Análise de Média-Variância para Portfólios

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MV MV: 2 AR MV: N A.Rs. MV: 1 A.R. + 1 A.L.R. MV: N A.R. + 1 A.L.R. Decisión Individual Comentarios
Finanzas I
Tema 5 - Análisis Media Varianza
Felipe Aldunate
Escuela de Administración UC
Septiembre 2016
Felipe Aldunate Escuela de Administración UC Tema 5 - Análisis Media Varianza 1
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Temas
1. Introducción al Análisis Media Varianza
2. Media Varianza: 2 activos riesgosos
3. Media Varianza: N activos riesgosos
4. Media Varianza: 1 activo riesgoso + 1 activo libre de riesgo
5. Media Varianza: N activos riesgosos + 1 activo libre de riesgo
6. Problema Individual
7. Comentarios Finales
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Análisis Media Varianza: Introducción
• El Análisis Media-Varianza para portafolios fue inventado por
Harry Markowitz a comienzo de los años 1950s.
• Propuso la idea de juzgar un portafolio por su retorno y la
varianza (o desviación estándar) del retorno.
• Debido a lo novedoso del tema, mientras Markowitz defend́ıa
su tesis de doctorado en econoḿıa en Chicago, Milton
Friedman le dijo (medio en broma?) que no pod́ıa aprobarlo
porque el tema no era realmente de econoḿıa.
• Markowitz obtuvo el premio Nobel en 1990.
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Análisis Media Varianza: Introducción
• La idea es que, como vimos hace unas clases, la función de
utilidad de un inversionista se puede aproximar por una
expresión que depende sólo de la media y volatilidad (o
varianza).
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Análisis Media Varianza: Introducción
• En las siguientes clases vamos a estudiar la optimización de
portafolio basado en media-varianza usando cuatro casos
distintos:
•
2 activos riesgosos (2 AR): Ejemplo introductorio al análisis
media-varianza.
•
N activos riesgosos (N AR): ¿Cuál es la forma óptima de
diversificar los riesgos?
•
1 activo riesgoso y 1 activo libre de riesgo (1 AR + 1
ALR): ¿ Cuánto riesgo debiéramos tomar?
•
N activos riesgosos y 1 activo libre de riesgo (N AR + 1
ALR): ¿Cuál es el portafolio óptimo?
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Media Varianza: 2 Activos Riesgosos
• Vamos a trabajar con gráficos de retorno esperado vs.
volatilidad. ¿Cómo se ven estos gráficos?
• El retorno esperado es una función lineal de !
1
:
E (R
p
) =!
1
E (R
1
) + (1� !
1
)E (R
2
)
• La varianza en cambio es una función cuadrática de !
1
�2
p
=!2
1
�2
1
+ (1� !
1
)2�2
2
+ 2!
1
(1� !
1
)⇢
12
�
1
�
2
• Por lo tanto la varianza también será una función cuadrática
del retorno E (R
p
).
• Al graficar el retorno esperado vs. la varianza (�2
p
)
obtendremos un parábola.
• Al graficar el retorno esperado vs. la volatilidad (�
p
)
obtendremos un hipérbola.
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Portafolio de 2 Activos Riesgosos
• Correlación positiva perfecta (⇢ = 1)
• En este caso no hay beneficios de diversificar.
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Portafolio de 2 Activos Riesgosos
• Caso general (�1 < ⇢ < 1)
• Cuando no hay correlación perfecta, el riesgo es diversificado.
• ¿Cuáles portafolios son eficientes?
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Portafolio de 2 Activos Riesgosos
• Correlación negativa perfecta (⇢ = �1)
• En este caso podemos formar un portafolio de cero varianza.
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Andres Medina
Esto sería como un hedging, como un seguro
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Ventas Cortas
• ¿Cómo inclúımos ventas cortas en nuestro portafolio?
• ¿Cómo se hace una venta corta?
• Para una venta corta usamos un ponderador negativo.
• Como siempre, la suma de ponderadores tiene que sumar 1.
• Todas las fórmulas siguen funcionando igual.
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Ventas Cortas - Ejemplo
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Andres Medina
Clickers rpta correcta: A. 
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Portafolio de 2 Activos Riesgosos
• Si permitimos ventas cortas
• Podemos aumentar el retorno esperado comprando la acción
con mayor retorno esperado (A) y haciendo una venta corta de
la acción con menor retorno esperado (B).
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Portafolio de Ḿınima Varianza
• En los gráficos anteriores, un punto de gran interés es el
portafolio de ḿınima varianza (PMV).
• Este portafolio es el de menor riesgo posible.
• Vamos a encontrar los ponderadores de los activos A y B del
PMV.
• Definamos como w
PMV
A
a este ponderar para el activo A.
•
w
PMV
B
= 1� w
PMV
A
• Notar que en ese punto, la derivada de la varianza (y
volatilidad) con respecto a los ponderadores de los activos es
cero (“ĺınea vertical en ese punto“).
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Portafolio de Ḿınima Varianza
• Partamos con dos casos especiales:
1. Si ⇢ = 1, tenemos:
�2
p
= (w
A
�
A
+ (1� w
A
)�
B
))2
•
Podemos obtener �2
p
= 0 si (w
A
�
A
+ (1� w
A
)�
B
) = 0
•
Resolviendo para �
A
:
w
PMV
A
=
��
B
�
A
� �
B
2. De igual forma si ⇢ = �1, tenemos:
�2
p
= (w
A
�
A
� (1� w
A
)�
B
))2
•
Resolviendo para �
A
:
w
PMV
A
=
�
B
�
A
+ �
B
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Portafolio de Ḿınima Varianza
• Activos perfectamente correlacionados se mueven juntos.
• El retorno de uno es simplemente un múltiplo del retorno del
otro.
• Entonces todo el riesgo puede ser eliminado a través de la
correcta combinación de estos activos.
• ¿Qué podemos decir de los retornos esperados de estos
activos?
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Portafolio de Ḿınima Varianza
• Para el caso general (�1 < ⇢ < 1), no podemos obtener un
portafolio libre de riesgo.
• En este caso la varianza de un portafolio es:
�2
p
= w2
A
�2
A
+ (1� w
A
)2�2
B
+ 2w
A
(1� w
A
)�
AB
• La condición de primer orden (derivada igual a 0):
@�2
p
@w
A
= 2w
A
�2
A
� 2(1�w
A
)�2
B
+2(1�w
A
)�
AB
� 2w
A
�
AB
= 0
• Resolviendo para w
PMV
A
:
w
PMV
A
=
�2
B
� �
AB
�2
A
+ �2
B
� 2�
AB
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Portafolio de Ḿınima Varianza
• Otros dos casos especiales:
1. Si ⇢
AB
= 0 (�
AB
= 0), obtenemos:
w
PMV
A
=
�2
B
�2
A
+ �2
B
2. Si ⇢
AB
= 0 (�
AB
= 0) y �
A
= �
B
, obtenemos:
w
PMV
A
= w
PMV
A
=
1
2
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Portafolio de Ḿınima Varianza
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Media Varianza: N Activos Riesgosos
Problema Formal
• Con dos activos: todas las combinaciones son de ḿınima
varianza
• Con n > 2 necesitamos ver como combinar estos activos
• Matemáticamente
ḿın
{!
i
}n
i=1
�2
p
=
nX
i=1
!2
i
�2
i
+
nX
i=1
X
j 6=i
!
i
!
j
�
ij
Sujeto a E (R
p
) =
nX
i=1
!
i
E (R
i
) � R⇤
• ¿Cuántas variables de decisión hay en este problema?
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Media Varianza: N Activos Riesgosos
• ¿Qué pasa si agregamos un tercer activo riesgoso?
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Media Varianza: N Activos Riesgosos
• Con varios activos riesgosos. la forma de la frontera de
ḿınima varianza sigue siendo una hipérbola como en el caso
con dos activos riesgos.
• Pero en este caso los activos individuales ya no son parte de la
frontera de ḿınima varianza.
• Sólo portafolios optimizados usando la información de la
distribución de probabilidad de los retoros (varianzas,
covarianzas y retorno), estarán sobre la frontera.
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Portafolio con Activo Libre de Riesgo
• Ahora vamos a introducir un activo libre de riesgo (�
f
= 0).
• Queremos determinar cuánto invertir en el activo libre de
riesgo, en otras palabras, cuánto riesgo tomar.
• Llamemos E (R
1
) y E (R
f
) al retorno esperado del activo
riesgoso y libre de riesgo respectivamente.
• El retorno esperado del portafolio está dado por:
E (R
p
) = !
1
E (R
1
) + (1� !
1
)R
f
• Podemos reescribir esta expresión como:
E (R
p
)� R
f| {z }
Premio por riesgo de p
= !
1
(E (R
1
)� R
f
)| {z }
Premio por riesgo de 1
(1)
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Portafolio con Activo Libre de Riesgo
• La varianza del portafolio está dado por:
�2
p
= !2
1
�2
1
• Y la desviación estándar:
�
p
= !
1
�
1
• Podemos despejar el ponderador del activo riesgoso: !
1
= �p�
1
• Reemplazando en nuestra ecuación (1) y reordenando:
E (R
p
)� E (R
f
) =
✓
E (R
1
)� R
f
�
1
◆
�
p
• Notar que el retorno esperado del portafolio es una función
lineal de su volatilidad.
• Esta ecuación se conoce como Capital Allocation Line
(CAL)
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Andres Medina
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Capital Allocation Line
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Andres Medina
Andres Medina
Andres Medina
Andres Medina
Andres Medina
en un mundo don de hay un act libre de riesgo y un act riesgoso, todos los act tienen la misma pendiente. Todos tienen la misma sharpe ratio
Queremos que la CAL sea lo más parada posible, por la tangencia que pueden tener las curvas de utilidad. Para ser más felices queremos mayor pendiente para tener un sharpe ratio mayor. Mismo riesgo, mayor retorno esperado. 
Cuando tengamos más activos, vamos a poder parar la linea
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Sharpe Ratio
• La pendiente de la Capital Allocation Line está dada por:
S
p
=
E (R
1
)� R
f
�
1
=
Premio por riesgo(Exceso de retorno esperado)
Volatilidad del exceso de retorno
• Se llama Sharpe ratio del activo riesgoso.
• El Sharpe ratio es muy útil para evaluar el desempeño de los
portafolios riesgosos.
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Mucho cuidado con el horizonte de tiempo considerado. Si retornos no tienen autocorrelación: 
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Sharpe Ratio - Ejemplo
Veamos algunos ejemplos de valores históricos para el Sharpe ratio
usando datos anuales:
• Usando datos BKM tablas 5.2 y 5.3 para el peŕıodo
1926-2009:
• Retorno activo libre de riesgo: 3.71%.
World
Large
Stocks
U.S.
Large
Stocks
U.S.
Small
Stocks
Long-
Term
U.S.
T-Bonds
Retorno total promedio 11,23 11,63 17,43 5,69
Desviación estándar 19,27 20,56 37,18 8,45
Sharpe Ratio 0,38 0,38 0,36 0,24
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Capital Allocation Line
• Notar que en nuestro ejemplo actual de un activo riesgoso y
un activo libre de riesgo, todas las combinaciones posibles
tienen el mismo Sharpe ratio,
• que es igual al Sharpe ratio del activo riesgoso
• Pero si agregamos más activos riesgosos, podemos buscar una
combinación de éstos que nos entregue un mejor Sharpe ratio,
es decir, una mejor relación riesgo retorno.
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N Activos Riesgosos y Activo Libre de Riesgo
• Ahora vamos tras la pregunta de cuál es el portafolio óptimo.
• La idea es que vamos a mezclar un portafolio de activos
riesgos con el activo libre de riesgo
• ¿Pero cuál?
• Vuelta al concepto: frontera eficiente implica max retorno
dada una volatilidad.
• Primer paso: sabemos que ALR + 1 activo riesgoso nos da
una ĺınea recta.
• Pensemos en el caso de 2 activos, 1 y 2, con ⇢
1,2 < 1
• Agreguemos un ALR =) ¿cómo mezclarlos?
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2 Activos Riesgosos y Activo Libre de Riesgo
• Combinamos con activo libre de riesgo, con E (R
ALR
) = 5%
• Combinemos ALR con el portafolio de ḿınima varianza (PMV).
•
w
ALR
> 0 reduce riesgo, pero también retorno esperado.
•
w
ALR
< 0 (leverage) incrementa riesgo y retorno esperado.
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2 Activos Riesgosos y Activo Libre de Riesgo
• Hay un único portafolio óptimo
• Está en la ĺınea tangente a la frontera eficiente.
• Este Portafolio Tangente es óptimo independiente de las
preferencias por riesgo.
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2 Activos Riesgosos y Activo Libre de Riesgo
• El portafolio óptimo es aquél con la mayor pendiente, o
Sharpe ratio:
S
p
=
E (R
p
)� R
f
�
p
=
Exceso de retorno esperado
VolatilidadFelipe Aldunate Escuela de Administración UC Tema 5 - Análisis Media Varianza 31
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N Activos Riesgosos y Activo Libre de Riesgo
• Al agregar más activos riesgos la frontera eficiente mejora.
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Andres Medina
La duda es si al meter más acciones la pendiente aumenta o no. Eso es lo que hay q analizar
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Elección del Portafolio Óptimo
• Notemos primero que para cualquier portafolio:
E (R
p
) =R
f
+
nX
k=1
!
k
(E (R
k
)� R
f
)
• ¿Cómo cambia E (R
p
) si cambiamos !
i
marginalmente
(invertimos un poco más en activo “i“)?
@E (R
p
)
@!
i
=E (R
i
)� R
f
• ¿Cómo cambia �
p
si cambiamos !
i
marginalmente?
�2
p
=
nX
k=1
!2
k
�2
k
+
nX
k=1
X
j 6=k
!
k
!
j
�
kj
) @�p
@!
i
=
1
2�
p
@�2
p
@!
i
=
1
2�
p
2�
ip
=
�
ip
�
p
= ⇢
ip
�i
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Andres Medina
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Elección del Portafolio Óptimo Derivación
Revisar en la casa
• Usando regla de la cadena se obtiene
@�2
p
@!
i
=
@�2
p
@�
p
@�
p
@!
i
= 2�
p
@�
p
@!
i
) @�p
@!
i
=
1
2�
p
@�2
p
@!
i
• La derivación siguiente viene de agrupar términos (ver sección
sobre riesgo relativo para algunas fórmulas usadas)
@�2
p
@!
i
=2!
i
�2
i
+ 2
X
j 6=i
!
j
�
ij
=2
nX
j=1
!
j
�
ij
=2Cov(R
i
,R
p
) = 2�
ip
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Elección del Portafolio Óptimo
• Tenemos entonces que agregar activo “i“ a nuestro portafolio
• Aumenta el retorno esperado en:
Recompensa = E (R
i
)� R
f
• Aumento el riesgo, de acuerdo a su relación con el riesgo
común del portafolio, en:
⇢
ip
�i
•
Intuición: Agregar activo “i“ mejorará nuestro portafolio
mientras el ratio recompensa/riesgo marginal exceda el ratio
de nuestro portafolio actual:
E (R
i
)� R
f
⇢
ip
�i
>
E (R
p
)� R
f
�
p
= S
p
• Esto es el efecto marginal, no nos dice cuánto agregar.
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MV MV: 2 AR MV: N A.Rs. MV: 1 A.R. + 1 A.L.R. MV: N A.R. + 1 A.L.R. Decisión Individual Comentarios
Portafolio Óptimo y Retorno Requerido
• La idea es que vamos a ajustar nuestro portafolio hasta que los
ratios recompensa/riesgo sean iguales para todos los activos:
E (R
i
)� R
f
⇢
ip
�i
=
E (R
p
)� R
f
�
p
• Reordenamos esta fórmula para calcular el retorno requerido
que hace al activo “i“ atractivo dado el portafolio “p“:
E (R
i
) = R
f|{z}
Tasa
libre de
riesgo
+ ⇢
ip|{z}
Fracción del
riesgo que
es común
⇥ �i
�
p|{z}
Riesgo
relativo
de “i“| {z }
�
ip
⇥ (E (R
p
)� R
f
)
| {z }
Premio por
riesgo
portafolio “p“
| {z }
Premio por riesgo activo “i“
Felipe Aldunate Escuela de Administración UC Tema 5 - Análisis Media Varianza 36
Andres Medina
Cuál es el riesgo que le vamos a exigir a una acción para meterla en el portafolio
Para riesgos altos, el retorno tendría que ser alto para meterla al portafolio
Andres Medina
Pensar q pasa si rho 0 o negativo, me bastaría q me pague igual al libre de riesgo (ayudándome a diversificar solamente) o funcionaría como un seguro, respectivamente.
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Retorno Requerido y Portafolio Tangente
• En el caso del portafolio tangente, el ratio recompensa/riesgo
debe ser igual para todos los activos riesgosos, y debe ser
igual al del portafolio tangencial.
E (R
i
)� R
f
⇢
i ,Tangente �i
=
E (R
Tangente
)� R
f
�
Tangente
= S
Tangente
• Intuitivamente: si no fuera aśı podŕıamos cambiar la
composición del portafolio y obtener un mejor Sharpe Ratio,
por lo que entonces no seŕıa el portafolio tangente en primer
lugar.
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MV MV: 2 AR MV: N A.Rs. MV: 1 A.R. + 1 A.L.R. MV: N A.R. + 1 A.L.R. Decisión Individual Comentarios
Activos Individuales y Portafolio Tangente
• Entonces, resolviendo para el portafolio óptimo hemos
encontrado una fórmula para el premio por riesgo que
demandará un inversionista por poseer un activo:
E (R
i
) = R
f
+ ⇢
i ,Tangente ⇥
�
i
�
Tangente| {z }
�
i,Tangente
⇥(E (R
Tangente
)� R
f
)
| {z }
Premio por riesgo requerido
• Notar que es válido sólo para el portafolio tangente!
• El riesgo está medido por:
�
i ,Tangente = ⇢i ,Tangente ⇥
�
i
�
Tangente
Felipe Aldunate Escuela de Administración UC Tema 5 - Análisis Media Varianza 38
MV MV: 2 AR MV: N A.Rs. MV: 1 A.R. + 1 A.L.R. MV: N A.R. + 1 A.L.R. Decisión Individual Comentarios
Ejercicio 1a
Clickers - 4 opciones
• Suponga que su suegro lo llama para pedirle consejo sobre sus
inversiones. Él actualmente tiene $100.000 invertidos en una
portfolio con un retorno esperado de 10.5% y volatilidad de
8%.
• Suponga que la tasa libre de riesgo es 5% y que la cartera
tangente tiene un rendimiento esperado de 18.5% y
volatilidad de 13%.
(a) ¿ Cuál cartera le recomendaŕıa a su suegro para maximizar el
retorno esperado sin aumentar el riesgo?
1. 100% en portafolio tangente y 0% en ALR.
2. 61,5% en portafolio tangente y 38,5% en ALR.
3. 78.4% en portafolio tangente y 21,6% en ALR.
4. Su portafolio ya es óptimo, no puede mejorar su relación riesgo
retorno.
Felipe Aldunate Escuela de Administración UC Tema 5 - Análisis Media Varianza 39
Andres Medina
2 es la rpta correcta
MV MV: 2 AR MV: N A.Rs. MV: 1 A.R. + 1 A.L.R. MV: N A.R. + 1 A.L.R. Decisión Individual Comentarios
Ejercicio 1b
Clickers - 4 opciones
• Suponga que su suegro lo llama para pedirle consejo sobre sus
inversiones. Él actualmente tiene $100.000 invertidos en una
portfolio con un retorno esperado de 10.5% y volatilidad de
8%.
• Suponga que la tasa libre de riesgo es 5% y que la cartera
tangente tiene un rendimiento esperado de 18.5% y
volatilidad de 13%.
(b) ¿ Cuál cartera le recomendaŕıa a su suegro para minimizar el
riesgo manteniendo su retorno esperado?
1. 0% en portafolio tangente y 100% en ALR.
2. 40,7% en portafolio tangente y 59,3% en ALR.
3. 27.1% en portafolio tangente y 72.9% en ALR.
4. Es imposible disminuir el riesgo, manteniendo el mismo retorno
esperado.
Felipe Aldunate Escuela de Administración UC Tema 5 - Análisis Media Varianza 40
Andres Medina
Rpta correcta es la 2
MV MV: 2 AR MV: N A.Rs. MV: 1 A.R. + 1 A.L.R. MV: N A.R. + 1 A.L.R. Decisión Individual Comentarios
Ejercicio 2
• FEA es una empresa de inversiones que tradicionalmente se ha
enfocado en invertir en portafolios bien diversificados de
acciones chilenas. Dada la falta de oportunidades atractivas,
su portafolio actual simplemente replica al ı́ndice IPSA que
han conclúıdo corresponde al portafolio tangente (sin incluir
activos “alternativos”). FEA aspira mantener un portafolio
eficiente en el sentido media varianza.
• Recientemente una nueva analista de la empresa ha sugerido
expandir el universo de inversión de FEA más allá de acciones
hacia ciertas clases de activos “alternativos”. En particular,
esta analista se muestra optimista sobre los beneficios de
invertir en terrenos en el sur de Chile. Su argumento es que la
baja correlación de estos terrenos con el IPSA implicaŕıa un
importante beneficio de diversificación.
Felipe Aldunate Escuela de Administración UC Tema 5 - Análisis Media Varianza 41
MV MV: 2 AR MV: N A.Rs. MV: 1 A.R. + 1 A.L.R. MV: N A.R. + 1 A.L.R. Decisión Individual Comentarios
Ejercicio 2
Clickers - 2 opciones
• Las caracteŕısticas esperadas del IPSA y de terrenos en el sur
están dados en la siguientetabla:
Activo E[R
i
] Volatilidad
IPSA 9% 25%
Terrenos 3 % 10%
• La correlación entre los retornos esperados del IPSA y de los
terrenos es de Corr [R
IPSA
,R
Terrenos
] = 0,1.
• Asuma además que existen bonos libre de riesgo que entregan
un 2% de retorno anual.
(a) ¿ Es posible mejorar la relación riesgo retorno del portafolio de
FEA mediante la inversión en terrenos?
1. Śı
2. No
Felipe Aldunate Escuela de Administración UC Tema 5 - Análisis Media Varianza 42
Andres Medina
Rpta 1 es correcta
MV MV: 2 AR MV: N A.Rs. MV: 1 A.R. + 1 A.L.R. MV: N A.R. + 1 A.L.R. Decisión Individual Comentarios
Ejercicio 2
Clickers - 2 opciones
• Dado el éxito de la sugerencia de esta nueva analista, el
analista más viejo se siente presionado a tener que aportar con
algo y sugiere para mejorar el Sharpe ratio del portafolio
diversificar entre el IPSA y bonos libre de riesgo.
• Asuma los mismos valores para los retornos esperados y
volatilidades del IPSA y de terrenos en el sur:
Activo E[R
i
] Volatilidad
IPSA 9% 25%
Terrenos 3 % 10%
•
Corr [R
IPSA
,R
Terrenos
] = 0,1.
•
R
f
= 2% anual.
(b) ¿ Es posible mejorar la relación riesgo retorno del portafolio de
FEA mediante la inversión en bonos libres de riesgo?
1. Śı
2. No
Felipe Aldunate Escuela de Administración UC Tema 5 - Análisis Media Varianza 43
MV MV: 2 AR MV: N A.Rs. MV: 1 A.R. + 1 A.L.R. MV: N A.R. + 1 A.L.R. Decisión Individual Comentarios
Decisión Individual y Análisis MV
• Hasta ahora: preferencias media-varianza nos llevaron al
portafolio tangente:
• Tiene el máximo Sharpe ratio, para cada volatilidad nos da el
retorno máximo posible que puede obtener un inversionista.
• Pero depende sólo de las combinaciones de retornos esperados
y varianzas-covarianzas, no de la aversión al riesgo.
• Condicional en que exista aversión al riesgo, nivel de aversión
al riesgo no afecta portafolio de activos riesgosos.
• Aún no hemos definido exactamente el rol que juegan las
preferencias individuales, en particular el grado de aversión al
riesgo.
Felipe Aldunate Escuela de Administración UC Tema 5 - Análisis Media Varianza 44
MV MV: 2 AR MV: N A.Rs. MV: 1 A.R. + 1 A.L.R. MV: N A.R. + 1 A.L.R. Decisión Individual Comentarios
Portafolio Óptimo -Teorema del Fondo Mutuo
• Si asumimos que:
1. Todos los inversionistas tienen preferencias media-varianza.
2. Todos están de acuerdo en los mismos retornos esperados y
varianzas
3. Todos tienen acceso a los mismos activos y tasa libre de riesgo
4. Mercado de un peŕıodo
• Entonces: Teorema del Fondo Mutuo
• Todos los inversionistas tienen portafolios que son
combinaciones del activo libre de riesgo y del portafolio
tangente (que es el mismo para todos).
•
Aversión al riesgo sólo afecta cuanto se invierte en el activo
libre de riesgo (más mientras más averso).
•
Implicancia: todos los inversionistas mantienen activos
riesgosos en la misma proporción.
Felipe Aldunate Escuela de Administración UC Tema 5 - Análisis Media Varianza 45
MV MV: 2 AR MV: N A.Rs. MV: 1 A.R. + 1 A.L.R. MV: N A.R. + 1 A.L.R. Decisión Individual Comentarios
Portafolio Óptimo - Vuelta a Función de Utilidad
• Recordemos que hemos aproximado la función de utilidad de
los inversionistas sobre un portafolio por:
E (R
p
)� 1
2
(RRA)�2
p
Felipe Aldunate Escuela de Administración UC Tema 5 - Análisis Media Varianza 46
MV MV: 2 AR MV: N A.Rs. MV: 1 A.R. + 1 A.L.R. MV: N A.R. + 1 A.L.R. Decisión Individual Comentarios
Portafolio Óptimo - Solución Gráfica
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MV MV: 2 AR MV: N A.Rs. MV: 1 A.R. + 1 A.L.R. MV: N A.R. + 1 A.L.R. Decisión Individual Comentarios
Portafolio Óptimo - Solución Análitica
• Para cada inversionista podemos encontrar sus ponderadores
óptimos en el portafolio tangente (T) y en el activo libre de
riesgo (ALR):
máx
w
T
E (R
p
)� 1
2
(RRA)�2
p
= R
f
+ w
T
(E (R
T
)� Rf )� 1
2
(RRA)w2
T
�2
T
• La condición de primer orden es:
R
T
� R
f
� RRA⇥ w
T
�2
T
= 0
• Resolviendo para el ponderador del portafolio tangente:
w
T
=
R
T
� R
f
RRA⇥ �2
T
=
S
p
RRA⇥ �
T
Felipe Aldunate Escuela de Administración UC Tema 5 - Análisis Media Varianza 48
MV MV: 2 AR MV: N A.Rs. MV: 1 A.R. + 1 A.L.R. MV: N A.R. + 1 A.L.R. Decisión Individual Comentarios
Portafolio Óptimo - Solución Análitica
• Hemos encontrado:
w
T
=
S
p
RRA⇥ �
T
• El porcentaje óptimo a invertir en activos riesgoso (portafolio
tangente), es simplemente el premio por riesgo dividido por su
el producto de su varianza y el RRA.
• Equivalentemente, es el Sharpe ratio del portafolio tangente
(máximo posible), dividido por el producto de la desviación
estándar y el RRA.
Felipe Aldunate Escuela de Administración UC Tema 5 - Análisis Media Varianza 49
MV MV: 2 AR MV: N A.Rs. MV: 1 A.R. + 1 A.L.R. MV: N A.R. + 1 A.L.R. Decisión Individual Comentarios
Portafolio Óptimo - Cuánto Riesgo Tomar
• La desviación estándar del portafolio completo (Tangente +
ALR) está dada por:
�
p
= w
T
⇥ �
T
=
S
p
RRA⇥ �
T
⇥ �
T
=
S
p
RRA
• Entonces la cantidad óptima de riesgo a tomar para un
inversionista es proporcional al Sharpe ratio (recompensa por
unidad de riesgo), e inversamente proporcional a la aversión al
riesgo.
Felipe Aldunate Escuela de Administración UC Tema 5 - Análisis Media Varianza 50
MV MV: 2 AR MV: N A.Rs. MV: 1 A.R. + 1 A.L.R. MV: N A.R. + 1 A.L.R. Decisión Individual Comentarios
Teorema del Fondo Mutuo - Ejemplo
• Volvamos a nuestros activos A y B.
•
E [R
A
] = 30% y �
A
= 0,2
•
E [R
B
] = 10% y �
B
= 0,1
• Suponga que la tasa libre de riesgo es 5%
• Hab́ıamos encontrado que el portafolio tangente se constrúıa
con w
A
= 62% y w
B
= 38%
•
E (R
T
) = 22,4%.
• �
T
= 13,33%.
• Supongamos 2 inversionistas, cada uno tiene $100k para
invertir, pero diferentes grados de aversión al riesgo:
Inv. 1 RRA=19.59
Inv. 2 RRA=4.90
• Encuentre los montos invertidos por cada inversionista en
cada activo (A, B, y ALR)
Felipe Aldunate Escuela de Administración UC Tema 5 - Análisis Media Varianza 51
MV MV: 2 AR MV: N A.Rs. MV: 1 A.R. + 1 A.L.R. MV: N A.R. + 1 A.L.R. Decisión Individual Comentarios
Teorema del Fondo Mutuo - Ejemplo
Hab́ıamos encontrado:
Felipe Aldunate Escuela de Administración UC Tema 5 - Análisis Media Varianza 52
MV MV: 2 AR MV: N A.Rs. MV: 1 A.R. + 1 A.L.R. MV: N A.R. + 1 A.L.R. Decisión Individual Comentarios
Teorema del Fondo Mutuo - Ejemplo
Clickers - 4 opciones
• Antes de resolver, intuitivamente, qué espera usted?
1. Inv. 2 con RRA=4.90 invertirá un% mayor de su portafolio de
acciones en la acción más riesgosa A
2. Inv. 2 con RRA=4.90 invertirá un% mayor de su portafolio de
acciones en la acción menos riesgosa B
3. Inv. 2 con RRA=4.90 invertirá un% mayor en acciones y un%
mayor que Inv. 1 de su portafolio de acciones en la acción más
riesgosa A.
4. Inv. 2 con RRA=4.90 invertirá un% mayor en acciones y un%
igual a Inv. 1 de su portafolio de acciones en la acción más
riesgosa A.
Felipe Aldunate Escuela de Administración UC Tema 5 - Análisis Media Varianza 53
MV MV: 2 AR MV: N A.Rs. MV: 1 A.R. + 1 A.L.R. MV: N A.R. + 1 A.L.R. Decisión Individual Comentarios
Teorema del Fondo Mutuo - Ejemplo
• Por Teorema del Fondo Mutuo ambos van a invertir en el
mismo portafolio de activos riesgosos (portafolio tangente).
• Necesitamos determinar cuánto invertirá cada uno en el
portafolio tangente (T) y en el activo libre de riesgo (ALR).
• Sea w
Ti
el ponderador en el portafolio tangente para el
individuo i :
Inv. 1 Tiene RRA=19,59:
w
T1
=
R
T
� R
f
RRA⇥ �2
T
=
0,224� 0,05
19,59⇥ 0,13332 = 0,5
Inv. 1 invertirá 50% en activos riesgosos.
Inv. 2 Tiene RRA=4,9:
w
T2
=
R
T
� R
f
RRA⇥ �2
T
=
0,224� 0,05
4,9⇥ 0,13332 = 2
Inv. 2 invertirá 200% en activos riesgosos.
Felipe Aldunate Escuela de Administración UC Tema 5 - Análisis Media Varianza 54
MV MV: 2 AR MV: N A.Rs.MV: 1 A.R. + 1 A.L.R. MV: N A.R. + 1 A.L.R. Decisión Individual Comentarios
Teorema del Fondo Mutuo - Ejemplo
• Por Teorema del Fondo Mutuo ambos van a invertir en el
mismo portafolio de activos riesgosos (portafolio tangente).
Inv. 1 Invertirá 50% en activos riesgosos, por lo tanto:
• w
ALR
= 50% ) $50k en activo ALR.
• w
A1
= 50%⇥ 62% = 31% ) $31k en activo A.
• w
B1
= 50%⇥ 38% = 19% ) $19k en activo B.
Inv. 2 Invertirá 200% en activos riesgosos, por lo tanto:
• w
ALR
= �100% ) Se endeudará por $100k.
• w
A2
= 200%⇥ 62% = 124% ) $124k en activo A.
• w
B2
= 200%⇥ 38% = 76% ) $76k en activo B.
Felipe Aldunate Escuela de Administración UC Tema 5 - Análisis Media Varianza 55
MV MV: 2 AR MV: N A.Rs. MV: 1 A.R. + 1 A.L.R. MV: N A.R. + 1 A.L.R. Decisión Individual Comentarios
Teorema del Fondo Mutuo - Ejemplo
Felipe Aldunate Escuela de Administración UC Tema 5 - Análisis Media Varianza 56
MV MV: 2 AR MV: N A.Rs. MV: 1 A.R. + 1 A.L.R. MV: N A.R. + 1 A.L.R. Decisión Individual Comentarios
Comentarios Finales
• Hemos conclúıdo que todos los inversionistas debieran invertir
en el mismo portafolio de activos riesgos (portafolio tangente)
y según su aversión al riesgo ajustar cuanto invertir en el
activo libre de riesgo.
• En las recomendaciones de bancos de inversión no vemos que
se recomiende esto. A mayor aversión al riesgo se tiende a
recomendar un portafolio de activos riesgosos más cargado
hacia los relativamente menos riesgosos. ¿Por qué?
• Horizontes de inversión.
• Activos no transables (ej: capital humano).
• Campbell y Viceira (2001): protección frente a cambios en el
tiempo en la tasa de interés.
Felipe Aldunate Escuela de Administración UC Tema 5 - Análisis Media Varianza 57
MV MV: 2 AR MV: N A.Rs. MV: 1 A.R. + 1 A.L.R. MV: N A.R. + 1 A.L.R. Decisión Individual Comentarios
Recomendaciones de inversión
• Canner, Mankiw, y Weil (1997): Aqúı “cash” es “short-term,
money-market instruments, not currency”
Felipe Aldunate Escuela de Administración UC Tema 5 - Análisis Media Varianza 58
MV MV: 2 AR MV: N A.Rs. MV: 1 A.R. + 1 A.L.R. MV: N A.R. + 1 A.L.R. Decisión Individual Comentarios
Recomendaciones de inversión
• Otro aspecto a tomar en cuenta: Mullainathan, Noeth, and
Schoar (2012):
Do financial advisers undo or reinforce the behavioral biases and
misconceptions of their clients? We use an audit methodology where
trained auditors meet with financial advisers and present di↵erent types
of portfolios. These portfolios reflect either biases that are in line
with the financial interests of the advisers (e.g., returns-chasing
portfolio) or run counter to their interests (e.g., a portfolio with
company stock or very low-fee index funds). We document that
advisers fail to de-bias their clients and often reinforce biases that are in
their interests. Advisers encourage returns-chasing behavior and push for
actively managed funds that have higher fees, even if the client starts
with a well-diversified, low-fee portfolio.
Felipe Aldunate Escuela de Administración UC Tema 5 - Análisis Media Varianza 59
MV MV: 2 AR MV: N A.Rs. MV: 1 A.R. + 1 A.L.R. MV: N A.R. + 1 A.L.R. Decisión Individual Comentarios
Comentarios Finales
• Hemos conclúıdo que todos los inversionistas debieran invertir
en el mismo portafolio de activos riesgos (portafolio tangente)
y según su aversión al riesgo ajustar cuanto invertir en el
activo libre de riesgo.
• ¿Cómo se ven los portafolios de inversionistas individuales en
la práctica? Tampoco muy lejos de la recomendación de este
teorema (ej: inversionistas suecos en Calvet, Campbell y
Sodini (2007))
Felipe Aldunate Escuela de Administración UC Tema 5 - Análisis Media Varianza 60
MV MV: 2 AR MV: N A.Rs. MV: 1 A.R. + 1 A.L.R. MV: N A.R. + 1 A.L.R. Decisión Individual Comentarios
Portafolios de inversionistas individuales en la práctica
• No muy lejos de la recomendación de este teorema (ej:
inversionistas suecos en Calvet, Campbell y Sodini (2007)):
• Inversionistas con mayor sofisticación financiera están más
cerca del óptimo, pero también tienden a tomar más riesgo.
Felipe Aldunate Escuela de Administración UC Tema 5 - Análisis Media Varianza 61
MV MV: 2 AR MV: N A.Rs. MV: 1 A.R. + 1 A.L.R. MV: N A.R. + 1 A.L.R. Decisión Individual Comentarios
Problemas prácticos con análisis media varianza
• Si hay N activos riesgosos, necesitamos estimar N retornos
promedio y N(N+1)
2
varianzas y covarianzas. Si N es grande,
no hay computador que se la pueda. Ejemplo: si N = 5,000
entonces N(N+1)
2
⇡ 12 millones.
• Al usar datos históricos para estas estimaciones: el
computador va a encontrar una combinación de activos con
riesgo casi cero y la recomendación será tomar leverage y
poner todo en esa apuesta casi segura (el computador cree
encontrar una oportunidad de arbitraje).
• Problemas institucionales al formar portafolios:
• Ĺımites a las AFP.
• Ĺımites a las ventas cortas (ej: ¿qué pasa si mi análisis
recomienda w = �50% y no se pueden hacer ventas cortas en
el mercado?)
Felipe Aldunate Escuela de Administración UC Tema 5 - Análisis Media Varianza 62
MV MV: 2 AR MV: N A.Rs. MV: 1 A.R. + 1 A.L.R. MV: N A.R. + 1 A.L.R. Decisión Individual Comentarios
Problemas prácticos con análisis media varianza
• Soluciones/Atajos: el más famoso es el CAPM que se basa en
el análisis media-varianza que vimos recién.
• Ventajas del CAPM:
• Simple, fácil de usar.
• Implica restricciones testeables para el comportamiento de los
retornos de activos.
• Puede ser usado para determinar la tasa de descuento en una
evaluación de proyectos.
• Evaluación de fondos mutuos.
Felipe Aldunate Escuela de Administración UC Tema 5 - Análisis Media Varianza 63
MV MV: 2 AR MV: N A.Rs. MV: 1 A.R. + 1 A.L.R. MV: N A.R. + 1 A.L.R. Decisión Individual Comentarios
Capital Asset Pricing Model (CAPM)
• Hasta el momento nuestra teoŕıa se basa en el “Portafolio
Tangente“.
• ¿Cómo identificamos a este portafolio para implementarla?
• La clave del CAPM es usar un argumento de oferta=demanda
para identificar al portafolio tangente:
• Si suponemos que todos los inversionistas:
•
Tienen las mismas expectativas para la distribución de
retornos.
•
Eligen portafolios en la frontera eficiente de media-varianza.
• Entonces:
•
Cada inversionista encontrará el mismo portafolio tangente.
•
Demanda agregada de acciones = Portafolio Tangente.
• En equilibrio oferta=Demanda:
•
Portafolio Tangente = Demanda Agregada de Acciones =
Portafolio de Mercado.
Felipe Aldunate Escuela de Administración UC Tema 5 - Análisis Media Varianza 64
Repaso Media y Varianza
Media y Varianza
Repaso
• Cuando tenemos una variable que puede tomar distintos
valores (una variable aleatoria) podemos calcular una serie de
medidas (momentos)
• Por ahora nos enfocaremos en dos: esperanza o media, y
varianza (y la desviación estándar)
• La media o esperanza de una variable X se define como
E (X ) =
nX
i=1
p
i
x
i
(1)
• La varianza y la desviación estándar se definen como:
V (X ) =
nX
i=1
p
i
(x
i
� E (X ))2 (2)
�
X
=
p
V (X ) (3)
•
p
i
es la probabilidad de observar el valor x
i
Felipe Aldunate Escuela de Administración UC Tema 5 - Análisis Media Varianza 65
Repaso Media y Varianza
Media y Varianza
Repaso
• Práctica: muchas veces observamos series ex-post
=) observamos realizaciones
• Podemos calcular esperanzas y varianzas muestrales con los
datos observados
• Media
X̄ =
P
n
i=1
x
i
n
(4)
• Varianza
V (X ) =
P
n
i=1
(x
i
� X̄ )2
n � 1 (5)
�
X
=
p
V (X ) (6)
Felipe Aldunate Escuela de Administración UC Tema 5 - Análisis Media Varianza 66
Repaso Media y Varianza
Media y Varianza
Ejemplo
• Consideremos una activo que tiene los siguientes retornos
Escenario Bueno Regular Malo
Probabilidad 0.1 0.7 0.2
Retorno (en%) 20 5 -5
• Media
E (X ) =0,1⇥ 20 + 0,7⇥ 5 + 0,2⇥�5
=4,5
Felipe Aldunate Escuela de Administración UC Tema 5 - Análisis MediaVarianza 67
Repaso Media y Varianza
Media y Varianza
Ejemplo
• Varianza
V (X ) =0,1⇥ (20� 4,5)2 + 0,7⇥ (5� 4,5)2 + 0,2⇥ (�5� 4,5)2
=42,25
• Desviación estándar
�
X
=
p
42,25 = 6,5
Felipe Aldunate Escuela de Administración UC Tema 5 - Análisis Media Varianza 68
	MV
	MV: 2 AR
	MV: N A.Rs.
	MV: 1 A.R. + 1 A.L.R.
	MV: N A.R. + 1 A.L.R.
	Decisión Individual
	Comentarios
	Apéndice
	Repaso Media y Varianza