UNIDAD 3 Matrices (2) (1)

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UNIDAD 3: Matrices
TECNICATURA UNIVERSITARIA EN PROGRAMACIÓN - MATEMATICA
Ing. Corletti Matías - Ing. Rodriguez Federico - Ing. Sicbaldi Paula - Ing. Verdoia Romina
Introducción
INTRODUCCIÓN
Definición, orden de una matriz, notación matricial
DESARROLLO
Tipos de matrices, operaciones con matrices, Matriz transpuesta, Matriz simétrica, Matriz Inversa.
METODOLOGÍA
Aplicación de método de Gauss - Jordan
OBJETIVOS
Interpretación de resultados y aplicación.
En programación se define una matriz como una estructura de datos estática que bajo un identificador almacena una colección de datos del mismo tipo, es un arreglo de dos dimensiones, organizado en forma de filas y columnas
Las matrices son ampliamente usadas para almacenar información de manera sintética y, por tal motivo, representan una manera simple de mostrar dicha información. Por ejemplo, información que es almacenada en este tipo de estructura son los horarios de trenes, la cantidad de existencia de mercadería en un depósito, una imagen en la pantalla de un monitor.
m: Nº de filas – n: Nº de columnas
Una matriz A de m x n es un arreglo de elementos dispuestos en m filas y n columnas
Los elementos de la matriz se simbolizan de manera genérica como aij (elemento ubicado en el i-ésimo renglón y la j-ésima columna). Se utilizan paréntesis o corchetes para encerrar a los mxn elementos de la matriz; y, en general se utilizan letras mayúsculas para designar a las matrices
Notación Matricial
 elemento ubicado en el i-ésimo renglón y la j-ésima columna.
Este es nuestro plan para enfocarnos en cómo demostrar que nuestros clientes nos importan.
Mejorar el servicio de atención al cliente
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TIPOS DE MATRICES
MATRIZ FILA
MATRIZ COLUMNA
MATRIZ CUADRADA
m = n
MATRIZ NULA
Diagonal Principal
Diagonal Secundaria
A=a11a12⋯a1j⋯a1na21a22⋯a2j⋯a2n⋮⋮⋱⋮⋱⋮ai1ai2⋯aij⋯ain⋮⋮⋱⋮⋱⋮am1am2⋯amj⋯amn, A=a11a12⋯a1j⋯a1na21a22⋯a2j⋯a2n⋮⋮⋱⋮⋱⋮ai1ai2⋯aij⋯ain⋮⋮⋱⋮⋱⋮am1am2⋯amj⋯amn
Este es nuestro plan para enfocarnos en cómo demostrar que nuestros clientes nos importan.
Mejorar el servicio de atención al cliente
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TIPOS DE MATRICES
MATRIZ IDENTIDAD
MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR
MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR
A=a11a12⋯a1j⋯a1na21a22⋯a2j⋯a2n⋮⋮⋱⋮⋱⋮ai1ai2⋯aij⋯ain⋮⋮⋱⋮⋱⋮am1am2⋯amj⋯amn, A=a11a12⋯a1j⋯a1na21a22⋯a2j⋯a2n⋮⋮⋱⋮⋱⋮ai1ai2⋯aij⋯ain⋮⋮⋱⋮⋱⋮am1am2⋯amj⋯amn
 Sean A y B dos matrices dadas de orden mxn, entonces C = A + B:
Suma de Matrices
OPERACIONES CON MATRICES
 La nueva matriz C también es de orden mxn
Propiedades de la Suma
Asociativa: (A+B)+C = A+(B+C)
Elemento Neutro: A+0 = 0+A = A
Inverso Aditivo: A+(-A) = (-A)+A = 0
Conmutativa: A+B = B+A
 Sea A una matriz mxn y α un escalar, se define el producto entre ambos como: 
Producto de un escalar α por una matriz
OPERACIONES CON MATRICES
Propiedades del Producto de un escalar por una matriz
Distributiva respecto a la suma de escalares: (α+β)A = αA+βA
Distributiva respecto a la suma de matrices: α(A+B) = αA+αB
Asociativa = α(βA) = (αβ)A
 Dadas las matrices Amxp y Bpxn (es decir, la cantidad de columnas de A coincide con la cantidad de filas de B) se llama producto AxB a la matriz Cmxn en la que el elemento cij se obtiene al sumar los productos de todos los elementos de la fila i de A por todos los elementos de la columna j de B. 
Producto de matrices
OPERACIONES CON MATRICES
Para poder realizar el producto AxB la cantidad de columnas de A debe ser igual a la cantidad de filas de B, de lo contrario no es posible realizar el producto.
=
Realizar el producto mediante esta definición resulta tedioso y lento, más aún cuando las matrices son de gran tamaño. 
Existe una regla práctica para poder realizarlo.
Producto de matrices
OPERACIONES CON MATRICES
Producto de matrices
Ejemplo: Realizar, si es posible, el producto AxB y obtener C, siendo:
OPERACIONES CON MATRICES
Es posible realizar el producto ya que la cantidad de columnas de A es igual a la cantidad de filas de B. La matriz resultante C será de orden 2x3.
Producto de matrices
OPERACIONES CON MATRICES
Propiedades del Producto entre matrices
Asociativa = (AB)C = A(BC)
Distributiva a la izquierda: C(A+B) = CA+CB
Distributiva a la derecha: (A+B)C = AC+BC
Elemento neutro del producto matricial: AI = IA = A, donde I es la matriz Identidad
No conmutativa: AB ≠ BA, en general, el producto matricial es no conmutativo
A0 = 0A = 0
Existen matrices no nulas A ≠ 0 y B ≠ 0, tal que AB = 0 (a diferencia de los números reales donde para que un producto de cero, uno de los factores debe ser cero)
Sea A una matriz mxn, la transpuesta de A que se indica AT, es una matriz nxm en la que las columnas de A se convierten en las filas de AT, y las filas de A en las columnas de AT.
Matriz Transpuesta
Ejemplos:
Propiedades de la Transpuesta
Una matriz es simétrica si coincide con su transpuesta y antisimétrica su opuesta coincide con la transpuesta. Es decir, si A = AT, A es simétrica y si -A = AT, A es antisimétrica.
A partir de la definición, se puede concluir que tanto las matrices simétrica y antisimétrica deben ser cuadradas.
Matriz Simétrica
Ejemplos:
Para algunas matrices cuadradas se puede encontrar otra matriz denominada inversa (representada por A-1), tal que se cumpla:
Matriz Inversa
Donde I es la matriz Identidad.
La inversa es similar al recíproco en el álgebra de los números reales. Multiplicar un número b por su recíproco 1/b da como resultado 1. En el álgebra matricial, multiplicar una matriz por su inversa da como resultado la matriz identidad.
Observaciones acerca de la Inversa
Para que una matriz tenga Inversa, ésta debe ser cuadrada. 
No todas las matrices cuadradas tienen Inversa.
La Inversa de A también será cuadrad y tendrá la misma dimensión de A
Si A y B tienen Inversa, entonces (AB)-1 = A-1∙B-1
Si A es invertible, entonces AT también es invertible y (AT)-1 = (A-1)T, es decir la inversa de la transpuesta es igual a la transpuesta de la inversa.
Este es nuestro plan para enfocarnos en cómo demostrar que nuestros clientes nos importan.
Mejorar el servicio de atención al cliente
.
Obtención de la Inversa por el método de Gauss Jordan
MATRIZ EQUIVALENTE POR FILAS
MATRIZ ESCALONADA
MATRIZ ESCALONADA REDUCIDA
A=a11a12⋯a1j⋯a1na21a22⋯a2j⋯a2n⋮⋮⋱⋮⋱⋮ai1ai2⋯aij⋯ain⋮⋮⋱⋮⋱⋮am1am2⋯amj⋯amn, A=a11a12⋯a1j⋯a1na21a22⋯a2j⋯a2n⋮⋮⋱⋮⋱⋮ai1ai2⋯aij⋯ain⋮⋮⋱⋮⋱⋮am1am2⋯amj⋯amn
El Teorema de Eliminación de Gauss-Jordan establece que toda matriz es equivalente por filas a una matriz escalonada reducida, es decir, al considerar una matriz, podemos aplicar operaciones por filas sobre ella hasta conseguir una matriz escalonada reducida.
Dos matrices A y B son equivalentes por filas si se puede pasar de una matriz a otra por una sucesión de transformaciones elementales de filas que incluyen:
Intercambiar la posición de 2 filas. Se simbolizará Ri ↔ Rj que significa intercambiar los renglones i por j.
Multiplicar todos los elementos de una fila por un escalar no nulo. Se simbolizará Ri → kRi que significa reemplazar el renglón i por ese mismo renglón multiplicado por k; k ≠ 0.
Sumar o restar a una fila, otra fila multiplicada por un escalar. Se simbolizará Ri → Ri + kRj que significa reemplazar el renglón i por la suma entre éste más un múltiplo escalar del renglón j.
.
Una matriz escalonada es aquella donde:
El primer elemento no nulo de un renglón es 1.
Los renglones, si los hubiese, que tienen todos sus elementos nulos se agrupan en la parte inferior de la matriz.
En dos renglones consecutivos, el 1 principal del renglón inferior aparece más a la derecha del 1 del renglón superior. 
.
Se denomina matriz escalonada reducida a la matriz escalonada que en las Columnas que contienen el 1 principal, posee ceros en las demás posiciones:
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Mejorar el servicio de atención al cliente
Obtención de la Inversa por el método de Gauss Jordan
A=a11a12⋯a1j⋯a1na21a22⋯a2j⋯a2n⋮⋮⋱⋮⋱⋮ai1ai2⋯aij⋯ain⋮⋮⋱⋮⋱⋮am1am2⋯amj⋯amn, A=a11a12⋯a1j⋯a1na21a22⋯a2j⋯a2n⋮⋮⋱⋮⋱⋮ai1ai2⋯aij⋯ain⋮⋮⋱⋮⋱⋮am1am2⋯amj⋯amnPara encontrar A-1, se escribe A seguida por la matriz I, se lleva la matriz A a su forma escalonada reducida por renglones. Si ésta resulta ser la matriz identidad, la matriz que se obtiene a la derecha es A-1. Simbólicamente:
Operaciones elementales por renglón
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Ejemplo 1: Determinar, si existe, la matriz Inversa de A
A=a11a12⋯a1j⋯a1na21a22⋯a2j⋯a2n⋮⋮⋱⋮⋱⋮ai1ai2⋯aij⋯ain⋮⋮⋱⋮⋱⋮am1am2⋯amj⋯amn, A=a11a12⋯a1j⋯a1na21a22⋯a2j⋯a2n⋮⋮⋱⋮⋱⋮ai1ai2⋯aij⋯ain⋮⋮⋱⋮⋱⋮am1am2⋯amj⋯amn
Para obtener A-1, se debe reducir la matriz ampliada: 
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Ejemplo 2: Determinar, si existe, la matriz Inversa de A
A=a11a12⋯a1j⋯a1na21a22⋯a2j⋯a2n⋮⋮⋱⋮⋱⋮ai1ai2⋯aij⋯ain⋮⋮⋱⋮⋱⋮am1am2⋯amj⋯amn, A=a11a12⋯a1j⋯a1na21a22⋯a2j⋯a2n⋮⋮⋱⋮⋱⋮ai1ai2⋯aij⋯ain⋮⋮⋱⋮⋱⋮am1am2⋯amj⋯amn
Para obtener A-1, se debe reducir la matriz ampliada: 
Dada una matriz de orden mxn, se puede definir el “rango” como la cantidad de filas no nulas que resultan al expresar dicha matriz en su forma escalonada o en su forma escalonada reducida. 
Rango de una matriz
EJEMPLO 1
, RANGO: 3
EJEMPLO 2
, RANGO: 2
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DETERMINANTE
A=a11a12⋯a1j⋯a1na21a22⋯a2j⋯a2n⋮⋮⋱⋮⋱⋮ai1ai2⋯aij⋯ain⋮⋮⋱⋮⋱⋮am1am2⋯amj⋯amn, A=a11a12⋯a1j⋯a1na21a22⋯a2j⋯a2n⋮⋮⋱⋮⋱⋮ai1ai2⋯aij⋯ain⋮⋮⋱⋮⋱⋮am1am2⋯amj⋯amn
Asociado con cada matriz cuadrada A existe un número llamado determinante de A, denotado por │A│ o “det A”.
Matriz cuadrada de orden 1:
Matriz cuadrada de orden 2:
Para encontrar el determinante de la matriz se aplica el método de Sarrus.
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DETERMINANTE
A=a11a12⋯a1j⋯a1na21a22⋯a2j⋯a2n⋮⋮⋱⋮⋱⋮ai1ai2⋯aij⋯ain⋮⋮⋱⋮⋱⋮am1am2⋯amj⋯amn, A=a11a12⋯a1j⋯a1na21a22⋯a2j⋯a2n⋮⋮⋱⋮⋱⋮ai1ai2⋯aij⋯ain⋮⋮⋱⋮⋱⋮am1am2⋯amj⋯amn
Matriz cuadrada de orden 3:
Para encontrar el determinante de la matriz se aplica el método de Sarrus, pero en este caso:
Primero se copian las 2 primeras columnas a la derecha de la matriz
Luego se suman los productos de los elementos de la diagonal principal y sus paralelas (flechas rojas) y se restan los productos de los elementos de la diagonal secundaria y sus paralelas (flechas azules).
 
 
	 
 
൦
𝑏
11
𝑏
12
⋯𝑏
1𝑛
𝑏
21
𝑏
22
⋯𝑏
2𝑛
⋮⋮⋱⋮
𝑏
𝑚1
𝑏
𝑚2
⋯𝑏
𝑚𝑛
൪
 
൦
𝑎
11
𝑎
12
⋯𝑎
1𝑛
𝑎
21
𝑎
22
⋯𝑎
2𝑛
⋮⋮⋱⋮
𝑎
𝑚1
𝑎
𝑚2
⋯𝑎
𝑚𝑛
൪
 
൦
𝑐
11
𝑐
12
⋯𝑐
1𝑛
𝑐
21
𝑐
22
⋯𝑐
2𝑛
⋮⋮⋱⋮
𝑐
𝑚1
𝑐
𝑚2
⋯𝑐
𝑚𝑛
൪
 
 
 
൥
450
121
0−23
൩
 
ቂ
247
−103
ቃ
 
ቂ
𝑐
11
𝑐
12
𝑐
13
𝑐
21
𝑐
22
𝑐
23
ቃ
 
 
𝑐
11
=2∙4+4∙1+7∙0=12 
𝑐
12
=2∙5+4∙2+7∙(−2)=4 
𝑐
13
=2∙0+4∙1+7∙3=25 
𝑐
21
=
ሺ
−1
ሻ
∙4+0∙1+3∙0=−4 
𝑐
22
=
ሺ
−1
ሻ
∙5+0∙2+3∙
ሺ
−2
ሻ
=−11 
𝑐
23
=
ሺ
−1
ሻ
∙0+0∙1+3∙3=9 
A=
ሾ
𝑎
11
ሿ
 entonces →detA= 𝑎
11
 
𝐴=
ቂ
𝑎
11
𝑎
12
𝑎
21
𝑎
22
ቃ
 →detA= 𝑎
11
𝑎
22
−𝑎
21
𝑎
12
 
𝐴=
𝑎
11
𝑎
12
𝑎
13
𝑎
11
𝑎
12
𝑎
21
𝑎
22
𝑎
23
𝑎
21
𝑎
22
𝑎
31
𝑎
32
𝑎
33
𝑎
31
𝑎
32
 
ȁ
𝐴
ȁ
=𝑎
11
𝑎
22
𝑎
33
+𝑎
33
𝑎
23
𝑎
31
+𝑎
13
𝑎
21
𝑎
32
−𝑎
31
𝑎
22
𝑎
13
−𝑎
32
𝑎
23
𝑎
11
−𝑎
33
𝑎
21
𝑎
12