PROPIEDADES DE LOS DATOS NUMERICOS

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CATEDRA PROBABILIDAD Y ESTADISTICA – FAC. DE INGENIERIA – UNJu – LIC. MARTA CORRO- 1 
ESTADISTICA DESCRIPTIVA 
PROPIEDADES DE LOS DATOS NUMERICOS - 16 DE ABRIL DE 2010- 
Las tres propiedades principales que describen un conjunto de datos numéricos son: 
 Tendencia central 
 Dispersión 
 Forma 
En todo análisis se pueden utilizar diversas medidas descriptivas de tendencia central, dispersión y forma 
para extraer y resumir las principales características de los datos. Si se calculan a partir de una muestra se 
las denomina estadísticos, si se calculan a partir de una población se las denomina parámetros. 
Como los especialistas en estadística suelen tomar muestras en vez de poblaciones, el énfasis de este 
curso estará más orientado hacia los estadísticos que a los parámetros. 
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL 
La mayor parte de un conjunto de datos muestran una tendencia a agruparse alrededor de un punto 
“central” y, por lo general, es posible elegir algún valor promedio, que describa todo el conjunto de datos. 
Aunque la palabra promedio se refiere a cualquier medida de resumen de tendencia central, se utiliza con 
mayor frecuencia como sinónimo de media. 
Con frecuencia se utilizan cuatro tipos de promedio como medidas de tendencia central, que son: Media 
Aritmética, Mediana, Moda y Rango Medio 
MEDIA ARITMÉTICA 
La Media Aritmética (o Media como se la llama comúnmente) es la medida de tendencia central que se usa 
con más frecuencia. Se calcula sumando todas las observaciones de un conjunto y dividiendo después ese 
resultado entre el número total de elementos involucrados. O sea dado un conjunto de n datos numéricos : 
x1, x2,..., xn se define la media aritmética como : 
n
x
n
1i
i
x (1) 
El cálculo de la media se basa en todas las observaciones del conjunto de datos. Ninguna otra medida de 
posición posee esta característica. 
Ejemplo 1 : Los siguientes datos corresponden a las temperaturas diarias (en grados centígrados) 
registradas durante una semana del mes de julio en San Salvador de Jujuy : 3, 2, 1, 2, 1, 0, -1 
En este caso la media aritmética resulta 
x =( 3 + 2 + 1 + 2 + 1 + 0 - 1 ) / 7 = 8 / 7, luego x  1,14. 
Se concluye que la “temperatura promedio en esa semana fue de 1, 14°C aproximadamente” 
Una representación de la distribución de frecuencias mediante un diagrama de puntos sería 
 
Se puede tener una representación física de la media x si se piensa en una regla numérica equilibrada 
sobre un punto de apoyo, sobre la cual se coloca una pesa en el número correspondiente a cada 
observación. La media actúa como punto de equilibrio. 
 
Como el cálculo de la media aritmética de un conjunto de datos se basa en todas las observaciones resulta 
muy afectada por valores extremos. En tales casos la media aritmética representa una imagen distorsionada 
de la información que contienen los datos realmente y no resultará la mejor medida de tendencia central 
para describir o resumir ese conjunto de datos .Para ilustrar esa situación se presenta el siguiente ejemplo. 
 
Ejemplo 2: Tomemos dos muestras de una misma población y calculemos sendas medias aritméticas. 
Muestra 1 : 14, 42, 13, 14, 16, 21 n = 6 En este caso x = 20 
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Muestra 2 : 20, 22, 17, 20, 23, 18 n = 6 También en este caso x = 20 
 
 
Estas dos figuras ilustran diagramas de puntos de las dos muestras. Si bien el promedio en ambas es 20, 
las dos muestras tienen características muy distintas. Por ejemplo para la muestra 1, cuatro de las seis 
observaciones son muy distintas de la observación tomada en segundo término. Para esta muestra la media 
aritmética da una imagen distorsionada de la información que contienen los datos y no es la mejor medida 
de tendencia central que se pueda utilizar. Por otro lado, para la muestra 2 la media es la medida 
descriptiva apropiada para resumir y caracterizar ese conjunto de datos puesto que no se dan 
observaciones muy diferentes. 
Ejemplo 3: Los siguientes datos representan el período de vida, en segundos, de 50 moscas que están 
sujetas a un nuevo insecticida en un nuevo experimento controlado de laboratorio: 
El tiempo promedio de vida de los 50 datos es x = 12, 32 segundos. 
 
 
MEDIA ARITMETICA OBTENIDA A PARTIR DE UNA DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS DE DATOS NO 
AGRUPADOS 
Se puede obtener también x a partir de la distribución de frecuencias de los valores posibles de la variable 
x. Obviamente es para el caso que el número de valores posibles de la variable sea pequeño. 
En este caso 




n
1i
i
n
1i
ii
f
fx
x (2) 
x : media aritmética, n: número de valores distintos de la variable x, 
f i: frecuencia (número de observaciones iguales a xi) 
 
Ejemplo 4 : Se ha realizado un estudio del número de hijos de mujeres de un lugar de España. Para ello ha 
tomado una muestra de 100 mujeres mayores de 15 años y se ha registrado el número de hijos de las 
mismas. El resultado ha sido: 
Xi número de hijos fi número de mujeres 
0 13 
1 20 
2 25 
3 20 
4 11 
5 7 
6 4 
Total 100 
Se pide calcular el número promedio de hijos de las mujeres de la muestra. 
12 4 5 18 6 7 15 6 13 7 32 7 9 8 8 7 14 9 24 10 16 19 10 13 10 
11 12 3 13 10 13 7 13 14 9 7 15 16 10 17 18 6 18 19 10 20 23 9 27 7 
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100
4675114203252201130 
x = 2,33 
Con frecuencia es necesario obtener medidas descriptivas de resumen para datos agrupados en 
distribuciones de frecuencia. En muchos casos, los analistas obtienen esas distribuciones en forma directa 
de artículos publicados en revistas, periódicos, publicaciones especializadas, etc. En esas situaciones, 
simplemente no están disponibles los datos originales. En otros casos en que si están disponibles los datos 
originales, pero no una computadora, es muy laborioso obtener las características sobresalientes de los 
datos conforme aumenta el número de observaciones, a menos que se agrupen primero los datos en tablas 
y gráficas. En tanto que las medidas descriptivas que se calculan de datos no agrupados (datos en su forma 
original o en un arreglo ordenado) ofrecen resultados reales, se pueden obtener aproximaciones de estas 
medidas descriptivas a partir de los datos agrupados. 
MEDIA ARITMETICA OBTENIDA A PARTIR DE UNA DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS DE DATOS 
AGRUPADOS 
Como en la distribución de frecuencias de datos agrupados se utiliza el punto medio de cada clase para 
representar todas las observaciones que caen dentro de cada clase, se puede aproximar la media aritmética 
de una muestra de la siguiente manera: 
n
fm
k
1i
ii
x (3) 
en donde 
x : media aritmética, 
n: número de observaciones en la muestra (tamaño de la muestra), 
mi: marca de clase (centro del intervalo), 
f i: frecuencia de la clase (número de observaciones clasificadas en la i-ésima clase, 
k: número de clases 
Ejemplo 5: Se presenta la distribución de frecuencias de las duraciones de 40 baterías de auto similares. 
Las baterías estaban garantizadas para durar 3 años. A fin de opinar al respecto se desea calcular 
aproximadamente el tiempo promedio de duración de las 40 baterías, usando solo la tabla de distribución de 
frecuencias pues no se disponen de los datos individuales. 
DURACIONES DE BATERIAS DE AUTOMOVILES 
Duraciones de las 
baterías Marcas de Clase Nº de baterías 
(en años) m i f i m i f i 
[ 1,5 , 2,0) 1,75 2 3,50 
[ 2,0 , 2,5) 2,25 1 2,25 
[ 2,5 , 3,0) 2,75 4 11,00 
[ 3,0 , 3,5) 3,25 15 48,75 
[ 3,5 , 4,0) 3,75 10 37,50 
[ 4,0 , 4,5) 4,25 5 21,25 
[ 4,5 , 5,0) 4,75 3 14,25 
Total 40 138,5 
 
Luego el tiempo promedio de duración de las 40 baterías es x = 138,5/40 = 3,4625 años. 
 
LA MEDIANA 
La mediana de un conjunto de números se define como el valor a partir del cual la mitad de los 
elementostiene un valor igual o superior al de la mediana y la otra mitad tiene un valor inferior o 
igual al de la mediana. 
La mediana de una muestra se denota a veces por x~ . 
La mediana es el valor que se encuentra en el centro de un LOTE ORDENADO; es decir, la mediana 
divide el lote ordenado en dos partes iguales. Los datos de una parte son menores o iguales que la mediana 
y los de la otra parte son mayores o iguales que la mediana. 
Para calcular la mediana a partir de un conjunto de datos recolectados en su forma natural: 
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x1, x2, ... , xn 
Primero se debe ordenar el conjunto, obteniéndose los estadísticos de orden 
x(1), x(2), ... , x(n), (4) 
donde x(1) denota la observación más pequeña, x(2) la segunda observación más pequeña, ..., y x(n) denota 
la observación más grande, es decir 
x(1)  x(2)  ...  x(n), 
A este conjunto se le denomina un arreglo ordenado (o lote ordenado). Después se utiliza la fórmula de 
posicionamiento de la mediana 
2
1n 
 (5) 
para localizar el lugar que ocupa la mediana en el lote ordenado. 
Regla 1: Si el tamaño del lote es un número impar, la mediana está representada por el valor numérico 
correspondiente a la posición (n + 1)/2 de las observaciones ordenadas. 
 
Regla 2: Si el tamaño del lote es un número par, entonces la posición de la mediana estará entre las dos 
observaciones centrales. Por ello, la mediana es el promedio de los valores numéricos 
correspondientes a estas dos observaciones centrales. 
 
En términos matemáticos, 
 
 





 

parn,
2
xx
imparn ,x
x~
)12/n()2/n(
)2/1n(
 (6) 
Ejemplo 6: Para hallar la mediana en el ejemplo 1, primero se obtiene la muestra ordenada: 
-1, 0, 1, 1, 2, 2, 3 
Observación ordenada 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª 
Para estos datos la posición de la mediana es: (7 + 1)/2 = 4. 
Por lo tanto, la mediana es el valor de la muestra ordenada que ocupa la posición 4ª , o sea 1. x~ = 1. Es 
decir que la “temperatura mediana en esa semana fue de 1°C” 
Marque en el gráfico la media y la mediana y compare. 
 
 
Ejemplo 7: En la muestra 1 del ejemplo 2, para hallar la mediana, ordenamos previamente la muestra, 
resultando: 
Muestra 1 ordenada 13, 14, 14, 16, 21, 42 n = 6 
 
La posición de la mediana será (6+1)/2 = 3,5. 
Luego la mediana es el promedio de los dos datos centrales marcados, x~ = (14+16)/2 = 15 
En el gráfico de puntos se indican la media y la mediana. Compare y cite conclusiones. 
 
 
La mediana no se ve afectada por las observaciones extremas en un conjunto de datos. Por ello cuando se 
presenta alguna observación extrema resulta apropiado utilizar la mediana y no la media para representar el 
conjunto de datos. Esta situación se ilustra en el último ejemplo. 
Ejemplo 8: Para los datos del ejemplo 3 calculamos la mediana del tiempo de vida, en segundos, de las 50 
moscas sujetas a un nuevo insecticida. En primer lugar ordenamos los datos y obtenemos el siguiente 
arreglo. 
3 4 5 6 6 6 7 7 7 7 7 7 7 8 8 9 9 9 9 10 10 10 10 10 10 
11 12 12 13 13 13 13 13 14 14 15 15 16 16 17 18 18 18 19 19 20 23 24 27 32 
La posición de la mediana será (50 + 1 )/2 = 25,5. Esto indica que la mediana será el promedio de los dos 
datos centrales, los que ocupan la posición 25º y 26º. Es decir: 
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Mediana = 5,10
2
1110
2
xx )26()25(




 
Conclusión: El tiempo mediano de vida de las 50 moscas sometidas al nuevo insecticida es de 10,5 
segundos. 
Estadísticamente hablando esto significa que la mitad de los tiempos de vida de las 50 moscas son 
menores o iguales a 10,5 segundos y la otra mitad mayores a ese valor ( en este caso no ponemos el “=” 
pues aquí la mediana no es un dato). 
Ahora bien, puesto que cada tiempo está asociado a una mosca (la unidad experimental), podemos citar 
nuestras conclusiones diciendo “la mitad de las moscas vivió menos de 10,5 segundos y la otra mitad 
vivió un tiempo mayor”. 
Ejemplo 9: Para determinar la mediana de los n = 100 datos del ejemplo 4, podríamos agregar a la tabla 
otra columna con las frecuencias acumuladas. 
 
Xi número 
de hijos 
 fi número 
de 
mujeres 
frecuencias 
acumuladas 
0 13 13 
1 20 33 
2 25 58 
3 20 78 
4 11 89 
5 7 96 
6 4 100 
Total 100 
 
En este caso la posición de la mediana será 
(100 + 1 )/2 = 50,5. Esto indica que la mediana 
será el promedio de los dos datos centrales, los 
que ocupan la posición 50º y 51º. En la tabla 
observamos que los datos x(50) y x(51) son iguales 
a “2”. Luego “el número mediano de hijos es 2”. 
Como cada dato está asociada a una mujer, 
expresamos nuestras conclusiones diciendo que 
” la mitad de las mujeres de ese lugar de 
España tienen como máximo 2 hijos y la otra 
mitad de mujeres tienen por lo menos 2 hijos”. 
 
 
MEDIANA DE DATOS AGRUPADOS 
Para datos agrupados, la mediana se obtiene mediante interpolación y viene dada por 
Mediana = L1 + 
 
c
f
f
2
n
mediana
1












 
 (7) 
donde L1 = límite real inferior de la clase mediana ( es decir, la clase que contiene la mediana) 
 n = número de datos 
 ( f)1 = suma de las frecuencias de todas las clases por debajo de la clase mediana. (O sea número de 
observaciones de todas las clases por debajo de la clase mediana) 
 fmediana = frecuencia de la clase mediana (clase que contiene a la mediana) 
 c = tamaño del intervalo de la clase mediana (amplitud del intervalo) 
Ejemplo 10: Para hallar la mediana de los datos que representan las duraciones de 40 baterías de auto 
similares, a partir de la distribución de frecuencias indicadas en ejemplo 5, procedemos como sigue: 
En primer lugar ubicamos el intervalo de clase que contiene la mediana. 
La fórmula de posicionamiento de la mediana nos indica que la mediana ocupa la posición (40 + 1)/ 2 = 
20,5 de la muestra ordenada. Esto es, veinte datos son menores o iguales que la mediana y 20 son 
mayores o iguales. 
Puesto que la suma de las frecuencias de las tres y cuatro primeras clases son respectivamente 2 + 1 + 
4 = 7 y 2 + 1 + 4 + 15 = 22, está claro que la mediana se encuentra en la cuarta clase. 
Luego la clase mediana será [ 3,0 , 3,5) . 
 Entonces L1 = 3,0; n = 40; ( f)1 = 2 + 1 + 4 = 7 ; fmediana = 15; c = 3,5 – 3,0 = 0,5; 
 así se tiene 
 
años43,35,0
15
7
2
40
0,3c
f
f
2
n
LMediana
mediana
1
1 




























 
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Geométricamente, la mediana es el valor de la variable (abscisa) que corresponde a la vertical que 
divide un histograma en dos partes de igual área. Luego, la mediana puede estimarse a partir de un 
histograma. 
Analizaremos como obtener la mediana a partir de una ojiva porcentual (polígono de frecuencias 
relativas porcentuales acumuladas). 
Ejemplo 11: Se muestra a continuación la ojiva porcentual correspondiente a los datos de tiempos de 
duración de 40 baterías de automóviles. 
 
La mediana es la abscisa del punto P sobre la ojiva, cuya ordenada es el 50%. Puede obtenerse 
aproximadamente del gráfico buscando simplemente la abscisa del punto P. En nuestro caso observamos 
que es aproximadamente 3,43 o 3,44. 
Para calcular su valor nos basamos en los triángulos semejantes PQR y TSR 
30
13
RQqueasí
15
13
%5,17%55
%5,17%50
5,0
RQ
o
ST
PQ
RS
RQ



 
Entonces 
Mediana = 3,0 + RQ = 3,0 + 13/30 = 3,433333...  3,43 
 
x~ = 3,43 
 
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LA MEDIA RECORTADA 
De la misma manera que la mediana, la media recortada es una medida de tendencia central que se 
diseñó para que no esté afectadapor datos atípicos. La media recortada se calcula a partir del arreglo 
ordenado, “recortando” un número igual de datos a partir de cada extremo y calculando la media de los 
restantes. Si se ”recorta” el p% de los datos de cada extremo, la media recortada resultante se denomina 
“media recortada un p%”. No existe fórmula ni fácil ni difícil para saber cuántos valores se deben recortar. 
Las más comunes son las medias recortadas al 5, 10 y 20%. 
 Debido a que el número de datos recortados debe ser un número entero, en muchos casos es 
imposible recortar los porcentajes exactos que se piden de los datos. Si el tamaño muestral se denota por n 
y se desea recortar un p%, el número de datos a ser recortados es np/100. Si este no es un número entero, 
lo más sencillo que se debe hacer cuando se calcula manualmente es redondear al entero más cercano y 
recortar esa cantidad. 
 
LA MODA 
En ocasiones, cuando se describe o se resume un conjunto de datos, se utiliza la moda como medida de 
tendencia central. 
La moda de un conjunto de datos es el valor que se presenta con mayor frecuencia en la muestra. 
Se obtiene fácilmente a partir de un arreglo ordenado. 
A diferencia de la media aritmética, la moda no se afecta ante la ocurrencia de valores extremos. Sin 
embargo solo se utiliza la moda para propósitos descriptivos porque es más variable para distintas 
muestras, que las demás medidas de tendencia central. Puede no existir y en caso de existir puede no ser 
única. 
Ejemplos 12: En el ejemplo 1 hay dos modas 1°C y 2°C. En el ejemplo 2 la moda es 14 para la muestra 1 y 
para la muestra 2 la moda es 20. 
La siguiente muestra 5, 1, 6, 9, 2, 3 no tiene moda. 
La muestra 2, 8, 9, 6, 2, 8, 6, 2, 8, 7, 3 presenta dos modas 2 y 8. Estos datos se describen como 
bimodales. 
Una distribución de datos que presenta una sola moda se llama unimodal. Si presenta dos modas, bimodal 
y una distribución es multimodal si presenta más de dos modas. 
En ocasiones, cuando el tamaño de la muestra lo permite, conviene ordenar los datos para poder obtener 
más fácilmente la/s moda/s, si es que existen. 
Ejemplo 13: En el ejemplo 3 el tiempo modal de vida es de 7 segundos (pues 7 segundos es el dato que 
presenta la mayor frecuencia) 
Ejemplo 14: En el ejemplo 4 observando la segunda columna de la tabla concluimos que el número modal 
de hijos de las 100 mujeres de ese lugar de España es 2 ( pues es el número de hijos que presenta la 
mayor frecuencia). 
MODA DE DATOS AGRUPADOS 
En el caso de datos agrupados donde se ha construido una curva de frecuencias para ajustar los 
datos, la moda será el valor (o valores) de la variable de interés correspondiente al máximo (o 
máximos) de la curva. Es decir cada máximo local es una moda. 
De una distribución de frecuencias o un histograma, la moda puede obtenerse de la siguiente fórmula 
cLModa
21
1
1 









 (8) 
donde L1 = límite real inferior de la clase modal ( es decir, la clase que contiene la moda) 
 Δ1 = Frecuencia del intervalo modal menos frecuencia del intervalo anterior 
 Δ2 = Frecuencia del intervalo modal menos frecuencia del intervalo posterior 
 c = tamaño del intervalo de clase modal. 
 
Ejemplo 15: Para hallar la moda de la distribución de frecuencias de los tiempos de duración de las 40 
baterías de auto similares indicadas en ejemplo 5, procedemos como sigue: 
En primer lugar ubicamos el intervalo de clase modal, en este caso es [ 3,0 , 3,5) – el que presenta la 
mayor frecuencia- 
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luego L1 = 3,0 
 = 15 – 4 = 11 
 = 15 – 10 = 5 
 c = 3,5 – 3,0 = 0,5; así se tiene 
34375,35,0
511
11
0,3Moda 






  3,34 años 
 
 
 
 
En el histograma del ejemplo 5 se grafican la media, la mediana y la moda. 
 
 
 
RANGO MEDIO 
Es el promedio de las observaciones mayor y menor de un conjunto de datos. 
2
xx
MedioRango mínimomáximo

 (9) 
A pesar de su sencillez, el rango medio se debe usar con cautela, ya que sólo involucra las observaciones 
mayor y menor de un conjunto de datos, si hay observaciones extremas se distorsiona como medida de 
tendencia central. (Por esta razón, podría ser preferible usar el eje medio) 
 
 
 
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No obstante, con frecuencia se utiliza en forma exitosa el rango medio como parámetro de medición tanto 
para análisis financieros como para informes sobre el clima, puesto que ofrece un valor adecuado “rápido y 
sencillo” para resumir todo un conjunto de datos, ya sea una serie de precios diarios de cierre de una acción 
para todo un año, o un conjunto de lecturas de temperaturas registradas cada hora durante todo un día. En 
tales situaciones no es posible que ocurra un valor extremo (también llamada observación atípica). 
Ejemplos 16: En el ejemplo 1, el rango medio = (-1+3)/2 = 1 
En el ejemplo2 para la muestra 1, el rango medio = (13+42)/2 = 27,5 
y para la muestra 2, el rango medio = (17+23)/2 = 20 
 
A continuación se presentan diagramas de puntos en donde se indican todas las medidas de tendencia 
central estudiadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
MEDIDAS DE DISPERSIÓN 
Una segunda propiedad importante que describe a un conjunto de datos es la dispersión. La dispersión 
es el grado de variación o diseminación de los datos. 
Dos conjuntos de datos pueden diferir tanto en tendencia central como en dispersión; o como se muestra en 
los siguientes ejemplos, dos conjuntos de datos pueden tener las mismas medidas de tendencia central 
pero diferir mucho en términos de dispersión. Este último caso se ejemplifica en los siguientes conjuntos de 
datos. 
Ejemplo 17: Los datos de la muestra A señalan el tiempo de funcionamiento (en días) hasta que se 
presenta la primera falla de n = 6 radiotransmisores-receptores de marca A y los datos de la muestra B 
corresponden a n = 6 radiotransmisores-receptores de marca B 
 
 
 
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Los datos de la muestra B son mucho menos variables que los de la muestra A. Observemos que ambos 
tienen la misma media. 
Las medidas de dispersión que analizaremos en primera instancia son: el rango, la varianza, la desviación 
estándar y el coeficiente de variación 
 
EL RANGO 
El rango es la diferencia entre las observaciones Máxima y mínima de un conjunto de datos: Es decir 
 
RANGO = xMAXIMO - x MINIMO (10) 
 
Ejemplo 18: En el ejemplo 17, para los datos de la muestra A: Rango = 280 - 114 = 166 días 
y para los datos de la muestra B: Rango = 180 - 150 = 30 días 
Conclusiones: En un rango de 166 días se presentó la primera falla en los n=6 radiotransmisores-receptores 
de marca A, mientras que para los seis de la marca B, la primera falla se presentó en un rango de 30 días. 
El rango mide la dispersión total del conjunto de datos. 
Aunque el rango es una medida de dispersión simple y se calcula con facilidad, su debilidad preponderante 
es que no toma en consideración la forma en que se distribuyen los datos entre los valores más pequeños y 
los más grandes. Esto se puede observar en los siguientes gráficos que se presentan tres conjuntos de 
puntos con el mismo rango. 
 
 Rango = 13 – 5, Rango = 8 
 
 
 Rango = 8 
 
 Rango = 8 
En el último caso x MINIMO = 13 es una observación atípica 
No es apropiado utilizar el rango como medida de dispersión cuando una o ambas de xMAXIMO e yMAXIMO son 
observaciones extremas. 
 
VARIANZA Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR: 
Dos medidas de dispersión que se utilizan con frecuencia y que toman en consideración la forma en que se 
distribuyen todos los valores son la varianza y su raíz cuadrada, la desviación estándar. Estas medidas 
establecen la forma en que los valores fluctúan con respecto a la media. 
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Para una muestra que contiene n observaciones x1 , x 2, . . . , x n , la varianza muestral (representada 
por S 
2
 ), se define de la siguiente manera : 
 
1n
)xx()xx()xx( 2n
2
2
2
1



2S ; es decir 
1n
)xx(
S
n
1i
2
i
2




 (11) 
donde 
x = media aritmética, 
n = número de observaciones en la muestra (tamaño de la muestra), 



n
1i
2
i )xx(
 sumatoria de todos los cuadrados de las diferencias entre los valores de xi y x 
 
La Varianza Muestral es casi el promedio de los cuadrados de las diferencias entre cada una de las 
observaciones de un conjunto de datos y la media. 
Si el denominador hubiera sido n en lugar de n - 1, se hubiera obtenido el promedio de las diferencias al 
cuadrado en torno a la media. Sin embargo, se utiliza n - 1 , debido a ciertas propiedades matemáticas que 
tiene el estadístico S 
2
 y que lo hacen apropiado para realizar inferencias estadísticas. Evidentemente, si el 
tamaño de la muestra es grande , la diferencia entre dividir por “n” o por “n – 1” no es significativa. 
También puede emplearse la siguiente fórmula simplificada en la que no interviene la media : 
1n
x
S
n
1i
n
x
2
i
2
2
n
1i
i











 (12) 
DEFINICION DE DESVIACION ESTANDAR MUESTRAL 
La desviación estándar muestral (cuya notación es el símbolo S) es simplemente la raíz cuadrada 
positiva de la varianza muestral. Es decir: 
1n
)xx(
SS
n
1i
2
i
2




 (13) 
Como las diferencias (xi - x )
2
 se elevan al cuadrado, ni la varianza ni la desviación estándar pueden ser 
nunca negativas. En el único caso en que S
2
 y S pudieran ser cero es cuando no hay variación en los 
datos -si todas las observaciones de la muestra tuvieran exactamente el mismo valor- En este caso, muy 
poco común, el rango también sería cero. 
Si embargo, los datos son variables por naturaleza, no constantes. Cualquier fenómeno aleatorio de interés 
que se pudiera pensar asume diversos valores. Debido a que los datos son inherentemente variables , es 
tan importante estudiar no sólo medidas (de tendencia central) que resuman los datos, sino también 
medidas (de dispersión) que reflejan la forma en que varían los datos. 
Ejemplo 19: Calculamos la varianza muestral y la desviación estándar muestral de los datos del ejemplo 1. 
48,3
6
)6364836(
S 7
362222222
2
2


 86,1
6
)6364836(
S 7
362222222 2


 
¿Por qué cree UD. que se utilizó, en este caso, la fórmula 12 para hallar la varianza muestral y no la fórmula 
11? Analice cuidadosamente su respuesta. 
 
Ejemplo 20: La varianza y la desviación estándar muestral de los datos del ejemplo 1 serán 
respectivamente 
S
2
 = 37,00 segundos al cuadrado y S = 6,08 segundos (se han tomado dos cifras decimales, 
redondeando al valor más próximo). 
Ejemplos 21: La desviación estándar muestral de cada muestra del ejemplo 17 será: 
Para la muestra A, s = 61,00 días y para la muestra B, s = 12,20 días 
 
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Qué indican la varianza y la desviación estándar? 
La varianza y la desviación estándar miden la dispersión “promedio” en torno a la media; es decir, cómo 
fluctúan las observaciones mayores por encima de la media y cómo se distribuyen las observaciones 
menores por debajo de ella. 
La varianza tiene ciertas propiedades matemáticas útiles. Sin embargo, al calcularla se obtienen unidades al 
cuadrado ( segundos al cuadrado, pesos al cuadrado , centímetros al cuadrado, años al cuadrado, etc. ). 
Por ello en la práctica la principal medida de dispersión que se utiliza es la desviación estándar, cuyo valor 
está dado en las unidades originales de los datos: segundos, pesos, centímetros, años, etc. 
En el ejemplo 20 del tiempo de vida de las moscas, la desviación estándar es aproximadamente 6,08 
segundos. Esto indica que la mayor parte de los tiempos de vida se agrupan dentro de 6,08 segundos por 
encima y por debajo de la media, es decir en el intervalo cuyos extremos son 
5,14 – 6,08 = -0,94 y 5,14 – 6,08 = 11,22 segundos., este es (-0,94 , 11,22). 
Como los tiempos no pueden ser negativos concluimos que la mayor parte de las moscas vivió entre 0 y 
11,22 segundos. 
 
Por qué se elevan al cuadrado las desviaciones? 
Las fórmulas para la varianza y la desviación estándar no podrían utilizar tan solo 


n
1i
i )xx( como 
numerador, porque se debe recordar que la media actúa como “punto de equilibrio” para las observaciones 
que son mayores y menores que ella. Por lo tanto la suma de las desviaciones de los x i con respecto a la 
media siempre es igual a cero. Es decir 


n
1i
i 0)xx( 
En efecto, usando las propiedades de la sumatoria resulta: 
    
    

n
1i
n
1i
n
1i
n
1i
n
1i
iii
n
1i
ii 0xxxnxxx)xx(
 
 
Generalizaciones: 
Cuando más “separados” o dispersos estén los datos, tanto mayores serán el rango, la varianza y la 
desviación estándar. Si los datos están más concentrados” o son homogéneos, menores serán el rango, la 
varianza y la desviación estándar. Si todas las observaciones son iguales (de manera que no haya 
variaciones en los datos), el rango, la varianza y la desviación estándar serán iguales a cero. 
VARIANZA Y DESVIACION ESTANDAR MUESTRAL OBTENIDA A PARTIR DE UNA DISTRIBUCION DE 
FRECUENCIAS DE DATOS NO AGRUPADOS 
Si los datos x1, x2,..., xk ocurren con frecuencias f1 , f2, ... , fk respectivamente, 
la varianza muestral puede expresarse 
1f
)xx(f
S
k
1i
i
k
1i
2
ii
2






 (14) 
y la fórmula abreviada equivalente resulta : 
1f
xf
S
k
1i
i
f
xfk
1i
2
ii
2
k
1i
i
2
k
1i
ii















 (15) 
y la desviación estándar muestral S será la raíz cuadrada positiva de S
2
. 
 
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Ejemplo 22: Para la distribución de frecuencias del número de hijos de las 100 mujeres españolas, 
utilizamos la fórmula (14) pues x es un número exacto. 
 
Xi número 
de hijos 
fi número de 
mujeres 
(xi - x ) (xi - x )
2
 (xi - x )
2
 *fi 
0 13 -2,33 5,4289 70,5757 
1 20 -1,33 1,7689 35,3780 
2 25 -0,33 0,1089 2,7225 
3 20 0,67 0,4489 8,9780 
4 11 1,67 2,7889 30,6779 
5 7 2,67 7,1289 49,9023 
6 4 3,67 13,4689 53,8756 
Total 100 252,1100 
cuadradoalhijos55,2
1100
1100,252
S2 

 y hijos60,1
1100
1100,252
S 

 
APROXIMACION DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR MUESTRAL PARA DATOS 
AGRUPADOS 
Las fórmulas (14) y (15) también son adecuadas para datos agrupados. En ese caso x i representa 
las marcas de clase, f i las correspondientes frecuencias de cada clase y “k” es el número de 
intervalos de clase. 
Esto es razonable pues para datos agrupados no se conocen los valores individuales de los datos. En este 
caso, se considera que el punto medio de la clase es un valor representativo de cada dato que se encuentra 
en esa clase. 
Ejemplo 23: Hallamos la varianza y la desviación estándar muestral a partir de la distribución de frecuencias 
de los tiempos de duración de las 40 baterías de auto similares indicadas en ejemplo 5. 
Duraciones de las 
baterías Marcas de Clase Nº de baterías 
(en años) xi f i xifi xi
2*fi 
[ 1,5 , 2,0) 1,75 2 3,50 6,125 
[ 2,0 , 2,5) 2,25 1 2,25 5,063 
[ 2,5 , 3,0) 2,75 4 11,00 30,250 
[ 3,0 , 3,5) 3,25 15 48,75 158,438 
[ 3,5 , 4,0) 3,75 10 37,50 140,625 
[ 4,0 , 4,5) 4,25 5 21,25 90,313 
[ 4,5 , 5,0) 4,75 3 14,25 67,688 
Suma 40 138,50 498,500 
697,0
140
5,498
Syaños4857,0
140
5,498
S 40
5,138
40
5,138
2
22






 
 
COEFICIENTE DE VARIACIÓN 
A diferencia de las medidas que ya se han estudiado, el coeficiente de variación es una medida relativa de 
dispersión. Se expresa enporcentaje y no en términos de unidades de los datos manejados. Es 
independiente de las unidades utilizadas. 
El coeficiente de variación, representado con el símbolo CV, mide la dispersión de los datos con respecto a 
la media. Se lo puede calcular mediante 
%100
x
S
CV 





 (16) 
Donde S = desviación estándar del conjunto de datos 
 x = media del conjunto de datos 
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Como medida relativa, el coeficiente de variación es útil sobre todo cuando se compara la 
variabilidad de dos o más conjuntos de datos expresados en diferentes unidades de medición. 
Por ejemplo el dueño de una inmobiliaria tiene una muestra de los precios de 25 casas. Para cada casa 
tiene registrado además el tamaño del lote que ocupa. Se está interesado en determinar si los precios de 
las casas tienen mayor variabilidad (en términos relativos) que los respectivos tamaños de los lotes que 
ocupan. Como el precio de la casa (en miles de pesos) es una cantidad monetaria y el tamaño del lote está 
dado en metros cuadrados, resulta imposible comparar en forma directa las dos desviaciones estándar o los 
dos rangos para estas variables. Aquí, sin embargo, se pueden utilizar los dos coeficientes de variación 
para obtener la respuesta deseada. 
El CV mide la dispersión de los datos respecto a la media. A medida que el coeficiente de variación 
disminuye, se observa una mayor homogeneidad en los datos o, lo que es lo mismo, los datos están más 
concentrados alrededor de la media. 
El CV es también muy útil cuando se comparan dos o más conjuntos de datos que se miden en las 
mismas unidades, pero que difieren en tal medida que una comparación directa de las respectivas 
desviaciones estándar no resulta muy útil. 
Por ejemplo, suponga que un inversionista potencial está evaluando la posible adquisición de acciones de 
una de dos compañías A o B, que se cotizan en la Bolsa de Valores Americana. Si ninguna de las dos 
compañías ofreciera dividendos a sus accionistas y ambas compañías tuvieran una evaluación igualmente 
alta en términos de capacidad de crecimiento, el inversionista potencial podría considerar la volatilidad 
(variabilidad) de las dos emisiones para apoyar su decisión de inversión. Ahora suponga que cada una de 
las acciones del capital de la compañía A ha tenido un precio promedio de $50 en los últimos meses, con 
una desviación estándar de $10. Además, suponga que en ese mismo período el precio por acción de la 
compañía B tuvo un promedio de $12 con desviación estándar de $4. De acuerdo con las desviaciones 
estándar actuales parece que el precio de las acciones de la compañía A es más volátil que el de la 
compañía B. Sin embargo, como los precios promedio por acción de las dos emisiones son tan diferentes, 
sería más apropiado para el inversionista potencial considerar la variabilidad en el precio con relación al 
precio promedio, a fin de examinar la volatibilidad o estabilidad de las dos emisiones. Para la compañía A, el 
coeficiente de variación es CVA = ($10 / $50) 100% = 20,0%; para la compañía B, el coeficiente de variación 
es CVB = ($4 / $12) 100% = 33,3%. Por ello, en relación a la media el precio de la acción B es mucho menos 
variable que el precio de la acción A. 
 
MEDIDAS DESCRIPTIVAS PARA UNA POBLACION 
Se presentan a continuación un conjunto de medidas descriptivas que caracterizan a una población de 
tamaño N. 
Media Poblacional:  = 
N
x
N
1i
i
 (17) 
Rango Medio: 
2
xx
MedioRango mínimomáximo

 (18) 
Rango: RANGO = xMAX - x MIN (19) 
Varianza poblacional 
N
)μx(
σ
N
1i
2
i
2



 (20) 
Desviación estándar: 
N
)μx(
σσ
N
1i
2
i
2



 (21) 
Coeficiente de variación: %100
μ
σ
CV LPOBLACIONA 





 (22) 
La mediana y la moda de una población de tamaño N se obtienen, respectivamente, tal como se describió 
antes para una muestra. 
 
CATEDRA PROBABILIDAD Y ESTADISTICA – FAC. DE INGENIERIA – UNJu – LIC. MARTA CORRO- 15 
FORMA 
Hasta ahora se han estudiado los parámetros de centralización y de dispersión que son las medidas más 
frecuentes que se calculan en cualquier estudio estadístico. 
Una distribución es simétrica si una mitad es aproximadamente una imagen de espejo de la otra. En caso 
contrario se dice que la distribución es asimétrica. 
Ejemplo 24: Se presenta a continuación un histograma que muestra la distribución de las alturas de 1.100 
estudiantes universitarios. Esta distribución as aproximadamente simétrica. Al final se presenta un resumen 
de estadísticos descriptivos generado por el SPSS. 
 
alturas de estudiantes (en cm)
204
202
200
198
196
194
192
190
188
186
184
182
180
178
176
174
172
170
168
166
164
162
160
158
156
154
152
His tograma: Alturas Es tudiantes Universitarios
F
re
q
u
e
n
ci
a
s
140
120
100
80
60
40
20
0
Figura AS1 
 
SESGO 
Se conoce como sesgo el grado de asimetría de una distribución, es decir, cuánto se aparta de la simetría. 
Una distribución asimétrica se dice sesgada a la derecha si tiene una cola más larga a la derecha que a la 
izquierda; es decir si la distribución está más extendida hacia los valores mayores. Como ejemplo se 
presenta la distribución de los tiempos de vida de las moscas expuestas a un insecticida – ejemplo 3- 
 
 
Figura AS2 
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Una distribución asimétrica se dice sesgada a la izquierda si tiene una cola más larga a la izquierda que a 
la derecha; es decir si la distribución está más extendida hacia los valores menores. 
Para describir la forma, lo que se requiere es comparar la media y la mediana. 
Si estas dos medidas son iguales, en general, decimos que los datos son simétricos (o con sesgo cero) 
Si la media es mayor que la mediana, en general, se dice que los datos tienen sesgo positivo o hacia la 
derecha. 
Si la media es menor que la mediana, en general se dice que los datos tienen sesgo negativo o hacia la 
izquierda. 
Ejemplo 25: Se presenta un histograma que muestra la distribución de las calificaciones obtenidas en el 
Primer Parcial que abarcó los temas de Estadística Descriptiva y Probabilidad, rendido el 27 de Mayo de 
2006. Rindieron N = 136 alumnos en esa primera fecha. Al final se presenta un resumen descriptivo 
generado por el SPSS. 
 
 
Figura AS3 
Se observa que esta distribución es sesgada a la izquierda. En este caso la media es menor que la 
mediana. 
La mejor manera de examinar las posiciones relativas de las diversas medidas de tendencia central (la 
media, la mediana, la moda, el rango medio y el eje medio) en las distribuciones sesgadas, es a través de 
las figuran AS4 y AS5. 
 
 
 Figura AS4 
 
 
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Figura AS5 
 
En las distribuciones con sesgo a la izquierda (figura AS5), las pocas observaciones, extremadamente 
pequeñas, distorsionan el rango medio y la media hacia la cola izquierda. Por ello se esperaría que la moda 
fuera el valor más alto y que el rango medio fuera el menor. Es decir, 
rango medio < media < eje medio < mediana < moda (23) 
Sin embargo, en las distribuciones con sesgo a la derecha (figura AS4) se aplica lo contrario. Pocas 
observaciones de gran magnitud distorsionan el rango medio y la media hacia la cola derecha. Por ello se 
espera que el rango medio exceda (es decir, esté a la derecha de) todas las otras medidas. Es decir, 
moda < mediana < eje medio < media < rango medio (24) 
Por otro lado, en distribuciones perfectamente simétricas, la media, la mediana, el rango medio y el eje 
medio serán idénticos. Tal como se ilustra en las figuras AS6, la forma de la curva, hacia el lado izquierdo 
de estas medidas de tendencia central es la imagen de espejo de la forma dela curva hacia la derecha. 
 
FIGURAS AS6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Curva en forma triangular Curva en forma rectangular 
x 
mediana 
moda 
rango medio 
eje medio 
x 
mediana 
rango medio 
eje medio 
no existe moda 
 
 
 
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MEDIDAS DE ASIMETRIA 
 
Si bien es fácil tener una idea de si la distribución es simétrica o no tras ver la representación gráfica (p.ej. 
un histograma o un diagrama de caja), es importante cuantificar la posible asimetría de una distribución. 
Recordemos que cuando la distribución de los datos es simétrica, la media, la mediana y la moda coinciden 
(y la distribución tiene la misma forma a la izquierda y la derecha del centro). 
Si bien muchas distribuciones psicológicas se asume que tienden a ser simétricas y unimodales, en muchos 
casos la distribución que encontramos es asimétrica (p.e. ejemplo las distribuciones de los Tiempos de 
Reacción en casi cualquier tarea es asimétrica positivo). 
 
1. INDICE DE ASIMETRÍA DE PEARSON 
Para distribuciones sesgadas, la media tiende a estar del mismo lado de la moda en la cola más larga. 
Luego una medida de asimetría viene dada por la diferencia: media – moda, que puede hacerse 
adimensional dividiéndola por una medida de dispersión, tal como la desviación estándar, lo que lleva a la 
definición 
s
amodx
estándardesviación
amodmedia
Sesgo



 
 (25)Si la distribución es simétrica el Sesgo será 0. 
Si la distribución es sesgada a la derecha (asimétrica positiva), el sesgo será mayor que 0. 
Si la distribución es sesgada a la izquierda (asimétrica negativa), el sesgo será menor que 0 
Para evitar el uso de la moda, podemos recurrir al siguiente índice 
2. INDICE DE ASIMETRÍA DE FISHER 
Está basado en la diferencia entre los datos y la media, como la varianza, si bien esta vez se elevan las 
diferencias al cubo. 
3
1
3)(
1
s
xx
n
As
n
i
i


 (26) 
Si la distribución es simétrica As será 0 (curva B del gráfico). 
Si la distribución es asimétrica positiva, As será mayor que 0 (curva A del gráfico). 
Si la distribución es asimétrica negativa, As será menor que 0 (curva C del gráfico).Desventaja: Muy influida 
por puntuaciones atípicas 
 
 
Algunos programas de estadística (por ejemplo Excel) utilizan una versión que difiere ligeramente de la 
anterior en una constante: 
primera moda segunda moda x 
mediana 
rango medio 
eje medio 
CATEDRA PROBABILIDAD Y ESTADISTICA – FAC. DE INGENIERIA – UNJu – LIC. MARTA CORRO- 19 


n
1i
3
3
i
s
)xx(
2)-1)(n-(n
n
 (27) 
Una asimetría positiva indica una distribución asimétrica con sesgo a la derecha. Una asimetría 
negativa indica una distribución asimétrica con sesgo a la izquierda. 
Para los tiempos de vida de las moscas -gráfico AS1- este último coeficiente de asimetría arroja un valor de 
1,084. 
Para los datos de las calificaciones -gráfico AS2- el coeficiente de asimetría tomó un valor igual a − 0,378. 
Para la distribución de las alturas de los estudiantes universitarios la asimetría es 0,068 aproximadamente 
igual a 0, por cuanto la distribución es aproximadamente simétrica. 
PARA DATOS AGRUPADOS, si x1, x2, …, xk se presentan con frecuencias f1, f2, …, fk , respectivamente, el 
índice de Asimetría de Fisher está dado por: 
3
1
3)(
1
s
xxf
n
As
k
i
ii


 , 
 (28)donde 


k
i
ifn
1
 y s es la desviación estándar para 
datos agrupados, ecuación (14) 
CURTOSIS 
La curtosis representa la elevación o achatamiento de una distribución, normalmente se toma en 
relación a la distribución normal. 
Una distribución que presenta una elevación (o apuntamiento) relativo alto, tal como la de la curva de la 
figura (A), se llama leptocúrtica, mientras que la curva de la figura (C), que es más achatada, se llama 
platicúrtica. La distribución normal, figura (B), que no es muy puntiaguda ni achatada, se llama 
mesocúrtica. 
 
 Figura A Figura B Figura C 
 
 
Para una distribución normal (mesocúrtica) vale la relación: 



n
1i
4
4
i 3
s
n/)xx(
 
La relación anterior será la referencia para el índice de curtosis que vamos a emplear: 





n
i
i
s
nxx
Cr
1
4
4
3
/)(
 (29)Si la 
distribución es normal (mesocúrtica), el índice vale 0. Si la distribución es leptocúrtica, el índice es superior a 
0. Si la distribución es platicúrtica, el índice es inferior a 0. 
 
CATEDRA PROBABILIDAD Y ESTADISTICA – FAC. DE INGENIERIA – UNJu – LIC. MARTA CORRO- 20 
 
 Cr > 0 Cr < 0 
FIGURA D :Las líneas de puntos muestran distribuciones normales, mientras que las líneas sólidas muestran 
distribuciones con curtosis positiva (figura izquierda) y curtosis negativa (figura derecha).Ref: “On the Meaning and Use 
of Kurtosis” Lawrence T. DeCarlo 
Algunos programas de estadística (por ejemplo Excel) utilizan una versión que difiere ligeramente de la 
anterior. 
Cr = 
3)-2)(n-(n
1)-3(n
3)-2)(n-1)(n-(n
1)n(n 2














 


4n
1i
i
s
xx
 (30) 
donde: s es la desviación estándar de la muestra. 
Si este coeficiente es nulo, la distribución se dice normal (similar a la distribución normal de Gauss) y recibe 
el nombre de mesocúrtica. 
Si el coeficiente es positivo, la distribución se llama leptocúrtica, más puntiaguda que la anterior. Hay una 
mayor concentración de los datos en torno a la media; es decir indica una distribución relativamente elevada 
Si el coeficiente es negativo, la distribución se llama platicúrtica y hay una menor concentración de datos en 
torno a la media. sería más achatada que la primera; es decir indica una distribución relativamente plana. 
 
Para los tiempos de vida de las moscas -gráfico AS1- este último coeficiente de curtosis vale 1,30 y para los 
datos de las calificaciones -gráfico AS2- el coeficiente de curtosis toma un valor igual a − 0,824. Para la 
distribución de las alturas de los estudiantes universitarios la curtosis es -0,053, aproximadamente igual a 0, 
por cuanto los datos provienen de una distribución normal. 
 
Para datos agrupados, si x1, x2, …, xk se presentan con frecuencias f1, f2, …, fk , respectivamente, el índice 
de Curtosis Cr está dado por 




k
i
ii
s
nxxf
Cr
1
4
4
3
/)(
, (31) 
 donde 


k
i
ifn
1
 y s es la desviación estándar para datos agrupados, ecuación (14) 
IMPORTANTE: 
Curtosis es independiente de la variabilidad (en el sentido de “varianza”). Es decir, no es que una 
distribución leptocúrtica tenga menos varianza y por eso es más apuntada. 
Una distribución leptocúrtica es muy apuntada en el centro (más que la normal), decae muy rápidamente en 
un primer momento, pero en los extremos es algo más alta que la distribución normal. Ver figuras D. 
Eso quiere decir que una distribución leptocúrtica es más probable que ofrezca más valores extremos que la 
distribución normal. 
 
Se presenta a continuación una síntesis de los estadísticos descriptivos de algunos de los ejemplos 
estudiados suministrados por el Excel o SPSS. 
 
Ejemplo 3: Tiempos de vida de n = 50 moscas sujetas a un insecticida- Síntesis generada por el Excel 
CATEDRA PROBABILIDAD Y ESTADISTICA – FAC. DE INGENIERIA – UNJu – LIC. MARTA CORRO- 21 
Media 12,32 
Error típico 0,86020406 
Mediana 10,5 
Moda 7 
Desviación estándar 6,08256122 
Varianza de la 
muestra 36,997551 
Curtosis 1,29961382 
Coeficiente de 
asimetría 1,08389683 
Rango 29 
Mínimo 3 
Máximo 32 
Suma 616 
Cuenta 50 
 
Ejemplo 24: Alturas de n = 1.100 alumnos universitarios 
Estadísticos Descriptivos
174,8612 ,2079
174,8420
174,8491
47,549
6,8956
152,49
203,17
50,68
9,6286,068 ,074
-,053 ,147
Media
Media recortada 5%
Mediana
Varianza
Desviación estándar
Mínimo
Máximo
Rango
Rango Intercuartílico
Simetría
Curtosis
Alturas
(cm)
Stat ist ic Std. Error
 
Ejemplo 25: calificaciones obtenidas en el Primer Parcial del año 2006; n = 136 alumnos. Resumen de los 
estadísticos descriptivos generado por el SPSS. 
Descriptives
74,64 1,90
75,07
79,00
489,017
22,11
26
115
89
36,50
-,378 ,208
-,824 ,413
Media
Media recortada 5%
Mediana
Varianza
Desv. Estándar
Mínimo
Máximo
Rango
Rango Intercurtí lico
Asimetría
Curtosis
Notas 1er Parcial
-27 may o 2006
Stat ist ic Std. Error
 
 
BIBLIOGRAFÍA 
 “Estadística Básica en Administración. Conceptos y Aplicaciones” Berenson y Levine. Prentice-Hall. 
Cuarta Edición 1992. 
 “Probabilidad y Estadística aplicadas a la Ingeniería”. Douglas C. Montgomery y George C. Runger. 
Ed. Mc Graw-Hill. 1996. 
 “Probabilidad y Estadística para Ingeniería y Ciencias” William Mendenhall y Terry Sincih. Cuarta 
Edición 1997. 
 Estadística. Murray R. Spiegel. Serie Schaum. Ed. Mc Graw-Hill. 1991. 
PROGRAMAS: SPSS, MINITAB y EXCEL.