02-DESCARGAR-EJERCICIOS-DE-RAZONES-Y-PROPORCIONES-PARA-ESTUDIANTES-DE-CUARTO-DE-SECUNDARIA

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 
Razones y proporciones 
 
 
 
 
 
 
 
El testamento del jeque 
 
Al morir el jeque, ordenó que se distribuyeran sus camellos entre sus hijos de la siguiente forma: la mitad para el 
primogénito, una cuarta parte para el segundo y un sexto para el más pequeño. Pero resulta que el jeque solo tenía 
once camellos, con lo que el reparto se hizo realmente difícil, pues no era cosa de cortar ningún animal. Los tres 
hermanos estaban discutiendo, cuando ven llegar a un viejo beduino, famoso por su sabiduría, montado en su 
camello. Le pidieron consejo y este dijo: - Si vuestro padre hubiese dejado doce camellos en vez de once no habría 
problemas. - Cierto, pero solo tenemos once - respondieron los hermanos, a lo que el beduino contestó: tomad mi 
camello, haced el reparto y no os preocupéis que nada perderé yo en la operación. 
 
¿En qué se basa el beduino para afirmar tal cosa? 
 
 
Objetivos 
 
Al finalizar el presente capítulo el alumno estará en la 
capacidad de: 
 
- Comparar dos cantidades por sustracción o división e 
interpretar el resultado. 
- Co ns tr ui r re la ci on es e nt re l as c an ti da de s 
proporcionadas. 
- Reconocer los tipos de proporciones que existen. 
- Aplicar las propiedades adecuadamente en la resolución 
de problemas. 
- Aplicar los conceptos para la resolución de situaciones 
de la vida real. 
 
 
Introducción 
 
En la vida cotidiana encontramos varias magnitudes a 
nuestro alrededor, por ejemplo: La velocidad del bus donde 
nos desplazamos, el tiempo que demora nuestro recreo, la 
temperatura del medio ambiente, el precio de una entrada 
al cine, etc. 
Razón 
 
Es la comparación de dos cantidades homogéneas, esta 
comparación puede hacerse empleando la sustracción o la 
división. 
 
Clases de razón 
 
a. Razón aritmética (R.A.) 
 
Es la comparación de dos cantidades mediante la 
sustracción. Dicha comparación nos determina en cuánto 
excede una cantidad a la otra. 
 
Ejemplo: 
 
A un evento deportivo asistieron 42 000 personas a 
occidente y 24 000 a oriente. 
¿Cuál es su razón aritmética? 
 
Solución: 
Escribiendo los datos mediante una sustracción 
 
Todas las magnitudes que podamos identificar son 
susceptibles de ser medidas y asociarse a un número y 
una unidad a la que llamamos cantidad. 
42000 - 24000  18000 
Valor de 
la razón aritmética 
 
Veamos algunos ejemplos: 
MAGNITUD UNIDAD CANTIDAD 
Longitud Metro 20 m 
Masa Kilogramo 8 Kg 
Dinero soles 40 soles 
Velocidad Km/h 120 Km/h 
Interpretación del resultado: 
 
 El número de personas en occidente excede en 
18 000 al número de personas en oriente. 
 Hay 18 000 personas más en occidente que en oriente. 
 
En general una razón aritmética se puede escribir: 
 
a - b = R
A
 
 
Donde: 
a : Antecedente 
b : Consecuente 
RA : Valor de la razón aritmética 
 

b. Razón geométrica (R.G.) 
 
Es la comparación de dos cantidades mediante la 
división. Dicha comparación nos determina cuántas 
veces una cantidad contiene a la otra. 
 
Ejemplo: 
 
En una mesa de votación se contabilizó 200 hombres y 
50 mujeres. ¿Cuál es su razón geométrica? 
 
Solución: 
 
Efectuando la división en el orden que aparecen los datos 
tenemos. 
Propiedad: 
 
En toda proporción aritmética se cumple que la suma 
de los términos extremos es igual a la suma de los 
términos medios. 
 
Es decir: 
 
Si: a - b = c - d  a + d = b + c 
 
 
Clases de proporción aritmética 
 
- Proporción aritmética discreta.- Es aquella proporción 
aritmética en la cual los términos medios son 
diferentes. 
 
 
 
 
 
Interpretación: 
200 

5 
 
4 
Valor de la R.G. 
 
a - b = c - d b  c 
 
Donde “d” es la cuarta diferencial de “a”, “b” y “c”. 
 
- Proporción aritmética continua.- Es aquella proporción 
- El número de hombres es 4 veces el número de 
mujeres. 
- El número de mujeres es la cuarta parte del número 
de hombres. 
 
En general una razón geométrica se puede escribir: 
aritmética en la cual los términos medios son iguales. 
a - b = b - c 
Donde “b” es la media diferencial de “a” y “c”. Se 
cumple: 
 
a 
= RG
 
a  c 
b = 
2 
b 
 
Donde: 
a : Antecedente 
b : Consecuente 
RG : Valor de la R.G. 
“c” es la tercera diferencial de “a” y “b”. 
 
b. Proporción Geométrica (Equi - cociente) 
Cuando se reúnen dos razones geométricas de igual 
valor. 
 
Por ejemplo: 
 
Proporción 
 
Es la reunión de dos razones aritméticas o dos razones 
geométricas que tienen el mismo valor. 
 
Clases de proporción 
 
 
 
 
 
 
 
 
En general: 
 
3 
 
1 

15 5 

4 
 
 1 
20 5 
 
 
3 
 
4 
15 20 
 
a. Proporción Aritmética (Equi - diferencia) 
Cuando se reunen dos razones aritméticas de igual valor. 
 
Por ejemplo: 
 
32- 7  25 
 
A 
 
C 
B D 
 
Donde: 
 
 
En general: 
 
 
 
 
Donde: 
 32- 7  70 - 45 
70 - 45  25
 
 
 
a - b = c - d 
“A” y “D” son los términos extremos. 
“B” y “C” son los términos medios. 
 
Propiedad: 
 
En toda proporción geométrica se cumple que el 
producto de los términos extremos es igual al producto 
“a” y “d” son los términos extremos. 
“b” y “c” son los términos medios. 
de los términos medios. 
 
 
A  B 
 
C  D 
B D 
 
A  B 
 
C  D 
A C 
A 
 
C 
A  B C  D 
A  C 
 
A 

B  D B 
C 
D 
 
a) 16 b) 20 c) 24 
d) 27 e) 30 
 
a) 10 b) 15 c) 18 
d) 12 e) 20 
 
Es decir: 
 
 
A 
 
C 
 
 
 
 
Nivel I
 
 
Problemas para la clase 
Si: 
B D 
 A.D. = B.C.
 
 
 
1. La suma de las edades de dos hermanos es 42 años. Si 
Clases de proporción geométrica: 
 
- Proporción geométrica discreta: Es aquella en la cual 
los términos medios son diferentes. 
su razón geométrica es 5/2, hallar la edad del hermano 
menor dentro de 4 años. 
 
a) 15 b) 12 c) 10 
d) 8 e) 16 
A 
 
C 
 
B  C 
 
2. Dos números son entre sí como 7 es a 3. Si su razón 
B D 
 
Donde: 
 
“D” es la cuarta proporcional de “A”; “B” y “C”. 
 
- Proporción geométrica continua: Es aquella en la cual 
los términos medios son iguales. 
 
 
A 
 
B 
aritmética es 120, hallar el número mayor. 
 
a) 100 b) 120 c) 150 
d) 180 e) 210 
 
3. Dos números son entre sí como 4 es a 7 si su suma es 
88, hallar su diferencia. 
 
a) 24 b) 32 c) 16 
d) 18 e) 36 
 
 
 
Se cumple: B = 
Donde: 
B C 
 
 
A.C 
 
4. La razón geométrica de dos números es 3/5, si se 
aumenta 46 unidades a uno de ellos y 78 al otro se 
obtendrían cantidades iguales. Dar la suma de cifras 
del número menor. 
 
“B” es la media proporcional de ”A” y “C”. 
“C” es la tercera proporcional de “A” y “B”. 
 
 
Propiedades de la proporción geométrica 
a) 10 b) 8 c) 12 
d) 7 e) 16 
 
5. Hallar la cuarta proporcional de 9; 12 y 15. 
 
 
 
Si : A  
C ; entonces se cumple: 
B D 
 
 
A  B 
 
C  D 
6. Hallar la media proporcional de 8 y 18. 
1. 2. 
B D 
 
3. 4. 
A  B 
 
C  D 
A C 
 
7. En una proporción aritmética continua la media 
diferencial es 18 y uno de los extremos es 10, hallar el 
otro extremo. 
A  B 
 
C  D 
5. 6. 
 
 
7. 
 
A  B 
 
C  D 
 
a) 18 b) 21 c) 26 
d) 32 e) 36 
 
8. La suma de los extremos de una proporción geométrica 
es 36 y su diferencia es 4. Hallar el producto de los 
Observación: En las propiedades de la 1 a la 6 los 
términos de la primera razón (A y B) 
sólo se pueden sumar y restar e 
intercambiar el orden, las mismas 
operaciones se deben realizar con los 
términos de la segunda razón y la 
igualdad se mantendrá. 
términos medios. 
 
a) 160 b) 180 c) 240 
d) 320 e) 144 
 
9. En una proporción geométrica continua los extremos 
son entre sí como 9 es a 4 y su razón aritmética es 15. 
Hallar la media proporcional. 
 
a) 12 b) 15 c) 16 
d) 18 
 
Nivel III 
e) 20 
 
 
a) 15 b) 18 c) 21 a) 36 b) 24 c) 27 
d) 24 e) 32 d) 18 e) 54 
 
 
a 
 
7 
7. En una proporción geométrica discreta la suma de los 
extremos es 48 y su diferencia es 12. Si los antecedentes 10.Si: 
b 
 
a2  b2 
2b2 
5 
; haciendo uso de laspropiedades, hallar:
 
 
 
. 
están en la razón de 5 a 2, hallar el valor de la razón 
geométrica de la proporción, si todos los términos son 
números enteros. 
 
 
37 
a) 
50 
 
37 
d) 
100 
 
37 
b) 
25 
 
17 
e) 
15 
 
74 
c) 
25 
1 
a) 
3 
 
2 
d) 
5 
2 
b) 
3 
 
3 
e) 
5 
1 
c) 
5 
 
Nivel II 
 
1. Las edades de Juan y Arturo son 12 y 18 años 
8. La razón geométrica de las velocidades de “A” y “B” es 
4/3. Si en 10 minutos “A” recorre 200 m, ¿cuánto 
recorrerá “B” en media hora? 
respectivamente. Dentro de cuántos años la razón de a) 300 m b) 450 c) 600 
sus edades será 9/11. d) 150 e) 360 
 
a) 10 b) 12 c) 15 
d) 18 e) 20 
 
 
9. Si : 
 
a 
 
c 
 
25 
 
2. En una caja hay 150 cuadernos, 90 de pasta roja y el 
resto de pasta azul. ¿Cuántos cuadernos rojos se deben 
retirar para poder afirmar que por cada 5 cuadernos 
b 
 
y b 
 
b 
d 9 
d  15 
d  3 
rojos se encuentra 4 azules? 
 
a) 15 b) 20 c) 25 
d) 30 e) 35 
 
3. En una fábrica trabajan 240 personas y se observa que 
por cada 4 hombres hay 1 mujer. ¿Cuántas mujeres 
deben contratarse de tal forma que se tenga 3 hombres 
por cada 2 mujeres? 
Hallar “a + c” 
 
a) 425 b) 550 c) 325 
d) 275 e) 250 
 
10.Patty nació 8 años antes que Luis y hace 6 años sus 
edades estaban en la misma relación que los números 
9 y 5. Si dentro de “n” años la razón de sus edades será 
5/4, hallar “n” 
 
a) 50 b) 60 c) 70 
d) 75 e) 80 
 
4. En una proporción geométrica continua el mayor de los 
términos es 25 y el término intermedio es 20. Hallar la 
suma de los 4 términos. 
 
a) 75 b) 92 c) 81 
d) 105 e) 115 
 
5. El producto de los 4 términos de una proporción 
geométrica continua es 50625. Si la suma de los 
antecedentes es 24, ¿cuál es la suma de los 
consecuentes? 
 
 
 
1. A un evento deportivo asistieron 4 hombres por cada 5 
mujeres y 3 mujeres por cada 7 niños. Si en total 
asistieron 1 860. Hallar la razón aritmética entre el 
número de hombres y el número de niños. 
 
a) 540 b) 360 c) 480 
d) 690 e) 510 
 
2. Sabiendo que “b” es la media proporcional de “a” y “c” 
 
a) 36 b) 40 c) 32 
d) 48 e) 50 
 
6. Sabiendo que : 
- “a” es la tercera diferencial de 28 y 20. 
- “b” es la cuarta proporcional de 16; “a” y 36. 
Hallar la media proporcional de “a” y “b”. 
 
y que “a”, “b” y “c” suman 234. Además: a
2 
 b2 
b2  c2 
Hallar “a + b” 
 
a) 72 b) 84 c) 88 
d) 96 e) 108 
 
 
4 
. 
25 
 
a) 135 b) 145 c) 155 
d) 175 e) 196 
 
3. La suma de los cuatro términos de una proporción 
geométrica continua es 63. Hallar la diferencia de los 
extremos si la razón es un número entero. 
 
a) 7 b) 15 c) 18 
d) 21 e) 24 
 
4. En un recipiente se mezclan 32 litros de vino y 40 litros 
de agua. Se extraen 18 litros, de la mezcla y se completa 
con vino hasta que los volúmenes se igualan. Luego se 
extraen 12 litros de la nueva mezcla y se reemplaza 
con vino. Hallar la razón geométrica de las cantidades 
finales de vino o agua. 
 
 
a) 1 436 b) 1 318 c) 1 351 
d) 1 287 e) 1 156 
 
10.En una fiesta se observa que por cada 3 hombres hay 4 
mujeres y por cada 5 hombres que fuman hay 4 hombres 
que no fuman. Además en las mujeres por cada 2 que 
fuman hay 5 mujeres que no fuman. Si la cantidad de 
no fumadoras está comprendida entre 18 y 26. ¿Cuántas 
personas asistieron a la fiesta? 
 
a) 135 b) 147 c) 151 
d) 158 e) 162 
 
 
2 
a) 
5 
 
3 
d) 
2 
2 
b) 
3 
 
3 
e) 
4 
2 
c) 
7 
 
Autoevaluación 
 
1. Dos números son entre sí como 3 es a 5. Si su suma es 
120. Hallar su producto. 
 
5. En una proporción geométrica continua la suma de los 
antecedentes es 28. Si la suma de los términos de la 
segunda razón es 70. Hallar la media proporcional. 
 
a) 20 b) 24 c) 16 
d) 18 e) 32 
 
6. En una carrera de 2 000 m un atleta “A” ganó a otro “B” 
por 400 m y “B” ganó a “C” por 200 m. ¿Por cuántos 
metros ganará “A” a “C” en una carrera de 3 000 m? 
 
a) 800 b) 950 c) 840 
d) 580 e) 460 
 
7. La razón aritmética de dos números es a la razón 
geométrica de los mismos como el número mayor es a 
49/10. Hallar la razón geométrica de los números. 
a) 2 375 b) 5 425 c) 3 325 
d) 3 375 e) 4 225 
2. Hallar la tercera proporcional de 25 y 20. 
a) 18 b) 16 c) 12 
d) 15 e) 24 
 
3. Las edades de José y Antonio son proporcionales a los 
números 7 y 5. Si hace 8 años sumaban 32 años. ¿Cuál 
es la edad actual de Antonio? 
 
a) 20 años b) 24 c) 25 
d) 28 e) 32 
 
4. En una proporción geométrica continua el mayor de los 
términos es 18 y el término intermedio es 12. Hallar la 
suma de los cuatro términos. 
 
7 
a) 
3
 
7 
b) 
2
 
4 
c) 
7
 a) 42 b) 48 c) 52 
 d) 60 e) 50 
4 
d) 
9 
2 
e) 
5 
 
5. En una caja hay 280 bolas de 3 colores distintos. Se 
observa que por cada 2 bolas azules hay 5 blancas y 
 
8. La suma de todos los términos de una proporción 
geométrica es 420. Hallar la suma de los consecuentes 
si el producto de las dos razones es 4/25. 
por cada 3 blancas hay 7 verdes. ¿Cuántas bolas verdes 
hay? 
 
a) 300 b) 180 c) 240 
d) 360 e) 120 
 
9. En una asamblea estudiantil se presenta una moción. 
En la primera votación por cada 4 votos a favor habían 
5 en contra, pedida la reconsideración se notó que por 
cada 7 votos a favor habían 4 en contra. Si 247 
estudiantes cambiaron de opinión y no hubo 
abstenciones, ¿cuántos estudiantes asistieron a la 
asamblea? 
 
 
 
 
Claves 
 
1. d 2. b 3. a 
4. e 5. d