6 Álgebra - CARLOS DANIEL VILLAVICENCIO PESANTEZ

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Álgebra
Matrices y
determinantes
MATRICES
Una matriz A que tiene m filas y n columnas se
dice que es de orden m x n , y se denota por:
𝐴 =
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
⋯
𝑎1𝑛
𝑎2𝑛
𝑎3𝑛
⋮ ⋱ ⋮
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 𝑎𝑚3 ⋯ 𝑎𝑚𝑛
Notación: 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 𝑚×𝑛
Adición:
Sean las matrices A = 𝑎𝑖𝑗 𝑚×𝑛 𝑦
B = 𝑏𝑖𝑗 𝑚×𝑛
𝐴 + 𝐵 = (𝑎𝑖𝑗+𝑏𝑖𝑗) ; ∀ 𝑖, 𝑗𝑚 × 𝑛
OPERACIONES CON MATRICES
Multiplicación de un escalar por una matriz:
Sea la matriz A = 𝑎𝑖𝑗 𝑚×𝑛 y 𝑘 un número real
𝑘. 𝐴 = 𝑘. 𝑎𝑖𝑗 𝑚×𝑛
Multiplicación de matrices:
Sean las matrices A = 𝑎𝑖𝑗 𝑚×𝑛 y B = 𝑏𝑖𝑗 𝑛×𝑝
𝐴𝐵 = 𝑐𝑖𝑘 𝑚×𝑝 tal que 𝑐𝑖𝑘 = ෍
𝑗=1
𝑛
𝑎𝑖𝑗𝑏𝑗𝑘
Matriz idempotente
𝐴2 = 𝐴
MATRICES ESPECIALES
Matriz involutiva
𝐴2 = 𝐼
Matriz nilpotente
La matriz 𝐴 es nilpotente
si existe 𝑚 ∈ ℤ+ − 1 tal
que 𝐴𝑚 = Θ.
Matriz simétrica
𝐴𝑇 = 𝐴
Matriz antisimétrica
𝐴𝑇 = −𝐴
𝐷𝑒𝑡: ℝ𝑛×𝑛 ℝ
𝐴 𝐴
DETERMINANTES
1)
Propiedades del determinante
El determinante de una matriz triangular es
igual al producto de los elementos de su
diagonal principal.
2) Si a una fila (o columna) se le suma (o
resta) un múltiplo de otra fila (o columna),
su determinante no se altera.
3) Si una matriz tiene una fila nula (o columna
nula), su determinante es cero
4) Si una matriz tiene dos filas (o columnas)
iguales, su determinante es cero.
5) Si dos filas (o columnas) son
proporcionales, su determinante es cero.
6) Si se intercambian dos filas (o columnas), el
determinante cambia de signo.
7) Si los elementos de una fila (o columna) se
multiplican por un escalar, su determinante
queda multiplicado por dicho escalar.
8) 𝛼. 𝐴 = 𝛼𝑛 𝐴 𝑛 = 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝐴
9) 𝐴𝑇 𝐴= 11) 𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐴 . 𝐵
12) 𝐴𝑛 = 𝐴 𝑛10) 𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐵 ∙ 𝐴
Matriz no singular:
Sea A una matriz cuadrada, decimos que A es una 
singular si:
𝐴 ≠ 0
MATRIZ INVERSA
Matriz inversa
Sea 𝐴 ∈ ℝ𝑛×𝑛 y es no singular entonces existe una 
matriz B ∈ ℝ𝑛×𝑛, tal que:
𝐴. 𝐵 = 𝐵. 𝐴 = 𝐼
B es llamada la matriz inversa de A y la
denotaremos por 𝐵 = 𝐴−1
Teorema 𝐴−1 =
1
𝐴
𝐴𝑑𝑗(𝐴)
𝐴. 𝐴−1 = 𝐴−1. 𝐴 = 𝐼
Matriz inversa de una matriz de orden 2
𝐴 =
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
→ 𝐴−1 =
1
𝐴
𝑑 −𝑏
−𝑐 𝑎
Si 𝐴 y 𝐵 son matrices de orden 𝑛 no singulares,
𝛼 ∈ ℝ − 0 , luego:
1) 𝐴−1 −1 = 𝐴
2) 𝐴𝑇 −1 = 𝐴−1 𝑇
3) 𝐴−1 =
1
𝐴
4) 𝐴𝐵 −1 = 𝐵−1. 𝐴−1
5) 𝛼𝐴 −1 =
1
𝛼
. 𝐴−1
9) 𝐴𝑑𝑗 𝐴𝑇 = 𝐴𝑑𝑗 𝐴
𝑇
10) 𝐴𝑑𝑗(𝐴) = 𝐴 𝑛−1
6) 𝐴𝑑𝑗 𝐴 = 𝐴 . 𝐴−1
Propiedades
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