Medidas de tendencia central (3) (1)

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MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
MEDIA, MEDIANA Y MODA
TEMA 
Medidas de tendencia central para datos simples(no agrupados) y datos agrupados.
Media o promedio 
Mediana
Moda
SECCIÓN DE REFERENCIA
SECCIÓN DE REFERENCIA
Al finalizar el estudiante calcula e interpreta medidas de tendencia central para datos agrupados y no agrupados usando las fórmulas adecuadas.. 
RESULTADO DE APRENDIZAJE DE LA SESIÓN
SECCIÓN DE REFERENCIA
SECCIÓN DE REFERENCIA
REFLEXIÓN DESDE LA EXPERIENCIA
	Consumo de agua()	Marca de clase(xi)	Nº de familias
fi	hi	Fi
	[ 04 , 08 [	6	2	0.050	2
	[ 08 , 12 [	10	4	0.100	6
	[ 12 , 16 [	14	14	0.350	20
	[ 16 , 20 [	18	12	0.300	32
	[ 20 , 24 ]	22	8	0.200	40
	Total 		40	1	 
La siguiente tabla corresponde al consumo familiar de agua del último mes registrado en en la ciudad de Juliaca
a)Determine el consumo promedio de agua de las familias de la ciudad de Juliaca.
b)Determine el consumo máximo de agua del 50% de las familias de la ciudad de Juliaca.
c)¿A cuánto asciende el consumo de agua de la mayoría de familias de la ciudad de Juliaca?
SECCIÓN DE REFERENCIA
SECCIÓN DE REFERENCIA
Medidas de Tendencia Central 
Son aquellas que tienden a ocupar posiciones centrales en un conjunto de datos. 
Entre estas tenemos:
Media o promedio aritmético Mediana *Media ponderada 
Moda 
Recuperado de: https://www.lifeder.com/medidas-tendencia-central-datos-agrupados/
Media o promedio 
También llamada media aritmética o promedio aritmético. Es la medida más utilizada, conocida y fácil de calcular e interpretar. Es apropiada cuando la mayoría de los datos, se ubican al centro de una distribución.
Cálculo de la media aritmética para datos no agrupados:
El cálculo de la media aritmética para datos no agrupados se realiza dividiendo la suma de todos los valores que toma la variable entre el número de datos.
A continuación se dan los resultados obtenidos con una muestra de 8 universitarios, la característica es el tiempo de reacción ante un medicamento (segundos) :
 117 161 116 138 353 123 376 194
Calcule el tiempo promedio de reacción 
El tiempo promedio de reacción ante un medicamento es 197.25 segundos.
TÍTULO
TÍTULO
La mediana de un conjunto de datos ordenados es el valor que divide en dos partes a dicho conjunto. 
El 50% de las observaciones son menores o igual la mediana y se denota por Me.
Cálculo de la Me para datos previamente ordenados o presentados en tablas de frecuencia ( no en intervalos)
Moda
La moda es el valor de la variable que se presenta con mayor frecuencia o que más se repite en un conjunto de datos y se denota por Mo.
Cálculo de la moda para datos no agrupados
Mo: Valor de la variable que más se repite 
Nota: En algunos casos, es posible que los datos observados no presenten Moda. Mientras que otros casos es posible tengan más de una Moda. 
Mediana
Si n es impar la Me es el valor central
Si n es par la Me es el promedio de los dos 
valores centrales
Los siguientes datos corresponden al tiempo de reacción ante un medicamento (segundos) para una muestra de 10 diez universitarios:
Calcule la mediana y moda.
117, 161, 116, 138, 353, 138, 376, 194, 138, 161 
a)Para calcular la mediana se ordena los datos en forma creciente.
Como n=10(par) entonces: 
Me = 149.5
Mediana
El 50% de los estudiantes tiene un tiempo de reacción al medicamento menor que 149.5 segundos.
b) Calcule la moda:
Mo=138 (valor que más se repite)
Moda
El tiempo de reacción al medicamento de 138 segundos, ha sido el que más se ha observado entre los estudiantes.
Cálculo de la media para datos agrupados por frecuencias
Media Poblacional
Media Muestral
Se suma, el producto de cada valor de la variable por su respectiva frecuencia absoluta y luego se divide entre la cantidad total de datos. 
Los datos siguientes corresponden a las estaturas(en metros) de una muestra de 133 varones del distrito de los Olivos. Calcule la estatura promedio. 
	Estatura(m)
Xi	Número de hombres (fi)
	1.60	3
	1.63	12
	1.66	65
	1.70	48
	1.75	5
 = 
	Estatura(m)	Número de hombres(fi)	xifi
	1.60	3	 4.80
	1.63	12	 19.56
	1.66	65	107.90
	1.70	48	 81.60
	1.75	5	 8.75
	Total	133	 222.61
 = 
Según la muestra, la estatura promedio de los varones de Los Olivos es 1.67m.
Calculamos el promedio
En este caso, el método será el mismo que se utilizó cuando se trató de datos ordenados; es decir, se tomará en cuenta si el número de datos es par o impar; para lo cual, una gran ayuda puede ser hallando las frecuencias absolutas acumuladas. 
Cálculo de la mediana para datos agrupados por frecuencias
Calcule la mediana de los ingresos semanales de grupo A y los ingresos mensuales del grupo B.
	Ingresos
(Soles)	Número de personas(fi)
	300
330
350
360	10
15
20
5
	Ingresos
(Soles)	Número de personas(fi)
	1500
1550
1580
1600	20
30
10
20
Grupo A
Grupo B
Dado que n = 50 (Nº par) la Me será el promedio de los dos valores centrales: Me = 340
El 50% de las personas del grupo A tienen ingresos semanales menores o iguales a 340 soles.
Grupo A
Grupo B
	Ingresos
(Soles)	Número de personas(fi)	Fi
	300	10	10
	330	15	25
	350	20	45
	360	5	50
	Total 	50	 
	Ingresos
(Soles)	Número de personas(fi)	Fi
	1500	20	20
	1550	30	50
	1580	10	60
	1600	20	80
	Total 	80	 
Por ser n = 80; la Me es el promedio de los dos valores centrales: Me = 1550
El 50% de las personas del grupo B tienen ingresos semanales menores o iguales a 1550 soles.
La moda en datos agrupados por frecuencia es el valor de la variable que tenga asociada la mayor frecuencia absoluta.
Cálculo de la moda para datos agrupados por frecuencias
	Ingresos
(Soles)	Número de personas(fi)
	300
310
340
360	10
15
20
5
	Ingresos
(Soles)	Número de personas(fi)
	1500
1550
1570
1590	20
30
30
20
Grupo A
Grupo B
Calcule la moda de los ingresos semanales de grupo A y los ingresos mensuales del grupo B.
El ingreso semanal más frecuente en el grupo A es de 340 soles.
Los ingresos mensuales que más se han observado en el grupo B han sido de 1550 y 1570 soles(bimodal).
Cálculo de la media para datos agrupados por intervalos
Donde:
 es la marca de clase
 es la frecuencia absoluta
n:tamaño de la muestra
Los datos siguientes corresponden a las estaturas (cm) de los hombres de 20 años, del distrito de Surco. Complete la tabla de frecuencias y calcule la estatura promedio 
	Estatura
(intervalos)	Marca de clase(xi)	fi	hi	Fi	Hi
	[150 , [	 	 	 	 	0.48
	[ , 166 [		 	0.32	 	 
	[ , [	 	 	 	 	0.95
	[ , [	 	 	 	200	 
	Total	 	 	 	 	 
Limite máximo es 182 (límite superior del último intervalo)
	Estatura (intervalos)	Marca de clase	fi	hi	Fi	Hi	xifi
	[150 , 158 [	154	96	0.48	96	0.48	14784
	[158 , 166 [	162	64	0.32	160	0.8	10368
	[166 , 174 [	170	30	0.15	190	0.95	5100
	[174 , 182 [	178	10	0.05	200	1	1780
	Total	 	200	1	 	 	32032
Completamos la tabla y calculamos el promedio
=
La estatura promedio de los hombres de 20 años, residentes en el distrito de Surco es de 160.16 cm. 
Cálculo de la mediana para datos agrupados por intervalos
Identificamos primero la clase en la que se encuentra la mediana. El valor se determina por la siguiente expresión
Lii = Límite inferior de la clase mediana.
C = Amplitud del intervalo de la clase mediana.
fi = Frecuencia absoluta simple de la clase mediana.
n = Número total de datos.
Fi-1 = Frecuencia absoluta acumulada anterior a la clase mediana
Posición de la mediana
Me(k) = n/2
La mediana será la posición de la frecuencia absoluta acumulada que sea mayor o igual que n/2
	Ingreso
(intervalos)	Marca de clase	fi	Hi	Fi
	[ , [	 	30	 	 
	[ , [	 	45	 	 
	[ , [	 	30	 	 
	[ , [	 	140	 	 
	[ , [	 	130	 	 
	[ , 450 [	425	25	 	 
	Total 	 	 	 	 
En una gran ciudad, se tomó una muestra aleatoria de personasque trabajan en el sector privado y se les preguntó por su ingreso semanal obteniéndose los siguientes resultados.
Complete la tabla de distribución de frecuencias y calcule la mediana del ingreso
	Ingreso
(intervalos)	Marca de clase	fi	hi	Fi
	[ 150 , 200 [	175	30	0.075	30
	[ 200 , 250 [	225	45	0.113	75
	[ 250 , 300 [	275	30	0.075	
	[ 300 , 350 [	325		0.350	245
	[ 350 , 400 [	375	130	0.325	375
	[ 400 , 450 [	425	25	0.063	400
	Total 	 	400	1	 
=300+50
El 50% de las personas que trabajan en el sector privado, tienen ingresos semanales menores a 333.9 soles.
105
140
Clase de la 
mediana
Cálculo de la moda para datos agrupados por intervalos
Cálculo de la moda para datos agrupados por intervalos
Identifique la clase con mayor frecuencia(clase modal).
Obtenga el valor de la moda mediante la expresión:
Li = Límite inferior de la clase modal 
C = Amplitud del intervalo de la clase modal
fi = Frecuencia absoluta de la clase modal. 
d1 = fi – fi-1 
d2 = fi – fi +1
En una gran ciudad, se tomó una muestra aleatoria de personas que trabajan en el sector privado y se les preguntó por su ingreso semanal obteniéndose los siguientes resultados.
	Ingreso
(intervalos)	fi
	[ 150 , 200 [	30
	[ 200 , 250 [	45
	[ 250 , 300 [	30
	[ 300 , 350 [	140
	[ 350 , 400 [	130
	[ 400 , 450 [	25
	Total 	400
Calcular la moda
Mo=345.83
El ingreso semanal más frecuente observado entre los trabajadores del sector privado es de 345.83 soles. 
-
-
Mo=300+50
	Ingreso
(intervalos)	fi
	[ 150 , 200 [	30
	[ 200 , 250 [	45
	[ 250 , 300 [	30
	[ , 350 [	140
	[ 350 , 400 [	130
	[ 400 , 450 [	25
	Total 	400
300
Clase de la 
moda
Medidas de asimetría
Tienen por objeto dar información sobre la forma de la distribución poblacional; es decir, muestra la dirección hacia donde se inclina la distribución con respecto al centro de la distribución.
Coeficiente de asimetría de Karl Pearson: As
Mide si los datos aparecen ubicados simétricamente o no respecto de la 
 media.
 
Si As = 0 la distribución es simétrica alrededor de la media.
Si As > 0 la distribución tiene asimetría positiva (cola hacia la derecha).
Si As < 0 la distribución tiene asimetría negativa (cola hacia la izquierda).
El coeficiente de asimetría de Karl Pearson, para datos simples o agrupados se calcula con la siguiente formula:
Coeficiente de asimetría para datos simples o agrupados
Relación entre las tres medidas de tendencia central
1. Simétrica: 
 = Me = Mo 
2. Asimétrica positiva (sesgada a la derecha): 	 Mo < Me < 
3. Asimétrica negativa (sesgada a la izquierda):
 < Me < Mo
Nota.- Los puntos 2 y 3 se cumplen sólo en distribuciones que tienen asimetrías bien definidas 
Apliquemos lo aprendido
Trabajo colaborativo:
En equipos de 4 integrantes desarrollar los problemas de la guía
Tiempo estimado: 60 minutos.
Integramos lo aprendido
¿Qué es la mediana? 
¿Cuándo se utiliza la mediana?
Actividad Asincrónica (virtual)
Resolver el cuestionario virtual de la semana 3
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Anderson, D. (2008). Estadística para administración y economía. México, D. F.: Cengage Learning. 10ª edición. Disponible en Biblioteca: https://grupoeducad-my.sharepoint.com/:b:/g/personal/malvarez_cientifica_edu_pe/EfmckGutuRVEmTlp_PFA2sgBe6-Gdu3J7-Ct0rYCLZSK8Q
Johnson, R. (2004). Estadística elemental: lo esencial. México, D. F.: International Thomson. Disponible en Biblioteca: 519.5 / J67 / 2004.
 
Martínez, C. (2012). Estadística y muestreo. Bogotá: Ecoe Ediciones. Disponible en Biblioteca: 519.52 / M26 / 2012.
 
Palacios C., Severo. (2010). Estadística experimental. Aplicada a ciencia e ingeniería. 1ª. Edición. Concytec. Disponible en Biblioteca: https://grupoeducad-my.sharepoint.com/:b:/g/personal/ehinostrozar_cientifica_edu_pe/EejSxiCIZo5Mmz284-ZjriEB5JkTJwJPoZ7JkAqOVg8X9A?e=ZTN4Ey
 
Salazar, C. Del Castillo, S. (2018). Fundamentos básicos de estadística. 1ª edición. Disponible en Biblioteca: https://grupoeducad-my.sharepoint.com/:b:/g/personal/malvarez_cientifica_edu_pe/EX7CejlZbBZKukecWJpvRaIBy06W6cs1qX2fG0CxlWcwSQ
Triola, M. (2018). Estadística. México, D. F.: Pearson Educación. 12ª edición. Disponible en Biblioteca: https://grupoeducad-my.sharepoint.com/:b:/g/personal/malvarez_cientifica_edu_pe/EWWDv2kMz_NOsnHN6OaNyVYBOCVZIFLGBFaQqmrXUGmg3Q
 
 Walpole, R.; Myers, R.; Myers, S; Ye, K. (2012) Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias. 9ª edición. Disponible en Biblioteca: https://grupoeducad-my.sharepoint.com/:b:/g/personal/ehinostrozar_cientifica_edu_pe/ESqzEQPTJSNCiWzRQ3xtcxsBhDRarSKofShxY9d5uLyyVQ?e=CyCmyl
 
SECCIÓN DE REFERENCIA
SECCIÓN DE REFERENCIA
MUCHAS GRACIAS
N
X
N
X
X
X
población
la
de
Media
N
i
i
n
å
=
=
+
+
+
=
1
2
1
.........
:
m
n
x
n
x
x
x
x
muestra
la
de
Media
n
i
i
n
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=
+
=
+
+
=
1
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.....
..........
:
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ú
û
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-
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F
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1
2