4- Aritmética - Laura Blanco Carmona (1)

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ARITMÉTICA
P R O G R A M A A C A D É M I C O V I R T U A L
Ciclo Anual UNI
Docente: Ramiro Díaz
REFORZAMIENTO
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I AC U R S O D E A R I T M É T I C A
Razón
Comparación de dos 
cantidades;mediante la 
sustracción y la división.
7 mts
28 mts
A B
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I ACURSO DE ARITMÉTICA
28 − 7 = 21
• La altura de B excede en 21 m a 
la altura de A.
𝑎 − 𝑏 = 𝑟
Donde:
𝑎: 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑐𝑒𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑏: 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑟: 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑎𝑧ó𝑛
Razón AritméticaPor Sustracción:
28
7
= 4
• La altura de B es 4 veces la altura
de A.
• La altura de B y A están en la 
relación de 4 a 1.
• Las Alturas de B y A son 
proporcionales a 4 y 1.
𝑎
𝑏
= 𝑘
Donde:
𝑎: 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑐𝑒𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑏: 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒
k: 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑎𝑧ó𝑛
Razón GeometricaPor División:
Si sólo nos dicen Razón se tratará de una razón geométrica
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
CURSO DE ARITMÉTICA
TENER EN CUENTA
•
𝑎
𝑏
=
3
7
→ 𝑎 = 3𝑘 ; 𝑏 = 7𝑘
•
𝑎
𝑏
=
2
3
𝑦
𝑏
𝑐
=
4
5
Observamos que en las dos relaciones aparece b proporcional a diferentes valores para poder 
trabajar todo con una misma constante debemos HOMOGENIZAR
Para ello el 𝑚𝑐𝑚 3; 4 = 12
Luego:
𝑎
𝑏
=
2𝑥𝟒
3𝑥𝟒
𝑦
𝑏
𝑐
=
4𝑥𝟑
5𝑥𝟑
→ 𝑎 = 8𝑘 , 𝑏 = 12𝑘 𝑦 𝑐 = 15𝑘
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Aplicaciones de la Razón
Importante
• La diferencia de edades es 
constante .
• Organizar los datos en una tabla 
y resaltar los tiempos que 
menciona el problema
En problemas sobre Edades:
Pasado
(hace 12 años)
Presente Futuro
(dentro de 8 años)
José 44 56 64
María 28 40 48
Diferencia de 
edades
16 16 16
CURSO DE ARITMÉTICA
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I ACURSO DE ARITMÉTICA
Importante
• La relación de ingredientes se 
mantiene; en lo que queda de 
mezcla y en lo que se extrae.
En problemas sobre Mezclas:
Los ingredientes de lo que
queda en la jarra y lo que
se tiene en el vaso se
encontraran en la misma
relación.
Dos mesclaz son de la misma calidad (precio, concentración; etc.), si sus ingredientes están en la misma relación
Aplicaciones de la Razón
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Si nos mencionan que hay 
personas que están bailando 
debemos considerar.
En problemas de Reuniones: En problemas de Moviles
Hombres 
que bailan
Mujeres 
que bailan
=
Si se tienen dos móviles A y B; y se 
desplazan durante un mismo tiempo.
𝑒𝐴
𝑒𝐵
=
𝑉𝐴
𝑉𝐵
Aplicaciones de la Razón
CURSO DE ARITMÉTICA
Igualdad de 
Razones
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I ACURSO DE ARITMÉTICA
𝑎1
𝑏1
=
𝑎2
𝑏2
=
𝑎3
𝑏3
=
𝑎4
𝑏4
=…….=
𝑎𝑛
𝑏𝑛
= 𝑘
Donde :
𝑎1; 𝑎2; 𝑎3;……………; 𝑎𝑛: antecedentes.
𝑏1; 𝑏2; 𝑏3;……………; 𝑏𝑛: consecuentes.
Propiedades
1.
𝑎1+𝑎2+𝑎3+⋯+𝑎𝑛−1+𝑎𝑛
𝑏1+𝑏2+𝑏3+⋯+𝑏𝑛−1+𝑏𝑛
= 𝑘
𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑐𝑒𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠
𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠
= 𝑟𝑎𝑧ó𝑛
2. 
𝑎1𝑥𝑎2𝑥𝑎3𝑥…+𝑎𝑛−1𝑥𝑎𝑛
𝑏1𝑥𝑏2𝑥𝑏3𝑥…+𝑏𝑛−1𝑥𝑥𝑏𝑛
= 𝑘𝑛
𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑐𝑒𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠
𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠
= 𝑟𝑎𝑧ó𝑛 𝑛
𝑛: número de razones que se multiplican
Dada la siguiente Igualdad de razones:
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I AC U R S O D E A R I T M É T I C A
Igualdad de cuatro razones; con valor de la 
razón igual a 
2
3
.
. La razón indica que cada antecedente es el doble de su
respectivo consecuente.
𝟐𝒂
𝒂
=
𝟐𝒃
𝒃
=
𝟐𝒄
𝒄
= 𝟐
Solución:
Ejemplo 2:
Igualdad de tres razones; con valor de la 
razón igual a 2.
. La razón indica que cada antecedente y consecuentes están
en la relación de 2 a 3.
𝟐𝒂
𝟑𝒂
=
𝟐𝒃
𝟑𝒃
=
𝟐𝒄
𝟑𝒄
=
𝟐𝒅
𝟑𝒅
=
𝟐
𝟑
Solución:
Ejemplo 1:
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Igualdad de cuatro razones continuas ; con 
valor de la razón igual a 
2
3
.
. La razón indica que cada antecedente es el triple de su
respectivo consecuente.
𝟐𝟕𝒄
𝟗𝒄
=
𝟗𝒄
𝟑𝒄
=
𝟑𝒄
𝒄
= 𝟑
Solución:
Ejemplo 4:
Igualdad de tres razones continuas; con 
valor de la razón igual a 3.
. La razón indica que cada antecedente y consecuentes están
en la relación de 2 a 3.
𝟏𝟔𝒂
𝟐𝟒𝒂
=
𝟐𝟒𝒂
𝟑𝟔𝒂
=
𝟑𝟔𝒂
𝟓𝟒𝒂
=
𝟓𝟒𝒂
𝟖𝟏𝒂
=
𝟐
𝟑
Solución:
Ejemplo 3:
C U R S O D E A R I T M É T I C A
Proporciones
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I AC U R S O D E A R I T M É T I C A
Igualdad de dos razones aritméticas.
𝑎 − 𝑏 = 𝑐 − 𝑑
Donde :
𝑎, 𝑑: 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠
𝑏, 𝑐:𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜𝑠
Igualdad de dos razones geométricas.
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
=k 
Donde :
𝑎, 𝑑: 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠
𝑏, 𝑐:𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜𝑠
Proporción Geometrica:Proporción Aritmética:
PROPORCION
Igualdad de dos razones de la misma clase.
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Términos medios diferentes.
𝑎 − 𝑏 = 𝑐 − 𝑑
Donde :
𝑑: 𝑐𝑢𝑎𝑟𝑡𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙
Continua:Discreta:
PROPORCION ARITMÉTICA
Términos medios iguales.
𝑎 − 𝑏 = 𝑏 − 𝑑
Donde :
𝑏:𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙
𝑑: 𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑟𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙
Calcule la cuarta diferencial de; 20, 12 y 14.
Solución:Ejemplo 1:
20 − 12 = 14 − d
d = 6
∴ 6 es la cuarta diferencial de 20,12 y 14
C U R S O D E A R I T M É T I C A
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Calcule la media diferencial de 16 y 4.
Solución:Ejemplo 2:
16 − b = b − 4
b = 10
∴ 10 es la media diferencial de 16 y 4.
Solución:Ejemplo 3:
Calcule la Tercera diferencial de 12 y 8.
12 − 8 = 8 − 𝑑
𝑑 = 4
∴ 4 es la tercera diferencial de 12 y 8.
C U R S O D E A R I T M É T I C A
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Términos medios diferentes.
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
Donde :
𝑑: 𝑐𝑢𝑎𝑟𝑡𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙
Continua:Discreta:
PROPORCION GEOMETRICA
Términos medios iguales.
𝑎
𝑏
=
𝑏
𝑐
Donde :
𝑏:𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙
𝑐: 𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑟𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙
C U R S O D E A R I T M É T I C A
Calcule la cuarta proporcional de 32,16 y12.
Solución:Ejemplo 1:
32
16
=
12
𝑥
𝑥 = 6
∴ 6 es la cuarta proporcional de 32,16 y 12.
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Calcule la media proporcional de 12y 27.
Solución:Ejemplo 2:
12
𝑥
=
𝑥
27
𝑥 = 18
∴ 18 es la media proporcional de 12 y 27.
Calcule la tercera proporcional de 64 y16.
Solución:Ejemplo 3:
64
16
=
16
𝑥
𝑥 = 4
∴ 4 es la tercera proporcional de 64 y 16.
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Si sólo nos dicen PROPORCIÓN se tratara de una proporción geométrica
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
•
𝑎+𝑏
𝑏
=
𝑐+𝑑
𝑑
= 𝑘 + 1
•
𝑎−𝑏
𝑏
=
𝑐−𝑑
𝑑
= 𝑘 − 1
•
𝑎+𝑏
𝑎−𝑏
=
𝑐+𝑑
𝑐−𝑑
=
𝑘+1
𝑘−1
•
𝑎+𝑏
𝑎
=
𝑐+𝑑
𝑐
=
𝑘+1
𝑘
•
𝑏
𝑎+𝑏
=
𝑑
𝑐+𝑑
=
1
𝑘+1
C U R S O D E A R I T M É T I C A
Sea la proporción:
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
= 𝑘
TENER EN CUENTA
w w w . a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e