Notas 06 Matrices y determinantes - Axel Sánchez Nazario

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MATRICES Y DETERMINANTES 
1 
 
Ya en ocasiones anteriores, en los cursos de geometría, se ha trabajado con vectores, en dos o tres dimensiones. 
 
�̅� = ( 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 ) 
 
 
En este curso, vamos a extender la idea de vector a un arreglo ordenado de n componentes. Podremos escribirlo 
de forma horizontal o de forma vertical, y recibirá el nombre de renglón o columna, respectivamente. 
 
Vector renglón 
 
[ 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , ⋯ , 𝑥𝑛 ] 
Vector columna 
[
 
 
 
 
𝑥1
𝑥2
𝑥3
⋮
𝑥𝑛
 
]
 
 
 
 
 
 
En cualquiera de los dos casos, 𝑥1 se le denomina primer componente, 𝑥2 segunda componente, y así 
sucesivamente. En forma general, el término 𝑥𝑛 se le denomina la n-ésima componente del vector. 
 
 
El número de componentes se conoce como la dimensión del vector. Así 
 
Dimensión 2 
 
[ 3 , 2 ] 
Dimensión 3 
 
[ 1 , −3 , 0 ] 
Dimensión 5 
 
[ −1 , 4 , 0 , 2 , 1 ] 
Dimensión 4 
 
[ 4 , 2 , 8 , 1 ] 
 
 
Si un vector tiene todas sus componentes con valor 0, se le denomina Vector cero. 
 
 
Las componentes de un vector pueden ser números reales o números complejos. 
 
 
Cuando trabajamos con muchos elementos, conviene acomodarlos en un arreglo en forma de caja, al que se le 
llama matriz. 
 
 
Una matriz 𝐴 de 𝑚 × 𝑛 es un arreglo rectangular de 𝑚 × 𝑛 elementos, dispuestos en m renglones y n columnas 
 
𝐴 =
[
 
 
 
 
 
 
𝑎11 𝑎12 ⋯
𝑎21 𝑎22 ⋯
⋮ ⋮ ⋯
𝑎1𝑗 ⋯ 𝑎1𝑛
𝑎2𝑗 ⋯ 𝑎2𝑛
⋮ ⋯ ⋮
𝑎𝑖1 𝑎𝑖2 ⋯
⋮ ⋮ ⋯
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 ⋯
𝑎𝑖𝑗 ⋯ 𝑎𝑖𝑛
⋮ ⋯ ⋮
𝑎𝑚𝑗 ⋯ 𝑎𝑚𝑛
 
]
 
 
 
 
 
 
La dimensión de la matriz nos la da el número total de 
elementos 𝑚 × 𝑛 
 
El primer subíndice nos indica el número de renglón, 
mientras que el segundo subíndice nos indica el 
número de columna. 
 
 
MATRICES Y DETERMINANTES 
2 
 
Por lo tanto, cada elemento tiene un solo lugar donde puede estar, por eso decimos que una matriz es un arreglo 
ordenado. 
 
 
La componente 𝑎𝑖𝑗 es el elemento que ocupa el espacio localizado en el renglón i y la columna j. 
 
 
De forma simplificada, la matriz A se escribe 𝐴 = [ 𝑎𝑖𝑗 ] o simplemente A. 
 
 
* Ejercicio. Determina las componentes 𝑎12 , 𝑎31 , 𝑎22 para cada una de las siguientes matrices 
 
𝐴 = [ 
1 6 4
2 −3 5
7 4 0
 ] 𝐴 = [ 
3 4 5
2 6 7
 ] 
 
 
 
Si en una matriz el número de renglones es igual al número de columnas, se le llama Matriz Cuadrada 
 
𝐴 = [ 
2 1
3 4
 ] 𝐴 = [ 
1 2 5
2 2 −3
3 −1 0
 ] 
 
 
 
Si en una matriz el número de renglones es diferente al número de columnas, se le llama Matriz Rectangular 
 
𝐴 = [ 
2 3 1
0 −2 5
 ] 𝐴 = [ 
3 1
2 −5
0 2
 ] 
 
 
 
Una matriz con todos sus elementos iguales a cero se denomina Matriz Cero 
 
0 = [ 
0 0
0 0
 ] 0 = [ 
0 0 0
0 0 0
 ] 0 = [ 
0 0
0 0
0 0
 ] 0 = [ 
0 0 0
0 0 0
0 0 0
 ] 
 
 
MATRICES Y DETERMINANTES 
3 
 
Si en una matriz cuadrada se cumple que 𝑎𝑖𝑗 = 1 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑖 = 𝑗 mientras que 𝑎𝑖𝑗 = 0 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑖 ≠ 𝑗, decimos que 
se trata de una Matriz Identidad 
 
𝐼 = [ 
1 0
0 1
 ] 𝐼 = [ 
1 0 0
0 1 0
0 0 1
 ] 𝐼 = [ 
1 0
0 1
0 0
0 0
0 0
0 0
1 0
0 1
 ] 
 
 
Como se observa, todos los elementos de su diagonal principal son 1, mientras que el resto son ceros. 
 
 
 
Una Matriz Diagonal es una matriz cuadrada en la cual 𝑎𝑖𝑗 = 0 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑖 ≠ 𝑗 
 
𝐷 = [ 
4 0
0 −2
 ] 𝐷 = [ 
3 0 0
0 0 0
0 0 2
 ] 𝐷 = [ 
5 0
0 1
0 0
0 0
0 0
0 0
2 0
0 7
 ] 
 
 
Como se observa, todos los elementos fuera de su diagonal principal son 0 
 
 
 
Una Matriz Triangular es una matriz cuadrada en la cual todos sus elementos por encima de la diagonal principal, 
o por debajo de ella, son ceros. 
 
Matriz Triangular Superior 
(Upper Triangular Matrix) 
 
𝑈 = [ 
5 3
0 1
4 2
0 6
0 0
0 0
2 2
0 7
 ] 
Matriz Triangular Inferior 
(Lower Triangular Matrix) 
 
𝐿 = [ 
0 0
2 1
0 0
0 0
3 2
9 1
2 0
0 7
 ] 
 
 
Como se puede ver, los elementos restantes forman un triángulo, que podrá ser superior (𝑈) o inferior (𝐿). El 
nombre que usamos para estas matrices corresponde con sus siglas en inglés, Upper para superior y Lower para 
inferior. 
 
MATRICES Y DETERMINANTES 
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OPERACIONES CON MATRICES 
 
 
IGUALDAD. Dos matrices 𝐴 = [ 𝑎𝑖𝑗 ] y 𝐵 = [ 𝑏𝑖𝑗 ] son iguales cuando tienen los mismos elementos y sus 
componentes ocupan las mismas posiciones. 
 
𝐴 ≠ 𝐵 
 
𝐴 = [ 
−2 0
 1 3
 ] 𝐵 = [ 
0 −2
3 1
 ] 
𝐴 ≠ 𝐵 
 
𝐴 = [ 
3 2
2 5
 ] 𝐵 = [ 
3 2 2
2 5 1
 ] 
 
 
 
𝐴 = 𝐵 
 
𝐴 = [ 
3 −2
1 4
 ] 𝐵 = [ 
3 −2
1 4
 ] 
𝐴 = 𝐵 
 
𝐴 = [ 
5 −1
1 4
3 7
 ] 𝐵 = [ 
5 −1
1 4
3 7
 ] 
 
 
 
SUMA DE MATRICES. Para dos matrices 𝐴 = [ 𝑎𝑖𝑗 ] y 𝐵 = [ 𝑏𝑖𝑗 ] de orden 𝑚 × 𝑛, la matriz suma será la matriz 
de 𝑚 × 𝑛 que se obtiene de sumar, término a término, cada una de sus componentes, conservando la posición en 
la que se encuentran. 
 
𝐴 + 𝐵 = [ 𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗 ] 
 
 
 
𝐴 = [ 
2 4
1 3
−4 3
−6 7
 2 1
−5 5
 ] 𝐵 = [ 
 0 1
 2 3
−2 1
6 −2
4 3
4 4
 ] 𝐴 + 𝐵 = [ 
 2 5
 3 6
−6 4
 0 5
 6 4
−1 9
 ] 
 
 
Para las matrices A, B, C de la misma dimensión, se cumplen las siguientes propiedades: 
 
i) Cerradura: la matriz suma es de la misma dimensión 𝐴 + 𝐵 = 𝐶 
ii) Elemento Neutro: La matriz 0 se puede sumar con cualquier matriz sin cambiarla 𝐴 + 0 = 𝐴 
iii) Conmutativa: El orden de los sumandos no altera la suma 𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴 
iv) Asociativa: Las matrices se pueden agrupar de cualquier manera y el resultado no cambia 
 
𝐴 + (𝐵 + 𝐶) = (𝐴 + 𝐵) + 𝐶 
 
MATRICES Y DETERMINANTES 
5 
 
PRODUCTO POR UN ESCALAR. Para una matriz 𝐴 = [ 𝑎𝑖𝑗 ] de orden 𝑚 × 𝑛, y un escalar 𝜆, el producto de 
la matriz por el escalar consiste en multiplicar a todos los componentes de la matriz por dicho escalar. 
 
 
𝜆 𝐴 = 𝜆 [ 𝑎𝑖𝑗 ] = [ 𝜆 𝑎𝑖𝑗 ] 
 
 
 
𝐴 = [ 
 2 4
 1 3
−4 3
−6 7
 2 1
−5 5
 ] 3𝐴 = 3 [ 
 2 4
 1 3
−4 3
−6 7
 2 1
−5 5
 ] 3𝐴 = [ 
 6 12
 3 9
−12 9
−18 21
 6 3
−15 15
 ] 
 
 
 
Para las matrices A, B de la misma dimensión, y 𝜆 un escalar, se cumplen las siguientes propiedades: 
 
i) Producto por cero: 0𝐴 = 0 donde 0 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑐𝑒𝑟𝑜 
ii) Producto por 1: 1𝐴 = 𝐴 
iii) Distributiva: 𝜆 (𝐴 + 𝐵) = 𝜆 𝐴 + 𝜆 𝐵 
iv) Distributiva sobre el escalar: ( 𝜆1 + 𝜆2 ) 𝐴 = 𝜆1 𝐴 + 𝜆2 𝐴 
 
 
 
* Ejercicio. Con las matrices siguientes realiza las operaciones indicadas: 
 
 
𝐴 = [ 
 2 4
 1 3
−4 3
−6 7
 2 1
−5 5
 ] 𝐵 = [ 
 0 1
 2 3
−2 1
6 −2
4 3
4 4
 ] 𝐶 = [ 
3 6
3 6
5 −2
 0 0
−1 2
 4 1
 ] 
 
 
 
2𝐴 + 3𝐵 𝐴 + 3𝐶 − 2𝐵 3𝐴 + 𝐶 − 5𝐵 3𝐵 − 𝐶 
 
 
MATRICES Y DETERMINANTES 
6 
 
PRODUCTO DE MATRICES. Para dos matrices 𝐴 = [ 𝑎𝑖𝑗 ] de orden 𝑚 × 𝑛 y 𝐵 = [ 𝑏𝑖𝑗 ] de orden 𝑛 × 𝑝, la 
matriz producto 𝐴𝐵 será la matriz 𝐶 = [ 𝑐𝑖𝑗 ] de orden 𝑚 × 𝑝 que se obtiene con la siguiente operación: 
 
 
𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖1𝑏1𝑗 + 𝑎𝑖2𝑏2𝑗 + 𝑎𝑖3𝑏3𝑗 + ⋯+ 𝑎𝑖𝑛𝑏𝑛𝑗 
 
 
 
Es decir, cada término del producto es el resultado de la suma de los productos parciales de los términos de cada 
renglón de A por los términos de cada columna de B 
 
 
Revisemos un ejemplo sencillo. 
 
𝐴 = [ 
 2 3
−1 1
 ] 𝐵 = [ 
4 0
1 −1
 ] 𝐶 = 𝐴𝐵 = [ 
11 −3
−3 −1
 ] 
 
 
El término 𝑐11 = (2)(4) + (3)(1) = 11 es resultado de multiplicar el primer renglón de A con la primera 
columna de B. 
 
 
El término 𝑐12 = (2)(0) + (3)(−1) = −3 es resultado de multiplicar al primer renglón de A con la segunda 
columna de B. 
 
 
El término 𝑐21 = (−1)(4) + (1)(1) = −3 es resultado de multiplicar al segundo renglón de A con la primera 
columna de B. 
 
 
El término 𝑐22 = (−1)(0) + (1)(−1) = −1 es resultado de multiplicar al segundo renglón de A con la segunda 
columna de B. 
 
 
De lo anterior, se desprende un hecho importante: la cantidad de columnas deA debe ser la misma cantidad de 
renglones que B. Esto se conoce como compatibilidad del producto de matrices. 
 
 
La matriz producto AB tendrá la misma cantidad de renglones de A y la misma cantidad de columnas de B. 
 
 
Cuando trabajamos matrices cuadradas, esto no es tan aparente. Pero al trabajar con matrices rectangulares, se 
puede ver la diferencia. 
 
 
MATRICES Y DETERMINANTES 
7 
 
Revisemos los siguientes productos: 
 
𝐴 = [ 
5 −1
1 4
3 7
 ] 𝐵 = [ 
3 2 2
2 5 1
 ] 
 
 
𝐴𝐵 = [ 
13 5 9
11 22 6
23 41 13
 ] 𝐵𝐴 = [ 
23 19
18 25
 ] 
 
 
En nuestro ejemplo, la matriz A es de 3 x 2, mientras que la matriz B es de 2 x 3, lo que las hace compatibles para 
la multiplicación. Además, la matriz resultante AB, es de orden 3 x 3. 
 
 
Para el producto BA, tenemos que la matriz B de 2 x 3 seguida de la matriz A de 3 x 2, las hace compatibles para 
la multiplicación. Sin embargo, la matriz BA es de orden 2 x 2. 
 
 
De nuestro ejemplo, podemos concluir tres cosas importantes: 
 
 
1) La multiplicación no siempre será conmutativa, aun tratándose de matrices cuadradas. 
 
 
2) Para realizar una multiplicación, siempre debemos verificar su compatibilidad primero. 
 
 
3) La matriz producto siempre tendrá por tamaño, la cantidad de renglones de la primera matriz por la 
cantidad de columnas de la segunda matriz. 
 
 
* Ejercicio. Para cada una de las siguientes parejas de matrices, realiza el producto AB y BA. 
 
 
𝐴 = [ 
2 0 −3
4 1 2
 ] 𝐵 = [ 
 1 6
 2 3
−2 1
−2 4
 4 1
 4 0
 ] 𝐴 = [ 
 2 4 −6
 1 3 2
−4 3 −5
 ] 𝐵 = [ 
 1 6 −2
 2 3 4
−2 1 4
 ] 
 
 
MATRICES Y DETERMINANTES 
8 
 
PRODUCTO DE MATRICES CON LA MATRIZ IDENTIDAD 
 
La matriz Identidad tiene la característica que al multiplicarla por cualquier otra matriz cuadrada del mismo orden, 
dicha matriz no cambia ni de orden ni de valores. 
 
𝐼𝐴 = 𝐴𝐼 = 𝐴 [ 
1 0
0 1
 ] [ 
3 −2
1 4
 ] = [ 
3 −2
1 4
 ] 
 
 
 
PROPIEDAD ASOCIATIVA DEL PRODUCTO DE MATRICES 
 
Si se tienen diferentes matrices A, B, C, D, etc. de órdenes no necesariamente iguales, pero compatibles para la 
multiplicación, entonces es posible aplicar la propiedad asociativa, es decir, ir agrupando en la forma más 
conveniente para realizar los productos parciales, pero el producto final siempre será el mismo. 
 
 
𝐴𝐵𝐶𝐷 = 𝐴(𝐵(𝐶𝐷)) = ((𝐴𝐵)𝐶)𝐷 = 𝐴(𝐵𝐶)𝐷 = (𝐴𝐵)(𝐶𝐷) 
 
 
 
PROPIEDAD DISTRIBUTIVA DEL PRODUCTO DE MATRICES 
 
Si se tienen diferentes matrices A, B, C de órdenes no necesariamente iguales, pero compatibles para la suma y 
la multiplicación, entonces es posible aplicar la propiedad distributiva del producto sobre la suma. 
 
Distributiva por la izquierda 
 
𝐴 (𝐵 + 𝐶) = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶 
Distributiva por la derecha 
 
(𝐴 + 𝐵) 𝐶 = 𝐴𝐶 + 𝐵𝐶 
 
 
 
Con las operaciones entre matrices y sus propiedades, podemos resolver ecuaciones matriciales. 
 
 
Observemos el siguiente ejercicio. Se trata de obtener la matriz Y que satisface la ecuación matricial 𝑋 𝑌 𝑍 = 𝑊 
 
𝑋 = [ 
−2 0
 0 2
 6 0
 ] 𝑍 = [ 
0 3 2
4 0 0
 ] 𝑊 = [ 
 16 −12 −8
 24 6 4
−48 36 24
 ] 
 
 
MATRICES Y DETERMINANTES 
9 
 
Observamos que la matriz X es de 3 × 2, la matriz Z es de 2 × 3, y la matriz W es de 3 × 3 
 
 
Si acomodamos los órdenes de cada una para verificar la compatibilidad de las multiplicaciones, tenemos 
 
 
 𝑋 𝑌 𝑍 = 𝑊 
(3 × 2)(𝑛 × 𝑚)(2 × 3) = (3 × 3) 
 
 
De donde se puede deducir que 𝑛 = 2 y 𝑚 = 2, por lo tanto la matriz Y es de orden 2 × 2 
 
 
Entonces, la matriz Y es de la forma 
𝑌 = [ 
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
 ] 
 
 
Usando a esta matriz de incógnitas, podemos realizar el producto 𝑋 𝑌 𝑍 y obtendremos una matriz la cual deberá 
ser igual a la matriz W 
 
 
Al igualar ambas matrices, tendremos un sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas, que al resolverlo nos dará los 
valores correspondientes para 𝑎 , 𝑏 , 𝑐 , 𝑑 
 
 
 
POTENCIA DE MATRICES. Se trata de multiplicar 𝑛 veces una matriz A por ella misma. 
 
 
𝐴4 = [ 
1 2
3 2
 ]
4
= [ 
1 2
3 2
 ] [ 
1 2
3 2
 ] [ 
1 2
3 2
 ] [ 
1 2
3 2
 ] 
 
 
Si aplicamos la multiplicación y la propiedad asociativa de matrices 
 
 
𝐴4 = [ 
1 2
3 2
 ]
4
= [ 
7 6
9 10
 ] [ 
7 6
9 10
 ] = [ 
103 102
153 154
 ] 
 
MATRICES Y DETERMINANTES 
10 
 
MATRIZ INVERSA 
 
 
Supongamos que dos matrices cuadradas de 𝑛 × 𝑛 cumplen con la multiplicación 
 
 
𝐴𝐵 = 𝐵𝐴 = 𝐼 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐼 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 
 
 
Entonces, la matriz B se llama la matriz inversa de A y se escribe 𝐴−1 
 
 
𝐴 𝐴−1 = 𝐴−1 𝐴 = 𝐼 
 
 
Cuando la matriz A admite inversa, se dice que es invertible y se denomina No singular. 
 
 
Si una matriz es invertible, entonces su matriz inversa es única. 
 
 
Una matriz cuadrada que no es invertible se le denomina Singular. 
 
 
 
* Teorema: Si A y B son dos matrices invertibles de 𝑛 × 𝑛, entonces AB es invertible y su inversa es igual a 
 
 
( 𝐴𝐵 )−1 = 𝐵−1 𝐴−1 
 
 
 
La matriz inversa es una matriz muy útil porque permite resolver muchas ecuaciones matriciales de forma más 
simple. 
 
 
𝐴 𝑋 = 𝐵 ⟹ 𝑋 = 𝐴−1 𝐵 𝑋 𝑌 𝑍 = 𝑊 ⟹ 𝑌 = 𝑋−1 𝑊 𝑍−1 
 
 
Esta es la esencia de lo que conocemos como álgebra matricial. 
 
MATRICES Y DETERMINANTES 
11 
 
¿Cómo se determina la inversa de una matriz? Existen muchos métodos desarrollados a lo largo de la historia. 
Aquí empezaremos con el siguiente ejemplo. 
 
 
Se requiere la matriz inversa para la matriz 
𝐴 = [ 
 2 −3
−4 5
 ] 
 
 
Si la inversa existe, tendrá la forma 
𝐴−1 = [ 
𝑥 𝑦
𝑧 𝑤
 ] 
 
 
Aplicando la definición de matriz inversa, se debe cumplir con 
 
 
𝐴 𝐴−1 = [ 
 2 −3
−4 5
 ] [ 
𝑥 𝑦
𝑧 𝑤
 ] = [ 
2𝑥 − 3𝑧 2𝑦 − 3𝑤
−4𝑥 + 5𝑧 −4𝑦 + 5𝑤
 ] = [ 
1 0
0 1
 ] = 𝐼 
 
 
Por la igualdad de matrices se debe cumplir con las siguientes ecuaciones lineales 
 
 2𝑥 − 3𝑧 = 1 
−4𝑥 + 5𝑧 = 0 
 2𝑦 − 3𝑤 = 0 
−4𝑦 + 5𝑤 = 1 
 
 
Se trata de un sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas, pero se encuentran separadas en pares, por lo que tenemos 
dos sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas cada uno. 
 
 
Como las matrices de coeficientes son iguales, se puede realizar las transformaciones elementales sobre las dos 
matrices aumentadas al mismo tiempo, considerando la nueva matriz aumentada 
 
[ 
 2 −3
−4 5
 |
1 0
0 1
 ] 
 
 
Al realizar el método de Gauss-Jordan, el sistema lucirá así 
 
[ 
1 0
0 1
 |
𝑥 𝑦
𝑧 𝑤
 ] 
 
MATRICES Y DETERMINANTES 
12 
 
Observemos que a la izquierda de esta última matriz aumentada, se encuentra la matriz identidad, mientras que a 
la derecha se encontrará la matriz inversa. 
 
 
Vamos a realizar el método en nuestro ejemplo 
 
 
[ 
 2 −3
−4 5
 |
1 0
0 1
 ] → 𝑅2 = 2 ∙ 𝑅1 + 𝑅2 → [ 
2 −3
0 −1
 |
1 0
2 1
 ] 
 
 
[ 
2 −3
0 −1
 |
1 0
2 1
 ] → 𝑅1 = −3 ∙ 𝑅2 + 𝑅1 → [ 
2 0
0 −1
 |
−5 −3
 2 1
 ] 
 
 
[ 
2 0
0 −1
 |
−5 −3
 2 1
 ] →
𝑅1 = 𝑅1 ÷ 2
𝑅2 = −1 ∙ 𝑅2
→ [ 
1 0
0 1
 | −
5
2
−
3
2
−2 −1
 ] 
 
La matriz inversa es 
𝐴−1 = [ −
5
2
−
3
2
−2 −1
 ] = −
1
2
 [ 
5 3
4 2
 ] 
 
 
Se puede comprobar este resultado haciendo el producto 𝐴 𝐴−1 = 𝐴−1 𝐴 = 𝐼 
 
 
 
MÉTODO DE TRANSFORMACIONES ELEMENTALES PARA OBTENER LA MATRIZ INVERSA 
 
 
1) Se escribe la matriz aumentada [ 𝐴 | 𝐼 ] 
 
 
2) Se utilizan las transformaciones elementales con el método de Gauss-Jordan. 
 
 
3) Si la matriz A es invertible, llegaremos a [ 𝐼 | 𝐴−1 ] de donde se tiene la matriz inversa. 
 
 
4) Si A no es invertible, llegaremos a una matriz reducida con uno o varios renglones de ceros a la izquierda 
de la barra vertical. 
 
 
 
 
MATRICES Y DETERMINANTES 
13 
 
* Ejercicio. Obtener la matriz inversa para 
𝐴 = [ 
2 4 6
4 56
3 1 −2
 ] 
 
 
 
RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 
 
 
Un sistema de ecuaciones lineales se puede escribir como una ecuación matricial 𝐴 𝑋 = 𝐵 
 
2𝑥1 + 4𝑥2 + 6𝑥3 = 18 
4𝑥1 + 5𝑥2 + 6𝑥3 = 24 
3𝑥1 + 𝑥2 − 2𝑥3 = 4 
𝐴 = [ 
2 4 6
4 5 6
3 1 −2
 ] 𝑋 = [ 
𝑥1
𝑥2
𝑥3
 ] 𝐵 = [ 
18
24
4
 ] 
 
 
Entonces, la solución del sistema es 
𝑋 = 𝐴−1 𝐵 
 
 
Este resultado proviene de multiplicar a la ecuación original por 𝐴−1 y aplicar las propiedades de la multiplicación 
y de la matriz inversa 
 
𝐴−1𝐴 𝑋 = 𝐴−1𝐵 → 𝐼 𝑋 = 𝐴−1𝐵 → 𝑋 = 𝐴−1𝐵 
 
 
Para nuestro ejemplo 
 
𝐴−1 =
1
6
 [ 
−16 14 −6
 26 −22 12
−11 10 −6
 ] 𝑋 = 𝐴−1 𝐵 = [ 
 4
−2
 3
 ] 
 
 
 
Lo que nos dice que la solución del sistema es: 𝑥1 = 4 ; 𝑥2 = −2 ; 𝑥3 = 3 
 
 
MATRICES Y DETERMINANTES 
14 
 
* Ejercicio. Determina la solución de los siguientes sistemas de ecuaciones expresándolos como 𝐴 𝑋 = 𝐵 
 
 
𝑥1 − 𝑥2 + 3𝑥3 = 11 
4𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 = −4 
2𝑥1 − 𝑥2 + 3𝑥3 = 10 
2𝑥1 + 4𝑥2 + 3𝑥3 = 6 
 𝑥2 − 𝑥3 = −4 
3𝑥1 + 5𝑥2 + 7𝑥3 = 7 
 𝑥1 − 3𝑥2 + 4𝑥3 = 1 
2𝑥1 − 5𝑥2 + 7𝑥3 = 2 
 − 𝑥2 + 𝑥3 = 3 
 
 
 
 
El estudio de las matrices y los sistemas de ecuaciones, dio por resultado los siguientes teoremas. 
 
 
 
Teorema 1: “Una matriz cuadrada A de orden 𝑛 × 𝑛 es invertible si y solo si, el sistema 𝐴𝑋 = 𝐵 tiene solución 
única para cada vector B de dimensión 𝑛” 
 
Si la matriz A es invertible, entonces la solución única está dada por la ecuación 𝑋 = 𝐴−1 𝐵 
 
 
 
Teorema 2: “Una matriz cuadrada A de orden 𝑛 × 𝑛 es invertible si y solo si, el determinante de A es diferente 
de cero” 
 
 
 
Teorema 3: “Una matriz diagonal es invertible si y solo si, cada uno de los elementos de la diagonal son diferentes 
de cero” 
 
Además, la matriz inversa se obtiene escribiendo el inverso multiplicativo de cada término de la diagonal. 
 
 
𝐷 = [ 
2 0 0
0 −4 0
0 0 5
 ] ⟺ 𝐷−1 =
[
 
 
 
 
1
2⁄ 0 0
0 −1 4⁄ 0
0 0 1 5⁄
 
]
 
 
 
 
 
 
Como dato adicional, el determinante de una matriz diagonal es el producto de los términos que forman la 
diagonal. 
 
det 𝐷 = 𝑑11 ∙ 𝑑22 ∙ 𝑑33 ⋯𝑑𝑛𝑛 
 
MATRICES Y DETERMINANTES 
15 
 
Ya hemos hablado de las matrices triangulares, en las cuales todos sus elementos por encima de la diagonal 
principal, o por debajo de ella, son ceros. 
 
 
Matriz Triangular Superior 
(Upper Triangular Matrix) 
 
𝑈 = [ 
5 3
0 1
4 2
0 6
0 0
0 0
2 2
0 7
 ] 
Matriz Triangular Inferior 
(Lower Triangular Matrix) 
 
𝐿 = [ 
0 0
2 1
0 0
0 0
3 2
9 1
2 0
0 7
 ] 
 
 
Ahora plantearemos algunos teoremas que se cumplen en ellas. 
 
 
Una matriz Triangular es invertible si y sólo si cada uno de los elementos de la diagonal es diferente de 0 
 
 
Los términos de la diagonal principal para la matriz triangular inversa, serán los inversos multiplicativos de los 
elementos de la diagonal de la matriz triangular original. 
 
 
La inversa de una matriz triangular superior invertible, es siempre una matriz triangular superior. 
 
 
La inversa de una matriz triangular inferior invertible, es siempre una matriz triangular inferior. 
 
 
El determinante de una matriz triangular es el producto de los términos en la diagonal. 
 
 
* Ejercicio. Si A es una matriz de 2 × 2 con elementos en ℂ, obtener la matriz L (triangular inferior) y la matriz 
U (triangular superior) tales que 𝐿𝑈 = 𝐴 
 
 
𝐿 = [ 
1 0
𝑙21 1
 ] 𝑈 = [ 
𝑢11 𝑢12
0 𝑢22
 ] 𝐴 = [ 
6 10
10 20
 ] 
 
 
MATRICES Y DETERMINANTES 
16 
 
TRAZA DE UNA MATRIZ 
 
 
Sea la matriz cuadrada A de orden 𝑛 × 𝑛. Se llama traza de A, y se escribe 𝑡𝑟 𝐴, a la suma de todos los términos 
de la diagonal de la matriz A. 
 
𝑡𝑟 𝐴 = 𝑎11 + 𝑎22 + 𝑎33 + ⋯+ 𝑎𝑛𝑛 
 
 
* Propiedades de la Traza de una matriz 
 
 
Sean las matrices cuadradas A y B de orden 𝑛 × 𝑛, y sea 𝑟 un escalar real. Se cumple que: 
 
 
1) 𝑡𝑟 ( 𝑎 + 𝑏) = 𝑡𝑟 𝐴 + 𝑡𝑟 𝐵 
 
 
2) 𝑡𝑟 ( 𝑟 𝐴 ) = 𝑟 ( 𝑡𝑟 𝐴 ) 
 
 
3) 𝑡𝑟 ( 𝐴𝑇 ) = 𝑡𝑟 𝐴 donde 𝐴𝑇 es la matriz transpuesta de A 
 
 
4) 𝑡𝑟 ( 𝐴𝐵 ) = 𝑡𝑟 ( 𝐵𝐴 ) 
 
 
 
* Ejercicio. Determina la traza de las siguientes matrices 
 
𝐴 = [ 
3 6
2 5
 ] 𝐵 = [ 
 3 2 −1
−2 5 7
 4 2 −1
 ] 𝐶 = [ 
 5 4
−2 3
 0 2
 5 −2
 2 5
−3 1
−2 7
 0 5
 ] 
 
 
MATRICES Y DETERMINANTES 
17 
 
TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ 
 
 
Sea la matriz rectangular A de 𝑚 × 𝑛. La matriz transpuesta de A, que se escribe 𝐴𝑇, es la matriz de orden 𝑛 × 𝑚 
que se obtiene al intercambiar los renglones de la matriz A por las columnas de la matriz A. 
 
𝐴 = [ 
 1 6
 2 3
−2 1
−2 4
 4 1
 4 0
 ] 𝐴𝑇 = [ 
 1 2 −2
 6 3 1
−2 4 4
 4 1 0
] 
 
 
𝐵 = [ 
 5 7 2
−1 6 8
 3 4 9
 ] 𝐵𝑇 = [ 
5 −1 3
7 6 4
2 8 9
 ] 
 
 
 
* Ejercicio. Determina la matriz transpuesta en cada caso. 
 
𝐴 = [ 
2 4
3 5
 ] 𝐵 = [ 
3 1 0
5 4 −2
8 0 1
 ] 𝐶 = [ 
3 0
5 7
1 0
−2 1
 2 4
 7 −4
 ] 
 
 
* Propiedades de la Transposición de una matriz 
 
 
Sean las matrices 𝐴 y B compatibles para la multiplicación y la transposición. Entonces se verifican las 
siguientes propiedades: 
 
 
(𝐴𝑇)𝑇 = 𝐴 (𝐴𝐵)𝑇 = 𝐵𝑇 𝐴𝑇 (𝐴 + 𝐵)𝑇 = 𝐴𝑇 + 𝐵𝑇 (𝐴𝑇)−1 = (𝐴−1)𝑇 
 
 
 
* Ejercicio. Determina la matriz X que satisface la ecuación matricial 
 
𝐴 𝑋 + (𝑡𝑟 𝐷) 𝐶 = (𝑋𝑇 𝐵)𝑇 + (det 𝐶) 𝐷 
 
 
𝐴 = [ 
5 2
1 3
 ] 𝐵 = [ 
2 −1
1 2
 ] 𝐶 = [ 
2 3
1 2
 ] 𝐷 = [ 
1 3
2 −2
 ] 
 
 
 
MATRICES Y DETERMINANTES 
18 
 
MATRIZ SIMÉTRICA Y MATRIZ ANTI-SIMÉTRICA 
 
Sea la matriz cuadrada A. 
 
 
1) Si se verifica que 𝐴𝑇 = 𝐴 entonces A es una matriz simétrica. 
 
 
2) Si se verifica que 𝐴𝑇 = − 𝐴 entonces A es una matriz anti-simétrica. 
 
 
Por ejemplo las siguientes matrices son simétricas. 
 
𝐴 = [ 
2 4
4 5
 ] 𝐵 = [ 
3 5 8
5 4 −2
8 −2 1
 ] 𝐶 = [ 
 3 0
 0 7
−2 1
 2 4
−2 2
 1 4
 7 −4
−4 5
 ] 
 
 
Por ejemplo las siguientes matrices son anti-simétricas. 
 
𝐴 = [ 
 0 4
−4 0
 ] 𝐵 = [ 
 0 5 −8
−5 0 −2
 8 2 0
 ] 𝐶 = [ 
 0 0
 0 0
−2 1
 2 −4
 2 −2
−1 4
 0 −4
 4 0
 ] 
 
 
Observa que una matriz anti-simétrica siempre tiene valores ceros en su diagonal. 
 
 
* Ejercicio. Determina los valores de x , y , z , w para que la matriz A sea: 
 
a) Simétrica 
 
b) Anti-simétrica 
𝐴 = [ 
𝑤 0 𝑧
𝑥 0 𝑦
3 𝑧 0
 ] 
 
 
MATRICES Y DETERMINANTES 
19 
 
MATRIZ ORTOGONAL 
 
 
Se dice que la matriz cuadrada A es una matriz ortogonal cuando se verifica que 
 
 
𝐴𝑇 = 𝐴−1 
 
 
Esto implica que 
𝐴 𝐴𝑇 = 𝐼 
 
 
Un ejemplo de matriz ortogonal es 
 
𝐴 =
[
 
 
 
 
 
√3
2
1
2
−
1
2
√3
2
 
]
 
 
 
 
 𝐴𝑇 = 𝐴−1 =
[
 
 
 
 
 
√3
2
−
1
2
1
2
√3
2
 
]
 
 
 
 
 
 
 
* Propiedades de la matriz ortogonal 
 
 
Si la matriz cuadrada A es una matriz ortogonal, se cumplen las siguientes propiedades: 
 
 
1) A es una matriz no singular (puesto que admite inversa) y su transpuesta es igual a la inversa. 
 
 
2) El determinante de la matriz A es 1 𝑜 − 1 
 
3) Si la matriz A es de orden 2 × 2, entonces para cualquier 𝜃 ∈ ℝ, una matriz ortogonal se obtiene con 
 
𝐴 = [ 
 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜃
−𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜃
 ] 
 
 
4) El producto de dos matrices ortogonales, es una matriz ortogonal. 
 
MATRICES Y DETERMINANTES 
20 
 
MATRIZ CONJUGADA 
 
Cuando una matriz A tiene elementos complejos con término imaginario, la matriz que se forma con los 
conjugados de esos elementos, sin cambiar el orden de ningún elemento, se llama matriz conjugada. 
 
 
𝐴 = [ 
2 + 3𝑖 4 1 − 2𝑖
3 4 − 5𝑖 −5𝑖
−3 + 2𝑖 6𝑖 2
 ] Su matriz conjugada es 𝐴̅ = [ 
2 − 3𝑖 4 1 + 2𝑖
3 4 + 5𝑖 5𝑖
−3 − 2𝑖 −6𝑖 2
 ]* Ejercicio. Determina la matriz Y que satisface la ecuación matricial 𝐵 �̅� + 𝐶 = −𝐴𝑇 𝑌 
 
𝐴 = [ 
−1 1
 1 −1
 ] 𝐵 = [ 
 2 −1
−1 0
 ] 𝐶 = [ 
3𝑖 −2
0 1
 ] 
 
 
 
MATRIZ TRANSPUESTA CONJUGADA 
 
Cuando una matriz A tiene elementos complejos con término imaginario, la matriz transpuesta conjugada es la 
matriz que se forma conjugando los valores de 𝑎𝑖𝑗 y después aplicando la transposición. 
 
 
𝐴 = [ 
2 + 3𝑖 4 1 − 2𝑖
3 4 − 5𝑖 −5𝑖
−3 + 2𝑖 6𝑖 2
 ] Su matriz conjugada es 𝐴̅ = [ 
2 − 3𝑖 4 1 + 2𝑖
3 4 + 5𝑖 5𝑖
−3 − 2𝑖 −6𝑖 2
 ] 
 
 
Y su transpuesta conjugada es 
𝐴∗ = [ 
2 − 3𝑖 3 −3 − 2𝑖
4 4 + 5𝑖 −6𝑖
1 + 2𝑖 5𝑖 2
 ] 
 
 
* Propiedades de la matriz transpuesta conjugada 
 
Siendo A y B matrices con términos en los complejos. Se cumplen las siguientes propiedades: 
 
(𝐴∗)∗ = 𝐴 (𝐴 𝐵)∗ = 𝐵∗ 𝐴∗ (𝐴−1)∗ = (𝐴∗)−1 
 
(𝐴 + 𝐵)∗ = 𝐴∗ + 𝐵∗ (𝜆 𝐴)∗ = 𝜆∗ 𝐴∗ 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝜆∗ 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑔𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝜆 
 
 
MATRICES Y DETERMINANTES 
21 
 
Cuando se definió la transposición, se encontraron las matrices simétrica y anti-simétrica, para matrices con 
elementos en los números reales. 
 
 
Podemos definir esas mismas operaciones cuando los elementos son complejos y con la operación transpuesta 
conjugada. Eso nos lleva a las siguientes dos matrices: 
 
Matriz Hermitiana 𝐴∗ = 𝐴 𝐴 = [ 
4 3 − 2𝑖
3 + 2𝑖 6
 ] 
 
 
Matriz Anti-Hermitiana 𝐴∗ = −𝐴 𝐴 = [ 
0 2 + 𝑖
−2 + 𝑖 0
 ] 
 
 
* Propiedades de las matrices hermitiana y anti-hermitiana 
 
1) En una matriz hermitiana, los elementos de la diagonal son siempre números reales 
2) En una matriz anti-hermitiana, los elementos de la diagonal son siempre ceros 
3) La matriz inversa de una matriz hermitiana, siempre es una matriz hermitiana 
4) El determinante de una matriz hermitiana, siempre es un número real 
5) Si la matriz A es una matriz hermitiana, entonces 
 
𝐴 = 𝐵 + 𝐶 𝑖 
 
Donde las matrices B y C están formadas por números reales, siendo B una matriz simétrica y C 
una matriz anti-simétrica. 
 
 
MATRIZ UNITARIA 
 
Si para una matriz cuadrada A con elementos complejos se cumple que 𝐴∗ = 𝐴−1 se dice que la matriz A es 
unitaria. 
 
𝐴 =
[
 
 
 
 
1
√2
−
1
2
+
1
2
𝑖
1
√2
 
1
2
−
1
2
𝑖
 
]
 
 
 
 𝐴∗ = 𝐴−1 =
[
 
 
 
 
1
√2
1
√2
−
1
2
+
1
2
𝑖
1
2
−
1
2
𝑖
 
]
 
 
 
 
 
 
El determinante de una matriz unitaria siempre es 1. 
 
 
 
 
MATRICES Y DETERMINANTES 
22 
 
DETERMINANTE DE UNA MATRIZ 
 
Ya hemos hablado e incluso obtenido determinantes con anterioridad pero, ¿qué es un determinante? 
 
 
Podemos decir que un determinante es un número único asociado con una matriz cuadrada A. 
 
 
La regla de Sarrus es el método cotidiano para matrices de orden 2 × 2 y 3 × 3 
 
 
𝐴 = [ 
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
 ] det 𝐴 = | 𝐴 | = | 
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
 | = 𝑎11 𝑎22 − 𝑎12 𝑎21 
 
 
 
𝐴 = [ 
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
 ] det 𝐴 = | 𝐴 | = | 
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
 | 
 
 = 𝑎11(𝑎22 𝑎33 − 𝑎23 𝑎32) − 𝑎12(𝑎21 𝑎33 − 𝑎23 𝑎31) + 𝑎13(𝑎21 332 − 𝑎22 𝑎31) 
 
 
 
* Ejercicio. Calcula el valor de los siguientes determinantes. 
 
| 
3 4
2 5
 | | 
3 4 6
2 5 4
2 4 2
 | | 
 1 −3 4
−2 −3 2
 3 −5 −2
 | 
 
 
 
La regla de Sarrus, es un caso particular de aplicar definiciones muy específicas a las matrices cuadradas. Los 
determinantes son el resultado de combinar dos operaciones con matrices: 
 
a) Menor de una matriz, y 
 
b) Cofactor de una matriz 
 
 
MATRICES Y DETERMINANTES 
23 
 
 
MENOR DE UNA MATRIZ 
 
Para la matriz cuadrada A de orden 𝑛 × 𝑛, se llama 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑀𝑖𝑗 a la matriz de orden (𝑛 − 1) × (𝑛 − 1) que se 
obtiene eliminando el renglón i y la columna j de la matriz A. 
 
 
Por ejemplo para la matriz A 
𝐴 = [ 
3 4 6
2 5 4
2 4 2
 ] 
 
 
El menor 𝑀13 se obtiene eliminando el renglón 1 y la columna 3 
 
 
𝐴 = [ 
3 4 6
2 5 4
2 4 2
 ] 
𝑀13 = [ 
2 5
2 4
 ] 
 
 
Otros menores de esta matriz son 
 
𝑀22 = [ 
3 6
2 2
 ] 𝑀32 = [ 
3 6
2 4
 ] 𝑀31 = [ 
4 6
5 4
 ] 
 
 
 
COFACTOR DE UNA MATRIZ 
 
 
Para la matriz cuadrada A de orden 𝑛 × 𝑛 , se llama 𝑐𝑜𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝐶𝑖𝑗 al número que se obtiene resolviendo la 
siguiente operación: 
 
𝐶𝑖𝑗 = (−1)
𝑖+𝑗 | 𝑀𝑖𝑗 | 
 
 
Es decir, el cofactor 𝐶𝑖𝑗 de la matriz A se obtiene multiplicando al determinante del menor 𝑀𝑖𝑗 por un factor de 
alternancia de signo 
 
 
(−1)𝑖+𝑗 = 1 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑖 + 𝑗 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎 𝑝𝑎𝑟 (−1)𝑖+𝑗 = −1 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑖 + 𝑗 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 
 
 
 
MATRICES Y DETERMINANTES 
24 
 
Por ejemplo, para la matriz A 
𝐴 = [ 
3 4 6
2 5 4
2 4 2
 ] 
 
 
𝐶13 = (−1)
1+3 | 𝑀13 | = (1) | 
2 5
2 4
 | = −2 𝐶12 = (−1)
1+2 | 𝑀12 | = (−1) | 
2 4
2 2
 | = 4 
 
 
Si obtenemos todos los cofactores de la matriz A, y los acomodamos dentro de una nueva matriz, conservando la 
posición del elemento que les dio origen, tendremos la matriz de cofactores 
 
 
Para la matriz A de nuestro ejemplo, la matriz de cofactores es 
 
𝐶 = [ 
 −6 4 −2
 16 −6 −4
−14 0 7
 ] 
 
 
 
DETERMINANTE DE UNA MATRIZ 
 
 
El determinante de una matriz cuadrada A de orden 𝑛 × 𝑛 es un número único, que se escribe det 𝐴 = | 𝐴 | y se 
obtiene realizando la siguiente operación: 
 
 
det 𝐴 = | 𝐴 | = ∑ 𝑎1𝑘 𝐶1𝑘
𝑛
𝑘=1
= 𝑎11 𝐶11 + 𝑎12 𝐶12 + 𝑎13 𝐶13 + ⋯+ 𝑎1𝑛 𝐶1𝑛 
 
 
En donde 𝐶1𝑘 es el cofactor asociado con el término 𝑎1𝑘 de la matriz A 
 
 
Esta operación, nos indica que debemos hacer la suma de los productos parciales de todos los términos del primer 
renglón, con cada uno de sus cofactores correspondiente. 
 
 
De manera cotidiana, esto se conoce como expansión de cofactores del primer renglón. 
 
 
 
 
MATRICES Y DETERMINANTES 
25 
 
Por ejemplo, para la matriz A 
𝐴 = [ 
3 4 6
2 5 4
2 4 2
 ] 
 
El determinante de A es 
 
 
det 𝐴 = 𝑎11 𝐶11 + 𝑎12 𝐶12 + 𝑎13 𝐶13 = (3) (−1)
1+1 | 
5 4
4 2
 | + (4) (−1)1+2 | 
2 4
2 2
 | + (6) (−1)1+3 | 
2 5
2 4
 | 
 
 
 
det 𝐴 = (3) (1) (10 − 16) + (4) (−1) (4 − 8) + (6) (1) (8 − 10) = (3) (−6) − (4) (−4) + (6) (−2) 
 
 
det 𝐴 = −18 + 16 − 12 = −14 
 
 
 
La regla de Sarrus, no es más que el resultado de esta expansión de cofactores, para matrices de 2 × 2 y 3 × 3 
 
 
𝐴 = [ 
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
 ] det 𝐴 = | 𝐴 | = | 
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
 | = 𝑎11 𝑎22 − 𝑎12 𝑎21 
 
 
 
𝐴 = [ 
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
 ] det 𝐴 = | 𝐴 | = | 
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
 | 
 
 = 𝑎11(𝑎22 𝑎33 − 𝑎23 𝑎32) − 𝑎12(𝑎21 𝑎33 − 𝑎23 𝑎31) + 𝑎13(𝑎21 332 − 𝑎22 𝑎31) 
 
 
Si analizamos las dos expansiones de cofactores anteriores, observamos que una matriz de 2 × 2 es muy sencilla, 
pero al trabajar con una matriz de 3 × 3, tuvimos que resolver tres determinantes de 2 × 2. 
 
 
Esto nos indica que cuando trabajemos con una matriz de 4 × 4, se tienen que resolver 4 determinantes de 3 × 3, 
lo que equivale a 12 determinantes de 2 × 2. 
 
 
Para matrices de 5 × 5 se trabajará con cinco determinantes de 4 × 4, lo que implica calcular 20 determinantes 
de 3 × 3, que equivale a 60 determinantes de 2 × 2. 
 
MATRICES Y DETERMINANTES 
26 
 
Es evidente que el determinante de una matriz de orden mayor será un proceso muy laborioso. 
 
 
Para ayudarnos en el cálculo de determinantes, tenemos las siguientes propiedades: 
 
 
* Propiedades de los determinantes. Siendo A y B dos matrices cuadradas de orden 𝑛 × 𝑛, se verifica que 
 
 det 𝐴𝐵 = det 𝐴 det 𝐵 
 
 det 𝐴𝑇 = det 𝐴 
 
 El det 𝐴 se puede obtener expandiendo cofactoresen cualquier renglón 
 
 El det 𝐴 se puede obtener expandiendo cofactores en cualquier columna 
 
 Si cualquier renglón o columna están formados por ceros, entonces det 𝐴 = 0 
 
 Si una columna o un renglón se multiplica por un escalar, entonces det 𝐴 también se multiplica por 
dicho escalar 
 
 Si intercambiamos de lugar un renglón o una columna, el det 𝐴 queda multiplicado por −1 
 
 Si dos renglones o dos columnas son iguales, entonces det 𝐴 = 0 
 
 Si dos renglones o dos columnas son proporcionales, entonces det 𝐴 = 0 
 
 Si se suma un múltiplo escalar de un renglón (columna) a otro renglón (columna), entonces el det 𝐴 no 
cambia 
 
 Si el det 𝐴 ≠ 0 entonces la matriz inversa 𝐴−1 existe, y además 
 
det 𝐴−1 =
1
det 𝐴
 
 
 
 Si la matriz A es unitaria, entonces det 𝐴 = 1 
 
 Si una matriz es diagonal o triangular, el det 𝐴 es el producto de los términos de la diagonal 
 
 
 
 
 
MATRICES Y DETERMINANTES 
27 
 
Con las propiedades anteriores, se puede calcular determinantes simplificando la matriz original hasta conseguir: 
 
 Un renglón o columna de ceros, por lo que det 𝐴 = 0 
 
 Un renglón o columna múltiplo de otro, por lo que det 𝐴 = 0 
 
 Una matriz triangular cuyo determinante es el producto de los elementos de la diagonal 
 
 
Este procedimiento se conoce como Método de condensación. 
 
 
Revisemos el siguiente ejemplo. 
 
 
| 𝐴 | = | 
1 3
0 −1
5 2
3 4
2 4
4 −3
2 1
1 4
 | →
𝑅3 = −2𝑅1 + 𝑅3
𝑅4 = −4𝑅1 + 𝑅4
→ | 
1 3
0 −1
 5 2
 3 4
0 −2
0 −15
−8 −3
−19 −4
 | 
 
 
Observa que en las transformaciones elementales, los renglones 𝑅3 y 𝑅4 no se multiplicaron por ningún valor 
 
 
→
𝑅3 = −2𝑅2 + 𝑅3
𝑅4 = −15𝑅2 + 𝑅4
→ | 
1 3
0 −1
 5 2
 3 4
0 0
0 0
−14 −11
−64 −64
 | = −64 | 
1 3
0 −1
 5 2
 3 4
0 0
0 0
−14 −11
 1 1
 | 
 
 
Observa que en las transformaciones elementales, los renglones 𝑅3 y 𝑅4 no se multiplicaron por ningún valor, 
pero en la última igualdad, factorizamos al −64 
 
 
→ 𝑅4 = 𝑅3 + 14𝑅4 → | 𝐴 | = −
64
14
 | 
1 3
0 −1
 5 2
 3 4
0 0
0 0
−14 −11
 0 3
 | = (−
64
14
 ) (1)(−1)(−14)(3) = −192 
 
 
Observa que en la transformación elemental, el renglón 𝑅4 se multiplicó por 14 y se usó para recalcular su propio 
valor, por lo que el determinante original quedaría multiplicado también por 14. 
 
Para que no se altere el determinante original, se tuvo que dividir el nuevo determinante entre 14. 
 
 
Entonces en nuestro ejemplo, det 𝐴 = −192 
MATRICES Y DETERMINANTES 
28 
 
* Ejercicio. Calcula los siguientes determinantes por condensación: 
 
| 
1 −1 2
3 1 4
0 −2 5
 | | 
1 3
0 −1
5 2
3 4
2 1
3 2
9 6
4 8
 | | 
−2 1
 3 −1
0 4
5 2
−2 7
 3 −7
3 1
2 5
 | 
 
 
 
* Ejercicio. Para la matriz cuadrada A se sabe que sus cofactores 𝐶31 = 0 ; 𝐶13 = 7 
 
𝐴 = [ 
 1 1 2
−1 𝑎22 𝑎23
 4 1 0
 ] 
 
¿Cuánto valen los términos 𝑎22 y 𝑎23? Con los valores obtenidos, calcula el siguiente determinante. 
 
 
det [ (3 𝐴𝑇)−1 ] 
 
 
 
* Ejercicio. Para dos matrices cuadradas A y B de orden 2 × 2 se verifica que det 𝐴 = 2 y det 𝐵 = 3. Obtener 
la traza de la matriz X que se obtiene con la siguiente ecuación matricial. 
 
 
𝑋 = [
 det(𝐴2) det(𝐵−1) 
2 det(2 𝐴−1)
 (24)] 𝑀 𝐶 𝑀 = [ 
1 3
0 1
 ] 𝐶 = [ 
 1 −2
−1 2
 ] 
 
 
 
MATRICES Y DETERMINANTES 
29 
 
ADJUNTA DE UNA MATRIZ 
 
 
Para la matriz cuadrada A de orden 𝑛 × 𝑛, existe una matriz adjunta, que se obtiene al hacer la transposición de 
la su matriz de cofactores C. 
 
𝑎𝑑𝑗 𝐴 = 𝐶𝑇 
 
 
Por ejemplo 
 
𝐴 = [ 
2 −3
4 −5
 ] → 𝐶 = [ 
−5 −4
 3 2
 ] → 𝑎𝑑𝑗 𝐴 = 𝐶𝑇 = [ 
−5 3
−4 2
 ] 
 
 
 
En general, cuando se trata de matrices de orden 2 × 2, la matriz adjunta siempre es: 
 
 
𝐴 = [ 
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
 ] → 𝑎𝑑𝑗 𝐴 = 𝐶𝑇 = [ 
 𝑎22 −𝑎12
−𝑎21 𝑎11
 ] 
 
 
 
* Ejercicio. Determina la matriz adjunta para cada una de las siguientes matrices: 
 
𝐴 = [ 
2 4 3
0 1 −1
3 5 7
 ] 𝐵 = [ 
−1 6
 3 4
 ] 𝐶 = [ 
 1 −3 0
 3 −12 −2
−2 10 2
 ] 
 
 
MATRICES Y DETERMINANTES 
30 
 
INVERSA DE UNA MATRIZ USANDO LA MATRIZ ADJUNTA 
 
 
Para una matriz cuadrada A de orden 𝑛 × 𝑛, su matriz inversa se puede obtener como 
 
𝐴−1 =
1
det 𝐴
 𝑎𝑑𝑗 𝐴 
 
 
Evidentemente es condición necesaria para la existencia de la matriz inversa 𝐴−1 que det 𝐴 ≠ 0 
 
 
La expresión anterior proviene de la siguiente igualdad 
 
𝐴 (𝑎𝑑𝑗 𝐴) = (det 𝐴) 𝐼 
 
 
Por ejemplo 
 
𝐴 = [ 
2 −3
4 −5
 ] → 𝑎𝑑𝑗 𝐴 = [ 
−5 3
−4 2
 ] → det 𝐴 = 2 → 𝐴−1 =
1
2
 [ 
−5 3
−4 2
 ] 
 
 
También podemos comprobar fácilmente que 
 
𝐴 (𝑎𝑑𝑗 𝐴) = (det 𝐴) 𝐼 
 
 
[ 
2 −3
4 −5
 ] [ 
−5 3
−4 2
 ] = 2 [ 
1 0
0 1
 ] 
 
 
[ 
2 0
0 2
 ] = [ 
2 0
0 2
 ] 
 
 
* Ejercicio. Determina la matriz inversa de cada matiz empleando el método de la adjunta. 
 
𝐴 = [ 
2 4 3
0 1 −1
3 5 7
 ] 𝐵 = [ 
2 0 1
1 0 1
0 1 1
 ] 
 
 
MATRICES Y DETERMINANTES 
31 
 
REGLA DE CRAMER 
 
Este es otro método para resolver sistemas de ecuaciones, cuya matriz de coeficientes sea una matriz cuadrada A 
de orden 𝑛 × 𝑛, y en el cual det 𝐴 ≠ 0 
 
 
La solución única del sistema 𝐴𝑋 = 𝐵 está dada por la siguiente relación de determinantes 
 
 
𝑥1 =
 𝐷1 
𝐷
 ; 𝑥2 =
 𝐷2 
𝐷
 ; 𝑥3 =
 𝐷3 
𝐷
 ; ⋯ ; 𝑥𝑖 =
 𝐷𝑖 
𝐷
 ; ⋯ ; 𝑥𝑛 =
 𝐷𝑛 
𝐷
 
 
 
En donde 𝐷 = det 𝐴 y 𝐷𝑖 = det 𝐴𝑖 para cada matriz 𝐴𝑖 que se obtiene de cambiar la columna 𝑖 por el vector de 
términos independientes B del sistema. 
 
 
Revisemos el siguiente sistema de ecuaciones: 
 
 
2𝑥1 + 4𝑥2 + 6𝑥3 = 18
4𝑥1 + 5𝑥2 + 6𝑥3 = 24
3𝑥1 + 𝑥2 − 2𝑥3 = 4
 𝐴 = [ 
2 4 6
4 5 6
3 1 −2
 ] 𝑋 = [ 
𝑥1
𝑥2
𝑥3
 ] 𝐵 = [ 
18
24
4
 ] 
 
 
En este ejemplo tendremos que resolver 4 determinantes en total. 
 
 
𝐷 = | 
2 4 6
4 5 6
3 1 −2
 | = 6 𝐷1 = | 
18 4 6
24 5 6
4 1 −2
 | = 24 𝐷2 = | 
2 18 6
4 24 6
3 4 −2
 | = −12 𝐷4 = | 
2 4 18
4 5 24
3 1 3
 | = 18 
 
 
Entonces, las soluciones del sistema son 
 
 
𝑥1 =
24
6
= 4 ; 𝑥2 =
−12
6
= −2 ; 𝑥3 =
18
6
= 3