Riesgo-Retorno y Diversificación en Finanzas

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Introducción Riesgo-Retorno Portafolios Diversificación
Finanzas I
Tema 4 - Riesgo-Retorno y Diversificación
Felipe Aldunate
Escuela de Administración UC
Septiembre 2016
Felipe Aldunate Escuela de Administración UC Tema 4 - Riesgo-Retorno y Diversificación 1
Introducción Riesgo-Retorno Portafolios Diversificación
Repaso - Preferencias Media-Varianza
• Simplificaión: Para la elección del portafolio óptimo de la
inversionista, vamos a sumir que ella maximiza la siguiente
función:
U({c}) =E (u(c)) = E (c)� a
2
V (c), a > 0 (1)
• Definamos:
• µc = E (c)
• �2 = V (c) –varianza
• � –desviación estándar
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Introducción Riesgo-Retorno Portafolios Diversificación
Temas
1. Introducción Riesgo Retorno
2. Álgebra de Portafolio
3. Diversificación
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Introducción Riesgo-Retorno Portafolios Diversificación
Introducción Riesgo Retorno
• ¿De qué riesgo estamos hablando?
• Inversionistas tiene creencias sobre la distribución de
probabilidad de los retornos futuros.
• Retorno esperado.
• Volatilidad o desviación estándar: Medida de cuan riesgosa es
esta distribución.
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Andres Medina
5-9-16
Introducción Riesgo-Retorno Portafolios Diversificación
Introducción Riesgo Retorno
• ¿De qué riesgo estamos hablando?
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Andres Medina
Riesgo es alta volatilidad, desviaciones respecto del retorno esperado
Introducción Riesgo-Retorno Portafolios Diversificación
Introducción Riesgo Retorno
• ¿Podemos usar la volatilidad para determinar el premio por
riesgo?
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Sirve para los índices. Pero para las acciones individuales?
Introducción Riesgo-Retorno Portafolios Diversificación
Introducción Riesgo Retorno
• Lamentablemente no es tan simple, la volatilidad no explica el
retorno de acciones individuales.
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Andres Medina
Pareciera que la volatilidad no es la medida relevante del riesgo. 
Introducción Riesgo-Retorno Portafolios Diversificación
Intuición Riesgo de Portafolio: Ejemplo
• Ejemplo: seguro contra robos vs. seguro contra terremotos
• Suponga que el riesgo de robo a una casa individual es 1% por
año.
• Suponga que el riesgo de terremoto en Santiago es 1% por
año.
• Si una compañ́ıa de seguros emite 100.000 pólizas en Santiago,
¿cuál es el número esperado de siniestros de cada tipo por año?
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Andres Medina
1000 cada año
Preferimos asegurar robos pq son individuales, pero el terremoto afecta a todos y tenemos q pagar a todos. 
Introducción Riesgo-Retorno Portafolios Diversificación
Intuición Riesgo de Portafolio: Ejemplo
• Seguro de robo
• Esperamos 1% de 100.000=1000 siniestros por año.
• No esperamos mucha variación en torno a este número
• Mantener reservas para 1500 siniestros parece adecuado.
• Para el seguro de robo, el riesgo del portafolio de pólizas es
mucho menor que el riesgo de una póliza individual, es decir,
existe diversificación.
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Introducción Riesgo-Retorno Portafolios Diversificación
Intuición Riesgo de Portafolio: Ejemplo
• Seguro de terremoto
• ¿Eliminamos el riesgo al construir un gran portafolio de
muchas pólizas?
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Andres Medina
Para el terremoto obtenemos cero diversificación del riesgo
Introducción Riesgo-Retorno Portafolios Diversificación
Intuición Riesgo de Portafolio
• El grado de diversificación que se obtiene en un portafolio
depende de la cantidad de riesgo que es común, versus la
cantidad de riesgo que es independiente.
• Riesgos independientes serán diversificados en un portafolio
grande.
• Riesgos comunes, o correlacionados, se mantendrán incluso en
un portafolio grande.
• ¿Cómo aplica esto a acciones?
• Generalmente el precio de una acción vaŕıa por dos razones:
•
Buenas o malas notiicias sobre la empresa.
•
Buenas o malas noticias sobre la econoḿıa.
• Formando un portafolio de muchas acciones, los inversionistas
pueden diversificar el primer tipo de riesgo, llamado
usualmente riesgo diversificable o idiosincrático.
• El segundo tipo de riesgo se mantiene incluso en un portafolio
de muchas acciones. Usualmente es llamado riesgo sistemático
o de mercado.
• Inversionistas se preocupan del riesgo sistemático.
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Andres Medina
A los economistas les importa que a la economía le vaya mal y no que solo una planta se vaya a quemar
Introducción Riesgo-Retorno Portafolios Diversificación
Temas
1. Introducción Riesgo Retorno
2. Álgebra de Portafolio
3. Diversificación
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Introducción Riesgo-Retorno Portafolios Diversificación
Covarianza y Correlación
• Recordando: Covarianza – definición
Cov(X ,Y ) =�XY =
nX
i=1
⇡i (xi � E (X ))(yi � E (Y )) (2)
• Estimador muestral de covarianza, T observaciones
Cov(X ,Y ) =
1
T � 1
TX
i=1
(xi � X̄ )(yi � Ȳ )
• La correlación es
⇢XY =
�XY
�X�Y
(3)
• Correlación = 0 ; independencia
• Sólo si variables tienen distribución normal conjunta
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Introducción Riesgo-Retorno Portafolios Diversificación
Media y Varianzas de Combinaciones
• Definamos Z = aX + bY , a,b constantes
• Entonces tenemos
E (Z ) =aE (X ) + bE (Y ) (4)
V (Z ) =a2V (X ) + b2V (Y ) + 2abCov(X ,Y )
=a2V (X ) + b2V (Y ) + 2ab�X�Y ⇢XY (5)
• Covarianza
Cov(aX ,bY ) =abCov(X ,Y )
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Introducción Riesgo-Retorno Portafolios Diversificación
Retornos de Portafolios (n activos)
• Llamaremos !i a la participación de activo i en portafolio
• Activos 1, . . . ,n
• Retornos: Ri ! E (Ri ), �i
• Portafolio: ponderadores !i ,
P
i !i = 1
Rp =
nX
i=1
!iRi (6)
• Momentos retorno portafolio
• Media:
E (Rp) =
nX
i=1
!iE (Ri ) (7)
• Varianza:
�2p =
nX
i=1
nX
j=1
!i!j�ij (8)
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Introducción Riesgo-Retorno Portafolios Diversificación
Covarianza en un Portafolio de 2 Activos
• Varianza de un portafolio de 2 activos
�2RP = !
2
A�
2
A + !
2
B�
2
B + 2!A!B�AB
• La covarianza mide la “coordinación” entre las desviaciones
(respecto a su media) de los retornos. Si la covarianza es alta
entonces los retornos se mueven relativamente juntos.
• La covarianza se puede escribir como �AB = ⇢AB�A�B
�2RP = !
2
A�
2
A + !
2
B�
2
B + 2!A!B⇢AB�A�B
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Andres Medina
Introducción Riesgo-Retorno Portafolios Diversificación
Correlación en un Portafolio de 2 Activos
• El coeficiente de correlación (⇢) es una medida pura de
sincronización, es decir, no depende del tamaño de las
desviaciones respecto a la media
⇢AB =
�AB
�A�B
• Por definición: �1  ⇢  1
• Dos retornos con ⇢ = 1 se mueven perfectamente juntos. Si
uno sube el otro también sube. Puede que uno suba más o
menos que el otro, pero los 2 se mueven en la misma
dirección y al mismo tiempo.
• Si ⇢ = �1 los dos retornos se mueven en direcciones
perfectamente opuestas.
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Introducción Riesgo-Retorno Portafolios Diversificación
Ejemplos Correlación 2 Activos
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Introducción Riesgo-Retorno Portafolios Diversificación
Ejemplos Correlación 2 Activos
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Introducción Riesgo-Retorno Portafolios Diversificación
Correlación y Varianza Portafolio (2 Activos)
• Algunos casos especiales
⇢ = 1 �2RP = !
2
A�
2
A + !
2
B�
2
B + 2!A!B�A�B
= (!A�A + !B�B)
2
⇢ = 0 �2RP = !
2
A�
2
A + !
2
B�
2
B
⇢ = �1 �2RP = !
2
A�
2
A + !
2
B�
2
B � 2!A!B�A�B
= (!A�A � !B�B)2
• Sólo si ⇢ = 1, la volatilidad del portafolio �RP es igual al
promedio (ponderado) de � de activos individuales.
• Para cualquier ⇢ < 1 tendremos que �RP < !A�A + !B�B
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así, si rho=1 —> sigma rp = w(a)sigma(a) + w(b)sigma(b)
Introducción Riesgo-Retorno Portafolios Diversificación
Correlación y Varianza Portafolio (2 Activos)
• �A = 0,2 y �B = 0,1
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Introducción Riesgo-Retorno Portafolios Diversificación
Correlación y Varianza Portafolio (2 Activos)
• �A = 0,2 y �B = 0,1
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Andres Medina
Estos son los beneficios de la diversificación. Cambia la desviación estándar de los portafolios
Introducción Riesgo-Retorno Portafolios Diversificación
Correlación y Varianza Portafolio (2 Activos)
• �A = 0,2 y �B = 0,1
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Introducción Riesgo-Retorno Portafolios Diversificación
Correlación y Varianza Portafolio (2 Activos)
• �A = 0,2 y �B = 0,1
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Introducción Riesgo-Retorno Portafolios Diversificación
Diversificación y Crisis Financiera
• Ejemplo: La innovación financiera que mató a Wall Street en
el 2008 (supuestamente).
• ABS: asset backed securities. Por ejemplo: CDO: collateralized debt
obligation. Supongamos que existen 2 bonos con valor de carátula
de $1. Si hay quiebra (default) el bono paga $0, o si no paga $1. La
probabilidad de quiebra de cada bono es pD .
• Formemos un portafolio con esos 2 bonos y emitamos derechos
“senior” y “junior”, cada uno con valor de carátula de $1. El
derecho junior absorbe el primer $1 de pérdida. ¿Cuál es la
probabilidad de default del derecho senior?
• El formar portafolios permite crear activos menos riesgosos que los
activos dentro de ese portafolio...¿magia? No, ¡baja correlación!
Esto no funciona si los activos están altamente correlacionados.
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prob no pago bono 1 = 20%
Prob no pago bono senior = 4%
Introducción Riesgo-Retorno Portafolios Diversificación
Diversificación y Crisis Financiera
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Introducción Riesgo-Retorno Portafolios Diversificación
Diversificación y Crisis Financiera
Una cita interesante del CEO de Citigroup Charles Prince en julio
de 2007 (se refeŕıa a leveraged buyouts):
“As long as the music is playing, you’ve got to get up and dance.
We’re still dancing”
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Introducción Riesgo-Retorno Portafolios Diversificación
Temas
1. Introducción Riesgo Retorno
2. Álgebra de Portafolio
3. Diversificación
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Introducción Riesgo-Retorno Portafolios Diversificación
Diversificación: Concepto
• Concluimos que por fórmula de varianza con dos activos: si
⇢ < 1 =) �p menor que promedio de � activos.
• Repartiendo los recursos entre distintos activos se reduce la
exposición a las fluctuaciones de activos particulares.
• ¿Cómo funciona esto?
• Si ⇢ < 1 activos NO se mueven juntos todo el tiempo
• Ejemplo: caso de 2 activos con ⇢ = 0, equal weighted, igual
varianza
�p =
�2
4
+
�2
4
=
�2
2
• Con más activos varianza se hace cada vez menor
Felipe Aldunate Escuela de Administración UC Tema 4 - Riesgo-Retorno y Diversificación 29
Introducción Riesgo-Retorno Portafolios Diversificación
Portafolios con n activos
• Volvamos al caso de n activos
• ¿Cuánto contribuye un activo al retorno esperado y la
varianza de un portafolio?
• Media
E (Rp) =
nX
i=1
!iE (Ri )
• Activo i : !iE (Ri )
• Varianza:
�2p =
8
>>><
>>>:
!2
1
�2
1
+ !
1
!
2
�
12
+ . . .+ !
1
!n�1n
+!
1
!
2
�
12
+ !2
2
�2
2
+ . . .+ !
2
!n�2n
...
+!
1
!n�1n + !2!n�2n + . . .+ !2n�
2
n
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Introducción Riesgo-Retorno Portafolios Diversificación
Portafolio con n Activos: Varianza
• Esto sugiere una descomposición interesante
�2p =
8
>>>>>>>>>>><
>>>>>>>>>>>:
!
1
�
!�2
1
+ !
2
�
12
+ . . .+ !n�1n
�
| {z }
�
1,p
+!
2
�
!
1
�
12
+ !
2
�2
2
+ . . .+ !n�2n
�
| {z }
�
2,p
...
+!n
�
�
1n + !2�2n + . . .+ !n�
2
n
�
| {z }
�n,p
�2p =!1�1,p + !2�2,p + . . .+ !n�n,p
Felipe Aldunate Escuela de Administración UC Tema 4 - Riesgo-Retorno y Diversificación 31
Introducción Riesgo-Retorno Portafolios Diversificación
Portafolio con n Activos: Varianza
• Noten que podemos escribir la fórmula de la varianza de la
siguiente manera
�2p =
nX
i=1
nX
j=1
!i!j�ij =
nX
i=1
!2i �
2
i
| {z }
A
+
nX
i=1
X
j 6=i
!i!j�ij
| {z }
B
• Los términos A y B tienen una interpretación natural;
(A) Suma de riesgos propios
(B) Suma de riesgos cruzados
• Pensemos en la contribución de estos distintos componentes
• Supongamos el caso de 3 activos
• Número total de términos
• Número de riesgos individuales
• Número de covarianzas
• Número de covarianzas distintas
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Introducción Riesgo-Retorno Portafolios Diversificación
Portafolio con n Activos: Varianza
• Podemos resumir esto en una tabla
Activos 2 3 10 25 50 100
Riesgos Indiv 2 3 10 25 50 100
Núm de covarianzas 2 6 90 600 2450 9900
Total 4 9 100 625 2500 10000
Covar/Total (%) 50 67 90 96 98 99
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Andres Medina
En los portafolios importan mucho más las covarianzas y no tanto las varianzas individuales
Introducción Riesgo-Retorno Portafolios Diversificación
Portafolio con n Activos: Diversificación
• Pensemos en el caso de muchos activos =) n se acerca a 1
• Asumamos igual ponderación para todos los activos.
�2p =
nX
i=1
(1/n)2�2i +
nX
i=1
X
j 6=i
(1/n)(1/n)�ij
=(1/n)2
nX
i=1
�2i + (1/n)
2
nX
i=1
X
j 6=i
�ij
• Definamos
�2 =
Pn
i=1 �
2
i
n
�ij =
Pn
i=1
P
j 6=i �ij
n
2 � n
• En la última expresión usamos n2 � n porque ese es el número
de términos que tenemos en los riesgos cruzados.
Felipe Aldunate Escuela de Administración UC Tema 4 - Riesgo-Retorno y Diversificación 34
Andres Medina
Estamos buscando que todos los elementos de la diagonal sean iguales entre sí y los que están fuera también lo sean, entre sí. 
Introducción Riesgo-Retorno Portafolios Diversificación
Portafolio con n Activos: Diversificación
• Reemplazando estas dos definiciones en la fórmula para la
varianza del portfolio:
�2p =(1/n)
2
n�2 + (1/n)2(n2 � n)�ij
=
�2
n
+ �ij �
�ij
n
• El primer y el último término del lado derecho convergen a 0
cuando n crece.
• Nos quedamos con �ij que corresponde a una “covarianza
promedio” de los activos
• Este valor nos muestrala varianza que podŕıamos alcanzar en
un portafolio altamente diversificado (y con ponderadores
iguales para todos los activos).
Felipe Aldunate Escuela de Administración UC Tema 4 - Riesgo-Retorno y Diversificación 35
Andres Medina
Riesgo sistemático es el riesgo que por más q meta y meta acciones, no me puedo echar. Es un riesgo que no se puede diversificar. Es algo que le pega a todas las acciones, como si a toda la economía chilena le fuera mal, por ejemplo. 
Cuando hacemos un portafolio diversificado, es como si no tuviera riesgo idiosincrático. N tiende a infinito
Introducción Riesgo-Retorno Portafolios Diversificación
Portafolio con n Activos: Ejemplo Diversificación
• Supongamos que tenemos un portafolio con ponderadores
iguales para todas las acciones.
• Suponga retornos independientes con volatilidad 40% y
E(R)=10%.
Felipe Aldunate Escuela de Administración UC Tema 4 - Riesgo-Retorno y Diversificación 36
Introducción Riesgo-Retorno Portafolios Diversificación
Portafolio con n Activos: Ejemplo Diversificación
• Supongamos que tenemos un portafolio con ponderadores
iguales para todas las acciones.
• Supongamos que las acciones tienen igual volatilidad de 40%.
Felipe Aldunate Escuela de Administración UC Tema 4 - Riesgo-Retorno y Diversificación 37
Andres Medina
Aunque sigamos metiendo acciones, no va a bajar la línea roja. 
Andres Medina
El riesgo diversificable serían los términos que están partidos por N en la fórmula. Los no partidos por N corresponden al no diversificable
Introducción Riesgo-Retorno Portafolios Diversificación
Recordemos: Riesgo Sistemático vs No Sistemático
• Riesgo sistemático
• Riesgo “agregado” que puede afectar a todos los instrumentos
financieros de la econoḿıa de manera conjunta. Este riesgo no
puede ser eliminado mediante diversificación.
•
Ej: Sorpresas en variables macroeconómicas.
• Riesgo NO sistemático
• Parte del riesgo que afecta solamente a un activo o un grupo
de activos espećıfico. Este riesgo puede ser eliminado al tener
portafolios suficientemente diversificados.
•
Ej: Siniestros y accidentes locales.
• Al inversionista profesional sólo le preocupa el riesgo
sistemático.
Felipe Aldunate Escuela de Administración UC Tema 4 - Riesgo-Retorno y Diversificación 38
Andres Medina
El sistemático le importaría a un inversionista y el no sistemático no. Está dispuesto a tomar riesgo sistemático solo si tiene retornos más altos, solo si le pagan por eso. 
Solo va a haber un premio por riesgo sistemático. 
Introducción Riesgo-Retorno Portafolios Diversificación
Diversificación
Resumen
• Diferencia entre cobertura/hedging y diversificación
• Hedging: combinaciones de activos riesgosos reducen riesgo de
un portafolio. Ej: Seguros.
• Diversificación: repartir ahorros entre distintos activos para
reducir exposición a un shock en particular.
• Lecciones de diversificación
1. Reduce riesgo.
2. Pero esto tiene un ĺımite – no todo riesgo es eliminable con
diversificación.
• En un portafolio bien diversificado
• Varianza de cada activo contribuye poco.
• Covarianzas determinan el riesgo del portafolio.
Felipe Aldunate Escuela de Administración UC Tema 4 - Riesgo-Retorno y Diversificación 39
Andres Medina
Hedging es como un seguro, comprar algo con correlación negativa. 
Diversificación es como poner los huevos en distintas canastas. 
Introducción Riesgo-Retorno Portafolios Diversificación
Diversificación Verdadera y Falsa
• Al repartir mis ahorros en activos con correlación imperfecta
reduzco mi exposición a las fluctuaciones de un activo en
particular.
• Por ejemplo, pensemos en el caso de N activos, todos con
igual media R̄ y varianza �2, pero sin correlación entre ellos.
• Se puede mostrar que la varianza de un portafolio
equal-weighted de estos activos es:
Var
✓
R
1
+ ...+ RN
N
◆
= NVar
✓
Ri
N
◆
= N
�2
N
2
=
�2
N
• Al aumentar el número de activos la varianza tiende a cero
porque no hay correlación entre ellos (En el caso de que si
exista, la varianza tiende a la covarianza promedio entre los N
activos)
Felipe Aldunate Escuela de Administración UC Tema 4 - Riesgo-Retorno y Diversificación 40
Introducción Riesgo-Retorno Portafolios Diversificación
Diversificación Verdadera y Falsa
Falsa diversificación:
• Invertir más en distintos activos en vez de repartir un monto
dado entre distintos activos.
• Veamos un ejemplo (Samuelson 1963):
• Cuenta que le ofreció a un colega una apuesta en que si saĺıa
cara le pagaba $2000 y sino perd́ıa $1000.
• Su colega le respondió que no le interesaba, porque la pérdida
de $1000 le doleŕıa más que la ganancia de $2000, pero que śı
aceptaŕıa si repiten la apuesta 100 veces.
• ¿Qué opinan, tiene sentido?
Felipe Aldunate Escuela de Administración UC Tema 4 - Riesgo-Retorno y Diversificación 41
Introducción Riesgo-Retorno Portafolios Diversificación
Diversificación Verdadera y Falsa
• La loteŕıa entonces consiste en ganar 200% con probabilidad
0.5 o perder 100% con probabilidad 0.5.
• Para una apuesta:
• Retorno esperado: 0,5⇥ 200% + 0,5⇥ (�100%) = 50%
• Desviación estándar:
� =
�
0,5⇥ (200� 50)2 + 0,5⇥ (�100� 50)2
� 1
2 = 150%
• Como las apuestas son independientes,
• El retorno esperado es independiente del número de apuesta y
es igual a 50%.
• La desviación estándar de la tasa de retorno es �(n) = �p
n
) La desviación estándar de la tasa de retorno promedio, es
menor que la de una sola apuesta. Parece que el colega de
Samuelson estaba en lo correcto.
Felipe Aldunate Escuela de Administración UC Tema 4 - Riesgo-Retorno y Diversificación 42
Introducción Riesgo-Retorno Portafolios Diversificación
Diversificación Verdadera y Falsa
• El problema del razonamiento anterior, es que estamos
comparando retornos para portafolios que no son del mismo
tamaño.
• Cada apuesta aumenta en $1000 nuestra inversión total.
• Si vemos los flujos en vez de los retornos:
•
E [R] = 0,5⇥ 2000 + 0,5⇥ (�1000) = $500
• �R =
�
0,5⇥ (2000� 500)2 + 0,5⇥ (�1000� 500)2
� 1
2 =
$1500
• Entonces para “n” apuestas independientes:
•
E [R(n)] = $500n
•
Varianza
�Pn
i=1
�
= n�2R ) �R(n) = �R ⇥
p
n = 1500⇥
p
n
Felipe Aldunate Escuela de Administración UC Tema 4 - Riesgo-Retorno y Diversificación 43
Introducción Riesgo-Retorno Portafolios Diversificación
Diversificación Verdadera y Falsa
• Entonces concluimos que la desviación estándar del retorno en
dólares aumenta con la ráız del número de apuestas, mientras
la desviación estándar de la tasa de retorno disminuye por el
mismo factor (
p
n).
Felipe Aldunate Escuela de Administración UC Tema 4 - Riesgo-Retorno y Diversificación 44
Introducción Riesgo-Retorno Portafolios Diversificación
Diversificación Verdadera y Falsa
Versión especialmente nociva y extendida de esta falacia:
”diversificación intertemporal”.
• Ejemplo: “Ud. que es joven invierta en acciones porque en el largo
plazo los años buenos son más que los malos”
• Invertir por 2 periodos consecutivos es como invertir en 2 activos del
ejemplo anterior: ¡el riesgo también se multiplica por 2!
• La relación riesgo/retorno del portafolio no cambia necesariamente
al invertir por 2 periodos en vez de por uno. (¿Qué es necesario para
que śı cambie?)
• ¿De dónde viene en parte esta falacia? Confusión entre desviación
estándar del retorno (�) y error estándar del retorno promedio
( �p
T
). Es cierto que con más años podemos estimar el retorno
promedio con mayor confianza, pero lo que entra en la función de
utilidad es la desviación estándar que no necesariamente cae con el
horizonte (Ver BKM Cap. 7.5).
Felipe Aldunate Escuela de Administración UC Tema 4 - Riesgo-Retorno y Diversificación 45
Introducción Riesgo-Retorno Portafolios Diversificación
Diversificación Verdadera y Falsa
Intuición
• Volviendo al ejemplo de Samuelson y la moneda
• Si tiramos la moneda 1000 veces en vez de 10, la proporción
de veces que salga cara probablementeva a estar más cerca de
50% cuando lo hagamos 1000 veces.
• Pero en general el número total de caras sobre/bajo 500 (vs
5) va a ser mayor en el primer caso.
• Por ejemplo 5004 vs. 9 caras al tirar 1000 10 veces la moneda.
Felipe Aldunate Escuela de Administración UC Tema 4 - Riesgo-Retorno y Diversificación 46
Andres Medina
**504 o 10.000**
Repaso Media y Varianza
Media y Varianza
Repaso
• Cuando tenemos una variable que puede tomar distintos
valores (una variable aleatoria) podemos calcular una serie de
medidas (momentos)
• Por ahora nos enfocaremos en dos: esperanza o media, y
varianza (y la desviación estándar)
• La media o esperanza de una variable X se define como
E (X ) =
nX
i=1
pixi (9)
• La varianza y la desviación estándar se definen como:
V (X ) =
nX
i=1
pi (xi � E (X ))2 (10)
�X =
p
V (X ) (11)
•
pi es la probabilidad de observar el valor xi
Felipe Aldunate Escuela de Administración UC Tema 4 - Riesgo-Retorno y Diversificación 47
Repaso Media y Varianza
Media y Varianza
Repaso
• Práctica: muchas veces observamos series ex-post
=) observamos realizaciones
• Podemos calcular esperanzas y varianzas muestrales con los
datos observados
• Media
X̄ =
Pn
i=1 xi
n
(12)
• Varianza
V (X ) =
Pn
i=1(xi � X̄ )2
n � 1 (13)
�X =
p
V (X ) (14)
Felipe Aldunate Escuela de Administración UC Tema 4 - Riesgo-Retorno y Diversificación 48
Repaso Media y Varianza
Media y Varianza
Ejemplo
• Consideremos una activo que tiene los siguientes retornos
Escenario Bueno Regular Malo
Probabilidad 0.1 0.7 0.2
Retorno (en%) 20 5 -5
• Media
E (X ) =0,1⇥ 20 + 0,7⇥ 5 + 0,2⇥�5
=4,5
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Repaso Media y Varianza
Media y Varianza
Ejemplo
• Varianza
V (X ) =0,1⇥ (20� 4,5)2 + 0,7⇥ (5� 4,5)2 + 0,2⇥ (�5� 4,5)2
=42,25
• Desviación estándar
�X =
p
42,25 = 6,5
Felipe Aldunate Escuela de Administración UC Tema 4 - Riesgo-Retorno y Diversificación 50
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	Diversificación
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	Repaso Media y Varianza