Matematica financiera - portafolios optimos y Teoria de precios

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Universidad de Nacional del Centro de la Provincia de Buenos Aires
Facultad de Ciencias Exactas
Matemática financiera:
Portafolios óptimos y Teoŕıa de precios
Tesis presentada por Carla Antonella Marino Lacunza para obtener el t́ıtulo de
Licenciada en Ciencias Matemáticas
Director: Pablo A. Lotito Codirector: Iván Degano
Julio de 2022
Departamento en Matemáticas
Agradecimientos
A Pablo Lotito e Iván Degano por su paciencia y comprensión en todo este proceso.
A mi pareja, Pablo Polvoŕın por estar, acompañarme y darme tranquilidad.
Al Departamento de Matemáticas por el apoyo.
A mis padres por seguirme dando la oportunidad de seguir estudiando.
A Maŕıa Laura Maestri por sus palabras de aliento y consejos en este camino.
A mis compañeros y amigos de estudio de la Universidad, de tenis de mesa y muchos más.
Muchas gracias a todos por acompañarme a lograr un sueño.
i
Índice general
Agradecimientos I
Introducción VI
I Teoŕıa de Portafolios de Markowitz 1
1. Conceptos preliminares 2
1.1. Retorno de un activo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2. Ventas en corto (short sales) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3. Retorno de un portafolio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4. Valor actual neto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5. Payoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.6. Elección de proyectos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.6.1. Teorema de la armońıa (caso determińıstico) . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.7. Arbitraje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2. Teoŕıa de Markowitz 9
2.1. Diagrama de un portafolio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.1. Diagrama media-desviación estándar de un portafolio con dos activos . . 12
2.1.2. Caso general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.3. Frontera eficiente y conjunto de varianza mı́nima . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2. Modelo de Markowitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3. Teorema de los dos fondos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4. Teorema de un fondo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
II Como determinar el precio de un activo 28
3. Modelo de valoración de activos financieros 29
ii
ÍNDICE GENERAL iii
3.1. CAPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.1.1. El beta como medida de riesgo significativa . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2. Fórmula CAPM de tasación de activos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3. Elección de proyectos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3.1. Teorema de la armońıa caso estocástico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4. Teoŕıa de precios por proyección 46
4.1. Precios mediante proyección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.1.1. Proyección estándar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.1.2. Extensión ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.1.3. Formulación en términos de la covarianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.2. Inclusión de un activo libre de riesgo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.3. Tasación por activo más correlacionado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.4. Extensión del teorema de la armońıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
III Funciones de Utilidad 67
5. Teoŕıa de utilidad esperada 68
5.1. Concavidad y aversión al riesgo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.2. Problema del inversor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.2.1. Mercado completo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.3. Caso particular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.3.1. Mercado no completo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Conclusiones 80
A. Propiedades de esperanza y covarianza 1
B. Espacios de Hilbert 5
C. Tablas de retornos 8
Índice alfabético 15
Índice de figuras
1.1. El plan operativo A maximiza el VAN igual a P . El plan B posee menor VAN
igual a P ′. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2. El plan operativo B es el seleccionado si se maximiza el retorno. . . . . . . . . . 8
2.1. Ejemplo de diagrama R̄− σ. Los activos son descriptos como puntos del diagrama 11
2.2. Región factible para las posibles combinaciones de dos activos . . . . . . . . . . . 14
2.3. La región factible para los activos A,B,1,2 y 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4. Frontera eficiente de Markowitz para el ejemplo 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5. Región factible con la posibilidad de invertir en un activo libre de riesgo. . . . . 25
3.1. Linea de mercado de capitales, esta semi-recta esta determinada por la tasa libre
de riesgo y el portafolio del mercado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2. El conjunto de posibles combinaciones entre un activo y el portafolio del mercado
trazan una una curva sobre el diagrama r̄ − σ. La curva es tangente a la linea de
mercado de capitales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3. Riesgo sistemático y riesgo espećıfico. Únicamente los activos con sólo riesgo sis-
temático se localizan sobre la ĺınea de mercado de capitales, los que poseen además
riesgo espećıfico a la derecha de esta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.1. Interpretación del retorno impĺıcito libre de riesgo R0. . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.1. Ejemplos de funciones de utilidad para un inversor averso al riesgo. . . . . . . . 69
5.2. Concavidad y aversión al riesgo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
C.1. Las cotizaciones de las 10 acciones trabajadas y del fondo S & P 500 en el periodo. 9
C.2. Los retornos mensuales de las 10 acciones en el periodo considerado. . . . . . . . 10
C.3. Los retornos del fondo S & P 500, del fondo Nasdaq 100 y el retorno del activo
libre de riesgo en el periodo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
C.4. Activos de la frontera eficiente aplicando el teorema de los dos fondos. . . . . . . 12
C.5. Matriz Y para los payoffs del ejemplo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
iv
ÍNDICE DE FIGURAS v
C.6. Matriz Y −1 para los payoffs del ejemplo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Introducción
A comienzos de la década del 50 comenzó a formularse la teoŕıa moderna de portafolios donde
el art́ıculo de Harry Markowitz ”portfolio selection” [8] fue la exposición pionera de esta teoŕıa.
Un portafolio es un conjunto de activos financieros. Un activo financiero es un instrumento que
otorga a su tenedor un derecho a percibir flujos de dinero en el futuro. Estos se clasifican en
instrumentos de renta fija, cuyos rendimientos son deterministas como los bonos del tesoro, y
activos financieros de renta variable, acciones y bienes de consumo cuyos rendimientos tienen
incertidumbre. El mercado financiero en el que se negocian activos financieros a largo y mediano
plazo es llamado mercado de capitales. Acuden agentes tanto para financiarse como para realizar
inversiones.
La economı́a financiera avanzó significativamente con Markowitz quien desarrolló un mode-
lo para la elección de portafolios compuesto por activos a renta variable para un periodo de
tiempo, el cual implicó la posterior unión entre la teoŕıa económica y la capacidad práctica de
obtener resultados observables mediante lamatemática y la estad́ıstica. Al incorporar la media
y la varianza de sumas ponderadas de variables aleatorias al estudio de activos, Markowitz no
sólo propuso métodos de cuantificación del desempeño de portafolios, sino que también logró
relacionar el rendimiento y el riesgo en la toma de decisiones económicamente racionales.
Posteriormente, en 1958 James Tobin (véase [15]) extiende el análisis del modelo de Marko-
witz. Se preguntó, que sucede si todos los inversores pueden endeudarse o prestar a una misma
tasa de interés libre de riesgo. La respuesta al interrogante fue sorprendente. Todos los inversores
pueden elegir el mismo portafolio siendo indiferente su actitud hacia el riesgo. Tal solución lla-
mada portafolio del mercado, fue de gran relevancia para el desarrollo de modelos de equilibrio
económico, como el modelo de valoración de activos financieros (desarrollado por Sharpe [13],
Lintner [3] y Mossin [11]) y posteriores.
Los avances de Markowitz, Sharpe y Miller en la teoŕıa financiera los hicieron acreedores del
premio Nobel de economı́a en 1990. Este reconocimiento viene a significar la consolidación de una
nueva zona cient́ıfica dentro de la Economı́a en la que el concepto clave es el estudio económico
de los mercados de capitales.
En la presente tesis se plantean dos ideas principales de la teoŕıa moderna de finanzas:
vi
INTRODUCCIÓN vii
• Selección de un portafolio óptimo para optimizar su rendimiento en un periodo de tiempo.
• Análisis de oportunidades de inversión centrándose en evaluar flujos de caja esperados, es decir
el conjunto de los flujos de ingresos y gastos de dinero que tiene una empresa en un periodo
dado, en términos de valor actual mediante la valuación de activos.
Se puede diferenciar entre el valor del mercado o el valor justo (o razonable) de un activo.
• El valor del mercado es el valor a que cotiza un activo en el mercado, es la cantidad de dinero
que los inversionistas estarán dispuestos a pagar por un activo financiero y dependerá de
la oferta y demanda del t́ıtulo.
• El valor justo o económico es el valor actual del flujo de ingresos esperados. Una vez estima-
do por el inversor este podŕıa compararse con el valor de mercado cuando se encuentre
disponible.
La competencia de los inversores en busca de oportunidades de beneficio hará que su comporta-
miento dirija inmediatamente el precio del mercado hacia su valor justo. Por lo tanto se define
un mercado eficiente como aquel donde el valor de todos los activos en cualquier momento refleja
completamente la información pública disponible que conducen que el valor del mercado y justo
sean iguales.
Aunque los dos temas son abordados, este trabajo se focaliza principalmente en los diferentes
métodos de valuación de activos financieros. Se asumirá que el valor (o precio) de un activo es
su valor justo o valor actual de los flujos de caja esperados descontados a la tasa de rentabilidad
ofrecida o coste de capital. El que tiene la inversión o cantidad recibida al finalizar un periodo
de tiempo se denomina payoff, y se representa por una variable aleatoria. Asumiendo que los
precios de los activos de un mercado de capitales no pueden cambiar, se quiere determinar el
precio de un nuevo activo en ese mercado. El precio del nuevo activo puede ser determinado por
los precios de los activos existentes.
El caso más simple es cuando el payoff de un nuevo activo puede ser expresado como la
combinación lineal de los payoffs de los activos existentes tasados. El precio del nuevo activo
deberá ser la misma combinación lineal de los precios. Por lo tanto, el precio es determinado por
la linealidad.
El modelo de valoración de activos financieros (CAPM), propuesto entre otros por Sharpe
[13] en 1964, da el precio de un activo con riesgo en un entorno de media-varianza asumiendo que
el mercado se encuentra en equilibrio y es completo. En la práctica el mercado es reemplazado
por uno de los ı́ndices populares como el S&P 500, y el modelo es utilizado aunque el payoff del
activo no esté entre los generados por el mercado. Pero la hipótesis de que el mercado es eficiente,
la cual conduce a una solución del problema de Tobin, no es sólida, y su utilización en la fórmula
del CAPM introduce errores.
INTRODUCCIÓN viii
Otro de los métodos de valuación que se analiza está basado en los conceptos de proyección
(véase [6]). El precio del nuevo activo puede obtenerse proyectando sobre el subespacio generado
por los payoffs correspondientes a los activos del mercado, conociendo a priori los precios de
estos. Los resultados por el CAPM para tasar un activo pueden ser replicados al utilizar un
portafolio de norma mı́nima, con la ventaja que este siempre existe.
Otra alternativa muy utilizada es la fórmula de fijación de precios por correlación (CPF)
basada en reemplazar el portafolio del mercado por un activo comercializado que este más corre-
lacionado con el activo cuyo precio se desea obtener. Este modelo parece tener ventaja cuando
los activos con payoffs estrechamente correlacionados con los del activo cuyo precio se va a valuar
pueden identificarse fácilmente por la naturaleza de la situación. La fórmula de correlación de
precios proporciona un marco que se puede utilizar con fines teóricos y como base para un cálculo
eficiente.
La decisión de invertir es una de las más complejas que tiene que tomar las empresas. Supone
una evaluación de los negocios disponibles aśı como de su potencial beneficio dado un nivel de
riesgo. Una manera de evaluar la inversión, en casos determińısticos, es empleando métodos como
el valor actual neto (VAN) y la tasa interna de retorno, aunque ambos métodos no dan siempre el
mismo resultado. En el caso estocástico, las fórmulas de valuación CAPM y por correlación son
utilizadas para calcular el VAN del proyecto de una empresa. Los inversores, en cambio, utilizan
el concepto de frontera eficiente para sus decisiones. Existe un concepto muy poderoso que es
el Teorema de la armońıa. De acuerdo con este, el propietario de una empresa y alguien que
invierta en ella seguirán la misma estrategia operativa, aunque sus objetivos sean diferentes. En
[2] se desarrolla un modelo, basado en la fórmula por correlación y en el teorema de la armońıa,
para obtener la valuación de empresas que están por salir al mercado.
La teoŕıa de la utilidad esperada, es una teoŕıa que describe un modelo de elección racional
con resultados inciertos. De esta forma, la teoŕıa nos permite clasificar los resultados en términos
de la utilidad de un activo o variable aleatoria, y representarlos mediante la función que lleva
su nombre: la función de utilidad. Aśı, el resultado escogido es el que presenta una utilidad más
elevada. En 1944 comenzó a desarrollarse la teoŕıa cuando el matemático húngaro-estadounidense
John von Neumann, y el economista austriaco Oksar Morgenstern, publicaron su obra ((Teoŕıa
de juegos y comportamiento económico)) [12]. Esta obra ha sido considerada como principal
fundamento de la teoŕıa de la utilidad esperada. Los autores desarrollan un conjunto de axiomas
para las relaciones de preferencia con el fin de garantizar que la función de utilidad citada funcione
correctamente.
La valuación por proyección tiene la desventaja de que no esta directamente relacionada
con la actividad del mercado o de la elección individual del inversor. El enfoque de proyección es
extendido a portafolios que son valuados mediante una función de utilidad, especificando distintas
funciones se agregan métodos adicionales.
Para facilitar la compresión sobre el desarrollo de la teoŕıa moderna de portafolios y la teoŕıa
INTRODUCCIÓN ix
de precios en el presente trabajo se tomaron 10 acciones pertenecientes al ı́ndice S&P 500, ellas
son Pfizer Inc., Apple Inc., Amazon, Johnson & Johnson, Chevron Corporation, Philip Morris
International, Devo Energy,Pepsico Inc., Starbucks Corp. Se consideraron los datos históricos
desde Enero 2015 a Diciembre de 2019 proporcionados por Yahoo finance.
Se calcula el problema de Markowitz (véase [5]) para un retorno fijo. Se aplica el teorema
de dos fondos para encontrar la frontera eficiente. Se incorpora luego un activo libro de riesgo,
utilizando un bono del tesoro a 5 años, y se encuentra el portafolio del mercado dado por el
teorema de un fondo.
Para ejemplificar la valuación de activos se asume que el mercado de capitales sólo son
negociables las 10 acciones consideradas. Por un lado se calculan los betas de estas 10 acciones
respecto al portafolio del mercado calculado previamente y es comparado con sus respectivos
betas respecto al fondo ı́ndice S&P 500. Con estos datos se determinan los rendimientos esperados
de los activos y se muestra que la fórmula de valuación de activos CAPM es una tautoloǵıa, es
esencialmente la reafirmación de las condiciones necesarias para el portafolio óptimo.
Se determina el portafolio de norma mı́nima para la utilización de la fórmula de valuación por
norma mı́nima. Y con la incorporación del activo libre de riesgo se calcula el precio para un nuevo
activo. Por otro lado, considerando que un inversor utiliza la función de utilidad logaŕıtmica con
la posibilidad de invertir en las 10 acciones mencionadas y en el activo libre de riesgo se calcula
el portafolio óptimo resolución del problema del inversor planteado en [5]. Con este resultado,
como se plantea en [6], se obtiene el precio nivel cero para un nuevo activo.
La tesis consta de tres partes. La primera de dos caṕıtulos, uno preliminar detallando algunos
conceptos importantes para el desarrollo del trabajo y la incorporación del teorema de la armońıa
para el caso determińıstico.
El segundo caṕıtulo describe la teoŕıa de Markowitz. Basándose en el criterio de media-
varianza se definen el conjunto de varianza mı́nima y de frontera eficiente, se desarrolla el concepto
de diversificación. Se describe el problema de optimización para encontrar el conjunto de varianza
mı́nima. Se enuncia y demuestra el teorema de dos fondos y el teorema de un fondo. Estos
resultados brindan los fundamentos para el desarrollo del CAPM.
En la segunda parte se desarrollan algunos modelos de valoración de activos. En el caṕıtulo 3
se describe el modelo CAPM. Se muestra la relación del retorno esperado de un activo en función
de su beta. Se muestra porque el beta es una medida de riesgo significativa. Se define el riesgo
sistemático y el riesgo especifico. Se enuncia la fórmula de valuación de activos y su fórmula
equivalente, la que permite verificar la propiedad de linealidad. Por último se enuncia el teorema
de la armońıa.
En el caṕıtulo 4 se describe la valuación de activos por proyección estándar, tasación por
norma mı́nima, calculando el vector de norma mı́nima considerando solo activos con riesgo y
luego con la posibilidad de incluir un activo libre de riesgo. Se describe el modelo de valuación
por correlación. Se enuncia el teorema de la armońıa aplicando la fórmula de valuación de activos
INTRODUCCIÓN x
por correlación.
La tercera parte se centra en la teoŕıa de utilidad. En el caṕıtulo 5 se enuncia la definición de
función de utilidad con algunos ejemplos. Se describe la relación entre concavidad y aversión al
riesgo. Se desarrolla el problema del inversor para mercados completos con el doble propósito de
encontrar el portafolio óptimo y valuar los activos. Se describe un caso especial de valuación al
tomar la función logaŕıtmica como función utilidad. Se analiza el método de valuación en espacios
parcialmente completos.
Parte I
Teoŕıa de Portafolios de
Markowitz
1
Caṕıtulo 1
Conceptos preliminares
En este caṕıtulo se definen algunos conceptos claves involucrados a lo largo del trabajo, pensa-
do en aquellas personas que no están inmersas en matemática financiera. Los conceptos elegidos
son: retorno de un activo y de un portafolio, ventas en corto, valor actual neto, payoff y arbitraje.
Además se incluye la demostración del teorema de la armońıa para el caso determińıstico.
1.1. Retorno de un activo
Un instrumento de inversión que puede ser comprado o vendido se le llama activo. Bonos,
acciones, contratos futuros, opciones son algunos ejemplos. Si el activo se compra en un tiempo
inicial 0, y es vendido en un tiempo final 1, entonces el retorno total del activo está definido por:
retorno total =
cantidad recibida
cantidad invertida
Denotando por X0 a la cantidad invertida, X1 la cantidad recibida y R el retorno total la
ecuación anterior se puede reescribir como:
R =
X1
X0
.
También se define la tasa de retorno r por
r =
X1 −X0
X0
.
Por simplicidad, la palabra retorno se utiliza en lugar de retorno total y también como tasa
de retorno. Se distingue por el tipo de letra. Es claro ver a partir de las definiciones que están
relacionadas por:
R = 1 + r
y por lo tanto, X1 = X0(1 + r). Con esto se observa que la tasa de retorno actúa como una tasa
de interés.
2
CAPÍTULO 1. CONCEPTOS PRELIMINARES 3
1.2. Ventas en corto (short sales)
Una venta en corto (o venta en descubierto) consiste en tomar en préstamo una o varias
unidades de un activo con el fin de venderlas al precio actual de mercado, y posteriormente
adquirirlas a un precio supuestamente más bajo para devolverlas a su dueño. Aśı, un agente
vende en corto cuando cree que el precio futuro del activo va a caer, de tal forma que obtenga
una ganancia en la diferencia entre el precio actual y el precio futuro. No obstante, existe el
riesgo de que el precio del activo suba en lugar de caer, y el agente obtenga pérdidas.
Es decir, al vender el activo prestado se recibe por él una cantidad X0. En una fecha posterior
se paga el préstamo comprando el activo en una cantidad X1, devolviéndolo al prestatario. Si la
cantidad X1 es menor que la cantidad original X0, se tiene un beneficio de X0−X1. Por lo tanto
se espera que el precio baje, pero las pérdidas podŕıan ser ilimitadas si el precio se incrementa.
En muchas instituciones y páıses la han prohibido, definitivamente o temporalmente. Durante
la crisis financiera de 2008-2009 se decidió proceder a prohibir estas operaciones en ciertos casos
como el Reino Unido, Estados Unidos, Alemania o más adelante páıses como Irlanda, Australia,
Dinamarca o Japón entre otros. En el 2020, Corea del Sur proh́ıbe las operaciones en corto
durante 6 meses. En España y Italia también lo hacen temporalmente con el objetivo de evitar
movimientos desordenados en el mercado provocados por el impacto del coronavirus.
Si se desea determinar el retorno asociado a esta operación, primero se recibe una cantidad
X0 y luego se paga una cantidad X1 entonces, el desembolso inicial es −X0 y el reembolso final
es −X1. Por lo tanto, el retorno total es:
R =
−X1
−X0
=
X1
X0
.
Entonces, X0 y X1 quedan relacionados por la siguiente ecuación:
−X1 = −X0(1 + r).
1.3. Retorno de un portafolio
Se supone que un inversor tiene n activos disponibles para formar un portafolio con ellos.
El inversor asigna una cantidad total a invertir X0 por ellos, y escoge cantidades X0i ∈ R,
i = 1, 2, . . . , n tal que
∑n
i=1X0i = X0, donde X0i representa la cantidad invertida para el i-
ésimo activo. Si se permiten hacer ventas en corto, algunos X0i’s pueden ser negativos; en otro
caso son no-negativos.
Las cantidades invertidas pueden ser expresadas en fracciones de la cantidad invertida total,
es decir
X0i = wiX0 i = 1, 2, . . . , n
donde wi es el peso o la fracción del activo i en el portafolio. Claramente,
∑n
i=1 wi = 1, y si
algún wi es negativo significa que las ventas en corto son permitidas.
CAPÍTULO 1. CONCEPTOS PRELIMINARES 4
Se denota Ri al retorno total del activo i. Entonces la cantidad de dinero generada al final
del periodo para cada activo i es RiX0i = RiwiX0. Por lotanto, la cantidad total recibida al
finalizar el peŕıodo es
∑n
i=1RiwiX0. En consecuencia, el retorno total del portafolio es
R =
∑n
i=1RiwiX0
X0
=
n∑
i=1
Riwi (1.1)
Recordando que 1 + ri = Ri y
∑n
i=1 wi = 1, se obtiene
R = 1 + r =
n∑
i=1
(1 + ri)wi
=
n∑
i=1
wi +
n∑
i=1
riwi
=1 +
n∑
i=1
riwi.
Por lo tanto,
r =
n∑
i=1
wiri (1.2)
Es decir, el retorno total y la tasa de retorno del portafolio son sumas ponderadas del retorno y
la tasa de retorno de cada activo que la componen.
1.4. Valor actual neto
El valor actual neto, también conocido como valor actualizado neto o valor presente neto
(en inglés net present value), cuyo acrónimo es VAN (en inglés, NPV), es un procedimiento que
permite calcular el valor presente de un determinado número de flujos de caja futuros, originados
por una inversión.
Se supone que cada flujo de caja ocurre al finalizar cada periodo y se deposita en un banco
constante ideal1 y los flujos de caja son representados por la siguiente secuencia (x0, x1, . . . , xn),
x0 generalmente representa un pago o costo inicial y por lo tanto es negativo. El valor actual del
primer elemento es el mismo porque no le aplico descuento; a x1 se aplica el descuento a tasa
constante r su valor actual es x11+r , y aśı continuando se obtiene el valor actual de los flujos de
caja.
Definición 1 (Valor actual neto de la secuencia). Dado una secuencia de flujos de caja (x0, x1, . . . , xn)
y r la tasa de interés por periodo, el valor actual neto de la secuencia es:
V = x0 +
x1
1 + r
+
x2
(1 + r)2
+ . . .+
xn
(1 + r)n
(1.3)
1Se dice de un banco que posee tasas iguales para depósitos y préstamos independiente de la longitud de tiempo
en el que se aplica a interés compuesto, además sin cargos de comisiones por transacciones.
CAPÍTULO 1. CONCEPTOS PRELIMINARES 5
El valor actual de los flujos de caja descontados puede ser considerado como el pago presente
de la cantidad equivalente a la secuencia entera.
Según el criterio del VAN, se clasifican las inversiones (o proyectos) alternativos según sus
valores actuales. Dicho esto, la inversión mejor valuada es la que tiene el valor actual más alto.
En caso de que solo haya una inversión a evaluar, el criterio VAN recomienda que se proceda
con esa si su valor presente es positivo. Sin embargo, en la mayoŕıa de los casos reales, se debe
maximizar la VAN dado un conjunto de alternativas.
Un inconveniente es la dificultad de especificar una tasa de descuento sujeta a la hipótesis
de reinversión de los flujos netos de caja; se supone impĺıcitamente que los flujos netos de caja
positivos son reinvertidos inmediatamente a una tasa que coincide con el tipo de descuento, y
que los flujos netos de caja negativos son financiados con unos recursos cuyo coste también es
el tipo de descuento. En otras circunstancias el VAN es calculado con tasas diferentes para los
distintos periodos.
La Tasa interna de retorno (TIR) es otro importante concepto para el análisis de flujos de
caja. En un banco ideal constante, es la tasa de interés que iguala a 0 el valor actual neto de la
secuencia tomada en su totalidad. Su nombre proviene ya que da a entender la estructura interna
de la inversión.
Definición 2. Dado una secuencia de flujos de caja (x0, x1, . . . , xn), la tasa interna de retorno
es un valor r que satisface la ecuación:
0 = x0 +
x1
1 + r
+
x2
(1 + r)2
+ . . .+
xn
(1 + r)n
(1.4)
La TIR es el otro criterio, al igual que el VAN, para evaluar una inversión. Generalmente se
establece una tasa como base para compararla, si la TIR esta por encima de la tasa preestablecida
la inversión es considerable, de otra manera no.
1.5. Payoff
Es lo que paga el contrato al momento del ejercicio. El valor que tiene la inversión al finalizar
el periodo se denomina payoff , o valor de venta. Observar que en varias partes de la tesis se
toma como sinónimo de retorno. Esto se debe a que, si se denota a p la cantidad invertida en el
momento cero, y el payoff recibido al finalizar un periodo y R el retorno en ese periodo, se tiene:
y = pR. (1.5)
En particular cuando p = 1 el payoff es igual al retorno.
CAPÍTULO 1. CONCEPTOS PRELIMINARES 6
1.6. Elección de proyectos
En esta sección se comparan distintos criterios para clasificar una inversión. En el caso de-
termińıstico dos criterios que se usan son el valor actual neto (VAN) y la tasa interna de retorno
(definido en la sección 1.4). El objetivo es formular y demostrar un teorema que unifica ambos
criterios. Mostrando que ambas estrategias son equivalentes en un caso particular.
1.6.1. Teorema de la armońıa (caso determińıstico)
Se mostrará en esta sección una interpretación geométrica del teorema de la armońıa. Se
propone la siguiente situación: una persona es dueño de un nuevo producto, por lo tanto posee
los derechos y patentes del proyecto y cuenta con diferentes alternativas para llevarlo a cabo
(planes operativos). Estos diferentes planes se pueden representar en un gráfico como en la
Figura 1.1 donde el eje horizontal representa el costo, mientras que el eje vertical representa el
payoff después de un periodo.
De los posibles planes operativos sólo uno se llevará a cabo. El propietario considera que la
mejor opción es maximizar su VAN. Dada una tasa de retorno libre de riesgo r para el periodo, la
posibilidad de depositar dinero en un banco a esta tasa puede ser representada por una recta de
pendiente 1 + r; con depósito inicial igual al costo y el payoff será (1 + r)∗Costo. El propietario
puede usar esta pendiente para evaluar el VAN.
Tomará las rectas de pendiente 1+r y buscará la que se encuentre más a la izquierda que pase
por uno de los posibles puntos (un plan operativo), buscando un VAN máximo. Encontrando de
esta manera el plan operativo óptimo, como se observa en la Figura 1.1 denotado A. Una vez
situados en esta recta si se observa donde intercepta al eje de costos, en este punto el payoff es
cero (no se recibe dinero al finalizar el periodo), pero la distancia al origen denotada por P es el
beneficio obtenido ahora (como es negativo no es un costo sino una ganancia). Es decir, P es el
VAN.
Ahora, se supone que existe un inversor para financiar el proyecto, ofertando una porción del
costo inicial y tomando una parte del payoff . Él tendrá como objetivo maximizar el retorno de la
inversión. Gráficamente buscará la recta con mayor pendiente entre las que pasen por el origen
y los posibles planes operativos. En la Figura 1.2 muestra que esta recta pasa por otro punto B.
Por lo tanto B tiene una mayor tasa de retorno que A; pero su VAN P ′ es menor que el de A.
Oservación 1. Como se considera un sólo periodo de inversión, la secuencia de flujos de caja
tiene únicamente dos elementos. El payoff del plan operativo B es igual a su retorno por su
costo. Si se denota al retorno(B)= (1 + rB), donde rB es la tasa de retorno asociada; si cB es
el costo del plan operativo B, el VAN de los flujos de caja (−cB , (1 + rB)cB) es cero cuando se
considera la tasa de descuento rB para el periodo (ya que VAN= −cB +
(1 + rB)cB
1 + rB
= 0). Por
lo tanto, por la fórmula (1.4), rB es la tasa interna de retorno. Entonces maximizar el retorno
CAPÍTULO 1. CONCEPTOS PRELIMINARES 7
B
A
P ′
P Costo
Payoff
Figura 1.1: El plan operativo A maximiza el VAN igual a P . El plan B posee menor VAN igual
a P ′.
es equivalente a maximizar la TIR.
Si el propietario pide un préstamo en el banco para cubrir el plan A, suponiendo que el
plan A tiene un costo c0 y un payoff R0, la ganancia obtenida al finalizar el periodo será:
G = R0 − (1 + r)c0 ya que al finalizar el periodo se deberá pagar el préstamo. Entonces G =
(1+r)(−c0 +
R0
1 + r
) = (1+r)P , dado que P es el VAN de plan operativo A (aplicando la fórmula
(1.3) al flujo de cajas (−c0, R0)). Luego la ganancia al inicio tiene un valor actual igual a P .
Si el dueño decide vender el empredimiento en su totalidadexigirá al inversor como cobro la
cantidad P (ya que es su beneficio). El inversor cubrirá el total de los gastos con la posibilidad
de decidir el plan operativo a llevar a cabo. Para él, por lo tanto, el costo total es P más el costo
actual del plan que va a operar. Él busca maximizar el retorno payoff /(costo+P). Para encontrar
el plan óptimo se deberá rotar la recta alrededor de −P buscando la de mayor pendiente. Como
se observa en la Figura 1.1, este punto deberá ser A.
El inversor una vez que sea propietario si considera maximizar el VAN, el plan operativo A
será el elegido. Por lo tanto si decide comprarlo maximiza el retorno bajo el plan A siendo el
retorno (1 + r) %. Aunque los dos criterios de evaluación parecen estar en conflicto, el teorema
afirma seguir la misma poĺıtica es decir, maximizar el VAN bajo la suposición que los inversores
pagan el valor total.
Teorema 1 (Teorema de la armońıa). Los propietarios de una empresa y los inversores de
la empresa, que pagan el valor total de su participación en la respectiva empresa, operarán la
empresa exactamente de la misma manera, es decir, seguirán la misma estrategia operativa.
CAPÍTULO 1. CONCEPTOS PRELIMINARES 8
Figura 1.2: El plan operativo B es el seleccionado si se maximiza el retorno.
1.7. Arbitraje
Es arbitraje de tipo A cuando inmediatamente se obtiene una ganancia positiva sin payoff
futuro. Seŕıa el caso que se invierte en un activo o valor que paga 0 con certeza pero tiene un
precio negativo. Es razonable pensar que estas situaciones no ocurren.
Existe un arbitraje de tipo B si se considera la situación que un inversor tiene un costo no
positivo pero tiene una probabilidad positiva de obtener un payoff mayor a cero y probabilidad
cero de tener un rendimiento negativo. Sólo se aclara para desarrollar la teoŕıa, asumiendo que
tanto el tipo de arbitraje A y B no tienen posibilidad.
Caṕıtulo 2
Teoŕıa de Markowitz
Harry Max Markowitz (24 de agosto de 1927) desarrolló una teoŕıa en la cual los inversores
construyen portafolios basados exclusivamente en el riesgo y en el rendimiento esperado. Cuando
se invierte un capital en un portafolio se logra conseguir un rendimiento con menor riesgo que el
de invertir todo el capital en un solo activo. Este fenómeno es conocido como ”diversificación”.
Markowitz demostró que la diversificación no sólo depende del número de activos que lo componen
sino también de la correlación de los retornos de ellos.
El caṕıtulo inicia con la presentación de los conceptos de riesgo y rendimiento esperado para
un portafolio y la construcción de una representación gráfica para el mismo. La siguiente sección
explica cómo se compone un conjunto eficiente de portafolios de activos con riesgo que contenga
las mejores combinaciones de riesgo y rendimiento esperado, con la aplicación del teorema de dos
fondos. Más adelante se muestra que al incluir un activo cuyo retorno no es aleatorio es posible
construir portafolios con mejores combinaciones de riesgo-retorno aplicando el teorema de un
fondo.
2.1. Diagrama de un portafolio
Dado que el retorno futuro de los activos financieros es incierto, éste es considerado como
una variable aleatoria. Aśı, la incertidumbre hace que además de las tasas de retornos esperadas,
se deba tener en cuenta el riesgo de los activos financieros. Por este motivo, se hace uso de
distribuciones de probabilidad para estimar el rendimiento futuro de los activos financieros y el
riesgo asociado.
Sea r una variable aleatoria que representa la tasa de retorno de un activo, entonces se puede
expresar la tasa de retorno esperada como:
r̄ = E(r) =
m∑
i=1
ripi
9
CAPÍTULO 2. TEORÍA DE MARKOWITZ 10
en el caso discreto y en el caso continuo como:
r̄ = E(r) =
∫
r
xp(x)dx
donde p(r) representa la función de probabilidad para la variable r. Su varianza se define por:
σ2 = var(r) = E[(r − r̄)2].
Las tasas de retorno (y como aśı también los retornos) aleatorias de activos pueden ser
representadas por un diagrama bidimensional, en el cual de cada activo se toma la tasa media de
retorno r̄ y su desviación estándar σ como medida de riesgo, también conocida como volatilidad.
El eje horizontal corresponde a la desviación estándar y el eje vertical a la media. El diagrama
es llamado Diagrama de media-desviación estándar, también denotado como diagrama r̄ − σ o
diagrama R̄− σ según si se considera la tasa de retorno o el retorno.
En la Figura 2.1 se observa un ejemplo con 10 activos representados como puntos en el
diagrama R̄ − σ , tomando en este caso como eje vertical el retorno medio de cada activo. Se
puede observar que el activo con mayor retorno esperado es Amazon (AMZN) con una desviación
estándar del 8,089 %.
Si ahora se considera un portafolio compuesto por n activos con tasas de retorno aleatorias
r1, r2, . . . , rn y pesos wi respectivamente, la tasa de retorno en término de los individuales viene
dada por la expresión (1.2).
Aplicando esperanza a esta ecuación, se obtiene la tasa de retorno esperada del portafolio,
utilizando la propiedad de linealidad ((A.1))
r̄ = w1E(r1) + . . .+ wnE(rn) =
n∑
i=1
wir̄i (2.1)
Por lo tanto, la media de la tasa de retorno de un portafolio es la suma ponderada de las medias
de cada activo.
Se denotará a la varianza del retorno de cada activo i por σ2i , la varianza del portafolio por
σ2 y a la covarianza de cada activo i con cada activo j por σij = E(ri − r̄i)(rj − r̄j). Entonces
σ2 =E[(r − r̄)2]
=E
( n∑
i=1
wiri −
n∑
i=1
wir̄i
)2
=E
( n∑
i=1
wi(ri − r̄i)
) n∑
j=1
wj(rj − r̄j)

=E
 n∑
i,j=1
wiwj(ri − r̄i)(rj − r̄j)

=
n∑
i,j=1
wiwjσij (2.2)
CAPÍTULO 2. TEORÍA DE MARKOWITZ 11
Figura 2.1: Ejemplo de diagrama R̄− σ. Los activos son descriptos como puntos del diagrama
Datos obtenidos a partir de sus cotizaciones proporcionadas por Yahoo Finance desde Enero de 2015 a
Diciembre de 2019
Diversificación
En general, el riesgo de un portafolio se reduce agregando activos. Bajo la premisa de no
poner todos los huevos en una misma canasta, activos que no tuvieron un buen desempeño,
son compensados por otros que tuvieron mejores resultados. El invertir en un número mayor
de activos y además en distintas posibilidades de inversión, con la intención de reducir el riesgo
global de un portafolio se lo conoce como diversificar.
Para entender este efecto que produce la diversificación, se supone la existencia de n activos
mutuamente incorrelacionados, es decir que la covarianza entre cada par de activos es nula, cada
uno con igual tasa de retorno media m y varianza σ2. Y se construye el portafolio formado en
iguales proporciones de los n activos, es decir, wi =
1
n para cada activo i. La tasa de retorno de
CAPÍTULO 2. TEORÍA DE MARKOWITZ 12
este portafolio es:
r =
1
n
n∑
i=1
ri.
El valor medio de este portafolio es r̄ = m, que no depende de la cantidad de activos n. La
correspondiente varianza, dado que σij = 0 ∀i 6= j es:
var(r) =
1
n2
n∑
i=1
σ2 =
1
n
σ2.
Por lo tanto, La varianza decrece cuando n se incrementa.
Ahora, si los activos están correlacionados tendrán covarianza no nula, por ejemplo la cova-
rianza de cada par de retornos podŕıa ser cov(ri, rj) = 0,3σ
2 para i 6= j. Entonces la varianza
del portafolio es:
var(r) =
1
n2
n∑
ij=1
σij
=
1
n2
∑
i=j
σij +
∑
i 6=j
σij

=
1
n2
(
nσ2 + 0,3(n2 − n)σ2
)
=0,3σ2 +
0,7
n
σ2.
En este caso, la varianza no se va poder reducir por debajo de 0,3σ2.
Cuando los retornos son incorrelacionados, es posible a través de la diversificación reducir
la varianza del portafolio a cero considerando un número grande de activos. En cambio cuando
están positivamente correlacionados, existe un ĺımite inferior que no se puede reducir.
Como se observa en la ecuación (2.2) el riesgo es reducido cuando menor sea la correlación
entre los activos. Por tanto, para minimizar la varianza de los portafolios no es suficienteinvertir
en muchos activos, sino que además es necesario evitar invertir en activos con altas covarianzas
entre ellos.
2.1.1. Diagrama media-desviación estándar de un portafolio con dos
activos
Dados dos activos, la media y la desviación estándar del retorno de un nuevo activo generado
por la combinación lineal de ellos, pueden ser calculadas a partir de la media, varianza y cova-
rianza de los activos originales mediante las ecuaciones (2.1) y (2.2). La locación de este último
en el diagrama de media-desviación estándar no se puede determinar simplemente, ya que, según
la ecuación (2.2), depende de la covarianza del retorno entre los activos originales.
Para analizar las posibles ubicaciones, se introduce un parámetro α ∈ R, y se definen los
pesos para cada activo por w1 = 1 − α y w2 = α respectivamente. Para cada valor de α se
CAPÍTULO 2. TEORÍA DE MARKOWITZ 13
obtiene un activo que es combinación lineal de los dos activos originales, formando una familia
de portafolios. Si se consideran valores de α por fuera del intervalo [0, 1], w1 o w2 será negativo
permitiendo las ventas en corto.
El siguiente lema prueba que variando el parámetro α se obtiene una curva en el diagrama
r̄−σ que se encuentra en una región sólida triangular definida por los vértices el activo 1, activo
2 y un punto A sobre el eje vertical.
Lema 1. La curva en el diagrama r̄ − σ definida por las combinaciones no negativas de los
activos P1 y P2 se encuentra en una región triangular definida por los 2 activos originales y el
punto en el eje vertical de altura A =
r̄1σ2 + r̄2σ1
σ1 + σ2
.
Demostración. De acuerdo a (1.2), la tasa de retorno en función de α es r(α) = (1− α)r1 + αr2
y, según (2.1) su media:
r̄(α) = (1− α)r̄1 + αr̄2.
Este número se encuentra entre los valores medios de los activos originales, es decir, r̄1 ≤
r̄α ≤ r̄2. Por (A.10) y (A.7) se tiene que
var(rα) = var((1− α)r1) + 2cov((1− α)r1, αr2) + var(αr2),
la desviación estándar es:
σ(α) =
√
(1− α)2σ21 + 2(1− α)ασ12 + α2σ22 .
Dado que el coeficiente de correlación se define por ρ12 =
σ12
σ1σ2
la ecuación anterior puede
reescribirse como
σ(α) =
√
(1− α)2σ21 + 2ρ(1− α)ασ1σ2 + α2σ22 (2.3)
De esta expresión se puede determinar cotas o valores extremos para la desviación estándar,
sabiendo que A.5.
Dado que σ12 ≤ σ1σ2, se puede afirmar que ∀α ∈ [0, 1]:
σ(α) =
√
(1− α)2σ21 + 2(1− α)ασ12 + α2σ22
≤
√
(1− α)2σ21 + 2(1− α)ασ1σ2 + α2σ22
=
√
[(1− α)σ1 + ασ2]2
=(1− α)σ1 + ασ2
=σ(α)∗.
Lo anterior permite afirmar que dado un valor de α la mayor desviación estándar posible ocurre
cuando ρ = 1. Notar además que para este caso extremo la curva resulta ser un segmento entre
los puntos (r̄1, σ1) y (r̄2, σ2).
CAPÍTULO 2. TEORÍA DE MARKOWITZ 14
Ahora, dado que σ12 ≥ −σ1σ2, se puede afirmar que ∀α ∈ [0, 1]:
σ(α) =
√
(1− α)2σ21 + 2(1− α)ασ12 + α2σ22
≥
√
(1− α)2σ21 − 2(1− α)ασ1σ2 + α2σ22
=
√
[(1− α)σ1 − ασ2]2
=|(1− α)σ1 − ασ2|
=σ(α)∗.
Lo que permite asegurar que dado un valor de α la menor desviación estándar ocurre cuando
ρ = −1.
En el caso de la cota inferior, tomando α =
σ1
σ1 + σ2
≥ 0, se obtiene σ(α)∗ = 0. Además este
valor de α nos divide en dos ramas la función módulo. Se obtiene para este valor que la tasa
media de retorno es
r̄(α) =
(
1− σ1
σ1 + σ2
)
r̄1 +
σ1
σ1 + σ2
r̄2.
Luego, r̄(α) =
r̄1σ2 + r̄2σ1
σ1 + σ2
obteniendo el punto A. Gráficamente, cuando ρ = −1, los portafolios
se localizan en el segmento ¯AP1 si α ≤ σ1
σ1 + σ2
o en el segmento ¯AP2 si α ≥ σ1
σ1 + σ2
como se
observa en la Figura 2.2.
Figura 2.2: Región factible para las posibles combinaciones de dos activos
CAPÍTULO 2. TEORÍA DE MARKOWITZ 15
Por otra parte, cuando −1 < ρ < 1 las posibles combinaciones entre los dos activos trazan
una hipérbola dentro del triángulo formado por los vértices A,P1 y P2. De la ecuación (2.3) y
de su desarrollo se obtiene
σ(α)2 =(1− α)2σ21 + 2ρ(1− α)ασ1σ2 + α2σ22
=σ21 − 2ασ21 + α2σ21 + 2ρσ1σ2α− 2ρσ1σ2α2 + α2σ22
=σ21 + α(−2σ21 + 2ρσ1σ2) + α2(σ21 − 2ρσ1σ2 + σ22).
Esta última ecuación representa la ecuación de una hipérbola (σ(α)2 = α2A+αD+F ), faltaŕıa
probar que el coeficiente de α2 es positivo. Se puede reescribir al coeficiente de la siguiente forma,
σ21 − 2ρσ1σ2 + σ22 =σ21 − 2ρσ1σ2 + (ρσ2)2 − (ρσ2)2 + σ22
=(σ1 − ρσ2)2 + (1− ρ2)σ22 .
Por A.5, ρ2 < 1, por lo tanto cada sumando de la última igualdad es positivo.
2.1.2. Caso general
Se considerará ahora el caso general de n activos representados en un diagrama r̄−σ. Usando
todas sus posibles combinaciones con coeficientes wi que cumplen
∑
wi = 1, se obtiene una
familia de portafolios. Todos los puntos que corresponden a estos portafolios construyen la región
factible o conjunto factible. Este conjunto satisface dos propiedades importantes:
1 Si hay al menos 3 activos, no perfectamente correlacionados (es decir, el coeficiente de
correlación entre dos activos es distinto a -1 y a 1) y con distintas medias, entonces el
conjunto factible es una región sólida bidimensional.
La Figura 2.3 muestra los activos A,B, 1,2,3 iniciales. Para cada par se define la curva
formada por las posibles combinaciones entre ambos que da el Lema 1. Notar que de la
combinación de los activos 1 y 3 se forma el activo 4, y este combinado con el B, el activo
5.
2 La región factible es convexa a izquierda.
Esto significa que dado dos puntos de la región factible la recta que los une no atraviesa el
ĺımite izquierdo del conjunto factible. Esto ocurre ya que todos los portafolios (con pesos
positivos) formado por la combinación de dos activos se encuentran, como se demostró en
el Lema 1, a la izquierda del segmento que los une.
Como se observa en la Figura 2.3, la forma de la región factible en los casos que no se per-
mitan ventas en corto es parecida a una sombrilla, puesto que, por ejemplo, los portafolios
formados por los activos A y 1 gráficamente trazan una hipérbola que los une. Igual ocurre
CAPÍTULO 2. TEORÍA DE MARKOWITZ 16
entre los activos 1 y 2, 2 y 3, 1 y 3, etc. En general, se obtendrán infinitas combinaciones
de activos y portafolios, generando como conjunto factible un área con forma de sombrilla.
En cambio cuando los pesos pueden ser negativos, las posibles combinaciones entre dos
activos seŕıa representada gráficamente por una hipérbola que pasa por ambos activos pero
no acotada. En este caso al armar todas las posibles combinaciones entre los activos, la
región factible tendrá una forma de bala.
Figura 2.3: La región factible para los activos A,B,1,2 y 3
2.1.3. Frontera eficiente y conjunto de varianza mı́nima
Dados dos o más portafolios con igual retorno, un inversor averso al riesgo elegirá invertir
en aquel que posea menor riesgo. Estos portafolios se encuentran en la frontera izquierda del
conjunto factible, el cuál es llamado el conjunto de varianza mı́nima. Se observa que tiene
la forma de una bala, y contiene un punto particular que corresponde al portafolio con mı́nima
varianza (PMV).
Ahora si se observan los activos con una misma desviación estándar, exponiéndose el inversor
a igual riesgo, este preferirá el activo de mayor rentabilidad. A esta caracteŕıstica de los inversores
se la denomina no saciedad. Este punto se encuentra en la parte superior del conjunto de varianza
mı́nima.
CAPÍTULO 2. TEORÍA DE MARKOWITZ 17
Esto justifica que sólo la parte superior del conjunto de mı́nima varianza es la interesante
para los inversores que son aversos al riego y con la caracteŕıstica de no saciedad. Este borde
superior se lo llama frontera eficiente.
2.2. Modelo de Markowitz
El objetivo de esta sección es formular un problema de optimización para encontrar el con-
junto de varianza mı́nima. Para ello se consideran n activos, con tasas de retorno esperadas
r̄1, r̄2, . . . , r̄n, respectivamente y covarianzas σij para 1 ≤ i, j ≤ n. Con estos activos se construye
un portafolio con pesos wi, 1 ≤ i ≤ n, tal que
∑
wi = 1. Si haypesos negativos, corresponden a
ventas en corto. El problema consiste en buscar el portafolio de varianza mı́nima dado una tasa
media de retorno fija r̄p. Dado que la varianza de un portafolio se calcula a partir de (2.2), el
problema queda formulado de la siguiente manera:
mı́n 12
∑n
i,j=1 wiwjσij
sa
∑n
i=1 wir̄i = r̄p∑n
i=1 wi = 1
(2.4)
Siguiendo la lectura se entenderá por qué se agrega el factor
1
2
a la ecuación de la varianza.
Las incógnitas son los pesos, es un problema cuadrático con restricciones lineales cuya solución
se obtiene usando las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker (ver 1). La lagrangiana es:
L =
1
2
n∑
i,j=1
wiwjσij − λ(
n∑
i=1
wir̄i − r̄p)− µ(
n∑
i=1
wi − 1).
O denotando a Ω la matriz de covarianzas, www = (w1, w2, . . . , wn)
T el vector de pesos, r̄̄r̄r =
(r̄1, r̄2, . . . , r̄n)
T al vector de tasas de retorno esperadas y 111 = (1, 1, . . . , 1) al vector con todas
sus componentes unos; el problema 2.4 puede ser reescrito como:
mı́n 12www
TΩwww
sa wwwT r̄̄r̄r = r̄p
wwwT111 = 1
(2.5)
por lo tanto, la lagrangiana en forma matricial es:
L(www, λ, µ) =
1
2
wwwTΩwww − λ(wwwT r̄̄r̄r − r̄p)− µ(wwwT111− 1).
Las condiciones de primer orden, aplicando 1 son:
∂L
∂www
= Ωwww − λr̄̄r̄r − µ111 = 000
∂L
∂λ
= wwwT r̄̄r̄r − r̄p = 0
∂L
∂µ
= wwwT111− 1 = 0.
CAPÍTULO 2. TEORÍA DE MARKOWITZ 18
Estas constituyen un sistema de n+ 2 ecuaciones lineales con n+ 2 incógnitas (www, λ, µ).
Proposición 1 (Ecuaciones para el conjunto eficiente). Los n pesos de un portafolio wi, i =
1, . . . , n y los dos multiplicadores de Lagrange λ y µ para un portafolio eficiente (con posible
asignación de ventas en corto) con tasa media de retorno r̄p, satisfacen el siguiente sistema de
ecuaciones
n∑
j=1
σijwj − λr̄i − µ = 0 para i = 1, . . . , n (2.6)
n∑
i=1
wir̄i = r̄p (2.7)
n∑
i=1
wi = 1 (2.8)
Oservación 2. La solución de este sistema nos brinda los pesos del portafolio óptimo para la
media r̄p. Si sólo se quiere obtener los portafolios de la frontera eficiente tomo los retornos por
encima del PMV. Para encontrar este último portafolio se resuelve el problema 2.4 omitiendo
la primera restricción. La tasa de retorno del portafolio de mı́nima varianza se obtiene por la
propiedad 2.1 con los pesos obtenidos al resolver el problema.
Las ecuaciones para encontrar el portafolio de menor varianza, dada una tasa de retorno
esperada, puede ser representado de la siguiente manera:
Ω r̄̄r̄r 111
r̄̄r̄rT 0 0
111T 0 0
 ·

www
λ
µ
 =

000
r̄p
1
 .
Si la matriz Ω ampliada (de la anterior ecuación) es definida positiva, el problema de Markowitz
tiene solución única.
El siguiente ejemplo se tomara como base para la aplicación y explicación de los distintos
conceptos en esta tesis.
Ejemplo 1. Consideremos 10 acciones elegidas al azar del ı́ndice S & P 500: Pfizer Inc.(PFE),
Apple Inc. (AAPL), Amazon.com Inc. (AMZN), Johnson & Johnson (JNJ), Chevron Corpora-
tion (CVX), Intel Corporation (INTC), Philips Morris International (PM), Devo Energy (DVN),
Pepsico Inc. (PEP) y Starbucks Corp. (SBUX).
Tomando las cotizaciones ajustadas históricas mensuales de enero 2015 a diciembre 2019 pu-
blicados por Yahoo Finance, estimamos el retorno medio anual para cada una de las 10 acciones,
su desviación estándar y la matriz de covarianzas de los retornos. Podemos aplicar el problema de
Markowitz para buscar el portafolio de menor varianza dado un retorno esperado igual al 120 %.
CAPÍTULO 2. TEORÍA DE MARKOWITZ 19
Considerando:
R̄̄R̄R =

110,06 %
126,86 %
145,18 %
112,11 %
109,75 %
118,81 %
109,70 %
96,44 %
112,14 %
119,21 %

,
Ω =

2,2355 0,2583 1,3762 1,047 0,9671 0,3521 0,7474 1,7239 0,5610 0,3131
0,2583 5,7173 2,1270 0,8818 0,4030 2,20 1,845 3,307 0,4544 0,5297
1,3762 2,127 6,5436 1,134 1,2223 1,5605 1,567 3,775 0,9496 0,9186
1,047 0,8818 1,134 1,6594 0,9766 0,7118 1,6279 1,2510 1,0444 0,5322
0,9671 0,403 1,2223 0,9766 3,1695 1,3737 0,9744 5,5638 0,7716 0,4464
0,3521 2,20 1,5605 0,7118 1,3737 3,9452 1,2206 3,3636 0,2152 0,5832
0,7474 1,845 1,567 1,6279 0,9744 1,2206 5,2877 1,8657 1,4834 0,9212
1,7239 3,307 3,775 1,2510 5,5638 3,3636 1,8657 19,9505 0,6105 0,4533
0,5610 0,4544 0,9496 1,0444 0,7716 0,2152 1,4834 0,6105 1,588 0,4827
0,3131 0,5297 0,9186 0,5322 0,4464 0,5832 0,9212 0,4533 0,4827 2,7316

el vector de retornos y la matriz de covarianzas (valores expresados x10−3). Al resolver el sistema
de ecuaciones de la Proposición 1 para R̄p = 120 % se obtiene el portafolio formado por el
siguiente vector de pesos:
www =

18,4 %
14,4 %
7,6 %
−2,7 %
20,3 %
11,1 %
−10,0 %
−10,8 %
31,6 %
20,1 %

Este portafolio tiene una desviación estándar aproximadamente al 3,031 %, y pertenece a la
frontera eficiente.
Como se observa en el anterior ejemplo algunos de los pesos son negativos, en caso que no
CAPÍTULO 2. TEORÍA DE MARKOWITZ 20
se permitan las ventas en corto, cada wi deberá ser no negativo. El problema alternativo de
Markowitz es el siguiente:
mı́n 12
∑n
i,j=1 wiwjσij
sa
∑n
i=1 wir̄i = r̄p∑n
i=1 wi = 1
wi ≥ 0, i = 1, . . . , n
(2.9)
Este no puede ser reducido a un sistema de ecuaciones lineales. Es un problema de progra-
mación cuadrática, ya que la función objetivo es cuadrática y las restricciones son lineales con
igualdades y desigualdades. Aplicando las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker (ver 1, pág. 4),
el sistema de ecuaciones a resolver para cada tasa media de retorno r̄p es:
n∑
j=1
σijwj − λr̄i − µ− γi = 0 para i = 1, . . . , n
n∑
i=1
wir̄i = r̄p
n∑
i=1
wi = 1
γiwi = 0 ∀i
γi ≥ 0
wi ≥ 0.
Este sistema tiene 2n+ 2 incógnitas, casi duplica la cantidad que tiene el problema permitiendo
ventas en corto. Además, es resuelto aplicando métodos numéricos (ver [7]).
Ejemplo 2. Ahora continuando con el ejemplo anterior, se desea resolver el problema 2.9 para
R̄p = 120 %.
La composición del portafolio con varianza mı́nima con retorno esperado igual a 120 %, viene
dado por el siguiente vector de pesos:
www =

13,4 %
9,0 %
13,3 %
0,0 %
0,0 %
10,3 %
0,0 %
0,0 %
29,6 %
24,3 %

CAPÍTULO 2. TEORÍA DE MARKOWITZ 21
con una desviación estándar σ = 3,324 %, observemos que es mayor a la que permit́ıa ventas en
corto. Es decir este portafolio se encuentra más a la derecha de la frontera eficiente.
2.3. Teorema de los dos fondos
Dadas dos soluciones conocidas del problema de Markowitz (2.4), W 1 = (w11, . . . , w
1
n, λ
1, µ1)
y W 2 = (w21, . . . , w
2
n, λ
2, µ2) con tasas esperadas de retorno r̄1 y r̄2 respectivamente. Para α ∈ R,
la combinación αW 1 + (1 − α)W 2 también es solución del problema (2.4) con tasa de retorno
esperada r̄p = αr̄
1 + (1− α)r̄2. Satisface las condiciones de la Proposición 1 ya que,
•
∑n
i=1[αw
1
i + (1− α)w2i ]r̄i = α
∑n
i=1 w
1
i r̄i + (1− α)
∑n
i=1 w
2
i r̄i = αr̄
1 + (1− α)r̄2
•
∑n
i=1[αw
1
i + (1− α)w2i ] = α
∑n
i=1 w
1
i + (1− α)
∑n
i=1 w
2
i = α+ 1− α = 1
•
∑n
j=1 σij [αw
1
j+(1−α)w2j ]−[αλ1+(1−α)λ2]r̄i−[αµ1+(1−α)µ2] = α
[∑n
j=1 σijw
1
j − λ1r̄i − µ1
]
+
(1− α)
[∑n
j=1 σijw
2
j − λ2r̄i − µ2
]
= 0 para i = 1, . . . , n,
por lo tanto se puede asegurar que es un punto del conjunto de varianza mı́nima. Al considerar
−∞ < α <∞. el portafolio αW 1 + (1−α)W 2 va a barrer todo el conjunto de varianza mı́nima.
El siguiente teorema involucra el concepto de fondo mutuos. Los fondos mutuos son creados
por una compañ́ıa y administrados por un gerente del fondo, quien invierte el dinero de los
inversionistas para intentar obtener ganancias para estos últimos y para la compañ́ıa que emite
el fondo. Su caracteŕıstica más importante es permitir diversificar el riesgo. Al juntar el capital
de varios inversionistas, se puede crear un portafolio de inversión que invierte simultáneamente
en varios activos,de manera que si hay problemas con alguno de ellos (una compañ́ıa va a la
quiebra, un gobierno no reconoce un bono de deuda), el riesgo relativo al total de la inversión
disminuye.
Teorema 2 (Teorema de los dos fondos). Cualquier portafolio eficiente se puede establecer
mediante la combinación de dos fondos (portafolios) eficientes. En otras palabras, todo inversor
en busca de portafolios eficientes deberá sólo invertir en una combinación de estos dos fondos.
Este teorema tiene beneficios en el cálculo, ya que en vez de resolver el sistema para todos
los valores de r̄p, alcanza con encontrar dos soluciones. Un camino sencillo es especificar esas dos
soluciones para valores de λ y µ. Convenientemente, se elije 1.λ = 0, µ = 1, 2. λ = 1, µ = 0. Si
no se cumple la restricción que la suma de los pesos es igual a 1, se normaliza a todos los wi’s
por un escalar.
Para encontrar los dos fondos del conjunto de varianza mı́nima primero se supone λ = 0, µ = 1
y se obtiene el sistema de ecuaciones que debe satisfacer (2.6)
n∑
j=1
σijv
1
j = 1 ∀i = 1, . . . , n.
CAPÍTULO 2. TEORÍA DE MARKOWITZ 22
El vector incógnita es vvv1 = (v11 , . . . , v
1
n)
T . Si con Ω se denota la matriz de covarianza, el problema
a resolver seŕıa Ωvvv1 = 111, donde 111 es el vector columna de n componentes. De ser necesario
la solución se debe normalizar tal que la suma de sus componentes de 1. Por lo tanto, cada
componente de www1 es
w1i =
vi∑n
j=1 vj
.
Notar que en este caso, las ecuaciones permiten encontrar el portafolio de varianza mı́nima.
Para el segundo caso, λ = 1, µ = 0, se tiene el siguiente sistema lineal
n∑
j=1
σijv
2
j = r̄i ∀i = 1, . . . , n
con el vector incógnita vvv2 = (v21 , . . . , v
2
n)
T . O, al igual que antes, notando por Ω a la matriz de
covarianza: Ωvvv2 = r̄ donde r̄ es el vector columna cuyas componentes son las tasas medias de
retorno de las n activos. Y de la misma manera la solución obtenida se normaliza.
Por la Proposición 5 del Apéndice A se conoce que la matriz de covarianzas es simétrica
y semi-definida positiva, si la inversa existe las soluciones correspondientes a cada fondo son:
www1 =
Ω−11̄11
1̄11
T
Ω−11̄11
, con tasa de retorno r̄p = www
1T r̄̄r̄r. Y www2 =
Ω−1r̄̄r̄r
111TΩ−1r̄̄r̄r
con tasa de retorno r̄p = www
2T r̄̄r̄r.
Ejemplo 3. Continuando con el ejemplo 1, en el cuadro siguiente se muestra la composición
del primer y segundo fondo con sus respectivos retornos y desviaciones estándar.
Fondo 1 Fondo 2
w1 25, 44 % R̄ 114, 47 % w1 22, 64 % R̄ 116,68 %
w2 10,27 % σ
2 0,0008199 w2 11,90 % σ
2 0,0008357
w3 −4,61 % σ 2,8633 % w3 0,29 % σ 2,8908 %
w4 −0,69 % w4 −1,49 %
w5 13,96 % w5 16,50 %
w6 12,18 % w6 11,74 %
w7 −7,33 % w7 −8,41 %
w8 −5,72 % w8 −7,74 %
w9 37,85 % w9 35,36 %
w10 18,64 % w10 19,22 %
En la Figura C.4, pág. 12 se calcularon las composiciones de algunas combinaciones de estos
dos activos (de la forma (1− α)F1 + αF2). Además se calculó el retorno medio y la desviación
estándar, para ubicarlos en un diagrama R̄−σ y encontrar la frontera eficiente (ver Figura 2.4).
Como el portafolio de mı́nima varianza es el fondo 1, y el fondo 2 tiene mayor retorno que el
fondo 1, tomamos valores de α ≥ 0.
CAPÍTULO 2. TEORÍA DE MARKOWITZ 23
Figura 2.4: Frontera eficiente de Markowitz para el ejemplo 1.
Si ahora se considera el problema alternativo de Markowitz (2.9), que no permite ventas en
corto, no se puede aplicar el teorema de los dos fondos, ya que dadas dos soluciones particula-
res W 1 = (w11, . . . , w
1
n, λ
1, µ1, γ11 , . . . , γ
1
n) y W
2 = (w21, . . . , w
2
n, λ
2, µ2, γ21 , . . . , γ
2
n) para tasas de
retorno r̄1 y r̄2 respectivamente, la combinación lineal αW 1 + (1 − α)W 2 no asegura que sea
solución, dada la presencia de restricciones no lineales.
Como el teorema de los dos fondos permite las ventas en corto, teniendo soluciones con pesos
negativos, se busca la combinación de los dos fondos que tengan todas sus componentes positivas,
es decir:
[W 1 + α(W 2 −W 1)]i ≥ 0 ∀i, 1 ≤ i ≤ n.
Para cada i tal que W 2i −W 1i < 0 se tiene:
− W
1
i
W 2i −W 1i
≥ α.
Y para cada i tal que W 2i −W 1i > 0:
α ≥ − W
1
i
W 2i −W 1i
.
Śı W 2i −W 1i = 0 para algún sub́ındice i habŕıa solución śı y sólo śı W 1i ≥ 0.
CAPÍTULO 2. TEORÍA DE MARKOWITZ 24
Luego, se afirma que
mı́n
W 2i −W 1i <0
− W
1
i
W 2i −W 1i
≥ α ≥ máx
W 2i −W 1i >0
− W
1
i
W 2i −W 1i
.
Por lo tanto, tomando α1 = máxW 2i −W 1i >0−
W 1i
W 2i −W 1i
y α2 = mı́nW 2i −W 1i <0−
W 1i
W 2i −W 1i
, la
combinación lineal de los pesos de los dos fondos W 1 +α(W 2−W 1) será positiva si α1 ≤ α ≤ α2.
Si una de las condiciones fuera vaćıa tendŕıa solo un fondo extremo, por ejemplo si W 2i −W 1i > 0,
∀i tomaŕıa todo α > α1 teniendo solo el fondo extremo W 1 + α1(W 2 −W 1).
Lo que se encuentra śı existe es una parte de la frontera de varianza mı́nima, con la posibilidad
de ventas en corto, que tenga todas sus componentes positivas. Si se quiere buscar generar
la frontera de varianza mı́nima con la condición que los portafolios estén formados por pesos
positivos se deberá calcular para cada retorno el problema 2.9.
2.4. Teorema de un fondo
En las secciones previas se asumió que los n activos son riesgosos, es decir cada uno tiene
σ > 0. La inclusión de un activo libre de riesgo (ALR) degenera la forma de la región factible
haciéndola más simple. Además, da la opción de pedir prestado o prestar a una tasa fija sin
riesgo. El activo libre de riesgo tiene un retorno determińıstico que es conocido con certeza. Se
denotará por rf a su tasa de retorno y posee riesgo nulo, es decir, σ = 0.
Sea un activo riesgoso cualquiera, con tasa de retorno aleatoria r con media r̄ y varianza σ2.
Notar que la covarianza entre estos dos activos es 0 ya que cov(r, rf ) = E[(r − r̄)(rf − rf )] = 0.
Se combinan estos dos activos para formar un portafolio siendo rα = αrf + (1− α)r con α ≤ 1,
dado que no se permite ventas en corto para el activo con riesgo. La tasa de retorno media del
portafolio es
αrf + (1− α)r̄ (2.10)
y la desviación estándar es√
(1− α)2σ2 = (1− α)σ = ασf + (1− α)σ (2.11)
usando σf = 0. Las ecuaciones muestran que la media y la desviación estándar vaŕıan respecto
de α linealmente. Lo que significa que mientras α varia, traza lineas rectas en el plano r̄ − σ,
conectando ambos activos.
Continuando con la suposición que existen n activos riesgosos y la notación usada, se construye
la nueva región factible con la inclusión del ALR, formada por todas las posibles combinaciones
entre los activos de riesgo y el ALR.
Estas combinaciones trazan rectas infinitas con origen en el activo libre de riesgo pasando a
través de un activo con riesgo. Hay una recta para cada activo de la región factible. Por lo tanto,
CAPÍTULO 2. TEORÍA DE MARKOWITZ 25
se obtiene una forma triangular con vértice en el ALR, como se puede observar en la Figura 2.5.
Figura 2.5: Región factible con la posibilidad de invertir en un activo libre de riesgo.
Al incluir el activo libre de riesgo la frontera eficiente será la recta tangente a la región factible
(con sólo los n activos con riesgo) que pasa por el ALR, llamada frontera eficiente de Tobin (FET).
Hay un punto T sobre la frontera eficiente original que pertenece a la recta tangente. Cualquier
punto de la FET puede ser representado por combinación del activo libre de riesgo y T .
Teorema 3 (Teorema de un fondo). Existe un fondo T formado por una combinación lineal de los
activos con riesgo, tal que cualquier portafolio eficiente puede ser construido como combinación
del activo T y el activo libre de riesgo.
Demostración. Sea θ el ángulo entre el eje horizontal y la recta que une el activo libre de riesgo
CAPÍTULO 2. TEORÍA DE MARKOWITZ 26
con algún activo con riesgo. Para algún portafolio factible p (con riesgo):
tan(θ) =
r̄p − rf
σp
.
El portafolio tangente es el que maximiza el ángulo θ o equivalentemente la tan(θ), dado que
se deseamaximizar la pendiente de la recta. Este problema puede ser reducido a un sistema de
ecuaciones lineales.
Se supone que existen n activos con riesgo con sus respectivos pesos wi, i = 1, . . . , n y que
estos n pesos suman 1. Se tiene que rp =
∑n
i=1 wiri y r̄p =
∑n
i=1 wir̄i y rf =
∑n
i=1 wirf . Por lo
tanto.
tan(θ) =
∑n
i=1 wi(r̄i − rf )[∑n
ij=1 σijwiwj
] 1
2
=
wwwT (r̄̄r̄r − rfrfrf )
(wwwTΩwww)
1
2
(2.12)
La última igualdad está expresada en forma matricial, donde rf es un vector con todas sus
componentes iguales a rf y Ω la matriz de covarianzas de los n activos riesgosos.
Entonces, para encontrar la tan(θ) máxima se deriva con respecto a cada wk y se iguala a
cero.
Como ∂∂wi
([∑n
ij=1 σijwiwj
] 1
2
)
=
[∑n
ij=1 σijwiwj
]− 12
(
∑n
i=1 σkiwi),
0 =
∂ tan(θ)
∂wk
=
(r̄k − rf )
[∑n
ij=1 σijwiwj
] 1
2 − (
∑n
i=1 wi(r̄i − rf ))
[∑n
ij=1 σijwiwj
]− 12
(
∑n
i=1 σkiwi)∑n
ij=1 σijwiwj
.
Por lo tanto, al despejar ∑n
i=1 wi(r̄i − rf )∑n
ij=1 σijwiwj
n∑
i=1
σkiwi = r̄k − rf .
Al nombrar a λ =
∑n
i=1 wi(r̄i − rf )∑n
ij=1 σijwiwj
, una constante desconocida, se obtiene la expresión
n∑
i=1
σkiλwi = r̄k − rf ; k = 1, . . . , n.
Al sustituir vi = λwi se tiene el sistema de ecuaciones lineales:
n∑
i=1
σkivi = r̄k − rf ; k = 1, . . . , n (2.13)
Al observar la expresión (2.12), y multiplicar a cada wi por una misma constante, la ecuación
no se altera. Suponiendo que la matriz de covarianzas es definida positiva queda resolver las
ecuaciones para obtener los vi’s y normalizar para obtener los wi’s.
wi =
vi∑n
j=1 vj
.
CAPÍTULO 2. TEORÍA DE MARKOWITZ 27
Ejemplo 4. Continuando con el ejemplo 1, para encontrar el activo T resolvemos el sistema
de ecuaciones 2.13 (con la salvedad de que en vez de tomar las tasas de retornos tomamos los
retornos). Para buscar el retorno libre de riesgo primero consideramos los retornos de cada mes
de un bono del tesoro a 5 años desde enero de 2015 a diciembre de 2019 publicados por Yahoo
Finance. Estos valores corresponden al rendimiento nominal anual con capitalización semestral,
se calculó el promedio de los datos obtenidos en ese periodo para luego ajustarlo al rendimiento
efectivo anual. Por lo tanto, se consideró el retorno libre de riesgo anual: Rf = 101,89 %
v Ωv Rk −Rf w
v1 −0,13594508 0,081682263 8,17 % w1 0 % R̄ 134,59 %
v2 38,55384771 0,24962157 24,96 % w2 25 % σ
2 0,002131235
v3 61,2878588 0,432896583 43,29 % w3 40 % σ 4,62 %
v4 −12,20283967 0,102201291 10,22 % w4 −8 %
v5 56,81975519 0,078565719 7,86 % w5 37 %
v6 12,49007445 0,169131222 16,91 % w6 8 %
v7 −26,26244689 0,078111167 7,81 % w7 −17 %
v8 −36,98126384 −0,054511259 −5,45 % w8 −24 %
v9 23,2026746 0,102422274 10,24 % w9 15 %
v10 36,64034904 0,17316241 17,32 % w10 24 %∑10
i=1 vi 153.4120643
La anterior tabla nos muestra el calculo y la composición del portafolio tangente T con retorno
promedio de 134.59 % y un riesgo de 4.62 %. Podemos visualizar el activo T en la Figura 2.4,
notemos que el activo T se encuentra en la frontera eficiente como deseamos.
Parte II
Como determinar el precio de un
activo
28
Caṕıtulo 3
Modelo de valoración de activos
financieros
El modelo de valoración de activos (CAPM por sus siglas en inglés), es un modelo cuyo
objetivo es determinar el precio justo o de equilibrio de los activos riesgosos siguiendo el enfoque
de media-varianza. Fue desarrollado pioneramente por Sharpe, Lintner y Mossin en [13], [3],[11],
siguiendo la teoŕıa de portafolio de Markowitz. Es una pieza central de las finanzas aunque fue
desarrollado hace medio siglo. Tiene como punto de partida supuestos muy fuertes. Ellos son:
• Es un modelo basado en que el mercado de capitales está en equilibrio, es decir, se presume
que la oferta de activos financieros iguala a la demanda. La situación del mercado es de
competencia perfecta y, por tanto, la interacción de oferta y demanda determinará el precio
de los activos.
• Es un modelo estático, ya que los agentes sólo miran al próximo periodo (un trimestre, un
año, etc.)
• El tipo de interés al que se remuneran los fondos es igual que el que se paga por disponer de
capitales ajenos. Existe una única tasa de retorno correspondiente al activo libre de riesgo
que se permite prestar o pedir prestado.
• No existen costos de transacción ni impuestos.
• Todos los inversores optimizan sus portafolios en el sentido Markowitz.
• Todos los inversores poseen la misma información y coinciden en el modelo probabiĺıstico de
los activos, es decir que pueden acceder a los mismos datos (medias, varianzas y covarianzas
de los retornos de los activos con riesgo) y por tanto, sus expectativas de rentabilidad y
29
CAPÍTULO 3. MODELO DE VALORACIÓN DE ACTIVOS FINANCIEROS 30
riesgo para cada activo son idénticas. Esto lleva a elegir como cartera óptima el portafolio
tangente T obtenido por el Teorema 3 discutido en el caṕıtulo anterior.
• No hay posibilidad de arbitraje es decir, no existe la posibilidad de tomar obtener una ganancia
por la diferencia de precios entre dos o más mercados.
En varios libros y art́ıculos, tales como [5], [2], se presenta al CAPM con el concepto de un
portafolio particular: el portafolio del mercado. Este está compuesto por todos los activos con
riesgo de la economı́a o de un sector especifico; esto es que posee la totalidad de acciones de
todas las empresas. Si todos invierten en un portafolio único y sus compras se suman al mercado
entonces este fondo deberá ser el mercado. Es decir el portafolio tangente y el mercado son el
mismo. Por lo tanto, el portafolio de riesgo a invertir tendrá que contener acciones en proporción
a la representación total del mercado.
El peso de un activo en el mercado es definido como la proporción del capital total inver-
tido en el portafolio que es asignado al activo. Se denotarán por wi’s y son llamados pesos de
capitalización.
En la Tabla 3.1 se muestran las acciones disponibles y las cotizaciones de tres empresas, asu-
miendo que estas son las únicas que componen el mercado. El peso en el mercado es proporcional
al capital total y no tiene relación con el volumen de acciones.
Activo acciones
disponibles
acciones
relativas en
el mercado
cotización capitalización
del mercado
peso en
el
mercado
PFE 1000 10/41 45.06 45060 0.086
AAPL 2200 22/41 146.9 323180 0.616
JNJ 900 9/41 173.69 156321 0.298
4100 524561
Cuadro 3.1: Śı la cotización de un activo cambia, no varia la proporción de las acciones en el
mercado, pero si se modifican los pesos de capitalización.
Como el portafolio tangente es el portafolio del mercado, no es necesario que todos resuelvan
el sistema 2.13 planteado en el anterior caṕıtulo, esto es una consecuencia del supuesto 3. Si
un número grande de personas resuelve el problema, no todos lo necesitan hacer. Los demás
inversores resolviendo el problema 2.13 ordenarán en el mercado para adquirir sus portafolios.
Śı la demanda de acciones no coincide con las disponibles, las cotizaciones deberán cambiar.
Como es de conocimiento, a mayor demanda, mayor será su cotización; y viceversa. Como el
retorno depende de la cotización inicial y final, al cambiar la cotización de los activos se afecta
directamente las estimaciones de los retornos de los activos y los inversores deberán recalcular
CAPÍTULO 3. MODELO DE VALORACIÓN DE ACTIVOS FINANCIEROS 31
los portafolios óptimos. Esto continua hasta que la demanda sea exactamente igual a la oferta,
es decir, hasta el equilibrio. Está teoŕıa de equilibrio es usada con frecuencia en el mercado de
acciones. Como todos compran el portafolio del mercado, las cotizaciones se ajustan a él.
En esta idealización, todo inversor que sigue el criterio de media-varianza, con iguales esti-
maciones invertirá en un mismo portafolio, siendo este el portafolio del mercado.
3.1. CAPM
La diferencia entre distintos tipos de inversores está en la proporción que invierten de su
cartera en el portafolio delmercado y en el activo libre de riesgo; siendo que los aversos al riesgo
invertirán un alto porcentaje en el activo libre de riesgo y los inversores más agresivos lo harán
en portafolio del mercado. Como se observa en la Figura 3.1, estos portafolios se encuentran en la
frontera eficiente de Tobin, también llamada Ĺınea de mercado de capitales (LMC). La ecuación
que describe a esta semirecta es:
r̄ = rf +
r̄M − rf
σM
σ (3.1)
donde r̄M y σM es la tasa de retorno esperado del portafolio del mercado y su desviación
estándar, rf es la tasa libre de riesgo, r̄ y σ la tasa de retorno esperado y la desviación estándar
de un activo eficiente arbitrario. La ecuación muestra la relación entre la tasa de retorno esperado
y el riesgo asociado para portafolios eficientes.
El CAPM proporciona una de las relaciones más fuertes en la valoración de activos. Está
relación se presenta en el siguiente teorema.
Teorema 4 (Modelo de valoración de activos financieros). Si el portafolio del mercado M es
eficiente, la tasa de retorno esperada r̄i de un activo i satisface:
r̄i = rf + βi(r̄M − rf ) (3.2)
donde
βi =
σiM
σ2M
(3.3)
Demostración. Para algún α ≤ 1 considerar el portafolio formado por un peso α en el activo i y
el resto 1−α en el portafolio del mercado. Por la ecuación (2.1), la tasa de retorno esperado del
portafolio es
r̄α = αr̄i + (1− α)r̄M
y por la ecuación (2.2) la desviación estándar es
σα = [α
2σ2i + 2α(1− α)σiM + (1− α)2σ2M ]
1
2
CAPÍTULO 3. MODELO DE VALORACIÓN DE ACTIVOS FINANCIEROS 32
Figura 3.1: Linea de mercado de capitales, esta semi-recta esta determinada por la tasa libre de
riesgo y el portafolio del mercado.
A medida que α varia, traza una curva en el diagrama r̄ − σ, En particular, el valor α = 0
corresponde al portafolio M . Esta curva se encuentra en la región factible, limitada por la frontera
eficiente (con sólo activos de riesgo), y se sabe por la Sección 2.4 que la LMC es tangente a la
frontera eficiente en el portafolio del mercado; por lo tanto la curva no puede atravesar la LMC.
Como se puede observar en la Figura 3.2.
Además, cuando α es igual a cero, la curva será tangente a la LMC en el punto M . Por lo
tanto la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto M es igual a la pendiente de la
LMC en el mismo punto.
Para expresar esta relación primero se calculan las derivadas y se evalúa en α = 0:
∂r̄α
∂α
= r̄i − r̄M
∂σα
∂α
=
ασ2i + (1− 2α)σiM + (α− 1)σ2M
σα
∂σα
∂α
|α=0 =
σiM − σ2M
σM
CAPÍTULO 3. MODELO DE VALORACIÓN DE ACTIVOS FINANCIEROS 33
Figura 3.2: El conjunto de posibles combinaciones entre un activo y el portafolio del mercado
trazan una una curva sobre el diagrama r̄ − σ. La curva es tangente a la linea de mercado de
capitales
por lo tanto, la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto M es:
∂r̄α
∂σα
|α=0 =
(r̄i − r̄M )σM
σiM − σ2M
.
Está pendiente debe ser igual a la pendiente de la LMC
(r̄i − r̄M )σM
σiM − σ2M
=
r̄M − rf
σM
.
Por último despejando r̄i de esta ecuación se obtiene el resultado
r̄i =
r̄M − rf
σ2M
(σiM − σ2M ) + r̄M
=
r̄M − rf
σ2M
σiM + rf
=rf + βi(r̄M − rf )
sabiendo que βi =
σiM
σ2M
.
Oservación 3. Si r̄M = rf por la ecuación (3.2) los rendimientos esperados de todos los activos
pertenecientes al mercado seŕıan iguales a rf . De esta manera la región factible seŕıa una recta.
CAPÍTULO 3. MODELO DE VALORACIÓN DE ACTIVOS FINANCIEROS 34
Esta situación es totalmente inusual de acuerdo al desarrollo de la teoŕıa de Markowitz, además
se podŕıa hacer la pregunta ¿tiene sentido invertir en un activo de mayor riesgo que ofrezca el
mismo rendimiento esperado?. Se asume que hay al menos tres activos con rendimientos distintos.
El valor βi es llamado beta del activo i, se mostrará en este caṕıtulo que es la medida
significativa del riesgo. Se observa a partir de la fórmula (3.2) que el exceso esperado de la tasa
de retorno del activo, y del mercado, con respecto a la tasa libre de riesgo, r̄i − rf y r̄M − rf
respectivamente, son proporcionales, con un factor de proporcionalidad βi.
Se puede ver que dado un portafolio formado por n activos, con tasa de retorno rp =∑n
i=1 wiri, se tiene que cov(rp, rM ) =
∑n
i=1 wicov(ri, rM ) por lo tanto
βp =
n∑
i=1
wiβi (3.4)
Es decir, que el beta de un portafolio es la suma ponderada de los betas.
En particular los activos con β = 0 tienen un rendimiento esperado igual que el activo libre
de riesgo. Estos están incorrelacionados con el mercado. Existe un dato que resulta interesante,
puede pasar que un activo tiene un alto riesgo (σ grande) y r̄ = rf . La razón por qué esto sucede
es que el riesgo asociado al activo incorrelacionado con el mercado puede ser diversificado. Si
se tiene varios activos incorrelacionados entre śı y con el mercado, se puede comprar cantidades
pequeñas de cada uno y la varianza del portafolio será pequeña.
Ejemplo 5. El beta de un activo tiende a no cambiar es decir, a mantenerse constante en el
tiempo. Son publicados en los distintos portales financieros, y calculados con los datos históricos
mensuales de los últimos 5 años.
ACTIVO BETA
PFE 0.73
AAPL 1.23
AMZN 1.33
JNJ 0.69
CVX 1.26
INTC 0.69
PM 0.8
DVN 3.27
PEP 0.59
SBUX 0.79
Cuadro 3.2: Betas de los activos tomados el 7 de agosto de 2020
Fuente: Yahoo Finance
CAPÍTULO 3. MODELO DE VALORACIÓN DE ACTIVOS FINANCIEROS 35
Las compañ́ıas Pfizer (PFE) y Johnson & Johnson (JNJ) pertenecen a la misma industria
(cuidados de salud), entonces sus betas debeŕıan ser parecidos como se observa en el Cuadro 3.2.
Otra observación a tener en cuenta es que si β = 1 nos sitúa en el portafolio del mercado.
3.1.1. El beta como medida de riesgo significativa
La tasa de retorno de un activo ri puede ser descripta de la siguiente forma:
ri = rf + βi(rM − rf ) + �i (3.5)
donde �i es una variable aleatoria. Tomando esperanza en (3.5) y utilizando (3.2) se asegura que
E(�i) = 0, entonces todos los activos con igual beta tienen la misma tasa de retorno esperada.
Además cov(�i, rM ) = 0; ya que aplicando a la igualdad (3.5) la covarianza con respecto a la
tasa de retorno del mercado
cov(ri, rM ) = cov(rf + βi(rM − rf ) + �i, rM )
y, como cov(rf , rM ) = 0 se tiene:
σiM = βiσ
2
M + σ�M
σiM =
σiM
σ2M
σ2M + σ�M
σiM = σiM + σ�M .
Por lo tanto, σ�M = 0
El riesgo total se puede expresar como la suma de dos términos de la siguiente manera:
σ2i = β
2
i σ
2
M + σ
2
� (3.6)
Para verificar esta ecuación se aplica varianza a ambos lados de la igualdad (3.5):
var(ri) =var (rf + βi(rM − rf ) + �i)
σ2i =var(βi(rM − rf ) + �i)
σ2i =β
2
i σ
2
M + σ
2
�i + 2βiσ�M
σ2i =β
2
i σ
2
M + σ
2
�i , ya que σ�M = 0.
El primer término se denomina riesgo sistemático, este refiere a la incertidumbre económica
general, al entorno, a lo exógeno, a aquello que no podemos controlar. El segundo es el riesgo
espećıfico, idiosincrático del propio activo. Además, al ser el riesgo espećıfico incorrelacionado
con el mercado, esté puede ser reducido por diversificación. Mientras que el riesgo sistemático
no se puede reducir por diversificación, dado que al construir un portafolio por (3.4) el beta de
cada activo sigue presente y se acumula.
CAPÍTULO 3. MODELO DE VALORACIÓN DE ACTIVOS FINANCIEROS 36
El riesgo de un activo que pertenece a la LMC, siguiendo (3.1), viene dado por σi =
r̄i − rf
r̄M − rf
σM . Por la fórmula (3.2), r̄i − rf = βi(r̄M − rf ), luego
σi =
βi(r̄M − rf )
r̄M − rf
σM = βiσM .
Por lo tanto para todo activo que está en la LMC, el riesgo especifico es nulo. En cambio cuando
esta componente no es nula se incrementara su riesgo total. Como se observa en la Figura 3.3 estos
activo se ubican a la derecha la LMC. Un inversionista racional no debeŕıa tomar ningún riesgo
diversificable, ya que solamente el riesgo sistemático es recompensado por un mayor retorno.
Figura 3.3: Riesgo sistemático y riesgo espećıfico. Únicamente los activos con sólo riesgo sistemáti-