1 Álgebra - CARLOS DANIEL VILLAVICENCIO PESANTEZ

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Álgebra
NÚMEROS COMPLEJOS 
Y ECUACIONES
NÚMEROS COMPLEJOS ℂ
𝒛 = 𝒙 + 𝒚 𝒊
Forma binómica
𝑥 = 0 ∧ 𝑦 ≠ 0
•complejo imaginario 
puro si:
𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0
•complejo nulo si:
𝑖2 = −1
•conjugado de 𝑧
ҧ𝑧 = x − y𝑖
•opuesto de 𝑧
z∗ = −x − yi
Forma trigonométrica
𝑧 = 𝑥; 𝑦
𝐸𝑗𝑒 𝑅𝑒𝑎𝑙
𝐸𝑗𝑒 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑖𝑛𝑎𝑟𝑖𝑜
𝑥
𝑦
Polo
Afijo
Forma de par ordenado
𝑧 = 𝑥; 𝑦 𝑧 = 𝑧 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2
•Módulo de 𝑧
𝐴𝑟𝑔 𝑧 = 𝜃
•Argumento de 𝑧
Forma 𝑐𝑖𝑠:
𝑧 = 𝑧 𝑐𝑖𝑠 𝜃
Forma exponencial:
𝑧 = 𝑧 𝑒𝜃𝑖
𝑥 = 𝑅𝑒 𝑧 𝑦 = I𝑚 𝑧
𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑦 = 0
•complejo real si:
𝜃
Obs.:
𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑒𝜃𝑖
𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑐𝑖𝑠𝜃
𝑎 + 𝑏𝑖
𝑚 + 𝑛𝑖 𝑚2 + 𝑛2
𝑎𝑚
𝑚2 + 𝑛2
= + 𝑖
𝑏𝑚
REGLA
+𝑏𝑛 −𝑎𝑛
TEOREMAS
𝑧 = 𝑤 =𝑧 Cis(𝜃) 𝑤 Cis(𝛼)
𝑧. 𝑤 = 𝑧 . 𝑤 𝐶𝑖𝑠 𝜃 + 𝛼
𝑧
𝑤
=
𝑧
𝑤
. 𝐶𝑖𝑠 𝜃 − 𝛼
𝑧𝑛 = 𝑧 𝑛𝐶𝑖𝑠(𝑛𝜃)
𝑛 𝑧 =
𝑛
𝑧 cis
𝜃 + 2𝑘𝜋
𝑛
donde 𝑘 = 0, 1, 2, … , 𝑛 − 1.
1) 𝑧 ≥ 0 ∀𝑧 ∈ ℂ
2) 𝑧 = ҧ𝑧 = 𝑧∗
3) 𝑧 2 = 𝑧. ҧ𝑧
4) 𝑧. 𝑤 = 𝑧 𝑤
5)
𝑧
𝑤
=
𝑧
𝑤
6) 𝑧𝑛 = 𝑧 𝑛
7) 𝑛 𝑧 =
𝑛
𝑧
PROPIEDADES
2) Ӗ𝑧 = 𝑧
3) 𝑧 + ҧ𝑧 = 2𝑅𝑒 𝑧
5) 𝑧 + 𝑤 = ҧ𝑧 + ഥ𝑤
6) 𝑧 − 𝑤 = ҧ𝑧 − ഥ𝑤
7) 𝑧. 𝑤 = ҧ𝑧. ഥ𝑤
8)
𝑧
𝑤
=
ҧ𝑧
ഥ𝑤
9) 𝑧𝑛 = ҧ𝑧𝑛
10) 𝑛 𝑧 =
𝑛
ҧ𝑧
1) 𝑆𝑖 𝑧 = ҧ𝑧 ↔ 𝑧 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑗𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙
4) 𝑧 − ҧ𝑧 = 2𝐼𝑚 𝑧 i
PROPIEDADES:
1) 𝑎𝑟𝑔 𝑧. 𝑤 = 𝑎𝑟𝑔 𝑧 + 𝑎𝑟𝑔(𝑤)
2) 𝑎𝑟𝑔
𝑧
𝑤
= 𝑎𝑟𝑔 𝑧 − 𝑎𝑟𝑔(𝑤)
3) 𝑎𝑟𝑔 𝑧𝑛 = 𝑛. 𝑎𝑟𝑔 𝑧
ECUACIÓN POLINOMIAL
𝑎0𝑥
𝑛 + 𝑎1𝑥
𝑛−1 +⋯+ 𝑎𝑛−1𝑥 + 𝑎𝑛 = 0 𝑎0 ≠ 0
donde:
𝑎0; 𝑎1; … ; 𝑎𝑛son los coeficientes
𝑥 es la incógnita 
RAÍZ DE UN POLINOMIO
𝛼 es raíz del polinomio P 𝑥 ↔ 𝑃 𝛼 = 0
Corolario:
Todo polinomio de grado 𝑛 ≥ 1, tiene
exactamente 𝑛 raíces (contadas con la
multiplicidad).
• 𝑃 𝑥 = 𝑥 − 8 𝑥 − 5
2 𝑥 + 1 3
Ejemplos
Sus raíces son: , 5 , 5 , −1 , −1 ,−18
ECUACIÓN CUADRÁTICA
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 𝑎 ≠ 0
𝑥1 ∙ 𝑥2𝑥1+𝑥2 = −
𝑏
𝑎
=
𝑐
𝑎
Se cumple:
Las dos raíces de la ecuación 
𝑥1 =
−𝑏 + ∆
2𝑎
; 𝑥2 =
−𝑏 − ∆
2𝑎
Donde: ∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 y es llamado discriminante
Considerando los coeficientes reales 
∆> 0
∆= 0
∆< 0
Raíces reales diferentes
Raíces reales e iguales (única solución )
Raíces imaginarias conjugadas
ECUACIÓN POLINOMIAL DE GRADO SUPERIOR
RESOLUCIÓN (para problemas tipo)
Su forma general es:
𝑎0𝑥
𝑛 + 𝑎1𝑥
𝑛−1 +⋯+ 𝑎𝑛−1𝑥 + 𝑎𝑛 = 0 𝑎0 ≠ 0
• Tiene 𝑚 soluciones 1 ≤ 𝑚 ≤ 𝑛 .
i. Darle su forma general.
iv. Indique el conjunto solución.
II. Factorice.
iii. Iguale a cero cada factor para encontrar las raíces.
TEOREMA DE CARDANO-VIETTE
Si 𝑥1; 𝑥2; 𝑥3 son las raíces de la ecuación
𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 = 0
Se cumple que:
𝑆1:
𝑆2:
𝑆3:
− −++
; 𝑎 ≠ 0
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = −
𝑏
𝑎
𝑥1𝑥2 + 𝑥2𝑥3 + 𝑥3𝑥1 =
𝑐
𝑎
𝑥1. 𝑥2. 𝑥3 = −
𝑑
𝑎
TEOREMAS DE PARIDAD DE RAÍCES
1) Sea una ecuación polinomial de coeficientes
racionales, se cumple:
Donde 𝑎, 𝑏 ∈ ℚ y 𝑏 ∈ 𝐼
Donde 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ; 𝑏 ≠ 0 y 𝑖 = −1
𝑎 + 𝑏 es raíz ↔ 𝑎 − 𝑏 es raíz 
2) Sea una ecuación polinomial de coeficientes
reales, se cumple:
𝑎 + 𝑏𝑖 es raíz ↔ 𝑎 − 𝑏𝑖 es raíz 
¡Gracias!