slides-clase02 - Luis Disset - Nelson Osorio Arriola

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Sucesiones
Recordemos la
Definición
Una sucesión1 es una función s : D → R, donde D ⊆ N
(aunque también es posible definir sucesiones con dominio
D ⊆ Z).
Cada valor que toma la sucesión es un término de ésta.
Notación
Dada una sucesión s : D → R y n ∈ N, en lugar de s(n)
escribimos sn.
Para referirnos a la sucesión como un todo, escribimos (sn) o
{sn}, aunque también se usan las notaciones (sn)n∈N, {sn}n∈N,
(sn)∞n=1 o {sn}
∞
n=1.
1Un nombre más preciso sería sucesión de números reales.
Sucesiones
Recordemos la
Definición
Una sucesión1 es una función s : D → R, donde D ⊆ N
(aunque también es posible definir sucesiones con dominio
D ⊆ Z).
Cada valor que toma la sucesión es un término de ésta.
Notación
Dada una sucesión s : D → R y n ∈ N, en lugar de s(n)
escribimos sn.
Para referirnos a la sucesión como un todo, escribimos (sn) o
{sn}, aunque también se usan las notaciones (sn)n∈N, {sn}n∈N,
(sn)∞n=1 o {sn}
∞
n=1.
1Un nombre más preciso sería sucesión de números reales.
Sucesiones
Recordemos la
Definición
Una sucesión1 es una función s : D → R, donde D ⊆ N
(aunque también es posible definir sucesiones con dominio
D ⊆ Z).
Cada valor que toma la sucesión es un término de ésta.
Notación
Dada una sucesión s : D → R y n ∈ N, en lugar de s(n)
escribimos sn.
Para referirnos a la sucesión como un todo, escribimos (sn) o
{sn}, aunque también se usan las notaciones (sn)n∈N, {sn}n∈N,
(sn)∞n=1 o {sn}
∞
n=1.
1Un nombre más preciso sería sucesión de números reales.
Sucesiones
Recordemos la
Definición
Una sucesión1 es una función s : D → R, donde D ⊆ N
(aunque también es posible definir sucesiones con dominio
D ⊆ Z).
Cada valor que toma la sucesión es un término de ésta.
Notación
Dada una sucesión s : D → R y n ∈ N, en lugar de s(n)
escribimos sn.
Para referirnos a la sucesión como un todo, escribimos (sn) o
{sn}, aunque también se usan las notaciones (sn)n∈N, {sn}n∈N,
(sn)∞n=1 o {sn}
∞
n=1.
1Un nombre más preciso sería sucesión de números reales.
Sucesiones
Recordemos la
Definición
Una sucesión1 es una función s : D → R, donde D ⊆ N
(aunque también es posible definir sucesiones con dominio
D ⊆ Z).
Cada valor que toma la sucesión es un término de ésta.
Notación
Dada una sucesión s : D → R y n ∈ N, en lugar de s(n)
escribimos sn.
Para referirnos a la sucesión como un todo, escribimos (sn) o
{sn},
aunque también se usan las notaciones (sn)n∈N, {sn}n∈N,
(sn)∞n=1 o {sn}
∞
n=1.
1Un nombre más preciso sería sucesión de números reales.
Sucesiones
Recordemos la
Definición
Una sucesión1 es una función s : D → R, donde D ⊆ N
(aunque también es posible definir sucesiones con dominio
D ⊆ Z).
Cada valor que toma la sucesión es un término de ésta.
Notación
Dada una sucesión s : D → R y n ∈ N, en lugar de s(n)
escribimos sn.
Para referirnos a la sucesión como un todo, escribimos (sn) o
{sn}, aunque también se usan las notaciones (sn)n∈N, {sn}n∈N,
(sn)∞n=1 o {sn}
∞
n=1.
1Un nombre más preciso sería sucesión de números reales.
Ejemplos
I la sucesión constante an = c (donde c ∈ R es un número
fijo);
I la sucesión alternante an = (−1)n;
I la sucesión de Fibonacci , definida por
fn =

0 si n = 0,
1 si n = 1,
fn−1 + fn−2 si n > 1;
I la sucesión dada por
an =
{
−2n si n es impar,
3n si n es par.
Ejemplos
I la sucesión constante an = c (donde c ∈ R es un número
fijo);
I la sucesión alternante an = (−1)n;
I la sucesión de Fibonacci , definida por
fn =

0 si n = 0,
1 si n = 1,
fn−1 + fn−2 si n > 1;
I la sucesión dada por
an =
{
−2n si n es impar,
3n si n es par.
Ejemplos
I la sucesión constante an = c (donde c ∈ R es un número
fijo);
I la sucesión alternante an = (−1)n;
I la sucesión de Fibonacci , definida por
fn =

0 si n = 0,
1 si n = 1,
fn−1 + fn−2 si n > 1;
I la sucesión dada por
an =
{
−2n si n es impar,
3n si n es par.
Ejemplos
I la sucesión constante an = c (donde c ∈ R es un número
fijo);
I la sucesión alternante an = (−1)n;
I la sucesión de Fibonacci , definida por
fn =

0 si n = 0,
1 si n = 1,
fn−1 + fn−2 si n > 1;
I la sucesión dada por
an =
{
−2n si n es impar,
3n si n es par.
Álgebra de sucesiones
Dado que las sucesiones son funciones, las definiciones del
álgebra de funciones se aplican a las sucesiones.
Así, por
ejemplo:
I dada una sucesión (an) y una constante α ∈ R, es posible
definir una nueva sucesión (bn) = α(an), donde bn = αan;
I dadas dos sucesiones (an) y (bn), es posible definir nuevas
sucesiones (cn) = (an) + (bn) y (dn) = (an)(bn), donde
cn = an + bn y dn = anbn;
I dadas dos sucesiones (an) y (bn), es posible definir una
nueva sucesión (cn) = (an)/(bn), definida sólo para los
naturales n ∈ N para los que bn 6= 0, donde cn = an/bn;
I dada una sucesión (an), es posible definir una nueva
sucesión (bn) =
√
(an), definida para aquellos valores de n
para los que an ≥ 0, donde bn =
√
an.
Álgebra de sucesiones
Dado que las sucesiones son funciones, las definiciones del
álgebra de funciones se aplican a las sucesiones. Así, por
ejemplo:
I dada una sucesión (an) y una constante α ∈ R, es posible
definir una nueva sucesión (bn) = α(an), donde bn = αan;
I dadas dos sucesiones (an) y (bn), es posible definir nuevas
sucesiones (cn) = (an) + (bn) y (dn) = (an)(bn), donde
cn = an + bn y dn = anbn;
I dadas dos sucesiones (an) y (bn), es posible definir una
nueva sucesión (cn) = (an)/(bn), definida sólo para los
naturales n ∈ N para los que bn 6= 0, donde cn = an/bn;
I dada una sucesión (an), es posible definir una nueva
sucesión (bn) =
√
(an), definida para aquellos valores de n
para los que an ≥ 0, donde bn =
√
an.
Álgebra de sucesiones
Dado que las sucesiones son funciones, las definiciones del
álgebra de funciones se aplican a las sucesiones. Así, por
ejemplo:
I dada una sucesión (an) y una constante α ∈ R, es posible
definir una nueva sucesión (bn) = α(an), donde bn = αan;
I dadas dos sucesiones (an) y (bn), es posible definir nuevas
sucesiones (cn) = (an) + (bn) y (dn) = (an)(bn), donde
cn = an + bn y dn = anbn;
I dadas dos sucesiones (an) y (bn), es posible definir una
nueva sucesión (cn) = (an)/(bn), definida sólo para los
naturales n ∈ N para los que bn 6= 0, donde cn = an/bn;
I dada una sucesión (an), es posible definir una nueva
sucesión (bn) =
√
(an), definida para aquellos valores de n
para los que an ≥ 0, donde bn =
√
an.
Álgebra de sucesiones
Dado que las sucesiones son funciones, las definiciones del
álgebra de funciones se aplican a las sucesiones. Así, por
ejemplo:
I dada una sucesión (an) y una constante α ∈ R, es posible
definir una nueva sucesión (bn) = α(an), donde bn = αan;
I dadas dos sucesiones (an) y (bn), es posible definir nuevas
sucesiones (cn) = (an) + (bn) y (dn) = (an)(bn), donde
cn = an + bn y dn = anbn;
I dadas dos sucesiones (an) y (bn), es posible definir una
nueva sucesión (cn) = (an)/(bn), definida sólo para los
naturales n ∈ N para los que bn 6= 0, donde cn = an/bn;
I dada una sucesión (an), es posible definir una nueva
sucesión (bn) =
√
(an), definida para aquellos valores de n
para los que an ≥ 0, donde bn =
√
an.
Álgebra de sucesiones
Dado que las sucesiones son funciones, las definiciones del
álgebra de funciones se aplican a las sucesiones. Así, por
ejemplo:
I dada una sucesión (an) y una constante α ∈ R, es posible
definir una nueva sucesión (bn) = α(an), donde bn = αan;
I dadas dos sucesiones (an) y (bn), es posible definir nuevas
sucesiones (cn) = (an) + (bn) y (dn) = (an)(bn), donde
cn = an + bn y dn = anbn;
I dadas dos sucesiones (an) y (bn), es posible definir una
nueva sucesión (cn) = (an)/(bn), definida sólo para los
naturales n ∈ N para los que bn 6= 0, donde cn = an/bn;
I dada una sucesión (an), es posible definir una nueva
sucesión (bn) =
√
(an), definida para aquellos valores de n
para los que an ≥ 0, donde bn =
√
an.
Convergencia de sucesiones
Nos interesa estudiar la noción de convergencia de una
sucesión.
Previamente a esto, estudiaremos el concepto de supremo de
un conjunto.
Convergencia de sucesionesNos interesa estudiar la noción de convergencia de una
sucesión.
Previamente a esto, estudiaremos el concepto de supremo de
un conjunto.
Cotas superiores de un conjunto
Recordemos algunas definiciones:
Definición
Dado un conjunto S de reales, una cota superior para S es un
número c ∈ R tal que c ≥ x para todo x ∈ S.
Si S es un conjunto de números reales para el que existe una
cota superior, diremos que S es acotado superiormente.
Las nociones de cota inferior y de conjunto acotado
inferiormente se definen de manera análoga.
Si un conjunto es acotado superior e inferiormente, diremos
simplemente que es acotado.
Cotas superiores de un conjunto
Recordemos algunas definiciones:
Definición
Dado un conjunto S de reales, una cota superior para S es un
número c ∈ R tal que c ≥ x para todo x ∈ S.
Si S es un conjunto de números reales para el que existe una
cota superior, diremos que S es acotado superiormente.
Las nociones de cota inferior y de conjunto acotado
inferiormente se definen de manera análoga.
Si un conjunto es acotado superior e inferiormente, diremos
simplemente que es acotado.
Cotas superiores de un conjunto
Recordemos algunas definiciones:
Definición
Dado un conjunto S de reales, una cota superior para S es un
número c ∈ R tal que c ≥ x para todo x ∈ S.
Si S es un conjunto de números reales para el que existe una
cota superior, diremos que S es acotado superiormente.
Las nociones de cota inferior y de conjunto acotado
inferiormente se definen de manera análoga.
Si un conjunto es acotado superior e inferiormente, diremos
simplemente que es acotado.
Cotas superiores de un conjunto
Recordemos algunas definiciones:
Definición
Dado un conjunto S de reales, una cota superior para S es un
número c ∈ R tal que c ≥ x para todo x ∈ S.
Si S es un conjunto de números reales para el que existe una
cota superior, diremos que S es acotado superiormente.
Las nociones de cota inferior y de conjunto acotado
inferiormente se definen de manera análoga.
Si un conjunto es acotado superior e inferiormente, diremos
simplemente que es acotado.
Cotas superiores para una función
Así como hemos definido los conceptos de cotas superiores o
inferiores para conjuntos, podemos hacer lo mismo para
funciones.
Definición
Dada una función f : D → R, y dado c ∈ R, decimos que c es
una cota superior para f si f (x) ≤ c para todo x ∈ D. El
concepto de cota inferior se define análogamente. Una función
f : D → R se dice acotada superiormente (inferiormente) si
existe una cota superior (inferior) para f .
Si una función es acotada superior e inferiormente, diremos
simplemente que es acotada.
Cotas superiores para una función
Así como hemos definido los conceptos de cotas superiores o
inferiores para conjuntos, podemos hacer lo mismo para
funciones.
Definición
Dada una función f : D → R, y dado c ∈ R, decimos que c es
una cota superior para f si f (x) ≤ c para todo x ∈ D. El
concepto de cota inferior se define análogamente.
Una función
f : D → R se dice acotada superiormente (inferiormente) si
existe una cota superior (inferior) para f .
Si una función es acotada superior e inferiormente, diremos
simplemente que es acotada.
Cotas superiores para una función
Así como hemos definido los conceptos de cotas superiores o
inferiores para conjuntos, podemos hacer lo mismo para
funciones.
Definición
Dada una función f : D → R, y dado c ∈ R, decimos que c es
una cota superior para f si f (x) ≤ c para todo x ∈ D. El
concepto de cota inferior se define análogamente. Una función
f : D → R se dice acotada superiormente (inferiormente) si
existe una cota superior (inferior) para f .
Si una función es acotada superior e inferiormente, diremos
simplemente que es acotada.
Cotas superiores para una función
Así como hemos definido los conceptos de cotas superiores o
inferiores para conjuntos, podemos hacer lo mismo para
funciones.
Definición
Dada una función f : D → R, y dado c ∈ R, decimos que c es
una cota superior para f si f (x) ≤ c para todo x ∈ D. El
concepto de cota inferior se define análogamente. Una función
f : D → R se dice acotada superiormente (inferiormente) si
existe una cota superior (inferior) para f .
Si una función es acotada superior e inferiormente, diremos
simplemente que es acotada.
Supremo de un conjunto
Sea S un conjunto no vacío, acotado superiormente, y
consideremos las cotas superiores de S.
¿Será verdad que entre dichas cotas superiores existe una
“más chica” que las otras?
Si efectivamente existe una cota superior “más chica” para S, a
esa cota la llamaremos el supremo de S, lo que denotaremos
por sup S.
Supremo de un conjunto
Sea S un conjunto no vacío, acotado superiormente, y
consideremos las cotas superiores de S.
¿Será verdad que entre dichas cotas superiores existe una
“más chica” que las otras?
Si efectivamente existe una cota superior “más chica” para S, a
esa cota la llamaremos el supremo de S, lo que denotaremos
por sup S.
Supremo de un conjunto
Sea S un conjunto no vacío, acotado superiormente, y
consideremos las cotas superiores de S.
¿Será verdad que entre dichas cotas superiores existe una
“más chica” que las otras?
Si efectivamente existe una cota superior “más chica” para S, a
esa cota la llamaremos el supremo de S, lo que denotaremos
por sup S.
Propiedades
Si un conjunto de reales tiene supremo, éste es único.
Demostración.
Ejercicio.
Esta propiedad nos permite hablar de “el” supremo de un
conjunto, en caso de que exista al menos uno.
El siguiente teorema da una caracterización alternativa del
concepto de “supremo de un conjunto”.
Teorema
Sea S ⊆ R, y sea a ∈ R.
Entonces a = sup S si y sólo si, a ≥ x para todo x ∈ S, y además,
∀ε > 0, existe x ∈ S tal que x > a− ε.
Demostración.
Ejercicio.
Propiedades
Si un conjunto de reales tiene supremo, éste es único.
Demostración.
Ejercicio.
Esta propiedad nos permite hablar de “el” supremo de un
conjunto, en caso de que exista al menos uno.
El siguiente teorema da una caracterización alternativa del
concepto de “supremo de un conjunto”.
Teorema
Sea S ⊆ R, y sea a ∈ R.
Entonces a = sup S si y sólo si, a ≥ x para todo x ∈ S, y además,
∀ε > 0, existe x ∈ S tal que x > a− ε.
Demostración.
Ejercicio.
Propiedades
Si un conjunto de reales tiene supremo, éste es único.
Demostración.
Ejercicio.
Esta propiedad nos permite hablar de “el” supremo de un
conjunto, en caso de que exista al menos uno.
El siguiente teorema da una caracterización alternativa del
concepto de “supremo de un conjunto”.
Teorema
Sea S ⊆ R, y sea a ∈ R.
Entonces a = sup S si y sólo si, a ≥ x para todo x ∈ S, y además,
∀ε > 0, existe x ∈ S tal que x > a− ε.
Demostración.
Ejercicio.
Propiedades
Si un conjunto de reales tiene supremo, éste es único.
Demostración.
Ejercicio.
Esta propiedad nos permite hablar de “el” supremo de un
conjunto, en caso de que exista al menos uno.
El siguiente teorema da una caracterización alternativa del
concepto de “supremo de un conjunto”.
Teorema
Sea S ⊆ R, y sea a ∈ R.
Entonces a = sup S si y sólo si, a ≥ x para todo x ∈ S, y además,
∀ε > 0, existe x ∈ S tal que x > a− ε.
Demostración.
Ejercicio.
Propiedades
Si un conjunto de reales tiene supremo, éste es único.
Demostración.
Ejercicio.
Esta propiedad nos permite hablar de “el” supremo de un
conjunto, en caso de que exista al menos uno.
El siguiente teorema da una caracterización alternativa del
concepto de “supremo de un conjunto”.
Teorema
Sea S ⊆ R, y sea a ∈ R.
Entonces a = sup S si y sólo si, a ≥ x para todo x ∈ S, y además,
∀ε > 0, existe x ∈ S tal que x > a− ε.
Demostración.
Ejercicio.
Propiedades
Si un conjunto de reales tiene supremo, éste es único.
Demostración.
Ejercicio.
Esta propiedad nos permite hablar de “el” supremo de un
conjunto, en caso de que exista al menos uno.
El siguiente teorema da una caracterización alternativa del
concepto de “supremo de un conjunto”.
Teorema
Sea S ⊆ R, y sea a ∈ R.
Entonces a = sup S si y sólo si, a ≥ x para todo x ∈ S,
y además,
∀ε > 0, existe x ∈ S tal que x > a− ε.
Demostración.Ejercicio.
Propiedades
Si un conjunto de reales tiene supremo, éste es único.
Demostración.
Ejercicio.
Esta propiedad nos permite hablar de “el” supremo de un
conjunto, en caso de que exista al menos uno.
El siguiente teorema da una caracterización alternativa del
concepto de “supremo de un conjunto”.
Teorema
Sea S ⊆ R, y sea a ∈ R.
Entonces a = sup S si y sólo si, a ≥ x para todo x ∈ S, y además,
∀ε > 0, existe x ∈ S tal que x > a− ε.
Demostración.
Ejercicio.
Propiedades
Si un conjunto de reales tiene supremo, éste es único.
Demostración.
Ejercicio.
Esta propiedad nos permite hablar de “el” supremo de un
conjunto, en caso de que exista al menos uno.
El siguiente teorema da una caracterización alternativa del
concepto de “supremo de un conjunto”.
Teorema
Sea S ⊆ R, y sea a ∈ R.
Entonces a = sup S si y sólo si, a ≥ x para todo x ∈ S, y además,
∀ε > 0, existe x ∈ S tal que x > a− ε.
Demostración.
Ejercicio.
Ejemplos
I Sea S =
{
n
n + 1
: n ∈ N
}
.
¿Tiene S un supremo? Si es así, ¿cuál?
I Sea S =
{
x ∈ Q : x2 < 2
}
.
¿Tiene S un supremo? Si es así, ¿cuál?
Ejemplos
I Sea S =
{
n
n + 1
: n ∈ N
}
.
¿Tiene S un supremo? Si es así, ¿cuál?
I Sea S =
{
x ∈ Q : x2 < 2
}
.
¿Tiene S un supremo? Si es así, ¿cuál?
Ejemplos
I Sea S =
{
n
n + 1
: n ∈ N
}
.
¿Tiene S un supremo? Si es así, ¿cuál?
I Sea S =
{
x ∈ Q : x2 < 2
}
.
¿Tiene S un supremo? Si es así, ¿cuál?
Ejemplos
I Sea S =
{
n
n + 1
: n ∈ N
}
.
¿Tiene S un supremo? Si es así, ¿cuál?
I Sea S =
{
x ∈ Q : x2 < 2
}
.
¿Tiene S un supremo? Si es así, ¿cuál?
El axioma del supremo
Si A es un conjunto de números naturales, no vacío y acotado
superiormente, entonces existe un número natural que es el
supremo de A (¿por qué?).
Lo mismo puede decirse si A es un conjunto de enteros.
¿Cuál es la situación si A es un conjunto de racionales, o un
conjunto de reales?
En general, si X es un conjunto ordenado (los naturales,
enteros, reales, o incluso otros conjuntos que no estudiaremos
en este curso), diremos que X satisface el axioma del supremo
si se cumple la siguiente condición:
Dado un subconjunto A de X, no vacío y acotado
superiormente, existe un elemento s ∈ X tal que
s = sup A.
El axioma del supremo
Si A es un conjunto de números naturales, no vacío y acotado
superiormente, entonces existe un número natural que es el
supremo de A (¿por qué?).
Lo mismo puede decirse si A es un conjunto de enteros.
¿Cuál es la situación si A es un conjunto de racionales, o un
conjunto de reales?
En general, si X es un conjunto ordenado (los naturales,
enteros, reales, o incluso otros conjuntos que no estudiaremos
en este curso), diremos que X satisface el axioma del supremo
si se cumple la siguiente condición:
Dado un subconjunto A de X, no vacío y acotado
superiormente, existe un elemento s ∈ X tal que
s = sup A.
El axioma del supremo
Si A es un conjunto de números naturales, no vacío y acotado
superiormente, entonces existe un número natural que es el
supremo de A (¿por qué?).
Lo mismo puede decirse si A es un conjunto de enteros.
¿Cuál es la situación si A es un conjunto de racionales, o un
conjunto de reales?
En general, si X es un conjunto ordenado (los naturales,
enteros, reales, o incluso otros conjuntos que no estudiaremos
en este curso), diremos que X satisface el axioma del supremo
si se cumple la siguiente condición:
Dado un subconjunto A de X, no vacío y acotado
superiormente, existe un elemento s ∈ X tal que
s = sup A.
El axioma del supremo
Si A es un conjunto de números naturales, no vacío y acotado
superiormente, entonces existe un número natural que es el
supremo de A (¿por qué?).
Lo mismo puede decirse si A es un conjunto de enteros.
¿Cuál es la situación si A es un conjunto de racionales, o un
conjunto de reales?
En general, si X es un conjunto ordenado (los naturales,
enteros, reales, o incluso otros conjuntos que no estudiaremos
en este curso), diremos que X satisface el axioma del supremo
si se cumple la siguiente condición:
Dado un subconjunto A de X, no vacío y acotado
superiormente, existe un elemento s ∈ X tal que
s = sup A.
El axioma del supremo
Si A es un conjunto de números naturales, no vacío y acotado
superiormente, entonces existe un número natural que es el
supremo de A (¿por qué?).
Lo mismo puede decirse si A es un conjunto de enteros.
¿Cuál es la situación si A es un conjunto de racionales, o un
conjunto de reales?
En general, si X es un conjunto ordenado (los naturales,
enteros, reales, o incluso otros conjuntos que no estudiaremos
en este curso), diremos que X satisface el axioma del supremo
si se cumple la siguiente condición:
Dado un subconjunto A de X, no vacío y acotado
superiormente, existe un elemento s ∈ X tal que
s = sup A.
Los racionales y el axioma del supremo
Es posible demostrar que los racionales (Q) no satisfacen el
axioma del supremo.
En efecto, sea A el conjunto dado por
A =
{
q ∈ Q : q2 < 2
}
.
Claramente, 0 ∈ A, por lo que A no es vacío. Por otra parte, si
q ∈ A, debe tenerse q < 2, por lo que A es acotado
superiormente2.
Para demostrar que Q no satisface el axioma del supremo,
basta probar que no existe ningún racional s tal que s = sup A.
Esto puede ser demostrado por contradicción, o sea, suponer
que es falso, y llegar a algo imposible3.
2También es posible demostrar que todo q ∈ A es < 1.5, o incluso
< 1.4143 . . .
3Esta técnica de demostración es también conocida como reducción al
absurdo
Los racionales y el axioma del supremo
Es posible demostrar que los racionales (Q) no satisfacen el
axioma del supremo. En efecto, sea A el conjunto dado por
A =
{
q ∈ Q : q2 < 2
}
.
Claramente, 0 ∈ A, por lo que A no es vacío. Por otra parte, si
q ∈ A, debe tenerse q < 2, por lo que A es acotado
superiormente2.
Para demostrar que Q no satisface el axioma del supremo,
basta probar que no existe ningún racional s tal que s = sup A.
Esto puede ser demostrado por contradicción, o sea, suponer
que es falso, y llegar a algo imposible3.
2También es posible demostrar que todo q ∈ A es < 1.5, o incluso
< 1.4143 . . .
3Esta técnica de demostración es también conocida como reducción al
absurdo
Los racionales y el axioma del supremo
Es posible demostrar que los racionales (Q) no satisfacen el
axioma del supremo. En efecto, sea A el conjunto dado por
A =
{
q ∈ Q : q2 < 2
}
.
Claramente, 0 ∈ A, por lo que A no es vacío. Por otra parte, si
q ∈ A, debe tenerse q < 2, por lo que A es acotado
superiormente2.
Para demostrar que Q no satisface el axioma del supremo,
basta probar que no existe ningún racional s tal que s = sup A.
Esto puede ser demostrado por contradicción, o sea, suponer
que es falso, y llegar a algo imposible3.
2También es posible demostrar que todo q ∈ A es < 1.5, o incluso
< 1.4143 . . .
3Esta técnica de demostración es también conocida como reducción al
absurdo
Los racionales y el axioma del supremo
Es posible demostrar que los racionales (Q) no satisfacen el
axioma del supremo. En efecto, sea A el conjunto dado por
A =
{
q ∈ Q : q2 < 2
}
.
Claramente, 0 ∈ A, por lo que A no es vacío. Por otra parte, si
q ∈ A, debe tenerse q < 2, por lo que A es acotado
superiormente2.
Para demostrar que Q no satisface el axioma del supremo,
basta probar que no existe ningún racional s tal que s = sup A.
Esto puede ser demostrado por contradicción, o sea, suponer
que es falso, y llegar a algo imposible3.
2También es posible demostrar que todo q ∈ A es < 1.5, o incluso
< 1.4143 . . .
3Esta técnica de demostración es también conocida como reducción al
absurdo
Los racionales y el axioma del supremo
Es posible demostrar que los racionales (Q) no satisfacen el
axioma del supremo. En efecto, sea A el conjunto dado por
A =
{
q ∈ Q : q2 < 2
}
.
Claramente, 0 ∈ A, por lo que A no es vacío. Por otra parte, si
q ∈ A, debe tenerse q < 2, por lo que A es acotado
superiormente2.
Para demostrar que Q no satisface el axioma del supremo,
basta probar que no existe ningún racional s tal que s = sup A.
Esto puede ser demostrado por contradicción,o sea, suponer
que es falso, y llegar a algo imposible3.
2También es posible demostrar que todo q ∈ A es < 1.5, o incluso
< 1.4143 . . .
3Esta técnica de demostración es también conocida como reducción al
absurdo
Los reales y el axioma del supremo
En este curso supondremos que los reales satisfacen el
axioma del supremo4.
Intuitivamente, el que no todo conjunto no vacío y acotado de
racionales tenga un supremo racional puede ser interpretado
como que a Q le “faltan” ciertos números. Podemos considerar
los reales como un conjunto formado partiendo de los
racionales y “agregando los elementos faltantes”; o sea,
agregándole un “supremo” para cada conjunto no vacío
acotado de racionales.
El que los reales satisfagan el axioma del supremo tendrá
importancia para nosotros al momento de trabajar con el
concepto de límite.
4En realidad, es posible demostrar esto, pero una demostración cae fuera
de los objetivos de este curso.
Los reales y el axioma del supremo
En este curso supondremos que los reales satisfacen el
axioma del supremo4.
Intuitivamente, el que no todo conjunto no vacío y acotado de
racionales tenga un supremo racional puede ser interpretado
como que a Q le “faltan” ciertos números.
Podemos considerar
los reales como un conjunto formado partiendo de los
racionales y “agregando los elementos faltantes”; o sea,
agregándole un “supremo” para cada conjunto no vacío
acotado de racionales.
El que los reales satisfagan el axioma del supremo tendrá
importancia para nosotros al momento de trabajar con el
concepto de límite.
4En realidad, es posible demostrar esto, pero una demostración cae fuera
de los objetivos de este curso.
Los reales y el axioma del supremo
En este curso supondremos que los reales satisfacen el
axioma del supremo4.
Intuitivamente, el que no todo conjunto no vacío y acotado de
racionales tenga un supremo racional puede ser interpretado
como que a Q le “faltan” ciertos números. Podemos considerar
los reales como un conjunto formado partiendo de los
racionales y “agregando los elementos faltantes”;
o sea,
agregándole un “supremo” para cada conjunto no vacío
acotado de racionales.
El que los reales satisfagan el axioma del supremo tendrá
importancia para nosotros al momento de trabajar con el
concepto de límite.
4En realidad, es posible demostrar esto, pero una demostración cae fuera
de los objetivos de este curso.
Los reales y el axioma del supremo
En este curso supondremos que los reales satisfacen el
axioma del supremo4.
Intuitivamente, el que no todo conjunto no vacío y acotado de
racionales tenga un supremo racional puede ser interpretado
como que a Q le “faltan” ciertos números. Podemos considerar
los reales como un conjunto formado partiendo de los
racionales y “agregando los elementos faltantes”; o sea,
agregándole un “supremo” para cada conjunto no vacío
acotado de racionales.
El que los reales satisfagan el axioma del supremo tendrá
importancia para nosotros al momento de trabajar con el
concepto de límite.
4En realidad, es posible demostrar esto, pero una demostración cae fuera
de los objetivos de este curso.
Los reales y el axioma del supremo
En este curso supondremos que los reales satisfacen el
axioma del supremo4.
Intuitivamente, el que no todo conjunto no vacío y acotado de
racionales tenga un supremo racional puede ser interpretado
como que a Q le “faltan” ciertos números. Podemos considerar
los reales como un conjunto formado partiendo de los
racionales y “agregando los elementos faltantes”; o sea,
agregándole un “supremo” para cada conjunto no vacío
acotado de racionales.
El que los reales satisfagan el axioma del supremo tendrá
importancia para nosotros al momento de trabajar con el
concepto de límite.
4En realidad, es posible demostrar esto, pero una demostración cae fuera
de los objetivos de este curso.
Ínfimos
Un concepto análogo al de supremo (que es “la menor cota
superior” de un conjunto) es el de ínfimo.
Formalmente, un
número c es ínfimo de un conjunto A de reales si y sólo si:
I c es cota inferior de A, y
I dada cualquier otra cota inferior c′ de A, c′ 6= c, se tiene
c′ < c (o sea, c es “la mayor cota inferior” de A).
Si c es el ínfimo del conjunto A, anotamos c = inf A.
Ejercicio
Demuestre que, dado un conjunto no vacío A de reales,
acotado inferiormente, existe inf A.
Ayuda: Dado A ⊆ R no vacío y acotado inferiormente,
considere el conjunto −A = {−a : a ∈ A}. Demuestre que −A
es no vacío y acotado superiormente, por lo que existe
sup(−A). ¿Qué número es el candidato natural a inf A?
Ínfimos
Un concepto análogo al de supremo (que es “la menor cota
superior” de un conjunto) es el de ínfimo. Formalmente, un
número c es ínfimo de un conjunto A de reales si y sólo si:
I c es cota inferior de A, y
I dada cualquier otra cota inferior c′ de A, c′ 6= c, se tiene
c′ < c (o sea, c es “la mayor cota inferior” de A).
Si c es el ínfimo del conjunto A, anotamos c = inf A.
Ejercicio
Demuestre que, dado un conjunto no vacío A de reales,
acotado inferiormente, existe inf A.
Ayuda: Dado A ⊆ R no vacío y acotado inferiormente,
considere el conjunto −A = {−a : a ∈ A}. Demuestre que −A
es no vacío y acotado superiormente, por lo que existe
sup(−A). ¿Qué número es el candidato natural a inf A?
Ínfimos
Un concepto análogo al de supremo (que es “la menor cota
superior” de un conjunto) es el de ínfimo. Formalmente, un
número c es ínfimo de un conjunto A de reales si y sólo si:
I c es cota inferior de A, y
I dada cualquier otra cota inferior c′ de A, c′ 6= c, se tiene
c′ < c (o sea, c es “la mayor cota inferior” de A).
Si c es el ínfimo del conjunto A, anotamos c = inf A.
Ejercicio
Demuestre que, dado un conjunto no vacío A de reales,
acotado inferiormente, existe inf A.
Ayuda: Dado A ⊆ R no vacío y acotado inferiormente,
considere el conjunto −A = {−a : a ∈ A}. Demuestre que −A
es no vacío y acotado superiormente, por lo que existe
sup(−A). ¿Qué número es el candidato natural a inf A?
Ínfimos
Un concepto análogo al de supremo (que es “la menor cota
superior” de un conjunto) es el de ínfimo. Formalmente, un
número c es ínfimo de un conjunto A de reales si y sólo si:
I c es cota inferior de A, y
I dada cualquier otra cota inferior c′ de A, c′ 6= c, se tiene
c′ < c (o sea, c es “la mayor cota inferior” de A).
Si c es el ínfimo del conjunto A, anotamos c = inf A.
Ejercicio
Demuestre que, dado un conjunto no vacío A de reales,
acotado inferiormente, existe inf A.
Ayuda: Dado A ⊆ R no vacío y acotado inferiormente,
considere el conjunto −A = {−a : a ∈ A}. Demuestre que −A
es no vacío y acotado superiormente, por lo que existe
sup(−A). ¿Qué número es el candidato natural a inf A?
Ínfimos
Un concepto análogo al de supremo (que es “la menor cota
superior” de un conjunto) es el de ínfimo. Formalmente, un
número c es ínfimo de un conjunto A de reales si y sólo si:
I c es cota inferior de A, y
I dada cualquier otra cota inferior c′ de A, c′ 6= c, se tiene
c′ < c (o sea, c es “la mayor cota inferior” de A).
Si c es el ínfimo del conjunto A, anotamos c = inf A.
Ejercicio
Demuestre que, dado un conjunto no vacío A de reales,
acotado inferiormente, existe inf A.
Ayuda: Dado A ⊆ R no vacío y acotado inferiormente,
considere el conjunto −A = {−a : a ∈ A}. Demuestre que −A
es no vacío y acotado superiormente, por lo que existe
sup(−A). ¿Qué número es el candidato natural a inf A?
Ínfimos
Un concepto análogo al de supremo (que es “la menor cota
superior” de un conjunto) es el de ínfimo. Formalmente, un
número c es ínfimo de un conjunto A de reales si y sólo si:
I c es cota inferior de A, y
I dada cualquier otra cota inferior c′ de A, c′ 6= c, se tiene
c′ < c (o sea, c es “la mayor cota inferior” de A).
Si c es el ínfimo del conjunto A, anotamos c = inf A.
Ejercicio
Demuestre que, dado un conjunto no vacío A de reales,
acotado inferiormente, existe inf A.
Ayuda: Dado A ⊆ R no vacío y acotado inferiormente,
considere el conjunto −A = {−a : a ∈ A}.
Demuestre que −A
es no vacío y acotado superiormente, por lo que existe
sup(−A).¿Qué número es el candidato natural a inf A?
Ínfimos
Un concepto análogo al de supremo (que es “la menor cota
superior” de un conjunto) es el de ínfimo. Formalmente, un
número c es ínfimo de un conjunto A de reales si y sólo si:
I c es cota inferior de A, y
I dada cualquier otra cota inferior c′ de A, c′ 6= c, se tiene
c′ < c (o sea, c es “la mayor cota inferior” de A).
Si c es el ínfimo del conjunto A, anotamos c = inf A.
Ejercicio
Demuestre que, dado un conjunto no vacío A de reales,
acotado inferiormente, existe inf A.
Ayuda: Dado A ⊆ R no vacío y acotado inferiormente,
considere el conjunto −A = {−a : a ∈ A}. Demuestre que −A
es no vacío y acotado superiormente, por lo que existe
sup(−A).
¿Qué número es el candidato natural a inf A?
Ínfimos
Un concepto análogo al de supremo (que es “la menor cota
superior” de un conjunto) es el de ínfimo. Formalmente, un
número c es ínfimo de un conjunto A de reales si y sólo si:
I c es cota inferior de A, y
I dada cualquier otra cota inferior c′ de A, c′ 6= c, se tiene
c′ < c (o sea, c es “la mayor cota inferior” de A).
Si c es el ínfimo del conjunto A, anotamos c = inf A.
Ejercicio
Demuestre que, dado un conjunto no vacío A de reales,
acotado inferiormente, existe inf A.
Ayuda: Dado A ⊆ R no vacío y acotado inferiormente,
considere el conjunto −A = {−a : a ∈ A}. Demuestre que −A
es no vacío y acotado superiormente, por lo que existe
sup(−A). ¿Qué número es el candidato natural a inf A?
Supremos e ínfimos de funciones
Dada f : D → R, decimos que c ∈ R es el supremo de f si c es
el supremo de su recorrido (o sea, si c = sup {f (x) : x ∈ D}).
El concepto de ínfimo de una función se define en forma
análoga.
Supremos e ínfimos de funciones
Dada f : D → R, decimos que c ∈ R es el supremo de f si c es
el supremo de su recorrido (o sea, si c = sup {f (x) : x ∈ D}).
El concepto de ínfimo de una función se define en forma
análoga.
La propiedad arquimediana
Una propiedad útil es la llamada propiedad Arquimediana:
Teorema
Sean a, b ∈ R+. Entonces existe n ∈ N tal que na > b.
Demostración.
Supongamos que no.
Entonces existen a, b ∈ R+ tales que, para todo n ∈ N, na ≤ b.
Pero entonces n ≤ b
a
para todo n ∈ N.
Así, N es acotado superiormente, por lo que tiene supremo.
Sea s = supN.
Aplicando la caracterización del supremo (con ε = 1),
deducimos que debe existir n ∈ N tal que n > s− 1.
Pero entonces n + 1 > s, lo que es imposible, ya que (como n
es natural), por el principio de inducción, n + 1 ∈ N.
La propiedad arquimediana
Una propiedad útil es la llamada propiedad Arquimediana:
Teorema
Sean a, b ∈ R+. Entonces existe n ∈ N tal que na > b.
Demostración.
Supongamos que no.
Entonces
existen a, b ∈ R+ tales que, para todo n ∈ N, na ≤ b.
Pero entonces n ≤ b
a
para todo n ∈ N.
Así, N es acotado superiormente, por lo que tiene supremo.
Sea s = supN.
Aplicando la caracterización del supremo (con ε = 1),
deducimos que debe existir n ∈ N tal que n > s− 1.
Pero entonces n + 1 > s, lo que es imposible, ya que (como n
es natural), por el principio de inducción, n + 1 ∈ N.
La propiedad arquimediana
Una propiedad útil es la llamada propiedad Arquimediana:
Teorema
Sean a, b ∈ R+. Entonces existe n ∈ N tal que na > b.
Demostración.
Supongamos que no.
Entonces existen a, b ∈ R+ tales que,
para todo n ∈ N, na ≤ b.
Pero entonces n ≤ b
a
para todo n ∈ N.
Así, N es acotado superiormente, por lo que tiene supremo.
Sea s = supN.
Aplicando la caracterización del supremo (con ε = 1),
deducimos que debe existir n ∈ N tal que n > s− 1.
Pero entonces n + 1 > s, lo que es imposible, ya que (como n
es natural), por el principio de inducción, n + 1 ∈ N.
La propiedad arquimediana
Una propiedad útil es la llamada propiedad Arquimediana:
Teorema
Sean a, b ∈ R+. Entonces existe n ∈ N tal que na > b.
Demostración.
Supongamos que no.
Entonces existen a, b ∈ R+ tales que, para todo n ∈ N,
na ≤ b.
Pero entonces n ≤ b
a
para todo n ∈ N.
Así, N es acotado superiormente, por lo que tiene supremo.
Sea s = supN.
Aplicando la caracterización del supremo (con ε = 1),
deducimos que debe existir n ∈ N tal que n > s− 1.
Pero entonces n + 1 > s, lo que es imposible, ya que (como n
es natural), por el principio de inducción, n + 1 ∈ N.
La propiedad arquimediana
Una propiedad útil es la llamada propiedad Arquimediana:
Teorema
Sean a, b ∈ R+. Entonces existe n ∈ N tal que na > b.
Demostración.
Supongamos que no.
Entonces existen a, b ∈ R+ tales que, para todo n ∈ N, na ≤ b.
Pero entonces n ≤ b
a
para todo n ∈ N.
Así, N es acotado superiormente, por lo que tiene supremo.
Sea s = supN.
Aplicando la caracterización del supremo (con ε = 1),
deducimos que debe existir n ∈ N tal que n > s− 1.
Pero entonces n + 1 > s, lo que es imposible, ya que (como n
es natural), por el principio de inducción, n + 1 ∈ N.
La propiedad arquimediana
Una propiedad útil es la llamada propiedad Arquimediana:
Teorema
Sean a, b ∈ R+. Entonces existe n ∈ N tal que na > b.
Demostración.
Supongamos que no.
Entonces existen a, b ∈ R+ tales que, para todo n ∈ N, na ≤ b.
Pero entonces
n ≤ b
a
para todo n ∈ N.
Así, N es acotado superiormente, por lo que tiene supremo.
Sea s = supN.
Aplicando la caracterización del supremo (con ε = 1),
deducimos que debe existir n ∈ N tal que n > s− 1.
Pero entonces n + 1 > s, lo que es imposible, ya que (como n
es natural), por el principio de inducción, n + 1 ∈ N.
La propiedad arquimediana
Una propiedad útil es la llamada propiedad Arquimediana:
Teorema
Sean a, b ∈ R+. Entonces existe n ∈ N tal que na > b.
Demostración.
Supongamos que no.
Entonces existen a, b ∈ R+ tales que, para todo n ∈ N, na ≤ b.
Pero entonces n ≤ b
a
para todo n ∈ N.
Así, N es acotado superiormente, por lo que tiene supremo.
Sea s = supN.
Aplicando la caracterización del supremo (con ε = 1),
deducimos que debe existir n ∈ N tal que n > s− 1.
Pero entonces n + 1 > s, lo que es imposible, ya que (como n
es natural), por el principio de inducción, n + 1 ∈ N.
La propiedad arquimediana
Una propiedad útil es la llamada propiedad Arquimediana:
Teorema
Sean a, b ∈ R+. Entonces existe n ∈ N tal que na > b.
Demostración.
Supongamos que no.
Entonces existen a, b ∈ R+ tales que, para todo n ∈ N, na ≤ b.
Pero entonces n ≤ b
a
para todo n ∈ N.
Así, N es acotado superiormente, por lo que
tiene supremo.
Sea s = supN.
Aplicando la caracterización del supremo (con ε = 1),
deducimos que debe existir n ∈ N tal que n > s− 1.
Pero entonces n + 1 > s, lo que es imposible, ya que (como n
es natural), por el principio de inducción, n + 1 ∈ N.
La propiedad arquimediana
Una propiedad útil es la llamada propiedad Arquimediana:
Teorema
Sean a, b ∈ R+. Entonces existe n ∈ N tal que na > b.
Demostración.
Supongamos que no.
Entonces existen a, b ∈ R+ tales que, para todo n ∈ N, na ≤ b.
Pero entonces n ≤ b
a
para todo n ∈ N.
Así, N es acotado superiormente, por lo que tiene supremo.
Sea s = supN.
Aplicando la caracterización del supremo (con ε = 1),
deducimos que debe existir n ∈ N tal que n > s− 1.
Pero entonces n + 1 > s, lo que es imposible, ya que (como n
es natural), por el principio de inducción, n + 1 ∈ N.
La propiedad arquimediana
Una propiedad útil es la llamada propiedad Arquimediana:
Teorema
Sean a, b ∈ R+. Entonces existe n ∈ N tal que na > b.
Demostración.
Supongamos que no.
Entonces existen a, b ∈ R+ tales que, para todo n ∈ N, na ≤ b.
Pero entonces n ≤ b
a
para todo n ∈ N.
Así, N es acotado superiormente, por lo que tiene supremo.
Sea s = supN.
Aplicando la caracterización del supremo (con ε = 1),
deducimos que debe existir n ∈ N tal que n > s− 1.
Pero entonces n + 1 > s, lo que es imposible, ya que (como n
es natural), por el principio de inducción, n + 1 ∈ N.
La propiedad arquimediana
Una propiedad útil es la llamada propiedad Arquimediana:
Teorema
Sean a, b ∈ R+. Entonces existe n ∈ N tal que na > b.
Demostración.
Supongamos que no.
Entonces existen a, b ∈ R+ tales que, para todo n ∈ N, na ≤ b.
Pero entonces n ≤ b
a
para todo n ∈ N.
Así, N es acotadosuperiormente, por lo que tiene supremo.
Sea s = supN.
Aplicando la caracterización del supremo (con ε = 1),
deducimos que debe existir n ∈ N tal que
n > s− 1.
Pero entonces n + 1 > s, lo que es imposible, ya que (como n
es natural), por el principio de inducción, n + 1 ∈ N.
La propiedad arquimediana
Una propiedad útil es la llamada propiedad Arquimediana:
Teorema
Sean a, b ∈ R+. Entonces existe n ∈ N tal que na > b.
Demostración.
Supongamos que no.
Entonces existen a, b ∈ R+ tales que, para todo n ∈ N, na ≤ b.
Pero entonces n ≤ b
a
para todo n ∈ N.
Así, N es acotado superiormente, por lo que tiene supremo.
Sea s = supN.
Aplicando la caracterización del supremo (con ε = 1),
deducimos que debe existir n ∈ N tal que n > s− 1.
Pero entonces n + 1 > s, lo que es imposible, ya que (como n
es natural), por el principio de inducción, n + 1 ∈ N.
La propiedad arquimediana
Una propiedad útil es la llamada propiedad Arquimediana:
Teorema
Sean a, b ∈ R+. Entonces existe n ∈ N tal que na > b.
Demostración.
Supongamos que no.
Entonces existen a, b ∈ R+ tales que, para todo n ∈ N, na ≤ b.
Pero entonces n ≤ b
a
para todo n ∈ N.
Así, N es acotado superiormente, por lo que tiene supremo.
Sea s = supN.
Aplicando la caracterización del supremo (con ε = 1),
deducimos que debe existir n ∈ N tal que n > s− 1.
Pero entonces n + 1 > s, lo que es imposible, ya que
(como n
es natural), por el principio de inducción, n + 1 ∈ N.
La propiedad arquimediana
Una propiedad útil es la llamada propiedad Arquimediana:
Teorema
Sean a, b ∈ R+. Entonces existe n ∈ N tal que na > b.
Demostración.
Supongamos que no.
Entonces existen a, b ∈ R+ tales que, para todo n ∈ N, na ≤ b.
Pero entonces n ≤ b
a
para todo n ∈ N.
Así, N es acotado superiormente, por lo que tiene supremo.
Sea s = supN.
Aplicando la caracterización del supremo (con ε = 1),
deducimos que debe existir n ∈ N tal que n > s− 1.
Pero entonces n + 1 > s, lo que es imposible, ya que (como n
es natural), por el principio de inducción, n + 1 ∈ N.
Aplicación: la definición de potencia
Sea a ∈ R+, y sea x ∈ R cualquiera.
Nos interesa definir (en forma precisa) ax.
Si x ∈ Q, esto es fácil (. . . ).
Si x /∈ Q, entonces x = sup {q ∈ Q : q < x}, y podemos definir:
ax =

sup {aq : q ∈ Q, q < x} si a > 1,
1 si a = 1,
inf {aq : q ∈ Q, q < x} si a < 1.
Se puede demostrar (aunque es difícil) que:
I Si adoptamos esta definición para todo x ∈ R, cuando
x ∈ Q ella coincide con la definición obtenida
anteriormente.
I Esta definición satisface las mismas propiedades que
satisfacen las potencias con exponentes racionales (por
ejemplo, ax+y = axay, axy = (ax)y, etc.).
Aplicación: la definición de potencia
Sea a ∈ R+, y sea x ∈ R cualquiera.
Nos interesa definir (en forma precisa) ax.
Si x ∈ Q, esto es fácil (. . . ).
Si x /∈ Q, entonces x = sup {q ∈ Q : q < x}, y podemos definir:
ax =

sup {aq : q ∈ Q, q < x} si a > 1,
1 si a = 1,
inf {aq : q ∈ Q, q < x} si a < 1.
Se puede demostrar (aunque es difícil) que:
I Si adoptamos esta definición para todo x ∈ R, cuando
x ∈ Q ella coincide con la definición obtenida
anteriormente.
I Esta definición satisface las mismas propiedades que
satisfacen las potencias con exponentes racionales (por
ejemplo, ax+y = axay, axy = (ax)y, etc.).
Aplicación: la definición de potencia
Sea a ∈ R+, y sea x ∈ R cualquiera.
Nos interesa definir (en forma precisa) ax.
Si x ∈ Q, esto es fácil (. . . ).
Si x /∈ Q, entonces x = sup {q ∈ Q : q < x}, y podemos definir:
ax =

sup {aq : q ∈ Q, q < x} si a > 1,
1 si a = 1,
inf {aq : q ∈ Q, q < x} si a < 1.
Se puede demostrar (aunque es difícil) que:
I Si adoptamos esta definición para todo x ∈ R, cuando
x ∈ Q ella coincide con la definición obtenida
anteriormente.
I Esta definición satisface las mismas propiedades que
satisfacen las potencias con exponentes racionales (por
ejemplo, ax+y = axay, axy = (ax)y, etc.).
Aplicación: la definición de potencia
Sea a ∈ R+, y sea x ∈ R cualquiera.
Nos interesa definir (en forma precisa) ax.
Si x ∈ Q, esto es fácil (. . . ).
Si x /∈ Q, entonces x = sup {q ∈ Q : q < x}, y podemos definir:
ax =

sup {aq : q ∈ Q, q < x} si a > 1,
1 si a = 1,
inf {aq : q ∈ Q, q < x} si a < 1.
Se puede demostrar (aunque es difícil) que:
I Si adoptamos esta definición para todo x ∈ R, cuando
x ∈ Q ella coincide con la definición obtenida
anteriormente.
I Esta definición satisface las mismas propiedades que
satisfacen las potencias con exponentes racionales (por
ejemplo, ax+y = axay, axy = (ax)y, etc.).
Aplicación: la definición de potencia
Sea a ∈ R+, y sea x ∈ R cualquiera.
Nos interesa definir (en forma precisa) ax.
Si x ∈ Q, esto es fácil (. . . ).
Si x /∈ Q, entonces x = sup {q ∈ Q : q < x}, y podemos definir:
ax =

sup {aq : q ∈ Q, q < x} si a > 1,
1 si a = 1,
inf {aq : q ∈ Q, q < x} si a < 1.
Se puede demostrar (aunque es difícil) que:
I Si adoptamos esta definición para todo x ∈ R, cuando
x ∈ Q ella coincide con la definición obtenida
anteriormente.
I Esta definición satisface las mismas propiedades que
satisfacen las potencias con exponentes racionales (por
ejemplo, ax+y = axay, axy = (ax)y, etc.).
Aplicación: la definición de potencia
Sea a ∈ R+, y sea x ∈ R cualquiera.
Nos interesa definir (en forma precisa) ax.
Si x ∈ Q, esto es fácil (. . . ).
Si x /∈ Q, entonces x = sup {q ∈ Q : q < x}, y podemos definir:
ax =

sup {aq : q ∈ Q, q < x} si a > 1,
1 si a = 1,
inf {aq : q ∈ Q, q < x} si a < 1.
Se puede demostrar (aunque es difícil) que:
I Si adoptamos esta definición para todo x ∈ R, cuando
x ∈ Q ella coincide con la definición obtenida
anteriormente.
I Esta definición satisface las mismas propiedades que
satisfacen las potencias con exponentes racionales (por
ejemplo, ax+y = axay, axy = (ax)y, etc.).
Aplicación: la definición de potencia
Sea a ∈ R+, y sea x ∈ R cualquiera.
Nos interesa definir (en forma precisa) ax.
Si x ∈ Q, esto es fácil (. . . ).
Si x /∈ Q, entonces x = sup {q ∈ Q : q < x}, y podemos definir:
ax =

sup {aq : q ∈ Q, q < x} si a > 1,
1 si a = 1,
inf {aq : q ∈ Q, q < x} si a < 1.
Se puede demostrar (aunque es difícil) que:
I Si adoptamos esta definición para todo x ∈ R, cuando
x ∈ Q ella coincide con la definición obtenida
anteriormente.
I Esta definición satisface las mismas propiedades que
satisfacen las potencias con exponentes racionales (por
ejemplo, ax+y = axay, axy = (ax)y, etc.).
Aplicación: la definición de potencia
Sea a ∈ R+, y sea x ∈ R cualquiera.
Nos interesa definir (en forma precisa) ax.
Si x ∈ Q, esto es fácil (. . . ).
Si x /∈ Q, entonces x = sup {q ∈ Q : q < x}, y podemos definir:
ax =

sup {aq : q ∈ Q, q < x} si a > 1,
1 si a = 1,
inf {aq : q ∈ Q, q < x} si a < 1.
Se puede demostrar (aunque es difícil) que:
I Si adoptamos esta definición para todo x ∈ R, cuando
x ∈ Q ella coincide con la definición obtenida
anteriormente.
I Esta definición satisface las mismas propiedades que
satisfacen las potencias con exponentes racionales (por
ejemplo, ax+y = axay, axy = (ax)y, etc.).
Aplicación: la definición de potencia
Sea a ∈ R+, y sea x ∈ R cualquiera.
Nos interesa definir (en forma precisa) ax.
Si x ∈ Q, esto es fácil (. . . ).
Si x /∈ Q, entonces x = sup {q ∈ Q : q < x}, y podemos definir:
ax =

sup {aq : q ∈ Q, q < x} si a > 1,
1 si a = 1,
inf {aq : q ∈ Q, q < x} si a < 1.
Se puede demostrar (aunque es difícil) que:
I Si adoptamos esta definición para todo x ∈ R, cuando
x ∈ Q ella coincide con la definición obtenida
anteriormente.
I Esta definición satisface las mismas propiedades que
satisfacen las potencias con exponentes racionales (por
ejemplo, ax+y = axay, axy = (ax)y, etc.).
Aplicación: la definición de potencia
Sea a ∈ R+, y sea x ∈ R cualquiera.
Nos interesa definir (en forma precisa) ax.
Si x ∈ Q, esto es fácil (. . . ).
Si x /∈ Q, entonces x = sup {q ∈ Q : q < x}, y podemos definir:
ax =

sup {aq : q ∈ Q, q < x} si a > 1,
1 si a = 1,
inf {aq : q ∈ Q, q < x} si a < 1.
Se puede demostrar (aunque es difícil) que:I Si adoptamos esta definición para todo x ∈ R, cuando
x ∈ Q ella coincide con la definición obtenida
anteriormente.
I Esta definición satisface las mismas propiedades que
satisfacen las potencias con exponentes racionales (por
ejemplo, ax+y = axay, axy = (ax)y, etc.).
Aplicación: la definición de potencia
Sea a ∈ R+, y sea x ∈ R cualquiera.
Nos interesa definir (en forma precisa) ax.
Si x ∈ Q, esto es fácil (. . . ).
Si x /∈ Q, entonces x = sup {q ∈ Q : q < x}, y podemos definir:
ax =

sup {aq : q ∈ Q, q < x} si a > 1,
1 si a = 1,
inf {aq : q ∈ Q, q < x} si a < 1.
Se puede demostrar (aunque es difícil) que:
I Si adoptamos esta definición para todo x ∈ R, cuando
x ∈ Q ella coincide con la definición obtenida
anteriormente.
I Esta definición satisface las mismas propiedades que
satisfacen las potencias con exponentes racionales (por
ejemplo, ax+y = axay, axy = (ax)y, etc.).