PROBABILIDADES PRE_S10(2021_2) - Mario Sánchez

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1
PROBABILIDADES
2021-2
10
PREUNIVERSITARIO
2
Muchas cosas que nos suceden a diario no pueden ser previstas con
exactitud, pero intentamos que no nos tomen desapercibidos
influenciándonos en factores externos y en situaciones ya pasadas para
así guiarnos y orientarnos hacia una posible situación que nos pueda
ocurrir a futuro, ya que no tenemos la certeza de que ese suceso pueda
ocurrir, pero sin embargo hay la probabilidad de que ocurra. Las personas
a menudo utilizan la probabilidad para la toma de decisiones.
INTRODUCCIÓN
Aristóteles dijo: “La probabilidad es lo que suele ocurrir”
3
ORIGEN DE LA PROBABILIDAD
La palabra azar etimológicamente
la empezaron a utilizar los árabes
(AZ-ZAHR, dados para jugar), que
en latín se traduce por casus, que
significa casualidad.
El origen de las probabilidades se inicia en el año de 1654 cuando el
matemático francés Blaise Pascal hacia un viaje con el apasionado
jugador de dados y cartas, conocido como El Caballero de Mere, quien
era noble e ilustrado. Este creía que había encontrado una falsedad en
los números al analizar el comportamiento de los dados, era diferentes
cuando se utilizaba un dado, que cuando se utilizaban dos dados. Esta
presunción era una comparación errónea, entre las probabilidades de
sacar un seis en un solo dado o de sacar un seis con dos dados.
4
APLICACIONES EN LA VIDA DIARIA
La probabilidad es una rama de las matemáticas tan cercanas a nosotros
que muchas veces, a veces sin darnos cuenta, las utilizamos en nuestro
lenguaje cotidiano. Algunas aplicaciones en la vida diaria lo vemos en:
Juegos de Azar:
Meteorología:
Los dueños de los casinos están en el negocio para ganar dinero por lo
que han estudiado muy bien cuál es la probabilidad de que el cliente gane
en cada juego y saben perfectamente que dicha probabilidad es baja.
Las predicciones que hacen los meteorólogos sobre el tiempo que hará
en los próximos días se hace en base a los patrones de lo que ha
ocurrido en años anteriores y se expresa en términos de probabilidad: "la
probabilidad de que llueva es del 90%“.
5
Decisiones médicas: 
Si un paciente necesita que le realicen una cirugía querrá saber cuál es
la probabilidad de éxito para decidir si se opera o no.
Esperanza de vida:
Es una medida del promedio de años que se espera que viva una
persona en las condiciones de mortalidad del período que se calcula. Se
basa en el cálculo de la probabilidad de muerte o de vida de la población
a partir de los datos recogidos sobre nacimientos y defunciones,
distribuidos por sexo, edades, territorios...
6
Prima de seguros:
Fiabilidad de los productos:
Las compañías de seguros de coches analizan la edad y el
historial del cliente en el momento de decidir el tipo de prima que
va a aplicar. Si ha tenido varios accidentes lo más probable es
que pueda tener otro por lo que su prima será más alta.
Lo mismo pasa con el resto de los seguros (médicos, de vida,...)
En el diseño de muchos bienes de consumo como
coches, electrodomésticos, móviles... se utiliza la
teoría de la fiabilidad para reducir la probabilidad de
avería. Esta probabilidad de avería también está
relacionada con la garantía que el fabricante hace del
producto.
7
Evento o Suceso (A,B,…): Conjunto de uno o más resultados de un
experimento aleatorio (es un subconjunto del espacio muestral). El vacío
también se considera un evento.
Experimento aleatorio(): Es un experimento que consiste en la
realización de una o más pruebas, cuyo resultado (en cada una)
depende del azar, por tanto, no se puede anticipar el resultado exacto,
pero es posible conocer los posibles resultados.
Espacio Muestral(  ): Conjunto de todos los posibles resultados de un
experimento aleatorio.
DEFINICIONES
8
Experimento
aleatorio ()
Espacio muestral 
()
Eventos o Sucesos
(A, B, C,…)
𝜺𝟏: Lanzar un dado 𝜴𝟏 = {𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔}
𝐴: Se obtiene un número par
𝐵: Sale un número primo
𝜺𝟐: Lanzar una 
moneda 3 veces
𝐴 = {2,4,6}
𝐵 = {2,3,5}
𝜴𝟐 =
𝑪𝑪𝑪, 𝑪𝑪𝑺, 𝑪𝑺𝑪,
𝑺𝑪𝑪, 𝑪𝑺𝑺, 𝑺𝑪𝑺,
𝑺𝑺𝑪, 𝑺𝑺𝑺
𝐶: Se obtiene dos caras
𝐶 = {𝐶𝐶𝑆, 𝐶𝑆𝐶, 𝑆𝐶𝐶}
𝐷: Salen al menos dos sellos
𝐷 = {𝐶𝑆𝑆, 𝑆𝐶𝑆, 𝑆𝑆𝐶, 𝑆𝑆𝑆}
𝒏(𝜴𝟏) = 𝟔
𝒏(𝜴𝟐) = 𝟖
Ejemplo 1
9
CLASIFICACIÓN DE LOS ESPACIOS 
MUESTRALES
𝛀 DEFINICIÓN EJEMPLOS
Discreto
finito
Posee un número
finito de elementos
𝜀1:Lanzar una moneda dos veces
𝛺1 = {𝐶𝐶, 𝐶𝑆, 𝑆𝐶, 𝑆𝑆}
Discreto 
infinito
Continuo
Posee un número
infinito
numerable de
elementos
Posee un número 
infinito no 
numerable de 
elementos
𝜀2:Lanzar una moneda hasta 
obtener la primera cara
𝛺2 = {𝐶, 𝑆𝐶, S𝑆𝐶, 𝑆𝑆𝑆𝐶, S𝑆𝑆𝑆𝐶,… }
𝜀3:Lanzar un dardo en un 
blanco de 10cm de radio
𝛺3 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ
2 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 100}
10
Aplicación 1
Los artículos provenientes de una línea de producción se han
clasificado por el departamento de control de calidad en : defectuosos
(D) y no defectuosos (N). El personal que registra los artículos que salen
de producción, hace un control riguroso, el proceso termina cuando se
encuentran dos artículos defectuosos consecutivos o un máximo de
cuatro extracciones. Indique el cardinal del espacio muestral asociado a
este experimento.
D
N
N
D
D
Resolución
N ND D
D
D
N
N
N
N D
N D
D N N D
o
5 casos 7 casos
𝒏 𝜴 = 𝟓 + 𝟕 = 𝟏𝟐
Rpta.: 12
11
1. Sean 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑛 eventos del espacio muestral , se cumple que:
Evento seguro: 
Evento Imposible:∅
En particular, llamemos:
Álgebra de eventos
2. El número de eventos diferentes que se puede encontrar en un espacio
muestral  es: 2𝑛() .
(nunca ocurre)
(siempre ocurre)
∎ራ
𝒊=𝟏
𝒏
𝑨𝒊 : Evento donde ocurre al menos uno de los eventos 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑛.
: Evento donde todos los eventos 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑛 ocurren a la vez.
𝑨 ∪ 𝑩: es el evento donde ocurre sólo 𝐴 ó sólo 𝐵 ó ambos a la vez.
∎ሩ
𝒊=𝟏
𝒏
𝑨𝒊
12
Ejemplo 2
Se lanza un dado y definimos los siguientes eventos:
A: Se obtiene un número par C: Resulta un múltiplo de 7
B: Se obtiene un divisor de 8 D: obtenemos un divisor de 60
Representar gráficamente dichos eventos 
Resolución 
El experimento aleatorio consiste en lanzar un dado 
𝛀 = {𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔}
Los eventos son los siguientes
𝑨 = {𝟐, 𝟒, 𝟔} 𝑩 = {𝟏, 𝟐, 𝟒}
𝑪 = ∅ Evento imposible
𝑫 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔 = 𝜴 Evento seguro
Graficando 𝛀
A B
2
4
16
3 5
13
Aplicación 2
Se lanzan un par de dados y definimos los siguientes eventos:
A: La suma de los resultados obtenidos es 6
B: El producto de los resultados es impar
Determine el valor del cardinal de 𝐴 ∪ 𝐵
Resolución 
𝐴 = { 5,1 ; 4,2 ; 3; 3 ; 2,4 ; (1,5)}
𝐵 =
1,1 ; 1,3 ; 1,5 ; 3,1 ; 3,3 ; 3,5 ;
5,1 ; 5,3 ; 5,5
𝒏 𝑨 ∪ 𝑩 = 𝟏𝟏
Los posibles resultados son:
Los eventos son:
𝐴 ∪ 𝐵 =
1,1 ; 1,3 ; 1,5 ; 3,1 ; 3,3 ; 3,5 ;
5,1 ; 5,3 ; 5,5 ; 4,2 ; (2,4)
Rpta.: 11
14
Definición: Sea  el espacio muestral asociado a un experimento
aleatorio. La probabilidad de cualquier evento 𝐴 de , es el número real
𝑷(𝑨) que satisface los siguientes axiomas:
P1) 0 ≤ 𝑃 𝐴 , ∀ 𝐴 ⊂ 
Si ∅ es el evento imposible, entonces P ∅ = 0.
PROBABILIDAD DE UN EVENTO
P2) 𝑃  = 1
P3) Si 𝐴 y 𝐵 son dos eventos mutuamente excluyentes, entonces: 
𝑷 𝑨 ∪ 𝑩 = 𝑷 𝑨 + 𝑷(𝑩)
De los axiomas de probabilidad resultan los siguientes teoremas:
Prueba:
Como  y ∅ son eventos disjuntos y = ∪ ∅, 
Teorema 1:
por el axioma P3 se tiene P()=P()+P(∅) → P(∅)=0
15
Teorema 2: Si 𝐴𝐶 es el evento complementario de 𝐴 (no ocurre 𝐴) entonces
Prueba:
Como 𝐴 y 𝐴𝐶son eventos disjuntos y =𝐴 ∪ 𝐴𝐶 , por el axioma P3) se tiene
P()=P(𝐴)+P(𝐴𝐶)
Luego, por el axioma P2) se tiene 
1 = 𝑃 𝐴 + 𝑃(𝐴𝐶)
Al despejar un sumando se obtiene los resultados deseados.
Teorema 3: Si 𝐴 y 𝐵 son dos eventos de un mismo espacio muestral entonces
Para tres eventos 𝐴, 𝐵 y 𝐶 de un mismo espacio muestral se verifica que:
𝑷 𝑨 ∪ 𝑩 ∪ 𝑪 = 𝑷 𝑨 + 𝑷 𝑩 + 𝑷 𝑪 − 𝑷 𝑨 ∩ 𝑩 − 𝑷 𝑨 ∩ 𝑪 − 𝑷 𝑩 ∩ 𝑪 +𝑷 𝑨 ∩ 𝑩 ∩ 𝑪
𝑷 𝑨 = 𝟏 − 𝑷 𝑨𝑪 o 𝑷 𝑨𝑪 = 𝟏 − 𝑷(𝑨)
𝑷 𝑨 ∪ 𝑩 = 𝑷 𝑨 + 𝑷 𝑩 − 𝑷 𝑨 ∩ 𝑩
16
Sea  = 𝒘𝟏, 𝒘𝟐, … ,𝒘𝒏 , un espacio muestral finito, si 𝐴 es un evento del
espacio equiprobable  que consta de 𝑘 puntos muestrales (0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛)
entonces la probabilidad de 𝐴 es el número:
Probabilidad de un evento en un
espacio muestral finito
𝑷 𝑨 =
𝒏(𝑨)
𝒏()
=
𝑪𝒂𝒔𝒐𝒔 𝒇𝒂𝒗𝒐𝒓𝒂𝒃𝒍𝒆𝒔 𝒂 𝑨
𝑪𝒂𝒔𝒐𝒔 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆𝒔
Nota: Se puede verificar que 𝑷 𝑨 =
𝒏(𝑨)
𝒏()
cumple con los 3 axiomas antes mencionado.
𝑷 𝑨 =
𝟏
𝒏
+
𝟏
𝒏
+⋯+
𝟏
𝒏
=
𝒌
𝒏
Es decir,
𝑘 sumandos
17
Aplicación 3
En la sala de emergencia de un hospital hay 10 enfermeras (entre ellas
Mónica y Sara), si para realizar las guardias nocturnas se deben
programar tres enfermeras, ¿cuál es la probabilidad que Mónica y Sara
coincidan en las guardias nocturnas?
Resolución:
De 10 enfermeras se forman guardias nocturnas de 3 enfermeras 
𝑛 Ω = 𝐶3
10 =
10!
3! × 7!
= 120
(No interesa el orden)
A: Mónica y Sara coinciden en las guardias 𝑛 𝐴 = 𝐶1
8 = 8
Entonces solo falta elegir una enfermera que completa el grupo
de 3 y esta se debe elegir de las 8 enfermeras que quedan
𝑃 𝐴 =
𝑛(𝐴)
𝑛()
=
8
120
=
𝟏
𝟏𝟓
Rpta.: 
𝟏
𝟏𝟓
18
Aplicación 4
En una caja hay tres fichas rojas y cuatro fichas azules, de dicha caja
se extraen dos fichas simultáneamente. Calcule la probabilidad de
obtener dos fichas del mismo color.
Resolución:
𝜀: 𝐸𝑥𝑡𝑟𝑎𝑒𝑟 𝑑𝑜𝑠 𝑓𝑖𝑐ℎ𝑎𝑠
𝐴: 𝐿𝑎𝑠 𝑑𝑜𝑠 𝑓𝑖𝑐ℎ𝑎𝑠 𝑠𝑜𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑜 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑟
7 fichas
𝑛 Ω = 𝐶2
7 =
7!
2! × 5!
= 21
𝑛 𝐴 = 𝐶2
3 + 𝐶2
4 =
3!
2! × 1!
+
4!
2! × 2!
= 9
2R o 2A
Nos piden:
𝑃 𝐴 =
𝑛 𝐴
𝑛 Ω
𝑃 𝐴 =
9
21
=
𝟑
𝟕
Rpta.: 
𝟑
𝟕
19
Ley de los grandes números. En un experimento se determina el espacio
muestral y se elige un evento cualquiera A, luego se efectúa el
experimento una cantidad de veces y se calcula:
El resultado obtenido se denomina la frecuencia relativa del evento A.
A medida que el experimento se repite los resultados pueden ocurrir en
forma aleatoria, la frecuencia relativa del evento A cambia en forma
aleatoria pero cuando el experimento se repite un gran número de veces,
aparece un modelo definido de regularidad: la frecuencia relativa de A
tiende a un número fijo el cual es llamado la probabilidad de A.
Definición de Probabilidad en forma Frecuencial
𝒇𝑨 =
𝑵ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒗𝒆𝒄𝒆𝒔 𝒒𝒖𝒆 𝒐𝒄𝒖𝒓𝒓𝒆 𝒆𝒍 𝒆𝒗𝒆𝒏𝒕𝒐 𝑨
𝑵ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒗𝒆𝒄𝒆𝒔 𝒒𝒖𝒆 𝒔𝒆 𝒓𝒆𝒂𝒍𝒊𝒛𝒂 𝒆𝒍 𝒆𝒙𝒑𝒆𝒓𝒊𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐
20
Ejemplo 3
• Se lanza un dado una vez y registramos la ocurrencia del 
evento A: Sale número impar
𝒇𝑨(1) =
𝑵ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒗𝒆𝒄𝒆𝒔 𝒒𝒖𝒆 𝒐𝒄𝒖𝒓𝒓𝒆 𝑨
𝟏
• Se lanza un dado dos veces y registramos la ocurrencia del evento A
𝒇𝑨(2) =
𝑵ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒗𝒆𝒄𝒆𝒔 𝒒𝒖𝒆 𝒐𝒄𝒖𝒓𝒓𝒆 𝑨
𝟐
• Se lanza un dado tres veces y registramos la ocurrencia del evento A
𝒇𝑨(3) =
𝑵ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒗𝒆𝒄𝒆𝒔 𝒒𝒖𝒆 𝒐𝒄𝒖𝒓𝒓𝒆 𝑨
𝟑
y así sucesivamente, veremos que 𝒇𝑨(1), 𝒇𝑨 2 , 𝒇𝑨 3 ,… son aleatorios
pero a partir de un número de veces bien grande que se realiza el
experimento se cumple que la frecuencia relativa del evento A 𝒇𝑨 se
acerca cada vez más a 𝑷 𝑨 =
𝒏(𝑨)
𝒏()
la probabilidad de la ocurrencia del
evento A, el cuál es su valor límite.
21
Eventos mutuamente excluyentes
Dos eventos A y B de un mismo de un mismo espacio muestral  ≠ ∅ son
mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir en forma simultánea, esto
implica que 𝑷 𝑨 ∩ 𝑩 = 𝟎.
Ejemplo 4
Se lanzan dos dados y se registra los resultados obtenidos, también se 
definen los siguientes eventos:
A: La suma de los resultados es un número impar
B: La suma de los resultados es un número par
C: El producto de los resultados es un número impar
¿Qué eventos son mutuamente excluyente?
Rpta.:A y B; A y C 
22
PROBABILIDAD CONDICIONAL
Sean 𝑨 y 𝑩 dos eventos de un mismo espacio muestral  ≠ ∅ con
𝑷(𝑨) > 𝟎 , la probabilidad que ocurra el evento 𝑩 dado que ha
ocurrido el evento 𝑨 se denomina probabilidad condicional y se
denota por 𝑷(𝑩/𝑨) y se calcula de la siguiente forma:
𝑷 Τ𝑩 𝑨 =
𝑷 𝑨 ∩ 𝑩
𝑷 𝑨
=
𝒏(𝑨 ∩ 𝑩)
𝒏(𝑨)
𝛀
A B
Gráficamente
Nuevo espacio 
muestral
(el espacio muestral 
se reduce)
Casos favorables
23
Ejemplo 5
Se lanza un dado y definimos los eventos:
A: Se obtiene un número impar B: Se obtiene un cuadrado perfecto
𝜴
A B
1
62
3
5
4
𝑃 𝐵 =
2
6
𝑃 𝐴/𝐵 =
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐵)
=
1
6
2
6
=
1
2
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 =
1
6
𝑃 𝐴 =
3
6
𝑃 𝐴/𝐵 =
𝑛(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑛(𝐵)
=
1
2
ó
Probabilidad de obtener un
número impar dado que se
obtuvo un cuadrado perfectoTambién 𝑃 𝐵/𝐴 =
𝑛(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑛(𝐴)
=
1
3
Probabilidad de obtener un cuadrado
perfecto dado que se obtuvo un número impar
24
Sea el experimento aleatorio lanzar dos dados, calcule la probabilidad de:
a) Obtener resultados diferentes dado que la suma de resultados es 10.
b) Obtener como suma de resultados 10, dado que se obtuvieron
resultados diferentes.
Resolución:
Aplicación 5
𝜺: Lanzar dos dados
𝑨: Se obtienen resultados diferentes
𝑩: Se obtiene como suma de resultados 10
𝑛 Ω = 36
a) 𝑃 𝐴/𝐵 =
𝑛(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑛(𝐵)
=
𝟐
𝟑
b) 𝑃 𝐵/𝐴 =
𝑛(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑛(𝐴)
=
2
30
=
𝟏
𝟏𝟓 Rpta.: 
𝟐
𝟑
;
𝟏
𝟏𝟓
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
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Eventos independientes 
Dos eventos A y B (distintos del ∅) de un mismo espacio muestral  ≠ ∅
asociado a un experimento aleatorio se dice que son independientes si la
ocurrencia de uno de ellos no influye en la ocurrencia del otro.
Es decir se cumple 𝑷 𝑩/𝑨 = 𝑷 𝑩 𝒚 𝑷 𝑨/𝑩 = 𝑷 𝑨
Consecuencia: Como
En general: Si 𝐴 y 𝐵 son eventos independientes, de un mismo espacio 
muestral, entonces 
Nota: Si 𝐴 y 𝐵 son eventos independientes, de un mismo espacio
muestral también se cumple que:
• 𝐴𝑐 𝑦 𝐵 son eventos independientes. 
• 𝐴 𝑦 𝐵𝑐 son eventos independientes.
𝑃 Τ𝐵 𝐴 =
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵
𝑃 𝐴
= 𝑃(𝐵)
𝑷 𝑨 ∩ 𝑩 = 𝑷 𝑨 . 𝑷(𝑩)
𝑷 𝑨 ∩ 𝑩 = 𝑷 𝑨 .𝑷(𝑩)
• 𝐴𝑐 𝑦 𝐵𝑐son eventos 
independientes.
26
Ejemplo 6 
Se lanza un dado dos veces, definamos los eventos A y B como sigue:
A: El primer resultado muestra un número par 
B: El segundo resultado muestra 5 o 6
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
𝑃 𝐴 =
18
36
=
1
2
𝑃 𝐴/𝐵 =
6
12
=
1
2
𝑃 𝐵 =
12
36
=
1
3
𝑃 𝐵/𝐴 =
6
18
=
1
3
La ocurrencia del evento A
no influye en la ocurrencia
del evento B, por lo tanto
son eventos independientes
Se cumple: 𝑷 𝑨 ∩ 𝑩 =
𝟔
𝟑𝟔
=
𝟏
𝟔
= 𝑷 𝑨 .𝑷 𝑩
27
Resolución
Del enunciado
UNI (0,45) San Marcos(0,60)
0,45x0,60
Pues los eventos son 
independientes
0,270,18 0,33
X
Probabilidad de no 
ingresar a ninguna
Se cumple
0,18 + 0,27 + 0,33 + X = 1
X = 0,22
Aplicación 6
La probabilidad que tiene Luis de ingresar a la UNI es 0,45 y la
probabilidad que ingrese a San Marcos es 0,60, considerando que
ingresar a cada una es independiente de ingresar a la otra, ¿cuál es la
probabilidad que tiene Luis de no ingresar a ninguna?
Rpta.: 𝟎, 𝟐𝟐
28
Aplicación 7
En una caja se tiene 12 tornillos, de los cuales tres de ellos son
defectuosos, se extrae una muestra aleatoria de tres tornillos, uno a uno
con reposición. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente uno sea
defectuoso?
Resolución:
9B
3D
12
𝜀: 𝑆𝑒 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑎𝑒𝑛 𝑡𝑟𝑒𝑠 𝑡𝑜𝑟𝑛𝑖𝑙𝑙𝑜𝑠 𝑢𝑛𝑜 𝑎 𝑢𝑛𝑜 𝑐𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛𝑃 𝐸𝑥𝑎𝑐𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑢𝑛𝑜 𝐷 =
D B B B D B B B D
3
12
9
12
9
12
9
12
9
12
3
12
3
12
9
12
9
12
= 
𝟐𝟕
𝟔𝟒
x x x x x x
Rpta.: 
𝟐𝟕
𝟔𝟒
+ +
29
Sea  = 𝒘𝟏, 𝒘𝟐, … ,𝒘𝒏, … , un espacio muestral infinito numerable, es decir:
Probabilidad de un evento en un espacio muestral 
infinito numerable
 

=
=
1i
iw    

=

=
==





11
1)(
i
i
i
i wPwP 
Luego, si 𝐴 es un evento de , se tiene que:
 

=
Aw
i
i
wPAP )()(
30
Aplicación 8
En cierto juego de mesa que se juega con un dado, cada jugador necesita
sacar un seis para empezar a jugar. Ángel y Beto se turnan para lanzar el
dado. Encuentre la probabilidad de que Ángel comience a jugar primero,
si el es quien comienza al lanzar el dado.
Resolución
𝑃 𝐴 = 𝑃(𝐵) =
1
6
Denotemos por 𝐴 y 𝐵 los eventos Ángel y Beto obtienen un 6 respectivamente
y 𝑃 𝐴𝐶 = 𝑃(𝐵𝐶) =
5
6
𝑨𝑪 y 𝑩𝑪 son los eventos Ángel y Beto 
no obtienen un 6
Sea 𝑋: N° lanzamientos que se deben dar para que Ángel empiece primero a jugar
Como Ángel es el primero que lanza el dado, él comienza a jugar cuando 𝑋 tome valores impares
𝑃
Á𝑛𝑔𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑚𝑖𝑒𝑛𝑧𝑎
𝑎 𝑗𝑢𝑔𝑎𝑟 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑜
= 𝑃 𝑋 = 1 + 𝑃 𝑋 = 3 + 𝑃 𝑋 = 5 +⋯
𝑨 𝑨𝑪𝑩𝑪𝑨 𝑨𝑪𝑩𝑪𝑨𝑪𝑩𝑪𝑨
𝑃
Á𝑛𝑔𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑚𝑖𝑒𝑛𝑧𝑎
𝑎 𝑗𝑢𝑔𝑎𝑟 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑜
=
𝟏
𝟔
+
5
6
×
5
6
×
𝟏
𝟔
+
5
6
×
5
6
×
5
6
×
5
6
×
𝟏
𝟔
+⋯ =
1
6
1 −
25
36
=
𝟔
𝟏𝟏
𝑨 𝑨𝑪 𝑩𝑪 𝑨 𝑨𝑪 𝑩𝑪 𝑨𝑪 𝑩𝑪 𝑨
Rpta.: 
𝟔
𝟏𝟏
𝟐𝟓
𝟑𝟔
25
36
2
31
Sea 𝐴 cualquier evento de un espacio muestral continuo , tal que la
medida (longitud o área) de 𝐴 exista, denotado por 𝑚(𝐴). Definamos la
probabilidad de 𝐴 como:
Probabilidad de un evento en un espacio muestral 
continuo
)(
)(
)(

=
m
Am
AP
Observación:
En el caso de un espacio muestral continuo la probabilidad de un
punto en  es cero, por lo tanto, si 𝑃 𝐴 = 0 no implica que 𝐴 = ∅.
32
Aplicación 9
Se elige al azar un punto de coordenadas (x,y) donde x e y son números
reales que pertenecen a un cuadrado de vértices (0,0); (0,1); (1,0) y (1,1).
Calcule la probabilidad de que la suma de coordenadas del punto (x,y)
sea menor o igual a
2
3
.
Resolución
= 𝒙, 𝒚 ∈ ℝ𝟐: 𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟏 ∧ 𝟎 ≤ 𝒚 ≤ 𝟏El espacio muestral es:
Si 𝐴 es el evento la suma de coordenadas del punto (x,y) es menor o igual a 
2
3
𝑨 = 𝒙, 𝒚 ∈ ℝ𝟐: 𝒙 + 𝒚 ≤
2
3
(0;0) (1;0)
(1;1)
(0;1)
x
y
•
• •
•
𝟐
𝟑
𝟐
𝟑
𝑨
𝛀
𝑷 𝑨 =
𝒎(𝑨)
𝒎(𝜴)
=
Á𝒓𝒆𝒂 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒓𝒆𝒈𝒊ó𝒏 𝑨
Á𝒓𝒆𝒂 𝒅𝒆𝒍 𝒄𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒅𝒐
𝑷 𝑨 =
𝟐
𝟑
×
𝟐
𝟑
𝟐
𝟏
=
𝟐
𝟗
Rpta.: 
𝟐
𝟗
33
Variable aleatoria discreta (VAD)
Asocia a cada elemento de un espacio muestral Ω = 𝑤1; 𝑤2; 𝑤3; … un número real.
𝑋: Ω → ℝ
𝑤𝑖 → 𝑋 𝑤𝑖 = 𝑥𝑖
Es decir Se dice que la variable es aleatoria porque su valor depende
del azar, y es discreta si su valor se obtiene por un simple
conteo y por lo general estos valores son enteros.
Ejemplo 7. Se lanza una moneda tres veces y se define la variable aleatoria 
𝑋: Número de caras obtenidas
SSS
SSC
SCS
CSS
SCC
CSC
CCS
CCC
0
1
2
3
Ω
𝑿 𝒇 𝒙𝒊 = 𝑷 𝑿 = 𝒙𝒊
𝑷 𝑿 = 𝟎 =
𝟏
𝟖
𝑷 𝑿 = 𝟏 =
𝟑
𝟖
𝑷 𝑿 = 𝟐 =
𝟑
𝟖
𝑷 𝑿 = 𝟑 =
𝟏
𝟖
𝑿 𝒘𝒊 = 𝒙𝒊
𝒇
34
Distribución de Probabilidad Discreta 
Es decir, sea 𝐴 el conjunto de valores de la variable aleatoria discreta 𝑋, 
entonces 
𝑓: 𝐴 → 0,1
𝑥𝑖 → 𝑓 𝑥𝑖 = 𝑃 𝑋 = 𝑥𝑖 = 𝑝𝑖
Sea la variable aleatoria discreta 𝑋 con:
𝑋: 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑘 (Valores de la variable)
𝑃: 𝑝1, 𝑝2, … , 𝑝𝑘 (Respectivas probabilidades) 
Se debe cumplir
• 𝟎 ≤ 𝒑𝒊 ≤ 𝟏 ; 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒕𝒐𝒅𝒐 𝒊: 𝟏, 𝟐, 𝟑, … , 𝒌
• 𝒑𝟏 + 𝒑𝟐 +⋯+ 𝒑𝒌 = 𝟏
Esta función no es inyectiva y 
tampoco sobreyectiva
Función de probabilidad: Es aquella función que asigna a cada valor de la 
variable aleatoria 𝑋 su respectiva probabilidad.
Observación:
𝑿 𝒙𝟏 𝒙𝟐 ⋯ 𝒙𝒌
𝑷 𝑿 = 𝒙𝒊 𝒑𝟏 𝒑𝟐 ⋯ 𝒑𝒌
Tabla de distribución de probabilidad discreta
35
Aplicación 10
Una urna contiene siete tuercas, de las cuáles tres de ellas están
defectuosas. Se extraen tres tuercas al azar y se define la variable
aleatoria 𝑋 como el número de tuercas defectuosas extraídas, elabore la
tabla de distribución de probabilidad y determinar la 𝑃 𝑋 ≥ 1 .
Resolución
4B
3D
7
𝜀: 𝑆𝑒 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑎𝑒𝑛 𝑡𝑟𝑒𝑠 𝑡𝑢𝑒𝑟𝑐𝑎𝑠 𝑎𝑙 𝑎𝑧𝑎𝑟 𝒏 𝜴 = 𝑪𝟑
𝟕 =
𝟕!
𝟑! × 𝟒!
= 𝟑𝟓
𝑋:𝑁° 𝑡𝑢𝑒𝑟𝑐𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑢𝑜𝑠𝑎𝑠 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑎𝑖𝑑𝑎𝑠
𝒙𝒊
𝑷 𝑿 = 𝒙𝒊
𝟎 𝟏 𝟐 𝟑
𝑪𝟑
𝟒
𝟑𝟓
=
𝟒
𝟑𝟓
𝑪𝟏
𝟑. 𝑪𝟐
𝟒
𝟑𝟓
=
𝟏𝟖
𝟑𝟓
𝑪𝟐
𝟑. 𝑪𝟏
𝟒
𝟑𝟓
=
𝟏𝟐
𝟑𝟓
𝑪𝟑
𝟑
𝟑𝟓
=
𝟏
𝟑𝟓
3B 1D2B 2D1B 3D
𝑷 𝑿 ≥ 𝟏 =
𝟑𝟏
𝟑𝟓
= 𝟏 − 𝑷 𝑿 < 𝟏 Rpta.: 
𝟑𝟏
𝟑𝟓
36
Esperanza matemática E(X)
También llamada valor esperado , esperanza , o media de una variable
aleatoria , es el número que formaliza la idea de valor promedio de un
fenómeno aleatorio.
Si 𝑋 es una variable aleatoria discreta, con la siguiente tabla de
distribución de probabilidad
entonces el valor esperado de 𝑥 esta dado por:
𝑿 𝒙𝟏 𝒙𝟐 ⋯ 𝒙𝒌
𝑷 𝑿 = 𝒙𝒊 𝒑𝟏 𝒑𝟐 ⋯ 𝒑𝒌
𝑬 𝑿 =෍
𝒊=𝟏
𝒌
𝒙𝒊. 𝒑𝒊 =𝒙𝟏. 𝒑𝟏 + 𝒙𝟐. 𝒑𝟐 +⋯+ 𝒙𝒌. 𝒑𝒌
Propiedad: 𝑬 𝒂𝑿 + 𝒃 = 𝒂𝑬 𝑿 + 𝒃, 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 𝒂 𝒚 𝒃 𝒔𝒐𝒏 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆𝒔
37
Aplicación 11
En una urna se tienen fichas idénticas en cada una de las cuales está escrito un
número de tres cifras del sistema de base tres. La urna contiene a todos los números
de tres del sistema ternario, sea 𝜀: el experimento aleatorio que consiste en extraer
aleatoriamente una ficha de la urna y 𝑋: la variable aleatoria discreta asociada, definida
como la suma de cifras del número seleccionado. Halle la esperanza matemática de la
variable aleatoria 𝑋. (UNI 2019 II)
Resolución
𝜀: Extraer aleatoriamente una ficha de la urna
Ω =
𝟏𝟎𝟎𝟑; 𝟏𝟎𝟏𝟑; 𝟏𝟎𝟐𝟑; 𝟏𝟏𝟎𝟑; 𝟏𝟏𝟏𝟑; 𝟏𝟏𝟐𝟑; 𝟏𝟐𝟎𝟑; 𝟏𝟐𝟏𝟑; 𝟏𝟐𝟐𝟑;
𝟐𝟎𝟎𝟑; 𝟐𝟎𝟏𝟑; 𝟐𝟎𝟐𝟑; 𝟐𝟏𝟎𝟑; 𝟐𝟏𝟏𝟑; 𝟐𝟏𝟐𝟑; 𝟐𝟐𝟎𝟑; 𝟐𝟐𝟏𝟑; 𝟐𝟐𝟐𝟑
𝑛 Ω = 18
𝑋: Suma de cifras del número seleccionado
𝒙𝒊
𝑷 𝑿 = 𝒙𝒊
𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 𝟓 𝟔
𝟏
𝟏𝟖
𝟑
𝟏𝟖
𝟓
𝟏𝟖
𝟓
𝟏𝟖
𝟑
𝟏𝟖
𝟏
𝟏𝟖
𝑬 𝑿 = 𝟏
𝟏
𝟏𝟖
+ 𝟐
𝟑
𝟏𝟖
+ 𝟑
𝟓
𝟏𝟖
+ 𝟒
𝟓
𝟏𝟖
+ 𝟓
𝟑
𝟏𝟖
+ 𝟔
𝟏
𝟏𝟖
= 𝟑, 𝟓
𝑬 𝑿 =෍
𝒊=𝟏
𝒌
𝒙𝒊. 𝒑𝒊
Rpta.: 𝟑, 𝟓
38
39
Problema 1
Resolución
En la fiesta de cumpleaños de Ana, ella debe invitar a ocho de las 12 amigas
que tiene, pero se sabe que Carmen y Diana no pueden asistir juntas a la
fiesta. Determine la probabilidad que ha dicha fiesta asista Diana.
A)
1
3
B)
3
11
C)
4
11
D)
8
33
E)
10
33
formar grupos de 8
𝑛 Ω = 𝐶8
12
=
12 × 11 × 10 × 9
1 × 2 × 3 × 4
= 495
diana
Evento: A, diana es parte de
las 8 invitadas, Carmen no
𝑛 𝐴 = 𝐶7
10 = 𝐶3
10
𝑛 𝐴 = 120
𝑃 𝐴 =
𝑛(𝐴)
𝑛 Ω
=
120
495
=
𝟖
𝟑𝟑
CLAVE D
40
Problema 2
Resolución
Se colocan al azar tres fichas de diferentes colores, en los cuadrados
de un tablero de ajedrez una por cada casillero, ¿cuál es la
probabilidad que las fichas pertenezcan a diferentes filas y columnas?
A) 
2
31
B) 
7
31
C) 
14
31
D) 
5
62
E) 
7
62
Colocamos la primera ficha
probabilidad que la segunda no
esté alineada con la primera
7 x 7 = 49, 𝑃 𝐹2 =
49
63
probabilidad que la tercera no esté
alineada con la primera y segunda.
6 x 6 = 36, 𝑃 𝐹3 =
36
62
𝑃 𝐹2∧𝐹3 =
49
63
×
36
62
=
𝟏𝟒
𝟑𝟏
CLAVE C
41
Problema 3
Resolución
Seis amigos entre ellos Carlos y Rosa, deciden visitar a uno de sus
amigos que está enfermo y vive en un departamento de un condominio
en el piso 15, al llegar encuentran que los dos ascensores están libres
cuyas capacidades son cinco personas como máximo, al distribuirse
estos amigos en los ascensores, ¿cuál es la probabilidad que Carlos y
Rosa suban en el mismo ascensor?
A) 
5
62
B) 
10
21
C) 
10
31
D) 
15
31
E) 
16
31
Distribuir 6 amigos diferentes en
dos ascensores, ninguno vacío
A1 A2 A3 A4 A5 A6
AS1
AS2
AS1
AS2
AS1
AS2
AS1
AS2
AS1AS2
AS1
AS2
2 X 2 X 2 X 2 X 2 X 2 - 2
Carlos y Rosa en un ascensor
A1 A2 Ca Ro A5 A6
AS1
AS2
AS1
AS2
AS1 AS1 AS1
AS2
AS1
AS2
(24−1) × 2
𝑃 =
2(15)
64 − 2
=
𝟏𝟓
𝟑𝟏
CLAVE D
42
Problema 4
Para el examen final del curso de Cálculo Diferencial se han considerado
10 temas diferentes, si Luis ha estudiado seis de los 10 temas y el
examen consta de cinco preguntas todas de temas diferentes, ¿cuál es la
probabilidad que en el examen haya solo tres preguntas de los temas que
él ha estudiado?
A)
1
7
B)
3
7
C)
5
21
D)
10
21
E)
5
7
Resolución
10 temas
T1 T2 T3 T4 T5
T6 T7 T8 T9 T10
𝒏 𝜴 = 𝑪𝟓
𝟏𝟎
Evento: 3 temas de los 6 estudiados
𝒏 𝑬 = 𝑪𝟑
𝟔 × 𝑪𝟐
𝟒 = 𝟐𝟎 × 𝟔 = 𝟏𝟐𝟎
= 𝟐𝟓𝟐
𝑷 𝑬 =
𝟏𝟐𝟎
𝟐𝟓𝟐
=
𝟏𝟎
𝟐𝟏
CLAVE D
43
Carlos con las cifras 2, 3, 5 y 7 forma al azar un número de cuatro cifras diferentes
entre sí, mientras que Víctor también al azar un número de cuatro cifras diferentes
entre sí, pero usando las cifras 3, 5, 8 y 9. Calcule la probabilidad que los números
formados por ambos terminen en la misma cifra.
A) 1/3 B) 1/4 C) 1/8 D) 3/8 E) 5/8
Problema 05
Resolución
Carlos:
𝑎𝑏𝑐3
𝑎𝑏𝑐5
𝐶#𝑠 = 3 x 2 x 1 = 6
𝐶#𝑠 = 3 x 2 x 1 = 6
𝑎𝑏𝑐𝑑 𝐶#𝑠 = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
Similar para Víctor
𝑃(𝐶 𝑦 𝑉 𝑎𝑐𝑎𝑏𝑒 𝑒𝑛 3 𝑜 𝐶 𝑦 𝑉 𝑎𝑐𝑎𝑏𝑒 𝑒𝑛 5) =
6
24
𝑥
6
24
+ =
𝟏
𝟖
6
24
𝑥
6
24
Clave C
44
En la semana previa al examen de admisión, un estudiante se propone estudiar
en total 16 horas de lunes a sábado, cada día no menos de dos horas y siempre
un número entero de horas por día. Calcule la probabilidad que el estudiante
estudie exactamente en tres días seguidos tres horas.
A) 1/42 B) 1/21 C) 2/63 D) 1/35 E) 5/126
Problema 06
Resolución
3 3 3
𝐶𝐹 = 6
2 3 3 3 2 3
3 2 3 3 3 2
3 3 3
2,2,3 o 2,3,2
3,2,2 o 2,3,2
𝐶𝑇 = 𝑃𝑅4 ;5
9 =
9!
5! 𝑥 4!
Para los casos total : H H H H | | | | |Primero repartimos a cada día 2 H y luego:
= 126 𝑃 =
6
126
=
𝟏
𝟐𝟏
Clave B
45
Problema 7
Resolución
En una facultad de la UNI se disponen de tres pisos exclusivos para
aulas, existen cuatro aulas en el primero; cinco en el segundo y seis en el
tercero, para el fin de ciclo se deben seleccionar tres aulas para tomar
exámenes de diferentes cursos. Calcule la probabilidad aproximada que
a lo más se utilicen dos aulas de un mismo piso.
A) 0,236 B) 0,244 C) 0,264 D) 0,282 E) 0, 925
4 aulas
5 aulas
6 aulas
𝑛 Ω = 𝐶3
15
Que se tome 2 de un piso y 1 de los
otros dos pisos o 1 de cada piso.
𝑛 𝐸 = 𝐶2
4 × 𝐶1
11 + 𝐶2
5 × 𝐶1
10 + 𝐶2
6 × 𝐶1
9 + 4 × 5 × 6
𝑃 𝐸 =
6 × 11 + 10 × 10 + 15 × 9 + 120
455
𝑃 𝐸 =
421
455
46
Problema 7
Resolución
En una facultad de la UNI se disponen de tres pisos exclusivos para aulas, existen cuatro
aulas en el primero; cinco en el segundo y seis en el tercero, para el fin de ciclo se deben
seleccionar tres aulas para el tomado de exámenes de diferentes cursos. Calcule la
probabilidad aproximada que a lo más se utilicen dos aulas de un mismo piso.
A) 0,236 B) 0,244 C) 0,264 D) 0,282 E) 0,925
1 − 𝑃(3 𝑎𝑢𝑙𝑎𝑠 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑜 𝑝𝑖𝑠𝑜)
1 −
𝐶3
4 + 𝐶3
5+ 𝐶3
6
𝐶3
15
=
4 21
455
= 𝟎, 𝟗𝟐𝟓 Clave E
Primer piso
Segundo piso
Tercer piso
𝐶𝐹 = 𝐶1
4 𝑥 𝐶1
5 𝑥 𝐶1
6
1 aula por c/piso 2 aulas por c/piso
+ 𝐶2
4 (𝐶1
5+ 𝐶1
6) + 𝐶2
5 (𝐶1
4+ 𝐶1
6) + 𝐶2
6 (𝐶1
4+ 𝐶1
5)
𝐶𝐹 = 120 + 6 5 + 6 + 10 4 + 6 + 15(4 + 5) = 421
𝐶𝑇 = 𝐶3
15 = 455 𝑃(𝑎 𝑙𝑜 𝑚𝑎𝑠 2 𝑑𝑒 𝑐/𝑝𝑖𝑠𝑜)
Por Complemento: 𝑃(𝑎 𝑙𝑜 𝑚𝑎𝑠 2 𝑑𝑒 𝑐/𝑝𝑖𝑠𝑜) =
𝑃(𝑎 𝑙𝑜 𝑚𝑎𝑠 2 𝑑𝑒 𝑐/𝑝𝑖𝑠𝑜) = = 1 −
34
455
= 𝟎, 𝟗𝟐𝟓
47
Problema 08
Resolución
Consideramos un espacio muestral formado por las 24 permutaciones de los 
números 1; 2; 3 y 4 todas equiprobables. Definimos el evento
Calcule 𝑃(𝐴1 ∪ 𝐴2).
A) 1/4 B) 3/4 C) 5/12 D) 7/12 E) 5/7
𝐴𝑛 = {𝑤 ∈ ΤΩ 𝑒𝑛 𝑤 𝑎𝑝𝑎𝑟𝑟𝑒𝑐𝑒 𝑒𝑙 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑛 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑛 − é𝑠𝑖𝑚𝑜 𝑙𝑢𝑔𝑎𝑟}
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝐴1: 1𝑎𝑏𝑐 𝐶𝐹 = 3 x 2 x 1 = 6
Clave C
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝐴2: 𝑎2𝑏𝑐 𝐶𝐹 = 3 x 2 x 1 = 6
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝐴1 ∩ 𝐴2: 12𝑎𝑏 𝐶𝐹 = 2 x 1 =2
𝑃 𝐴1 ∪ 𝐴2 =
6 + 6 − 2
24
=
𝟓
𝟏𝟐
48
Problema 9
Resolución: 
De una baraja de 52 cartas se van a extraer al azar cuatro cartas. Calcule
la probabilidad de obtener dos reyes y al menos un as.
A) 2/595 B) 9/1190 C) 12/2975 D) 18/2975 E) 12/54145
𝑶𝒃𝒕𝒆𝒏𝒆𝒎𝒐𝒔 𝒅𝒐𝒔 𝒓𝒆𝒚𝒆𝒔 , 𝒖𝒏 𝒂𝒔 𝒚 𝒐𝒕𝒓𝒂 𝒄𝒂𝒓𝒕𝒂 𝒅𝒊𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒕𝒆
𝐶2
4. 𝐶1
4. 𝐶1
44
𝐶4
52
𝑷𝟏=
𝑶𝒃𝒕𝒆𝒏𝒆𝒎𝒐𝒔 𝒅𝒐𝒔 𝒓𝒆𝒚𝒆𝒔 𝒚 𝒅𝒐𝒔 𝒂𝒔𝒆𝒔
𝐶2
4. 𝐶2
4
𝐶4
52
𝑷𝟐=
P = 𝑷𝟏 + 𝑷𝟐
P =
𝟏𝟐
𝟐𝟗𝟕𝟓
49
Problema 10
Resolución
Un experimento aleatorio consiste en lanzar dos dados y cuatro monedas.
Calcule la probabilidad que el producto de los puntajes de los dados
coincide con el número de caras obtenidas en las monedas.
A) 
1
16
B) 
3
32
C) 
1
32
D) 
3
64
E) 
5
64
PRODUCTO 1 Y OBTENER UNA 
CARA 
Ó PRODUCTO 2 Y
OBTENER 2 
CARAS
Ó PRODUCTO 3 Y OBTENER 3 
CARAS
Ó PRODUCTO 
4 Y
OBTENER 4 
CARAS
=
𝟏
𝟑𝟔
×
𝟒
𝟏𝟔
=
𝟐
𝟑𝟔
×
𝟔
𝟏𝟔
=
𝟐
𝟑𝟔
×
𝟒
𝟏𝟔
=
𝟑
𝟑𝟔
×
𝟏
𝟏𝟔
=
𝟒
𝟓𝟕𝟔
=
𝟏𝟐
𝟓𝟕𝟔
=
𝟖
𝟓𝟕𝟔
=
𝟑
𝟓𝟕𝟔
=
𝟐𝟕
𝟑𝟔 × 𝟏𝟔
=
𝟑
𝟔𝟒
CLAVE D
50
Problema 11
Resolución: 
Se disponen de cuatro cajas que contienen 100 focos cada una. Dos de las
cajas contienen 10 focos defectuosos cada una, otra caja contiene cinco focos
defectuosos y la última contiene dos focos defectuosos. Si se selecciona al
azar una de estas cajas y de ellas se extrae un foco, calcule la probabilidad que
resulte defectuoso.
A) 0,0625 B) 0,0675 C) 0,270 D) 0,625 E) 0, 675
𝑺𝒆 𝒕𝒊𝒆𝒏𝒆𝒏 𝟒 𝒄𝒂𝒋𝒂𝒔
𝟏𝟎𝟎
𝟏𝟎𝑫
𝟗𝟎𝑩
𝟏𝟎𝟎
𝟏𝟎𝑫
𝟗𝟎𝑩
𝟏𝟎𝟎
𝟓𝑫
𝟗𝟓𝑩
𝟏𝟎𝟎
𝟐𝑫
𝟗𝟖𝑩
1
4
𝐶1
10
𝐶1
100
𝑷= +
1
4
𝐶1
10
𝐶1
100 +
1
4
𝐶1
5
𝐶1
100
+
1
4
𝐶1
2
𝐶1
100
P = 𝟎, 𝟎𝟔𝟕𝟓
51
Problema 12
Resolución: 
Se tiene 12 fichas numeradas del 1 al 12. Se extrae aleatoriamente una primera ficha,
luego una segunda y una tercera ficha, sin reposición. Calcule la probabilidad de que estos
tres números estén en progresión aritmética de razón 1 o de razón -1. (UNI 2020 - I)
A)
1
66
B)
5
66
C)
7
66
D)
11
66
E)
35
66
𝑻𝒆𝒏𝒆𝒎𝒐𝒔 𝟏𝟐 𝒇𝒊𝒄𝒉𝒂𝒔 𝒏𝒖𝒎𝒆𝒓𝒂𝒅𝒂𝒔 𝒅𝒆𝒍 𝟏 𝒂𝒍 𝟏𝟐
𝑺𝒊 𝒍𝒂 𝒓𝒂𝒛𝒐𝒏 𝒆𝒔 𝟏
1 2 3
1
12
1
11
1
10
x x
2 3 4
1
12
1
11
1
10
x x
3 4 5
1
12
1
11
1
10
x x
… 10 11 12
1
12
1
11
1
10
x x𝑷𝟏= + + +…+ P1 =
1
132
𝑺𝒊 𝒍𝒂 𝒓𝒂𝒛𝒐𝒏 𝒆𝒔 − 𝟏
12 11 10
1
12
1
11
1
10
x x
11 10 9
1
12
1
11
1
10
x x
10 9 8
1
12
1
11
1
10
x x
… 3 2 1
1
12
1
11
1
10
x x𝑷𝟐= + + +…+ P𝟐 =
1
132
P = 𝑷𝟏 + 𝑷𝟐
P =
1
132
+
1
132
P =
𝟏
𝟔𝟔
52
Problema 13
Resolución
Sean 𝐴, 𝐵 𝑦 𝐶 eventos de un mismo espacio muestral discreto finito (Ω),
indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
I. Si 𝐴 𝑦 𝐵 son eventos mutuamente excluyentes, entonces 𝐴 ∪ 𝐵 = Ω.
II. Si 𝑃 𝐴 = 𝑘, entonces 𝑃 𝐴𝐶 > 𝑘.
III. Si 𝐵 𝑦 𝐶 son eventos independientes, entonces 𝑃 𝐵 ∩ 𝐶 = 0.
A) VVF B) VFF C) VVV D) FFF E) FVF
I. (F)
II. (F)
III. (F) Si 𝐵 𝑦 𝐶 son eventos independientes, entonces 𝑃 𝐵 ∩ 𝐶 = 𝑃 𝐵 . 𝑃(𝐶)
Si 𝑃 𝐴 = 𝑘, entonces 𝑃 𝐴𝐶 = 1 − 𝑘 > 𝑘 no necesariamente es cierto.
Contraejemplo, al lanzar dos dados, A: La suma es impar y 
B: El producto es impar, A y B son excluyentes pero 𝐴 ∪ 𝐵 ≠ Ω.
CLAVE: D
53
CLAVE: C
Problema 14 
Resolución 
En una fábrica de motores de automóviles se ha determinado, que la
probabilidad que no arranque un motor es 0,20. ¿Cuál es la
probabilidad que en el cuarto intento arranque por segunda vez?
A) 0,0256 B) 0,1024 C) 0,0768 D) 0,2048 E) 0,2560
P(no arranque) = 0,20 P(arranque) = 0,80
𝑃
𝐸𝑛 𝑒𝑙 4𝑡𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑛𝑡𝑜
𝑎𝑟𝑟𝑎𝑛𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑜𝑟 2𝑑𝑎 𝑣𝑒𝑧
Arranca No arranca No arranca Arranca
0,80 0,20 0,800,20
Arranca por 
segunda vez
X XX= = 0,07683X
Pueden permutar
54
CLAVE: A
Problema 15 
Resolución 
Una empresa que tiene 50 trabajadores decide premiar a un trabajador con un viaje
todo pagado al Cuzco o Iquitos para lo cual deben participar en un sorteo. Este
consiste en extraer una ficha de una primera urna (esta contiene 5 fichas donde dice:
“Siga jugando” y 3 fichas donde dice: “Gracias por su participación”). Si al retirar una
ficha de la primera urna, y esta le permite seguir participando, puede retirar una ficha de
una segunda urna (esta urna contiene 2 fichas donde dice: “Cuzco”, 4 fichas que dicen
“Iquitos” y 6 fichas que dice: “Hasta el próximo sorteo”). ¿Cuál es la probabilidad que un
trabajador de la empresa elegido al azar viaje al Cuzco?
A)
1
480
B)
1
360
C)
1
365
D)
1
370
E)
1
380
5 Siga jugando
3 Gracias por 
su participación
2 Cuzco 
4 Iquitos
6 Hasta el 
próximo sorteo
Urna I Urna II
𝑃
𝑄𝑢𝑒 𝑢𝑛 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑎𝑑𝑜𝑟
𝑒𝑙𝑒𝑔𝑖𝑑𝑜 𝑎𝑙 𝑎𝑧𝑎𝑟
𝑣𝑖𝑎𝑗𝑒 𝑎𝑙 𝐶𝑢𝑧𝑐𝑜
1
50
5
8
2
12
𝟏
𝟒𝟖𝟎
Probabilidad de 
elegir al azar a 
un trabajador
X X= =
55
Problema 16
Resolución
Sean 𝐴 y 𝐵 eventos de un mismo espacio muestral, indique el valor de
verdad de las siguientes proposiciones:
I. Si 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 = 1, entonces 𝑃 𝐴𝐶 + 𝑃 𝐵𝐶 = 1.
II. 𝑃 𝐵 = 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 + 𝑃(𝐴𝐶 ∩ 𝐵) con 𝐴 ∩ 𝐵 ≠ ∅.
III. Si los eventos 𝐴 y 𝐵 son independientes entonces
𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 1 − 𝑃 𝐴𝐶 . 𝑃 𝐵𝐶
A) VVF B) VFF C) VVV D) FFF E) FVF
I. (V)
II. (V)
III. (V) 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 1 − 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 𝐶 = 1 − 𝑃 𝐴𝐶 ∩ 𝐵𝐶
𝐵 = 𝐴 ∩ 𝐵 ∪ 𝐴𝐶 ∩ 𝐵
𝑃 𝐴𝐶 + 𝑃 𝐵𝐶 = 1 − 𝑃 𝐴 + 1 − 𝑃 𝐵 = 2 − 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 = 1
Son excluyentes
𝑃 𝐵 = 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 + 𝑃(𝐴𝐶 ∩ 𝐵)
= 1 − 𝑃 𝐴𝐶). 𝑃(𝐵𝐶
𝑨𝑪𝒚 𝑩𝑪 son 
independientes
CLAVE: C
56
PROBLEMA 17
RESOLUCIÓN
Clave: D 
El servicio regular de la ruta “B” del servicio de transporte metropolitano en el tramo
de la av. Alfonso Ugarte hasta la UNI puerta 5, tiene siete estaciones (España, Quilca;
2 de Mayo, Caquetá, parque del trabajo, UNI y Honorio delgado en ese orden). De ida y
vuelta, realizada paradas en cada una de ellas. Si Luis y Ana toman un bus en las
estaciones Honorio Delgado y España respectivamente, con diferentes direcciones
hacia su encuentro, ¿cuál es la probabilidad de que se bajen en diferentes estaciones?
(no se pueden hacer transbordos)
A) 3/4 B) 7/9 C) 5/6 D) 31/36 E) 6/7
Luis puede bajar Ana puede bajar
Quilca
2 de Mayo
Caquetá
Parque T
Uni
Honorio D 
Uni
Parque T
Caquetá
2 de Mayo
Quilca
España 
Casos totales: 6 x 6 = 36
E: que bajen en paraderos diferentes
Complemento: paraderos iguales
𝑛(𝐸) = 36 − 5 = 31
𝑃(𝐸) =
𝑛(𝐸)
𝑛(Ω)
=
𝟑𝟏
𝟑𝟔
57
Problema 18
Resolución
En una urna se tienen dos dados legales y uno cargado donde la
probabilidad en este ultimo de obtener un número par es dos veces la
probabilidad de obtener un número impar. Si de la urna se extraen dos
dados uno a uno y sin reposición y se lanzan, ¿Cuál es la probabilidad
que la suma de los resultados sea par, dado que el primer dado
extraído ha sido un dado legal?
A)
1
6
B)
1
3
C)
1
2
D)
1
4
E)
2
3
(PAR , PAR) (IMPAR , IMPAR) (PAR , PAR) (IMPAR , IMPAR)
Legal Legal cargado cargado
𝟏
𝟐
×
𝟏
𝟐
×
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
×
𝟏
𝟐
×
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
×
𝟏
𝟐
×
𝟐
𝟑
𝟏
𝟐
×
𝟏
𝟐
×
𝟏
𝟑
𝑷 =
𝟏
𝟐
58
PROBLEMA 19
RESOLUCIÓN
Clave: E 
Sean 𝑨𝟏, 𝑨𝟐 𝐲 𝑨𝟑 eventos tales que 𝑨𝟏 ∪ 𝑨𝟐 ∪ 𝑨𝟑 = Ω (espacio muestral), y
𝑨𝟏 ∩ 𝑨𝟐 = 𝑨𝟏 ∩ 𝑨𝟑 = 𝑨𝟑 ∩ 𝑨𝟐
Sabiendo que 𝑨𝟏 𝒚 𝑨𝟐 son eventos independientes con P(𝑨𝟏) = 1/4 y P( 𝑨𝟐) = 1/2.
Calcule P(𝑨𝟑).
A) 0,1 B) 0,2 C) 0,3 D) 0,4 E) 0,5
𝑷 𝑨𝟑 = 𝟎. 𝟓
𝑷 𝑨𝟏 ∪ 𝑨𝟐 ∪ 𝑨𝟑 = 𝑷 𝑨𝟏 + 𝑷 𝑨𝟐 + 𝑷 𝑨𝟑 − 𝑷 𝑨𝟏 ∩ 𝑨𝟐 − 𝑷 𝑨𝟐 ∩ 𝑨𝟑 − 𝑷 𝑨𝟏 ∩ 𝑨𝟑 + 𝑷 𝑨𝟏 ∩ 𝑨𝟐 ∩ 𝑨𝟑
𝑷 𝑨𝟏 ∪ 𝑨𝟐 ∪ 𝑨𝟑 = 𝑷 𝛀 = 𝟏 𝑷 𝑨𝟏 ∩ 𝑨𝟐 = 𝑷 𝑨𝟏 × 𝑷 𝑨𝟐 =
𝟏
𝟒
×
𝟏
𝟐
=
𝟏
𝟖
𝑷 𝑨𝟏 ∩ 𝑨𝟐 = 𝑷 𝑨𝟐 ∩ 𝑨𝟑 = 𝑷 𝑨𝟏 ∩ 𝑨𝟑 =
𝟏
𝟖
𝑷 𝑨𝟏 ∩ 𝑨𝟐 ∩ 𝑨𝟑 = 𝑷 𝑨𝟏 ∩ (𝑨𝟐 ∩ 𝑨𝟑) = 𝑷 𝑨𝟏 ∩ (𝑨𝟏 ∩ 𝑨𝟐) = 𝑷 𝑨𝟏 ∩ 𝑨𝟐 =
𝟏
𝟖
𝟏 =
𝟏
𝟒
+
𝟏
𝟐
+ 𝑷 𝑨𝟑 −
𝟏
𝟖
−
𝟏
𝟖
−
𝟏
𝟖
+
𝟏
𝟖
59
PROBLEMA 20
RESOLUCIÓN Primer Lanzamiento:
Clave: B 
𝟑𝟎
𝟑𝟔
Respuesta: 
Juan y César lanzan cada uno un dado tres veces, ¿cuál es la probabilidad que
recién en el tercer lanzamiento de cada uno, ellos obtengan el mismo resultado?
A) 5/216 B) 25/216 C) 5/36 D) 5/9 E) 4/9
2do Lanzamiento:
𝟑𝟎
𝟑𝟔
3er Lanzamiento:
𝟔
𝟑𝟔
𝟑𝟎
𝟑𝟔
𝒙
𝟑𝟎
𝟑𝟔
𝒙
𝟔
𝟑𝟔
=
𝟐𝟓
𝟐𝟏𝟔
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
60
60
El supervisor de una planta de producción tiene a su cargo a tres varones y tres
mujeres. Debe elegir dos trabajadores para una tarea específica, para lo cual
decide elegir los trabajadores al azar. Si x representa el número de mujeres
elegidas. Calcule P(x=1)-P(x=2).
Problema 21
A) 0,2 B) 0,3 C) 0,4 D) 0,45 E) 0,6
RESOLUCIÓN:
Se define la variable aleatoria 𝑥 : Número de
mujeres elegidas para una tarea especifica.
𝒙 = 𝟎, 𝟏, 𝟐
𝒙 0 1 2
𝑷(𝒙) 𝑪𝟎
𝟑𝑪𝟐
𝟑
𝑪𝟐
𝟔
𝑪𝟏
𝟑𝑪𝟏
𝟑
𝑪𝟐
𝟔
𝑪𝟐
𝟑𝑪𝟎
𝟑
𝑪𝟐
𝟔
𝑷 𝒙 = 𝟏 =
𝑪𝟏
𝟑𝑪𝟏
𝟑
𝑪𝟐
𝟔
=
(𝟑) ( 𝟑)
(𝟏𝟓)
= 𝟎, 𝟔
𝑷 𝒙 = 𝟐 =
𝑪𝟐
𝟑𝑪𝟎
𝟑
𝑪𝟐
𝟔
=
(𝟑) ( 𝟏)
(𝟏𝟓)
= 𝟎, 𝟐
𝑷 𝒙 = 𝟏 − 𝑷 𝒙 = 𝟐 = 𝟎, 𝟒Respuesta: 0,4
supervisor
61
61
Un dado tiene dos caras marcadas con el número 1, otras dos caras marcadas con el número 2
y las dos caras restantes marcadas con el número 3, todos los resultados son equiprobables.
Se realiza el siguiente juego: tiramos el dado, si sale 3 ganamos, si sale 1 o 2 continuamos
lanzando hasta repetir, el resultado del primer lanzamiento, en cuyo caso ganamos, o hasta
obtener 3 y entonces perdemos. Determine la probabilidad de ganar.
Problema 22
A) 1/3 B) 2/3 C) 3/4 D) 1/4 E) 2/5
RESOLUCIÓN:
Se define la variable
aleatoria 𝑥 : Si sale 3
“ganamos”
3 ⇒ 𝑮𝑨𝑵𝑨𝑴𝑶𝑺
1 ⇒ 𝑪𝑶𝑵𝑻𝑰𝑵𝑼𝑨
2 ⇒ 𝑪𝑶𝑵𝑻𝑰𝑵𝑼𝑨
𝑃 =
1
3
+
1
3
𝑥
1
3
+
1
3
𝑥
2
3
𝑥
1
3
+
1
3
𝑥
2
3
𝑥
2
3
𝑥
1
3
+⋯
𝑃 =
1
3
+
1
9
1 +
2
3
+
2
3
2
+ … =
𝑷 =
𝟏
𝟑
+
𝟏
𝟗
𝒙
𝟏
𝟏−
𝟐
𝟑
= 
𝟐
𝟑
Respuesta: 2/3
62
62
Para el primer ciclo de una universidad hay tres profesores (Francisco; Javier y Marcos)
del curso de Calculo I. Cuando un alumno se matricula tiene igual probabilidad de que le
asignen uno y otro profesor. La probabilidad de obtener una nota final aprobatoria con el
profesor Francisco es 0,3; la de obtenerlo con el profesor Javier es de 0,28 y la obtenerlo
con el profesor Marcos es 0,35.
Sabiendo que un alumno ha obtenido nota aprobatoria. ¿Cuál es la probabilidad de
que le hubiesen asignado al profesor Francisco?
Problema 23
RESOLUCIÓN:
A) 1/11 B) 2/31 C) 10/31 D) 4/31 E) 5/11
Francisco
Javier
Marcos
Aprobar : 0,3
Aprobar : 0,28 
Aprobar : 0,35
1/3
1/3
1/3
𝟏
𝟑
(𝟎, 𝟑)
𝟏
𝟑
(𝟎, 𝟐𝟖)
𝟏
𝟑
(𝟎, 𝟑𝟓)
𝑷 Τ𝑭 𝑨 =
𝑷(𝑭 ∩ 𝑨)
𝑷(𝑨)
=
(
𝟏
𝟑
)(𝟎, 𝟑)
𝟏
𝟑
𝟎, 𝟑 +
𝟏
𝟑
𝟎, 𝟐𝟖 + (
𝟏
𝟑
)(𝟎, 𝟑𝟓)
=
𝟎, 𝟏𝟎
𝟎, 𝟑𝟏
=
𝟏𝟎
𝟑𝟏
Respuesta: 10/31
63
63
Tres amigos A, B y C idean un juego el cual consiste en trazar una línea horizontal
delante de ellos a una distancia de 5 metros, ellos deben lanzar una moneda de un
sol y quien más cerca este su moneda de la lineal horizontal lanza las tres monedas
al aire y se quedara con aquellas monedas que resulten caras, las que salen sellos
se van como donación, si los amigos disponen de dos monedas de un sol cada uno
para jugar y considerando que todos tienen la misma probabilidad de ganar y no se
puede dar empates, ¿cuál es la probabilidad que después del segundo juego A tenga
S/ 5?
Problema 24
RESOLUCIÓN:
A) 1/24 B) 1/48 C) 1/64 D) 1/96 E) 1/192
C B A
𝑨: 2 casos
6 casos totales
Tres amigos 
A,B y C
línea
Debe tomar : ( 3 caras y luego 2 caras) ó ( 2 caras y 3 caras ) respectivamente 
𝟏
𝟑
𝟏
𝟖𝟏
𝟑
𝟑
𝟖
+
𝟏
𝟑
𝟑
𝟖
𝟏
𝟑
𝟏
𝟖
=
𝟏
𝟗𝟔
Respuesta: 1/96
64
Problema 24
Resolución
Tres amigos A, B y C idean un juego el cual consiste en trazar una línea horizontal delante de
ellos a una distancia de 5 metros, ellos deben lanzar una moneda de un sol y quien más cerca
este su moneda de la lineal horizontal lanza las tres monedas al aire y se quedara con
aquellas monedas que resulten caras, las que salen sellos se van como donación, si los
amigos disponen de dos monedas de un sol cada uno para jugar y considerando que todos
tienen la misma probabilidad de ganar y no se puede dar empates, ¿cuál es la probabilidad
que después del segundo juego A tenga 5 soles ?
A)
1
24
B)
1
48
C)
1
64
D)
1
96
E)
1
192
GANA PARA 
JUGAR SACA CCC
Y Y GANA PARA 
SEGUIR JUGANDO Y SACA CSC
𝟏
𝟑
𝟏
𝟖
𝟏
𝟑
𝟑
𝟖
𝑷 = 𝟐 ×
𝟏
𝟑
×
𝟏
𝟖
×
𝟏
𝟑
×
𝟑
𝟖
=
𝟏
𝟗𝟔 CLAVE D
65
Problema 25
Resolución
Para señales Discretas, se tiene:
CLAVE C
66
Problema 26
Resolución
Un juego consiste en lanzar dos dados, si se obtiene menos de cuatro
puntos se pierde 20 soles; si se obtiene más de nueve puntos se gana 100
soles; en cualquier otro caso no se gana ni se pierde. Si para poder jugar
se debe pagar dos soles, ¿cuánto se espera ganar en este juego?
A) 10 B) 12 C) 13 D) 15 E) 18
𝑬𝑽𝑬𝑵𝑻𝑶 RESULTADO P G P(G)
Menos de 4
Mas de 9 
puntos
(1,1); (1,2); (2,1)
(4,6); (6,4); (5,5)
(5,6); (6,5); (6,6)
3
36
6
36
- 20
100
−60
36
600
36
Ganancia bruta esperada:
540
36
Ganancia neta esperada
= 15
15 – 2 = 13
CLAVE C
67
Problema 27
En una feria por el aniversario de un distrito, hay un juego de tiro al
blanco que consta de tres zonas circulares concéntricas de radios 10
cm;25 cm y 40 cm. Si se acierta en la zona central se gana S/ 100, en la
zona intermedia se gana S/ 60 y si cae en la zona alejada del centro se
pierde S/ 40. ¿cuánto se espera ganar en soles en dicho juego? (se sabe
que el tiro siempre cae en la zona concéntrica)
A) 1,2625 B) 1,4025 C) 1,5625 D) 1,6525 E) 1,7625
AREA P G P(G)
𝐾 10 2
𝐾 252 − 102
𝐾 402 − 252
𝐾 40 2
1
16
21
64
39
64
100
60
- 40
400
64
1260
64
−
1560
64
𝑬 =
𝟏𝟎𝟎
𝟔𝟒
68
PROBLEMA N° 28
SOLUCIÓN
Clave A
En una urna hay seis bolas enumeradas: tres de ellas con números positivos
y las otras tres con números negativos. Una persona extrae dos bolas de una
en una sin reemplazamiento. Si el producto de los números de ambas bolas
es positivo gana S/ 100, en caso contrario pierde S/ 50. ¿Cuánto se debe
espera ganar o perder? (en soles)
A) Gana 10 B) Pierde 10 C) Gana 20 D) Pierde 20 E) Gana 30
+
+
+ - -
-
1° Caso: Del mismo signo
2° Caso: De diferente signo
+ +
- -𝑃 =
𝐶1
3𝑥𝐶1
2 + 𝐶1
3𝑥𝐶1
2
𝐶1
6𝑥𝐶1
5 =
12
30
𝑃 =
𝐶1
3𝑥𝐶1
3 + 𝐶1
3𝑥𝐶1
3
𝐶1
6𝑥𝐶1
5 =
18
30
+ -
- +
𝐸 = 100
12
30
− 50
18
30
𝐸 = 40 − 30 = 10
69
PROBLEMA N° 29
SOLUCIÓN
La publicidad de ciertos fondos de inversión de alto riesgo, afirma que la
probabilidad de doblar la cantidad invertida es del 25%, la de triplicarla es del
20%, la de perder la mitad es del 35%, mientras que solo un 20% de los
clientes han perdido todo lo invertido. Si Luis decide invertir S/ 8 000, ¿cuál
es su ganancia esperada en soles?
A) 2 000 B) 2 120 C) 2 200 D) 2 400 E) 2 500
Clave C 
𝐸 = 8000 0.25 + 16000 0.20 − 4000 0.35 − 8000 0.20
𝐸 = 2200
𝒙𝒊 Doble
+
Triple
+ 
𝐌𝐢𝐭𝐚𝐝
-
Pierde 
todo
𝑷 𝑿 = 𝒙𝒊 0.25 0.20 0.35 0.20
70
Una tienda adquirió tres computadoras de un tipo a 400 dólares cada una. Las venderá a
700 dólares cada una. El fabricante se comprometió a readquirir cualquier computadora
que no se haya vendido después de un periodo determinado a 280 dólares. Sea x el número
de computadoras vendidas en dicho periodo y se tiene la siguiente distribución de
probabilidad.
Problema 30
Resolución
X 0 1 2 3
P(X) 0,1 a 2a 0,45
Sea h(x) la utilidad asociada a la venta de x unidades. Calcule el valor esperado de h(x). 
A) 495 B) 504 C) 522 D) 525 E) 600
0,1 + 𝑎 + 2𝑎 + 0,45 = 1
𝑎 = 0,15 ∧ 2𝑎 = 0,30
x p u 𝒑 × 𝒖
0
1
2
3
0,1
0,15
0,3
0,45
ℎ(0) = 3 280 − 1200
ℎ(1) = 700 + 2 280 − 1200
- 360
60
ℎ(2) = 1400 + 280 − 1200
480
900
- 36
9
144
405
Valor esperado= 522
Clave C