Introdução à Estatística

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ESTADISTICA
Data de S. XIX
2 disciplinas que se integran
PROBABILIDADES
ESTADISTICA
Teoría matemática 
de los juegos de 
azar
Ciencia de estado. 
Descripción de 
datos sobre el 
estado 
Ciencia que estudia como obtener conclusiones de la 
investigación empírica (realidad), mediante el uso de 
modelos matemáticos
Realidad
Modelo Teórico
≠
Metodología para evaluar y 
juzgar discrepancias entre 
el modelo real y el teórico
Orígenes
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UNIDAD 
EXPERIMENTAL
Son los objetos medidos o unidades de observación, sobre las cuales 
podemos medir diversas variables
• Costos
• Ensayo destructivo
• La existencia de los elementos es 
conceptual Ej: piezas defectuosas a 
producir
VARIABLE Característica que cambia o se modifica para los distintos objetos o 
individuos en cuestión o con el tiempo
MEDICION O DATOS Cuando se mide una variable en la unidad experimental 
Mediciones para cada unidad de la 
colección completa
POBLACION
Mediciones sobre subconjuntos de 
la población
MUESTRA
PARAMETRO: es una medida que se calcula 
para describir una característica de la 
POBLACIÓN COMPLETA (ej.: promedio µ )
ESTADISTICO: es una medida que se calcula para describir 
una característica de la MUESTRA (ej.: promedio )
Cuidado: Definir cuidadosa y completamente la población antes de recolectar la muestra
Algunas definiciones
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INFERENCIA 
ESTADISTICA
Métodos que hacen posible la estimación de 1 característica 
de la población, o una toma de decisión sobre la población, 
con base únicamente en resultados muestrales
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Estadística 
Descriptiva
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TIPOS DE 
VARIABLES
CUALITATIVA O CATEGORICA: 
No toman valores numéricos, 
indican presencia o ausencia 
de una característica.
CUANTATIVA O NUMERICA: 
toman valores numéricos, 
(edad, altura, precio de un 
producto,
ingresos anuales, etc.).
DISCRETAS: si su conjunto de valores 
posibles es finito o se puede enumerar en 
una sucesión. Corresponden en general
a contar el número de veces que ocurre un 
suceso. (cantidad de envases defectuosos 
producidos por día en una fábrica, cantidad 
de hijos por familia en una comunidad)
Surgen de un proceso de conteo
Clasificación 
CONTINUAS: toma valores en intervalo de la 
recta real, corresponden a medir magnitudes
continuas (tiempo, longitud, etc.).
Surgen de un proceso de medición
Variedad especial:
Dicotómicas: solo tienen 2 categorías excluyentes.
(Sexo: femenino o masculino)
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ESCALAS 
DE 
MEDICION
CUALITATIVA O 
CATEGORICA:
CUANTATIVA O NUMERICA:
INTERVALO: el cero no indica ausencia de la 
característica. Ejemplo temperatura en 
°Celcius o °Farenheit. No es posible decir 
que un valor en la escala es múltiplo de 
otro valor.
RAZON: tienen un punto cero absoluto. El 
cero indica la ausencia de la característica. Ej: 
Peso
NOMINAL: No existe orden entre las categorías.
Los números o símbolos asignados a los objetos no tienen 
más significado cuantitativo que indicar la presencia
o ausencia del atributo o característica bajo investigación.
ORDINAL: existe orden entre las categorías.
Nivel de educación alcanzado por un determinado grupo de 
personas
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ORGANIZACIÓN Y RESUMEN DE DATOS CATEGORICOS
Variable: Categoría ocupacional en el año 2010 de cada argentino de 14 o más años. Fuente: Censo 2010.
UNIDAD EXPERIMENTAL: Las personas, que son las portadoras de los datos mientras que las categorías ocupacionales 
respectivas constituyen los datos. La estadística no estudia los portadores sino los datos.
Frecuencia 
Absoluta: fi
Frecuencia 
Relativa: fi/N
N
Frecuencia Relativa 
Porcentual fi/N %
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Distribución de frecuencias de la variable.
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GRAFICAS DE BARRAS HORIZONTALES:
GRAFICAS DE TORTA
GRAFICAS DE PUNTOS
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GRAFICAS QUE SE PUEDEN USAR CON VARIABLES CUALITATIVAS:
GRAFICAS DE BARRAS HORIZONTALES:
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GRAFICAS DE TORTA:
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GRAFICAS DE PUNTOS:
15
GRAFICAS DE BARRAS VERTICALES:
GRAFICAS DE BASTONES
HISTOGRAMAS
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POLIGONOS DE FRECUENCIAS
GRAFICAS QUE SE PUEDEN USAR CON VARIABLES CUANTITATIVAS:
OJIVAS (POLIGONOS DE FRECUENCIAS ACUMULADAS)
PARETO
ORGANIZACIÓN Y RESUMEN DE DATOS NUMERICOS NO AGRUPADOS
VARIABLE: número de hermanos que componen las familias de
los alumnos que cursan Probabilidad y Estadística, en distintos años
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Frecuencia 
Absoluta: fi
Frecuencia 
Relativa: fi/N
Frecuencia Relativa 
Porcentual fi/N %
Frecuencia Relativa Porcentual 
acumulada Σfi/N %
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Cuando el número de valores posibles de una variable DISCRETA sea grande o cuando la variable 
sea CONTINUA conviene agrupar los datos en clases o categorías. Para ello se acomodan los 
datos en grupos de clases, es decir categorías, dividiendo en forma conveniente las observaciones. 
ORGANIZACIÓN Y RESUMEN DE DATOS NUMERICOS AGRUPADOS
Al construir una tabla de Distribución de Frecuencias, se debe prestar atención a lo siguiente:
 Seleccionar el número adecuado de clases para cada tabla.
 Obtener un intervalo de clase apropiado para cada clase.
 Seleccionar los límites de las clases que definen los intervalos, de manera que cada observación se
clasifique sin ambigüedad en una sola clase.
Primero determinamos la cantidad de clases (Reglas orientativas). Existen dos formas:
1. Fórmula de Sturges: 
si N es el tamaño del lote, se trata de hallar el número de intervalos k
que satisfaga la relación N ~ 2 ( k - 1)
De esta expresión resulta k ~ 1 + 3,322 log N  Redondeando al valor más próximo obtenemos un valor de k.
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En segundo lugar determinamos la amplitud h de cada clase, simbólicamente
2. Regla empírica: para determinar el número de intervalos de clase
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Ejemplo: Los contenidos de nicotina, en miligramos, de 40 cigarrillos de una cierta marca se 
registraron de la siguiente manera:
1,09 1,92 2,31 1,79 2,28 1,74 1,47 1,97 0,85 1,24 1,58 2,03 1,70 2,17 2,55 2,11 1,86 1,90 1,68
1,51 1,64 0,72 1,69 1,85 1,82 1,79 2,46 1,88 2,08 1,67 1,37 1,93 1,40 1,64 2,09 1,75 1,63 2,37
1,75 1,69
Se desea obtener conclusiones sobre la distribución de los datos.
En primer lugar determinamos el número k de intervalos de clase. Aplicamos la fórmula de Sturges
k ≈ 1 + 3,322 log 40 = 6,322 ,redondeamos k  7 clases
Teniendo en cuenta que xmáximo = 2,55 y el xmínimo = 0,72, tomamos la amplitud de cada intervalo h, usando la
ecuación:
h  2,55 - 0,72 = 0,261 ≈ 0,30
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La distribución de frecuencias para el ejemplo se presenta: Distribución de frecuencias del contenido 
de nicotina en 40 cigarrillos
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Intervalos de Clase
Definimos cada clase o categoría mediante un intervalo de clase expresado en la forma x i - h / 2 , x i + h / 2
El punto medio xi es la marca de clase. Como ya dijimos este valor es el centro del intervalo que define la 
clasey es el valor numérico representativo de los datos de la clase.
x i - h / 2 es el límite inferior de la clase y x i + h / 2 es el límite superior de la clase.
Una manera de determinar la clase definida por x i sería: Desde xi - h/2 inclusive, hasta menos de xi+ h/2, 
esto es, el intervalo [x i - h / 2 , x i + h / 2)
Diremos que el dato v j pertenece a esta clase si y solo si x i - h/2  v j < x i + h/2 .
Como vemos, en cada intervalo de clase se incluye al límite inferior.
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HISTOGRAMA (Karl Pearson)
Un histograma es un conjunto de rectángulos cada uno de los cuales representa un intervalo de agrupación o
clase. La base de cada rectángulo coincide con el intervalo de clase, y la altura se determina de manera que su
área sea proporcional a la frecuencia respectiva (o frecuencia relativa o frecuencia relativa porcentual) de cada
clase.
La variable de interés se grafica sobre el eje horizontal, el eje vertical representa el número, proporción o
porcentaje de observaciones para cada intervalo de clase.
Histograma de frecuencia
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Distribución asimétrica que es típica de los 
datos económicos, y en general de
mediciones de renta, población, consumo de 
electricidad, tamaño de empresas, etc
Distribución simétrica que aparece en muchos procesos 
de fabricación
aparece al mezclar elementosde varias poblaciones 26
presenta una distribución truncada, al someter a piezas a 
un control de calidad que tiene límite de especificaciones 
A y B
es muy asimétrica y surge al estudiar tiempos entre 
averías, entre llegadas, entre accidentes, etc
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Construcción de Polígonos de Frecuencias: estos pueden ser polígonos el punto medio de cada clase 
represente los datos de esa clase y después conectando la secuencia de sus respectivos porcentajes de 
clase. Se debe tener presente que el polígono es una representación de la forma de una distribución 
particular.
Como el área bajo la distribución porcentual (la totalidad de la curva) debe ser del 100%, es necesario 
conectar los puntos medios primero y último con el eje horizontal, para abarcar el área total de la 
distribución observada
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Curva de frecuencias suavizadas: en una muestra suficientemente grande podría suavizarse el polígono 
de frecuencia y se obtendría el siguiente gráfico.
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DIAGRAMA DE PARETO:
Pasos para su construcción:
1. Organizar los datos en tabla de Distribución de frecuencias.
2. Ordenar los datos por frecuencia absoluta, de manera descendente (de mayor a menor)
3. Calcular la Frecuencia porcentual, y la Frecuencia porcentual acumulada
4. Graficar con barras la frecuencia porcentual
5. Agregar una serie de datos adicional, para la frecuencia % acumulada, de tipo línea
6. Se puede observar que en las primeras 2 a 4 categorías tengo la mayoría entre el 70 al 80% de 
las causas que más impactan en mi problema.
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Causas Reclamos Frecuencia relativa % Fr% Acumulado
Calidad del Trabajo 49,60% 49,60%
Calidad Atención al 
Cliente 17% 66,80%
Plazos 15,80% 82,60%
Precio 10,40% 93,00%
Producto 3,80% 96,80%
Otros 3,20% 100,00%
DIAGRAMA DE PARETO: 
Frec.Relat % Frec.Relat % acum.
DISTRIBUCIONES ACUMULADAS Y POLIGONOS ACUMULADOS
Una tabla de distribución porcentual acumulada se construye “añadiendo” un intervalo de clase extra al 
final. Para el ejemplo de los contenidos de nicotina se calculan los porcentajes acumulados en la columna del 
“menor que”, determinando el porcentaje de las observaciones que son inferiores a cada uno de los límites 
inferiores
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CONSTRUCCION DE UN HISTOGRAMA CON INTERVALOS DE CLASE DE DISTINTO ANCHO
Ejemplo: En un estudio de ruptura por torsión durante el tejido de tela, se probaron 100 muestras de hilo. Se
determinó el número de ciclos de tensión a la ruptura para cada muestra de hilo y se realizó con dichos datos un
histograma con clases de la misma amplitud. Se presenta también un diagrama de puntos de los 100 datos
obtenidos.
Gráfico de puntos del número de ciclos de tensión a la ruptura para 100 muestras de hilo
Es posible que los intervalos de clase de igual amplitud no sea una elección atinada si un conjunto de datos se
“extiende” a un lado u otro. Si se utiliza una gran cantidad de clases del mismo ancho, muchas tienen 
frecuencia cero, tal como puede apreciarse en la Figura 13.
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Distribución de frecuencias del N° de ciclos de tensión a la ruptura para 100 muestras de hilo
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IMPORTANTE: el área total de los rectángulos en un histograma de densidad es igual a 1.
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ESTADISTICA DESCRIPTIVA 
PROPIEDADES DE LOS DATOS NUMERICOS Las tres propiedades principales que 
describen un conjunto de datos numéricos son: 
Tendencia central 
Dispersión 
Forma 
Sirven para extraer y resumir las principales características de los datos. 
Si se calculan a partir de una muestra se las denomina estadísticos, si se calculan a partir de una 
población se las denomina parámetros. 
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL: Aritmética, Mediana, Moda y Rango Medio 
1. MEDIA ARITMÉTICA 
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Ejemplo 1 : Los siguientes datos corresponden a las temperaturas diarias (en grados centígrados)
registradas durante una semana del mes de julio en San Salvador de Jujuy : 3, 2, 1, 2, 1, 0, -1
En este caso la media aritmética resulta
=( 3 + 2 + 1 + 2 + 1 + 0 - 1 ) / 7 = 8 / 7, luego  1,14.
Se concluye que la “temperatura promedio en esa semana fue de 1, 14°C aproximadamente”
Una representación de la distribución de frecuencias mediante un diagrama de puntos 
MEDIA ARITMÉTICA 
La MEDIA ARITMETICA resulta muy afectada por valores extremos. 
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1.1. MEDIA ARITMETICA OBTENIDA A PARTIR DE UNA DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS DE 
DATOS NO AGRUPADOS
Se puede obtener también a partir de la distribución de frecuencias de los valores posibles de la variable
x. Obviamente es para el caso que el número de valores posibles de la variable sea pequeño.
En este caso
: media aritmética, n: número de valores distintos de la variable x,
f i: frecuencia (número de observaciones iguales a xi)
Ejemplo 4 : Se ha realizado un estudio del número de hijos de mujeres de un lugar de España. Para ello 
ha tomado una muestra de 100 mujeres mayores de 15 años y se ha registrado el número de hijos de las
mismas. El resultado ha sido:
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1.2 MEDIA ARITMETICA OBTENIDA A PARTIR DE UNA DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS DE DATOS 
AGRUPADOS 
x : media aritmética,
n: número de observaciones en la muestra (tamaño de la muestra),
mi: marca de clase (centro del intervalo),
f i: frecuencia de la clase (número de observaciones clasificadas en la i-ésima clase,
k: número de clases
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LA MEDIANA 
La mediana de una muestra se denota a veces por . 
La mediana es el valor que se encuentra en el centro de un LOTE ORDENADO; es decir, la mediana 
divide el lote ordenado en dos partes iguales. No es afectada por datos extremos
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LA MODA: La moda de un conjunto de datos es el valor que se presenta con mayor frecuencia en la muestra.
Pueden presentarse casos de distribuciones multimodales. Se suele tomar el valor más próximo a la media.
La siguiente muestra 5, 1, 6, 9, 2, 3 no tiene moda. 
La muestra 2, 8, 9, 6, 2, 8, 6, 2, 8, 7, 3 presenta dos modas 2 y 8. Estos datos se describen como bimodales. 
En el ejemplo del tiempo de vida de las moscas, el tiempo modal de vida es de 7 segundos (pues 7 segundos es el 
dato que presenta la mayor frecuencia) 
RANGO MEDIO: Es el promedio de las observaciones mayor y menor de un conjunto de datos. 
A pesar de su sencillez, el rango medio se debe usar con cautela, ya que sólo involucra las observaciones mayor y 
menor de un conjunto de datos, si hay observaciones extremas se distorsiona 
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MEDIDAS DE DISPERSIÓN
La dispersión es el grado de variación o diseminación de los datos. 
Dos conjuntos de datos pueden diferir tanto en tendencia central como en dispersión; o como se muestra en los 
siguientes ejemplos, dos conjuntos de datos pueden tener las mismas medidas de tendencia central pero diferir 
mucho en términos de dispersión. Este último caso se ejemplifica en los siguientes conjuntos de datos. 
Ejemplo 17: Los datos de la muestra A señalan el tiempo de funcionamiento (en días) hasta que se presenta la 
primera falla de n = 6 radiotransmisores-receptores de marca A y los datos de la muestra B corresponden a n = 6 
radiotransmisores-receptores de marca B
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Los datos de la muestra B son mucho menos variables que los de la muestra A. Observemos que ambos 
tienen la misma media. 
Las medidas de dispersión que analizaremos en primera instancia son: el rango, la varianza, la desviación 
estándar y el coeficiente de variación
MEDIDAS DE DISPERSIÓN 
Una segunda propiedad importante que describe a un conjunto de datos es la dispersión. La 
dispersión es el grado de variación o diseminación de los datos. Analizaremos: el rango, la 
varianza, la desviación estándar y el coeficiente de variación 
El rango es la diferencia entre las observaciones Máxima y mínima de un conjunto de datos. Mide la 
dispersión total del conjunto de datos. No es recomendable cuando tenemos observaciones extremas : 
RANGO = xMAXIMO - x MINIMO 
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VARIANZA:
Para una muestra que contiene n observaciones x1 , x 2, . . . , x n , la varianza muestral (representada
por S2 ), se define de la siguiente manera :
La Varianza Muestral es casi el promedio de los cuadrados de las diferenciasentre cada una de las
observaciones de un conjunto de datos y la media.
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La desviación estándar muestral (cuya notación es el símbolo S) es simplemente la raíz cuadrada 
positiva de la varianza muestral. 
DESVIACION ESTANDAR:
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Qué indican la varianza y la desviación estándar? 
La varianza y la desviación estándar miden la dispersión “promedio” en torno a la media; es decir, cómo 
fluctúan las observaciones mayores por encima de la media y cómo se distribuyen las observaciones menores 
por debajo de ella. 
La varianza tiene ciertas propiedades matemáticas útiles. Sin embargo, al calcularla se obtienen unidades al 
cuadrado ( segundos al cuadrado, pesos al cuadrado , centímetros al cuadrado, años al cuadrado, etc. ). Por 
ello en la práctica la principal medida de dispersión que se utiliza es la desviación estándar, cuyo valor está 
dado en las unidades originales de los datos: segundos, pesos, centímetros, años, etc. 
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COEFICIENTE DE VARIACIÓN 
El coeficiente de variación es una medida relativa de
dispersión. Se expresa en porcentaje y no en términos de unidades de los datos manejados. Es independiente 
de las unidades utilizadas.
El coeficiente de variación, representado con el símbolo CV, mide la dispersión de los datos con respecto a la 
media. Se lo puede calcular mediante
Donde S = desviación estándar del conjunto de datos
= media del conjunto de datos
Como medida relativa, el coeficiente de variación es útil sobre todo cuando se compara la variabilidad 
de dos o más conjuntos de datos expresados en diferentes unidades de medición. 
El CV es también muy útil cuando se comparan dos o más conjuntos de datos que se miden en las 
mismas unidades, pero que difieren en tal medida que una comparación directa de las respectivas 
desviaciones estándar no resulta muy útil. 
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FORMA 
Una distribución es simétrica si una mitad es aproximadamente una imagen de espejo de la otra. En caso 
contrario se dice que la distribución es asimétrica. 
Ej: histograma que muestra la distribución de las alturas de 1.100 estudiantes universitarios. 
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SESGO 
Se conoce como sesgo el grado de asimetría de una distribución, es decir, cuánto se aparta de la simetría. 
Una distribución asimétrica se dice sesgada a la derecha si tiene una cola más larga a la derecha que a la 
izquierda; es decir si la distribución está más extendida hacia los valores mayores. 
Será sesgada a la izquierda si tiene una cola más larga a la izquierda que a la derecha; es decir si la 
distribución está más extendida hacia los valores menores. Ejemplos: 
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rango medio < media < eje medio < mediana < moda 
moda < mediana < eje medio < media < rango medio 
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MEDIDAS DE ASIMETRIA 
1. INDICE DE ASIMETRÍA DE PEARSON 
• Si la distribución es simétrica el Sesgo será 0. 
• Si la distribución es sesgada a la derecha (asimétrica positiva), el sesgo será mayor que 0. 
• Si la distribución es sesgada a la izquierda (asimétrica negativa), el sesgo será menor que 0 
Para evitar el uso de la moda, podemos recurrir al siguiente índice 
2. INDICE DE ASIMETRÍA DE FISHER 
Si la distribución es simétrica As será 0 (curva B del gráfico). 
Si la distribución es asimétrica positiva, As será mayor que 0 (curva A del gráfico). 
Si la distribución es asimétrica negativa, As será menor que 0 (curva C del gráfico).Desventaja: Muy 
influida por puntuaciones atípicas 
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CURTOSIS
La curtosis representa la elevación o achatamiento de una distribución, normalmente se toma en 
relación a la distribución normal. 
Una distribución que presenta una elevación (o apuntamiento) relativo alto, tal como la de la curva de la 
figura (A), se llama leptocúrtica, mientras que la curva de la figura (C), que es más achatada, se llama 
platicúrtica. La distribución normal, figura (B), que no es muy puntiaguda ni achatada, se llama mesocúrtica
Si la distribución es normal (mesocúrtica), el índice vale 0. 
Si la distribución es leptocúrtica, el índice es superior a 0. 
Si la distribución es platicúrtica, el índice es inferior a 0.