Diaz Moreno Jose Manuel - Introduccion A La Topologia De Espacios Metricos - Rodrigo Yañez

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I
I TRODUCC ION
- I
a la TO'POLOG I R
d·e los E [1 S
I
METRIIJ S
José Manuel Dí az Moreno
Seruicio de Publicaciones
Uniuersidad de Cádiz
Díaz Moreno, José Manuel
Introducción a la topología de los espacios métricos / José
Manuel Díaz Moreno. -- Cádiz : Universidad, Servicio de
Publicaciones, 1998. -- 200 p.
ISBN 84-7786-514-0
l. Espacios métricos. 1. Universidad de Cádiz. Servicio de
Publicaciones, ed. 11. Título.
515.124
Edita: Servicio de Publicaciones de la Universidad de Cádiz
I.S.B.N.: 84-7786-514-0
Depósito Legal: CA-741/1998
Diseño Cubierta: CREASUR
Imprime: Jiménez-Mena, s.1.
Polígono Industrial Zona Franca. Cádiz
Printed in Spain
PRÓLOGO
Como estructura matemática abstracta, el concepto de espacio métrico
fue introducido inicialmente por el matemático francés M. Fréchet en
1906, y más tarde desarrollado por F. Hausdorff en su Mengenlehre. En
parte, su importancia radica en que constituye una interesante generali-
zación de los espacios normados, cuya teoría fue básicamente desarrollada
por Stephan Banach como cimiento del Análisis Funcional. El desarro-
llo posterior de las investigaciones sobre topología métrica ha puesto de
manifiesto su extraordinario poder para unificar una amplia variedad de
teorías hasta entonces dispersas y aparentemente independientes.
Actualmente, todas las obras de topología general dedican algún espacio
al tratamiento de los espacios métricos, bien como caso particular de los
espacios topológicos, bien como una manera natural de introducirlos. Sin
embargo, la teoría de los espacios métricos es el fundamento indispensa-
ble para un estudio serio y riguroso del Análisis Matemático y puede
presentarse en forma de una hermosa teoría acabada, muy asequible a la
intuición geométrica y poco propensa a presentar fenómenos patológicos,
muy al contrario de lo que ocurre con los espacios topológicos, raras veces
al alcance de la intuición, llenos de sutilezas axiomáticas y de extraños
fenómenos. Todo ello inclina a pensar que la teoría de espacios métricos
merecería un estudio independiente; sin embargo, existe un sorprenden-
te vacío de obras dedicadas al desarrollo independiente de la topología
métrica.
Este libro, que tiene su origen en los cursos que sobre la materia el autor
explica en la Facultad de Ciencias de la Universidad de Cádiz, recoge los
principales conocimientos que es necesario poseer para estar en condicio-
nes de seguir posteriormente un curso de Análisis Funcional elemental.
El autor espera además que el lector perciba y disfrute de la belleza ma-
temática que los espacios métricos por sí mismos representan.
Los prerrequisitos para asimilar el contenido de este libro son pocos; des-
de un punto de vista formal, los únicos conocimientos previos que se
presuponen son: familiaridad y destreza con las nociones elementales de
la teoría de conjuntos, incluyendo lo relativo al principio de inducción y
las nociones básicas sobre numerabilidadj y, muy especialmente, el cono-
cimiento del cuerpo de los números reales, particularmente en lo que se
refiere al axioma del supremo y a los resultados básicos sobre valor abso-
luto y desigualdades. El capítulo Oestá dedicado a recordar las nociones
que deberían conocerse antes de abordar el texto en sí. Finalmente, el
último capítulo, requiere conocimientos elementales de álgebra lineal.
Con tales requisitos, la experiencia demuestra que el material del presente
libro puede adoptarse como texto para un curso semestral de topología
métrica destinado a estudiantes de Matemáticas o disciplinas afines.
Aunque sería deseable que el lector poseyera cierta madurez matemáti-
ca lograda después de haber perdido la inocencia matemática, predo-
mina en la obra la idea de introducir la estructura definición-teorema-
demostración, característica de la matemática contemporánea, tan sua-
vemente como sea posiblej además cada concepto nuevo se acompaña de
motivaciones intuitivas, en un lenguaje llano y ordinario (en ocasiones
con el riesgo que ello conlleva) y se ha procurado siempre destacar la
significación y grado de trascendencia de los resultados.
ii
Al final de cada capítulo se ofrece una numerosa colección de proble-
mas, pero se ha intentando no hacer uso de ellos como parte integral del
desarrollo teórico; a 10 más se cita alguno en calidad de contraejemplo.
Sin embargo, no se debe interpretar que puede prescindirse de ellos; por
el contrario, los problemas evidencian las posibilidades de la teoría, le
confieren una mayor significación y apuntan hacia ramificaciones intere-
santes.
Algunos capítulos finalizan con un apéndice dedicado a los espacios de su-
cesiones y de funciones. Tales espacios métricos son complejos de analizar
en un primer curso sobre topología métrica pero ofrecen contraejemplos
no triviales sobre algunas cuestiones poco intuitivas. Es en este sentido,
y sólo en este, por lo que se han añadido al texto.
El capítulo 1 introduce casi todos los conceptos básicos de la topología
métrica en la recta real. Esto ayudará al lector a situar el contenido del
libro y le familiarizará con las nociones más habituales en un contexto
más asequible que la teoría general.
Todo el capítulo 2 sirve para que el lector comprenda que los axiomas que
definen los espacios métricos (que desde el punto de vista estructuralista
constituyen el inicio abstracto de la teoría) son el resultado de un largo
proceso de abstracción y de trabajo científico sobre las nociones intuitivas
de distancia.
Junto a la base axiomática de los espacios métricos, los capítulos 3 y 4
tienen la tarea de introducir los elementos topológicos primigenios.
En los capítulos, 5,6,7 se tratan clases especiales de espacios métricos que
son de importancia particular en las aplicaciones del Análisis Matemático;
se habla respectivamente de las propiedades de conexión, compacidad y
completitud, tres conceptos fundamentales y que constituyen junto al
estudio de las aplicaciones continuas entre espacios métricos (capítulo 8),
el núcleo central. Exigen, pues, un estudio cuidadoso porque deriva en
una serie de teoremas fundamentales que constituyen los resultados más
notables de la teoría.
Se finaliza, en el capítulo 9 con una introducción a los espacios normados
en el que se ha tratado, fundamentalmente, de resaltar las especiales,
y a veces sorprendentes, relaciones entre dos estructuras, la topológica
y la algebraica, que, al menos en principio, aparecen como fuertemente
independientes.
Estoy en deuda con el doctor don Francisco Benítez Trujillo, quien leyó
y corrigió el manuscrito, haciendo muchas sugerencias siempre valiosas y
útiles.
Índice General
o Introducción 1
0.1 Valor absoluto . . . . . . . . ~ . . . . 1
0.2 Conjuntos acotados. Supremo e ínfimo 5
0.3 Intervalos 8
0.4 Sucesiones . 10
0.5 Conjuntos numerables 14
0.6 Problemas ..... 15
1 Topología usual de R 19
1.1 Conjuntos abiertos y conjuntos cerrados 19
1.2 Interior, exterior y frontera de un conjunto 23
1.3 Adherencia y acumulación de un conjunto 25
1.4 Conjuntos densos . . . 29
1.5 Conjuntos compactos. 30
1.6 Problemas ... 34
2 Espacios métricos 39
2.1 Distancias . . . .......... 39
2.2 Espacios y subespacios métricos . 42
2.3 Distancias entre conjuntos 45
2.4 Problemas ......... 48
2.5 Apéndice. Espacios de funciones y espacios de sucesiones 50
3 Topología de los espacios métricos 53
3.1 Conjuntos abiertos 53
3.2 Conjuntos cerrados 58
3.3 Abiertos y cerrados en los subespacios 61
3.4 Distancias equivalentes . 64
3.5 Problemas ........ 66
3.6 Apéndice. Espacios de funciones y espacios de sucesiones 68
iii
4 Subconjuntos notables 71
4.1 Interior, exterior y frontera de un conjunto 71
4.2 Adherencia y acumulación de un conjunto 74
4.3 Subconjuntos densos 79
4.4 Problemas ...... 80
4.5 Apéndice. Espacios de funciones y espacios de sucesiones 84
5 Conjuntos conexos 81
5.1 Conjuntos separados 87
5.2 Conjuntos conexos 89
5.3 Componentes conexas 93
5.4 Conjuntos conexos en la recta real 95
5.5 Problemas ...... ........ 96
6 Conjuntoscompactos 99
6.1 Conjuntos acotados y totalmente acotados . 99
6.2 Conjuntos totalmente acotados 103
6.3 Conjuntos compactos ...... 106
6.4 Propiedad de Bolzano-Weierstrass 110
6.5 Problemas .............. 112
6.6 Apéndice. Espacios de funciones y espacios de sucesiones 114
1 Sucesiones y espacios completos 111
7.1 Sucesiones . . 117
7.2 Subsucesiones 122
7.3 Sucesiones de Cauchy 124
7.4 Espacios y subespacios completos 128
7.5 Algunos espacios completos importantes 131
7.6 Conjuntos compactos en Rn 133
7.7 Problemas .......... 137
7.8 Apéndice. Espacios de funciones y espacios de sucesiones 140
8 Aplicaciones continuas 145
8.1 Continuidad local . 145
8.2 Continuidad global 152
8.3 Continuidad uniforme 158
8.4 Aplicaciones contractivas y teorema del punto fijo. 161
8.5 Homeomorfismos e isometrías 164
8.6 Problemas ........... 167
iv
ser
Tachado
ser
Tachado
ser
Tachado
ser
Tachado
9 Espacios normados 172
9.1 Espacios normados .. 172
9.2 Topología de los espacios normados . 175
9.3 Normas equivalentes .. 179
9.4 Aplicaciones lineales continuas 182
9.5 Espacios normados de dimensión finita. 185
9.6 Problemas . . . .. 191
9.7 Apéndice. Espacios de funciones y espacios de sucesiones 193
BibliogratTa
índice de términos
197
199
v
ser
Tachado
o Introducción
0.1 Valor absoluto
Este capítulo cero debe interpretarse como un breve recordatorio de al-
gunas propiedades de los números reales estrechamente relacionadas con
los axiomas de cuerpo y orden que los define. Hemos tenido la necesi-
dad de reprimir tentaciones de desarrollar y ahondar en una variedad
de cuestiones que conducen a resultados de gran trascendencia pero que
están fuera de nuestras necesidades. Aunque se espera más bien que este
capítulo sirva de soporte técnico al objeto principal de nuestro estudio,
el lector debería poner un especial cuidado en comprender y dominar los
conceptos y propiedades aquí expuestos porque serán usadas profusamen-
te a lo largo de este libro.
El hecho de que -a > O si a < O es la base de un concepto, el de valor
absoluto, que va a desempeñar un papel sumamente importante en este
curso.
Definición 0.1.1 Para todo número a E IR definimos el valor absoluto
lal de a como sigue:
Tenemos, por ejemplo,
lal ={ a-a
si a ~ O
si a::; O
I - 31 = 3, 171 = 7, 101 = O,
11 +.J2 - V3/ =1 +.J2 - V3,
y
11 +.J2 - v'lOl = v'lO - .J2 - 1.
En general, el método más directo de atacar un problema referente a va-
lores absolutos requiere la consideración por separado de distintos casos.
Por ejemplo, para demostrar que
la + bl ::; lal + Ibl
deberían considerarse los cuatro casos posibles
(i) a~O y b ~ O;
(ii) a~O y b::; O;
(iii) a::;O y b~ O;
(iv) a::;O y b ::; o.
y
Aunque esta manera de tratar valores absolutos es a veces el único método
disponible, con frecuencia se pueden emplear métodos más sencillos. Nó-
tese, por ejemplo, que lal es siempre positivo excepto cuando a = O y,
1
por tanto, es el mayor de los números a y -a; este hecho puede utilizarse
para dar una definición alternativa,
lal =máx {a, -a},
que permite probar de forma muy simple algunos resultados básicos.
Proposición 0.1.2 Para todo a E IR se tiene
-lal:5 a :5lal
DEMOSTRACIÓN
Puesto que lal = máx {a, -a} se tiene que
lal ~ a y lal ~ -a,
o bien, -Ial :5 a; así que -Ial :5 a :5 la\.
•
Proposición 0.1.3 Para todo a, b E IR se verifica
-b :5 a :5 b si y sólo si lal S b
DEMOSTRACIÓN
Se tiene que -b :5 a S b si y sólo si -b :5 ay a :5 bj es decir, si y sólo si
Por tanto, -b :5 a :5 b si y sólo si
y b ~ -a.
2
b ~ máx{a, -a} = lal.
•
Los resultados anteriores pueden usarse ahora para demostrar ciertos
hechos muy importantes relativos a valores absolutos.
Teorema 0.1.4 Para todo a, b E IR se verifica
la + bl Sial + Ibl
DEMOSTRACIÓN
Puesto que
se tiene, sumando,
-(Ial + lb!) :5 a+ b :5 lal + Ibl
y, por la proposición anterior,
la + bl :5 lal + Ibl
•
-
Teorema 0.1.5 Para todo a, bE lR se verifica
lal- Ibl $ Ilal- Ibll ::; la - bl·
DEMOSTRACiÓN
La primera desigualdad es obvia. Veamos la segunda: se tiene
lal = la - b+ bl ::; la - bl + Ibl;
por tanto, lal-Ibl ::; la - bl y, de forma análoga, Ibl-Ial ::; lb - al = la - bl·
Así que
la - bl ~ máx{lal-lbl, -(¡al-lb!)} = lIal-lbll
•
Cuando identificamos lR con la recta real de la manera habitual, el valor
absoluto de un número lal puede interpretarse como la distancia desde el
origen al punto a. Por ejemplo I± 51 =5 significa que los puntos 5 y -5
están a una distancia 5 del origen.
Más generalmente; el valor absoluto noS permite definir la distancia entre
dos números reales cualesquiera, pero demoraremos esta cuestión hasta
su momento adecuado.
La idea fundamental en que se basan en última instancia la mayor parte de
las desigualdades que involucran a valores absolutos es, por el elemental
que pueda parecer, el hecho de que a2 ~ O para todo numero real a.
En particular se tiene para cualesquiera números reales x e y (¿cómo se
deduce esto?)
(0.1)
lo que permite probar la primera, sin duda, de las desigualdades impor-
tantes: la desigualdad de Schwarz.
Teorema 0.1.6 (desigualdad de Schwarz)
Si ai y bi son números reales para todo i = 1, ... , n, entonces
DEMOSTRACiÓN
Si ai = O o bi = O para todo i = 1, ... , n, la desigualdad es evidente.
Supongamos, pues, que existe algún a¡ #- Oy algún b¡ #- OY pongamos
Sustituyendo ahora
lailx=-
p
y
e
Ib¡1
y=-
q
3
•
en la desigualdad (0.1), se tiene
(i::: 1, ... ,n)
4
de forma que
y, finalmente,
n ( n ) 1/2 ( n ) 1/2t; laillb./ $ pq::: ~ lail 2 t; Ib.1 2
•
La desigualdad de Schwarz es la base para demostrar otro hecho que
tendrá una muy importante consecuencia en el capitulo 2 (en su momento,
el lector intuirá inmediatamente donde).
Teorema 0.1.1 (desigualdad de Minkowski)
Si ai Y bi son números reales para todo i ::: 1, ... ,n, entonces
DEMOSTRACIÓN
Puesto que
n n n n
E lai + b;1 2 $ E lail2 + 2E la;b;1 + L Ibil2
;=1 ;=1 ;=1 i=1
se tiene, por la desigualdad de Schwarz,
y. por tanto,
•
0.2 Conjuntos acotados. Supremo e ínfimo
Definición 0.2.1 Se dice que un conjunto no vacío A e IR. está
1. acotado superiormente si existe un número x E lR tal que
a ~ x para todo a E A.
Tal número x se llama una cota superior de A.
2. acotado inferiormente si existe un número x E lR tal que
x ~ a para todo a E A.
Tal número x se llama una cota inferior de A.
9. acotado si está acotado superior e inferiormente.
Obsérvese que si x es una cota superior de A, entonces y > x es también
una cota superior de A¡ por tanto, un conjunto acotado superiormente
tiene, de hecho, una infinidad de cotas superiores. Del mismo modo, un
conjunto acotado inferiormente tiene una infinidad de cotas inferiores.
EJEMPLO 0.2.1
1. El conjunto
A =:: {x E IR.: O~ x < 1}
es un conjunto acotado. Para demostrar que A está acotado basta
con exhibir alguna cota superior y alguna cota inferior de A, lo
cual es bastante fácil: por ejemplo, 138 es una cota superior de A, e
igualmente lo son 2, 3/2, 5/4 Y 1; por otra parte, cualquier número
real negativo es una cota inferior y también lo es O. Evidentemente,
1 es la cota superior mínima de A y Oes la cota inferior máxima.
2. Sean a y b dos números reales tales que a < b. Los intervalos
siguientes son todos acotados, siendo a una cota inferior y b una
cota superior.
(a) {x E IR. : a < x < b}
(b) {x E IR : a < x ~ b}
(c) {x E IR : a ~ x < b}
(d) {x E lR: a ~ x ~ b}
3. Para cada a E IR. los intervalos siguientes son conjuntos no acotados
(a) {xEIR:x<a}
(b) {x E IR : x > a}
(c) {xElR:x~a}
(d) {x E IR.: x ~ a}
4. El conjunto IR. de números reales y los números naturales N son
ejemplos de conjuntos que no están acotados superiormente.
•
Sea A e IR un conjunto no vacío y acotado y supongamos que existe
una cota superior mínima x; es decir, si z es otra cota superior, entonces
5
6
x es menor o igual que z. Es evidente que si x .e y son ambos cotas
superiores mínimas de A, entonces x ~ y e y ~ x (¿por qué?) y, por
tanto, x = y, de forma que no puede haber doscotas superiores mínimas
distintas. Análogamente, si existe una cota inferior máxima de A, esta
debe ser única. Son estas consideraciones las que motivan las definiciones
siguientes.
Definición 0.2.2 Dado un conjunto no vacío A e IR,
1. Se dice que un número x E lR es el supremo de A y se escribe
x =sup A si verifica
(a) x es una cota superior de A; y
(b) si y es una cota superior de A, entonces x ~ y.
2. Se dice que un número x E lR es el ínfimo de A y se escribe x =inf A
si verifica
(a) x es una cota inferior de A; y
(b) si y es una cota inferior de A, entonces y ~ x.
Nótese que si existe un x E A tal que a ~ x para ~odo a E A, entonces
x es el supremo de A y, análogamente, si x ~ a para todo a E A, x es el
ínfimo de A. En general, cuando el sup A E A se le suele llamar máximo
y se escribe máx A y, de forma análoga, cuando inf A E A se le suele
llamar mínimo y se escribe mín A.
EJEMPLO 0.2.2
1. Sean a y b dos números reales tales que a < b y
A={xElR:a<x<b};
se tiene entonces
inf A =a y sup A = b.
En efecto, a es, evidentemente, una cota inferior de A. Veamos que
si c > a entonces no es cota inferior: si c > b > a, la cuestión es
evidente y si a < c < b, se tiene que x = (a+ c)/2 verifica a < x < c
y x E A, así que c no es cota inferior de A. Por tanto a = inf A.
De forma análoga se demuestra que b =sup A.
2. Si a, b, x E IR con a < by
A = {x: a < x ~ b}, B = {x: a ~ x < b}, C = {x : a ~ x ~ b}
se tiene
inf A =inf B =inf C =a
y
supA =supB =supC = b.
•
Hemos omitido hasta aquí un detalle: la cuestión de cuáles son los conjun-
tos que tienen ínfimo o supremo. Consideremos el problema del supremo
(las cuestiones relativas al ínfimo se resuelven con facilidad por analogía).
Es evidente que si A no está acotado superiormente, entonces A no tiene
ninguna cota superior, de modo que no puede tener supremo. Recípro-
camente, se tiene la tentación de afirmar que siempre que A tiene alguna
cota superior, tiene supremo. Aunque no daremos una demostración for-
mal aquí, nuestra intuición es correcta y el aserto es verdadero, y por
cierto muy importante; tan importante que vale la pena enunciarlo con
detalle.
Teorema 0.2.3
1. Si A e lR es un conjunto no vacío y acotado superiormente, enton-
ces tiene supremo.
2. Si A e lR es un conjunto no vacío y acotado injeriormente entonces
tiene ínfimo.
Aunque los conjuntos no acotados superiormente no tienen supremo y,
por tanto, la notación sup A carece de sentido, a veces, por conveniencia,
escribiremos sup A = oo. De forma análoga, para el ínfimo pondremos
inf A = -oo.
Es posible que esta propiedad, cuya demostración omitimos, llame la
atención del lector por su falta de originalidad, pero esta es, precisamente,
una de sus virtudes. La propiedad del supremo no es, en realidad, tan
inocente como parece; después de todo no se cumple para los números
racionales Q (véase el problema 12). De hecho, la propiedad del supremo
caracteriza, en cierto modo, a los números reales.
EJEMPLO 0.2.3
Dado
A = {l/n : n E N}
se tiene inf A =O.
En efecto, puesto que O< n para todo n E N, se tiene O < l/n, así que O
es una cota inferior de A y, por tanto, A tiene ínfimo.
Pongamos a =inf A, con a ~ O; entonces se verifica que a ~ l/n para
todo n E N. En particular, también será
1
a<-
- 2n
y, por tanto, 2a ~ l/n así que 2a es también una cota inferior y debe
verificar 2a ~ a, de donde a ~ O. Luego, a = O.
Nótese que esto significa que para todo e > O existe un número natural
n con l/n < e, un hecho que será utilizado frecuentemente en este curso.
•
Al comienzo de este capítulo se ofreció el conjunto N de los números na-
turales como ejemplo de conjunto no acotado. Ahora vamos a demostrar
que N es no acotado. El lector puede quedar sorprendido de encontrarse
con un teorema tan evidente. Si esto es así, quizá la causa sea el que
se haya dejado influir demasiado fuertemente por la imagen geométrica
de lR. Sin embargo, un raciocinio basado sobre una imagen geométrica
no constituye una demostración. La propiedad de que N no es acotado
recibe el nombre de propiedad arquimediana de los números reales porque
se deduce de un axioma de la geometría que se suele atribuir (no con
absoluta justicia) a Arquímides.
7
0.3 Intervalos
Teorema 0.2.4 N no está acotado superiormente.
DEMOSTRACIÓN
Supongamos que N estuviese acotado superiormente. Puesto que N :f 0,
existiría una cota superior mínima cr para N. Entonces
cr ~ n para todo n E N.
En consecuencia,
cr ~ n + 1 para todo n E N,
puesto que n + 1 está en N si n está en N. Pero esto significa que
cr - 1 ~ n para todo n E N,
así que cr - 1 es también una cota superior de N, en contradicción con el
hecho de que cr es la cota superior mínima.
•
El que lR sea arquimediano es la base de un resultado extraordinariamente
poderoso que enunciamos aquí porque haremos uso de ella frecuentemen-
te.
Teorema 0.2.5 Si X,lI son números reales tales que x < y, entonces
existe un número racional r tal que x < r < y 11 un número irracional p
tal que x < p < Y.
Entre otras consecuencias, el resultado anterior significa que en cada in-
tervalo abierto (a, b) hay, al menos, un número racional. Esta propiedad
es tan importante, que recibe un nombre específico: decimos que 10 es
denso en lR, un concepto que proviene de la topología y que será precisado
en su momento.
Hay nueve tipos de subconjuntos de lR llamados interoalos que tienen un
papel relevante en el análisis de las funciones reales y conviene, por tanto,
familiarizarse con ellos.
Los cuatro primeros son conjuntos acotados y pueden visualizarse como
segmentos de la recta real (figura 0.1 (a».
Sean a y b dos números reales tales que a < b. Se llama interoalo abierto
de extremos a y b Yse designa por (a, b) al conjunto de los números reales
estrictamente comprendidos entre a y b:
(a,b) ={x E lR: a < x < b}
Los interoalos semiabiertos (o semicerrados) de extremos a y b se definen
de la forma
8
(a,b] = {x E lR: a < x ~ b} y [a, b) = {x E lR : a ~ x < b}
ser
Resaltado
Se llama intervalo cerrado de extremos a y b Y se designa por [a, b] al
conjunto de números reales
[a,b] = {x E IR.: a::; x::; b}.
Además, para cada a E IR. hay cuatro semirrectas
(-oo,a) = {x E IR.: x < a}
(a,oo)={xEIR.:x>a}
(-00, a] = {x E IR.: x::; a}
[a, (0) = {x E IR. : x ~ a}
representadas gráficamente en la figura 0.1 (b).
Finalmente, (figura 0.1 (c)) IR. en sí mismo puede ser entendido como el
intervalo (extendido indefinidamente en ambas direcciones)
(-00,00) = IR
Fi ura 0.1: Intervalos
(a)
o • (a,b]
• El [a,b)
o El (a, b)
• • [a,b]
I I
a b
(b)
• El (-00, a)
• • (-oo,a]
(a, (0) o
[a, (0) • ..
I
a
(c)
• I
O
Todos los intervalos se caracterizan por una propiedad simple llamada
propiedad de convexidad.
Teorema 0.3.1 Sea A e IR. un conjunto no vacío. Las siguientes afir-
maciones son equivalentes:
1. A es un intervalo.
2. Para todo x, y E A, el interoalo [x, y] está contenido en A.
9
0.4 Sucesiones
DEMOSTRACIÓN
Que (1) implica (2) es evidente. Para ver el recíproco ponemos
a == inf A y b == sup A
(Nótese que permitimos que a y b puedan ser, respectivamente, -00 o
+00 si A no está acotado inferior o superiormente).
Entonces, para cada z E (a, b), existen x, y E A tal que x < z < y (¿por
qué?) y, como por hipótesis, [x,y] e A se tiene (a,b) e A. Puesto que
a == inf A y b == sup A, A es uno de los intervalos con extremos a y b.
•
El concepto de sucesión es tan natural que incluso aparentemente se puede
prescindir de una definición formal. No es dificil, sin embargo, formular
una definición rigurosa; lo importante acerca de una sucesión es que para
todo número natural n existe un número real an y es precisamente esta
idea lo que se formaliza en la definición siguiente.
Definición 0.4.1 Una sucesión de números reales es una aplicación
a:N-+lR
Desde el punto de vista de la definici6n, los valores particulares de la
sucesión a deberían designarse mediante
a(I), a(2), a(3),
pero la notación con subíndices
es la que se usa casi siempre; la sucesión misma se suele designarcomo
(On)'
Cuando el rango de una sucesi6n o es un conjunto acotado superiormente
(inferiormente), es decir, existe un número M tal que an ~ M (an ~
M) para todo n, decimos que a es una sucesión acotada superiormente
(interiormente).
Una sucesi6n acotada inferiormente, pero no superiormente es la sucesión
(on) definida por
mientras que las sucesiones (bn) y (en) definidas por
1
en == -
n
10
son acotadas superior e inferiormente.
Una representaci6n muy conveniente de una sucesi6n se obtiene marcando
los puntos a}, 02, 03, .. ' sobre una recta como en la figura 0.2.
Este tipo de gráfica indica hacia donde va la sucesi6n. La sucesi6n (an )
va hacia el infinito, la sucesión (bn) salta entre -1 y 1, Y la sucesión (en)
o
Fi ra 0.2: Sucesiones
al
o
o
C4
•• •
C2 CI
converge hacia O. De las tres frases resaltadas, la última constituye el
concepto crucial asociado con las sucesiones, y será definido con precisión
(la definición se ilustra en la figura 0.3).
Definici6n 0.4.2 Una sucesión (an ) converge hacia 1,
lím an =1,
n->oo
si para todo ~ > O existe un número natural no tal que
lan -11 < ~ siempre que n > no
Además de la terminología introducida en esta definición,' decimos a veces
que la sucesión (an ) tiende hacia 1o que tiene el límite l. Se dice que una
sucesión (an ) converge si converge hacia 1 para algún l.
Para demostrar que la sucesión (cn ) converge hacia O, basta observar lo
siguiente. Si ~ > O, existe un número natural no tal que
1- <~.
no
Entonces, si n > no tenemos
1 1
-<-
n no
y, por tanto,
ICn - 01 <~.
Sin embargo, es generalmente muy difícil determinar el límite de una
sucesión, (o probar que cierto número real lo es) partiendo únicamente
Figura 0.3: Límite de una sucesión
1;
l-é
ano+4 ano+1
• .. l' "... ... • '1
ano+3 1 a no+2 1+ é
11
12
de la definición; por eso es importante, disponer de algunos criterios que
garanticen la convergencia de sucesiones. El primer criterio, muy fácil de
demostrar, pero que constituye la base para todos los demás resultados,
se expresa en términos de crecimiento.
Diremos que una sucesión (an) es creciente cuando an+! > an para todo
n; y no decreciente si an+I ~ an para todo n; existen definiciones análogas
para sucesiones decrecientes y no crecientes.
Teorema 0.4.3 Si (an ) es una sucesión no decreciente y acotada supe-
riormente, entonces (an ) converge.
DEMOSTRACIÓN
Puesto que (an ) es acotada superiormente, pongamos
a = sup{an : n E N};
y veamos que límn --+oo an =a.
En efecto, puesto que a es el supremo del conjunto {an : n E N}, si é > O,
existe algún ano que satisface
Entonces, si n > no tenemos que an ~ ano' de modo que
a - an ~ a - ano < é.
Esto demuestra que límn --+oo = a.
•
Un enunciado análogo se tiene si (an ) es no creciente y acotada inferior-
mente.
La hipótesis de que (an ) está acotada superiormente es claramente esen-
cial en el teorema anterior; si (an ) no está acotada superiormente, en-
tonces (tanto si es no decreciente como si no lo es) diverge. Con esta
consideración podría parecer que no debería existir dificultad alguna en
decidir si una sucesión no decreciente está o no acotada superiormente,
y en consecuencia si converge o no. De momento puede el lector inten-
tar decidir si la siguiente (evidentemente creciente) sucesión está o no
acotada superiormente:
11111 1
1,1+ 2,1 + 2 + 3,1 + 2 + 3 + 4""
Aunque el teorema 0.4.3 trata solamente un caso muy particular de su-
cesiones, resulta más útil de lo que a primera vista pueda parecer, puesto
que es siempre posible extraer de cualquier sucesión (an ) otra sucesión
que es, o bien no creciente, o bien no decreciente. Hablando sin precisión,
definamos una subsucesión de una sucesión (an ) como una sucesión de la
forma
donde los ni son números naturales con
Entonces toda sucesión contiene una subsucesión que es o bien no decre-
ciente o bien no creciente (problema 22)
Proposición 0.4.4 Cualquier sucesión (an ) contiene una subsucesión
que es o bien no decreciente o bien no creciente.
Este hecho, de por sí ya relevante, es además el núcleo de un resultado
aparentemente sorprendente, pero de inmediata comprobación.
Teorema 0.4.5 (de Bolzano- Weierstrass).
Toda sucesión acotada tiene una subsucesión convergente.
Hasta aquí es donde podemos llegar sin suposiciones adicionales: es fácil
construir sucesiones que tengan muchas, incluso infinitas, subsucesiones
que converjan hacia números distintos (véase el problema 21). Existe
otra suposición razonable que, al añadirla, ofrece una condición necesaria
y suficiente para la convergencia de cualquier sucesión; una condición
que, además de simplificar muchas demostraciones (sólo por esta razón
ya vale la pena que la establezcamos) desempeña un papel fundamental
en el análisis.
Si una sucesión converge, de modo que sus términos eventualmente se
aproximan todos a un mismo número, entonces la diferencia entre dos
cualesquiera de tales términos debe ser muy pequeña. Para ser precisos,
si límn ..... oo = l para algún valor l, entonces, por definición, para cualquier
f > O, existe no tal que lan -11 < f/2 para n > no; ahora bien, si es a la
vez n > no y m > no, entonces
Esta desigualdad final, lan - ami < f, que elimina la mención al límite
1, puede utilizarse para formular una condición (la condición de Cauchy)
que es claramente necesaria para la convergencia de una sucesión.
Definición 0.4.6 Una sucesión (an ) es una sucesión de Cauchy si para
todo f > O existe un número natural no tal que
lan - amI < f, siempre que n, m > no
La elegancia de la condición de Cauchy está en que es también suficiente
para asegurar la convergencia de una sucesión. Después de todo nuestro
trabajo preliminar, queda poco por hacer para terminar la demostración.
Hemos visto ya que (an ) es una sucesión de Cauchy si converge. La idea
fundamental para ver el recíproco consiste en probar que toda sucesión de
Cauchy está acotada y que, por tanto, posee una subsucesión convergente
para, finalmente, demostrar que si una sucesión de Cauchy (an ) tiene una
subsucesión convergente entonces (an ) también converge (problema 23).
Teorema 0.4.7 Una sucesión (an ) converge si y sólo si es una sucesión
de Cauchy.
13
0.5 Conjuntos numerables
La noción de conjunto numerable es, es realidad, muy natural. Se trata
de extender a infinito la posibilidad de contar. La definición matemática
adecuada es la siguiente.
Definición 0.5.1 Un conjunto A es numerable si existe una aplicación
sobreyectiva
Inmediatamente se aprecia que la definición anterior lleva implícita una
interpretación ligeramente diferente pero extremadamente importante:
el conjunto A es numerable si es posible disponer sus elementos en una
sucesión
El primer ejemplo inmediato de conjunto numerable es lógicamente N;
evidentemente también es numerable cualquier conjunto finito o el con-
junto de los números pares. Algo más sorprendente es comprobar que Z
es también numerable, pero ver es creer
O, -1, 1, -2,2, ...
Los resultados siguientes muestran que hay muchos más conjuntos nume-
rables de lo que se pueda suponer.
Teorema 0.5.2
1. Cualquier subconjunto de un conjunto numerable es numerable.
2. La unión de dos conjuntos numerables es numerable.
La demostración de estas propiedades es sencilla y se deja al lector. (La
primera es inmediata, para la segunda aplíquese el mismo artificio que
dio resultado para Z).
El conjunto de los números racionales positivos es también numerable;
para demostrarlo, basta utilizar la siguiente descripción
1 --t 1 1 --t 1 12 3 ¡ 5
¿ /' ¿
2 2 ~ 2 2'2 3 ¡ 5
.¡. /' ¿
3 3 ª- 3 32 3 ¡ 5
Naturalmente, de forma similar, el conjunto de los números racionales
negativos también es numerable y, por tanto, deducir que Q es numerable
(esto es sí que es verdaderamente sorprendente) es ahora una trivialidad.
Puesto que existen tantos conjuntos numerables, es importante observar
que, por ejemplo, el conjunto de los números reales comprendidos entre
O y 1 no es numerable (problema 25). En otras palabras, no es posible
disponer todos estosnúmeros reales según una sucesión
14
0.6 Problemas
1. Dése una expresión equivalente de cada una de las siguientes utili-
zando como mínimo una vez menos el signo de valor absoluto.
(a) 1-12 + -13 - v'5 + v'71·
(b) 1(la + bl- lal -lbDI·
(c) 1(la + bl + lel -la + b + eDI·
(d) Ix2 - 2xy + y2 1.
(e) 1(1-12 + -131 - 1v'5 - v'7DI·
2. Dése una expresión equivalente de cada una de las siguientes pres-
cindiendo de los signos de valor absoluto, tratando por separado
distintos casos cuando sea necesario.
(a) la + bl - Ibl·
(b) 1(Ixl - 1)\.
(c) Ixl - Ix2 1·
(d) a - I(a - laDI·
3. Encontrar todos los números x para los que se cumple
(a) Ix - 31 =8.
(b) Ix - 31 < 8.
(c) Ix +41 < 2.
(d) Ix - 11 + Ix - 21 > 1.
(e) Ix - 11 + Ix + 11 < 2.
(f) Ix - 11 + Ix + 11 < 1.
(g) Ix - 111x + 11 =O.
(h) Ix - 111x + 21 = 3.
4. (a) Dar una nueva demostración la + bl :::; lal + Ibl mediante un
análisis exhaustivo de todos los casos posibles. ¿Cuándo se
verifica la + bl = lal + Ibl y cuándo la + bl < lal + Ibl?·
(b) Dése otra demostración más corta partiendo del hecho de que
..¡;;2 = lal
(¡ojo! no a).
5. Demostrar lo siguiente:
(a) Ixyl = Ixllyl·
(b) I~I= I~I' si x # o.
(c) ::1 = I~I, si y # O.
(d) Ix - yl :::; Ixl + Iyl. (Dése un demostración muy corta).
(e) Ix + y + zl :::; Ixl + Iyl + Izl· (Indíquese cuándo se cumple la
igualdad).
15
6. Demostrar que
áx { }
x + y + Iy - xl
m x,y = 2
x +y -Iy - xl
mín{x,y} = 2
7. Demostrar que si
E
IX - xol < 2" y
E
Iy - Yol < -
2
entonces
I(x + y) - (xo + Yo)1 < E,
I(x - y) - (xo - Yo)1 < E.
16
El enunciado de este problema encierra algunos números extraños,
pero su mensaje básico es muy sencillo: si x está suficientemente
cerca de Xo e y está suficientemente cerca de Yo, entonces x+y está
cerca de Xo + Yo, Y x - y está cerca de Xo - Yo.
8. Hallar la cota superior mínima y la cota inferior máxima (si existen)
de los siguientes conjuntos. Decidir también qué conjuntos tienen
elemento máximo o elemento mínimo.
(a) {~: n EN}
(b) {~: n E Z, n ¡é O}
(c) {x: x = O o x = l/n,n E N}
(d) {x E Q : O~ x ~ vÍ2}
(e) {x: x 2 + x + 1 ~ O}
(f) {x: x 2 + x - 1 < O}
(g) {x: x < O y x 2 + x - 1 < O}
(h) {~+(-l)n:nEN}
9. Sea A e IR un conjunto no vacío. Probar que A es acotado si y
s6lo si existe un número real positivo K tal que Ixl ~ K para todo
xE A.
10. Supongamos que A y B son dos conjuntos no vacíos de números
reales tales que x ~ y para todos x E A, Y E B.
(a) Demostrar que supA ~ y para todo y E B.
(b) Demostrar que sup A ~ inf B.
11. Sean A e B conjuntos no vacíos y acotados superior e inferiormente
de números reales. Probar que
inf(B) ~ inf(A) ~ sup(A) ~ sup(B)
12. Probar que en el conjunto Q de los números racionales, el conjunto
A={aEQ:a>O,a2 <2}
es no vacío y está acotado superiormente, pero no tiene supremo.
13. Use la propiedad arquimediana para demostrar de otra forma que
para todo e > Oexiste un número natural n con l/n < e.
14. Sea A e IR no vacío y acotado superiormente, y sea e un número
real. Demostrar que e :S sup(A), si y sólo si para cada e > O real,
existe x E A tal que e - e < x.
15. Probar que si A es acotado y para todo x, y E A, el intervalo [x, y]
está contenido en A, entonces
(a,b) e A e [a,b]
con a =inf A y b =sup A.
Este problema puede ayudar a comprender la demostración del teo-
rema 0.3.1.
16. Probar que un conjunto A es acotado si y sólo si existe un intervalo
(a, b) que lo contiene.
17. (a) Demostrar que si 1 y J son intervalos en IR tales que JnJ:f. 0,
entonces J U J es un intervalo.
(b) Si 1 Y J son intervalos tales que J UJ es un intervalo, entonces
J n J:f. 0. ¿Verdadero o falso? (explíquese).
¿y si son intervalos abiertos? ¿Y si son intervalos cerrados?
18. Hallar
00
(a) n[n,+oo)
n=l
00
(b) n<-I/n,l/n)
n=l
19. ¿Verdadero o falso? (explíquese en cada caso)
00
(a) U[O, 1 - l/n] = [0,1]
n=l
00
(b) n(a - l/n, b + l/n) = [a, b]
n=l
20. Sea S una familia de intervalos tales que para cada par de intervalos
J, J de S, existe K E S tal que J U J e K. Probar que la unión de
todos los intervalos de S, es un intervalo.
21. (a) Hallar todas las sucesiones convergentes de la sucesión
1, -1, 1, -1, 1, -1, .. ,
(Existen infinidad de ellas, pero s610 hay dos limites que estas
subsucesiones pueden tener).
(b) Hallar todas las subsucesiones convergentes de la sucesión
1, 2, 1, 2,-3, 1, 2, 3, 4, 1,2,3,4,5, ...
(c) Considérese la sucesión
1 1 2 1 231 234 1
2' 3' 3' 4' 4' 4' 5' 5' 5' 5' 6' ...
¿Para qué números a existe una subsucesi6n que converge ha-
. ?Cla a ..
17
18
22. Probar que cualquier sucesión contiene una subsucesión que es o
bien no decreciente o bien no creciente.
(Es muy posible confundirse al tratar de demostrar esta afirmación,
si bien la demostración es muy corta cuando se acierta con la idea
adecuada).
23. (a) Demostrar que si una subsucesión de una sucesión de Cauchy
converge, entonces también converge la sucesión original.
(b) Demostrar que cualquier subsucesión de una sucesión conver-
gente es convergente.
24. Probar que si Al, Az,A3 , ••• son todos numerables, entonces
es también numerable.
(Utilizar el mismo artificio que para Q)
25. Probar que el conjunto de los números reales comprendidos entre O
y 1 no es numerable.
(Utilícese un desaNYJllo decimal y reducción al absurdo)
1 Topología usual de R
En este capítulo construiremos sobre IR una estructura topológica que,
fundamentalmente, se basa en la idea de proximidad; una idea que sub-
yace en los conceptos habituales del análisis. Las propiedades topológicas
nacen, al menos en principio, para dar una forma precisa a tales concep-
tos.
1.1 Conjuntos abiertos y conjuntos cerrados
Desde el punto de vista del análisis, los subconjuntos más importantes
de IR son, sin duda, los intervalos. Sin embargo, entre ellos hay ciertas
diferencias, algunas importantes y otras no (dependiendo, en parte, del
contexto).
Por ejemplo, la diferencia entre (O, 1) Y (0,5) es únicamente de escala; las
. desigualdades que los definen son las mismas.
Por otra parte, los intervalos (0,1) Y (O, +00) son de tipos diferentes: uno
está acotado y el otro no; incluso así, aún presentan ciertas semejanzas
-de hecho, es posible trons/ormar el primero en el segundo-o
En contraste, los intervalos l = (0,1) Y J = [0,1] tienen propiedades
muy diferentes; el punto crucial es el hecho de que los puntos extremos°y 1 pueden ser aproximados tanto como se quiero mediante puntos de
l, pero ellos mismos no son puntos de l. Más precisamente, a pesar de
que °y 1 no son puntos de l, son límite de sucesiones convergentes cuyos
términos sí están en l. Por el contrario, si una sucesión convergente tiene
sus términos en J entonces su límite también debe estar en J.
Esta importante propiedad caracteriza no solamente a los intervalos sino
también a otra clase mucho más amplia de subconjuntos de R Pero
precisar esta idea necesita de ciertas definiciones previas.
Definición 1.1.1 Dado un número real x, se llama entorno de x de rodio
r > °al conjunto
E(x; r) = {y : Ix - yl < r} = (x - r, x + r)
En lo que sigue, cuando no sea necesario especificar el radio del entorno,
designaremos cualquier entorno de x mediante E(x) y llamaremos entorno
reducido del punto x al conjunto
E*(x) = E(x) \ {x}.
Así pues, un entorno reducido de x es un entorno de x del que se ha
suprimido el punto x.
Es evidente que la intersección de un número finito de entornos de x es
también un entorno de x: la intersección
E(x; r¡) n E(x; r2) n ... n E(x; rn )
19
ser
Resaltado
ser
Resaltado
20
es el entorno E(x; r) donde r :::: mín {r¡, r2,"" rn }; es importante obser-
var, sin embargo, que esto no ocurre, en general, para un número infinito
de entornos (¿puede el lector encontrar un contraejemplo?).
También está claro que si x e y son dos números reales distintos, existen
un entorno de x y otro de y disjuntos: basta considerar los entornos
E(x;r) y E(y;r) con r:::: Ix - yl/2.
Sea ahora x un punto cualquiera del intervalo (a,b); si tomamos
r :::: mín {Ix - al, Ix - bl},
entonces se tiene
E(x,r)::::(x - r,x + r) e (a,b);
en otras palabras, no sólamente x está en (a, b), sino que -informalmente-
todos los puntos cercanos a x están en (a, b); nótese que esto no pasa, por
ejemplo, para algunos puntos de [a, b]. Precisemos esta idea.
Definición 1.1.2 Un conjunto A e lR es un conjunto abierto si para
cada x E A existe un entorno E(x) contenido en A.
EJEMPLO 1.1.1
1. Los intervalos (a, b), (-00, a) y (a, 00) son evidentemente conjuntos
abiertos. En particular, todo entorno es un conjunto abierto.
2. Un intervalo cerrado [a, b] no es un conjunto abierto pues, por
ejemplo, todo entorno de a contiene puntos que no están en [a, b].
(¿cuáles?).
3. Ningún conjunto no vacío finito o numerable es abierto, pues todo
abierto contiene intervalos abiertos que son infinitos no numerables.
En particular, Z, Q y cualquier sucesión (an ) de números reales no
son conjuntos abiertos.
•
En el resultado siguiente se expresan las primeras propiedades de los
conjuntos abiertos.
Teorema 1.1.3 Se verifican las siguientes propiedades:
1. 0 Y lR son abiertos.
2. La unión de cualquier colección de conjuntos abiertos es un conjunto
abierto.
3. La intersección de cualquier colección finita de conjuntos abiertos
es un conjunto abierto.
DEMOSTRACiÓN
Si x E IR, cualquier entorno E(x) está contenido en lR; por tanto IR es
abierto. Por otra parte, 0 es, trivialmente, abierto (¿para qué punto no
existe un entorno contenido en él?). Veamos 2 y 3.
\
ser
Resaltado
Sea A la unión de una colección arbitraria {A;}¡EI de conjuntos abiertos
y sea x E A. Existirá. un i tal que x E A¡ Y como A¡ es abierto, existirá.
un entorno E(x} contenido en A¡. Entonces E(x} e A y A es abierto.
Sea B la intersección de una colección finita B I , B2 , • •• B n de conjuntos
abiertos y sea x E B. Entonces x E B¡ para i = 1,2, ... , n y como
cada Bi es abierto existirán n entornos E¡(x} e Bi . La intersección de
los Ei(X} es un entorno de x contenido en B y B es, pues, un conjunto
abierto.
•
Sin embargo, la intersección de una colección no finita de conjuntos abier-
tos puede no ser un conjunto abierto como prueba el siguiente ejemplo.
EJEMPLO 1.1.2
1. Para cada n E NseaAn = (-I/n,l/n). La intersección de todos los
abiertos An es el conjunto {O} que no es abierto pues todo entorno
de O contiene puntos distintos de O.
2. Más generalmente, sea An = (a-l/n, b+l/n). Si x E [a, b] entonces
x E A n para todo n, y x pertenece a la intersección de todos los
A n ; por otra parte, si x It [a, b], existe n suficientemente grande tal
que x E An y, por tanto, x no pertenece a la intersección de todos
los An .
Resumiendo
00nAn = [a,b]
n=!
que no es un conjunto abierto.
•
A la familia T formada por todos los conjuntos abiertos de IR le llama-
remos topología usual de Jll Por simplicidad, en lo que resta de capítulo,
cuando hablemos de IR lo supondremos siempre dotado de la topología
T.
Como cabría esperar, la relación entre los conjuntos abiertos y los inter-
valos abiertos es muy estrecha. El resultado siguiente, de importantes
consecuencias, pone de manifiesto la estructura interna de los conjuntos
abiertos. su estructura intrínseca.
Teorema 1.1.4 Un conjunto no vacío A e IR es abierto si y sólo si es
unión de una colección numerable de intervalos abiertos disjuntos.
DEMOSTRACIÓN
Como A es abierto, para cada x E A existe un intervalo (y, z) que contiene
a x y está contenido en A. Sean
a = inf{y E IR: (y,x) e A} y b = sup{z E IR: (x,z) e A}
(obsérvese que permitimos que muy bien pudiera ser a = -00 o b = 00).
Entonces a < x < b y, por tanto, 1., = (a, b) es un intervalo abierto que
contiene a x.
21
22
Veamos que además, Iz e A. En efecto, si t E Iz , o bien es a < t < x, en
cuyo caso existe un y < t tal que (y, x) e A, o es x < t < b, en cuyo caso
existe un z > t tal que (x, z) e A, luego en todo caso t E A.
Por otra parte, a rt A pues, en caso contrario, por ser A abierto, existiría
r > Otal que el intervalo (a-r, a) estaría contenido en A y esto contradice
la definición de a. Análogamente se prueba que b rt A.
Consideramos la colección de intervalos abiertos {Ix : x E A}. Como
cada x E A está contenido en Ix Y todo Ix está contenido en A, se tiene
y, por tanto A es uni6n de intervalos abiertos.
Por otra parte, si dos de los intervalos (a, b) Y (e, d) de esta colección
tienen un punto común, deben ser e < b y a < d. Como e no está en A,
tampoco está en (a, b) Y es e :$ a y como a no está en A tampoco está
en (e, d) y es a :$ e. Por tanto a = c. De manera análoga se prueba que
b = d. Por consiguiente, dos intervalos distintos de la colecci6n {Iz } son
disjuntos y A es uni6n de intervalos disjuntos.
Finalmente, como cada uno de los intervalos abiertos Ix contiene un
número raciona, puede definirse una aplicación biyectiva entre la colec-
ción {Iz} y un subconjunto de números racionales que, naturalmente, es
numerable, luego la colección {/z} es numerable.
El recíproco es evidente, puesto que los intervalos abiertos son conjuntos
abiertos y la unión de abiertos es un conjunto abierto.
•
Consideremos ahora otros subconjuntos de IR que, en cierto sentido, po-
seen propiedades complementarias de los abiertos.
Definición 1.1.5 Un conjunto e e IR es un conjunto cerrado si su com-
plementario IR \ e es abierto.
Los conjuntos cerrados tienen, en realidad, una caracterización muy suge-
rente, que aún no estamos en condiciones de demostrar, pero que conviene
tenerla en mente -ya hemos aludido a ella previamente-. En IR, un con-
junto e es cerrado si y sólo si cualquier sucesión convergente de elementos
de e tiene su límite en C.
EJEMPLO 1.1.3
1. Todo intervalo cerrado [a, b] es un conjunto cerrado pues su comple-
mentario es abierto por ser la unión de los dos conjuntos abiertos
(-00, a) y (b,+oo).
2. Todo intervalo de la forma [a, (0) es cerrado pues su complementario
es el conjunto abierto (-00, a); análogamente, (-00, al es cerrado
pues su complementario es el conjunto abierto (a, (0).
3. {a} es cerrado, pues su complementario es (-00, a) U (a, (0) que es
un conjunto abierto por ser uni6n de abiertos.
•
Antes de alargar la lista de ejemplos, veamos las propiedades básicas que
resultan inmediatamente -la demostración se deja al lector- de las leyes
de De Margan y las propiedades de los abiertos.
Teorema 1.1.6 Se verifican las propiedades siguientes:
1. 0 11 lR son cerrados.
2. La uni6n de cualquier colecci6n finita de conjuntos cerrados es un
cerrado.
9. La intersecci6n de cualquier colecci6n de conjuntos cerrados es un
conjunto cerrado.
En este punto parecen convenientes algunas palabras de precaución: en
nuestro quehacer diario, "cerrado" significa generalmente ''no abierto";
sin embargo esto no es así en III Por una parte hay subconjuntos que no
son abiertos ni cerrados, por ejemplo el intervalo (0,1), Y por otra hay
conjuntos, como 0 y IR, que son abiertos y cerrados a la vez.
EJEMPLO 1.1.4
1. Si
A = {Xl,X2" .. 'Xn }
es un conjunto no vacío finito, entonces podemos poner
n
A = U{x;}
i=1
y, puesto que cada {Xi} es cerrado, se tiene que A es un conjunto
cerrado.
2. Sin embargo, la unión arbitraria de conjuntos cerrados no es, nece-
sariamente, un conjunto cerrado; por ejemplo, el conjunto
00
U [O, 1 - l/n) = [0,1)
n=1
no es un conjunto cerrado.
•
1.2 Interior, exterior y frontera de un conjunto
Desde un punto de vista conjuntista, cualquier conjunto A e lR clasifica
los puntos de lR en dos clases: aquellos que pertenecen a A y los que no.
Sin embargo, desde una perspectiva topológica es importante hacer una
distinción más fina.
Así, dado un punto X E lR podemos afirmar que ocurre una y sólo una de
las siguientes situaciones:
1. Existe algún entorno E(x) contenido en A.
2. Existe algún entorno E(x) contenido en lR \ A.
3. Todo entorno E(x) tiene puntos de A y de su complementario.
Precisemos esta idea.
23
Definición 1.2.1 Un punto x E lR es un punto interior a un conjunto
A e IR si existe un entorno E(x) contenido en A. El conjunto de los
puntos interiores a A se llama interior de A y se designa porint(A).
Un punto x E IR es un punto exterior a un conjunto A e IR si existe un
entorno E(x) contenido en el complementario de A. El conjunto de los
puntos exteriores a A se llama exterior de A " se designa por ext(A).
Un punto x E IR es un punto frontera de un conjunto A e IR si todo
entorno de x contiene puntos de A " de su complementario. El conjunto
de los puntos frontero de A se llama frontero de A " se designa por fr(A).
Informalmente: si x es un punto interior a A, no solamente x está en A
sino que además hay una pequeña zona alrededor de x que permanece en
Aj esto es: todos los puntos suficientemente cercanos a x están en A y algo
análogo ocurre si x es un punto exterior. Sin embargo, un punto frontera
no puede moverse porque puede perder inmediatamente su condición.
Consecuencia inmediata de la definición es que, para cualquier A e Ji,
int(A) e A y ext(A) e IR \ A.
Además, es evidente que los conjuntos int(A), ext(A) y ír(A) son disjuntos
dos a dos y que
int(A) U ext(A) U fr(A) =: IR.
EJEMPLO 1.2.1
1. Si A es un intervalo acotado de extremos a y b, entonces
int(A) = (a,b), ext(A) = (-oo,a)U(b+oo) y fr(A) = {a,b}.
2. Sea M = (0,1) U {2}; entonces:
int(M) =: (0,1),
y
fr(M) = {O, 1, 2}
24
ext(M) =: (-00, O) U (1,2) U (2, +00).
3. Sea el subconjunto de IR, A = {l/n : n E N}; entonces se tiene que
int(A) =0, ext(A) = IR \ (A U {O}) Y fr(A) = A U {O}.
•
El resultado siguiente precisa el carácter topológico de estos conjuntos.
Teorema 1.2.2 Paro todo A e IR, se tiene que int(A) "ext(A) son
conjuntos abiertos" fr(A) es cerredo.
DEMOSTRACIÓN
Desde luego, int(A) es abierto si es vacío. En otro caso, por definición
de interior, para cada x E int(A) existe un entorno E(x) contenido en
A. Como E(x) es abierto, para cada y E E(x) existe un entorno E(y)
contenido en E(x) y, por tanto, E(y) e A. Esto prueba que todos los
puntos de E(x) son interiores a A, es decir que E(x) e int(A). Así,
int(A) es abierto.
Como ext(A) =int(IR - A), también ext(A) es un conjunto abierto.
Finalmente, como
fr(A) = IR - (int(A) U ext(A»
y el conjunto int(A) U ext(A) es abierto por ser unión de abiertos, fr(A)
es un conjunto cerrado.
•
Tenemos, pues, que int(A) es un conjunto abierto; pero, aún más, como
pone de manifiesto el resultado siguiente cualquier conjunto A es abierto
si y sólo si coincide con su interior.
Teorema 1.2.3 Un conjunto A es abierto si y sólo si todos sus puntos
son interiores.
DEMOSTRACIÓN
Si A es abierto y x E A, existe un entorno E(x) contenido en A, luego
x E int(A). Recíprocamente si todos los puntos de A son interiores, se
tiene que int(A) =A y, por tanto, A es abierto.
•
1.3 Adherencia y acumulación de un conjunto
Cuando un punto x es exterior a A, existe un entorno E(x) que -en
términos informales- separa a x del conjunto A. Esto no ocurre con los
puntos frontera ni, desde luego, con los puntos interiores. Precisemos
esta idea.
Definición 1.3.1 Un punto x E IR es un punto adherente a un conjunto
A e IR cuando todo entorno E(x) contiene puntos de A.
El conjunto de puntos adherentes a A se llama adherencia o clausura de
A y se designa por A.
Puesto que todo entorno E(x) contiene a x, todo punto x E A es ad-
herente a A, así que, en general, A e A, aunque, como se verá, no
necesariamente es A =A.
EJEMPLO 1.3.1
Sea A el intervalo abierto (a, b). La adherencia de A es el intervalo
cerrado [a, b). En efecto: los puntos a y b son adherentes al intervalo
(a, b) puesto que todo entorno E(a) y E(b) contiene puntos de Aj por
tanto, la adherencia de A incluye como mínimo al intervalo cerrado [a, b).
Por otra parte, si x f/. [a, b), uno de los entornos E(x, Ix - al), E(x, Ix - bl)
no contiene puntos de A, así que x no es punto de adherencia de A.
•
25
26
Obsérvese que si x E A todo entorno E(x) contiene puntos de A, así que
x no pertenece a ext(A); es decir: x E int(A) U fr(A). Recíprocamente,
todo punto interior a A o frontera de A es adherente, así que, en realidad,
A = int(A) U fr(A).
Este hecho nos permite mostrar cómo los puntos adherentes pueden de-
terminar si un conjunto es cerrado o no.
Teorema 1.3.2 Un conjunto A e IR es cerrado si y sólo si A =A.
DEMOSTRACIÓN
En primer lugar, observamos que, A es un conjunto cerrado puesto que
A = int(A) U fr(A) =IR - ext(A);
así que si A =A, A es cerrado.
Recíprocamente, sea A es cerrado. Si xr¡. A, se tiene que x E IR \ A,
que es un conjunto abierto; por tanto, existe un entorno E(x) e IR \ A
Y E(x) n A = 0 y x no es un punto adherente. Así, pues, A e A y, por
tanto A =A.
•
Sea ahora A = {l/n : n E N}. Es fácil ver que O E A, puesto que
todo entorno de O contendrá puntos de A. Como se verá, no es difícil
probar que, en general, el límite de una sucesión convergente es un punto
adherente del conjunto formado por los términos de la sucesión. Desde
luego, este hecho no es casual; existe una estrecha relación entre puntos
adherentes y sucesiones.
Teorema 1.3.3 Un punto x es adherente a un conjunto A si y sólo si x
es límite de una sucesión (xn ) de puntos de A.
DEMOSTRACIÓN
Si x es un punto adherente a A, se tiene que para todo n
Podemos escoger entonces, para cada n un punto x n E A tal que
xnE (x-~,x+~)
Esto define una sucesión (xn ) tal que IXn - xl < l/no Luego lfmxn = x.
Recíprocamente, sea (xn ) una sucesión de puntos de A cuyo límite es
X. Entonces dado f > O, se tiene que X n E (x - f, X + f) para todo n
suficientemente grande y, por tanto, (x - f,X + f) n A:f. 0; así, pues
xEA.
•
Conviene hacer notar que en el teorema anterior no se exige que los
términos de la sucesión (xn ) sean todos distintos. Es más: muy bien
pudiera ocurrir que, para cualquier n, el único punto
sea el propio x.
Por otra parte, este resultado nos permite mostrar de otra forma que,
por ejemplo, °es un punto adherente de A = (O, +00), puesto que °=
lím l/n, y l/n E A para todo n. Pero su importancia no se reduce a
un simple mecanismo de decisión sino que tiene una consecuencia muy
importante: es posible caracterizar a los conjuntos cerrados mediante sus
sucesiones convergentes, una cuestión que ya fue apuntada en la sección
anterior.
Teorema 1.3.4 Un conjunto A es cerrado si !J sólo si toda sucesión con-
vergente (xn ) con xn E A tiene su límite en A.
DEMOSTRACIÓN
En primer lugar, si A es cerrado y límxn = x con X n E A para todo
n E N, entonces todo entorno E(x) contiene puntos de {xn } y, por tanto,
de A; luego x E A = A (A es cerrado).
Recíprocamente, supongamos que toda sucesión en A convergente tiene
su límite en A. Si x E A, existe una sucesión (xn ) en A tal que lím X n = x
y, por tanto, x E A; luego A = A y A es cerrado.
•
Consideremos ahora el conjunto M = (O, 1)U{2}. No es difícil comprobar
que M = [0,1) U {2}. Ahora bien, puesto que 2 es un punto adherente
de M debe existir alguna sucesión convergente, llamémosle (xn ), con sus
términos en M tal que lím X n = 2. Como 2 E M la sucesión constante 2
verifica esta condición. Pero no hay ninguna más. Así que 2 es un punto
adherente pero con ciertas características especiales. Obsérvese por otra
parte que, efectivamente, todo entorno E(2,r) contiene puntos de M,
pero si r ::s 1, el único punto de intersección es precisamente 2. Estas
reflexiones nos llevan a afinar un poco más el concepto de adherencia.
Definición 1.3.5 Un punto x E lR es un punto de acumulación de un
conjunto A e lR cuando todo entorno reducido E·(x) contiene puntos de
A.
Un punto x E lR es un punto aislado de un conjunto A si es un punto de
A que no es de acumulación.
El conjunto de puntos de acumulación de A se llama el conjunto derivado
de A !J se designa por Al.
EJEMPLO 1.3.2
1. Se tiene (a, b)' = (a, b]' = [a, b)' = fa, b]' = [a, b).
2. Si A = {l, 1/2, 1/3, ... , l/n, .. .r.~lltonces Al = {D}.
27
Ser
Resaltado
Ser
Resaltado
Ser
Resaltado
28
3. En general, si A = {x" : n E N} Y límxn = a con a #- xn para
todo n E N, entonces A' = {a}. Si, por el contrario, a E A puede
ocurrir que A' = {a}, como en la sucesión definida por Xo = a y
X n = a + lln, o que A' =0 como en la sucesión X n =a.4. Todo punto x E Z es un punto adherente de Z, pero no es de
acumulación puesto que EO(x, 1/2)nZ = 0. Es interesante observar,
no obstante, que si a E A\A, entonces a es un punto de acumulación
de A (Probarlo).
•
A la vista de la definición, es evidente que todos los puntos de acumulación
son puntos de adherencia, así que, en general, A' e Aj pero, como se
ha visto en el ejemplo anterior, el reciproco no es, en general, cierto. La
estrecha relación entre los puntos de acumulación y los puntos adherentes
se pone de manifiesto en el resultando siguiente.
Teorema 1.3.6 Para cada A e lR se verifica A = A U A'.
DEMOSTRACIÓN
Está claro que A UA' e A, puesto que tanto A como A' están contenidos
en A. Veamos que también se verifica el reciproco.
Sea x E A; entonces para todo entorno E(x) se cumple E(x) nA#- 0.
Puede suceder que exista un entorno E(x) tal que E(x) n A = {x} en
cuyo caso x E A, o bien que para todo entorno E(x) sea EO(x) nA :¡. 0,
en cuyo caso x E A'. En todo caso x E A U A'.
•
Como consecuencia inmediata es posible caracterizar a los conjuntos ce-
rrados mediante sus puntos de acumulación. Basta tener en cuenta que
A es cerrado si y sólo si A =A = A U A'. Por tanto
Corolario 1.3.7 Un conjunto A e lR es cerrado si y solo si contiene a
todos sus puntos de acumulación.
El resultado más notable con respecto a los puntos de acumulación es, sin
duda, el teorema de Bolzano-Weierstrass. Afirma que todo subconjunto
A de lR, infinito y acotado, tiene al menos un punto de acumulación (que
puede o no pertencer a A).
Teorema 1.3.8 (de Bolzano- Weierstrass).
Todo conjunto infinito y acotado A e IR tiene al menos un punto de
acumulación.
DEMOSTRACIÓN
Puesto que A está acotado, está contenido en un intervalo (ao, boj. Di-
vidamos [ao, boj en dos partes iguales; al menos uno de ellos contiene un
subconjunto infinito de A. Llamemos a este subintervalo [al, b1). Divida-
mos de nuevo (al, b1Jen dos partes iguales y obtendremos un subintervalo
[a2, b2) que contendrá un subconjunto infinito de A y continuemos este
Ser
Subrayado
1.4 Conjuntos densos
proceso. De esta manera obtenemos una sucesión de intervalos tales que
el n-ésimo, [an, bnl tiene longitud
Además, la sucesión (an ) es creciente y acotada superiormente por be y
(bn ) es decreciente y acotada inferiormente por no. Ambas, pues, tienen
límite, y
así que ambos coinciden; llamémosle x y veamos que x es un punto de
acumulación de A.
En efecto: si r es cualquier número real positivo, tomemos n suficiente-
mente grande para que bn - an < r /2; entonces [an, bnl estará contenido
en E(x, r). Así, pues, el intervalo E(x, r) contiene puntos de A distintos
de x y, por lo tanto, x es un punto de acumulación de A.
•
Sea x un punto cualquiera de lR. Es evidente que en cualquier entorno
E(x) hay puntos de Q. Informalmente podríamos decir que Q está por to-
das partes o que Q rellena a lR. Para hacer precisa esta idea introducimos
el concepto de conjunto denso.
Definición 1.4.1 Un conjunto D es denso en IR si D = IR.
IR es denso trivialmente. También se tiene Q= IR y IR - Q = IR (véase el
problema 8), así que Q y IR - Q son también conjuntos densos en lR.
Casi todas las propiedades importantes de los conjuntos densos descan-
san, en última instancia, en el hecho de que la intersección de un conjunto
denso con cualquier conjunto abierto (no vacío) es siempre no vacía.
Teorema 1.4.2 Un conjunto D es denso en IR si y sólo si para todo
abierto no vacío A e IR se verifica que A n D # 0.
DEMOSTRACIÓN
Sea D denso en IR y A un subconjunto abierto. Sea x E A; y E(x) e A;
puesto que x E D se tiene E(x) n D # 0 y, por tanto,
DnA # 0.
Recíprocamente, supongamos que todo abierto no vacío tiene intersección
no vacía con D. Sea x E IR y E(x) un entorno de x; puesto que E(x) es
abierto,
E(x)nD#0
y x E D, lo que prueba que D es denso.
•
29
1.5 Conjuntos compactos
Los conjuntos compactos son conjuntos que presentan características muy
similares, desde el punto de vista topológico, a los conjuntos finitos. El
concepto es, sin embargo, más amplio y, por ende, más útil que la me-
ra noción de cardinalidad. Comencemos por un ejemplo ilustrativo que
ayudará a conseguir cierta familiaridad con algunas conceptos previos
imprescindibles.
Sea A = {l/n : n E N} y consideremos para cada x E (0,1), el conjunto
abierto B", = (x, 1). No es difícil comprobar que
AC U B",
"'E(O,!)
Ydecimos, entonces, que la familia 'Ro ={B", : O< x < 1} es un recubri-
miento abierto de A. Por otra parte, la familia
S = {B1/ n : n E N}
verifica que S e 'R. y, además,
A =U BrIn>
nEN
y decimos, entonces que S es un subrecubrimiento abierto del recubri-
miento R de A.
Definición 1.5.1 Sea'R. una familia de conjuntos de lR. Decimos que R
es un recubrimiento de A e lR cuando la unión de todos los conjuntos de
R contiene a A.
Un recubrimiento abierto es un recubrimiento formado por conjuntos
abiertos.
Un subrecubrimiento de un recubrimiento R de A es una subfamilia S
de R que es también un recubrimiento de A.
Conviene precisar que, aunque muy bien pudiera suceder, en general no
es cierto que A e Rj el sentido preciso de la definición de recubrimiento
es que para cada punto x E A existe al menos un conjunto C E R tal que
xEC.
EJEMPLO 1.5.1
1. Sea
A ={1, 1/2, 1/3, ...}.
A es un conjunto infinito formado por puntos aislados puesto que
para cada x E A existe un entorno E(x) tal que E(x) n A = {x}.
Consideremos entonces la familia
'R. = {E(x) : x E A}j
claramente se tiene
A e n E(x).
"'EA
así que 'R. es un recubrimiento abierto de A. Sin embargo, nótese
que 'R. no posee ningún subrecubrimiento propio: si omitimos algún
E(x), el punto x queda descubierto, pues x no pertenece a ningún
otro E(y) con x 1= y.
30
2. Sea A el intervalo [-1,1]. La familia
R = {(-1 + l/n, 1 - l/n) : n E N} U {(-3/2, -1/2), (1/2, 3/2)}
es un recubrimiento abierto de A y
s ={(-1, 1), (-3/2, -1/2), (1/2, 3/2)}
es un subrecubrimiento finito de A.
•
Como ilustran los ejemplos precedentes, la estructura de un conjunto
determina en gran medida el comportamiento de sus posibles recubri-
mientos. Pero antes de analizar en profundidad esta cuestión conviene
ver qué ocurre en algunos casos particulares.
Teorema 1.5.2 Todo recubrimiento abierto del intervalo cerrado y aco-
tado [a, b] posee un subrecubrimiento finito.
DEMOSTRACIÓN
Llamemos R a un recubrimiento abierto de [a; b]. Sea S el conjunto de
los puntos x E [a, b] tal que el intervalo cerrado [a, x] está cubierto por un
número finito de conjuntos de R. Nuestro objetivo, entonces, es probar
Que bES.
El conjunto S no es vacío, ya que, al menos, a ES, porque [a, a] = {a} y a
pertenece a algún conjunto de R. Además, S está acotado superiormente
porque S e [a, b]. Ponemos, entonces, ° = sup S y, puesto que S e [a, b],
se tiene que a ~ ° ~ b.
Procedemos, ahora, de la siguiente forma: probaremos, en primer lugar
(1), que ° E S y seguidamente (2), mostraremos que ° = b, lo que lleva
implícito que bES.
(1) Puesto Que ° E [a, b] y R cubre al intervalo [a, b], existirá A E R tal
que ° E A; ahora bien, A es abierto, así que podemos encontrar 10 > O
tal que [o - 10,0] CA.
Por ser ° =sup S, existe x E S tal que ° - 10 ~ X < o. Pongamos
[a, o] = [a, x] U [x, o]
Puesto que x E S, el intervalo [a, x] está cubierto por un número finito
de conjuntos de R y, por otra parte, el intervalo [x,o] e [o - E:,o] está
cubierto por A; luego el intervalo [a, o] está cubierto por un número finito
de conjuntos de R y, por tanto, ° E S.
(2) Para concluir, basta probar que ° = b. Si fuese ° < b, como ° E A
y A es abierto existirá z con ° < z < b tal que [o, z] e A y el intervalo
[a, z] estaría cubierto por un número finito de conjunto de R, luego sería
z E S Y z > ° =sup S, lo cual es imposible. Por tanto, ° = b.
•
En la demostración anterior, para determinar un cierto subrecubrimiento
finito de R se han utilizado dos hechos acerca del intervalo [a, b]: que es
cerrado y que es acotado. La cuestión, entonces, surge inmediatamente:
31
32
¿son sólo convenientes parala demostración o, por el contrario, son con-
diciones imprescindibles? El ejemplo siguiente muestra que ninguna de
las dos puede ser excluida.
EJEMPLO 1.5.2
1. La recta lR, que es un conjunto cerrado pero no acotado, posee un
recubrimiento abierto Ji = UnEN(-n, +n), que no admite ningún
subrecubrimiento finito. En efecto, la unión de un número finito de
intervalos (-n, n) es igual al mayor de ellos y, por tanto, no puede
ser IR.
2. El intervalo (O, 1], que es un conjunto acotado pero no cerrado posee
un recubrimiento abierto (O,lJ e UnEN (~, 2) del que no puede
extraerse un subrecubrimiento finito porque la unión de un número
finito de intervalos de la forma (1/n,2) es el mayor de ellos y, por
consiguiente, no puede contener a (O, 1J.
•
Veamos ahora otro caso muy importante.
Teorema 1.5.3 Si X consiste de los términos de una sucesión conver-
gente y su límite, todo recubrimiento abierto de X posee un subrecubri-
miento finito.
DEMOSTRACIÓN
Pongamos, para fijar ideas, X ={x} U {xn : n E N} con límxn = x.
Si 'R es un recubrimiento abierto de X, el límite x debe estar en un
conjunto de n, digamos U. Toda vez que U es abierto y (xn ) converge a
x existe no tal que x n E U si n > no. Ahora, cada uno de los términos
xi(i = 1, ... , no) está en algún Ui E 'R. Así, X está cubierto por los
conjuntos U,U1"",Uno '
•
Los resultados precedentes muestran que de todo recubrimiento abierto
de [a, bJ o del conjunto X formado por los términos de una sucesión con-
vergente y su límite se puede extraer un subrecubrimiento finito. Ahora
bien, la cuestión es: ¿hay otros conjuntos con tal propiedad? La res-
puesta es sí. En realidad en el caso del conjunto X se puede dar una
demostración alternativa observando que es un conjunto cerrado y acota-
do (la sucesión es convergente) y, por tanto, existe un intervalo cerrado
y acotado [a, b] tal que X e [a, b]. A partir de aquí no es difícil determi-
nar un subrecubrimiento finito (¿cómo?). Esta misma idea nos permitirá
responder rigurosamente a la cuestión planteada. Antes, sin embargo,
conviene dar nombre a tales conjuntos.
Definición 1.5.4 Un conjunto K e Ji es compacto cuando todo recu-
brimiento abierto de K admite un subrecubrimiento finito.
Así, los intervalos cerrados y acotados [a, bJ y los conjuntos X formados
por los términos de una sucesión convergente y su límite son conjuntos
compactos y no lo son JR y (a, b]. El resultado siguiente permite identificar
a los conjuntos compactos
Teorema 1.5.5 (de Borel-Lebesgue).
Un conjunto K e lR es compacto si y sólo si es cerrado y acotado.
DEMOSTRACIÓN
Supongamos en primer lugar que K es compacto (así, pues, K i- lR) Y
sea x E lR \ K. Para cada y E K tomemos dos entornos, E(x) y E(y)
disjuntos. La familia
{E(y): y E K}
es un recubrimiento abierto de K y de él se podrá extraer un subrecubri-
miento finito E(Yl), E(Y2)"'" E(Yn). Sean El (x), E2(X), ... ,En(x) los
entornos de x correspondientes. La intersección
es un entorno de x contenido en lR \ K, luego IR \ K es abierto y K es
cerrado.
Para ver que K es acotado consideremos el recubrimiento abierto de
K formado por todos los intervalos (-n, n) con n E N. De él podrá
extraerse un subrecubrimiento finito cuya unión es el mayor de ellos,
digamos (-no,no). Así, K e (-no,no) y es, pues, acotado.
Recíprocamente, si K es cerrado y acotado entonces K estará contenido
en algún intervalo cerrado [a, b] y si n es un recubrimiento abierto de K,
adjuntándole el abierto lR \ K obtendremos un recubrimiento abierto del
compacto [a, b] del que se podrá extraer un subrecubrimiento finito. Tal
subrecubrimiento estará formado por un número finito de conjuntos de
n, A1 ,A2 , ••• ,AA: y, tal vez, lR\K. Entonces los conjuntos All A 2 ,.·· ,AA:
cubren a K. Por tanto K es compacto.
•
Tendremos numerosas ocasiones de apreciar la extraordinaria utilidad
del concepto de compacidad. Con su ayuda, podemos, por ejemplo, dar
una nueva demostración del teorema de Bolzano-Weierstrass que tiene un
carácter existencial.
Teorema 1.5.6 (de Bolzano- Weierstrass).
Todo conjunto infinito y acotado A e lR tiene al menos un punto de
acumulación.
DEMOSTRACIÓN
Si A es acotado estará contenido en un intervalo cerrado [a, bJ. Si A no
tiene puntos de acumulación, ningún punto de [a, b] será de acumulación
de A, lo cual implica que para cada y E [a, b] existe un entorno E(y) tal
que el entorno reducido E*(y) no contiene puntos de A. La colección
{E(y) : y E [a, b]} es un recubrimiento abierto del compacto [a, b] del
que se podrá extraer un subrecubrimiento finito, E(y¡) ,E(Y2)"'" E(YA:)
que también cubren a A. Además, ninguno de los entorno reducidos
E*(y¡), E*(Y2)"'" E*(YA:) tiene puntos de A, luego A consta a lo sumo
de los k puntos Yl, Y2," . ,YA:·
•
33
1.6 Problemas
34
1. Probar que Q no es abierto ni cerrado y que Z es cerrado en IR,
2. Si A, F e lR son dos conjuntos abierto y cerrado respectivamente,
demostrar que
(a) F \ A es cerrado.
(b) A \ F es abierto
Indicación: ¿qué es A \ B P.
3. ¿Verdadero o falso? (Explíquese)
(a) Si A Y B son abiertos disjuntos tales que AUB es un intervalo
abierto (acotado o no), entonces A o B es vacío.
(b) Si F, G son cerrados disjuntos tales que F UG es un intervalo
cerrado (acotado o no), entonces F o G es vacío.
4. Sea I un intervalo con puntos extremos a < b. Si U es un conjunto
abierto en IR tal que un I '" 0, entonces U n (a, b) '" 0.
5. Dados dos números reales x e y definimos la distancia de x a y como
d(x, y) = Ix - yl
Probar que para cualesquiera x, y, z E lR se verifica
(a) d(x,y) ~ O.
(b) d(x, y) =O {:=:} x = y.
(c) d(x, y) =d(y,x).
(d) d(x,y) +d(y,z) ~ d(x,z).
6. Probar que para cualesquiera x, y, z E lR se verifica
Id(x,y) - d(z,y)1 :5 d(x,z)
7. Este ejercicio muestra las estrechas relaciones entre los conceptos
de abierto y cerrado y las sucesiones.
(a) Un conjunto A e lR es abierto, si y sólo si se cumple la siguiente
condición: si una sucesión (xn ) converge hacia un punto a E A,
entonces x n E A para todo n suficientemente grande.
(b) Sea F un conjunto cerrado y (xn ) una sucesión cuyos términos
están en F. Demostrar que si (xn ) converge a un punto a
entonces a pertenece a F.
8. Determinar el interior, el exterior, la frontera, la adherencia y los
puntos de acumulación de los conjuntos siguientes
(a) Z
(b) Q
(e) lR-Q
(d) A = {(-1)n/n: n E N}.
9. ¿Verdadero o falso?
00 00
UAn=UAn
n=l n=l
10. Dar explícitamente el significado de cada una de las afirmaciones
siguientes En las explicaciones no se pueden utilizar las palabras
entrecomilladas.
(a) a E X "no" es un punto ''interior'' de X.
(b) a E IR ''no'' es "adherente" a X.
(e) X e IR ''no'' es un conjunto "abierto"
(d) El conjunto Y e IR ''no'' es "cerrado".
(e) a E IR ''no'' es "punto de acumulación" de X e IR.
(f) X' =0.
(g) X e Y pero X ''no'' es "denso" en Y.
(h) int(X) = 0
(i) X nx' =0.
11. Sea X e IR un conjunto acotado. Probar
(a) a =inf X y b =supX son puntos de adherencia de X.
(b) X es un conjunto acotado y sup X = sup X. ¿Cuál es el
resultado análogo para el ínfimo?
12. Probar que si A es un conjunto no vacío cerrado de IR tal que A :f; IR,
entonces IR \ A no es cerrado. Así, los únicos subconjuntos de IR que
son abiertos y cerrados a la vez son 0 y IR.
(Utilícese 11)
13. Sea A e IR y, para cada n E N sea
Un = {x E IR : Ix - al < 11n para algún a E A}
Probar
(a) Un es un conjunto abierto.
00
(b) A = nUn.
n=l
14. A = {X¡,X2,""Xn , ... }, el conjunto formado por los términos de
la sucesión (xn ). Hallar A' cuando
(a) X n -+ x y X n :f; x para todo n.
(b) X n = x para todo n.
(e) (x n ) = (x,x+ l,x,x+ 1/2,x,x+ 1/3, ...)
15. Contestar razonadamente
(a) Dado un entero positivo k, dése un ejemplo de un conjunto
A e IR tal que A' tenga exactamente k elementos.
(b) Dése un ejemplo con A' = {O} U {lln : n E N}
16. Probar
(a) x es un punto de acumulación de A si y sólo si x E A \ {x}.
(h) x es un punto de acumulación de A si y s610 si es límite de una
sucesión de elementos de A distintos dos a dos.
35
36
17. Constrúyase un conjuntoA en la recta real tal que
A fe A' fe (A')' = {O}.
18. Demostrar
(a) A es denso en IR si y sólo si IR \ A tiene interior vacío.
(b) A es denso en IR si y sólo si todo punto de IR es límite de una
sucesión de puntos de A.
19. (a) Hallar un conjunto A e IR con A fe IR, tal que A es denso pero
IR \ A no lo es.
(b) Dar un ejemplo no trivial de un subconjunto abierto y denso
en IR.
20. Probar que el conjunto
IR \ {xn : n E N}
es denso en IR.
21. Por extensión, diremos que un conjunto D e A es denso en A, si
A e D. Probar que todo intervalo 1 e IR posee un subconjunto
denso en 1 y numerable.
22. Probar las siguientes variantes del teorema de Bolzano-Weierstrass.
(a) Un conjunto C e IR es compacto si y sólo si todo subconjunto
infinito de C tiene al menos un punto de acumulación en C.
(b) Un conjunto C es compacto si y sólo si cada sucesión en C
tiene una subsucesión que converge a un punto de C.
23. Si (An ) es una sucesión de conjuntos compactos no vacíos de IR tal
que An+1 e An para todo n, demostrar que el conjunto intersección
es no vacío y compacto.
24. Probar que dado un conjunto A e IR, todo recubrimiento abierto
de A admite un subrecubrimiento numerable.
25. (Propiedades de separación). Demostrar:
(a) Si C es compacto y x f/: C, existen dos abiertos disjuntos que
contienen a C y a x. ¿Es cierto esto si C es cerrado?
(b) Si CI y C2 son compactos disjuntos, existen abiertos Al y A2
disjuntos que los contienen. ¿Existe un análogo para conjuntos
cerrados?
26. Probar
(a) La unión finita de compactos es un compacto.
(b) La intersección arbitraria de compactos es un compacto.
(c) Si K es una familia de conjuntos cerrados, al menos uno de los
cuales es compacto, entonces nK es compacto.
(d) Si e es compacto y F cerrado, C n F es compacto.
\
27. ¿Verdadero o falso? (explíquese). Si A es un subconjunto acotado
de lR entonces A' es compacto.
28. Si X n ~ x y A = {x} U {xn : n E N}, entonces A es compacto y,
por tanto, cerrado y acotado. Probar que A es cerrado y acotado
sin hacer uso del teorema de Borel-Lebesgue.
29. Construir recubrimientos abiertos de Q y de [0, 00) que no admitan
subrecubrimientos finitos.
37
2 Espacios métricos
Desde un punto de vista intuitivo, un espacio métrico es, simplemente,
un conjunto en donde podemos hablar de la distancia entre sus elemen-
tos, lo que nos permitirá precisar la noción de proximidad, una idea que
está presente implícitamente en todos los conceptos fundamentales de la
Topología y el Análisis.
La recta real o el plano geométrico constituyen ejemplos simples de es-
pacios métricos, concepto que es en realidad una abstracción de las pro-
piedades de lo que habitualmente se conoce como distancia.
Los espacios métricos son muy numerosos y diversos. Por razones evi-
dentes, no podemos abordar en este texto el estudio de ciertos espacios
para los que se necesita un conocimiento matemático amplio; por ello
nos centraremos únicamente en aquellos conjuntos con los que el lector
tiene cierta familiaridad y que surgen de forma natural en el análisis. No
obstante, en la mayoría de los casos, los conceptos y propiedades que se
estudiarán son fácilmente generalizables.
2.1 Distancias
Comencemos con un caso sencillo: el conjunto IR de los números reales.
Si, como es habitual, identificamos IR con una recta, podemos intuir,
sin mucha dificultad, lo que normalmente entendemos como medir la
distancia entre dos puntos -después de todo para hallar la distancia entre
los puntos -3 y 5 sólo se necesita algo de aritmética-o Sin embargo, es
necesario dar una definición precisa que, por una parte, recoja nuestras
nociones intuitivas y, por otro, sea matemáticamente rigurosa; ello se
consigue con el auxilio del valor absoluto.
Definición 2.1.1 Dados dos números reales x e y definimos la distancia
euclídea de x a y como
d(x,y):::: Ix-yl
Tenemos, por ejemplo, d(3,2) :::: 13 - 21 :::: 1 y d(3, -7) = 13 + 71 = 10.
Puede sorprender que hallamos puesto un apellido, euclídea, en nuestra
definición. Ello se debe a que sobre un mismo conjunto se pueden definir
distancias distintas; pero esto será precisado más tarde. Veamos, de
momento, algunas propiedades más o menos evidentes -y deseables- que
se deducen de forma inmediata de las propiedades del valor absoluto.
Teorema 2.1.2 Para cualesquiera x, y, z E IR se verifica
1. d(x,y) = O si y sólo si x = y.
2. d(x, y) 2: O.
3. d(x,y) = d(y,x).
4. d(x,y)::; d(x,z) +d(z,y).
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40
Una precisión, antes de seguir. En lo que sigue consideraremos el con-
junto ]R.n como el conjunto de las n-plas (XI, X2, .. . , x n ), donde Xi E
lR (i == 1,2, ... , n) a las que llamaremos puntos siguiendo la terminolo-
gía geométrica que fue su origen; es decir lRn no es más que el producto
cartesiano
(n)
lR x lRx .,. xlR
sin ninguna otra estructura definida.
Pasemos ahora a]R2 que identificamos con el plano geométrico. Podemos
medir la distancia, que entendemos como habitual, entre dos puntos X e
y con la ayuda del teorema de Pitágoras (fig. 2.1).
Definición 2.1.3 Dados x,y E lR2 definimos la distancia euclídea de X
a y como
Al igual que en IR, también en este caso se demuestra con relativa facilidad
que se verifican las propiedades siguientes.
Teorema 2.1.4 Para cualesquiera x, y, z E ]R2 se verifica
1. d2 (x,y) == O si y sólo si X == y.
2. d2 (x,y);:::O.
3. d2 (x, y) == d2 (y, x).
4· d2(X, y) =::; d2 (x, z) + d2 (z, y).
Como se ve, las definiciones de distancia en ]R y en lR2 verifican las mismas
propiedades. Podemos interpretar con facilidad lo que significan tales
propiedades. La primera nos dice que la distancia entre dos puntos es
cero si y sólo si los puntos coinciden; la segunda establece que la distancia
es siempre un número real positivo o cero; la tercera es una propiedad
de simetría: indica que la distancia de x a y es igual a la de y a Xj
finalmente, la cuarta propiedad nos dice que un lado de un triángulo
nunca tiene longitud mayor que la suma de las longitudes de los otros
dos lados.
No es difícil reconocer en las definiciones que hemos dado la noción de
distancia que conocemos intuitivamente y que habitualmente usamos. No
ocurre lo mismo, sin embargo, con la definición siguiente.
Definición 2.1.5 Dados x, y E ]R2 definimos la distancia de Manhattan
de x a y como
Aunque menos habitual, es fácil interpretar lo que significa dI' Para
medir la distancia entre (Xl, X2) e (YI, Y2) hallamos primero la distancia
horizontal entre XI e YI y le añadimos la distancia vertical entre X2 e Y2
(fig. 2.1). No es muy difícil imaginar situaciones donde tal medida sea la
adecuada: supongámonos, por ejemplo, midiendo distancias en una gran
ciudad con todas su calles dispuestas en sentido horizontal y vertical; se
comprenderá ahora por qué la denominación de distancia de Manhattan.
La definición anterior pone de manifiesto una cuestión importante que
ya anticipamos: sobre un mismo conjunto se pueden definir distancias
distintas; la elección de una u otra dependerá de nuestros intereses y de
su conveniencia para resolver nuestros problemas. Se comprende ahora
por qué ponemos apellidos a lo que denominamos distancias. Ahora bien,
¿qué nos permite denominar a d¡ con el nombre de distancia? Esto es:
¿qué propiedades tiene d¡ que refleje lo que intuitivamente entendemos
como distancia? y, también, ¿qué hay de común entre d¡ y d2? La
respuesta viene de la mano del resultado siguiente.
Teorema 2.1.6 Para cualesquiera x, y, z E IR? se verifica
1. d¡(x,y) = O si y sólo si x = y.
2. d¡(x,y) ~ O.
9. d¡(x,y) =d¡(y,x).
4. d¡(x,y) ~ d¡(x, z) + d¡(z,y).
Figura 2.1: Distancias en IR2
/ J
Hasta aquí, hemos tratado de intuir qué propiedades son esenciales cuan-
do hablamos de distancia. Algunas de ellas han quedado conveniente-
mente expuestas, pero hay que destacar un aspecto que quizás no ha
quedado suficientemente explícito: es evidente que toda distancia debe-
ría estar definida para cualquier par de elementos del conjunto; es, por
tanto, conveniente entenderla como una aplicación que asocia a cada par
de elementos del