕ2〉` λ
«
3 |ϕ1〉´ 3
ˆ
3
2
˙3{2
|ϕ3〉`
´1
3
c
15
2
|ϕ5〉
ff
En base a la expresión anterior:
〈ψ2| “ 〈ϕ2|`λ
«
3 〈ϕ1| ´ 3
ˆ
3
2
˙3{2
〈ϕ3| `
´1
3
c
15
2
〈ϕ5|
ff
Recordemos que:
X̂ |ψ0〉 “
1
?
2
„
|ϕ1〉` λ
ˆ
´3
?
8
|ϕ0〉´ 2 |ϕ2〉´
1
?
3
|ϕ4〉
˙
Por lo tanto, aplicando la notación B-K descrita a detalle
en el “cálculo para el bra 0”, se tiene:
〈ψ2 | X̂ |ψ0〉 “ pB2 ` λB1,3,5q
ˆ
1
?
2
rK1 ` λK0,2,4s
˙
“
1
?
2
pB2 λK2 ` λB1K1q
“
λ
?
2
pB2K2 `B1K1q
“
λ
?
2
p´2` 3q
“
λ
?
2
Conclusión
Se obuvieron los siguientes resultados:
$
’
’
’
’
&
’
’
’
’
%
〈ψ0 | X̂ |ψ0〉 “ ´3λ{2 pero: ν00 “ 0
〈ψ1 | X̂ |ψ0〉 “ 1{
?
2 ùñ ν10 existe
〈ψ2 | X̂ |ψ0〉 “ λ{
?
2 ùñ ν20 existe
Nótese que la primera frecuencia no existe porque se resta
la misma energía: νn1n “ pEn1´Enq{h “ pE0´E0q{h “ 0.
20
NS137-MC2 Mecánica Cuántica II
Las frecuencias de Bohr se pueden calcular usando la fór-
mula de energías propias encontrada con la teoría de per-
turbaciones en los niveles correspondientes:
$
’
’
’
&
’
’
’
%
ν10 “
|E1 ´ E0|
h
“
ˆ
1´
15
2
λ2
˙
ω
2π
ν20 “
|E2 ´ E0|
h
“
ˆ
2´
45
2
λ2
˙
ω
2π
A continuación se presenta un gráfico de las frecuencias
anarmónicas considerando que el peso de las frecuencias
es mayor para ν10, porque de los valores que calculamos,
es el único que no depende de λ, parámetro que según el
planteamiento de la teoría de perturbaciones debe ser muy
pequeño.
Figura 12: Frecuecias de una molécula diatómica.
21
NS137-MC2 Mecánica Cuántica II
9. Composición de Momentos Cinéticos
Cf. Cohen-Tannoudji §X p.997, Sakuray (Modern) §3-8
p.220., Landau (Vol.3) §14, Shankar §15.
N.B. Este capítulo no fue cubierto en el semestre II-2018
por concenso general (no por falta de tiempo) para que no
entre en la evaluación.
10. Método de Variaciones
Cf. Cohen-Tannoudji §EXI – FXI – GXI , Sakuray (Mo-
dern) §5-4 p.341, Shankar §16, Griffiths §7.
N.B. Este capítulo no fue cubierto en el semestre II-2018
por concenso general (no por falta de tiempo) para que no
entre en la evaluación.
11. Bibliografía
N.B. En los libros listados a continuación, el año entre pa-
réntesis corresponde a la última edición disponible en for-
mato digital.
Libro base para la estructura de este documento:
COHEN-TANNOUDJI C., Quantum Mechanics
(1996)
Los libros recomendados como “introductorios” por Cohen-
Tannoudji son:
FEYNMAN R., The Feynman Lectures on Physics
Vol. 3: Quantum mechanics (2013)
EISBERG R. & RESNICK R., Quantum Physics of
Atoms, Molecules and Solids, Nuclei and Particles
(1985)
ALONSO M. & FINN E., Fundamental University
Physics, Vol. 3: Quantum and Statistical Physics
(1971)
BOROWITZ S., Fundamentals of Quantum Mecha-
nics
TOMONAGA S., Quantum Mechanics (1962)
Otros libros recomendados como “avanzados” o “especiali-
zados” por Cohen-Tannoudji son:
MESSIAH A., Quantum Mechanics (2014)
DIRAC P., The Principles of Quantum Mechanics
(1947)
SAKURAY J., Advanced Quantum Mechanics (1967)
SAKURAY J., Modern Quantum Mechanics (2014)
LANDAU L. & LIFSHITZ, E., Quantum Mechanics
Non–Relativistic Theory (1991)
BETHE H., Intermediate Quantum Mechanics
LIFSHITZ E., Relativistic Quantum Theory (1982)
Otros libros de relevancia internacional son:
GRIFFITHS D., Introduction to Quantum Mechanics
(2004)
SHANKAR R., Principles of Quantum Mechanics
(1994)
MANDL F., Introduction to Quantum Mechanics
(2003)
En la Universidad Mayor de San Simón (Cochabamba) para
las materias de Mecánica Cuántica I y II se utiliza única-
mente el libro “Quantum Mechanics” de Cohen-Tannoudji
(1996).
En la Universidad Mayor de San Andrés (La Paz) para las
materias de Física Moderna I y II de pregrado se utiliza:
“Física Cuántica” de Eisberg R. y Resnick R. (1978). Para
la materia Mecánica Cuántica de pregrado se utiliza: “Intro-
duction to Quantum Mechanics” de Griffiths D. (1995). En
cambio para el examen de posgrado se recomienda el estu-
dio de: “Fundamentos de Mecánica Cuántica” de Borowitz
S. (1973).
12. Anexos
Anexo A
Documento escaneado de 14 páginas que contiene todos
los procedimientos necesarios para rendir el primer examen
parcial. Ha sido revisado, corregido y reescrito tres veces.
Anexo B
Documento escaneado de 16 páginas que contiene todos los
procedimientos necesarios para rendir el segundo examen
parcial. Ha sido revisado, corregido y reescrito cinco veces.
22
	Interacción entre Dos Partículas
	Planteamiento del Problema
	Transformaciones
	Transformaciones Canónicas
	Transformación Inversa
	Hamiltoniano
	Solución HG
	Solución HR
	Partícula en Potencial Central
	Ecuación Principal
	Sobre la ODE
	Condición de Borde
	Parte 1 (evaluación c.r**s)
	Parte 2 (cambio R=u/r)
	Parte 3 (análisis)
	Condición deNormalización
	Átomo de Hidrógeno
	Planteamiento del Problema
	Sobre la ODE
	Estrategia de Solución
	Potencial Efectivo
	Definiciones
	Radio de Bohr
	Cambio a rho
	Energía Base
	Lambda
	Números Cuánticos
	Ecuación Principal en rho
	Solución Radial
	Parte 1 (rho infty)
	Parte 2 (y_kl)
	Parte 3 (sumatoria)
	Determinación de cq
	Condición Final (lambda)
	Construcción de R
	Ejemplos
	Cuantización de la Energía
	Capas y Subcapas
	Niveles de Energía
	Degeneración de la Energía
	Función de Onda
	Función Angular
	Función Radial
	Ejemplos
	Conmutación de H
	Iones Hidrogenoides
	Teoría de Perturbaciones
	Problema
	Solución
	Acotación
	Estado Degenerado
	Oscilador Armónico Perturbado
	Oscilador No-Perturbado
	Hamiltoniano y Solución
	Operadores X, N y a
	Estados Propios
	Perturbación Lineal
	Solución Aproximada
	Solución Exacta
	Carga en Campo Eléctrico
	Momento Dipolar Eléctrico
	Perturbación Cuadrática
	Solución Aproximada
	Solución Exacta
	Perturbación Cúbica
	Solución Aproximada
	Oscilador Anarmónico
	Molécula Diatómica
	Composición de Momentos Cinéticos
	Método de Variaciones
	Bibliografía
	Anexos