Descarga la aplicación para disfrutar aún más
Vista previa del material en texto
TOPO LOGIA DE ESPACIOS METRICOS IGNACIO L. llliARIEN T. Din:ciDr de la Diviai6n de Cienciu Fiaica1 y Malelláticu Univetlidad Simón BoUvv, Caracaa. LIMUSA MÉXICO, Venezuela, Colombia, Espa"a, Guatemala 2:>4 p. :1:: 2J a 15 S cm. ISBN: I3; 978-968-18-0659~. RÜ$1oca. 1 . Topo~ Dewey: 514122 t l717t TOPOlOGIA DE ESPACIOS MÉTRICOS SON PAOPIEOAO Oa EOtTOA. NINGUNA PARTE DE ESTA OIIRA PUEDE SEA AEPAOOUCIOA O TIWISWI'flOA. 1o1EDW1TE NINGÚN ~ o LIETooo. aECTROHICO O JoEc.4Hico (INQ.UYEHOO El FOTOCOP1ADO, LA GRA· BAClON O CUALOVIER SISTEMA CE RfCUPEAACION Y At.MACENüMENTO 0E IHFOA .... ClON). SIN CONSEN· TMENTO POR ESCIVTO OEL EDITOR. C 2008. EDITORIAL LIMOSA. SA DE C.V. GRUPO NORIEGA EDITORES 8aldaru 95, Wxíco, D.F. CP. 06040 m (5) 5130-07-QO (S) 5512·29-03 ~Ononega..A:Om.m• -noneoa.com.m· CANIEM Núm. 121 HECHO EN MExtCO ISBN 13: 978-9!>8-18-0659-0 <4 .1 ESTA OBRA SE REALIZO EN IMPRESION SAJO DEMANDA. EN EL MES DE ENERO DE 2008 LA EOICION. CONPOSICION. DISEÑO E IW'RESION DE ESTA OBRA FUERON REALIZAOOS BAJO LA SUPERVISION OE GRUPO NORIEGA EDITORES ISALOERAS.S. COL. Ct:.NTRO MEXICO. O F C P . ~O 02594620001080P!n3540E .• Prólogo El concepto abstracto de espacio métrico fue introducido inicialmente por el matemático francés M. Fréchet en 1906 y desarrollado JDáa tarde por el famoso topólogo F. Hausdorff en su "Mengenlehre". De-.1pué! ~ 1920, la topología métrica es objeto de exhaustivas investi- gaciones que logran su pleno desarrollo y ponen de manifiesto au extraordi- nario poder unificador de toda una variedad de teoríaa, hasta entoncca diJ. penas y aparentemente independientes. Su importancia inicial se atribuye, en parte, a que fuera rec:onocida como una interesante generalización de la teoría de espacios normados y las aplicaciones de éstos en el naciente análisis funcional, desarrollada por Stephan Banach y sus seguidores. A su vez, la escuela de Moscú realizaba importantes descubrimient<lf sobre propiedades de Jos espacios métricos, con impresionante despliegue: de actividad investigadora durante la década 1920-30. Su principal objetiv<f consistía en obtener condiciones neceaari~U y suficiente$ para que un espacio topológico fuese metrizable. · En la actualidad, la topología métrica constituye una rama de la topo- logía gener~J y los espacios métricos un caso particular de los topológicos. Todas las obras de topología general dedican uno o dos capítulos al trata· miento de los espacios métricos. No obstante, estos últimos admiten y merecen un estudio independiente por dos razone!. Primero, pueden ser desarrollados en forma de una hennosa teoría acabada, menos inclinada a presentar fenómenos patológicos que la topología general, y, por tanto, más asequible a nuestra intuición geométrica. Segundo, constituyen el funda- mento indispensable y más inmediato para un estudio serio y riguroso del análisis matemático, por no mencionar una profusión de teorías sofisticadas. A pesar de todo, existe un sorprendente vacío de obras dedicadas al desarrollo autónomo de la topología métrica y ello, acompañado de las razones señaladas, nos animó a escribir un libro de esta especie. Quién dirija su atención a la topología, con el propósito de adquirir las bases necesarias y orientarse luego al aprendizaje riguroso del análisis, hallará frente a sí un vasto y aternorizante cuerpo de doctrina. Para llegar a lo que él requiere (casi exclusivamente espacios métricos y normados) , deberá atra· 5 6 PRÓLOGO vesar un largo y dificultoso camino, pocas veces al alcance de la intuición y erizado de sutilezas axiomáticas, contra-ejemplos y extraños fenómenos. En esta obra presentamos un desarrollo, bastante exhaustivo, de la topo- lota de espacios métricos, con absoluta independencia de la topología ge- neral. Vale decir, no suponemos ni apelamos a conocimiento alguno de esta última. Esperamos además que el lector perciba y disfrute la belleza matemática de esta relevante y depurada teoría como fm en sí, a la par que cimiento esencial. Este libro tuvo ru origen en cursos que, sobre la materia, el autor dictó en la Facultad de Ingeniería de la Univenidad Central de Venezuela; sus propios apuntes fueron editados intentamente y, se cree, son utilizados hasta el día de hoy en calidad de texto. Posteriormente, él mismo ha enseñado la asignatura de Topología Métrica a estudiantes del tercer año de la carrera de Matemáticas en la Universidad Simón Bolivar. Tales experiencias, por el transcurso de unos seis años, se plavnaron en la elaboración de esta obra. Desde un punto de vista formal, los únicos conocimientos previos, reque- ridos para asimilar el contenido de este libro, son los brevemente enunciados en la Introducción. A saber, familiaridad y destreza con las nociones elemen- tales de la teorla de conjuntos, incluyendo lo relativo a funciones, relaciones de equivalencia y orden, excluyendo el axioma de elección y sus equivalentes; estructuras numéricas, principio de inducción, conjuntos contables (que se consideró oportuno tratarlos en dicha Introducción) y, muy particularmente, el cuerpo de los números reales con su propiedad del "sup" columna ver- tebral de los espacios métricos. Finalmente, y s6lo para el último capítulo, los conocimientos más elementales de álgebra lineal. Realista y pedagógicamente, seria deseable que el lector poseyera cierta madurez matemática (independiente de la biológica), lograda, digamos, despu& de haber perdido la inocencia en un primer curso de cálculo en una y varias variables. Sin embargo, hemos tenido muchas consideraciones con el lector, en oca.üones a riesgo de aburrir a alguno más veterano. Todo nuevo concepto se acompaña de motivaciones intuitivas, en un lenguaje llano y ordinario. · Se ha procurado siempre destacar la significaci6n y grado de trascendencia de cada teorema, señalando lo que se persigue e indicando el camino. Al final de cada capítulo se ofrece una colección más o menos numerosa de ejercicios, dependiendo de las posibilidades del tema. Sobre ellos conviene ~eclarar que son totalmente independientes del texto, en el sentido de que Jamás se hace uso de alguno como parte integral del desarrollo teórico; a lo más, se cita uno que otro en calidad de contra-ejemplo. • Esto no debe servir de motivo, &in embargo, para que el estudiante pres- cmda de ellos o interprete que no son importantes. Muy al contrario, los PRÓLOGO 1 ejercicios evidencian las posibilidades de la teorla y Ié confieren una mayor significación. El lector puede medir su dominio del tema enfrentándose con ellos. Algunos, por otra parte, apuntan hacia ramificaciones interesantes. Consideramos que el libro puede adoptarse como texto y cubrirse total- mente en un semestre. Podria constituir un primer curso de topologia des- tinado a estudiantes de Matemáticas en la mitad de su carrera. Estamos convencidos, no obstante, de que la obra se presta a ser utilizada también y con provecho por alumnos de lngenieria, :t'isica u otras disciplinas afines. en esclarecidos "pensa" de esas ciencias. Para eJios recomendamos el siguiente plan de estudio simplificado, que no rompe la hilación lógica del desatrollo: Capítulo I, secciones 1.1 y 1.4. Capítulo II, secciones 2.1, 2.2, 2.3, 2.4 y 2.6. Capítulo III,. secciones 3.1 y 3.5. Capítulo IV, completo. Capítulo V, secciones 5.1, 5.2, 5.4, 5.5 y 5.7. Capítulo VI, secciones 6.1, 6.2, 6.3, 6.4, 6.6 y 6.8. Capítulo VII, secciones 7.1 y 7 .3. Por último, y no por ello menos merecido, deseo manifestar mi sincero agradecimiento a ·¡a señorita Reina V. Raven, quien con admirable des- prendimiento y efidencia realiz6 la mecanografía. Mi sentimiento de grati• tud para mi esposa por haber sufrido en silencio largos meses de reclusión y a quien dedico la obra. IoNACIO L. huBAluu!N Universidad Sim6n Bolívar Contenido Prólogo Introducc:ión l. 1.1 1.2 1.3 1.4 rr. 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 Espacios métricosDefinición y casos particulares importantes, '15 Distancia entre conjuntos, 24 Isometría, 27 Subespacios, 28 Ejercicios, 29 Conjunios abiertos y conjuntos cerrados Esferas abiertas, cerradas y superficie esférica, Conjuntos abiertos, 34 Entornos y puntos de acumulación, 40 Conjuntos cerrados, 43 Frontera y borde, 53 Abiertos y cerrados en un subespacio, 55 1 33 2 .7 Conjuntos densos, fronterizos y nada-densos1 58 Ejercicios, 62 m. Conectividad 3.1 Conjuntos conexos, 67 3 .2 Clausura y unión de conjuntos conexos, 70 3.3 Componentes de un conjunto, 72 3.4 Espacios localmente conexos, 74 3.5 Conectividad en la recta real, 76 Ejercicios, 79 IV. Compacidad 4.1 Conjuntos acotados. Diámetro, 81 4.2 Conjuntos precompactos y separables, 85 .9 11 15 33 57 81 10 CONTENIDO 4.3 Conjuntos compactos, 90 4. 4 Conjuntos relativamente compactos, 96 Ejercicios, 97 V. Límites y espacios completos 5 .1 Límites de sucesiones, 101 5. 2 Sucesiones de Cauchy y espacios completos, 110 5. 3 Subespacios completos, 117 5.4 Completitud y precompacidad en R", 118 5.5 Resumen de resultados sobre compacidad, 127 5 . 6 Teoremas de Can,tor y Baire, 129 5. 7 Vmites funcionales, 135 Ejercicios, 142 VI. Continuidad 6. 1 Continuidad en un punto, 149 6. 2 Continuidad en un conjunto, 155 6 .3 Continuidad en conjuntos compactos, 164 6 .4 Continuidad en conjuntos conexos, 169 ·6. 5 Arco-conectividad, 173 6 .6 Continuidad uniforme, 180 6. 7 Completación de un espacio métrico, 189 6 .8 Contracciones y teorema del punto fijo, 195 Ejercicios, 199 VD. Espacios normados 7. 1 Fundamentos, 209 7 .2 Convexidad y poli-conectividad, 215 7. 3 Transformaciones lineales, 224 7 . 4 Isomorfismo topol6gico: isotopía, 227 7. 5 Producto de dos espacios normados, 235 Ejercicios, 244 Bibliografía In dice 101 149 209 249 251 lntrodu~~ión Empecemos con un recuento breve (y en algunos casos algo más extenso) de todos aquellos conocimientos que se supone posee el lector, ya que en el transcurso de la obra serán utilizados con entera libertad, si.n citarlos expre- samente. Para cualquier consulta al respecto, puede recurrirse a la biblio- grafía recomendada. Debemos aceptar que el lector está familiarizado con las nociones ele- mentales de la teoría de conjuntos y que ha adquirido suficiente destreza en su manejo. Para ser más concretos, se requieren conocimientos sobre determinación de un conjunto, inclusión, unión en una familia cualquiera, diferencia y complementación de conjuntos, intersección, distributividad de esta última con respectó a la unión y viceversa; par ordenado y producto cartesiano con sw propiedades fundamentales; relaciones binarias, y de orden parcial y total; relaciones de equivalencia, propiedades de las ciases de equivalencia y conjunto cociente. Es indispensable un dominio adecuado del concepto de función; imágenes directas e inversas de un conjunto bajo una función ; sobrtyección, inyección y biyección; función inversa; compo- sición de funciones. No hace falta haber hecho un estudio axiomático, riguroso, de tales fundamentos, sólo se espera que el lector tenga un poco de práctica en su manipulación y conceptos claros. La notación conjuntista que se emplea en este libro, en todos Jos casos, es la usada universalmente. En vez de pro¡><>rcionar una especie de resumen pormenorizado de los conocimientos mencionados, preferimos remitir al lector a algunos de los ex- celentes textos existentes. Al respecto, puede consultar las siguientes obras: (16)*, cuya exposición es informal y entretenida, y (29), si se desea un estudio rigurosamente axiomático y extenso. Recomendamos particularmente el libro (23) , de reciente aparición, por su elegancia y rigor. En lo relativo a teoria de conjuntos y casi todos los otros requ~itos que señalaremos, cabe citar de una vez la conocida obra (33), que presenta un panorama mucho más amplio de los fundamentos de la Matemática. • Los números entre par&\teaia JC refieren a obras de la bibliosrafla dad& al f~ del libro. 11 12 INTRODUCCIÓ N Sobre los números naturales, cuyo conjunto designamos por N "" {0, 1, 2, 3, ... } necesitamos propiedades globales más bien que de carácter aritmético. A saber, que N está bien ordenado; es decir, que todo conjunto de números naturales tiene un mínimo. En especial, se usa frecuentemente el principio de inducción completa y es preciso que el lector lo conozca bien y lo sepa emplear con soltura. El pequeño y muy didáctico libro (27) se dedica exclusivamente a ello. Conviene precisar el siguiente concepto que utilizaremos en varias oca- siones. Decimos que un conjunto no vacío X es contable si existe una .sobre- yección 1: N~ X. Por ejemplo, el conjunto N es contable trivialmente, donde la sobreyec- ción es la función idéntica. Asimismo, si X es un conjunto finito es fácil comprobar que es contable. En efecto, podemos expresar X= {x.o,x, . .. ,x.} y definimos la sobreyección 1: N~ X tal que /(i) = X¡, para O < i < n, y / (i) = .x-o, para todo i > n. Si el conjunto Y no es vac:o, X es contable y existe una sobreyección g : X~ Y, entonces Y es contable. Basta con saber que existe una sobre- yección 1 : N ~ X, luego, la (unción compuesta g •1 : N ~ Y es sobreyec::tiva. Como consecuencia, probamos con facilidad que, si A es un subconjunto no vacío del conjunto contable X , entonces A es contable. En efecto, la func·óng: X ~A tal que V .rEA: g(x} = x, y x EX-A: g (x ) - a, don. de a E A es un elemento fijo, es sobreyectiva. Veamos ahora que el conjunto N X N es contable. E.s muy sencillo comprobar que la función 1 : N X N-+ N, tal que y m, n EN:f(m, n ) ~ 2•·3", es inyectiva. Por otra parte, su rango M es contable, debido a que M C N y lo establecido anteriormente. Luego, la función inversa t • : M ~ N X N es sobreyectiva y N X N es contable. Por último, sea F una familia contable de conjuntos contables. Deseamos demostrar que Y - UX z•r es contable. Existe pues una sobreyección h : N ~ F y, como cada X E F es contable, para todo n E N existe una sobreyecci6n /. : N ~ h ( n). Ahora bien, defi- namos una función g: N X N~ Y tal que vm, n EN: g(m, n) ~ f,..(n ). Resulta entonces que g es sobreyectiva y Y es, por tanto, contable, ya que lo es N X N. En efecto, si x E Y, ha de tenerse que x EX para algún X EF; pero hes sobreyectiva, luego exhte un m En con h(m) =X y, como también f,. es sobreyectiva, debe haber un n EN con x"" f,.(n) = g(m, n ). De este resultado fundamental se obtiene la contabilidad del conjunto Q de los números racionales como simple ejercicio INT&ODUCCIÓN 13 Como se dijera en el Prólogo, eJ cuerpo de Jos números reales, cuyo conjunto designamos por R, constituye la columna vertebral de la topología de espacios métricos. ~ste puede construirse a partir de los números natu- rales, por ampliaciones sucesivas, pasando por el conjunto Z de los enteros, y por el cuerpo de los racionales. La construcción es hermosa e interesante, pero laboriosa. Será instructivo para el lector consultarla en ( 4), donde se trata exhaustiva:nente. Sin embargo, debido a la importancia que tienen para nosotros, es opor- tuno exponer sus propiedades fundamentales, de las cuales se deducen todas las demás. Si se quiere, pueden tomarse como axiomas definitorios. En tal sentido, es interesante destacar que esas propiedades que aqui enumeramos constituyen lo que se llama un sistema axiomático categórico. Esto significa que caracterizan al cuerpo de los números reales y que éste, e'encialrnente, es único. Vale decir, cualquier otro ente que satisfaga todas esas propie- dades es isomorfo con los reales. El conjunto R está provisto de dos leyes de composición interna u operaciones: + (suma) y · (producto). La estructura (R, +) es un grupo conmutativo. Es decir, la suma es asociativa y conmutativa; existe un elemento único O ER tal que V x ER : x + O = x; a cada x E Rcorresponde un único elemento - x E R con x+(-x) =O. La estructura (R-{0}, ·) es también un grupo conmutativo. O sea que el producto es asociativo y conmutativo; existe un elemento único 1 ER- {O} tal que V x ER (se prueba que también para x"" O) :x· 1 = x; a cada x E R- {O} corresponde un único ~~ E R con x · x-• - l. El producto es distributivo con respecto a la suma. La estructura algebraica descrita (R, +, ·) es la denominada cuerpo. Sobre R existe una relación de orden total <, que es c9rnpatible con la suma y producto. Es decir, si para x, y ER se tiene x <'y, enton_ces yz E R:x + z <y+ z; además, para todo z ER con O < z, xz < yz. La estructura ( R, +, ·, <) es ahora un cuerpo totalmente ordenado; según la te.rrninología acostumbrada. Pero existen muchos cuerpos total- mente ordenados que son distintos (no son isomorfos) al de los números reales. Lo que distingue y caracteriza a este último es la llamada propiedad del "sup" que explicamos en seguida. Supongamos que A es un conjunto no vacío de números reales. Si existe un x E R tal que v' a E A: a < x, decirnos que x es cota superior de A y que A es un conjunto acotado superiormente. Ahora bien, la propiedad del "sup" nos dice que existe un número real r. que es el mínimo de las cotas superiores de A; es decir, z es cota superior y z < x, para toda cota superior x de A. De otra manera, si y < z, entonces y no es cota superior. Es claro que z es único y se denomina extremo superior de A; escribiéndose z - sup A. 14 INTRODUCCIÓN En resumen, todo conj~mto de números reales acotado superiormrnte, admite extremo superior. 1 Lo expuesto sobre el número real es lo que podríamos llamar el esque- leto esencial. Repetimos que todas sus propiedades conocidas se deducen de éstas y recordarnos ( 4), en caso de necesidad. Conviene destacar dos atributos más de los números reales que, corno di jirnos, se infieren de los señalados. R es lo que suele llamarse un cuerpo arquirnediano. Esto quiere decir que, si x, y ER, O< x <y, entonces existe un n EN tal que y< nx. Por otra parte, considerando Q como subconjunto de R, si x, y E R, x < y, entonces existe un q E Q tal que x < q < y. Esto se describe dicien- do que "Q es denso en R". Sólo para el último capítulo (VII) se requieren conocimientos previos de álgebra lineal. Concretamente, concepto de espacio vectorial sobre R y sus propiedades más elementales; dependencia e independencia lineal; di- mensión finita y bases; isomorfismo entre espacios vectoriales; subespacios y su dimensión; transformaciones lineales, núcleo y rango, su composición, transformación inversa. En todo caso, la mayoría de las veces recordarnos expresamente los conceptos al utilizarlos. De nuevo preferirnos remitir al lector a las obras pertinentes. Entre la abrumadora cantidad de textos de álgebra lineal seleccionamos ( 15) y ( 13), ambos de bondad reconocida. El primero es asequible y elemental; en cuanto al segundo, se trata de una excelente y ambiciosa obra que no aconsejarnos a quien se enfrente con esa t~ría por vez primera. CAPITULO 1 E8pacio8 métrico8 1.1 . DEFINICION Y CASOS PARTICULARES IMPORTANTES Desde u~ punto de vista intuitivo, un espacio métrico es, simplemente, un conjunto en donde podemos hablar de la "distancia" entre sus elementos. Se trata de una e:ctraordinaria generalización del plano geométrico, como veremos luego. Se hace necesario pues definir lo que se entiende por distancia entre dos elementos cuya ,naturaleza especifica desconocemos. Para ello debemos descubrir aquellas propiedades esenciales que caracterizan la noción de dis- tancia para luego defiñirla en abstracto como el ente poseedor de es33 propiedades. Pero aquí se pone de manifiesto un asunto por cuya diluci- dación debemos comenzar: ¿qué clase de ente es una distancia? Si al abstraer deseamos respetar aquello que es esencial a la idea, pode- mos decir de irunt'rliato que la distancia entre dos elementos es un número real positivo. Pero no basta a nuestros propósitos el considerar la distancia entre dos elementos particulares sino para todo par de elementos del con- junto en cuestión. Es decir, qué para dos elementos cualesquiera x, y, existe un número re:ü positivo que podemos designar d (x, )1) y al cual llamarnos distancia de x a y. Se destaca que la distancia, a la cual preferiremos llamar métrica, es más bien una función, según la cual, a todo par de elementos asocia un número real positivo. 15 16 ESPACIOS HÉTBICOS Procedemos a la definición matemática y precisa. El lector reconocerá las propiedades de la métrica como características de la noción de distancia que él conoce intuitivamente. Como consecuencia del origen geométrico del concepto de espacio mé- trico, la terminología empleada se toma de aquella disciplina. Esto tiene la ventaja de apelar constantemente a una visión geométrica de las situa- ciones, facilitando así el entendimiento y ofreciendo la posibilidad de pre- sentir los resultados. No entraremos a discutir las complejas razones por las cuales se eligen precisamente esas cuatro propiedades para definir la métrica, ni porque ellas resultan suficientes a nuestros propósitos. Baste decir que se trata de un sistema axiomático defini torio de espacio métrico, de la misma forma que un grupo se define mediante un conjunto de axiomas que atribuyen ciertas propiedades a su ley de composición interna. Sea E un conjunto cualquiera, no vacío, cuyos elementos llamaremos punt05. Una métrica en E es una función d :EX E-+>R que posee las siguientes propiedades: l. yx,yEE: d(x,y) >O 2. Para x,yEE:d(x, y) =0 (-) x=y. 3. V x , y E E: d (x, y) - d(y, x ) {simetría). 4. vx,y,zEE:d(x,y) < d(x,z) + d(y,z) (desigualdad triangular). La expresión d(x,y) la leemos distancia entre los puntos x y y. El par (E, d), constituido por el conjunto E y una métrica definida sobre E, se denomina espacio métri&o. Conviene destacar de una vez que sobre un mismo conjunto E pueden, en general, definirse métricas distintas, las cuales dan origen a espacios métricos diferentes. Esto se verá en Jos ejemplos y ejercicios. Las cuatro propiedades que posee una métrica constituyen un sistema de axiomas consistentes, aunque éstos no son independientes. Mediante una sencilla verificación se comprueba que 2 y 4 implican 1 y 3 {ver ejercicio 1, al final del capítulo). Un modelo intuitivo natural de espacio métrico es el plano geométrico, en el cual interpretamos con facilidad las propiedades de la distancia. La primera n05 dice que la distancia entre dos puntos es siempre un número real positivo o cero; la segunda establece que la distancia es ce.ro si y sólo si los puntos coinciden. La tercera propiedad simétrica indica que la dis· tanda de x a y es igual a la de y a x. Finalmente, la cuarta propiedad nos DEFINICIÓN Y C.UOS PABTICtiLABBS 17 dice que un lado de un triángulo nunca tiene longitud mayor que la suma de las longitudes de Jos otros dos lados; de allí el nombre de desigualdad triangular. Si debilitamos 1& propiedad 2, escribiendo solamente vx EE : d(x~ x) ""O, estamos permitiendo la posibilidad de que existan x, y EE con x =F y, d(x, y) =O. Naturalmente que d no es ya una métrica y recibe el nombre de seudométrica o écart, del francés. Su importancia en Topologia es con- siderable, pero su estudio escapa al ámbito de esta obra. Un écart induce una métrica, a través de una relaci6n de equivalencia. Véase el Ejercicio 4. En el lema siguiente se establecen desigualdades que resultarán de mucha utilidad y que son consecuencia directa de los axiomas defmitorios de una métrica. Lema l. En un espacio métrico (E, d) se verifica vx,y,z,tEE: ld(x,y)-d(z,t)l <-d(x,z) + d(y,t). En particular: Vx,y,z EE: !d(x,z) -d(y,z)l < d(x,y) . DEMOSTRACIÓN. Aplicamos dos veces la desigualdad triangular: d(x,y) ::;d(x,z) +d(y,z) <d(x,z) +d(y,t) +d(z,t) de donde d(x,y)-d(z,t) < d(x,z) + d(y,t)Procediendo de manera similar: d(z,t) < tl(z,x) + d(t,x) < d(x,z) + d(y,t) + d(x,y), de donde -d(x,z)-d(y,t) <d(x,y) -d(z,t) Las desigualdades (1) y (2) equivalen a: id(x,y)-d(z,t)l <d(x,z) +d(y,t). (1) (2) • Pasamos a mostrar una variedad de ejemplos de espacios métricos par- ticulares. Muchos de éstos tienen importancia considerable por sí mismos y todos, vistos en conjunto, ponen de manifiesto la gran generalidad del con- cepto. Cuando demostramos una propiedad para un espacio métrico abs- 18 ESP ACtOS .MÉTRICOS tracto, ésta queda establecida automáticamente para una extraordinaria di- versidad de espacios. Ejemplo l. Sea E un conjunto cualquiera, no vaclo. Defmamos la función d:EXE-+R talque: vx,yEE: d(x,y) = 1, si x :::¡éy; d(x,y) =O si x "" y. Se deja al lector la fácil comprobación de que tal función es una mé- trica para E. Al espacio métrico re.-ultante (E, d) se le Uama discreto. Aunque carece de mayor interés, dada su evidente trivialidad, nos indica que todo conjunto no vacío puede proveerse de una métrica. Por otra parte, los espacios dis- cretos se emplean con frecuencia como contra-ejemplos. Ejemplo 2. Consideremos el conjunto R de los números reales y la función d(x,y) = lx-yj, V x , 7 ER. Mediante rencilla aplicación de las propiedades del valor absoluto se compnaeba. que d es una métrica. Esta confiere a R estructura de espacio métrico, el cual se Uama usualmente la "recta real". Son mucluu y muy diversas las métricas que pueden definirse para R. No obstante, a menos que se exprese lo contrario, cuando ~ considere a R como espacio métrico, se entenderá que la distancia es 1a definida arriba. EJemplo 3. Sea V un espacio vectorial definido sobre el cuerpo R de los n4meros reales. Una ftMm4 en V es una función de V en R que posee las propiedades aipientel (adoptaremos la notación llxll para indicar la imagen del vector x, y la llamaremos nonna de x) : l. V x E V : llxll > O. 2. llxll - O ( } x = 8; donde 8 es el vector nulo en V, o elemento neu- tro respecto a la suma en V. S. V x E V, VA ER: IIA%11 = l.\lllxll. 4. V X, Y E V : llx +yll < llxll + IIYII· (deaigualdad triangular de la norma). Intuitivamente podemos interpretar la norma como la longitud de vec- tores, particularmente si pensamos en los vectores del plano o del espacio. 1 DEFINICIÓN Y CASOS PARTICULAa.ES 19 A1 par (V, JI JI ), es decir, a un espacio vectorial provisto de una norma, se le llama espacio normado. Como es de suponer, un mismo espacio vectorial V sobre R puede, en general, proveerse de diversas normas, dando origen a distintos espacios normados. Demostraremos que todo espacio normado es,::!Jletrlza__hle, es decir, puede definirsele una métrica inducida por la nomia y así considerársele un espa- cio métrico. Definamos la función d:VXV-+R tal que yx,yEV: d(x,y) =- JJx-yll. Veamos que des una métrica para V. En efecto, la propiedad 1 de una métrica se cumple trivialmente como consecuencia de la primera propiedad de una norma. Además, si x = y, entonces d(x,y) = llx-yll = 11-BII =O; recíprocamente, si d(x,y) =O, entonces x-y- fJ, lo que implica x =y. Por otra parte, d(x,y) = JJx-yll = JJ( -1) (y-x)IJ = J-1Jlh1-xJJ -IIy.-xJJ = d(y,x). Finalmente, V x, y,z E V: d(x,y) ~ JJx-yJJ = ll<x-z) + (z-y)ll < llx-zll + JJz-yJJ = = d(x,z) + á(z,y). O sea que todo espacio normado puede considerarse como un espacio métrico con la métrica definida en base a la norma de la manera descrita. De aquí en adelante y cuando sea necesario trataremos a los espacios nor- mados como métricos, entendiendo siempre la distancia como la inducida por la norma. Ejemplo 4. Sea V un espacio vectorial definido sobre el cuerpo R de los números reales. Un pro.ducto interior en V es una función de V X V en R con las propie- dades siguientes (adoptaremos la notación xoy para indicar la imagen del par (x,y) EV X V): 20 ESPACIOS MÉTRICOS 1. x E V, x =F 9 ) x. x >O (positivo definido). 2. yx, yEV:x .y=y•x (simetría). 3. yx,y,zEV, Va,f3ER: (ax+/3y) ,z = a(x.z) + f3 (y . z) (linealidad por la izquierda) . Al par (V,.), es decir, a un espacio vectorial V sobre R junto con un producto interior en V, se le llama espacio euclldeo. De los tres axiomas definitorios del producto interior se deducen inme- diatamente las siguientes propiedades: vxEV:IJ . x= (OIJ) . x=O(IJ.x) -o. En particular: IJ. (} ~ O. Esto nos permite ampliar 1 : VxEV:x.x>O;x.x=O( )x=8. La simetría y la linealidad por la izquierda nos proporcionan la linealidad por la derecha: yx,y,zEV, Va,f3ER: x - (ay+ ,8z) = (ay+ ~z) • x -= cr(y • x) + fJ(z. x) = ~ a(X•Y) + /l(XoZ). Una propiedad menos evidente es la importantisima desigualdad de Schwarz. · · yx,yEV: lx ·YI < ~ ~ La demostración es breve. En efecto, si y .. 8 ambos miembros de la desigualdad son O y ésta se cumple trivialmente. Supongamos que y =F (1, con lo cual y. y > O. Tenemos entonces V>.. ER : (x+ >..y) • (x+>..y) >O. Aplicando las propiedades de linealidad, podemos desarrollar el producto interior: pero tal desigualdad es cierta para todo valor real de_>.., en particular para X•'Y )..= --: 'Y•'Y DEFINICIÓN Y CASOS PARTICULARES, 21 de donde ( ~ • , ) 1 < ( ~ . .\') o (y • )1) ' - y extrayendo raíz cuadrada positiva a ambos miembros obtenemos la des- igualdad de Schwarz. Nos proponemos mostrar que todo espacio euclídeo (V, o) puede consi- derarse como normado, definiendo la norma mediante el producto interior. Sea, en efecto: V x E V : llxll == ....¡x:x; (1) lo cual tiene senticb sabiendo que x o x ~O. Veamos que se trata en ve.rdad de una norma. Las propiedades 1 y 2 de una norma (ejemplo 3) quedan satisfechas trivialmente. Además, V x E V, V), ER : IIAxll = V (")o.x) • (Ax) - V >..•(x • ~) = = 1>-1 ..[X7X = J>..l llxll. Por otra parte, haciendo uso de la desigualdad de Schwarz : V x,yEV: llx+yll' Q (x+y) . (x+y) = llxW + 2(x o y) + ll:vll• < < llxll' + 2llxllll:vll + I.IYII" = <11-~11 + IIYII>"• de donde De manera que la definición ( 1) efectivamente proporciona una norma en V. Siempre que se considere un espacio euclídeo como normado se en- tenderá que la norma es ( 1) . Refiriéndonos al ejemplo 3, podemos afirmar que todo espacio euclídeo (V, • ) puede considerarse como métrico, tomando la métrica inducida por la norma, la cual es, a su vez, inducida por el producto interior. En resu~ men, la métrica natural de un espacio euclídeo es : v x, yEV: d (x, y) = V(x-y).(x-y) . 22 ESPACIOS MÉTRICOS Ejemplo 5. Consideremos el conjunto Rn de todas las n-adas ordenadas de números reales. Este es un espacio vectorial respecto a la ley de com- posición in ter-na : y la ley de composición externa de conjunto de operadores R: R" es, además, un espacio euclídeo con respecto al producto interior: Se deja al lector la sencilla comprobación de que se trata efectivamente de un producto interior. En virtud de lo establecido en el ejemplo 4, R• puede considerarse como espacio métrico con respecto a la métrica siguiente; · x = (x1, Xt, • . • , x.), y = (y"'"' ... , y,.), entonces, luego .. (x - y).(x-y) = ~ (x,-y¡) 2, iat de donde (2) Muchas métricas diferentes pueden definirse para R ", pero, a menos que se indique lo contrario, siempre que le consideremos como espacio mé- trico entenderemos que la métrica empleada es (2). Obsérvese que si n = 1, la métrica para R, definida por (2), es exac- tamente la descrita en el ejemplo. 2. Ejemplo 6 . Sea A un conjunto cualquiera, no vacío. Diremos que una función /, de A en R, es acotada si existe algún número real M > O tal que vxEA: lf(x) l <M. DEFINICIÓN Y CASOS PARTICULARES 23 Designemos por B(A) al conjunto de todas esas funciones. V f,gEB(A ), definamos la función tal que V x EA : (/-g) (x) =· f(x)- g(x). Si V x EA : if(x) j <M, lg(x) 1 <N, entonces vxE.A: j/(x)-g(x)j < lf(x)l + jg(x)I .<M +N, lo cual indica que f-gEB(A).Consideremos ahora la función d: B(A) X B(A) ~R, tal que Vf,gEB(A) :d(f,g) =supj/(x)-g{x)j . ••• Tal extremo superior existe, ya que, como se vio arriba, !f(x) -g(x)! es un conjunto de números reales acotado superiormente. Demostraremos que la función des una métrica en B(A): V f,gEB(A), vx EA: 1/(x) -g(x}l >O, lo cual implica d(f, g) = ~p lf(x) -g(x) l'> O. Para f,gEB(A), f - g es equivalente a que V x EA: f(x) = g(x), es decir lf(x)-g(x) 1 = O, ESPACIOS JIBTJUCOS lo que a su ve2: equivale a d(f,g) -o. Como se deduce de inmediato que d(f, g) - d(g, f). Finalmente, si f,g,hEB(~). se verifica. vxEA: lf(x) - g(x)! ... l(f(x) - h(x)) 1 + h(x) -g(x)) 1 < V(x) -h(x)l + + lh(x) -g(x) l, de donde, utilizando la definici6n de extremo superior tl(f, g) < tl(f, h) + d(h, g). De manera que (B(A), d) es un espacio métrico. :&te constituye a6lo un ejemplo de una "clase de espacios métricos que, por su naturaleza, se les llama espacios funcionales. Su importancia en topologia y análisis modernos es considerable. 1.2. DISTANCA ENTRE CONJUNTOS Sea (E, d) un espacio métrico. Fijemos arbitrariamente un punto xil EE y un conjunto no vacío ACE. Designemos por { d ( xG, x) }n..t al conjunto de números reales constituido por las distancias de x0 a todos los puntos de A. Ese conjunto está acotado inieriormente por O, lo cual implica que admite extremo inferior no menor que O. Adoptemos la notación d(x0 , A) = inf (d(x0, x)} •• A Al número real d(x0 , .4) >O se le llama, por definición~ distancia de x0 al conjunto A. Es evidente que si~ EA, entonces d(x0, A) = O; pero el recíproco no es en general cierto. Puede suceder que d(x0 , A) ... O y x0 fA. Por ejemplo, DISTANCIA ENTRE CONJUNTOS 25 consideremos d espacio métrico R, la recta real, y tomemos un intervalo abierto A = (a, b); es muy sencillo demostrar que d (a, A) - O, y sin embargo, ~~A. . Esta cuestión quedará definitivamente dilucidada más adelante. Por comodidad definimos d(A, x0 ) = d(xo, A). Tomemos ahora dos puntos Xo, ~ EE y A CE no vacío. Tenemos: de donde De manera totalmente análoga .· De (l) y (2) deducimos: lo cual es equivalente a: Esta desigualdad tendrá significación más adelante. ( l) (2) Tomemos ahora dos conjuntos no vacíos A,BCE. Designemos por {d(x, y) }...,4 , 11c.a al conjunto de números reales constituido por todas las distancias entre un punto de A y uno de B. Está claro que tal conjunto está acotado inferionne:lte por O, por lo cual debe admitir extremo inferior no menor que O. Expresemos d(A,B) = inf {d(x,y) } .. eA> v•B· Al número real d(A, B) > O Jo llamaremos distancia entre Jos conjuntos A y B. Si AnB ::;6 cf>, es inmediato que d(A,B) =O; pero de nuevo el recíproco no es en general cierto: la distancia puede ser cero aunque los conjuntos sean disjuntos. Un ejemplo sencillo de esta situación resulta si tomamos números reales a < b < e; los intervalos A = (a, b), B = ( b, e) son evidentemente disjuntos y, sin embargo, d(A, B) = O, como puede comprobar el lector fácilmente. Volveremos sobre esto más adelante. Por la simetría de la métrica d(A, B) = d(B, A). El lema que sigue es de frecuente utilidad e intuitivamente satisfactorio. 26 ESPACIOS MÉTRICOS Lema 1. Si A y B son conjuntos no vacíos en un espacio métrico (E, d), se tiene: d(A, B) = inf {d(x,.B) }& .... = inf {d(y, A ) }11.s. D EMOSTRACIÓN. Demostraremos únicamente que d(A, B) = inf {d(x, B) }., ... , ya que la otra igualdad se prueba análogamente. Tomemos un x EA genérico. Por definición de d(A, B): d(A,B) <d(x,y),VyEB, lo cual indica que d(A, B) es cota inferior del conjunto (d(x,y) }.,.s, luego d(A,B) < d(x,B) y como x EA es arbitrario, esta última desigualdad indica que d(A, B ) es cota inferior del con junto {d(x, B) }., ..... Veamos qué es el máximo de las cotas inferiores. Con tal fin, tomemos un e> O real y arbitrario. En virtud de la definición de d(A,B), existe un x EA y un y EB tales que d(x,y) < d(A,B) + t; pero d(x,B) < d(x,y), o sea d(x,B) < d(A, B) + e para al~ún x EA. De manera que d(A, B) = inf{ d(x, B) }...,,¡. • ISOMETa iA. 27 Conviene destacar que no es en general cierto que exista un y. E A tal que d(x0 , )'o) = d(x0 , A); análogamente, tampoco es de esperar que existan x., EA, )'o EB con . d(xo.Yo) = d(A.B). Volveremos sobre esto posteriormente. 1.3. ISOMETRIA Supongamos que se ha establecido una correspondencia biunív~ entre los puntos de dos espacios métricos y resulta ser, además, que la distancia entre cualquier par de puntos del primer espacio es igual a la distancia en- tre sus homólogos en el segundo. ¿En qué pueden diferir estos espacios? Sin duda que la naturaleza especifica de los puntos en uno y otro puede ser muy distinta; pero en su comportamiento como espacios métricos no puede se.ña- larse diferencia alguna. En efecto, si hacemos caso omiso de la naturaleza particular de los puntos, los espacios resultan idénticos, isomorfos o, para darles el nombre acostumbrado, isométricos. Espacios isométricos son pues idénticos como espacios métricos, com- panen la misma e!tructura. Es un concepto análogo al isomorfismo entre espacios vectoriales, entre grupos o arullos, etc . . Expresemos formalmente la definición : Un espacio métrico (E, d) es isométrica al (E', d') si existe una biyec- ción: tal que V x,yEE:d(x,y) = d'(f(x),f(y )). La isometría es una relación de equivalencia en la clase de los espacios métricos. En efecto: Reflexividad: (E, d) es isométrico con~igo mismo bajo la biyección idén- tica: E~ E (trivial). Simetría: Supongamos que (E, d) es isométr-ico al (E', d') bajo la bi- yección: f: E~ E'. 28 ESPACIOS IIÉTaJCOS Entonces ¡-t : El-+ E es una biyecci.6n y vx•,yt EP: d(t1(x1), f-•(y')) - d1 (fU-1(x1)1,Jrt1(y1)]) ... dl(xt,yt), lo cual implica que (El, d1 ) es isométrico al (E, d). Transitividad: Sea (E, d,) isométrico al (F, ds), bajo la biyecci6n f, y (F, da) isométrico al (G, da), bajo la biyecci6n g. Entonces g.f:E-+ G es una biyecci6n tal que V x, y EE: d,(x, y) = ~(f(x), f(y)) - d, (g[f(x)1 cU(y)]) - = d.(g.f(x),g.f(y)). O sea que (E, dt) es isométrico al ( G', da). Como ejemplo ilustrativo considérese el conjunto C de los números com- plejos. Se comprueba fácilmente que d1 (r,w) -lz- wl, yz,wEC, es una métrica para C, de manera que (C, d,) es un espacio métrico. Consideremos, por otra parte, al espacio métrico R•, tal como se cons- truy6 en el ejemplo 5 de 1.1. Es inmediato verificar que la función f: R'-+C, talque V (a,b) ER1 f(a,b) =a+ bi, es una biyección que establece una isometría entre los espacios R• y C. 1.4 . SUBESPACIOS Sea (E, d) un espacio métrico y F un subconjunto cualquiera, no vacío de E. De(inamos la función d': F X F-+ R tal que V x,y EF: d'(x,y) = d (x,y). De inmediato se comprueba que d1 es una métrica para el conjunto F. A d' suele Jlamársele métrica inducida en F por d y, por sencillez, se acos- BJBRCICIOS 29 tumbra designar también por d sin peligro de confusión. Nótese que tJ1 no es otra cosa que la restricción de d a F X F. De manera que (F, d) es, a su vez, un espacio métrico y se le llama subespado de (E, d) . Se destaca que Fes cualquier subconjunto no vacio de E. EJEIQCIO~ l. E es un conjunto no vaclo y d: E X E~ R una función que posee las propiedades siguientes: a) d(x,y)- O(=)x - y, para x,yEE. b) yx,y,z EE : d(x,y) < d(x,z) + d(y,z). Demostrar que d es una métrica sobre E. 2. Sea duna métrica sobre el conjunto E. Si V x, y EE: ds(x, y) - nún {1, d(x, y)}, demuestre que dt es también una métrica sobre E. 3. Tomemos un número natural i entre 1 y n. Definamos para x ... (xs, Xt, ••• , x.), y - (y11 )11> • • ·, y.) en R", ¿Qué propiedades de una métrica posee d? 4. Sea p un écart sobre un conjunto F. Para x, y EF definimos x""" y{ } p(x,y) ... O. a) Demostrar que ,..J es una relación de equivalencia sobre F.b) Sean x - y, z "" ... Compruébese que p(x, z) ... p(y, •). (Verifique que el Lema 1 de 1.1 es válido para kart.s y apllquelo.) e) Sea E = FJ.-- (conjunto cociente respecto ""). Para t, "1 E E cualesquiera, tomemos X E e. , E"' y definamos d(E, '1) - p(x, y). Demuestre que d es una métrica sobre E. 30 ESPACIOS MÉTRICOS 5. Sean dlJ d2, ... , dn métricas sobre un conjunto E . .. Demostrar que d = ~ d, es una métrica para E. i:l .. (d se define como d(x, y) - ~ d; (x, y)). hl 6. Si d es una métrica sobre E, definimos para x, y E E: d(x,y) d'(x,y) = 1 + d(x,y) Demuéstrese que d' es una métrica sobre E. 7. Sean (E,, d1), (Ez, d.) espacios métricos. DemoStrar que para x = (x" Xz), y = (yh y2} en E1 X E2, d(x,y) = máx {d,(x,,yl), d.2(xz,yz) }, d1 (x,y) = d~(x1,y1) + dz(x.,,y.), d'1 (x, y) = y dt (x11 y,) 2 + d.(x-:?, Y•) 2 , definen métricas para E, X &. 8. Sea {d,.J una sucesión de métricas, todas ellas sobre el mismo conjunto E y d,.(x,y) < 1, V n EN, V x,yEE . .. Demostrar que d = ~ d.¡2n es una métrica sobre E. n;O 9. Sea E e! conjunto de todas las sucesiones reales {x,.} acotadas (Jx,.¡ <k, para algún k> O). Demostrar que d({x,.}, {y,.}) = sup lx~ -ynl n define una métrica d sobre E. 10. Sea S el conjunto de todas las sucesiones reales. d { } { } ~ 1 lxn-Ynl Demostrar que ( x,. , y,. ) = .w n=o ni 1 + lx.,-y.,l define una métrica sobre S. 11. Sea C [a, b] el conjunto de todas las funciones continuas en el intervalo cerrado [a, b] y de valores reales. ! EJERCICIOS 31 Definimos: · J" 1/(x)-g(xl l d(tg} = ~ • 1 + lf(x) -g(x) l para ¡, g E e [a, b]. Demostrar quedes una métrica para C[a, bJ. 12. Sean (E, d), (E', d1 ) espacios métricos. Supongamos que existe una función tal que yx,yEE : d(x,y) = dl(f(x)',f(y)) . Demostrar que (E, d) es isométrico con un subespacio de (E\ d'). 1. • CAPITULO 11 2.1 . ESFERAS ABIERTAS, Conjuntos abiertos· y conjuntos cerrados CERRADAS Y SUPERFICIE ESFERICA Sea (E, d) un espacio métrico cualquiera. Definiremos ciertos subcon- juntos important~ de E. Tomemos un punto a EE y un número real r >O. Se llama esfera abierta de centro a y radio r al conjunto: N(a; r) = {x EE 1 d(x, a) < r}. Esfera abierta reducida de centro a y radio r es el conjunto: N1 (a; r) ~ ·{x EE 1 O< d(x,a) < r}; nótese que no es otra cosa que N(a; r)- {a}. !f!fera c,errada de centro a y radio r es el conjunto· N(a; r ) = {xEE 1 d(x,a) ::;; r}. Superficie esfbica de centro a y radio res el conjunto: S(a;r) = {.!EE !d(a,x) =r}. 33 CONJlll'fTOS ABIERTOS T CON.JliNTÓS CEBilADÓS Obsérveae que tanto una esfera abierta como cerrada no puede ser un conjunto vacío, ya que al menos el centro pertenece a él. Una esfera abierta reducida o una wperficie esférica puede, por otra parte, resultar un conjunto vaclo. Como con&eCUencia inmediata de las definiciones, se deduce : O<r,<r,. implica que N(a ; r,)CN(a;r.) . N(a;r1)CN(a;r~). N(a; r) CN(a; r ) , S(a; r ) CN(a; r), N(a; r ) nS{a; r ) =- <f., N(a; r) = N(4¡ r) US(a; r), N(a ; r) - N (a; r) - S(a; r) . En el espacio métrico la recta real (Ejemplo 2 de 1.1) , una esfera abierta de centro a y radio r >O es el conjunto de números reales (puntos) x, tales que lx-al < r, es decir; d intervalo abierto (a-r, a+r); la esfera cerrada dd mismo ceiltro y radio resulta &er el intervalo cerrado [a- r, a+ r] . La superficie esférica es el conjunto constituido <micamente por el par de puntQs a- r,a+r. En d espacio métrico R' con su métrica definida en el Ejemplo 5 de l j , una eafera abierta de centro a y radio r >O, representada geométrica- mente, no es más que un círculo de centro a y .radio r, excluida la circunfe- rencia. La esfera cerrada será el circulo completo y la superficie esférica s6lo la circunferencia. Efectuando una representaci6n geométrica análoga en d caso del espacio métrico R', observamos que las esferas cerradas resultan ser esferas; las abiertas, esferas también, excluida la superficie, y las superficies esféricas coinciden con las geométric:u dd ~o nañbre. 2.2. /_CONJUNTOS AIIBTOS Sea {E, d) un espacio métrico cualquiera y A un subconjunto de E. Se dice que x EA es un punto interior de A si existe un número real r>Otalque N(x; r) CA. Al conjunto A- {xEA 1 ~, ea interior de A} se le Dama inurior del &onj•mto A. En COJliCCUencia de ia definición tenemos que Á C.A. A puede muy bien ser vado sin que lo sea A. Tal situación es de mucho inta-& f 'Volveremos sobre eDa más adelante. CONJUNTOS .. UJIB&TOS 35 Decimos que el conjunto A es abúrto si Á = A, es decir, si todo punto de Á es interior. El conjunto E es abierto trivialmente, lo mismo que el conjunto vacío <f» (¿qué punto de <f» no es interior?). Teorema J. Toda esfera abierta es un COBjunto abierto. DEMOSTRACIÓN. Sea la esfera abierta N (a; f) y x E N (a; r) un punto cual- quiera de eUa. Nos proponemos demostrar que x es interior a la caCera. Consid~os el número real r 1 - r-d(a,x) >O y la esfera abierta N(x; r.). DemOitremos que N(x; r.) CN(a; r ). o sea pero de donde lo cual implica V y EN(x; r1) :d(x, y) < r11 es decir, d(x, :y) < r-d(a, x), d(x, y) + d(a, .~) < r, d(a,y) ~ d(x,y) + d(4,x), d(o, y) < r, y EN(a;r). Fipra l. Ilwtración en Ir de '- dem01trati6n del Teorema 1 de 2.2. • 36 CON.J11NTOS ABIERTOS Y CONJU NTOS CERRADOS . Sea .A CB. Es inmediato que todo punto interior de .A es interior de B, es decir, . . .ACB Esto nos permite tomar interioTes a ambos miembros de una inclus ión, pre- servándose el sentido de ésta. Teorema 2. Para todo conjunto .A en (E, d), A es un conjunto abierto, es decir A- A. DEMOSTRACIÓN. Si A - 4>, sabem.os que es abierto. Supongamos que no es vacío y tomemos un x EA; demostremos que x es interior a A. x EA implica la existencia de un r >O tal que N(x;r)CA; pero en virtud del Teorema 1, N(x; r) es un conjunto abierto, de man era que, tomando interiores a ambos miembros de la inclusión, obtenemos: N(x;r) CA; o sea que x es punto interior de A y éste es un conjunto abierto. e Supongamos ahora que ec.A y e es abieno. Tomando interiores a ambos miembros de esta inclusión y teniend o en cuenta qu.e e coincide con su interior, obtenemos: . ceA. Este resultado lo podemos interpretar figurativamente diciendo qu e A es el "máximo conjunto abierto contenido en .4". Obtengamos otra caracterización del interior de un conjunto cualq uiera .A : Sea la familia F = {BCA 1 B es abierto}. (F no es vacía, ya que al menos 4> EF). Demostremos que En efecto, A= UB. B•l' V B EF : BCA y Bes abierto, lo cual implica BCA, CONJUNTOS ABIERTOS 37 de donde UBCA. Reciprocamente, como A es abierto y está contenido en A, entonces - A EF; luego, A e UB. B<P En resumen, A es la unión de todos los conjuntos abiertos contenidos en A. Los dos teoremas siguientes, no obstante sus muy sencillas demostraciones, son de extraordinaria trascendencia al permitirnos operar con abiertos en forma conjuntista. Teorema 3. La unión en una familia cualquiera de conjuntos abiertos es un conjunto abierto. DEMOSTRACIÓN. Sea F la familia de conjuntos abiertos y S= UA. A•F Demostremos que S es abierto. Si x ES, entonces x EA para algún A EF; pero A es abierto, luego existe un número real r > O tal que N(x; r) CA. Por otra parte, A es, lo cual implica N(x; r) es, o sea que X es interior a S y S es por tanto abierto. e Teorema 4. La intersección de un número finito de conjuntos abiertos es un conjunto abierto. DEMOSTRACIÓN. Sea.n los conjuntos abiertos At, A1, ... , A,. y " T =nA~. kol Demostremos que T es abierto. Supongamos que T =1= <f>, ya que de Jo con- trario el teorema estaría demostrado. 38 Si ;e ET, entonces ;e EA• (para k= 1, 2, .. ·, n) y co mo A,. es abierto, existen número. reales positivos rh rt, · · ., '• t ales que N(x; r,.) CA,. (para k "" 1, 2, . . . , n) . Sear - min { r11 r2, ••• , r ,.} ; luego, r < r,, para cada k, lo cual implica N(x; r) CN(;c; r,.) para 1:. - 1, 2, 3, ... , n . Pero entonces N(x; r) CA,. (k "" 1, 2, .. . , n), de donde N(;c; r) CT. • El Teorema 3 nos indica que las uniones de abiertos siempre resultan ser conjuntos de abiertos. Por otra parte, el Teor ema 4- nos dice lo mismo con respecto a intersecciones; pero con la restricción d e que los intenecandos deben ser en número finito. No puede garantizarse que la intersección d e un número infinito de abiertos 5ea un abierto. Por ejemplo, en la r ecta real (Ejemplo 2 de 1.1) todo intervalo abierto es un conjunto abierto, ob5ervaci6n que vale la pena destacar. En efecto, sea a < b y conaideremC!S el intervalo abie rto (a, b). El lector comprobará : { 1 a+bl b-a} (a,b) = (xER!a<x<b}"" xERt x--2 - <2 ; pero el último conjunto de la derecha no es o tra cosa que ( a+b b-a) N 2 ' 2 ' y sabemos que toda esfera abierta es un abie rto. Pero volvamos a nuestro ejemplo. Consideremos la familia de infinito s abiertos constituida por los intervalos ( - ~·~)para todo n natural mayor que cero. La intersección en esa familia es el conjunto {O} constituido por u n solo punto, el cual no es abierto en R. El teorema que sigue nos indica lo que suce de al tomar el interior de una unión y el de una intersección. TeoremG 5. Si A y B son conjuntos cuales quiera en un espacio métrico, entonces CON,JONTOS A.BI&ATOS • • .. ~ .. ~ A UBCAUB, AnB - An.B. DeMosTRACIÓN. Tenemoe que ACA y BCB, de donde iu.BcA.uB y ln.EicAnB; pero en virtud de los Teoranu 3 y 4, ÁUB y ÁnB 100 abierto~, lo cual implica: • • . . .............. . . ...-.... AUBCAUB y A n Bc.&nB Por otra parte, AnBCA y AnBcB, de donde tomando interiores • • ~ . .,....--...._, . AnBCA. y AnBCB; luego, • .....-... . . AnBcAnB, y, considerando esta última inclusión junto con la ( 1 ) , COilcluimoa: . . . .....-... AnB.- AnB. (1) • Ambos resultados establecidos en el teorema pn:cedente pueden, por aupuesto, extenderse a un número fmito de conjuntos por inducción . . . . .....-... A U B pueden muy bien no coincidir con A U B. Por ejemplo, conlidere- mos en la recta n:alloa conjuntos R-={x ER i x <O}, R•- (xERix~O}; ea evidente que .R-UR•- R, el cual es abierto y coincide por tanto con su interior, es decir Por otra parte, ae comprueba fácilmente que 40 CONJUNTOS ABIERTOS Y CONJUNTOS CERRADOS • • R- - R- y R+ = {x ER 1 x > 0}, de donde • • R-UR+ = R- {0}. 2.3. ENTORNOS Y PUNTOS DE ACUMULACION Sea (E, d) un espacio métrico cualquiera y a EE. Se llama ,entorno del punt11 a a todo conjunto abierto que lo contenga. Así, en particular, una esfera abierta de centro a y cualquiera radio r e¡ un entorno de a. Obsérve¡e, por otra parte, que todo entorno de a con- tiene una esfera abierta de centro a, ya que a pertenece al entorno y es, por tanto, punto interior de ~te. Un conjunto abier!Q es un entorno de cualquiera de sus puntos. Es consecuencia de los Teoremas 3 y 4 de 2.2 que la unión en una familia cualquiera de entornos de un mismo punto es un entorno de ese punto; y que la intersección de un número finito de entornos de un mismo punto es también un entorno de éste. El concepto de entorno está motivado por la idea intuitiva de cercanía o proximidad al punto en cuestión. Esa noción y, por consiguiente, su definición precisa como entorno, constituye una de las ideas fundamentales sobre la cual se apoya el Análisis y la Topología. Conceptos como el de limite, continuidad, derivada Y. otros tienen allí su origen. No obstante la aparente sencillez de la definición de entorno, su importancia no puede exagerarse; es la sintesis extraordinaria de casi tres siglos de maduración y decantación realizadas por varias gene- raciones- de matemáticos ilustres. La vaga noción del "infinitamente peque- ño", de Newton y Leibnitz enOJentra su expresión racional y precisa. Siguiendo la corriente de estas ideas pasamos a formular el concepto crucial de punto de ,!lCU~~ de un conjunto. Como su nombre lo indica, es 3 n pun!o ;Ure~edor del cual ~ acUI~ulan, se concentr-ªJ!, los puntos...del conjunto, de forma tal que, por "pequeño" que sea el entorno, siempre los hallaremos en él. • A es un conjunto en el espacio métrico (E, d) y x EE. Se dice que x es un punto de acumulación del conjunto A. Si todo entorno de x contiene puntos de A distintos de x. Es decir: Para todo entorno S de x se cumple (S- {x}) nA =r!= ~- {Al entorno S, desprovisto de x, suele llamarse entorno reducido.) ENTORNOS Y PUNTOS DB ACUMULACIÓN 41 Puede muy bien suceder que el conjunto A no admita ningún punto de acumulación, así como admitir muchos. Nótese que no se exige, en la definición, que x E A, pero puede suceder. Si x E A, pero no es punto de acumulación de A, recibe el nombre de punto aislado de A. Esto quiere decir que existe algún entorno de x que no contiene puntos de A, aparte de él mismo. Se comprueba fácilmente que en la recta real el conjunto { 1, t. f, t . ... } posee un único punto de acumulacjón que es el cero, el cual no pertenece al conjunto. Todos los elementos del conjunto son aislados. En el mismo espacio, todo x E R es punto de acumulación del conjunto Q de los números racionales. Si A es un conjunto en (E, d) y x EE es tal que para todo nú.mero real r > 0: entonces x es punto de acumulación de A. En efecto, sea S un entorno cual- quiera de x. Como x ES y S es abierto, e,dste un r > O tal que N(x; r) es, lo cual implica Nl(x¡r) eS-{x}, de donde 4> =1= AnN1 (x; r) e (S- {x}) nA El recíproco de este resultado es, por supuesto, cierto, ya que una esfera abierta de centro x es un entorno de x. ,..Al conjunto de todos los puntos de acumulación de un conjunto A se llama ccmjunto derivado de A y se designa por A'. En general, A' puede contener desde ninguno hasta inJinitos puntos y su relación con A puede ser cualquiera: coincidir con él, contenerlo, estar contenido en él, ser disjunto o ninguna de estas cosas. Algunos de estos casos dan origen a diversos tipos de conjuntos de gran importancia, como veremos más adelante. El teorema que sigue es bastante evidente desde un punto de vista in- tuitivo. Teorema l. Sea x un punto de acumulación de un conjunto A. Si S es un entorno cualquiera de ,'{, el conjunto CON .JUNTOS A.BIBBTOS Y CON.JUNTOS C&BBADO S (S-{x}) nA contiene infinitos puntos. DEMOSTIWJIÓN. Supongam03, al contl'ar!o, que (S-{x)) n..t- {x,,~, ... ,x.). Designemos por '" .. d(x, xr.) > O (k- 1, 2, ... , n). Por otra parte, como S es abierto y contiene a x, existe un r0 > O tal que N(x; r 0 ) CS. Sea ahora r ~ m.ín {1'0 , r11 r~, · · ., r.}. Entonces N 1 (x; r) n..t = .¡., ya que N'(x; r) CS-{x} y no contiene ninguno de los X¡. Pero esto contradice la bip6 tesis de que x es punto de acumulación de .d. e De este teorema se deduce que para que un conjunto tenga la posibili- dad de admitir puntos de acumulación debe ser infinito; dicho de otJa manera, si un..conjunto a¿mite algún punto de acumulación, es infinito. Ex- presado una vez más en forma equivalente, un conjunto finito n o admite puntos de acumulación. Recíprocamente, si un conjunto es infinito no puede asegura rse que ad- mita puntos de acumulación. Por ejemplo, el conjunto N d e los números naturales es infinito pero no admite puntos de acumulación en R . No obs- tante, en R" o, más general, en todo espacio normado de dimens ión finita, conjuntos infinitos que satisfagan una d~bil hipótesis adicion al (acotados) si admiten puntos de acumulación. Este es el famoso teorem a de Bolzano. Wcierstrass que ce verá más adelante; desgraciadamente, no e s válido en un espacio métrico cualquiera. Por último, volviendo a un espacio métrico general (E, d), c onaidere- mos en él los conjunt03 COl'fJtJNTOS CBKBA.DOS ACB. Es evidente, teniendo en cuenta la definición,que todo punto de acumula- ción de A lo es tambibl de B, es decir, A.'CB'. F.tte sencillo resultado nos permite tomar derivados a ambos miembros de una inclusión, preservándose el sentido de ésta. Sea (E, d) un espacio métrico cualquiera y A un subconjunto de E. Si A' CA, es decir, si A contiene todos IUI puntos de acumulación, decimos que A es un conjunto cerrado. - Si A no admite puntos de acumulación, es decir A.' - .¡,, A es cerrado, ya que siempre A' CA. En particula.r, el conjunto vacío ., y cualquier con- junto constituido por un número infinito de puntos son conjuntos cerrados. El conjunto E es también cerrado trivialmente. Nótese pues que tanto ., como E son conjuntos abier tos y cerrados a la vez. Resulta oportuno llamar la atención del lector sobre el hecho de que conjunto cerrado no se ha definido como ~uel que no es abierto, ni vice- versa. Esto admite la posibilidad de que algún conjunto sea abierto y cerrado, que sea una de las dos cosas o, como es el caso más frecuente, ni una ni otra. La existencia de conjuntos abiertos y cerrados a la vez es particular- mente interesante y será estudiada a fondo cuando tratemos conjuntos conexos. Puede suceder que A' ~ A, es decir, que A sea cerrado y que todos sus puntos sean de acumulación. Un conjunto con esa propiedad se dice que es perfecto. Poseen propiedades interesantes, pero son poco frecuentes. Un ejemplo clásico de conjunto perfecto es un intervalo cerrado (de más de un punto) en la recta real (veriñquese), así como tambi~n todo el conjunto R. Dado el conjunto A en un espacio métrico (E, d) , al conjunto A- A UA' o sea la uruon de A con todos sus puntos de acumulación, se le Uama clausura de A y sus elementos reciben el nombre de puntos de adherencUr. de A. CONJUNTOS ABIERTOS Y CONJUNTOS CBIUlADÓS En seguida se observa que A'CA (=)A- AUA'- A. es decir, un conjunto es cerrado si, y sólo si, coincide con su clausura. En general tendremos que ACA y A'CA, en virtud de la definición de A. Supongamos que se tiene ACB, sabemos que implica A'CB'; pero entonces, de ACB y A'CB' obtenemos: ÁCB. Este resultado nos permite "clausurar" ambos miembros de una inclusión, preservándose su sentido. Puede darse el caso, no obstante, de que una in- clusión propia se convierta en igualdad al clausurar. Por ejemplo, (a, b) e [a, b) en la recta real. Teorema 1. Para todo conjunto A en un espacio métrico se verifica: (A)'= A'. DEMOSTRAct6N. Sabemos que A CA, y como al tomar derivados se pre~ serva el sentido de la inclusión : A'C (A)'. (1) Podemos suponer que (A)' ::f: .¡., ya que de lo contrario, la tesis del teorema sería cierta trivialmente. Tomemos entonces un x E (A)' cualquiera y veamos que x EA'. En efecto, sea S un entorno de x. S contiene infinitos puntos de A (Teorema 1 de 2.3), es decir, infinitos puntos de AUA', y por cada yESnA', S es también un entorno de y, pero y E A', de manera que S contiene infi- nitos puntos de A'. CONJ'liNTOS CERRADOS 45 En resumen, S contiene infinitos puntos de Á en todo caso, lo cual implica que x EA'. Hemos demostrado que (.A)'CA', que tomado junto con ( 1 ) demuestra el teorema. • Corolario 1'. Para todo conjunto A en un espacio métrico, A' y A son conju~tos cerrados. DEMOSTRACIÓN. Aplicando el teorema tenémos: (.A)' = A' CA, o sea que A es cerrado. Tomando derivados a ambos miembros de la inclusión A' CA y aplicando de nuevo el teorema: (A')' C(.A)' = A' indicando que A' es cerrado. • Supongamos que A CB y B es un conjunto cerrado. Clausurando ambos miembros de esta inclusión y teniendo en cuenta que B coincide con su clau- sura, obtenemos: .ACB. Esto lo podemos interpretar figurativamente diciendo que "el mínimo con- junto cerrado que contiene a A es su clausura". Podemos obtener otra caracterización interesante de la clausura: Sea la familia F = (ACBIB es cerrado}, (F no es vacia, ya que al menos E E F). Demostremos que A ... nB. B•r En efecto, de donde CONSUNTOS A&IB&TOS T CON.JllNTOS CB&&ADÓS y B E F : A C B y B es cerrado, lo cual implica ÁCB, ÁC n B, .., Por otra parte, Á es cerrado y A C Á, Juego Á E F, ·entonces nBCÁ. "'' En resumen, A es la intenección de todos los conjuntos cerrados que contienen a ..t. A los elementos de Á los hemos llamado puntos de adherencia de A. El siguiente teorema nos pro~rciona dos útiles caracterizaciones de ellos. Teorema 2. Para un con junio A, de clausura no vacla, las siguientes pro- posiciones son equivalentes : a) x EA, b} d (x,A ) -O, e} Para t.odo en tomo S de X : sn A =fo .¡.. . . DEJotOSTRACIÓN (a ) b) . Sea pues xEÁ - AUA'. Si xEA es evidente que d(x,A ) =O. Supongamos que xEA' y tomemos un número real cual- quiera a> O. Como N(x ; a} es un entorno de x, por def"mición' de punto de acumulación se verifica AnN'(x; •) #- 4>, es decir, existe algún y EA con d(x, y) < ~. O sea que t >O no es cota inferior del ron junto {d(x,y) ),.". Necesariamente J(x, A) - O. (b=}c). Tenemos que J(x, A. ) .... O. Sea S un entorno cualquiera de x. Como S es abierto y contiene a x, existe un número real r > O tal que N(x¡ r) C S. Pero r >O"" d(x,A. ), luego r no es cota inferior del conjunto .{d(x, y)}""' lo cual implica que .d(x,y) < r, para algún y EA. Es decir, existe algún ,.. EA tal que y EN(x ; r) . O sea que CON,JUNTOS CKaaADOS 4.7 + =;¡é:AnN(x ; r ) CSn..4 (&-}a) Sn..4 :F+ para todo entorno S de x. Si x EA, entonces x E .A. En caso de que x EA, la hipótesis implica que x es punto de acumu.laci6n de .d, es decir x €.d~ y también en este caso xE.A. e No debe confundi~ la proposici6n (e) del teorema con la definición de punto de acumulación. La diferencia esencial radica en que no se toma el entorno reducido para intercectarlo con .d. Nótese que un punto aislado de .d es también punto de adherencia. El siguiente teorema establece una importantísima relación entre con- juntos abiertos y cerrados: Si .d es abierto (cerrado) su complemento es cerrado (abierto) . Puede vene como una caracterización de cerrados en términos de abiertos, que muy bien ha podido tomarse como definici.ón de cerrado, tal como ae hace en topología general . • TeoremG 3. Un conjunto .den un espacio métrico (B,d) es cerrado si, ,y sólo si E- .d es abierto. · ' · · . DEwOsTIIACIÓN. Supongamos que .d es cerrado y demostremos que E- .d es abierto. Si E-A. es vacío, sabemos que es abierto; consideremos pues que E-.d=F+ y tomemos un xEE-A.. Como .d contiene todos sus puntos de acumulaci6n por :;er cerrado, y x f.d, x no es punto de ac:utl\ulación de A. Debe entonces existir algún r > O tal que AnN(x; r) - .;, ' lo cual implica CJ'Je N(x; r) CE-A, o. sea que x es punto interior de E - .d y éste es abierto. · Reciprocamentc, supongamos que E- .d es abierto y demostremos que .d. es cerrado. Si E - ..4 es vaclo resulta que .d - ~. que sabemos es cerrado. Consideremos pues E - A + +' y tomemos un xEE- ..4. Existe .un r > O tal que N (x ; r) CE- .d., lo cual implica que ..tnN(x ; r ) - .;. Esto quiere decir que si un punto no pertenece a .d, entonces no es de acumulación de ..4, o 1ea que ..4 debe contener todos sus puntos de acumulación (aunque no exiatan) y es cerrado. e Corolario ~- .d. ,es abierto si y t6lo si E- A es cerrado. DBHOSTJI.AClÓN. Si .des abierto, como .d ""E- (E-A), entonces E-.d es cerrado en virtud del teorema:. · CON .JUNTOS ABIERTOS Y CON.J1JNTOS CERRADOS Reclprocam.ente, si E-A es cerrado, el teorema nos dice que E- (E-A) .. A es abierto. • El teorema siguiente nos indica qué sucede cuando se unen o se inter- sectan conjuntos cerrados. Compárese con los teoremas 3 y 4 de 2.2. Teorema 4 . 1) La unión de número finito de cerrado.s es un conjunto cerrado. 2) La intenecci6n en una fami1ia cualquiua de cerrados es un conjunto cerrado. D.&WOSTllACIÓN. 1) Sean los conjuntot cerrados Al> Áa, .. • , A. y designemos por .. s- uA •. hl Demostremosque S es cerrado. Haciendo uso de las fórmulas de De Margan podemos escribir " E-S ... n (E-Aa,); hl pero E- A11 (k - 1, 2, . .. , n) es abierto por ser A11 (k - 1, 2, ... , n) cena- do (Teorema 3), lo cual implica, en virtud del Teorema 4 de 2.2, que la intersección de todos ellas, es decir E-S, es conjunto abierto. El teorema 3 nos dice que S es cerrado. 2) Sea F una familia de conjuntos cerrados y designemos por T ~nA. A.., Demostremos que T es cerrado. Aplicando de nuevo las fórmulas de De Morgan, expresamos: E - T- U(E-A). ,.., Pero los E-A, V A EF, comtituyen una familia de conjuntos abiertos (Teo- rema 3), lo cual implica, por el Teorema 3 de 2.2, que la unión de todos ellos, es decir E-T, es un conjunto abierto. Una vez más el T eorema 3 nos indica que T es cerrado. e Corolario 4'. Sean loa conjuntos A y B en el espacio ~ (E, d). Se verifica: A abierto y B cerrado ) A-B abierto, A cerrado y B abierto ) A-B cerrado. DEKOSTRACIÓN. A-B- (E-B) nA. • Veamoa que una eafera cerrada, al igual que la abierta, DO CODtradice su nombre. Teorema S. Toda esfera cerrada, ul como toda IUperficie esf&ica, es un conjunto cerrado. I>EKosTRACIÓN. Sea la esfera cerrada N(a; r) en un apac:io métrico (E. d) y demoatrem~ que el coojunto E-R(a;r) ea abierto. Tomemos un x EE-Ñ(a; r), lo cual es equivalente a que d(a, .1) > r. ,, . Sea r1 - d(a, .1) -r >O y veamoe que N(x; r1 ) cE-R(a; r) . En efecto, si )' EN(x; r~), entonces ea decir, (1) Por otra parte, , r (2) Sumando (1) y (2) : d(a,y) > r, 50 CON .JUNTOS A.BO:RTOS Y CON .JUNTOS CBRRA.OOS lo que equivale a )' fÑ(a; r), es decir y EE-N(a;r). Tenemos pues que x es punto interior de E-Ñ(a; r) y ~e et abierto. En virtud del Teorema 3, N (a; r ) es cerrado. Para demostrar que la supe:ficie esfúica S(a; r ) es un conjunto cerrado, basta con aplicar el Corolario 4', sabiendo que S (a; r) - N (a; r) -N( a; r). • FJcwa 2. Uuatraci6n en R' de la demottraci6n del Teorema 5. En un espacio métrico (E, d) consideremos Wlll esfera abierta N (a; r) 'f la cerrada del lllÍimo ~lltJO y radio Ñ (a; r) . Sabemot que N (a ; r) CÑ(a; r). ClaUIW'aDdo amboa miembros de esa inclllli6n y teniendo en cuenta que la clausura de la esfera cerrada cai.ncide con &ta por ser cerrada, obtenemos: N(a; r) CÑ(a; r). Conviene deatacat que, en general, esa inclusión es propia; es decir, la clausura de la esfera abierta no es neasariamente igual a la esfera cerrada ele mbmo centro y radio. Por ejemplo, .ea (E, d) un espacio métrico dis- creto (Ejemplo 1 de 1.1 ) de más de un punto y tomemos x EE. Tenemos que CON.JllNTOS CEil&.\DOS 51 de donde N(x; 1) = {x}, en cambio N(x; 1) ... E. No obstante, en muchos espacios particulares la clausura de la esfera abierta si coincide con la cerrada. Demuestre el lector que esto sucede siempre en R•. El siguiente reaultado nos indica lo que sucede al clausurar una uni6n y una intersección. Compárese con el Teorema 5 de 2.2. ~eorema 6. Si A y B son conjuntoS cualesquiera en un espacio m6trico, entonces ACA y BCB implican AnBcin.B y .AUBcluii; pero teniendo en cuenta que las clausuras son conjuntos cerrados (Coro- lario 1') y el Teorema 4, los conjuntos An.B y .lu.B son cerrados; de ma- nera que, clau.Nrando ambos miembros de las inclusio.nes anteriores, ob- tenemos: AnBc..in.B, .AUBCAUB (.t) Por otra parte, clausurando en .ACAUB y BCAUB, resulta de donde que, junto con ( 1) implica • COI'f.JVMTGe ül&llTGe Y COI'f.J1JI'fToe C:U••WO'I La clausura de la intenecci6n no a igual, en general, a la intenecci6n de lu claUIW'al. Por ejemplo, en la recta real consideremos Jos intervalos abiertos .A - (a, 6), B - (b, t:), para 4 < b < e. Se comprueba con faci- lidad que ..tnB- ~ y ins .. {b}. Ambas relaeiooes establecida en el Teo%Clla 6 pueden extendone, apli- eaado el priDcipio de inducción, a cualquier número finito de conjuntos. Son muy 6tila b resu1tados que establece el próximo teorema, adernáa de relacionat, en forma interesante, al interior y la clausura . . T4!9,PJIIG 1. Para todo conjunto .A de un etpacio ~trico eualquiera (E, d) 1e w.rifica: • ...--.. E-.A- E-.1, E-A- E-.A. DuloaTRAOIÓN. Tomando complementos a ambcw. miembros de las inclu- .tiCA, ÁCÁ E-ACE-A, E-ACE-A; . pero E-~ a cerrado (Corolario 8') y E-A es abierto (Teorema S), de menen que. tomando interioru en la tegunda incluai6n y clausurando la ptlwra, readta; • ---B-ACE-A, E-ACE-Jt. (1) Por otra parte, tenemoa • ---E - .ACE-.A, E-.ACE-.A, y tomando complemento en amhu, • ...--.. E- (E-.A) CA, .A CE- (E- .A); • - .....--.. . pero E- (E-A) es abierto y E- (E-A) es ~o, o sea que á tomamos interiores en la primera incl~6n y clausuramos la segunda, obtenemos • • ....-... E- (B-A) C.d, A cE- (E-A), y complementando de nuevo . _....... E-JfCE-A, E-ACE-A, laa cuales, junto coo ( 1), coocluyen la dCUJo:~traclón. • 2.5. FIIOHTEIA Y 10101 Procedemos a definir un coooepto de gJ'lUl utilidad y que facilita nota- b~ente la visi6n intuitiva de muchu situaciones. Sea A un conjunto cualquiera en un espacio ~Mtrico (E, 4) _ T .Jamamos fronurtt de A al conjunto p(.t) - AO(E-A). Antes de aventurar interpretaciones intuitivas sobre esta n11eva nod6n, con- viene listar un conjunto de propiedades de Ja froDiera que se derivan de manera más o menos inmediata de la definición. F1) ,S (A ) a un conjunto cerrado.(~ del Corolario 1' y los Teoremas 4 y 3 de 2.4.) F,) /3_{.4.) - /3 (-E- A) . P.) Si f3(A ) ::p.,las tres propiedades siguientes IOD eq\&Ívalentes (Teo- rema 2 de 2.4): a) x EP(A), b) d(x,A)- d(x,E-.4.) -o, e) S nA =F+. sn (E-A) :p.¡,, para todo entomo S de X F,) f3 (A) = A-.d. Aplicando el Teorema 7 de 2.4 : An(E-A} -An(E-Jf) ... A-A F1 ) A= AU,B(..t). En efecto, .teA y p(A) CA implican AU,B(.A) C.l. Por otra parte, por F,: A - AU(A- Jf) - .AU/3(A)C.AU/3(A) . CONJUNT~ ABIERTOS l' CONJUNTOS CE~ F.) A cerrado (=} fJ(A) CA. fJ(A) CA como consecuencia de la de- finición de frontera, Juego, si A es cerrado, entonces A = A. R.ec:í- procamente si fJ(A}CA, entonces, por F.: A - AUfJ(A) =A. F,) .A abierto(: ) .Anp(A) = t/1. Sí A es abierto, entonces A= A~. f01 cual implica, por F,, An{J(A} =An(A-A} ... tf>. Reclprocamente, si .Anp(A) ""t/>, entonces An(A-A) =<J>, Jo cuaJ, implica A CA, es decir A - A y A es abierto. La frontera de un conjunto no vacío puede muy bien resultar vacla. Por ejemplo, sea (E, d) un espacio métrico discreto (Ejemplo 1 de 1.1} y tome-· mos x EE. Se comprueba fácilmente que el conjunto {x} y.su complemento. son cerrados, Jo cual implica W "" {.z}, E- {.z} =E- {x}, de donde fJ ( { x}) = +· Este mismo espacio descarta la posibiliGad de qua:: la superficie esférica sea siempre la frontera de la abierta y la ~Qa dd mismo centro y radio. En efecto, N(x; 1} - {x}, cuya ÍfOII.-tera es ~ vacla, como hemos visto. Sin embargo, S(x; 1} ... E-{x}. La existencia de conjuntos de frontera vada quedará dilucidada más adelante, cuando tratemos conectividad. Nótese que, en cualquier espacio métrico (E, d) : fJ (t/l) = t/1, fJ(E) = .p. También puede suceder que la frontera de wÍ subconjunto propio del espacio sea todo el espacio. Por ejemplo, si Q es el conjunto de los números. racionales en la recta real fJ(Q) = R. A pesar de estos ejemplos patológicos, nos atrevemos a dar algunas inter- pretaciones intuitivas, con b. poca confiabilidad que ellas merecen; pero contando con la benevolencia del lecto.r. Podemos pensar que cualquier conjunto de un espacio métrico esta limi- tado (de su complemento) por una concha o cáscara que C!J'I frontera. Lo que se encuentra dentro de la cáscara es el interior del conjunto (F4 }; y el conjunto con toda la cáscara es la clausura (Fa). Si el conjunto no incluye nada de la frontera es abierto (F,), y si la incluye toda es cerrado (Fe). En caso de incluir sólo una parte de la concha, el conjunto no es abiertoni cerrado. Debemos insistir en que tales interpretaciones son excesivamente sim- plistas. El concepto de espacio métrico es de una extraordinaria generalidad e incluye una abrumadora variedad de espacios, algunos de Jos cuales son muy extraños, sucediendo en ellos cosas que desconciertan nuestra modesta 55 intuición que no pasa de R1 • Por otra parte, aun en R' y hasta en la recta, pueden cooaiderane conjuntos tao complejoa que deaafian nuestro sentido común. Debe, pues, el lector tomar las interpretacione¡ intuitivas en esta teoria abstracta con toda la desconfianza que merecen y a gui1a de mea orien- tación. Llamaremos borde de un conjunto A en un espacio m~trico {E, 4), a la p:u-tc de N frontera que le pcrtc:necc, a decir, al conjwliO b(A) - An,B(A.). Obtenemos de illimd.iato las siguientes propiedades: B1) A curado ( ) b{A) - ,B(A). (F.) , ~) A abierto ( ) b(A) ... +· (F,), B,) b(A) - A-.A. Aplicando F. : Arl,B(A) - .An(A-A) •...tn.An(E-..4) -An(E-.l) - A-..4. B.) b (E-.A) .. ,B(.A) -b(.A) . (Se deja como ejercic:io.) 2.6. AIIEITOS Y CEilADOS EN UN SUBESP.ACIO Sea (E, d) un espacio métrico y F un tuDcoojunto no vaclo de E. Por 1.4 sabemos que F da origen a un espacio métrico (F, ti) oon respecto a la métrica inducida por d. N01 pro~ averiguar QÓmo 10n l01 conjuntos abiertos y cerradoa en el subespacio (F, d) y qué relación guardan con los abiertos y cerra- dos en (E, d ) . . Antes que nada, conviene precisar c6mo son las esferu abiertas en ( F, d), ·punto de partida para todo. Tomemos un a EF y un nó.mero real r > O. De acuerdo a la definición dada en 2.1, una esfera abierta de centro a y radio r en (F, d) es el conjunto pero esto no es otra cosa que FnN{a; r ) , donde N{a; r) es la eafera abier- ta de eentro il y r.a4io r m (&,4), Raulta, pues, que ka eafau abiatu en (F, d) no aon más que las intenccciones de las esferu abiertas en (E. d) con F. COJU1JN'I'08 A.aJSaTOS Y CON.J1JNTOS a:aa.tDOa reo,....... l. Un conjunto BCF es abierto en el IUbespacio (F, d) de (B,d) Ji y ..Slo Ji emte un conjunto .A abierto en (E, J), tal que B- AnP. lli~o~osTaAoiÓN. Supongamos que .A es abierto en (E, d) y B ... .AnF. Si B - +, ea abierto en (F, d). Comideremos que B =f:. + y tomemos un x EB. Pero entonces ~e EA y .4 es ableno en (E, d), luego existe un r >O tal que N(x; r ) CA, pero esto implica FnN(~e; r) c.AnF- B. Ea decir, existe una esfera abierta de centro x en (F, d) contenida en B y &te es abierto en (F, d). Reclprocamente, aupongamos que B ea abierto en (F, d). Luego, para cada x E B, existe un número real r. > O tal que FnN(x; r.) CB. Pero esto implica que B = U [FnN(x; r.)]. - Pos- otra parte, empleando la propiedad distributiva de la intenección con rapccto a la uni6n, teuemos: U.[FnN(x; r.)]- Fn [UN(x; r.)]. ... ... Pero el conjunto .A - UN(x; r.) es abierto en (E, d), en virtud del Tco-... rema 3 de 2.2, aiendo J - Fn.A. • De manera, pues, que los abiertos en (F, d) no son otros que las trazas de loa abiertos en (E, d) con F. Pasemos a averiguar c6mo sen los cerrados en ( F, d) . Antes recordare- mos la definición de cerrado en cualquier espacio métrico. El conjunto ea cerrado si contiene todos aquellos puntos del espacio que son sus puntos de acumulación. Particularizando, decimos que el conjunto BCF es cerrado en (F, d) si todo punto de F, que sea de acumulación de B, pertenece a B. A.BIBilTOS T CEIUL\DOS EN UN SUBESPA.CIO 57 Dicho de manera equivalente, B es c:errado en F ai todo punto de acumula- ción de B que esté en F, pertenece a B. Nótese que esto no excluye la posi- bilidad de que existan en E puntos de acumulación de B que no peJ'tenezcan a B ni a F. Por ejemplo, aean a< e< 6 en la recta real y F - (a,6}, B - (a, e]. Es sencillo verificar que B es cerrado ~ F, y sin embargo, no contiene a au punto de acumulación a, el cual, por supuesto, no pertenece a F. Cabe destacar que Fes siempre abierto y cerrado en (F, d}; aunque no sea ninguno de los dos en (E, d}. Teorema 2. Un conjunto BeFes cerrado en elaubespacio (F,d) de (E, d) ai y sólo si existe un conjunto e cerrado en (E, d), tal que B- enF. DEMOSTRACIÓN. Supongamos que e es cerrado en (E, d) y que B = en F. Entonces Bee, y tomando derivados a ambos miembros B'eC', pero C es cerrado, o sea, C' e e; de donde B' e e, luego FnB'eenF - B. Pero FnB' es precisamente el conjunto de puntos de acumulación de B que están en F. Reclprocamente, supongamos que B es cerrado en (F, d). Esto quiere decir que B'flFeB ( 1) Nótese, además, que B()F- B, . (2) ya que BCF. Ahora bien, el conjunto B es cerrado en (E, d), y teniendo en cuenta ( 1 ) y ( 2) , podemos escribir: BnF = (BUB') nF = (BnF) U (B'nF) =BU (B'nF) =B. e Supongamos que F es abierto en (E, d); luego todo conjunto B abierto en (F, d) es tal que B - A nF, siendo A abierto en (E, d), de acuerdo al Teorema 1; pero ato implica que B es abierto en (E, d) (Teorema 4 de 2.2) . Recíprocamente, si todo conjunto abierto en (F, d) es abierto en (E, d), entonces F, que es abierto en (F, d), será abierto en (E, d). S8 CON.JUifTOS A.aiBBTOS 'Y CON .JUNTOS CBJULU)()S En resumen: Es coadición necesaria y suficiente para que todo conjunto abierto en (F. d) lo sea tambi~n en (E, d), que F sea tm conjunto abierto en (E. d). Esta conclusión, así como el razonamiento que la precede, es válida, palabra por palabra; cambiando abierto por cenado. 2.7. CONJUNTOS DENSOS, FIONTEIIZOS Y NADA-DENSOS Se dice que un conjunto Á es un espacio m~trioo (E, d) es denso ai A=E. El conjunto E es denso trivialmente; es, por cierto, el único conjunto cerrado y denso, ya que si Á fuese denso y cerrado, entonces .Á - A - E. Pero existen subconjuntos prop.i01 que 100 densos; por ejemplo, el conjunto Q de loa racionales en la recta real es denso y constituye el ejemplo clá.aico. Asimismo, el conjunto de los irracionales es tambim denso en R .. Como aplicación directa del Teorema 2 de 2.4, podemos afinnar que las. tres proposiciones siguientes aon equivalentes: l. Á es denso. 2. y x EE:d(x, Á) -O. 3. Sn.d=Ft/J, para todo conjunto abierto y no vacío S. Conaecuencia de .la aimple observación de que todo punto del espacio es de adheren- cia de Á. El lema siguiente proporciona ejemplos generales de conjuntos densos en cualquier espacio métrico y además nos terá útil más adelante. ÚlmG l. Si Á es un conjunto cualquiera en (E,d ), (E-A) UA, (E-A) UA son densos. D ENOSTilA.CIÓN. Aplicando el Teorema 6 de 2.4: E ... (E-A) UAC(E-A) UA .. (E-A) U.d. Aplicando los Teoremas 7 y 6 de. 2.4: E- ~E-A) UA- (E-'A) UAC(B-A) uJ- ... (E-.d) u :A. CON'.J"UI'WW DBNSOS, FRONT~ Y NADA.•DBNS05 59 Decimos que el conjunto ..4 del espacio métriéo (E, ti) es fronterizo, ti su complemento E- ..4 es denso. Decimos que ..4 es 11ado-denso, ai el complemento de~ clausura E-.A es denso. Intuitivamexrte, podemos imaginamos Jos fronterizos y nada-densos como los conjuntos "más fLu:os'' del espacio, aqueDos que '"carecen de espesor", las "láminas" y ••alamlJre!" _ Veremos en· seguida que 1e caracterizan por tener UD interior vacío. Bn amtraste, los conjuntos abiertos pueden vene como fos gaminamrnte "gordas": cada uno de IUS·puntol es centro de una esfera abierta que queda. m!J:ramente dentro del conjunto P.roc:edemos a llitar a1«unas propiedades de conjuntos fronterizos y nada- densos en un espacio cnalquiera (E, d) que se derivan inmediatamente de sur definiciones: Pl) .p es (ronterizo y nada-denso. P:a) E no es fronterizo ni nada-denso. Pa) A es nada-denso ( ) .A es íronte.rizo. P.) ..4 es cerrado y fronterizo ) A es nada-denso. P1 ) ..4 es nada-denso ) ..4 es fronterizo. tEn efecto: A cA implica E-.4.CE-..4, de donde ~~ E = E-AcE-.A, o sea E-..4 = E. Pe) ..4 es fr.11Dterizo ( ) A - +· En efecto.: aplicando el Teorema 7 de 2.4, ..4 fronterizo equivale a lf= E-..4 = E- A, lo cual a: equivalente a que A ... .p. P,) ..4 es abierto y fraDterizo
Compartir