5- Aritmética - Laura Blanco Carmona (3)

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ARITMÉTICA
P R O G R A M A A C A D É M I C O V I R T U A L
Ciclo: ANUAL UNI 
Docente: Ramiro Díaz Vásquez
PROMEDIOS
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E A R I T M É T I C A
R A Z . 
Promedio
Solución:
Es un valor representativo de un grupo de
datos.
Donde:
DEFINICION
menor dato≤ Promedio ≤ 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑑𝑎𝑡𝑜
Siendo los datos:
menor dato
mayor dato Ordenando los datos en forma creciente, tenemos:
16 ; 24; 25; 28 ; 29 ; 34; 37
mayor dato
∴ Posible Promedio = 27
Ejercicio : Dadas las siguientes cantidades; 25, 16, 29, 24, 34, 28, 37. De las 5
alternativas .¿Cuál podría ser el promedio?
A)13 B)37,5 C)15,8 D)27 E)38
Clave D
menor dato
𝑎1 ≤ 𝑎2 ≤ 𝑎3 ≤ 𝑎4 ≤ ⋯ ≤ 𝑎𝑛
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Promedios mas utilizados
PROMEDIO ARITMETICO O MEDIA
ARITMETICA ( 𝐌𝐀)
Tambien: MA =
suma de datos
cantidad de datos
Ejemplo 1 : Calcule la media aritmética de: 5, 5 ,5 y 5
Solución:
36
3
== 12
1 + 8 + 27
3
MA =
C U R S O D E A R I T M É T I C A
• Cuando sólo se menciona la palabra PROMEDIO
se asumirá que estamos hablando del promedio
aritmético.
Ejemplo 2 : Calcule la media aritmética de : 1, 8 y27.
Solución:
𝑎1 ≤ 𝑎2 ≤ 𝑎3 ≤ 𝑎4 ≤ ⋯ ≤ 𝑎𝑛
Dados :
MA =
𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4 +⋯+ 𝑎𝑛
n
20
4
== 5
5 + 5 + 5 + 5
4
MA =
∴La MA de 5, 5, 5 y 5 es 5
∴La MA de 1, 8 y 27 es 12 
Se tendrá:
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Promedios más utilizados
PROMEDIO GEOMETRICO O MEDIA
GEOMETRICA ( MG)
Se calcula así:
MG =
cantidad de datos
Producto de los datos
Solución:
MG =
4
5.5.5. 5 =
4
625 = 5
Solución:
MG =
3
1 . 8 . 27 =
3
1. 23. 33 =
3
63 = 6
• La media geométrica se utiliza generalmente
cuando los datos son más dispersos ( índices de
crecimiento poblacional).
C U R S O D E A R I T M É T I C A
MG = 𝑛 𝑎1𝑥𝑎2𝑥𝑎3.𝑥…𝑥𝑎𝑛
Tambien:
Ejemplo 3 : Calcule la media geometrica de: 5, 5 ,5 y 5
∴La MG de 5, 5, 5 y 5 es 5
Ejemplo 4 : Calcule la media geométrica de : 1, 8 y27.
∴La MG de 1, 8, 27 es 6 
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Promedios más utilizados
PROMEDIO ARMONICO O MEDIA
ARMONICA ( MH)
Es decir:
MH =
Número de datos
Suma de las inversas de los datos
C U R S O D E A R I T M É T I C A
Solución:
Es la inversa del promedio aritmético de las
inversas de los datos.
• La media armónica se utiliza en algunos casos
relacionado a la velocidad promedio.
MH =
4
1
5
+
1
5
+
1
5
+
1
5
=
4
4
5
= 5
MA =
𝑛
1
𝑎1
+
1
𝑎2
+
1
𝑎3
+⋯+
1
𝑎𝑛
Ejemplo 5 : Calcule la media armonica de: 5, 5 ,5 y 5
∴La MH de 5, 5, 5 y 5 es 5
Ejemplo 6 : Calcule la media armonica de : 1, 8 y27.
Solución:
MH =
3
1
1 +
1
8 +
1
27
=
3
251
216
=
648
251
= 2,58 (𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥. )
∴La MH de 1, 8, y 27 es 2,58 
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I AC U R S O D E A R I T M É T I C A
De los Ejemplos anteriores se puede observar
• Si los datos son iguales. MA = MG = MH = DATO
• Si no todos los datos son iguales. MA > MG > MH
Si en el problema sólo nos 
mencionan que son dos datos; 
por ejemplo: a y b ; tendremos 
en cuenta, lo siguiente: 
𝐌𝐀 𝐌𝐆 𝐌𝐇
MA =
𝑎 + 𝑏
2
MG = ab MH =
2
1
𝑎
+
1
𝑏
=
2𝑎𝑏
𝑎 + 𝑏
MG2 = MA.MH
(a − b)2= 4(MA +MG)(MA − MG) o (a − b)2= 4( MA2 −MG2)
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Recordemos que:
• Para el desarrollo de los problemas , se
recomienda realizar un recuadro con fines
prácticos, que tiene como datos a la 𝐌𝐀 y la
cantidad de datos.
suma de datos = MA x(cantidad de datos)
En algunos problemas tendremos como dato la
cantidad de datos y la MA , entonces podemos
despejar la suma de datos.
OBSERVACION
Aplicación : En una aula virtual del ciclo Anual UNI se observa que la
cantidad de varones es 30 y la cantidad de mujeres es 20, además la edad
promedio de los varones es 17 y la edad promedio de las mujeres es 16.
¿Calcule el promedio total de las edades del aula?
Resolución:
Ordenamos los datos y completamos el recuadro
30 20 50
17 16 ҧ𝑥
Nos piden ҧ𝑥.
𝑆𝑣𝑎𝑟𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑆𝑚𝑢𝑗𝑒𝑟𝑒𝑠 𝑆𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙+ =
17. (30) 16. (20) ҧ𝑥. (50)+ =
510 + 320 =
ҧ𝑥. (50)830 =
ҧ𝑥. (50)
16,6 = ҧ𝑥
C U R S O D E A R I T M É T I C A
MA =
suma de datos
cantidad de datos
Rpta. El promedio de las edades del aula es 16,6.
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
VARIACION DE LA 𝐌𝐀
Cuando de un conjunto de datos sin variar la
cantidad algunos aumentan o disminuyen su
valor, entonces la MA se altera y dicha variación se
calcula de la siguiente manera:
∆MA =
cantidad total
que se aumenta
a los datos
−
cantidad total
que se disminuye
a los datos
cantidad total de datos
Además: 𝑀𝐴𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = 𝑀𝐴𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 + ∆MA
C U R S O D E A R I T M É T I C A
• Al calcular la ∆MA , el resultado puede ser
positivo o negativo.
Ejemplo aplicativo : El promedio de 13 números es 18. Si a 4 de estos
números les quitamos 8 unidades, cada uno, y a 3 de ellos les aumentamos
2 unidades, cada uno, ¿Cuál es el nuevo promedio?
Solución:
Del enunciado
𝑀𝐴𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 18
∆MA =
3 2 − 4(8)
13
∆MA =
2 + 2 + 2 − (8 + 8 + 8 + 8)
13
3 números 4 números 
∆MA = - 2 El promedio disminuye 
la variación es negativa
Finalmente
MAfinal = MAinicial + ∆MA
Entonces
MAfinal = 18 − (2)
∴ MAfinal= 16En el caso de que sea positivo, quiere decir que el 
promedio aumenta; en caso sea negativo, el 
promedio disminuye.
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
PROMEDIO PONDERADO
Caso particular de la MA ; cuando los datos
poseen un determinado peso (w) .
P. P =
Σ𝑤𝑖.𝑥𝑖
Σ𝑤𝑖
De donde:
P. P =
𝑤1. 𝑥1 + 𝑤2. 𝑥2 +⋯+𝑤𝑛. 𝑥𝑛
𝑤1 + 𝑤2+⋯𝑤𝑛
Siendo: “n” datos
P. P: Promedio Ponderado
wi: peso del dato
Aplicación :
Las notas obtenidas por un estudiante en su cuarto ciclo en la universidad,
en la especialidad de Ing Industrial. se muestran en la tabla , calcule la nota
promedio del estudiante.
Curso Nota Créditos
Ecuaciones Diferenciales 14 5
Física IV 16 4
Fisico Química I 12 5
Mecanica Racional 11 6
Resolución:
Dado que las notas obtenidas tienen diferente peso, en el calculo del
promedio usaremos el promedio ponderado.
P. P =
14 5 + 16 4 + 12 5 + 11(6)
5 + 4 + 5 + 6
Rpta . el promedio del estudiante es 13.
∴ P. P = 13
xi: valor del dato
C U R S O D E A R I T M É T I C A
En la Universidad cada curso que se lleva tiene un 
determinado peso dependiendo; de la importancia del 
curso, número de horas, especialidad, etc.
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E A R I T M É T I C A
VELOCIDAD PROMEDIO ( 𝑽𝒑𝒓𝒐𝒎)
También se le conoce como velocidad media.
Vprom =
distancia total recorrida
tiempo total empleado
Se calcula de la siguiente manera:
Se presentan dos casos:
Si el móvil recorre espacios iguales; con tiempos
diferentes; la velocidad promedio será la 𝐌𝐇 de las
velocidades.
𝑡1 𝑡3𝑡2𝑉1
→
𝑉2
→
𝑉3
→
𝑑 𝑑 𝑑
CASO I :
Un auto va de Lima a Chiclayo a 90 km/h y regresa de Chiclayo a Lima a 
120 km/h.¿Cuál es su velocidad promedio ? 
Ejemplo:
Solución:
Lima Chiclayo90 km/h
120 km/h
d
𝑽𝒑𝒓𝒐𝒎 =
𝒅 + 𝒅
𝒅
𝟗𝟎
+
𝒅
𝟏𝟐𝟎
= 𝐌𝐇 𝟗𝟎; 𝟏𝟐𝟎 = 𝟏𝟎𝟐, 𝟖𝟔 𝑲𝒎/𝒉
Rpta. La velocidad promedio es 102,86 Km/h
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
CASO II :
Si el móvil recorre espacios diferentes en tiempos
iguales; la velocidad promedio será la 𝐌𝑨 de
diferentes velocidades.
𝑡 𝑡𝑡𝑉1
→
𝑉2
→
𝑉3
→
𝑑1 𝑑2 𝑑3
Ejemplo:
Un Ciclista recorre tres tramos de diferentes longitud a 30 km/h, 40 km/h 
y 38 km/h ; pero en tiempos iguales.¿Cuál será su velocidad promedio ? 
Solución:
30 Km/h 40 Km/h 38 Km/h
𝑡
𝑡
𝑡
𝑡 𝑡
𝑽𝒑𝒓𝒐𝒎 =
𝒅𝟏+𝒅𝟐+𝒅𝟑
𝒕+𝒕+𝒕
=
𝟑𝟎𝒕+𝟒𝟎𝒕+𝟑𝟖𝒕
𝟑𝒕
=
108𝑡
3𝑡
= 36 𝑘𝑚/ℎ
Rpta. La velocidad promedio del ciclista será 36 km/h.
w w w . a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e