Probabilidad combinatoria y distribución de probabilidad

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PROBABILIDAD, COMBINATORIA Y 
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD 
 
 
DANIEL HERRERA ARÁUZ 
 200 PROBLEMAS RESUELTOS. 
 200 PROBLEMAS PROPUESTOS. 
 “Es en verdad tan notable que una ciencia que se inició 
con las consideraciones del juego, se hubiese elevado 
 a los objetos más importantes de la sabiduría humana”. 
Pierre Simon Laplace
PREFACIO 
 
La presente publicación es el resultado de varios años en que el autor ha desarrollado la cátedra de 
Estadística en las carreras de Administración y Contabilidad y Auditoría en la Facultad de Ciencias 
Administrativas de la Universidad Central del Ecuador, como también a nivel de estudios de 
posgrado en diversas universidades e instituciones de estudios superiores del país. 
 
La probabilidad es la cuantificación de la ocurrencia de un evento de carácter aleatorio; la mayoría 
de eventos que se presentan en el desarrollo de las actividades del ser humano son aleatorios, es 
decir, no existe la certeza de lo que va a ocurrir, sin embargo se conocen todos los resultados 
posibles que podrían ocurrir. 
 
La teoría del cálculo de probabilidades nació como una estrategia para ganar los juegos de azar, en el 
siglo XVI, dos matemáticos de renombre: Laplace y Pascal desarrollaron una serie de estrategias 
para ganar los juegos de azar, a pesar de que no obtuvieron el resultado esperado, sin embargo, se 
estableció un marco teórico muy importante para el análisis y la estimación de la ocurrencia de 
eventos de carácter aleatorio. 
 
Este trabajo académico está dividido en tres secciones: en la primera sección, en 10 capítulos, se 
presenta el marco teórico de la definición clásica de probabilidad y la expresión de la probabilidad en 
una distribución de frecuencias, la probabilidad de eventos combinados y de eventos condicionales, 
junto con tablas y árboles de probabilidad; dispone además de un capítulo sobre combinatoria, el 
marco teórico de las distribuciones de probabilidad junto con la distribución binomial y la 
distribución normal; cada uno de estos temas viene conjuntamente con una diversa variedad de 
ejercicios y problemas de aplicación resueltos, junto con una cantidad similar de ejercicios y 
problemas propuestos a ser resueltos por el estudiante. 
 
La segunda parte del texto contiene una descripción detallada de los diferentes elementos 
informáticos que han sido utilizados para el cálculo numérico en la resolución de los problemas 
presentados en este libro, particularmente se mencionan las funciones electrónicas y herramientas 
de la hoja de cálculo Excel, el programa SPSS, como también el uso de graficadores para el trazado 
de la curva normal. 
 
La tercera parte del libro (publicación por separado), el solucionario, tiene en su contenido la 
resolución detallada e íntegra de los problemas propuestos en la primera parte; el estudio y revisión 
de estos ejercicios permitirá al docente y al estudiante disponer de un modelo y de una metodología 
didáctica para la preparación académica de estos temas. 
 
Tanto los problemas resueltos como los problemas propuestos, han sido tomados de diversos textos 
impresos de Estadística y de Probabilidad, como también de infinidad de artículos sobre el tema que 
se encuentran en la red de internet; los cuales han sido incluidos en la bibliografía correspondiente. 
 
Algunos problemas han sido adaptados a nuestra realidad, sobre todo lo relacionado con la moneda, 
las unidades de medida, los lugares geográficos, etc.; manteniendo la parte fundamental del 
problema, para su posterior aplicación del marco teórico en su resolución. 
 
El autor anticipa su agradecimiento a docentes y estudiantes que hagan uso de este material, 
solicitando además remitir sus comentarios y sugerencias para futuras ediciones 
a danielherrera_1960@hortmail.com 
 
Daniel Herrera Aráuz 
mailto:danielherrera_1960@hortmail.com
BREVE HISTORIA DEL CÁLCULO DE PROBABILIDADES1 
 
Los orígenes de las matemáticas de la probabilidad se remontan al siglo XVI. Las primeras 
aplicaciones se relacionaban básicamente con los juegos de azar. Los jugadores gananciosos 
utilizaron el conocimiento de la teoría de la probabilidad para desarrollar estrategias de apuesta, 
incluso actualmente son muchas las aplicaciones que comprenden juegos de azar, como en diversas 
loterías, casinos, en las carreras de caballos y en los deportes organizados. 
 
PIERRE DE FERMAT Y BLAISE PASCAL 
 
El cálculo de probabilidades inicia con los planteamientos realizados por Pierre de Fermat, ilustre 
abogado francés que nace en Beaumount de Lamagne en el sur de Francia en el año de 1601, no fue 
un profesional de la matemática, más bien fue un aficionado a las mismas. Se lo considera como 
Príncipe de los Aficionados de la matemática. 
 
En el estudio de la probabilidad, Fermat deja su huella a raíz de un problema de juegos de azar 
presentado por su colega Blaise Pascal, Matemático y científico francés que nace en 1623, fue un 
joven estudioso además de ser algo así como un prodigio en matemáticas. A los doce años había 
demostrado las 32 proposiciones de Euclides. Al sostener correspondencia epistolar con Fermat, en lo 
referente al problema planteado por el Caballero de Meré, Pascal fundamenta las bases de la 
teoría de las probabilidades. 
 
Los problemas planteados por el caballero de Meré son los siguientes: 
 
El Problema de los dados 
 
El caballero de Meré plantea que es paradójico que en el juego de lanzar un dado cuatro veces 
consecutivas, la probabilidad de que aparezca un 6 sea mayor que la del caso contrario, mientras 
que; la probabilidad de que aparezca un doble seis cuando dos dados sean lanzados 24 veces era 
menor que la del caso contrario. 
 
 El problema de las partidas 
 
De Meré plantea acerca de cómo repartir una apuesta entre dos jugadores de igual habilidad, si se 
suspende la partida antes de finalizar y conociendo el número de puntos que cada jugador ha 
conquistado hasta el momento de suspenderse el juego. 
 
Pascal le plantea a Fermat estos problemas en una carta donde le comenta: “El Caballero de Meré es 
muy inteligente, pero desgraciadamente no es matemático y esto, como usted sabe; es un defecto 
muy grave”. 
 
Para solucionar este problema Pascal hizo uso del triángulo aritmético el cual desde entonces ha 
llevado su nombre. Aunque él no lo descubrió, si descubrió algunas propiedades importantes de dicho 
triángulo, como consecuencia de este trabajo de Coeficientes binomiales, el cálculo combinatorio 
tiene su carta de presentación en el mundo matemático. Además con la aparición del cálculo 
combinatorio se hizo necesario replantear las doctrinas filosóficas, en especial las del método 
cartesiano, ahora estas deberían explorar y figurar todos los caminos posibles a partir de los datos 
iniciales. 
 
1 Con la colaboración académica de Nelson Herrera Aráuz 
 
No existen datos históricos de la solución al segundo problema planteado por el caballero De Meré, 
sin embargo: 
 
 “Para ver con qué facilidad pueden surgir los malos entendidos vamos a estudiar el segundo 
problema planteado: Supongamos que dos jugadores A y B participen en una apuesta de $ 60 
convienen en que el primero haga tres puntos ganará toda la apuesta, pero cuando A ha ganado 2 
puntos y B ha ganado 1, de mutuo acuerdo deciden dejar el juego. ¿Cómo tendrían que repartirse las 
apuestas de $ 60? 
 
A primera vista este problema parece muy sencillo. Se puede decir que puesto que A tiene el doble de 
puntos de B, a A le debe corresponder doble número de dólares que a B, es decir que A debería 
llevarse $40 y B $ 20. Pero supongamos que se jugaran el otro punto el que de mutuo acuerdo no se 
ha jugado. Si lo ganara A todos los $60 le pertenecerían; si perdiera quedarían empatados a 2, y 
habrían de repartirse los $ 60 por igual. Es decir que A está segura de ganar, en cualquier caso $ 30, y 
suponiendo que tenga iguales oportunidades de ganar el punto siguiente, de losotros $30 se le debía 
dar la mitad. Dicho de otro modo que a A le deberían corresponder $45 y a B $ 15. 
 
No es difícil ver que la segunda solución es la correcta si A y B se han de atener a su convenio original, 
pero si al principio del juego se hubieran puesto de acuerdo para dividir la apuesta 
proporcionalmente a los puntos que tuvieran al dejar el juego, la solución correcta sería desde luego 
la primera". 
 
Al parecer Pascal no pudo reprimirse ante un leve reproche de De Meré, no porque este fuese un 
jugador, sino por una razón más seria: De meré no era matemático y así escribió a Fermat: 
 
 “Car, il a trés bon esprit, mais il n´est pas geométre; c´est comme vous savez un grand défault¨. 
 
En realidad el caballero merecía algo peor puesto que la respuesta a su pregunta, que evidentemente 
estorbó a sus negocios; le impulsó a escribir una diatriba sobre la inutilidad de todas las ciencias, en 
particular la aritmética. Y esa fue la suerte de la primera asociación de cerebros. 
 
JACOBO BERNOULLI 
 
Jacobo Bernoulli nació en Basilea en el año de 1654; miembro de una brillante familia originaria de 
Amberes, ocupa un importante puesto protagónico en el desarrollo de la matemática y la ciencia, fue 
uno de los primeros en comprender la importancia del cálculo diferencial, publicado por Leibniz, 
murió en 1705. 
 
En el campo de las probabilidades Jacobo Bernoulli escribió su mejor obra “Ars Conjectandi” (Cálculo 
de Probabilidad) publicada en 1713, ocho años después de su muerte. 
 
En esta obra el cálculo de probabilidades adquiere autonomía científica. La obra consta de cuatro 
volúmenes: en el primero reproduce con valiosos comentarios la obra de Huygens sobre probabilidad. 
El segundo incluye una teoría general de permutaciones y combinaciones, junto con la demostración 
de los teoremas binomial y multinomial. En este trabajo aparecen los números de Bernoulli (ejemplo: 
1/6, -1/30, 1/42.......................) el tercer volumen comprende muchos problemas de probabilidad 
especialmente los de juegos de azar y en el cuarto volumen prueba con todo rigor el “teorema de 
Bernoulli” o “Ley de los grandes números”, el cual establece que en el infinito, la probabilidad y la 
frecuencia relativos a un suceso asociado en un experimento, se unen o sea son iguales. 
 
 
 
PIERRE SIMÓN LAPLACE 
 
El cálculo de probabilidades tuvo en Pierre Simón Laplace (1749-1817) a uno de sus principales 
propulsores con su obra: Theorie Analytic des probabilities, publicada en 1812. En esta obra, Laplace 
hace uso del análisis infinitesimal, introduce el método de los mínimos cuadrados, y se estudian 
todas las contribuciones probabilísticas de matemáticos anteriores. Además entre 1812 y 1820 
escribe algunos Ensayos Filosóficos sobre probabilidades en las que expone la teoría sin fórmulas 
matemáticas escritas. 
 
Pierre Simón Laplace fue profesor de Napoleón Bonaparte, y acompañó al emperador en la 
expedición a Egipto, cuando el Genial Corso prácticamente llevó una Universidad, mezclándose con 
los oficiales de marina, astrónomos botánicos, químicos, y por cierto matemáticos, entre ellos Monge 
y Laplace. 
 
Fue tan importante el aporte de Laplace en el desarrollo del cálculo de probabilidades que su obra 
hizo época, pues en su teoría analítica de la probabilidad llevó al cálculo a un punto tal que Clerk 
Maxwell pudo decir que es “matemática para hombres prácticos” , mientras que Jevons anunciaba 
en forma completamente lírica que las matemáticas de la probabilidad son “la verdadera guía de la 
vida y difícilmente puede dar un paso o adoptar una decisión sin hacer correcta o incorrectamente, 
un cálculo de probabilidad”. 
 
Las dos opiniones anteriormente citadas fueron emitidas aún antes de que el cálculo de 
probabilidades hubiese alcanzado sus más brillantes éxitos en física y en genética o en esferas más 
prácticas. 
 
CARLEE FRIEDRICH GAUSS (1777-1855) 
 
El llamado Príncipe de las Matemáticas, Carlee Friedrich Gauss nació en la ciudad de Brunswick 
(Alemania) en donde realizó sus primeros estudios, desde muy niño dio muestras de grandes dotes 
para las matemáticas y se destacaron sus estudios sobre geometría diferencial, álgebra, la teoría de 
los números y la probabilidad, como también en trabajos sobre el magnetismo, construyo junto con 
Weber un telégrafo, no muy práctico, pero que se anticipó al del norteamericano Henry. En la 
astronomía es célebre su trabajo sobre los "Mínimos Cuadrados", que lo aplicó a las investigaciones 
sobre la famosa ecuación Bode-Titius; más tarde esta teoría de "Mínimos Cuadrados" será la base 
teórica fundamental en la elaboración de modelos de regresión. 
 
Las contribuciones de Gauss a la teoría de probabilidades se centran en los siguientes aspectos: 
 
 La distribución Normal. 
 El método de los mínimos cuadrados. 
 La ley de distribución de los errores de observación. 
 
COROLARIO 
 
Los juegos de azar, generaron grandes fortunas en la industria del entretenimiento, el ocio y el 
turismo, Las Vegas en Estados Unidos y Montecarlo en Mónaco son en la actualidad los templos 
mundiales del juego. 
 
La literatura, y sobre todo el cine, es rico en anécdotas, dramas, etc. cuyos argumentos giran 
alrededor de fabulosas apuestas, Julio Verne, escritor francés nos relata en la mejor novela de la 
geografía universal la gran apuesta entre Phileas Fogg y el club "Reform" de Londres en la fantástica 
aventura de la Vuelta al mundo en 80 días. 
 
 
 
 
 
 
RESUMEN: 
 
Contiene la teoría de Probabilidad, la teoría 
de Combinatoria y de las Distribuciones de 
Probabilidad para variable discreta y 
variable continua, además 200 problemas 
resueltos y 200 problemas propuestos con 
su respectiva respuesta. 
 
 
 
 
 
 
PROBABILIDAD, COMBINATORIA Y 
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD 
PRIMERA SECCION 
 PROBABILIDAD, COMBINATORIA Y DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD 
pág. 1 
 
PROBABILIDAD, COMBINATORIA Y DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD 
 
1. DEFINICIÓN CLÁSICA DE PROBABILIDAD Y PROBABILIDAD COMO FRECUENCIA RELATIVA ........ 3 
1.1. EXPERIMENTO ALEATORIO ...................................................................................................... 3 
1.2. EVENTO ALEATORIO ................................................................................................................ 3 
1.3. ESPACIO MUESTRAL ................................................................................................................ 3 
1.4. PROBABILIDAD DE UN EVENTO ............................................................................................... 3 
1.5. MANERAS DE EXPRESAR LA PROBABILIDAD DE UN EVENTO .................................................. 4 
1.6. PROBABILIDAD EN DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIA ............................................................ 4 
1.7. PROBLEMAS RESUELTOS ......................................................................................................... 6 
1.8. PROBLEMAS PROPUESTOS .................................................................................................... 14 
2. EVENTOS COMBINADOS ............................................................................................................... 18 
2.1. RELACIÓN ENTRE EVENTOS ................................................................................................... 18 
2.2. COMBINACIÓN DE EVENTOS ................................................................................................. 18 
2.3. PROBABILIDAD DE EVENTOS COMBINADOS ......................................................................... 18 
2.4. RECOMENDACIONES METODOLÓGICAS ............................................................................... 18 
2.5. PROBLEMAS RESUELTOS ....................................................................................................... 19 
3. PROBABILIDAD CONDICIONAL .....................................................................................................37 
3.1. DEFINICIÓN ............................................................................................................................ 37 
3.2. ALGEBRA DE EVENTOS CONDICIONALES ............................................................................... 37 
3.3. RECOMENDACIONES METODOLÓGICAS ............................................................................... 37 
3.4. PROBLEMAS RESUELTOS ....................................................................................................... 38 
3.5. PROBLEMAS PROPUESTOS .................................................................................................... 49 
4. TABLAS DE CONTINGENCIA Y TABLAS DE PROBABILIDAD .......................................................... 52 
4.1. TABLAS DE CONTINGENCIA ................................................................................................... 52 
4.2. TABLA DE PROBABILIDAD ...................................................................................................... 52 
4.3. PROBLEMAS RESUELTOS ....................................................................................................... 53 
4.4. PROBLEMAS PROPUESTOS .................................................................................................... 64 
5. ÁRBOL DE PROBABILIDAD Y FÓRMULA DE BAYES....................................................................... 69 
5.1. ÁRBOL DE PROBABILIDAD ..................................................................................................... 69 
5.2. FÓRMULA DE BAYES .............................................................................................................. 69 
5.3. RECOMENDACIONES METODOLÓGICAS ............................................................................... 70 
5.4. PROBLEMAS RESUELTOS ....................................................................................................... 71 
5.5. PROBLEMAS PROPUESTOS .................................................................................................... 89 
6. ANÁLISIS COMBINATORIO Y APLICACIONES EN EL CÁLCULO DE PROBABILIDADES .................. 92 
6.1. INTRODUCCIÓN ..................................................................................................................... 92 
6.2. LA NOTACIÓN FACTORIAL ..................................................................................................... 92 
6.3. PROPIEDADES DEL FACTORIAL .............................................................................................. 92 
 PROBABILIDAD, COMBINATORIA Y DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD 
pág. 2 
 
6.4. PRINCIPIO FUNDAMENTAL DEL ANÁLISIS COMBINATORIO .................................................. 92 
6.5. VARIACIONES ......................................................................................................................... 92 
6.6. PERMUTACIONES .................................................................................................................. 93 
6.7. PERMUTACIONES REPETIDAS ................................................................................................ 93 
6.8. PERMUTACIONES CIRCULARES .............................................................................................. 93 
6.9. COMBINACIONES................................................................................................................... 93 
6.10. PROBLEMAS RESUELTOS ................................................................................................... 95 
6.11. PROBLEMAS PROPUESTOS .............................................................................................. 112 
7. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD ............................................................................................. 118 
7.1. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETA ...................................................................... 119 
7.2. PROBLEMAS RESUELTOS ..................................................................................................... 120 
7.3. PROBLEMAS PROPUESTOS .................................................................................................. 136 
8. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL O DE BERNOUILLI ............................................................................. 141 
8.1. INTRODUCCIÓN ................................................................................................................... 141 
8.2. PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL .................................................................. 141 
8.3. PROBLEMAS RESUELTOS ..................................................................................................... 142 
8.4. PROBLEMAS PROPUESTOS .................................................................................................. 154 
9. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES PARA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA ....................... 158 
9.1. DISTRIBUCIÓN NORMAL ...................................................................................................... 158 
9.2. PROPIEDADES DE LA CURVA NORMAL ................................................................................ 158 
9.3. PROBABILIDAD CON LA CURVA NORMAL ........................................................................... 159 
9.4. PROCESO DE CÁLCULO DE PROBABILIDADES EN LA DISTRIBUCIÓN NORMAL ................... 159 
9.5. PROBLEMAS RESUELTOS ..................................................................................................... 160 
9.6. PROBLEMAS PROPUESTOS .................................................................................................. 187 
10. APROXIMACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL A LA DISTRIBUCIÓN NORMAL ................... 190 
10.1. INTRODUCCIÓN ............................................................................................................... 190 
10.2. PROBLEMAS RESUELTOS ................................................................................................. 191 
10.3. PROBLEMAS PROPUESTOS .............................................................................................. 200 
 
 
 PROBABILIDAD, COMBINATORIA Y DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD 
pág. 3 
 
1. DEFINICIÓN CLÁSICA DE PROBABILIDAD Y PROBABILIDAD COMO FRECUENCIA RELATIVA 
 
1.1. EXPERIMENTO ALEATORIO 
 
Se dice que un experimento es aleatorio, cuando no se conoce con certeza el resultado de dicho 
experimento; sin embargo se conocen todos los resultados posibles de dicho experimento. 
 
Como ejemplos de experimentos aleatorios podemos citar los siguientes: 
 
1. Lanzar al aire una moneda. 
2. Extraer una carta de un mazo de naipes. 
3. Lanzar un dado. 
 
A pesar que estos ejemplos giran en torno a los juegos de azar, esto sirvió como material de trabajo 
para la elaboración de un marco teórico matemático muy importante como es el cálculo de 
probabilidades; dentro de la administración podemos citar los siguientes ejemplos como 
experimentos aleatorios: 
 
1. El volumen de ventas de un almacén para el año próximo. 
2. La aceptación del consumidor de un nuevo producto. 
3. La tasa de interés para el siguiente semestre. 
 
1.2. EVENTO ALEATORIO 
 
Se denomina Evento al resultado de un experimento aleatorio. Obtener cara al lanzar la moneda, 
obtener un número par al lanzar un dado, obtener un seis de diamantes el momento de extraer una 
carta del mazo de naipes, son algunos eventos de los ejemplos que ilustran la definición anterior. 
 
1.3. ESPACIO MUESTRAL 
 
Se denomina Espacio Muestral al conjunto formado por todos los eventos de un experimento 
aleatorio; como ejemplos de Espacio Muestral se pueden indicar los siguientes: 
 
 Si el Experimento aleatorio es lanzar una moneda al aire, el Espacio Muestral sería: 
 
 { } 
 
 Si el Experimento Aleatorio es lanzar un dado, el Espacio Muestral sería: 
 
 {} 
 
 Si el Experimento Aleatorio es calificar la calidad de un artículo fabricado, el Espacio Muestral es: 
 
 { } 
 
1.4. PROBABILIDAD DE UN EVENTO 
 
La probabilidad de un evento aleatorio es la cuantificación de la ocurrencia de dicho evento, es 
decir, si podemos expresar mediante un número la ocurrencia de un suceso de carácter aleatorio, 
entonces hemos encontrado la probabilidad de ocurrencia de dicho evento. 
 
 
 PROBABILIDAD, COMBINATORIA Y DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD 
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Sea un evento aleatorio, entonces: 
 
 Representa la probabilidad de ocurrencia del evento , este valor se puede encontrar mediante 
la expresión: 
 
 
 
 
 
 
Ahora, la probabilidad de no-ocurrencia del suceso aleatorio será: 
 
 
 
 
 
 
La probabilidad de un evento A es un número positivo entre cero y uno, es decir: 
 
 
 
Ahora, la probabilidad de ocurrencia de un evento junto con la probabilidad de no ocurrencia del 
mismo reúne todo el todo el espacio Muestral, por lo que: 
 
 
 
Con lo que se puede expresar que: 
 
 
 
1.5. MANERAS DE EXPRESAR LA PROBABILIDAD DE UN EVENTO 
 
La probabilidad de un evento puede expresarse de tres maneras: 
 
a. Como fracción, 
b. Como número decimal, 
c. Como porcentaje. 
 
Se tiene el siguiente ejemplo: 
 
Los registros diarios de lluvia indican que en los últimos 10 días, 7 de ellos han soportado fuertes 
aguaceros; Si el evento A es hoy llueve, la probabilidad de ocurrencia de a está dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.6. PROBABILIDAD EN DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIA 
 
Una distribución de frecuencias es una asociación de los casos que se presentan en los diferentes 
valores que toma una variable, sea esta cualitativa o cuantitativa; se acostumbra a presentar una 
distribución de frecuencias en una tabla de simple entrada, tal como se indica a continuación: 
 
 
 
 
 
 PROBABILIDAD, COMBINATORIA Y DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD 
pág. 5 
 
VARIABLE FRECUENCIA ( ) FRECUENCIA RELATIVA 
 
 
 
… … … 
 ∑ 
∑= ∑ 1.00 
 
La frecuencia relativa de cada una de los valores que toma la variable en estudio está dado por: 
 
 
 
 
 
 
Observe que al determinar la frecuencia relativa para cada una de las clases o intervalos que 
conforman la distribución de frecuencias se utiliza la definición clásica de probabilidad es decir: la 
división de la frecuencia absoluta de cada uno de los intervalos (número de casos) para la suma de la 
frecuencia absoluta (el total de casos). 
 
Entonces: 
 
Se puede asociar la frecuencia relativa de cada una de las clases o intervalos de la distribución de 
frecuencias, con la probabilidad de ocurrencia, considerando como eventos del experimento 
aleatorio a cada una de las clases. 
 
Por otro lado, la suma de la frecuencia relativa, ahora probabilidad de ocurrencia de cada uno de los 
eventos es igual a 1. 
 
Entonces: 
 
La suma de la probabilidad de ocurrencia de todos los eventos, resultados del experimento 
aleatorio es igual a 1, es decir: 
 
Sean eventos de un experimento aleatorio, entonces: 
 
∑ 
 
 
 
 
 PROBABILIDAD, COMBINATORIA Y DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD 
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1.7. PROBLEMAS RESUELTOS 
 
1.1. Construya el Espacio Muestral para cada uno de los siguientes experimentos: 
 
a. Se pregunta a una persona la primera letra de su apellido. 
 
 { } { } 
 
b. Se pregunta a cuatro personas el mes que nacieron. 
 
 { } { } 
 
c. Se examinan ocho plantas y se registra el número de ellas atacadas por cierta enfermedad. 
 
 { } { } 
 
d. Se escucha una estación de radio y se cuenta el número de segundos transcurridos hasta que 
escucha la palabra: sincatexpmatic 
 
 { } 
 
e. Se determina el porcentaje de humedad relativa de un invernadero 
 
 { } 
 
1.2. Con el objeto de probar la afirmación de un adivino que asegura que posee una varilla capaz de 
detectar la presencia de agua y minerales en el subsuelo, se entierran cuatro recipientes, dos 
vacíos y dos llenos de agua. El adivino usará su varilla para examinar cada uno de los cuatro 
recipientes y decidir cuáles son los dos que contienen agua. 
 
a. Defina el experimento: 
 
Experimento aleatorio: seleccionar dos recipientes 
 
b. Cuál es el espacio muestral del experimento: 
 
Sean los eventos 
 
 : Recipientes con agua. 
 Recipientes sin agua. 
 
 { } 
 
c. Si la varilla es completamente inservible para localizar agua, ¿cuál es la probabilidad de que el 
adivino identifique correctamente (al azar) los dos recipientes que contienen agua? 
 
Sea el evento C: seleccionar los dos recipientes con agua, entonces la probabilidad de 
ocurrencia de C está dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 PROBABILIDAD, COMBINATORIA Y DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD 
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1.3. Se le pide a un catador de té que pruebe y clasifique tres variedades de té A, B y C de acuerdo 
con su preferencia. 
 
a. Defina el experimento 
 
Experimento aleatorio: ordenar por preferencia las tres variedades de té 
 
b. Describa el espacio muestral 
 
 { } 
 
c. Si el catador no tuviera habilidad para distinguir la diferencia entre los tres tipos de té ¿cuál 
es la probabilidad de que concluya que el tipo A es el mejor?, ¿de que concluya que es el 
peor? 
 
Sea el evento D: el té A es el mejor (ocupa el primer lugar), entonces la probabilidad de 
ocurrencia de D está dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sea el evento E: el té A es el peor (ocupa el tercer lugar), entonces la probabilidad de 
ocurrencia de E está dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.4. Una encuesta a 50 estudiantes de una escuela de Ciencias Administrativas, reveló la siguiente 
información acerca de la selección de carreras: 12 de Contabilidad, 3 de Finanzas, 13 de 
Sistemas de Información, 12 de Empresas y 10 de Mercadotecnia; suponga que selecciona a un 
(o una) estudiante y observa su opción profesional. 
 
a. ¿Cuál es el experimento? 
 
El experimento es observar la opción profesional del estudiante de la escuela de Ciencias 
Administrativas que ha sido seleccionado al azar. 
 
b. ¿Cuáles son los posibles resultados del experimento aleatorio? 
 
Evento A: Estudiante seleccionado de la carrera de Contabilidad. 
Evento B: Estudiante seleccionado de la carrera de Finanzas. 
Evento C: Estudiante seleccionado de la carrera de Sistemas de Información. 
Evento D: Estudiante seleccionado de la carrera de Empresas. 
Evento E: Estudiante seleccionado de la carrera de Mercadotecnia. 
 
c. ¿Son mutuamente excluyentes e igualmente probables los eventos? 
 
i. Todos los eventos indicados en el literal anterior son mutuamente excluyentes, la 
ocurrencia de cualquiera de ellos elimina la ocurrencia de todos los demás; ya que cada 
uno de los estudiantes pertenece a una sola carrera. 
 
 PROBABILIDAD, COMBINATORIA Y DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD 
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ii. Los eventos A y D son equiprobables (igual probabilidad) dado que las carreras de 
Contabilidad y Empresas tienen el mismo número de estudiantes (12 estudiantes). 
 
d. ¿Cuál es la Probabilidad de que él o ella estudie la carrera de Sistemas de Información? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.5. De una baraja de 20 cartas numeradas del 1 al 20, se extrae una carta al azar. ¿Cuál es la 
probabilidad de seleccionar una carta con un número divisible por 3? 
 
Sea el evento A: Extraer una carta con número divisible por 3; entonces los casos favorables al 
evento podrían ser: 3, 6, 9,12, 15, 18; es decir 6 cartas. 
 
La probabilidad de ocurrencia de A está dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.6.Los registros del servicio de salas de emergencia de un hospital indican lo siguiente en lo 
referente a un período de dos años: 
 
Ataque al corazón 12% 
Enfermedades respiratorias 20% 
Víctimas de accidentes 32% 
Envenenamiento 16% 
Otros 20% 
 
Suponiendo razonable el hecho de utilizar estos datos como constantes, como también que son 
eventos mutuamente excluyentes determinar: 
 
a. La probabilidad de atender a un paciente que ha sufrido un accidente o un ataque al 
corazón. 
 
 
 
b. La probabilidad de que los pacientes no sufran una enfermedad respiratoria. 
 
 
 
1.7. Según una encuesta del semanario económico “El economista”, el 14% de los adultos creía muy 
posible un nuevo colapso bancario como el que hubo en 1999; el 43% de los adultos 
encuestados lo creía poco probable. Si se preguntara a un adulto al azar, ¿cuál es la probabilidad 
de que responda que no es probable un nuevo colapso bancario como el ocurrido en 1999? 
 
EVENTO DESCRIPCIÓN PROBABILIDAD DE OCURRENCIA 
A Colapso bancario muy posible 0.14 
B Colapso bancario poco probable 0.43 
C Colapso bancario no probable 0.43 
 
 
 
 
 
 
 
 
 PROBABILIDAD, COMBINATORIA Y DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD 
pág. 9 
 
1.8. Se numeran diez fichas del 0 al 9, y se colocan en una urna. Si mezcladas una vez se saca una 
ficha, determine la probabilidad de que sea: 
 
a. El número 3. 
 
Sea el evento A: “ficha con el número 3” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b. Un número menor que 4 
 
Sea B el evento “ficha menor que 4”, es decir: la ficha que contiene el 0, el 1, el 2 o el 3; es 
decir cuatro fichas; entonces la probabilidad de ocurrencia de B está dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c. Un número impar. 
 
Sea C el evento “ficha con número impar”, es decir: la ficha que contiene el 1, el 3, el 5, el 7 
o el 9; es decir cinco fichas; entonces la probabilidad de ocurrencia de C está dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d. El número 10 
 
Sea D el evento “Ficha con el número 10”, la probabilidad de ocurrencia de D está dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Recuerde que las fichas están marcadas con los números 0 a 9. Entonces la ficha 10 no existe. 
 
1.9. Un pronóstico deportivo establece que las posibilidades de que el equipo local llegue a la final 
del campeonato nacional son 38/52 (casos a favor/casos en contra). 
 
a. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo local llegue a la final del campeonato nacional? 
 
Sea el evento A: equipo local llegue a la final del campeonato nacional, entonces, la 
probabilidad de que A ocurra está dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo local no llegue a la final del campeonato nacional? 
 
Sea el evento A: equipo local llegue a la final del campeonato nacional, entonces, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 PROBABILIDAD, COMBINATORIA Y DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD 
pág. 10 
 
Alternativa: Si A es el evento: “equipo local llegue a la final del campeonato nacional”, 
entonces, la probabilidad de que A no ocurra está dado por: 
 
 
 
1.10. Hay 50 canicas en una urna: 20 azules, 15 rojas, 10 naranjas y 5 verdes; las canicas se mezclan 
y se selecciona una. Obtenga la probabilidad de que la que se saque sea: a) verde, b) azul, c) 
roja o verde, d) diferente a roja, e) azul o verde, f) amarilla, g) diferente de amarilla, h) naranja 
o azul. 
 
Sea el Evento: 
 
a. A: obtener una canica de color verde. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b. B: obtener una canica de color azul. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c. C: Obtener una canica de color rojo o de color verde. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d. D: Obtener una canica de color diferente de rojo, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e. E: Obtener una canica de color azul o de color verde, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f. F: Obtener una canica de color amarillo, 
 
 
 
 
 
 
 
El evento F es un fracaso debido a que no existe en la urna ninguna canica de color amarillo 
 
g. G: obtener una canica de color diferente del amarillo, 
 
 
 
 
 
 
 
El evento G es un éxito debido a que todas las canicas de la urna son de color diferente del 
amarillo 
 
h. H: Extraer una canica de color naranja o de color azul, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.11. Se lanzan dos dados, determinar la probabilidad en cada uno de los siguientes sucesos: 
 
a. La aparición en una sola tirada de dos dados 2 caras iguales. 
b. La aparición en una sola tirada de dos dados de una suma de 8 puntos. 
c. La aparición en una sola tirada de dos dados de la suma de 4 o 7 puntos. 
d. La aparición en una sola tirada de dos dado de la suma 3, 6 o 9 puntos. 
 
El Espacio muestral del experimento: “lanzar dos dados” se lo desarrolla en la siguiente tabla: 
 
1,1 2,1 3,1 4,1 5,1 6,1 
1,2 2,2 3,2 4,2 5,2 6,2 
1,3 2,3 3,3 4,3 5,3 6,3 
1,4 2,4 3,4 4,4 5,4 6,4 
1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5 
1,6 2,6 3,6 4,6 5,6 6,6 
 PROBABILIDAD, COMBINATORIA Y DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD 
pág. 11 
 
Se puede observar que al lanzar dos dados ocurre un total de 36 eventos. 
 
a. Sea el evento A: “Aparición en una sola tirada de dos dados 2 caras iguales”; entonces, los 
casos favorables al evento A son: 1,1; 2,2; 3,3; 4,4; 5,5; 6,6; es decir: 6 eventos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b. Sea el evento B: “Aparición en una sola tirada de dos dados de una suma de 8 puntos”; 
entonces, los casos favorables al evento B son: 2,6; 3,5; 4,4; 5,3; 6,2; es decir: 5 eventos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c. Sea C el evento “Aparición en una sola tirada de dos dados de la suma de 4 o 7”; entonces, 
los casos favorables al evento C son: 1,3; 2,2; 3,1; 1,6; 2,5; 3,4; 4,3; 5,2; 6,1; es decir: 9 
eventos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d. Sea D el evento “Aparición en una sola tirada de dos dados de la suma de 3, 6 o 9 puntos”; 
entonces, los casos favorables al evento C son: 1,2; 2,1; 1,5; 2,4; 3,3; 4,2; 5,1; 3,6; 4,5; 5,4; 
6,3. Es decir: 11 casos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.12. El gerente de un almacén vende de 0 a 4 cofres de porcelana cada semana. Con base en la 
experiencia, se asignan las siguientes probabilidades de vender 0, 1, 2, 3 o 4 cofres: 
 
 , , , , 
 
Cofres vendidos Probabilidad 
0 0.08 
1 0.08 
2 0.32 
3 0.30 
4 0.12 
Más de 4 0.10 
 1.00 
 
a. Sea A el evento en el cual se venden 2 o menos en una semana, Determine 
 
 
 
 
 
b. Sea B el evento se venden algún cofre en una semana, determine 
 
Si B es el evento: se vende algún cofre en una semana, entonces B’ es el evento: no se vende 
ningún cofre en una semana. 
 PROBABILIDAD, COMBINATORIA Y DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD 
pág. 12 
 
 
 
 
 
c. Sea C el evento se en cual se venden 4 o más en una semana, Determine 
 
 
 
 
1.13. Encuentre la probabilidad de la aparición de al menos una cara en tres lanzamientos de una 
moneda. 
 
Solución.- El espacio muestral del experimento lanzar tres veces al aire una moneda está dado 
por: 
 
 { } 
 
Sea el evento A: obtener al menos una cara en tres lanzamientos al aire de una moneda. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.14. El secretario de un sindicato redactó una lista con un conjunto de demandas salariales y 
prestaciones que se presentará al gerente de la empresa. Para darse una idea del grado de 
apoyo que existe entre los trabajadores con respecto al paquete de demandas, hizo un sondeo 
aleatorio entre los dos grupos principales de trabajadores, los maquinistas(M) y los 
inspectores (I). Tomó 30 trabajadores de cada grupo con los resultados siguientes: 
 
Opinión sobre el paquete Maquinistas Inspectores 
Apoyo fuerte 9 10 
Apoyo leve 11 3 
Indecisos 2 2 
Levemente opuestos 4 8 
Fuertemente opuestos 4 7 
Total 30 30 
 
a. Construya la tabla de frecuencias relativas para Maquinistas, inspectores y Maquinistas e 
Inspectores. 
 
Opinión sobre el paquete 
Maquinistas Inspectores M-I 
F. absoluta F. relativa F. absoluta F. relativa F. absoluta F. relativa 
Apoyo fuerte (A) 9 0.30 10 0.33 19 0.32 
Apoyo leve (B) 11 0.37 3 0.10 14 0.23 
Indecisos (C) 2 0.07 2 0.07 4 0.07 
Levemente opuestos (E) 4 0.13 8 0.27 12 0.20 
Fuertemente opuestos (F) 4 0.13 7 0.23 11 0.18 
Total 30 1.00 30 1.00 60 1.00 
 
b. Cuál es la probabilidad de que un maquinista, seleccionado al azar del grupo sondeado, 
apoye levemente el paquete; 
 PROBABILIDAD, COMBINATORIA Y DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD 
pág. 13 
 
c. Cuál es la probabilidad de que un inspector, seleccionado al azar del grupo sondeado, esté 
indeciso con respecto al paquete; 
 
d. Cuál es la probabilidad de que un trabajador (maquinista o inspector), seleccionado al azar 
del grupo sondeado, apoye el paquete ya sea fuerte o levemente; 
 
 
1.15. El estudio de suscriptores de un semanario económico reveló los siguientes datos que 
muestran el valor total de las acciones poseídas por 2536 personas que respondieron a una 
encuesta de negocios: 
Cantidad (USD$) Suscriptores 
< que $ 15000 347 
$ 15000 - $ 49999 411 
$ 50000- 99999 335 
$ 100000- 299999 619 
$300000 o más 824 
 
a. Determine la frecuencia relativa y asóciela con la probabilidad de ocurrencia: 
 
Cantidad (USD) Suscriptores Frecuencia relativa 
< que $ 15,000 (A) 347 0.14 
$ 15,000 - $ 49,999 (B) 411 0.16 
$ 50,000 - $ 99,999 (C) 335 0.13 
$ 100,000 - $ 299,999 (D) 619 0.24 
$300, 000 o más (F) 824 0.32 
 2536 1.00 
 
Suponga que se selecciona un suscriptor al azar, 
 
b. Determine la probabilidad de que el suscriptor seleccionado posea acciones de al menos $ 
50,000 pero menor a $ 100,000; 
 
c. Encuentre la probabilidad de que el suscriptor seleccionado posea un valor total de las 
acciones menor de $ 50,000; 
 
d. Cuál es la probabilidad de que el suscriptor seleccionado tenga un valor total de las acciones 
de $ 100,000 dólares a más; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 PROBABILIDAD, COMBINATORIA Y DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD 
pág. 14 
 
1.8. PROBLEMAS PROPUESTOS 
 
1.16. Un experimento aleatorio consiste en lanzar al aire dos monedas, 
 
a. Construya el espacio muestral para el experimento descrito: 
b. Describa los casos que podrían ocurrir en el evento obtener solamente cara al lanzar al aire 
dos monedas. 
R: { }; 
 
1.17. Con el objeto de probar la afirmación de un adivino que asegura que posee una varilla capaz 
de detectar la presencia de agua y minerales en el subsuelo, se entierran cinco recipientes, tres 
vacíos y dos llenos de agua. El adivino usará su varilla para examinar cada uno de los cinco 
recipientes y decidir cuáles son los dos que contienen agua. 
 
a. Defina el experimento 
b. Cuál es el espacio muestral del experimento: 
c. Si la varilla es completamente inservible para localizar agua, ¿cuál es la probabilidad de 
que el adivino identifique correctamente (al azar) los dos recipientes que contienen agua? 
 
R: 1/10 
 
1.18. Los datos reunidos por el administrador de una tienda indican que 915 de 1500 compras 
dominicales exceden de $ 10,00 (diez dólares). ¿Cuál es la probabilidad de que cualquier 
cliente dominical gastara más de $ 10,00? 
R: 0.61 
 
1.19. En una encuesta acerca del tránsito existente en la autopista del valle de los Chillos, entre las 
7:00 y las 8:00 se observó que de 200 automóviles sometidos a una revisión de seguridad al 
azar, 25 tenían neumáticos en mal estado. Estime la probabilidad de que un auto que se 
detienen en ese lapso en la misma sección de la autopista no tenga los neumáticos 
defectuosos. 
R: 7/8 
 
1.20. Un camión cargado con 10000 cajas de pañuelos desechables llegan al almacén. En las cajas 
hay un letrero que dice “400 pañuelos”, pero en una revisión de 300 cajas revela que 45 de 
ellas contienen menos de 400 pañuelos. 
 
a. Calcule la probabilidad de que cualquier otra caja contenga menos de 400 pañuelos. 
 
b. Utilizando el resultado obtenido, estime la cantidad de cajas del lote de 10000 que podría 
tener menos de 400 pañuelos. 
R: 0.15; 1500 
 
1.21. Se lanzan dos dados, determinar la probabilidad en cada uno de los siguientes sucesos: 
 
a. La aparición en una sola tirada de dos dados de una suma de 6 puntos. 
b. La aparición en una sola tirada de dos dados de la suma de 3 o 8 puntos. 
c. La aparición en una sola tirada de dos dados de la suma un número par de puntos. 
 
R: 5/36; 7/36; 1/2 
 
 
 PROBABILIDAD, COMBINATORIA Y DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD 
pág. 15 
 
1.22. Se lanzan tres monedas juntas, ¿cuál es la probabilidad de obtener por lo menos dos caras? 
 
R: 1/2 
 
1.23. Durante el año anterior las ventas semanales en un almacén de artículos de turismo han sido 
“bajas” durante 16 semanas, “considerables” durante 27 semanas y “altas” el resto de 
semanas. ¿cuál es la probabilidad de que las ventas de esta semana sean? 
 
a. Considerables. 
b. Bajas. 
c. Altas. 
d. Por los menos considerables. 
 
Ventas Frecuencia Frecuencia relativa Frecuencia acumulada 
Bajas 16 0,31 0,31 
Considerables 27 0,52 0,83 
Altas 9 0,17 1,00 
 52 1,00 
 
R: 0.31; 0.52; 0.17; 0.69 
 
1.24. La siguiente tabla muestra el número de computadores vendidos diariamente por una tienda 
minorista. 
 
Número de computadores vendidos Número de días 
0 12 
1 43 
2 18 
3 20 
4 25 
 
Determine la probabilidad de que el número de computadores que se vendan hoy sea: 
 
a. Dos computadores. 
b. Menos de tres computadores. 
R: 0.15; 0.62 
 
1.25. Una empresa tiene 100 empleados. 57 de ellos son trabajadores de la producción, 40 son 
supervisores, 2 son secretarias y el empleado que queda es el presidente; suponga que se 
selecciona un empleado: 
 
a. ¿Cuál es la probabilidad de que el empleado seleccionado sea un trabajador de 
producción? 
b. ¿Cuál es la probabilidad de que el empleado seleccionado sea un trabajador de producción 
o un supervisor? 
c. Cuál es la probabilidad de que el empleado seleccionado no sea secretaria. 
d. ¿Cuál es la probabilidad de que el empleado seleccionado no sea trabajador de la 
producción ni supervisor? 
 
R: 0.57; 0.61; 0.02; 0.98; 0.39 
 
 PROBABILIDAD, COMBINATORIA Y DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD 
pág. 16 
 
1.26. En una caja hay 24 bolas del mismo tamaño pero de 3 colores diferentes. Si al sacar una bola 
cualquiera las probabilidades de que salgan: una bola roja es 0.5, una verde 0.375 y una azul es 
0.125, ¿en cuánto excede el número de bolas rojas al de azules? 
 
R: 9 bolas 
 
1.27. Se extrae una bola de una urna que contiene 4 bolas blancas, 5 rojas y 3 negras, calcule la 
probabilidad de que: 
 
a. No sea negra 
b. Sea negra o sea roja 
c. Sea blanca o sea negra. 
R: 3/4; 2/3; 1/3 
 
1.28. Suponga que un gerente de un gran complejo de apartamentos elabore los estimados de 
probabilidad que se indica sobre la cantidad de apartamentos que estarán vacíos el próximo 
mes; encuentre además las siguientes probabilidades: 
 
Vacantes Probabilidad 
0 0.05 
1 0.15 
2 0.35 
3 0.25 
4 0.10 
5 0.10 
 
a. No hay apartamentos vacíos. 
b. Sea el evento B: “Cuando menos hay cuatro apartamentos vacíos”. 
c. Sea el evento C: “Hay dos o menos apartamentos vacíos”. 
R: 0.05; 0.20; 0.55 
 
1.29. Una encuesta de 50 alumnos de una preparatoria, sobre la cantidad de actividades 
extracurriculares,dio como resultado los datos de la siguiente tabla: 
 
Cantidad de actividades Frecuencia 
0 8 
1 20 
2 12 
3 6 
4 3 
5 1 
 
a. Sea el evento en que un alumno participe al menos en 1 actividad, determine 
b. Sea el evento en que un alumno participa en 3 o más actividades. determine 
c. Cuál es la probabilidad de que un alumno participe exactamente en 2 actividades. 
 
R: 0.84; 0.20; 0.24 
 
 PROBABILIDAD, COMBINATORIA Y DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD 
pág. 17 
 
1.30. Se tiene una distribución de frecuencias de las comisiones anuales por ventas tomada de un 
estudio de 300 vendedores promedio; Determine la probabilidad de que un vendedor 
promedio obtenga una comisión de: 
 
Comisión anual ($) Frecuencia 
 0 – 4,999 15 
 5,000 – 9,999 25 
10,000 – 14,999 35 
15,000 – 19,999 125 
20,000 – 24,999 70 
25,000 – más 30 
 
a. Entre $ 5,000 y $ 10,000 
b. Menor de $ 15,000 
 
c. Más de $ 20,000 
d. Entre $ 15,000 y $ 20,000 
 
 
R: 0.08; 0.25; 0.33; 0.42 
 PROBABILIDAD, COMBINATORIA Y DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD 
pág. 18 
 
2. EVENTOS COMBINADOS 
 
2.1. RELACIÓN ENTRE EVENTOS 
 
Se dice que A y B son eventos mutuamente excluyentes, si la ocurrencia de uno de ellos elimina 
automáticamente la ocurrencia del otro, y viceversa. 
 
Se dice que A y B son eventos independientes si la ocurrencia de uno de ellos no influye en la 
ocurrencia del otro. 
 
Se dice que dos o más eventos son equiprobables si tienen la misma probabilidad de ocurrencia. 
 
2.2. COMBINACIÓN DE EVENTOS 
 
Sean y dos eventos, entonces se presentan las siguientes combinaciones: 
 
A o B: Representa la ocurrencia de alguno de ellos A o B; pero no los dos simultáneamente. 
A y B: Representa la ocurrencia simultánea de los dos eventos. 
 
2.3. PROBABILIDAD DE EVENTOS COMBINADOS 
 
 Probabilidad de ocurrencia de uno de los eventos: 
 
 
 
Si los eventos A y B son mutuamente excluyentes, entonces: 
 
 
 
 Probabilidad de eventos independientes: 
 
 
 
2.4. RECOMENDACIONES METODOLÓGICAS 
 
Para la resolución de problemas que involucren la probabilidad de eventos combinados es 
conveniente tomar en cuenta las siguientes recomendaciones metodológicas: 
 
 Organice la información disponible en una tabla en la cual se registre la identificación y 
descripción de los eventos, el número de casos, la probabilidad de ocurrencia y – de ser 
requerida – a probabilidad de no ocurrencia de los eventos. 
 
 Establezca la relación existente entre los eventos, es decir si: son mutuamente excluyentes, 
eventos independientes, eventos equiprobables o eventos colectivamente exhaustivos. 
 
 Desarrolle las expresiones de cálculo a manera de ecuaciones, utilice fracciones mientras sea 
posible. 
 
 
 
 
 
 PROBABILIDAD, COMBINATORIA Y DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD 
pág. 19 
 
2.5. PROBLEMAS RESUELTOS 
 
2.1. Suponga que: , y 
 
a. ¿Son mutuamente excluyentes y ? justifique la respuesta. 
 
No; Dos eventos, y B, son mutuamente excluyente si se cumple con: 
 
 
 
Dado que , entonces y no son mutuamente excluyentes. 
 
b. Encuentre 
 
 
 
 
 
c. Obtenga 
 
 
 
 
 
2.2. Se consideran dos sucesos A y B asociados a un experimento aleatorio con , 
 y . ¿Son independientes A y B? Razone su respuesta. 
 
Sean A y B dos eventos independientes. Entonces: 
 
 
 
 
 
Como , A y B no son independientes. 
 
2.3. Suponga (aunque no es cierto) que un individuo paranoico no puede ser esquizofrénico. Si la 
probabilidad de que alguien sea paranoico es 0.01 y la probabilidad de que sea esquizofrénico es 
0.02 ¿Cuál es la probabilidad de que sea esquizofrénico o paranoico? 
 
Evento Probabilidad de Ocurrencia 
A: Paranoico 0.01 
B: Esquizofrénico 0.02 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 PROBABILIDAD, COMBINATORIA Y DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD 
pág. 20 
 
2.4. En la universidad local el 30% de los estudiantes son costeños, el 10% estudia medicina, el 1% 
son costeños y estudian medicina. Si selecciona un estudiante al azar de la universidad ¿cuál es 
la probabilidad de que sea costeño o estudie medicina? 
 
Evento Descripción Probabilidad 
ocurrencia 
Probabilidad no 
ocurrencia 
A Estudiante costeño 0.30 0.70 
B Estudiante de medicina 0.10 0.90 
A y B Estudiante costeño y de medicina 0.01 0.99 
 
La probabilidad de que un estudiante elegido al azar sea costeño o estudie medicina está dado 
por: 
 
 
 
 
2.5. Un almacén de implementos deportivos vende dos tipos de zapatos para correr: Avion’s y 
Speedy. Las probabilidades de que un cliente compre los Avion´s es 0.40 y de que compre los 
Speedy es de 0.30; la probabilidad de que compre ambos es 0.10. ¿cuál es la probabilidad de 
que un cliente compre zapatos Avion´s o Speedy? 
 
Evento Descripción Probabilidad ocurrencia 
A Cliente compre zapatos Avion’s 0.40 
B Cliente compre zapatos Speedy 0.30 
A y B Cliente compra ambas marcas 0.10 
 
 
 
 
2.6. Sean A y B sucesos asociados a un experimento aleatorio. Sabiendo que , 
 Si A y B son independientes, determinar: 
 
a. La probabilidad de que se verifique A y B. 
b. La probabilidad de que se verifique A y no B. 
c. La probabilidad de que no se verifiquen ni A ni B. 
 
Evento Probabilidad Ocurrencia Probabilidad no ocurrencia 
A 0.14 0.86 
B 0.15 0.85 
A y B son eventos independientes. 
 
a. La probabilidad de que se verifique A y B. 
 
 
 
 
 
b. La probabilidad de que se verifique A y no B. 
 
 
 
 
 PROBABILIDAD, COMBINATORIA Y DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD 
pág. 21 
 
c. La probabilidad de que no se verifiquen A ni B. 
 
 
 
 
 
2.7. Sean los eventos 
 
A: Una persona corre 5 Km o más por semana. 
B: Una persona muere por enfermedad del corazón. 
C: Una persona muere de cáncer; 
 
Además, suponga que , y . 
 
a. Si los eventos A y B son mutuamente excluyentes, se puede determinar 
 
Si los eventos A y B son mutuamente excluyentes, entonces: 
 
b. Si los eventos B y C son mutuamente excluyentes, calcule la probabilidad de que una persona 
muera del corazón o de cáncer. 
 
 
 
Al ser los eventos B y C mutuamente excluyentes se tiene que , entonces: 
 
 
 
 
 
c. Si los eventos B y C son independientes, calcule la probabilidad de que una persona muera 
del corazón y de cáncer. 
 
Al ser B y C eventos independientes se tiene que: 
 
 
 
 
 
 
 PROBABILIDAD, COMBINATORIA Y DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD 
pág. 22 
 
2.8. Sean A y B dos eventos independientes, sabiendo que y que 
se pide calcular la probabilidad de A y la probabilidad de B. 
 
Si A y B son eventos independientes se tiene: 
 
Sabiendo que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 y que: 
 
 
 
 
 
 [ ] 
 
 
 
Ecuación (1) en ecuación (2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
 
2.9. Armco, un fabricante de sistemas de semáforos, descubrió que,en las pruebas de vida 
acelerada, 95% de los sistemas recién desarrollados duraban 3 años antes de descomponerse al 
cambiar de señal; si una ciudad compra cuatro de estos sistemas, ¿cuál es la probabilidad de que 
los cuatro sistemas funcionen adecuadamente durante 3 años por lo menos? 
 
Evento Descripción 
Probabilidad 
ocurrencia 
Probabilidad 
no ocurrencia 
A Sistema A funciona adecuadamente 0.95 0.05 
B Sistema B funciona adecuadamente 0.95 0.05 
C Sistema C funciona adecuadamente 0.95 0.05 
D Sistema D funciona adecuadamente 0.95 0.05 
 A, B, C y D son eventos independientes. 
 
Sea el evento E: Los cuatro sistemas funcionan adecuadamente, entonces, la probabilidad de 
que los 4 sistemas funcionen adecuadamente, tomando en cuenta que son eventos 
independientes, está dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
2.10. En la compra de una pizza grande en Tony’s Pizza, el cliente recibe un cupón, que puede raspar 
para ver si tiene premio. Las posibilidades de ganar un refresco son de 1 en 10, y las 
posibilidades de ganar una pizza grande son de 1 en 50. Usted tiene planes de almorzar 
mañana en Tony’s Pizza. Encuentre la probabilidad de que usted: 
 PROBABILIDAD, COMBINATORIA Y DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD 
pág. 23 
 
a. Gane una pizza grande o un refresco. 
b. No gane nada. 
c. No gane nada en tres visitas consecutivas a Tony’s. 
d. Gane por lo menos algo en sus siguientes tres visitas a Tony’s. 
 
Evento Descripción 
Probabilidad 
de ocurrencia 
Probabilidad no 
ocurrencia 
A Cliente gana un refresco 1/10 9/10 
B Cliente gana una pizza grande 1/50 49/50 
A, B son eventos independientes. 
A, B son mutuamente excluyentes. 
 
a. La probabilidad de que gane una pizza grande o un refresco está dado por: 
 
 
 
Al ser A y B eventos mutuamente excluyentes, se tiene: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b. La probabilidad de que no gane nada está dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c. No gane nada en tres visitas consecutivas a Tony’s 
 
Evento Descripción Probabilidad de ocurrencia 
C Cliente no gana nada en la primera visita 441/500 
D Cliente no gana nada en la segunda visita 441/500 
E Cliente no gana nada en la tercera visita 441/500 
C, D y E son eventos independientes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d. Sea el evento F: Gane por lo menos algo en sus siguientes tres visitas a Tony’s. 
 
El evento “Gane por lo menos algo en sus siguientes tres visitas a Tony’s” es la negación 
del evento “No gane nada en tres visitas consecutivas a Tony’s” entonces, la probabilidad 
de ocurrencia de F está dado por: 
 
 
 
 
 PROBABILIDAD, COMBINATORIA Y DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD 
pág. 24 
 
2.11. Suponga que la probabilidad de que cualquier vuelo de Northwest Airlines llegue más tarde de 
la hora programada es de 0.90. Seleccione cuatro vuelos de ayer para estudiarlos. 
 
a. ¿Cuál es la probabilidad de que los cuatro vuelos seleccionados lleguen más tarde de la 
hora programada? 
b. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los vuelos seleccionados lleguen más tarde de 
la hora programada? 
c. ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos uno de los vuelos seleccionados no llegue 
más tarde de la hora programada? 
 
Evento Descripción 
Probabilidad 
ocurrencia 
Probabilidad no 
ocurrencia 
A Vuelo A llegue más tarde después de la hora programada 0.90 0.10 
B Vuelo B llegue más tarde después de la hora programada 0.90 0.10 
C Vuelo C llegue más tarde después de la hora programada 0.90 0.10 
D Vuelo D llegue más tarde después de la hora programada 0.90 0.10 
A, B, C y D son eventos independientes 
 
a. La probabilidad de que los cuatro vuelos seleccionados lleguen más tarde de la hora 
programada está dado por: 
 
 
 
 
 
b. La probabilidad de que ninguno de los cuatro vuelos seleccionados lleguen más tarde de la 
hora programada está dado por: 
 
 
 
 
 
c. Sea F el evento: “Al menos uno de los cuatro vuelos seleccionados no llega más tarde de la 
hora programada”; la negación del evento F es: “ninguno de los cuatro vuelos seleccionados 
no llegan más tarde de la hora programada”(ninguno llega a tiempo; todos llegan tarde); 
entonces la probabilidad de ocurrencia de F está dado por: 
 
 
 
 
 
2.12. Quedan cuatro equipos deportivos en una competencia de eliminatorias. Si un equipo resulta 
favorecido en el marcador de la semifinal con probabilidades de 2 a 1, y otro resulta favorecido 
en su partido con probabilidades de 3 a 1. Determine la probabilidad de que: 
 
a. Ambos equipos ganen sus juegos 
b. Ninguno de los equipos gane su juego. 
c. Cuando menos uno de los equipos gane su juego. 
 
 
 
 
 PROBABILIDAD, COMBINATORIA Y DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD 
pág. 25 
 
Evento Identificación 
Probabilidad 
ocurrencia 
Probabilidad no 
ocurrencia 
Un equipo gane semifinal A 2/3 1/3 
Otro equipo gane semifinal B 3/4 1/4 
A y B son independientes 
 
a. La probabilidad que ambos equipos ganen sus juegos está dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b. La probabilidad que ninguno de los dos equipos gane su juego está dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c. Sea C el evento cuando menos uno de los equipos gane su juego, entonces la 
probabilidad que C ocurra está dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.13. Un inversionista compró 100 acciones de Fifth Third Bank y 100 de Santee Electric Cooperative. 
La probabilidad de que las acciones del banco incrementen su valor en un año es de 0.70. La 
probabilidad de que las utilidades de la compañía eléctrica se incrementen en el mismo 
periodo es de 0.60. 
 
a. ¿Cuál es la probabilidad de que alguna de las dos acciones aumenten de precio durante el 
periodo? 
b. ¿Cuál es la probabilidad de que las acciones del banco incrementen su precio, aunque las 
utilidades no lo hagan? 
c. ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos una de las acciones aumente de precio? 
 
Evento Identificación Probabilidad 
ocurrencia 
Probabilidad no 
ocurrencia 
A Acciones de Fifth Third Bank suben de precio 0.70 0.30 
B Utilidades de Santee Electric incrementan 0.60 0.40 
A, B eventos independientes. 
 
a. La probabilidad de que alguna de las dos acciones aumente de precio durante el período está 
dado por: 
 
 
 
 
 
 PROBABILIDAD, COMBINATORIA Y DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD 
pág. 26 
 
b. La probabilidad de que las acciones del banco incrementen su precio, aunque las utilidades 
no lo hagan está dado por: 
 
 
 
 
 
c. La probabilidad de que por lo menos una de las acciones aumente de precio está dado por: 
 
 [ ] 
 [ ] 
 [ ] 
 [ ] 
 [ ] 
 
2.14. La probabilidad de A y B (tomates) de estar sanos dentro de 10 días es 0.5 y 0.6 
respectivamente. 
 
a. ¿cuál es la probabilidad de que ambos lo estén? 
b. ¿cuál es la probabilidad que algún tomate esté sano? 
c. ¿Cuál es la probabilidad de que ningún tomate esté sano? 
 
Evento Descripción Probabilidad ocurrencia Probabilidad no ocurrencia 
A Tomate A sano 0.50 0.50 
B Tomate B sano 0.600.40 
A y B son eventos independientes. 
 
a. La probabilidad de que ambos tomates estén sanos está dada por: 
 
 
 
 
b. La probabilidad de que algún tomate esté sanos está dada por: 
 
 
 
 
 
c. La probabilidad de que ningún tomate esté sano está dada por: 
 
 
 
 
 
2.15. Se escuchan 3 discos y se vuelven a guardar al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 
uno de los discos haya sido guardado en el envoltorio que le correspondería? 
 
Evento Descripción 
Probabilidad 
ocurrencia 
Probabilidad no 
ocurrencia 
A Disco A se guarda correctamente 0.50 0.50 
B Disco B se guarda correctamente 0.50 0.50 
C Disco C se guarda correctamente 0.50 0.50 
 PROBABILIDAD, COMBINATORIA Y DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD 
pág. 27 
 
D: Alguno de los tres discos se guarda en su envoltorio correspondiente. 
D’: ninguno de los tres discos se guarda en su envoltorio correspondiente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.16. Una compañía que fabrica cristalería cuenta con proceso de inspección que consta de cuatro 
pasos. Los directivos de la compañía afirman que la probabilidad que un artículo defectuoso 
que no sea detectado es de casi el 20%. Con esta cifra: 
 
a. Encuentre la probabilidad de que un artículo defectuoso pase las cuatro etapas sin ser 
detectado. 
 
b. ¿Cuál sería su respuesta se agrega una quinta etapa, con un 50% de probabilidad de detectar 
los artículos defectuosos? 
 
Evento Descripción 
Probabilidad 
ocurrencia 
Probabilidad no 
ocurrencia 
A Artículo defectuoso no detectado en el paso 1 0.20 0.80 
B Articulo defectuoso no detectado en el paso 2 0.20 0.80 
C Artículo defectuoso no detectado en el paso 3 0.20 080 
D Artículo defectuoso no detectado en el paso 4 0.20 0.80 
E Artículo defectuoso no detectado en el paso 5 0.50 0.50 
 
a. La probabilidad de que un artículo defectuoso pase las cuatro etapas sin ser detectado está 
dado por: 
 
 
 
 
 
b. Al agregar una quinta etapa, con un 50% de probabilidad de detectar los artículos 
defectuosos, la probabilidad de que un artículo defectuoso pase las cinco etapas sin ser 
detectado está dado por: 
 
 
 
 
 
2.17. Tres cazadores A, B y C pueden dar en el blanco con probabilidades de 1/3, 1/4 y 1/5, 
respectivamente. Cuando los tres cazadores encuentran un oso y disparan simultáneamente, 
determine: 
 
a. La probabilidad de que los tres fallen. 
b. La probabilidad de que al menos uno de ellos acierte. 
 
 
 
 PROBABILIDAD, COMBINATORIA Y DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD 
pág. 28 
 
Evento Descripción Probabilidad de 
ocurrencia 
Probabilidad no 
ocurrencia 
A Cazador A da en el blanco 1/3 2/3 
B Cazador B da en el blanco 1/4 3/4 
C Cazador C da en el blanco 1/5 4/5 
A, B, C son eventos independientes 
 
a. La probabilidad de que los tres cazadores fallen está dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b. Sea el evento D el evento al menos uno de los tres cazadores acierte, entonces la 
probabilidad de ocurrencia de D está dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.18. Dos componentes, A y B, operan en serie. (Dos componentes A y B están en serie si ambos 
deben trabajar para que el sistema funcione). Suponga que los dos componentes son 
independientes. ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema funcione en estas condiciones? La 
probabilidad de que A funcione es de 0.90, igual que la de B. 
 
Evento Descripción Probabilidad 
ocurrencia 
Probabilidad 
no ocurrencia 
A Componente A funciona 0.90 0.10 
B Componente B funciona 0.90 0.10 
 
 
 
 
 
2.19. Usted hace un viaje aéreo que involucra tomar tres vuelos independientes. Si existe 80% de 
probabilidades de que cada etapa específica del viaje se realice a tiempo, ¿cuál es la 
probabilidad de que los tres vuelos lleguen a tiempo? 
 
Evento Descripción Probabilidad 
ocurrencia 
Probabilidad 
no ocurrencia 
A Vuelo A llega a tiempo 0.80 0.20 
B Vuelo B llega a tiempo 0.80 0.20 
C Vuelo C llega a tiempo 0.80 0.20 
A, B y C son eventos independientes. 
 
Dado que los vuelos son independientes, la probabilidad que los tres vuelos lleguen a tiempo 
está dado por: 
 
 
 
 
 
 PROBABILIDAD, COMBINATORIA Y DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD 
pág. 29 
 
2.20. Una compañía de exploración petrolera perfora un pozo si considera que existe por lo menos 
un 25% de posibilidad de encontrar petróleo. Si perfora cuatro pozos, a los que asigna las 
probabilidades: 0.30, 0.40, 0.70 y 0.80. 
 
a. Encontrar la probabilidad de que ninguno de los pozos se obtenga petróleo, utilizando las 
cifras de la compañía. 
b. Calcular la probabilidad de que los cuatro pozos produzcan petróleo. 
c. ¿Cuál es la probabilidad de que los pozos con una probabilidad de 0.30 y 0.70 produzcan 
petróleo y los otros no? 
 
Evento Identificación 
Probabilidad 
ocurrencia 
Probabilidad 
no ocurrencia 
Obtener petróleo pozo A A 0.30 0.70 
Obtener petróleo pozo B B 0.40 0.60 
Obtener petróleo pozo C C 0.70 0.30 
Obtener petróleo pozo D D 0.80 0.20 
 
a. La probabilidad de que ninguno de los pozos se obtenga petróleo, utilizando las cifras de la 
compañía está dado por: 
 
 
 
 
 
b. La probabilidad de que en los cuatro pozos se obtenga petróleo, utilizando las cifras de la 
compañía está dado por: 
 
 
 
 
 
c. La probabilidad de que los pozos con una probabilidad de 0.30 y 0.70 produzcan petróleo y 
los otros no, está dado por: 
 
 
 
 
 
2.21. La probabilidad de que una mujer viva dentro de 30 años es 0.25 y la probabilidad de que su 
hijo viva dentro de 30 años es 0.9. Cuál es la probabilidad de que: 
 
a. Vivan los dos dentro de 30 años. 
b. Únicamente viva la madre. 
c. Únicamente viva el hijo. 
d. Al menos viva uno de los dos. 
 
Evento Descripción 
Probabilidad 
ocurrencia 
Probabilidad 
no ocurrencia 
A Madre viva dentro de 30 años 0.25 0.75 
B Hijo viva dentro de 30 años 0.90 0.10 
A, B son eventos independientes. 
 
 PROBABILIDAD, COMBINATORIA Y DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD 
pág. 30 
 
a. La probabilidad de que los dos (madre e hijo) vivan dentro de 30 años está dado por: 
 
 
 
 
b. La probabilidad de que únicamente viva la madre está dado por: 
 
 
 
 
c. La probabilidad de que únicamente viva el hijo está dado por: 
 
 
 
 
d. La probabilidad de que viva al menos uno de los dos está dado por: 
 
 [ ] 
 [ ] 
 [ ] 
 [ ] 
 
2.22. El departamento administrativo de la Universidad tiene acceso a tres impresoras. La 
probabilidad de que cada una esté fuera de servicio es 0.20, 0.25 y 0.30 respectivamente tal 
como se resume: 
 
Evento Descripción Probabilidad de 
ocurrencia 
Probabilidad no 
ocurrencia 
A Primera impresora funciona 0.80 0.20 
B Segunda impresora funciona 0.75 0.25 
C Tercera impresora funciona 0.70 0.30 
A, B y Cson eventos independientes 
 
Asumiendo independencia entre ellas encuentre la probabilidad de que: 
 
a. La primera y la segunda estén fuera de servicio 
b. La primera y la tercera estén fuera de servicio 
c. Todas estén fuera de servicio 
d. Ninguna esté fuera de servicio 
e. Una esté fuera de servicio 
f. Dos estén fuera de servicio 
g. Dos o más este fuera de servicio. 
 
a. La probabilidad de que la primera y la segunda impresoras estén fuera de servicio es: 
 
 
 
 
b. La probabilidad de que la primera y la tercera impresoras estén fuera de servicio es: 
 
 
 
 PROBABILIDAD, COMBINATORIA Y DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD 
pág. 31 
 
c. La probabilidad de que las tres impresoras estén fuera de servicio está dado por: 
 
 
 
 
d. La probabilidad de que ninguna de las tres impresoras estén fuera de servicio está dado 
por: 
 
 
 
 
e. Sea D el evento “una de las tres impresoras está fuera de servicio”, entonces: 
 
 [ ] 
 
 
 
 
 
f. Sea F el evento “dos impresoras está fuera de servicio”, entonces, la probabilidad de 
ocurrencia de F está dado por: 
 
 [ ] 
 
 
 
 
 
g. Sea G el evento “dos o más impresoras están fuera de servicio”, entonces, la 
probabilidad de ocurrencia de G está dado por: 
 
 [ ] 
 
 
 
2.23. Obtenga la probabilidad de que Rumiñahui y Eugenio Espejo hayan nacido el mismo día de la 
semana. 
 
La probabilidad que Rumiñahui Y Eugenio Espejo hayan nacido un día cualquiera es 
 ; y la probabilidad que hayan nacido ese mismo día es 1/49; tal como se indica en el cuadro 
siguiente: 
 
Día R: Rumiñahui E: Espejo 
L:Lunes 
M: Martes 
M: Miércoles 
J: Jueves 
V: Viernes 
S:Sábado 
D:Domingo 
 
Entonces la probabilidad de que Espejo y Rumiñahui hayan nacido el mismo día, es: 
 PROBABILIDAD, COMBINATORIA Y DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD 
pág. 32 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.24. Un estudio realizado por una empresa que renta vehículos reveló que en los últimos 12 meses 
el 45% de los clientes habían rentado un automóvil por asuntos de negocios, 54% por motivos 
personales y 30% por motivos personales y negocios a la vez. 
 
a. ¿Cuál es la probabilidad que el próximo cliente rente un automóvil por motivos de 
negocios o personales? 
b. ¿Cuál es la probabilidad de que el próximo cliente no rente un automóvil por negocios o 
asuntos personales? 
 
Evento Representación Probabilidad P 
Renta por negocio A 0.45 
Renta por motivos personales B 0.54 
Renta por negocios y motivos personales A y B 0.30 
 
a. Probabilidad de que se rente un automóvil durante los últimos doce meses por motivos 
de negocios o personales. 
 
 
 
 
b. Probabilidad de que no se alquile un automóvil durante los últimos doce meses por 
motivos de negocios o personales. 
 
 
 
 
2.25. Muchos fanáticos de los deportes conocen la habilidad de Jaime para pronosticar quienes 
serán los equipos ganadores en fútbol. Observaron que sucede a razón de 0.80. Jaime elige los 
ganadores de los cuatro partidos próximos. Encuentre probabilidades de que: 
 
a. Ninguno sea correcto. 
b. No todos los pronósticos de juego sean correctos. 
c. Uno sea incorrecto 
d. Tres sean incorrectos. 
 
Evento Identificación 
Probabilidad 
ocurrencia 
Probabilidad 
no ocurrencia 
Acertar resultado partido A A 0.80 0.20 
Acertar resultado partido B B 0.80 0.20 
Acertar resultado partido C C 0.80 0.20 
Acertar resultado partido D D 0.80 0.20 
 
 
 
 
 PROBABILIDAD, COMBINATORIA Y DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD 
pág. 33 
 
PROBLEMAS PROPUESTOS 
2.26. Si la probabilidad de ocurrencia de dos sucesos independientes es 0,2 y la de ocurrencia de 
uno de ellos es 0,7, ¿cuál es la probabilidad de ocurrencia del otro suceso? 
R: 0.28 
 
2.27. Dos sucesos tienen probabilidades 0.40 y 0.50; sabiendo que son independientes, calcule la 
probabilidad de que no suceda ninguno de los dos. 
R: 0.30 
 
2.28. La Distribuidora vinícola La rioja preguntó a sus clientes si consumían vino entre semana. Los 
resultados fueron que el 57% consumen vinos del país, el 33% vinos de importación, y el 63% 
consumen vinos del país y vinos importados. ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente de la 
vinícola consuma vino importado o del país en una semana cualquiera? 
R: 0.27 
 
2.29. En una clase hay 16 niños y 24 niñas. La mitad de los niños y la mitad de las niñas tienen pelo 
negro. Cuál es la probabilidad de que un alumno seleccionado al azar sea niño o tenga el pelo 
negro. 
 
R: 7/10 
 
2.30. La probabilidad de cara de dos monedas “arregladas” son 0,4 y 0,7 respectivamente. Calcular 
la probabilidad de que al lanzar las dos monedas salga sólo una cara. 
R: 0.54 
 
2.31. Repetir el ejercicio anterior considerando que las monedas están bien construidas. 
R: 0.50 
 
2.32. Los estudiantes A y B tienen respectivamente probabilidades 1/2 y 1/5 de aprobar el examen 
de Estadística. La probabilidad de que aprueben el examen simultáneamente es de 1/10. 
Determinar la probabilidad de que al menos uno de los dos estudiantes apruebe el examen. 
R: 3/5 
 
2.33. Se descubrió que 60% de los turistas que fue a China visitaron la Ciudad Prohibida, el Templo 
del Cielo, la Gran Muralla y otros sitios históricos dentro o cerca de Beijing. 40% de ellos visitó 
Xi’an, con sus magníficos soldados, caballos y carrozas de terracota, que yacen enterrados 
desde hace 2 000 años. 30% de los turistas fueron tanto a Beijing como a Xi’an. ¿Cuál es la 
probabilidad de que un turista haya visitado uno de estos dos lugares? 
R: 0.70 
 
2.34. Luis compra tres acciones diferentes. La probabilidad de que la primera aumente de valor es 
1/3, la probabilidad de que la segunda aumente es de 3/4 y la probabilidad de que la tercera 
aumente su valor es 1/10. Determine la probabilidad de que: 
 
a. Todas aumenten de valor 
b. Ninguna aumente de valor 
c. Una aumente de valor 
d. Dos aumenten de valor 
e. Por lo menos una aumente de valor 
R: 1/40; 3/20; 13/24; 17/60; 17/20 
 PROBABILIDAD, COMBINATORIA Y DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD 
pág. 34 
 
2.35. Una encuesta realizada a 867 televidentes sobre si la programación de la televisión nacional en 
términos de la cantidad de violencia y la calidad general de la programación arrojó los 
siguientes resultados: 
 
 624 televidentes opinaron que se había incrementado la cantidad de violencia en los 
programas de TV en los últimos 10 años. 
 390 opinaron que la calidad de la programación había disminuido durante los mismos diez 
años. 
 234 televidentes respondieron que había aumentado la cantidad de violencia en los 
programas y también que la calidad había disminuido. 
 
a. Si es el evento en que la cantidad de violencia ha aumentado y el evento en que la 
calidad de la programación ha disminuido, calcule las probabilidades , y . 
 
b. Use los resultados del inciso