10 - Aritmética - Laura Blanco Carmona (2)

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ARITMÉTICA
P R O G R A M A A C A D É M I C O V I R T U A L
Ciclo : Anual Virtual UNI
Docente: Ramiro Díaz
REGLA DE INTERES I
REGLA DE MEZCLA II 
MEZCLA 
ALCOHOLICA 
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I AC U R S O D E A R I T M É T I C A
Objetivos 
• Conocer que es una mezcla
Alcohólica.
• Conceptuar e Interpretar lo
que significa el grado de un
alcohol.
• Determinar el grado medio de
una mezcla formada por varios
alcoholes.
• Emplear la igualdad de ganancia
y pérdida aparente; de los
grados de los componentes,
con respecto al grado medio.
Con tarjeta CHIPLEY
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E A R I T M É T I C A
INTRODUCCIÓN 
https://www.duna.cl/noticias/2020/03/16/como-y-con-que-desinfectar-las-superficies-para-evitar-el-coronavirus/
https://www.duna.cl/noticias/2020/03/16/como-y-con-que-desinfectar-las-superficies-para-evitar-el-coronavirus/
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I AC U R S O D E A R I T M É T I C A
MEZCLA ALCOHOLICA
Son aquellas mezclas en las cuales por lo 
general intervienen agua y alcohol.
Grado de una mezcla alcohólica (G°)
Es la relación que existe entre el volumen
de alcohol puro y el volumen total de la
mezcla expresado en tanto por ciento,
que a nivel comercial en algunos casos se
expresa en Grados (G° ), es decir:
G° =
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝐴𝑙𝑐𝑜ℎ𝑜𝑙 𝑃𝑢𝑟𝑜
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙
𝑥 100°
De ahí
Alcohol puro: 100𝑜
Agua pura : 0𝑜
Ejemplo:
Alcohol:
Agua:
30 L
20 L
50 L
G° =
30
50
𝑥 100°
G° = 60°
De lo anterior
Un alcohol de 60° significa que el
60% del volumen representa el
alcohol puro; por consiguiente el 40%
representa el volumen de agua
TENGAMOS EN CUENTA
a. Cuando se mezclan “n” alcoholes
𝐺𝑚 =
𝑣1𝑔1 + 𝑣2𝑔2 +⋯……+ 𝑣𝑛𝑔𝑛
𝑣1 + 𝑣2 +⋯+ 𝑣𝑛
Donde 𝐺𝑚: 𝐺𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜
Menor grado≤ 𝑮𝒎 ≤ Mayor grado
Se observa:
I. Si 𝑣1 = 𝑣2 = 𝑣3 = ⋯ = 𝑣𝑛
𝐺𝑚 = 𝑚𝑎(𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠)
II. Si 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛𝑒𝑠 𝑰𝑷 𝐺𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠
𝐺𝑚 = 𝑚ℎ(𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠)
b. Con respecto al 𝑮𝒎
𝐆𝐚𝐧𝐚𝐧𝐜𝐢𝐚
𝐝𝐞 𝒈𝒓𝒂𝒅𝒐𝒔
𝐀𝐩𝐚𝐫𝐞𝐧𝐭𝐞
= 
𝐏é𝐫𝐝𝐢𝐝𝐚
𝐝𝐞 𝐠𝐫𝐚𝐝𝐨𝐬
𝐀𝐩𝐚𝐫𝐞𝐧𝐭𝐞
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APLICACIÓN
¿Cuántos litros de agua se deberán agregar a
una mezcla alcohólica para reducir su pureza
en 26° si se sabe que dicha mezcla tiene 105
litros de alcohol de 96° ?
A) 13
B) 18
C) 26
D) 39
E) 42
Resolución
Piden cuántos litros de agua se deben agregar para reducir la pureza en 26°
105 L
96°
+
agua
x L
0°
alcohol
agua
105 L
X L
105 + x
70°- 26° + 70°
𝐺𝑎𝑛𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎
𝑎𝑝𝑎𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒
=
𝑃é𝑟𝑑𝑖𝑑𝑎
𝑎𝑝𝑎𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒
70(x) 26(105)=
x = 39
∴ Se tendrán que agregar 39 litros de agua
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APLICACIÓN
Se mezcla alcohol de 40° y 64° con agua, y
se obtiene 160 L de alcohol de 32°. Si los
volúmenes de alcohol de 64° y la cantidad
de agua son entre sí como 3 es a 5, halle
cuantos litros de alcohol de 40 ° se utilizó.
A) 40
B) 50
C) 70
D) 80
E) 88
Resolución:
Piden cantidad de litros de alcohol de 40°
Sea 𝑥 cantidad de litros de 40°
x L
40° 64° 0°
3n 5n+ + = 160
32°
-8° -32° 32°
160
𝐺𝑎𝑛𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎
𝑎𝑝𝑎𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒
=
𝑃é𝑟𝑑𝑖𝑑𝑎
𝑎𝑝𝑎𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒
32(5n) = 32(3n)+8(x)
8n = x
….(𝛼)
En 𝛼: 8n+3n+5n= 160 n=10
x=8n=8(10) x=80
∴ Se tendrán 80 litros de alcohol de 40°
ALEACIÓN 
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Objetivos 
• Conocer que es una Aleación
(mezcla de metales).
• Conceptuar e Interpretar lo
que significa la ley y la liga en
una aleación.
• Determinar la ley media de
una aleación .
• Emplear la igualdad de
ganancia y pérdida aparente
en la aleación con respecto a
las leyes de los componentes y
la ley media.
• Expresar la ley en quilates en
el caso de una aleación de oro.
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INTRODUCCIÓN 
El oro es la base de la economía mundial. Los bancos centrales de cada país siguen
confiando en el preciado metal para sustentar buena parte de sus reservas.
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ALEACIÓN
Es una mezcla homogénea de dos o más
metales o de uno o más metales con
elementos no metálicos.
Metales finos (Preciosos)
Se suelen denominar metales finos aquellos metales que se encuentran en
estado libre en la naturaleza, es decir, que no se encuentran de manera
combinada con otros elementos formando compuestos.
Los metales finos suelen ser el oro (Au), la plata (Ag), el platino (Pt), el rodio
(Rh) y el paladio (Pd).
En algunos casos también se suelen incluir al rutenio (Ru), al osmio (Os) y al
iridio (Ir).
Los metales que sirven de acuñación se denominan ORDINARIOS (cobre, zinc,
plomo; etc).
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Ley (pureza) de una aleación
Es la relación entre el peso de metal fino y
el peso total de la aleación, expresado
generalmente en milésimas; es decir:
Ley =
𝑃𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑀𝑒𝑡𝑎𝑙 𝐹𝑖𝑛𝑜
𝑃𝑒𝑠𝑜 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙
En el caso del oro suelen poner su ley en
quilates(siendo el oro puro de 24 quilates);
en ese caso tendremos:
𝑳𝒆𝒚 𝒆𝒏
𝒎𝒊𝒍é𝒔𝒊𝒎𝒂𝒔
=
𝑳𝒆𝒚 𝒆𝒙𝒑𝒓𝒆𝒔𝒂𝒅𝒐 𝒆𝒏 𝑸𝒖𝒊𝒍𝒂𝒕𝒆𝒔
𝟐𝟒
APLICACIÓN
Un joyero realiza una aleación de 750 gr de oro con 250 gr de cobre. Para 
luego fabricar anillos; Determine:
a. La ley de la aleación
750 gr 250 gr
+ =
1000 gr
𝑙𝑒𝑦 =
750
1000
=0,750 La ley es 750 milésimos fino
A la relación entre peso de
metal ordinario y peso total se
le llama Liga
Liga =
𝑃𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑀𝑒𝑡𝑎𝑙 𝑜𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑟𝑖𝑜
𝑃𝑒𝑠𝑜 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙
𝑙𝑖𝑔𝑎 =
250
1000
=0,250
De lo anterior: 𝑙𝑒𝑦 + 𝑙𝑖𝑔𝑎 = 1
b. Exprese la ley en quilates 0,750 =
𝑙𝑒𝑦 𝑒𝑛 𝑞𝑢𝑖𝑙𝑎𝑡𝑒𝑠
24
𝑙𝑒𝑦 𝑒𝑛 𝑞𝑢𝑖𝑙𝑎𝑡𝑒𝑠 = 18
∴ 𝐿𝑜𝑠 𝑎𝑛𝑖𝑙𝑙𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑏𝑟𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑠𝑒𝑟á𝑛 𝑑𝑒 18 𝑞𝑢𝑖𝑙𝑎𝑡𝑒𝑠 (𝟏𝟖𝑲)
De ahí 0 ≤ 𝐿𝑒𝑦 ≤ 1
Si 𝐿𝑒𝑦 = 1
𝐿𝑒𝑦 = 0
Metal fino puro
Metal ordinario puro
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APLICACIÓN
Un lingote de oro de 20 quilates se
funde con otro lingote de oro de 18
quilates; tal que ambos tienen la misma
cantidad de cobre(metal ordinario en
ambas aleaciones).Calcule la ley de la
aleación resultante.
Tener en cuenta
Cuando nos den la ley en quilates se sugiere por 
lo general considerar un peso total como 24.
Por ejemplo si la ley es 16 quilates se tendrán:
24n
16n 8n
Peso total
Au Cu
Resolución
Piden la ley de la aleación resultante
Primer lingote
Au Cu
24
20 4
Segundo lingote
24
18
AuCu
6
Iguales
Homogenizamos
(2n)(3n) (2n)
(2n)
(3n)
(3n)
Al fundirse tendremos
Peso total
+ = 120n
Cu
24n
Au
96n
120n
𝑙𝑒𝑦 =
96𝑛
120𝑛
=0,800
∴ 𝒍𝒂 𝒍𝒆𝒚 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒆𝒔 𝟖𝟎𝟎 𝒎𝒊𝒍𝒆𝒔𝒊𝒎𝒐𝒔
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TENGAMOS EN CUENTA
a. Cuando se funden “n” aleaciones
𝐿𝑚 =
𝑤1𝐿1 + 𝑤2𝐿2 +⋯……+𝑤𝑛 𝐿𝑛
𝑤1 + 𝑤2 +⋯+ 𝑤𝑛
Donde 𝐿𝑚: 𝐿𝑒𝑦 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎
Menor ley≤ 𝑳𝒎 ≤ Mayor ley
Se observa:
I. Si 𝑤1 = 𝑤2 = 𝑤3 = ⋯ = 𝑤𝑛
𝐿𝑚 = 𝑚𝑎(𝑙𝑒𝑦𝑒𝑠)
II. Si 𝑃𝑒𝑠𝑜𝑠 𝐈𝐏 𝐿𝑒𝑦𝑒𝑠
𝐿𝑚 = 𝑚ℎ(𝑙𝑒𝑦𝑒𝑠)
b. Con respecto a la 𝑳𝒎
𝐆𝐚𝐧𝐚𝐧𝐜𝐢𝐚
𝐝𝐞 𝐋𝐞𝐲
𝐀𝐩𝐚𝐫𝐞𝐧𝐭𝐞
= 
𝐏é𝐫𝐝𝐢𝐝𝐚
𝐝𝐞 𝐋𝐞𝐲
𝐀𝐩𝐚𝐫𝐞𝐧𝐭𝐞
EXAMEN UNI 2018 - II
Se tienen dos barras de oro,
en la primera el 80% del
peso total es oro y en la
segunda el 75% de su peso
es oro, siendo esta el
cuádruple de la anterior. Si
se mezclan, determine la
pureza resultante de dicha
mezcla.
A)0,755
B)0,760
C)0,765
D)0,770
E)0,775
Tengamos en cuenta
𝑃𝑢𝑟𝑒𝑧𝑎 <> 𝐿𝑒𝑦
Resolución 
Piden la ley media
80% del peso total es oro puro <> 𝐿1= 0,800
75% del peso total es oro puro <> 𝐿2= 0,750
Luego: 
+ =W 4W
5W
𝐿1 = 0,800 𝐿2 = 0,750 𝐿𝑚 =? ?
Hallando la 𝐿𝑚
𝐿𝑚 =
𝑤 0,800 + 4𝑤(0,750)
5𝑤
𝐿𝑚 = 0.760
∴ 𝒍𝒂 𝒑𝒖𝒓𝒆𝒛𝒂𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒆𝒔 𝟕𝟔𝟎𝒎𝒊𝒍𝒆𝒔𝒊𝒎𝒐𝒔
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EXAMEN UNI 2017 - I
Los números 0,98; 0,96 y 0,95 son las
leyes respectivas de 3 aleaciones que se
funden para formar una ley 0,97;
usándose 390 g de la primera. Si el peso
de la segunda es a la tercera como 5 es
a 4, determine el peso de la aleación
final en gramos.
A)420
B)440
C)480
D)560 
E)660
Resolución 
Piden el peso de la aleación final en gramos
Luego: 
390 5m 4m
𝐿1 = 0,98 𝐿2 = 0,96 𝐿3 = 0,95
𝐿𝑚 = 0,97
-0,01 +0,01 +0,02
390 + 9m
𝐺𝑎𝑛𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎
𝑎𝑝𝑎𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒
=
𝑃é𝑟𝑑𝑖𝑑𝑎
𝑎𝑝𝑎𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒
0,01 5𝑚 + 0,02(4𝑚) = 0,01(390)
Ambos
lados
por 100
1 5𝑚 + 2(4𝑚) = 1(390)
𝑚 = 30
Luego:
𝑃𝑒𝑠𝑜𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = 390 + 9𝑚
𝑃𝑒𝑠𝑜𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 =
390 + 9(30)
𝑃𝑒𝑠𝑜𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = 660
∴ 𝑬𝒍 𝒑𝒆𝒔𝒐 𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍 𝒆𝒔 𝟔𝟔𝟎 𝒈𝒓𝒂𝒎𝒐𝒔
REGLA DE INTERES I 
INTERES SIMPLE 
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I AC U R S O D E A R I T M É T I C A
Objetivos 
• Conocer que es la regla de interés.
• Conceptuar los diferentes elementos
de la regla de interés.
• Determinar el interés simple y el
monto que produce cierto capital a
ciertas condiciones.
• Tener en cuenta que en el interés
simple; a capital y tasa constante el
interés es DP al tiempo.
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
INTRODUCCIÓN 
A través del tiempo el ser humano fue ideando reglas
y métodos de convivencia entre ellos. Al tener en
cuenta que al individuo no le era posible adquirir
todo lo necesario para sobrevivir encontró la forma
en que podría beneficiarse, es así como se creó el
trueque.
Sin embargo al pasar el tiempo esta actividad fue
perdiendo aceptación por ser muchas veces
desproporcionada con respecto a los elementos de
intercambio.
Por lo cual hablaremos sobre los factores que afectan
el dinero; como lo son el tiempo y el interés; ya que
el valor del dinero en el tiempo a través del proceso
de capitalización, permitirá evaluar lo favorable o no
de las inversiones.
C U R S O D E A R I T M É T I C A
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I AC U R S O D E A R I T M É T I C A
REGLA DE INTERÉS
Se denomina así al conjunto de reglas y
expresiones matemáticas que permiten
calcular la ganancia (utilidad, beneficio);
producido por una cantidad de dinero, bien o
servicio al ser prestado a otra persona,
entidad o invertirlo en cierta actividad
económica.
ELEMENTOS DE LA REGLA DE INTERÉS
Capital ( c): Es la cantidad de dinero que se
da como préstamo o alquiler.
Tiempo (t): Es el lapso o periodo que
transcurre desde el momento en
el que se realiza el préstamo
hasta que es cancelado.
Interés (I): Es la ganancia que se obtiene al
prestar una determinada
cantidad de dinero, alquilar un
bien o prestar un servicio, bajo
ciertas condiciones.
Tasa de Interés (r%):
Es el tanto por ciento de ganancia respecto
al capital prestado.
Monto (M) :
Es la cantidad total de dinero que se
recibirá al final del préstamo
C + I M =
ESQUEMA GENERAL DE LA REGLA DE INTERÉS
S/ 4000C =
t = 1 año
I = S/ 1000
S/ 5000M =
Se observa que en un año gana la cuarta parte 
del capital
Por lo tanto la tasa de interés (o RÉDITO) será:
25% anualr% =
Se gana el 25% del capital cada año
CONSIDERACIONES EN LA REGLA DE INTERÉS
PARA EL TIEMPO 
1 mes comercial 30 días<>
1 año comercial <> 360 días
1 año común 365 días<>
1 año bisiesto 366 días<>
Cuando se den fechas especificas se trabajara con
calendario
Ejemplo: Del 11 de mayo al 16 de junio
36 días
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PARA LA TASA DE INTERES 
En los problemas consideraremos las tasas 
equivalentes
Veamos un ejemplo:
4% mensual <>
8% bimestral
12% trimestral
16% cuatrimestral
24% semestral
48% anual
96% bianual
4
30
% diario
C
LA
SE
S 
D
E 
IN
TE
R
ES
INTERES SIMPLE
INTERES 
COMPUESTO
INTERES 
CONTINUO
INTERÉS SIMPLE
Es cuando el capital prestado permanece
constante durante el tiempo que dura el
préstamo o alquiler.
¡importante!
El interés obtenido no se acumula al 
capital, sino hasta el final del préstamo 
es decir hasta que se cancela.
C
𝐭𝟏
𝐈𝟏
C
𝐭𝟐
𝐈𝟐
C
𝐭𝟑
𝐈𝟑
M
El Capital no cambia,
permanece constante
durante todo el tiempo
del préstamo
Cálculo del INTERÉS SIMPLE
I= C x r% x t
Donde: C : Capital
r% : Tasa de Interés
t : Tiempo
I : Interés
Además: La tasa de Interés (r%) y el tiempo (t) deben estar
en las mismas unidades.
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Ejemplo:
Mijaíl le presta S/ 4000 a Iván; por 3 años con la
condición de que le pague el 20% anual.
Determine:
a. El interés que paga Iván a Mijaíl cada año
b. El interés que pagará Iván en total
c. El monto que entrega Iván a Mijaíl al cabo
de los tres años
Solución:
a. Se observa que Iván paga el 20% de 4000 cada año
I1 = 20%x4000 I1 = 800
b.
C = 4000 M
𝐈𝟏 = 800
C = 4000 C = 4000
𝐈𝟐 = 800 𝐈𝟑 = 800
1 año 1 año 1 año
Gráficamente tendremos:
I𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 4000x20%x3 I𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 2400
Iván pagará a Mijaíl un interés total de 2400
c. El monto que entrega Iván a
Mijaíl será:
Monto = M = 4000 + 2400
M = 6400
Iván pagará a Mijaíl en total de 6400
APLICACION
Dos capitales están en la relación
de 3 a 5 y se depositan en dos
bancos diferentes. El primero al
5% mensual, durante 3 meses, y el
otro al 60% semestral, durante 4
meses. Si la suma de sus montos
es S/3135, calcule el menor
capital.
Resolución: Piden el menor capital
60% semestral <> 10% mensual
Banco 1 Banco 2
Capital 3k 5k
Tasa 5% 10%
Tiempo 3 meses 4 meses
𝐈𝟏 = 45%k 𝐈𝟐 = 200%k
M1 =3k+ 45%k M2 =5k+ 200%k
MTotal = M1 + M2
MTotal = 8k+ 245%k =10,45k
Por dato 10,45k=3135
k=300
Luego: 3k= 3(300)= 900
menor 
capital
∴ 𝐸𝑙 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 𝑒𝑠 900
Se observa
I DP t
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APLICACION
Ángel divide su capital de la siguiente manera;
toma 3/5 de su capital, las 3/8 partes del resto y el
último resto; coloca el dinero de la siguiente
manera la primera parte en una caja rural, la
segunda parte en una cooperativa y la tercera
parte en un banco; las tasas que le ofrecen son del
60%, 4% mensual y 9% trimestral,
respectivamente, durante 5; 7 y 8 meses en ese
orden. Si se obtiene un interés total de S/ 4032.
Calcule la suma de cifras del capital que tenía
Ángel al inicio.
Resolución:
Piden la suma de cifras del capital de Ángel al inicio
Asumimos convenientemente un capital de 40K, ya
que los 3/5 y 3/8 partes de esta cantidad es entera y
conviene para efectos de operatividad
Capital= 40K
3
5
(40K) = 24K
16K 
3
8
(16K) = 6K
16K – 6k = 10K
De los datos se tiene el siguiente cuadro:
Capital Tasa de Int. Tiempo
Caja Rural
Cooperativa
Banco
24K
6K
10K
60% anual 
<>
5% mensual
4% mensual
9% trimestral
<>
3% mensual
5 meses
7 meses
8 meses
Como se obtiene un interés total de S/ 4032, se tendría
ITOTAL = 24K(5%)(5) + 6K(4%)(7) + 10K(3%)(8)
4032 = 600%𝐾 + 168%𝐾 + 240%𝐾
K = 400
40K = S/ 16 000 Capital de Ángel al inicio
Suma de cifras = 1+6+0+0+0 = 7
∴ 𝐿𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 Á𝑛𝑔𝑒𝑙 𝑒𝑠 𝟕
w w w . a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e
w w w . a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e
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