Resumen Inversa de una Matriz y Determinante Intro al Álgebra lineal - SGD - Claudia Contreras Pedroza

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Tema I : transformaciones lineales
→ Pensar en la matriz A como un objeto que actúa sobre un vector X multiplicándolo para
producir un nuevo vector Ax .
Así , AX = b equivale a encontrar todos los vectores × en IR
'
que se transforman en el
vector b en IR
'
como resultado de la multiplicación por A .
las transformaciones van de IR
"
a IRM
.
Para × en IR
"
, el vector TCXI
- -
DOMINIO 00DOMINIO ( A- tienen columnas y m filas )
es la imagen de× ( bajo la acción de T) . El conjunto de todas lasinagenesTcx) es el rango deT. Tb se dice que es el conjunto de todas las
combinaciones lineales de las columnas de A , porque cada imagen
CTCNI es de la forma AX
Y 11
→ Para saber si hay una o más x cuya imagen bajo la transformación
seamb , hay que resolver ese sistema con esa b y ver si da co ,
Única o ninguna sol .
→ una transformación es lineal si :
i. T (Mtv) = TLM) t Tlv) , Para todas las µ , v en el dominio de T.
ii. TC km) = KTCM) , para todos los escalares K y para todas las µ en el
dominio de T.
iii. TLOI = O
iv. T (Cut dr ) = ctlu) t dTV)
Sofía Gallegos Durán
Tema I : Operaciones de matrices
Recordar que aij es un coeficiente de una matriz , tb se le dice perros , donde i es tiras y
J Columnas .
Matriz triangular superior si es cuadrada , de nxn y aiz = 0 . Elementos debajo de la diagonal
principal son ceros . ( § § § ) . Matriz diagonal : todos los elementos que no están en la diagonal son cero .
SVMAMATRIUES : A y B tienen que ser del mismo tamaño .
ATB = la IJ t bit)
por eiempio , las
-
f) + [ G) =/? ? )
- - -
A
2×2 B 2×2 C zxz
OJO ! ATB = Bt A At Om = A * OM = matriz de puros ceros .
At (Bt C) = LA t B) t C A t l- A) = OM
PONDERAUÓN POR UN ESCALAR :
KA = [kaiz] , k multiplica a todos los elementos de la matriz .
Por ejemplo , 312
-
¡ f- [ 7)
- -
A
2×2 C 2×2
OJO ! klql A = ( Rq) A → hay 2 escalares ponderando
Kl At B) = KA t KB
(Ktq ) A = KA + QA
MULTIPUCAUÓN MATRÍUFS :
Para poder multiplicar matrices es necesario que el número de columnas de la primera matriz sea igual al
número de tiras de la segunda -
AB = C . El elemento que se encuentra en la matriz C en la posición IJ , resulta de multiplicar los
elementos de la tira i de A con la columna J de B :
A B = C
,
CM A
2×3
° B
3×2
= (
2×2
Cada columna de C es una combinación lineal de las
III. iii.%.) ( to! lo:) -- K: aaumnasaeausanaoioesosaeiaoaumnaoorrsraers .
A B C
Cnn = multiplicar la 1° fila de A por la 10 columna de B .
(Arn . bnr ) t lanza bzr ) t l 913 . bss )
"
la multiplicación de AB representa la composición de Trota
"
: Trota) lxl = Tr ( Tzlxl ) = Tr ( Bx ) = AlBx) =
con Tz= BX y Tr = Az ABLX) ,
Tz
→ z = Tzlx) = BX Vector
X B Tzlx) Trlzl
z y
A y = Trlz) = Az
= ALBX)
Matriz por vector
OJO ! ALBC) = LAB) C → NO siempre se cumple . El orden importa muchísimo ! !
A- (BtC) = AB t AC LA t B) C = ACTBC ¡ A B # BA !
MATRIZ TRASPUESTA :
At
,
cambio todas las filas por columnas . la fila 1 es la columna 1 .
* Iii: ::) i.li: :)
Ojo ! (At It = A LA t B) t = Att Bt @A)te k ( At ) A-B)t = Bt At → cuidado con el orden!
At = A → simétrica At = - A → antisimétrico .
Cualquier función se puede expresar como la suma de una función par con ma impar . xt = x , yt = - y , xty = A
Tema VI : la inversa de una matriz .
La multiplicación de una matriz A por su identidad debe dar como resultado va matriz identidad (que es el
elemento neutro de las matrices , actúa parecido al 1 en R) .
A. A -1 = A-
'
o A = I
.
El resultado meva a dar
"
n
"
pivotes correspondiente al n de Im . .
'
. hay Única solución . hay
-
nxn nxn nx
ma Única Á.
cuando A tiene inversa se le dice no singular . En caso contrario , singular
as matrices no singulares siempre tienen que ser cuadradas .
Oso ! LA
"
)
"
= A H Si AB es invertible existe mx tal que , AB x = I
tiemplo . A = f} .} ) y A
-1
-
- ftp.3z] Porque , haciendo multiplicación de A- A
-1
nos
resulta I
.
Un tip! fijarse en la diagonal principal , que den puros 1 :
2.¥ t s . Iz = ¥ t Ez - 1 / 3. qq t -1 . -¥ = qq.at#z-- 1 esos 1 corresponden a las
posiciones Inn y Izz
Inversa para matrices de 2×2
Puede sacarse con el determinante de A , que corresponde a
% %)
det A = ad - bc , A = (q ba) . Con eso podemos decir que la inversa corresponde
a : : filial
si el determinante resulta cero . A no tiene inversa .
Si A tiene 2 pivotes , la matriz tiene inversa , esto porque el sistema tendría única sol .
A de nxn es equivalente con In sólo si A es invertible .
si A es invertible , entonces para cada b la ecuación Ax = b tiene solución única que corresponde a:X
= A- 1. b para el caso de ABX = I , x = LAB)
"
.
nx 1 nxn nx1
por eiem.pro . f}
-
f) x = %)
x. a- no → Eskil . III. Él: D. EE:D . :
Xp = 149153
Xz = - 27153 , El gtz sale de (6×3)-17 . -5) = 53
propiedades de la inversa : ATENCIÓN ! : si A- e s
(At )
- 1
= LA
-
1)
t
AB = I → A = B
" B = A-
"
invertible, significa que
LKAT
'
= K
"
A
-1
con K un número real . (E) tiene columnas LI , y
LAB )
"
= B
"
A
-1
→ OJO con el orden ! es equivalente por filas
(An )
"
= LA
-
1)
"
a la matriz identidad .
MATRICES ELEMENTALES :
se obtiene al hacer solo una operación elemental fila sobre la matriz identidad. (Ei )
Ei es cuadrada e invertible
Recordar operaciones fila :
1. cambio de filas n
. / ! ¡ f) 2. µ } ! ) s . % ! })
2. Ponderación por escalar
↳ si cambio Fn con ↳ si divido Fz les si Resto Fz con
3. Suma de 2 filas Fz llego a In Por -1g llego a In 2 Fr llego a In
Propiedades :
a. la inversa de Ei por cambio de filas . es Ei que proviene de un cambio de filas
b. la inversa de Ei por ponderación , es EÜ que proviene de f- ti
C. la inversa de Ei por suma de dos filas , es Ei que proviene de Fi - KFZ .
a. ⇐
f! ! } )
E-" / ! ! } )
121 Rz
R1 E- Rz
b-
e- =/! ¡ ¡ f
E
- 1-
- E! % . } ) Recordando que EE
-1
= In
R2 → 10 Rz
R2 → pto Rz
c. E. f! ¡ f)
E- '
=L! !
-
E)
R1 → Re t VR ,
Rr → Rr - 2kg
Teorema y propiedades IMPORTANTÍSIMAS para las matrices invertibles :
es Para una matriz A cuadrada lnxn) . ¡ Sima es VIF , todas son VIF !
-
Transformaciones lineales invertibles .
IR
" IRH
A
X Ax AYVAXI = x [arcsenlsenlx) ) = X → ejemplo)
-
A -1
UnaT.LA invertible si existe una función , tal que :( A- 1 . A) lxl = A" ( Acxi) = × i sólo
si A es invertible ( A correspondiente a la matriz estándar para la transformación) .
T
-
llx) = A
-1
x
→ Para probar que una T es invertible seguir los siguientes pasos :
1°
.
Ver si alguna de las transformaciones corresponde a un vector canónico . si es así , identificarlo con su
posición le④) y asignarlo como columna en esa posición de la matriz estándar .
sí . Combino linealmente el canónico con otro para que me de otra posición en la M . E. : Ejemplo,
III. Es) tlf Es) → TIÍI -ttttl :o)
-
III. El
Hotel
3? sigo combinando linealmente hasta completar la M . Ei el tamaño lo dan en el enunciado , por
ejemplo , T : R
'
→ IRS
,
el porte de la M -E es de 3×3 .
4. . comprobar con alguna de las prop . que la M . E es invertible ( usual% se usa revisar la q de pivotes)
5. Calcular inversa de M - E .
¿CÓMO CALCULAR LA INVERSA DE UNA MATRIZ ESTÁNDAR ?
1. A m lado ( lado izquierdo) poner la matriz estándar , O cualquier matriz A- invertible .
Al lado derecho colocar los vectores canónicos que correspondan al tamaño de la M . E .
Por elempio , si la Matriz es de 3×3 , poner los vectores es , er y eso .
por eiemro .
[ ! ! ! ! ! ! )
.
2. Pivotear a ambos lados hasta llegar a la matriz identidad en el vado izquierdo .
[ ¡ iii. ÷:)
amimersaamme .3. lo que queda en el lado derecho es lo que corresponde
A-
"
=
ftp.?Itz )
TemaVII : determinantes
Para 3×3 también se puede calcular el determinante , para eso se asume la existencia
de A- 1 y se dice que A tiene que ser igual a la matriz identidad de 3×3 l Iso) ,
o al piratear la matriz A deben haber 3 pivotes . si hay alguna columna que no tenga
Pivotes , o que sea solo de ceros , las columnas serán LD y en ese caso no existiría una
inversa para A-
1
.
Determinantes de Laplace:
3
Para Azxz , det A = En C- 1)
"
Jang - detAnj → dejando la fila 1 fija
J
Ó Éi C- 1)
" '
aiz
. det Aiz → dejando la columna 2 tipa .
-
Ahora , det Arg se Obtiene eliminando la fila 1 y la columna j .
por eiemplo, A °
ftp.adf?/.aaa?sz)dlTA-r--(arrar3) → sale de eliminar la 1° fila y la 1° columna , lo que queda es- 932 933
911 913
det Azz = (armario)
tiemplo : A- = [ §
-
¡%) , det A ?
Tomando §yHIT" any det Ar] , usamos la fila 1 para calcular el det. Va a
actuar como representante para toda va matriz :
detA = ( detAn . c- 1)
"
. ann - det Ara . C- 1)
"
. ara t det Anza l- 111 . anz )
-
es un número IR , actúa como
"
pero
"
, coeficiente .
det A = ( detAn . - 2 - detAra . -3 t det Ars . 5)
det Ann = ¢
-
G) . - 2 = d. 0 )
- L- 1.11 . -2
det Ara = [62
-
G) . 3 = ( 6.0 ) - l
- 4. 2) . 3
det Arz = µ µ . 5 = (6-1)-(1-2) . 5
det A = - 2. 4 + 3. 8 - 4. 5 = 36
ITJ
Esto se puede extender a matrices de nxrr : ÉI H) ais det Ai] , con la fila i fija
(escogiendo entre 1 am) ó Éi t 1)"És det Ais , con la columna J fija entre 1am.
DESARROLLO POR COFACTORES :
Manera de facilitar la fórmula de arriba , porque
CIJ = C- 1)
it '
det A ir J ⇒ cofactor ( i , J) .
Entonces , det A = £ aij . Ci] → aquí se fija la fila i y voy cambiando la columna .
J= 1
Ó É ai] CIJ → se tira la columna J y se cambia la fila .
Este teorema es útil para usar con matrices que contienen muchos ceros .
Ojo ! El signo del cofactor Cis depende de la posición de ai] en la matriz A , sin
importar el signo de ai J , Debo escoger una fila
+ - t - . . . o columna ( la que tenga)
{ ÷ ÷ :} tq ! - .. ;) ⇒ siempre sigue ese orden . más ceros , y con lospesos de c posición ir
sacando Cig y luego det .
si
, por elempleo el peso en Ana es -2 , en esa posición el coeficiente quedaría con
signo positivo , pero si en dar el peso es 4 , en esa posición el coeficiente queda
con signo negativo .
¿ OÓMO SE QUÉ ELEGIR ? :
Me tengo que fijar que columna o fila tiene más ceros , o la que tenga más mos , o la que tenga alguna
incógnita que andemos buscando .
Para resolver problemas con incógnitas :
→ Hay que ir desmenuzando el problema y sacar determinantes hasta llegar a determinantes
de matrices de 2×2 . luego , resolver la ecuación que quede . (Puede que me estén haciendo igualar a algo)
TEOREMA MATRIZ TRIANGULAR :
si la matriz es triangular superior o inferior , el determinante se calcula como la multiplicación de la
diagonal principal . La idea ojalá es negar a esta matriz porque es mucho más fácil varwvar.
nariz a superior :
µ ¡ 3g]
Matriz A interior : f} ¡ § )
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES :
1. la operación elemental por suma de filas a ver matriz A no altera el determinante .
2- la operación elemental por cambio de filas a la matriz A cambia el signo del determinante.
Aunque, si permuta un número par de veces el signo del determinante no cambia .
3. la operación elemental de ponderar una fila de la matriz A sí altera al determinante , lo
amplifica en la misma cantidad por la que se amplificó m tira.
→ El det A = det At
.
Por lo tanto
, las propiedades 1,213 también van para columnas .
De repente las columnas están más fáciles que las rivas para llevar a la matriz a A , ami
conviene mejor hacer traspuesta y a esa sacarle el det.
LA MATRIZ U :
Una matriz cuadrada de nxn se redujo a su forma escalonada
"
U
"
mediante una serie de
operaciones elementales ( cambio de filas y suma de tiras) , llegando a su forma A
superior , entonces :
det A = C-1)
'
det V.
, la r va a corresponder a la cantidad de veces que hice
cambio de filas .
el det U = producto de los perros de la diagonal . Si A es invertible , entonces todas
las columnas de U tienen pivote . si no es así entonces A no es invertible .
les Básica% hay que piratear la matriz A hasta llegar a su forma Asup . y
tirarme que hagan pivote en todas las columnas , si hay , calculo det A , si no
el det A = 0 .
C-1)
'
um . . . nnn si A es invertible
det A = {
si A no es invertibleO
det A = 2. 6 . O = Opor ciento . A-¥0 } % ] No es invertible pq el det. es 0 .
Propiedades : para dos matrices A y B de nxn :
✓ det A = det At
✓ det LAB) = det A . det B
✓ det LA
" ) = (det A) "
✓ det A
"
= -1
, si el det A # O
det A
✓ detlkAl = K
"
det A → como el K multiplica a todas las filas , y por cada fila
puedo sacar un K , entonces el k sale n veces ( cantidad de filas) . Si a las filas
les voy sacando + K, entonces los voy multiplicando entre sí .
→ El determinante de A- = O cuando las columnas de A son LD
REGLA DE CRAMMER :
Ai (b) es la matriz de nxn que resulta de reemplazar la columna i en la matriz A por el vector b .
Ailbl = lar . . . b . . . an)
Sea A una matriz invertible de nxn la Única solución de Ax = b tiene pesos dados por :
Xi = detA.cl → si i por ejemplo , es 1 reemplazo la 1° columna por b .
det A
Un truco para sacar determinante de matriz de 3×3 :
¥!! !: }:)
¿ arr . 922 - Ass) t ( an . arz . asi ) t ( ans . Aar . Aza)) - |@13.arr . 931) t ( am . arz . Aza) t (a 12 . 921 . 933))
les = det A
Fórmula para A-
1
:
la columna J de A-
'
es un vector
"
x
"
que satisface : Ax = es . Además la entrada Ü del vector x
~
corresponde a la entrada ( i , J ) de A-
1
. columna J de Im
Entonces , la entrada Li , J ) de A-
'
=
xi = det Ailes)
-
det A
D. el det Ailes) = C- 1)
it '
det (Asi) = Csi . Ojo ! El orden de filas y columnas está
cambiado
,
ahora tenemos columnas y filas (no filas y columnas) → es decir cambiamos a
todas las filas por las columnas .
Así , A
-1
= Matriz adjunta A Lady A) A = KI → det A- = K
det A
la matriz adjunta es la matriz de cofactores Csi .
les Honesta % usar Cranmer es mucho enredo, entonces una forma más fácil para encontrar A
-1
es sacando primero ta traspuesta de A
, y luego sacar los cofactores de esa , para encontrar la ADJ .
E-templo : A
" ? A = (§ {o })
At -- [} ?} §] Cnn = 10.3 - C- 2.11--32 012 = 9 013 = - 6
Czp = 12-1 10 = 22 022 = 21 ( 23 = - 14
↳1 = 4-50 = - 46 Czz = 7-15=-8 Czz = 70-12=58
n-asmiaa.EE?Ig)fEE :))
determinante A :
¿ arn . 922 - Ass) t ( an . arz . asi ) t ( ans . Aar . azr)) - |@13iarr.a 31) t ( am . arz . Aza) t (a 12 . 921 . 933))
les lzoz) t (3 . -2 - 5) t ( O ) - [ ( O) t (7. n . - 2) t ( 3.4 - 3) ] = 158
a-" Esl?!! :D
ÁREA Y VOLUMEN :
↳ Si A es de 2×2 , el área del paralelo' gramo definido por las columnas de A es : ldet Al
Hajj i Para abb
"
pinchados en el origen
"
.
-
¿ QUÉ HACER CUANDO a yb NO ESTÁN PINCHADOS EN EL ORINEN?
¡Traslado el origen! ó hago ÁÁ = coordenada original de B- el nuevo origen
Por ejemplo , hay un paralelogramo
^
•
C
D
.
El nuevo origen estaría en el punto A .
>
•
• B
A
Para determinar su área tomo los puntos By D , y hago , det A = / AJ ÁB /
det A = pads abr↳ Ahora cuando A es de 3×3 , puedo calcular volumen. . Ada Aba)
la figura que resulta es un paralelepípedo :
saco el determinante de la matriz de 3×3
Tema : espacios y subespacios
ESPACIO VECTORIAL
conjunto (
"
V
") de vectores
,
en donde están definidas la suma vectorial ( Mtv) y la ponderación escalar lkv)
SIMVEN LOS SIGUIENTES AXIOMAS :
K , P E IR
→ los conjuntos numéricos , matrices
, polinomios y funciones corresponden a E. vectoriales .
→ Polinomios = Pn
, donde n indica el grado . son EV Cuando los polinomios son de grado
menor o igual a n y de una sola variable .
V = Pz , xtx ' t x' pertenece al espacio vectorial .
"
Igualdad de polinomios
"
: 2 polinomios son iguales si tienen el mismo grado y sus coeficientes
de igualdad grado , son iguales .
Por ejemplo , 2x txtx
'
= A + Bt X2 ))
At Bt 0×2--2 t 2x t X2
2x = A × = B × x
' A- = 2 B-- 2x OXZ f- X ' → NO son iguales .
→ Claramente , un conjunto de vectores geométricos corresponden a un espacio vectorial .
Dos vectores van a ser iqrales si sus normas son iguales , y tienen la misma dirección
y sentido .
ñ
'
= Ü , si ltall eltbll → ñ = ( ar i ar . . . an) y 5
'
= lbr.ba . . . bn) , i .
Hóíll y IITÓH corresponden a : aitasii.anem-bitbi.e.br
Dirección : recta soporte del vectorsentido : hacia dónde apunta la punta i tó - .
suma de oítb :
Etb = 5ta
→ →
a a- b
Ponderación de Ñ : Koi tiene la misma dirección que ñ , pero puede tener # magnitud
y sentido .
Propiedades en común para los espacios vectoriales :
hay M Único vector cero
, con K e IR y r el
vector cero
SUBESPACIOS :
Es como un espacio vectorial pero más pequeño . Se le nombra por
"
H
"
. .
'
.
HEV
, y no es
vacío
.
Para que H sea subespacio de V , H debe ser un E.V por si mismo dentro del mismo espacio dd está definido V .
Deben cumplir con las 10 propiedades de los E. V y además con las siguientes :
✓ El vector cero que estaba en v también está en H
✓ µ y v e H . .
'
. ( Mtv) E H . la suma nunca se puede salir de H . lutr ) =
✓ Me H
,
ke IR . . . kv E H . la ponderación por escalar mmm se puede salir de H . (km = Í )
V V
→
05 A H Resumidas las 2 últimas , qu t Br e s si ay pe R y
Ir
a
µy v e S .
K =
"
cuerpo
"
.
Usval % es IR
.
→ El conjunto que consta solo del vector cero {Tb es m subespacio de V , llamado subespacio cero .
→ El espacio vectorial V es un subespacio de sí mismo .
→ El subespacio vectorial IRT NI es m subespacio de IR? porque los vectores de Rt no son iguales que los de
IR? son conjuntos totalmente distintos , vectores en R
'
jamás generarán vectores en Rs (viceversa)
Pero . por elempleo el conjunto H = { { %) / × e y e IR } sí es subespacio de IR? , pues el vector
tiene 3 Componentes
El conjunto L = { [ to
'
) / xe y e IR } no es un subespacio de Rt , porque no se cumple que el
vector O pertenezca a H . Puesto que : Xt 1 to
y = O
→ Todos los planos en IR
'
que no pasan por el origen , LO son subespacios de 0=0
1123
→ El conjunto de matrices singulares ( no tienen inversa) de 2×2 no es m subespacio del espacio
vectorial conformado por matrices de 2×2 porque sus determinantes son # de ORO .
Hay matrices de 2×2 singulares que sumadas tienen m it to → eso no puede pasar .
[Es) + ED = f? :S ] de# o
→ Sea T : V → W una transformación lineal y V y W espacios vectoriales sobre los números reales , el
conjunto K = {me V 1T (µ) = 0 , O e W } es m subespacio vectorial de V .
GEN S :
En un espacio vectorial V , donde S es un subconjunto de V ( SEV) y S = {µ , . µ, . . . µ.} , entonces el
Gen { S } es m subespacio de V.
Recordar que :
→ un vector µ es combi lineal de los vectores en S si y solo si existe un coeficiente Xi Crean que
satisfaga µ = Xnvn t Xara . . - xnvn
→ El Gen {s } = Gen { un , Mr . . . un } corresponde a todas las combinaciones lineales de los vectores de S .
con el Gen Es} se puede generar el espacio vectorial S completo .
→ Gemelo : H -- la -3 b. b-a. ai b) forma un subespacios de pi . ( kg
?? ) = att ) tbf} )
q M
ESPACIO NULO : un vr
NULA = AX = O con X C- IRON
.
Se trata de un sistema homogéneo.
El espacio nulo de A es en subespacio de IR
"
.
El conjunto de todas las sol de AX = O
A. O = Al 0×1 = 0 AX = O esm subespacio de IR
"
.
A- xr t Axz = O → A lxrt Xa) = 0 , entonces Xrt Xz E NULA .
A KX = O → KAX = K - O = 0
,
entonces RX E NULA
.
NUI A = Gen S , donde S es el conjunto de vectores sol ( x) del sistema Axe 0 .
Todo conjunto H =3 AX -- b , b # 04 no es un subespacio de IR" , pq para que lo sea por lo
menos el vector sol E debe estar y i . Ax con x sería igual a 0 , y 0 #
b
.
Las soluciones del sistema son LI .
ESPACIO COLUMNA
ES el conjunto de todas las combinaciones lineales de las columnas de A , es decir
COI A = Gen 3 ar , ar . . . an } .
Para matrices de mxn : g e
ROM
, y -- AX . Y es conocido como la imagen
de A ( llegadas) . IMLAI . Es como el ⑤ Same thing : b = Ax . Entonces
las Sol de Ax -_ y , son los vectores columnas .
No necesaria% son LIO LD las soluciones , depende de cada problema .
AX - b tiene que tener sol , sino no existiría el espacio .
Si una matriz es rectangular , no es posible que los subespacios columna Y
nulo tengan elementos en común . Pq el primero trata con elementos
de IRM y el segundo de IR
"
.
En cambio , si son cuadradas si se puede , pq tienen en común A vector
cero . Es posible que tengan algún otro elemento en común .
• NUI A = 304 si y solo si la transformación lineal x ⇒ Ax es de no amo .
m
• Col A = IRM si y
solo si la transformación lineal x ⇒ Ax mapea IR
" sobre IR
° Una transformación lineal es una regla que asigna a cada vector x en v un Único
vector Tlxl en W , tal que
il TLMT v ) = Tlnlt Tlvl para todo µ y ✓
en V
Ü) TCCMI = ctlu) para toda µ en V y
todo escalar c.
Iii) Tlu) = O
• El rango de T es el conjunto de todos los vectores en W de la forma TCX) . Y entonces,
el espacio nulo (ni creo) y la imagen de T son el espacio nulo y el espacio
columna de A en TLXI = AX .