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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA 
DE MÉXICO 
 
 FACULTAD DE CIENCIAS 
 
 
DESARROLLO DEL MODELO DE BLACK-LITTERMAN 
PARA PORTAFOLIOS DE INVERSIÓN 
 
 
 
T E S I S 
 
 
 QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE: 
 ACTUARIO 
 P R E S E N T A : 
 
GUILLERMO DANIEL MAÑÓN GARCÍA 
 
 
 
 DIRECTOR DE TESIS: 
RODRIGO DÍAZ INFANTE PESQUERA 
 
 
México, D.F. 2013 
 
 
 
UNAM – Dirección General de Bibliotecas 
Tesis Digitales 
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reproducción, edición o modificación, será perseguido y sancionado por el 
respectivo titular de los Derechos de Autor. 
 
 
 
2 
 
Agradecimientos 
 
Me gustaría tomar unos renglones para agradecer a las personas que 
hicieron posible la realización de este trabajo. Primero y con un agradecimiento 
muy especial a mi tutor, Rodrigo Díaz, por el entero apoyo a lo largo de este 
proceso, las recomendaciones y observaciones siempre gratamente recibidas 
que me impulsaron a mejorar en todo momento, ha sido un privilegio haber 
trabajado bajo su asesoría. A mis sinodales, Enrique Maturano, Alma 
Bustamante, Ricardo Rivera y Jesús Navarrete, por la accesibilidad personal y 
profesional al haberme permitido considerarlos como parte del jurado para 
evaluar el trabajo y, sobre todo, muchas gracias por su atenta disposición al 
revisar el texto proporcionando comentarios y observaciones bastante 
constructivas. 
Agradezco a esta, mi Universidad, especialmente a la Facultad de 
Ciencias, por todos estos años que me han formado y convertido en la persona 
que soy ahora, así como por las personas que he tenido la fortuna de conocer. 
Quisiera agradecer a mi familia y amigos por el inmenso apoyo 
incondicional que siempre me han brindado, sin ustedes esto no hubiera sido 
posible, muchas gracias. 
 
Daniel Mañón, Mayo de 2013. 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
Índice 
 
Introducción ................................................................................................................................. 4 
Capítulo 1.- Teoría de Portafolios ............................................................................................ 6 
1.1.- Información y Eficiencia. .............................................................................................. 6 
1.2.- Relación Riesgo-Rendimiento. .................................................................................... 8 
1.3.- Correlaciones, Covarianzas y Riesgo Diversificable. ............................................ 11 
1.4.- Conjunto Eficiente y Optimización. .......................................................................... 16 
Capítulo 2.- Modelo de Black-Litterman ................................................................................ 22 
2.1.- Evolución Histórica. ..................................................................................................... 22 
2.2.- Introducción al Modelo de Black-Litterman. ............................................................ 25 
2.3.- Estructurando Black-Litterman. ................................................................................. 28 
2.3.1. Equilibrio. ............................................................................................................... 28 
2.3.2. Visiones del Inversor y sus Niveles de Confianza. .......................................... 32 
2.3.3. Fórmula de Black-Litterman. ................................................................................ 38 
2.3.4. Método de Idzorek. ................................................................................................ 39 
Capítulo 3.- Aplicación de los Modelos. ................................................................................ 44 
3.1. Contraste entre Modelos. ........................................................................................ 44 
3.2. Portafolio Mexicano. ................................................................................................. 58 
Conclusiones ............................................................................................................................. 63 
Bibliografía ................................................................................................................................. 66 
 
 
 
 
 
 
4 
 
Introducción 
 
En el transcurso de los años cincuenta, fue publicado el libro que puede 
ser considerado hasta ahora como la base de la teoría de portafolios bajo el 
nombre “Selección de Portafolios”, su reconocido autor, Harry Markowitz, se 
enfocó en estudiar el proceso de selección de portafolios, donde los modelos 
de carteras son herramientas cuyo principal objetivo es el ayudar a los 
inversionistas a decidir los pesos, o ponderaciones, sobre los activos dentro de 
cierta cartera. El gran impacto del trabajo de Markowitz se debía en mayor 
medida, al sustento que establecía sobre la parte teórica, en contraparte, el 
ámbito práctico no tuvo los mismos resultados, pues la composición de la 
cartera final bajo su enfoque no resultaba consistente ni intuitiva, de modo que 
los inversionistas no lograban obtener lo que en realidad estaban esperando. 
Fueron estos problemas en el modelo clásico de Markowitz, los que impulsaron 
a Fischer Black y Robert Litterman, a principios de los años noventa, a 
desarrollar un nuevo modelo cuyos resultados tuviesen un mejor 
comportamiento, partiendo del sustento tradicional del modelo de Markowitz y 
enfocándose en resolver sus disfuncionalidades prácticas; este nuevo método 
conocido como el modelo de Black-Litterman consiste en partir de un punto 
inicial conocido como portafolio de equilibrio para que, posteriormente, el 
inversionista realice “apuestas” en los activos sobre los que tenga alguna visión 
distinta del propio mercado y que como resultado desvíe del punto de partida, 
dicho portafolio, con base en los pesos asignados. 
El desarrollo del presente trabajo se divide en tres capítulos; el primero retoma 
los conceptos y metodología de la teoría de portafolios tomando en cuenta que 
lo que se verá en esa sección no será demostrado ni detallado tan 
minuciosamente debido a que el trabajo supone que el lector cuenta con una 
noción básica de la materia de portafolios de inversión, por esa misma razón en 
el desarrollo de ésta, son usadas imágenes conocidas y referidas de forma 
usual en la materia. En el segundo capítulo se desarrolla el modelo principal, 
partiendo de la historia que une el método clásico con el nuevo modelo 
previamente mencionado, tiene el propósito, no solamente de reconocer a sus 
autores, sino también, de detallar cada uno de sus componentes y hablar 
5 
 
sobre algunas de sus extensiones, también pretende servir como guía clara 
para quien lo utiliza. La tercer parte contempla una doble aplicación, 
primeramente se realiza un contraste entre ambos métodos y, posteriormente 
se implementa el nuevo modelo a partir de un portafolio formado con 
instrumentos del país; finalmente en el último apartado se encuentran las 
conclusiones. 
 
 
6 
 
Capítulo 1.- Teoría de Portafolios 
 
1.1.- Información y Eficiencia. 
 
El uso de la información es esencial, tomando en cuenta desde lo más 
cotidiano y simple, hasta lo más especializado. Una persona que tiene cierto 
conocimiento respectoa un tema le lleva un abismo de ventaja a los demás, en 
el ámbito financiero no es la excepción, por el contrario, la información es algo 
fundamental con lo que hay que contar a cada instante, particularmente, en los 
mercados. 
Sabemos de varios criterios para poder evaluar proyectos dentro de una 
empresa, y esto es, principalmente, el hecho de tomar decisiones financieras; 
sin embargo, a través del trabajo duro e incluso de la buena fortuna, una 
empresa es capaz de identificar los proyectos más viables; no es necesario ir 
muy lejos, todos somos testigos de la competitividad laboral diaria, si una 
compañía brinda servicios o proporciona productos, otra busca crear dichos 
productos o servicios a precios más bajos, o bien localizar alguna demanda 
insatisfecha para mejorarla o hasta desarrollar un nuevo producto. 
Dentro del mercado de Capitales (dentro del que encontramos el mercado 
accionario), nos encontramos con uno de los principales instrumentos a nivel 
mundial: las acciones. Éstas son un claro ejemplo para el cual es necesario 
conocer cierta información, lo anterior puede verse desde el punto de vista de 
una apuesta, la persona, o mejor dicho, el inversionista, no arriesgaría su 
dinero en algún juego del que no conoce las reglas o las oportunidades que 
puede tener de ganar… o perder, es algo similar; una acción, representa parte 
del capital de una empresa, pese a existir más de un solo tipo de acciones, 
refiriéndose a aquellas que pueden participar en la toma de decisiones y las 
que no, al final, sus movimientos siempre dependerán de todo lo que involucra 
a dicha empresa; conocemos sus ventajas, entre ellas el hecho de recibir 
inyección de capital o no comprometerse a pagar intereses como es el caso de 
la deuda pues en ésta si hay que pagarlos. Asimismo, la emisión de acciones 
7 
 
trae consigo desventajas, como compartir la participación en las ganancias y, 
dependiendo del tipo de acción de que se trate, permitir que se tome parte en 
las decisiones, por mencionar sólo algunas. 
Las acciones llevan involucradas un riesgo debido a que, al momento de 
adquirir alguna, quiere decir que se está participando en la “fortuna” de la 
empresa; uno de los factores que determinan los movimientos en el precio de 
una acción es la información, con base en ello, podemos entender el concepto 
de “eficiencia”; una definición adecuada podría ser la siguiente: un mercado de 
capital eficiente es aquel en el cual los precios de las acciones reflejan 
inmediata y totalmente la información disponible, de modo que la hipótesis de 
eficiencia de mercado se refiere a la velocidad o rapidez con la que se integra 
la información al precio y regresa al equilibrio. Esta hipótesis llega a ser 
“desafiada” por inversionistas o por las mismas compañías, pues hay quienes 
intentan tomar acciones que superan el promedio, es decir, si se quiere saber 
acerca de una compañía así como del comportamiento de sus acciones hay 
una enorme cantidad de información disponible (histórica y pública), pero de 
igual modo hay información que solo algunas personas de las mismas 
empresas conocen (privada) y el saberla, conlleva a ganancias, esto es, si 
alguien sabe más acerca de una compañía que otros inversionistas en el 
mercado, puede ganar de ese conocimiento invirtiendo en las acciones si hay 
buenas noticias sobre la empresa, o bien, vender sus instrumentos si hay 
malas. 
Otra opción en el manejo de la información es convencer a los inversionistas 
con información confiable sobre las fortunas de las compañías, de modo que se 
les pueda vender, “esto puede sonar un poco descabellado, pero es lo que 
hacen en verdad muchos vendedores de información en el mercado”1. Desde 
luego, al estar disponible la información y ser estudiada y usada con intención 
de hacer ganancias, el mercado se vuelve eficiente, ajustando inmediatamente 
el precio, por lo que no se tiende a incrementos o decrementos que le sigan al 
ajuste. Teóricamente, esto es cierto; sin embargo, en la práctica cotidiana el 
ajuste de precios no es tan veloz, en muchas ocasiones se aprecian reacciones 
 
1
 Ross, “Corporate-Finance Decisions and Efficient Capital Markets” Capítulo 12, pag. 339 
8 
 
retardadas en las cuales el mercado tarda varios días en integrar 
completamente la información más reciente o bien, en otras situaciones llega a 
haber una sobrerreacción que conlleva a una posterior corrección hacia el 
precio correcto de equilibrio, éstas son algunas muestras de cierta ineficiencia. 
 
1.2.- Relación Riesgo-Rendimiento. 
 
“¿Invertir?” Nos hacemos esa pregunta desde hace ya un tiempo, es lo 
que se cuestiona un inversionista ante un panorama inmenso que refleja la 
cantidad tan masiva de instrumentos e información disponible dentro de las 
empresas y los mercados financieros, sabemos que hay un número 
inmensurable de opciones, pues hasta existen combinaciones de índices o de 
los mismos instrumentos que podemos crear al momento de construir una 
cartera o un portafolio; lo realmente interesante es tomar la decisión de cuáles 
incluir. La base para lograr la mejor decisión es enfocarse en las dos 
principales características existentes dentro de la teoría general de los 
portafolios de inversión: El rendimiento y el riesgo. 
 
Para el promedio (rendimiento en este caso), en la teoría financiera se ha 
estudiado su importancia no solo desde el punto de vista estadístico como una 
de las más importantes medidas de tendencia central, sino también, para poder 
visualizar o darnos una idea de cuál pudiese ser el rendimiento esperado de 
cierta acción o instrumento dentro del mercado, con base, por ejemplo, en sus 
precios históricos; el método más eficiente que se conoce para el cálculo del 
rendimiento promedio de una acción es tomar la suma de los posibles 
resultados (rendimientos) y dividirlo entre el número de resultados, en caso de 
que tengan la misma probabilidad de ocurrencia, o bien, si los retornos llevan 
una diferente probabilidad de suceder, entonces se multiplica ésta por cada 
uno de los resultados, estas formas de obtener el rendimiento esperado de un 
activo pueden verse de forma muy general de la siguiente manera: 
9 
 
 
 
 
 
 
 
Donde: 
E( ): es el rendimiento esperado (o promedio) del i-ésimo activo. 
 : es el posible retorno o rendimiento j del activo i. 
N: el número de posibles resultados con igual probabilidad. 
Y 
 
 
 
 
Donde: 
 : es la probabilidad de ocurrencia del resultado j del activo i. 
Desde luego, la medida del rendimiento esperado no es la única necesaria, se 
debe recordar que un inversionista también debe considerar otra medida 
estadística profundamente relacionada con el promedio y es, por supuesto, la 
varianza (o desviación estándar para el manejo en la elaboración de los planos 
de media-varianza) la cual, dentro del ámbito financiero es mejor conocida 
como riesgo. Desde el punto de vista de la estadística, sabemos que la 
varianza es la medida que nos dice cuánto discrepan los posibles resultados 
con respecto a la media. 
Como se mencionó anteriormente, las acciones llevan involucrado un cierto 
riesgo, y día a día, los inversionistas consideran el riesgo que se adquiere con 
los diferentes instrumentos; sin más detalles, recordemos que la varianza del 
activo i podemos verla de la siguiente manera: 
 
 
 
 
 
 
 
Donde: 
10 
 
 
 : es la notación de la varianza del i-ésimo activo. 
Y 
 
 
 
 
 
Una vez que se han recordado los conceptos de la media y la varianza, así 
como su manera de calcularlas, se puede hablar entonces de la situación 
principal que engloba todo el universo de la teoría de optimizaciónde 
portafolios de inversión, ésta es: la relación riesgo-rendimiento. En realidad, la 
idea es sencilla, incluso intuitiva, se supone por ejemplo que un inversionista se 
encuentra frente a una situación común como lo es tomar una decisión entre un 
par de acciones o activos cualesquiera, la materia financiera y la propia 
experiencia han llevado a concluir, como es tratado en la literatura, que dicha 
decisión debe basarse en la racionalidad, es decir, que el inversionista 
preferiría adquirir la acción que le conceda un mayor rendimiento esperado 
siempre y cuando el riesgo de ambas acciones sea el mismo; o bien, se 
presenta otra opción igualmente válida, el inversionista puede decidir tomar la 
acción que le involucre un riesgo menor si el rendimiento esperado del par de 
activos se mantiene constante. 
En pocas palabras, la relación riesgo-rendimiento se puede simplificar de la 
siguiente manera como: si se tiene igual rendimiento, se elige el de menor 
riesgo; si hay igual riesgo, se opta por el de mayor rendimiento. 
En la práctica se ha demostrado que es más común encontrarse con activos 
que difieran tanto en riesgo como en rendimiento, incluso nos encontramos con 
los llamados “libres de riesgo2”, por ende, en estos casos nos preguntamos 
¿Cuál elige el inversionista? La respuesta depende de su aversión al riesgo3. 
 
 
2
 Los activos libres de riesgo denotados por , se refieren a aquellos que otorgan un 
rendimiento fijo y que no involucra riesgo. 
3
 La aversión al riesgo se refiere a que tan dispuesto esta un inversionista a sufrir variaciones 
económicas significativas. 
11 
 
1.3.- Correlaciones, Covarianzas y Riesgo Diversificable. 
 
Antes de continuar con la construcción del portafolio bajo el modelo 
básico, es conveniente mencionar los supuestos sobre los que está plasmada 
la teoría moderna de portafolios; al momento de construir y optimizar un 
portafolio son necesarias las tres predicciones principales que se enlistan a 
continuación: 
 Rendimientos esperados 
 Riesgos esperados 
 Correlaciones entre activos 
 
En los párrafos anteriores se ha hablado ya de las primeras dos, sin embargo, 
al tratarse de un portafolio que involucra varios instrumentos o activos, y no 
para un solo instrumento como el activo i como caso particular cuando se 
definió su rendimiento esperado y su riesgo, el inversionista al momento de 
realizar el cálculo toma en cuenta también las correlaciones existentes entre 
dichos activos. Dentro del cálculo de la varianza de un portafolio de inversión 
se encuentra involucrado el término de la correlación pues, al igual que desde 
el punto de vista matemático y estadístico, en el rubro de las finanzas se ve su 
importancia ya que es una medida que muestra la forma en la que se 
comporta un determinado activo con respecto a otro. Sin profundizar en lo 
anterior, y sólo para recordarlo y utilizarlo más adelante, el coeficiente de 
correlación denotado como “ρ”, con , describe el movimiento que hay 
entre dos activos, teniendo un valor máximo de +1 en caso de que ambos 
instrumentos siempre se muevan en la misma dirección, un mínimo de -1 
cuando uno se mueve completamente en sentido contrario respecto al otro y, 0 
que indica que se trata de dos activos independientes entre sí. Dependiendo 
de cómo sea el coeficiente de correlación, se tiene una curva de 
oportunidades de inversión como se muestra a continuación: 
12 
 
 
Imagen 1. Curvas de oportunidades (correlaciones) 
 
 
En general, las características de los portafolios se reducen a los supuestos, o 
predicciones, ya mencionados para colocarlos dentro del plano de media-
varianza, para el caso del rendimiento de un portafolio de cualesquiera N 
activos, se recuerda que el cálculo se ve como: 
 
 
 
 
Donde: 
 : es el rendimiento esperado del Portafolio P, a veces también denotado 
como 
 : es el retorno esperado del activo i. 
 : es el “peso” o ponderación que se aplica a cada rendimiento esperado de 
los activos, indicando la fracción del capital inicial que se ha de invertir en el 
activo i. Además, los pesos tienen la característica de que 
13 
 
 
 
 
 
Por otro lado, para el caso del riesgo de un portafolio, que involucra más 
aspectos a considerar dentro de su cálculo, se muestra la expresión del cálculo 
de la varianza: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Donde: 
 
 : es la varianza (riesgo) del portafolio P. 
 : es la covarianza entre el activo i y el activo j; recordando que dicho factor 
se puede ver como . 
Para el cálculo de portafolios eficientes, es bastante común el uso de la 
notación vectorial para facilitarlo, conceptualmente es muy similar a las 
operaciones anteriores, la diferencia más importante radica en la matriz de 
varianzas y covarianzas (Σ) que denota el riesgo de los activos financieros 
involucrados así como su variabilidad y, sobre todo, contiene las correlaciones 
entre los instrumentos que integran el portafolio. De modo que, el rendimiento 
esperado del portafolio se puede calcular de la siguiente manera: 
 
 
Donde: 
 : es el vector de pesos transpuesto. 
 : es el vector de rendimientos de los activos del portafolio. 
Mientras que la varianza: 
 
 
Donde: 
14 
 
 : es el vector de pesos. 
Σ: es la matriz de varianza-covarianza. 
Cabe mencionar, que en el caso de tener un portafolio con N activos con una 
participación de 
 
 
 cada uno y suponiendo que las varianzas de dichos activos 
sean las mismas ( ) y que todas las covarianzas entre sus elementos son 
iguales ( para i≠j), la expresión de la varianza del portafolio es equivalente 
a: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Donde, si se tiene que 
 ; a efectos de riesgo, las varianzas 
de los activos del portafolio desaparecen mientras se incrementa el número de 
instrumentos, sin embargo permanecen las covarianzas entre lo elementos que 
lo componen. 
El enfoque conocido de Harry Markowitz, de quién se hablará en breve, para 
conformar portafolios de inversión, vino a revolucionar el campo de las 
finanzas. La gran ventaja del criterio de media-varianza (μ-σ) es la facilidad de 
aplicación; la idea es pensar en el llamado “riesgo diversificable” ya que un 
portafolio bien diversificado disminuye el riesgo del mercado. 
 
Se observa la siguiente relación, 
 y se puede escribir como: 
 
 
 
O bien, 
 
 
 
 
Con base en lo anterior, el riesgo del portafolio ( ) es denominado riesgo 
sistemático, riesgo de mercado o no diversificable, que va asociado al propio 
portafolio. Por otro lado el riesgo diversificable o no sistemático es aquel que 
15 
 
puede ser eliminado en un portafolio con un número grande de activos, de 
modo que un inversionista elige un portafolio diversificado preocupándose 
solamente por el riesgo sistemático que se genera al agregar un nuevo 
instrumento, esto, hay que mencionar, habla del riesgo (varianza) del 
portafolio y no de los activos que lo componen4. 
 
 
 
Imagen 2. Riesgo del mercado. 
 
Con las imágenes anteriores y el recordatorio de los cálculos del riesgo, el 
rendimiento y la covarianza, se puede analizar y concluir que el efecto de la 
diversificación se produce si ρ<1, cuanto menor sea la correlación, la curva de 
oportunidades tendrá un mayor pronunciamiento, esto implica que la 
diversificación aumenta conforme el coeficiente de correlación decrece, 
observándose que si ρ=-1 podemos tener un portafolio con varianza 0, o en 
otras palabras, libre de riesgo, como se muestra en la imagen 1; en la práctica, 
los portafolios bien diversificados sonelegidos por los inversionistas ya que se 
 
4
 La característica más importante para determinar la varianza de un portafolio bien 
diversificado no es la varianza de los instrumentos individuales ya que si un portafolio tiene 
buena diversificación entonces se minimiza la exposición a riesgos específicos del portafolio. 
 
16 
 
les considera, bajo suposición, que son adversos al riesgo, evitando riesgos 
innecesarios como lo es el riesgo no sistemático o diversificable. 
 
 
1.4.- Conjunto Eficiente y Optimización. 
 
 
La teoría moderna de portafolios se debe al trabajo de Harry Markowitz5 
quién publicó en los años cincuenta el libro “Portfolio selection: efficient 
diversification of investments (1952)” en el cual desarrolló un modelo que 
marcó un hito en la evolución de la teoría financiera en la gestión de portafolios, 
mediante el cual, un inversionista logra optimizar su inversión (portafolio) a 
través de minimizar el riesgo y maximizar el rendimiento esperado, utilizando la 
esperanza del valor de la cartera de acciones como medida para el rendimiento 
y la varianza del portafolio para medir el riesgo. Maneja la idea de un 
inversionista racional, donde considera deseable el rendimiento esperado e 
indeseable el riesgo que involucran dichos rendimientos; insaciable, deseando 
siempre la máxima ganancia que se pueda obtener; adverso al riesgo, es decir, 
conseguir el riesgo y las pérdidas más pequeñas posibles; y, asume que 
poseen capital. 
 
5
 Harry Max Markowitz, nació en Chicago, USA, en 1927, Economista especializado en el 
análisis de inversiones. Obtuvo el grado de doctor en 1954. Recibió el Premio Nobel de 
Economía en 1990 junto a Merton Miller y William Sharpe gracias a su análisis de carteras de 
inversión. 
 
17 
 
 
Imagen 3. Conjunto eficiente (n activos) 
 
 
En esta imagen se observa el conjunto de oportunidades de inversión, donde 
todas las posibilidades de portafolios se encuentran dentro de la región 
convexa, la curva de portafolios lleva asociado el conjunto de portafolios 
factibles, esto se refiere a la línea curva completa de la imagen. Los puntos 1, 
2 y 3 representan carteras de distintos títulos y diferentes distribuciones, como 
se trató previamente, se puede tener un sinfín de combinaciones entre los 
mismos si se encuentran dentro de la zona convexa. No es usual lograr elegir 
una cartera con rendimiento esperado superior a la región factible, tampoco 
alguna con riesgo inferior. 
 
Los inversionistas que pueden elegir entre los distintos portafolios de inversión 
no van a aceptar ninguno que ofrezca un rendimiento esperado que se 
encuentre por debajo del que tenga asociado el llamado portafolio de Mínima 
Varianza (denotado por el punto MV de la imagen), la curva del punto MV a X 
es conocida como conjunto eficiente. Particularmente, analizando los 
portafolios R y W, ambos tienen el mismo nivel de riesgo asociado, sin 
embargo, la persona o inversionista en este caso, que desee seleccionar entre 
18 
 
éstas dos opciones de carteras debe elegir el portafolio R pues ofrece un 
rendimiento superior para el mismo riesgo deseado. 
 
 
Imagen 4. Línea de mercado de capitales y portafolio óptimo. 
 
 
Al introducir el activo libre de riesgo cuya notación usual es (punto θ en la 
imagen 4), se logra apreciar que su ubicación dentro del plano μ-σ es un punto 
sobre el eje de los rendimientos. Es posible aumentar el rendimiento a costa, 
desde luego, de incrementar el riesgo; la línea recta que muestra la imagen es 
denominada “Línea de Mercado de Capitales” (LMC) que es el conjunto de 
todos los portafolios eficientes, de modo que todos los inversionistas sin 
importar su grado de aversión al riesgo, seleccionarían un portafolio sobre esta 
línea. Con ello, se determina el punto de tangencia de la recta que pasa por el 
activo libre de riesgo y el conjunto de portafolios que forman la frontera 
eficiente, dicho punto es el portafolio óptimo “m” conocido como portafolio de 
mercado. Un inversionista racional determina el portafolio que desea por 
medio de la combinación del portafolio m con el activo libre de riesgo. Es 
importante mencionar que La línea de Mercado de Capitales se encuentra 
sobre el plano de media-varianza, es decir, la desviación estándar y el 
rendimiento esperado. 
19 
 
 
Después de un análisis profundo a lo largo del tiempo en la teoría financiera, 
específicamente dentro de la materia de carteras de inversión, es sabido que 
la mejor medida del riesgo de un activo cualquiera en un portafolio está 
definida por la “beta” del activo, la cuál es: 
 
 
 
 
 
Donde: 
 : es la covarianza del rendimiento del activo i con el rendimiento de 
portafolio de mercado. 
 : es la varianza correspondiente al mercado. 
 
El punto principal de la medida de riesgo β es analizar la sensibilidad que 
presenta el rendimiento esperado del activo con respecto al rendimiento del 
portafolio de mercado, es decir, una medida de que tanto afectan los cambios 
en el rendimiento del portafolio de mercado al rendimiento del activo, 
cumpliendo que el rendimiento se encuentra correlacionado de forma positiva 
con la beta que le corresponde, dando lugar a la Línea del Mercado de Valores 
mostrada en la imagen 5. 
 
20 
 
 
Imagen 5. Línea de mercado de valores. 
 
Dicha línea, referida al modelo de fijación de precios de capital, es decir, al 
CAPM, tiene la ecuación: 
 
 
Con las propiedades de que la beta de un portafolio es el promedio de las 
betas, β=0 se refiere al valor del rendimiento libre de riesgo, el valor β=1 en el 
plano corresponde al rendimiento del portafolio de mercado como se puede 
observar en la imagen 5; la línea de mercado de valores se puede aplicar tanto 
a activos como a cualquier portafolio bajo el plano definido por “beta” como 
medida de riesgo y el rendimiento esperado. 
 
La idea general de esta primera parte ha sido el recordar brevemente todo 
aquello que involucra y describe el amplio mundo de la teoría de portafolios, 
partiendo desde el concepto básico de información que es parte fundamental 
al tratar de comprender la esencia que envuelven los ya mencionados 
mercados eficientes y, a su vez, retomar las características más importantes 
que sustentan dicha teoría, es decir, el riesgo, el rendimiento y la relación 
21 
 
existente entre éstas que, a fin de cuentas, es el punto clave en la teoría de 
optimización de carteras de inversión. Incluso, las imágenes mostradas a lo 
largo del capítulo hacen referencia a los componentes, como la correlación 
entre activos que determina la curvatura de la frontera eficiente y el análisis de 
la diversificación, que se consideran en el modelo tradicional de Harry 
Markowitz, el cual tiene un gran sustento teórico que, hasta ahora, sigue 
siendo considerado como una revolución dentro del universo financiero. 
 
22 
 
Capítulo 2.- Modelo de Black-Litterman 
 
2.1.- Evolución Histórica. 
 
Dentro de cualquier materia existe, desde luego, un largo proceso a 
través del cual el análisis realizado, las hipótesis sentadas, las variables a 
considerar, etc., sufren diversas modificaciones. Al pasar de los años, nuevas 
teorías se han ido desarrollando para corregir, complementar o, incluso, 
mejorar y hasta rechazar las ya existentes. En el universo de las finanzas, más 
específicamente carteras o portafolios de inversión sucede exactamente lo 
mismo, en el capítulo anterior se hizo una descripción el modelo básico para la 
optimización de portafolios, sin embargo, antes de abordar uno de los modelos 
más recientes y eficaces como lo es el modelo de Black-Litterman, bien valdría 
la pena tomarse unos cuantos renglones para ligar, sin entrar en detalles, estos 
dos modelos. 
Recalcando lo que se fuemencionado anteriormente, la teoría moderna de 
portafolios se debe, en gran medida, a Harry Markowitz (1952), sin embargo no 
sería correcto decir que es el único precursor de la teoría de portafolios, pues 
poco tiempo después de su prodigioso y admirado trabajo, Andrew D. Roy6 
realizó un artículo del mismo rubro, y más aún, existe una contribución previa 
reconocida apenas hasta hace unos años, fue en 1940, cuando Bruno de 
Finetti7 entregó una publicación, un texto precursor de la teoría de portafolios. 
Doce años antes del documento de Markowitz, De Finetti puso los fundamentos 
sobre las finanzas modernas modelando las varianzas de los portafolios como 
la suma de las covarianzas8, sin embargo, De Finetti no habla de portafolios de 
activos financieros más bien el tema del que hablaba era sobre portafolios de 
pólizas de seguros. 
 
6
 Andrew Donald Roy ( 1920-2003) publicó su trabajo “Safety-First and the Holding of Assets” 
en 1952, tan solo unos meses después de Markowitz. 
7
 Bruno de Finetti (1906-1985) actuario, estadístico y probabilista italiano reconocido por su 
gran número de artículos publicados, trabajó como catedrático y en una compañía de seguros 
donde sentó las bases de la teoría de portafolios. 
8
 Bajo el criterio basado en la normalidad de los rendimientos, de Finetti justificó la eficiencia 
media-varianza. 
23 
 
Por su parte, Roy enfocó sus estudios en probabilidad, su concepto de 
problema de optimización se basaba en minimizar la probabilidad de ruina (en 
contraposición a Markowitz y Finneti sobre maximizar el beneficio) aunado al 
hecho de que en su enfoque, habla de la posibilidad de ser incorporadas las 
ventas en corto dentro de la Cartera que es una característica esencial en el 
portafolio de mercado en el CAPM, y no sólo eso, también introdujo el 
“paradigma” que rige la administración de riesgos financieros hasta nuestros 
días, el valor en riesgo ó VaR, que consiste en establecer nivel máximo de 
pérdidas posibles bajo un cierto nivel de confianza, que se consolidó como 
medida de riesgo hasta finales de los años ochenta. Esto nos da una idea de 
la profunda, y no suficientemente reconocida, importancia de estos dos 
precursores de la teoría moderna de portafolios. 
Posteriormente, para 1958, James Tobin9 realiza una expansión del trabajo de 
Markowitz introduciendo al análisis la tasa libre de riesgo, con lo que logra 
generar nuevas alternativas de inversión, esto es a lo que se le conoce como 
“teorema de la separación”. Tobin dice que el portafolio óptimo se obtiene 
mediante la combinación entre los activos riesgosos y el activo libre de riesgo 
provocando un ajuste entre el riesgo y el rendimiento del mismo constituyendo 
la “nueva” frontera eficiente llamada Línea de Mercado de Capital como se 
muestra en la imagen 4 de la sección anterior, donde el portafolio del mercado 
m es precisamente el punto de tangencia entre la Línea de mercado de 
capitales y la frontera definida por Markowitz. 
Durante 1964, William F. Sharpe10 busca simplificar el modelo de Markowitz 
tratando de determinar el valor intrínseco de cada activo introduciendo los tipos 
de riesgo sistemático y no sistemático como se aprecia en la imagen 2, de tal 
modo que se interesa en el riesgo que puede diversificar dentro de la cartera 
óptima; Sharpe desarrolló el modelo conocido como CAPM (“Capital Asset 
Pricing Model” por sus siglas en inglés) el cual explica el comportamiento de 
 
9
 James Tobin (1918-2002) fue un economista estadounidense, además de la cátedra, tuvo una 
destacada trayectoria siendo asesor del presidente John F. Kennedy, de la reserva federal y de 
la Fundación Ford, fue presidente de la Asociación Económica Americana y Miembro de la 
Academia Nacional de Ciencias, recibió el premio Nobel de Economía en 1981. 
10
 William Forsyth Sharpe nació en Massachusetts en 1934, recibió el premio Nobel de 
Economía en 1990 junto a Markowitz y Miller, estableció el modelo del CAPM, sin embargo fue 
desarrollado simultáneamente además por Jack L. Traynor, Litner y Mossin. 
24 
 
una acción en función del comportamiento del mercado. Además de ello, el 
CAPM se enfoca en tratar la conocida “Prima de Riesgo” con la cual, 
intuitivamente se logra entender que los rendimientos esperados de un cierto 
portafolio serán mayores cuanto mayor sea el riesgo que asuma el inversionista, 
dentro del mercado en equilibrio es simplemente el precio que se le paga a 
aquellos inversionistas adversos al riesgo, con el objetivo de que asuman dicho 
riesgo al buscar, desde luego, la maximización de sus respectivas funciones de 
utilidad. El modelo introduce la beta, que como se mencionó antes, es la 
medida de riesgo más aceptada en la actualidad, relacionándola con el 
rendimiento esperado de su correspondiente activo. 
Para finales de los años setenta, una interesante alternativa al modelo del 
CAPM fue formulada por Richard W. Roll y Stephen A. Ross conocida como 
Arbitrage Pricing Theory (APT), se habla entonces de una innovación 
importante al mencionar que el riesgo y la incertidumbre provienen de muchas 
posibles fuentes, así como que el rendimiento de los activos riesgosos depende 
de varios factores como la inflación, tasas de interés, etc. Dichas fricciones no 
son tomadas en cuenta dentro de los supuestos del CAPM; básicamente lo que 
se propone por Ross – Roll, es una generalización del modelo de Sharpe, sin 
embargo, esto conlleva una notable complejidad. 
Y fue finalmente en 1990, cuando los estadounidenses Fischer Black y Robert 
Litterman desarrollaron el modelo financiero-matemático de Black-Litterman 
que, a grandes rasgos, parte de dos puntos esenciales: los retornos o 
rendimientos del mercado y las opiniones del inversionista, para llegar a una 
implicación final: un vector de rendimientos esperados que generan portafolios 
diversificados. Desarrollaron el modelo en Goldman Sachs11 y fue publicado 
por la Financial Analyst Journal en Septiembre de 1992. 
 
11
 El Grupo Goldman Sachs (The Goldman Sachs Group, Inc.) o simplemente Goldman Sachs 
(GS) es uno de los grupos de banca de inversión y valores más grandes del mundo. 
25 
 
 
 
2.2.- Introducción al Modelo de Black-Litterman. 
 
Robert ‘Bob’ Litterman, co-desarrollador de Black en el modelo global de 
fijación de precios Black-Litterman es el antiguo director de Estrategias de 
Inversión Cuantitativa del grupo Goldman Sachs, al cual se unió en 1986, 
anteriormente fungía como Vicepresidente del departamento de análisis de la 
Reserva Federal en el estado de Minnesota; obtuvo su licenciatura en Biología 
Humana en 1973 en la universidad de Stanford y posteriormente el doctorado 
en Economía en 1980 en la Universidad de Minnesota. En 2008, SunGard12 y 
la International Association of Financial Engineers13 anunciaron a Litterman 
como el ganador del premio IAFE/SunGard Financial Engineer of the Year. 
Fischer Sheffey Black fue un economista de los Estados Unidos graduado de la 
licenciatura en Harvard en el año de 1959 y, en 1964 en la misma universidad, 
consiguió su doctorado en matemáticas aplicadas; se unió al grupo Goldman 
Sachs en 1984, donde 6 años después desarrolló junto con Litterman el modelo 
de Black-Litterman. Black es conocido en el mundo financiero por sus grandes 
contribuciones a la materia, entre ellas ser el co-autor de la famosa ecuación 
de Black & Scholes para la valuación de opciones financieras. En 1994, recibió 
el premio IAFE/SunGard Financial Engineer of the Year. 
Ambos colaboradores al recibir el premio son parte de un prodigioso grupo de 
premiados que han hecho notables aportes al mundo de las finanzas, entre 
ellos Jack Treynor, Jonathan Ingersoll, John Hull, John C. Cox, Robert Merton, 
StephenRoss, por mencionar algunos; el premio The annual IAFE/SunGard 
 
12 SunGard es un líder global en soluciones de software y procesos para servicios financieros, 
educación superior y el sector público. 
13 El IAFE es la organización dedicada a fomentar la profesión de las finanzas cuantitativas 
mediante la creación de plataformas para discutir temas de vanguardia y fundamentales en el 
campo. Fundada en 1992, el IAFE está compuesto por académicos y profesionales individuales 
de los bancos, agentes de bolsa, fondos de cobertura, fondos de pensiones, gestores de 
activos, las empresas de tecnología, reguladores, empresas de contabilidad, de consultoría y 
de derecho, y universidades de todo el mundo. 
 
http://www.iafe.org/
http://www.iafe.org/
26 
 
FEOY Award, se estableció en el año de 1993 y reconoce las contribuciones 
individuales para el avance tecnológico en la ingeniería financiera. 
Retomando el tema, como ha sido comentado, en 1952 Markowitz sorprendió 
al mundo con la publicación de su artículo sobre el modelo para construir 
portafolios óptimos, bases que resultan bastante sólidas en la teoría, sin 
embargo, no es así en la práctica. Uno de los grandes problemas es el uso de 
parámetros históricos como estimadores, ya que los inversionistas logran 
observar que los resultados obtenidos por medio del modelo clásico de 
optimización son, la mayoría de las veces, las llamadas “carteras extremas”, es 
decir, que se aprecian sesgos de importancia hacia alguno de los activos que 
componen la cartera o, en su caso, hacia un pequeño grupo de ellos. El modelo 
es bastante sensible, lo que conlleva grandes cambios y movimientos en la 
distribución de los activos generados incluso por el mínimo cambio en la 
rentabilidad histórica. 
Los inversionistas financieros se veían decepcionados por los resultados que 
generaban con el modelo tradicional, convirtiéndose en una razón adicional 
para que el conocimiento del modelo Black-Litterman y la familiarización de los 
inversionistas con éste ganara una gran popularidad. 
El modelo de Black-Litterman tiene como estructura fundamental el análisis 
bayesiano, lo que nos lleva a cuestionarnos ¿por qué precisamente éste 
enfoque? Repasando por un momento la teoría de la aproximación bayesiana, 
es sabido que al momento de estimar parámetros aún con la información 
muestral, el problema de cometer el famoso “error de estimación” es latente, ya 
que, no solamente se necesita un número considerable de datos para llevar a 
cabo la estimación, sino también podemos decir que en realidad en ocasiones 
se cuenta con información inicial respecto a los parámetros de cierta 
distribución, sobre todo matemática y estadísticamente hablando, pero más 
aún se puede contar con otro tipo de información como son las opiniones 
subjetivas y visiones de cada uno. La idea de la estadística bayesiana está 
enfocada en la teoría de la decisión, a la que ha aportado una teoría 
consistente que se encarga de manejar y darle estructura a las probabilidades 
subjetivas. 
27 
 
El eje principal de la estadística bayesiana, y el pilar primordial del modelo de 
Black-Litterman, es el teorema de Bayes: 
 
 
 
 
Donde, para nuestro caso: 
A: son los rendimientos esperados. 
B: es la información muestral. 
De modo que 
 : es la estimación de los rendimientos esperados dada la información, 
(distribución a posteriori). 
 : es la probabilidad de los datos dados los retornos esperados. 
 : son las opiniones sobre los rendimientos esperados, (distribución a priori). 
 : es la probabilidad de los datos. 
 
Algo que podemos decir sobre la distribución a priori es que se trata de la 
forma más adecuada en que se resume la información con la que se cuenta 
respecto a los parámetros, así como la incertidumbre acerca de los mismos, lo 
que permite un mayor grado de veracidad tras haber sido agregada toda ésta 
información; en consecuencia, y como el objetivo del análisis bayesiano, se 
obtiene la función de densidad a posteriori para los parámetros dados los datos, 
la cual involucra una combinación de las opiniones sobre los rendimientos con 
los datos observados, desde el punto de vista bayesiano, estos datos sirven 
precisamente para proporcionarle a las opiniones sobre los rendimientos un 
mejor detalle. Todo esto, desemboca en lo siguiente: al momento de que nueva 
información es incorporada, el posteriori que se tiene en este instante se 
convierte en las nuevas opiniones a priori dada la información recién agregada 
y así sucesivamente, en pocas palabras se trata de un ciclo de actualización de 
información que en la Materia de la Estadística Bayesiana se conoce con el 
28 
 
nombre de “Proceso de Aprendizaje”14, el cual es utilizado en el Modelo de 
Black-Litterman. 
 
2.3.- Estructurando Black-Litterman. 
 
Se menciona ya el origen de Black-Litterman como un modelo cuya idea 
base es solucionar los problemas con los que se encuentra el gestor en el 
enfoque clásico de Markowitz. En esta sección hablaremos acerca del equilibrio 
del cual parte el modelo, las visiones del inversionista así como su confianza en 
ellas junto con los componentes que integran Black-Litterman y, finalmente, se 
hará mención de una de sus extensiones más conocidas, el método de Idzorek. 
 
2.3.1. Equilibrio. 
 
Continuando con todos las “trabas” con las que se pueden encontrar en el 
modelo tradicional de portafolios, hay una en particular en la cual no se ha 
profundizado todavía, pese a que se detalla el proceso para la optimización del 
portafolio, la problemática es básicamente por el hecho de la poca información 
que se enfoca a los 3 conjuntos de datos (entradas o predicciones) 
previamente nombrados, es decir, el rendimiento esperado, el riesgo y 
correlaciones entre activos, que son necesarios para el modelo de Markowitz; 
los tres son sumamente relevantes, pero el “más importante” de ellos es el de 
la rentabilidad y es sencillo intuir que el punto inicial de los rendimientos es vital, 
para Black-Litterman ese punto de partida, y como primera característica de su 
propia esencia, es el equilibrio. 
Desde el punto de vista de Fischer Black y Robert Litterman, la definición de 
equilibrio es: el estado ideal en el que se iguala la oferta con la demanda, 
aunque dejan en claro que dicho estado en realidad raras ocasiones o, mejor 
dicho, casi nunca ocurre en los mercados financieros, pero argumentan que 
 
14
 Véase Anexo 1. 
29 
 
existen algunas características interesantes y llamativas respecto a esa idea. 
Ese equilibrio se ve distorsionado a cada instante por diversos factores que 
inevitablemente van ligados a los mercados, tales como lo son la falta de 
liquidez, información incierta y, en mayor medida, las fricciones; pues son éstas 
las que principalmente evitan que esas desviaciones desaparezcan o se 
corrijan rápidamente. Por ello, más que pensar en la suposición de “si el 
mercado se encuentra en equilibrio”, se considera otra idea en la que se adopta 
al equilibrio como “centro de gravedad”15; la teoría financiera no puede detallar 
toda la complejidad que involucran los mercados financieros, el modelo de 
Black-Litterman asume que los mercados se mueven hacia un equilibrio 
“racional” con el propósito de utilizar la teoría de portafolio16. 
Con lo anterior podemos decir que, en el caso del modelo de Black-Litterman, 
un buen punto de inicio para el equilibrio es el modelo global de fijación de 
precios, es decir, el CAPM, incluso así se propone en muchos de los textos que 
hablan sobre este modelo; de cierto modo, me atrevo a decir que, el Capital 
Asset Pricing Model es justo, por llamarlo de cierto modo, para los 
inversionistas ya que los recompensa por el hecho de tomar o asumir los 
riesgos que son necesarios.En el capítulo anterior se señaló el riesgo que 
implica el portafolio del mercado es algo que no podemos evitar, es parte del 
mismo portafolio, no obstante el riesgo “no correlacionado” con el mercado se 
logra evitar por medio de la diversificación, es por ello que en tantos textos se 
puede leer una y otra vez la implicación de: “Todo inversionista que no posee 
información más allá de la del resto del mercado debe obtener y mantener el 
portafolio óptimo de mercado”. Con esto, al momento de considerar los 
retornos esperados, se toman en cuenta los pesos del equilibrio con base en el 
CAPM, aunque hay que mencionar también un factor interesante y esto es la 
existencia de algún índice de referencia, como los conocidos benchmark que, 
 
15
 Entiéndase como la acción cuando todas las distorsiones y variaciones que sucedan en los 
rendimientos esperados de los mercados los lleven de vuelta al equilibrio, un concepto similar 
al de la regresión. 
16
 Litterman dice que la razón por la que se recomienda la aproximación del equilibrio es la 
creencia de que se trata de un punto de referencia apropiado y favorable en el cual se pueden 
identificar las desviaciones y tomar ventajas de ellas. 
30 
 
en caso de existir, el portafolio de equilibrio se aproxima al portafolio del índice 
y la medida de riesgo que se considera es el llamado “error de réplica”17. 
Asumamos entonces que existe un cierto número “n” de activos o instrumentos 
financieros, entre los cuales podemos encontrar las acciones, tal como se ha 
venido tomando a lo largo del trabajo; los rendimientos de dichos activos tienen 
una distribución normal con parámetros μ para la esperanza (rendimiento 
esperado) y la matriz de covarianza Σ, de modo que 
 . 
Algo a mencionar de la matriz Σ es que se supone constante y conocida, y 
contiene las varianzas y covarianzas entre todos los activos. 
Suponer la validación del CAPM, lleva a decir que la ecuación que optimiza el 
portafolio dentro de éste modelo puede derivar el vector de rendimientos de 
equilibrio; denotamos como Π a dicho vector, y considerando que se toma la 
suposición de que el mercado se encuentra en equilibrio (o al menos se puede 
decir que es eficiente), matemáticamente se tiene: 
 
Donde: 
 : Es el rendimiento del mercado. 
 : Es la tasa libre de riesgo. 
 : Es un vector de betas, el cual se expresa como: 
 
 
 
 
Siendo el vector de los pesos del portafolio de mercado, la varianza del 
mercado, los rendimientos de los activos. 
Sean 
 
17
 El error de réplica es la volatilidad de la diferencia entre el retorno del portafolio y el índice de 
referencia. 
31 
 
 , la matriz de varianzas y covarianzas de los rendimientos de los 
activos; y 
 
 
 
 , el coeficiente de aversión al riesgo, comúnmente establecido por 
los inversionistas, He y Litterman por su parte asumen que el factor λ es la 
representación del promedio mundial de tolerancia al riesgo. 
Entonces, sustituyendo en la ecuación del vector de rendimientos de equilibrio 
Π se tiene: 
 
Esta forma de construcción del vector de rendimientos de equilibrio se alcanza 
asumiendo que el CAPM es válido, sin embargo muchos otros autores usan el 
método de “optimización inversa”18 para llegar al vector. En cualquiera de los 
casos, la información histórica no influye directamente al momento de 
determinar Π19. Los rendimientos esperados de los n diferentes activos son 
precisamente el vector μ de dimensión n x 1, el cuál como distribución 
bayesiana a priori se supone normal con media Π, por tanto 
 Π 
Con considerada como un escalar que indica el grado de incertidumbre que 
se tiene sobre el cálculo de Π, es decir, sobre el CAPM; más adelante se 
entrará en más detalle respecto a la constante . 
Ya que se tiene el vector Π, se sustituye por μ para obtener la solución del 
problema de maximización sin restricciones que describe la función de utilidad 
del Anexo 2, es decir: 
 
 
 Π 
λ
 
 
Donde la solución es 
 λ 
 
18
 Véase Anexo 2 
19
 La derivación de la fórmula de Π puede observarse en mucha literatura, como en He y 
Litterman (1999), Satchell y Scowcroft (2000). 
32 
 
El punto de partida de los rendimientos esperados es clave, la idea es 
enfocarse en los rendimientos de equilibrio de mercado teniendo éstos un valor 
magnífico pues permiten un punto de comparación contra el cual cualquier 
inversionista que lo deseé puede comparar sus propias ideas; con esto se 
puede hablar sobre la segunda característica esencial en el modelo de Black-
Litterman que son las llamadas visiones u opiniones del inversionista. 
 
2.3.2. Visiones del Inversor y sus Niveles de Confianza. 
 
Cuando se refirió a los rendimientos esperados se mencionó que al hacer 
uso del equilibrio como punto de partida, éste se tomaba por considerar a los 
inversionistas racionales y que, teóricamente, deberían de llegar al mismo 
portafolio de mercado, La fórmula de Π, el vector de rendimientos de equilibrio, 
es la representación de los rendimientos esperados estimados por el mercado, 
en la práctica es bastante inusual que una persona quiera invertir en el 
portafolio óptimo de mercado ya que, comúnmente, tienen alguna opinión que 
difiere de los retornos de éste; en el modelo de Black-Litterman no es necesario 
que el inversor declare una opinión por cada uno de los activos del portafolio 
respecto a un rendimiento esperado, de modo que si no se tiene una visión en 
particular para alguno, éste simplemente se optimizará con el rendimiento de 
mercado correspondiente, en otras palabras, en caso de que no se cuente con 
ninguna expectativa sobre alguno de los activos que conforman la cartera se 
sugiere mantener el portafolio óptimo de mercado. 
Para continuar hablando y definiendo las visiones del inversionista, será 
utilizada la siguiente notación: como se hizo en la sección anterior, “n” es el 
número de activos que componen el portafolio, por otro lado, sea “k” el número 
de visiones que se tienen sobre los mismos, de modo que k ≤ n; todas las 
visiones del inversionista forman el vector Q de opiniones de rendimientos de 
dimensión k x 1 
 
 
 
 
 
33 
 
En realidad se puede decir que Black-Litterman es un modelo que concede 
muchas ventajas para quien lo implementa en la construcción de su cartera, 
pues permite al inversor expresar visiones tanto relativas como absolutas. Para 
ilustrarlo se tienen, por ejemplo, las opiniones que se enlistan a continuación. 
Un inversionista considera que: 
 Un activo de Brasil tendrá un rendimiento de X%. 
 Un activo Alemán será superior a un Francés en Y% 
 
Aquí se cuenta con un ejemplo de los 2 tipos de opiniones, la primera de ellas 
se refiere a una visión absoluta y la segunda es un ejemplo de una visión 
relativa, cabe mencionar que en el modelo tradicional de optimización, es decir 
bajo el método de Media-Varianza, no se pueden expresar las opiniones de tipo 
relativa y son éstas las que reflejan de mejor manera la realidad de cómo lo 
hacen los inversores. 
Todo esto es necesario para formar la matriz P, que es aquella en la que se 
seleccionan los activos que están involucrados en las visiones del vector Q, 
tomando en cuenta que el i-ésimo renglón de ésta está asociado a la i-ésima 
opinión de Q, ; con ello se ilustra a continuación la estructura de la matriz: 
 
 
 
 
 
Que es de dimensión k x n pudiendo alcanzar a lo más una dimensión de n x n 
en caso de que se tenga una opinión para cada uno de los activos que integran 
el portafolio o la cartera del gestor. Dentro de la matriz P, las entradas de las 
filas que correspondan a una visión absoluta, es decir,la opinión sentada 
afecta a un instrumento en particular sobre su posible rendimiento esperado, 
deben sumar 1; mientras que si se tratan de una visión relativa la suma debe 
ser igual a 0. Este hecho se debe a que se trata del tipo de visión en la que, 
mientras un instrumento visualiza una mejora por parte del inversionista, otro 
será superado, por lo que se contrarrestan esos pronósticos. Algo importante 
que se debe mencionar es que específicamente en las opiniones del tipo 
34 
 
relativas se puede involucrar 2 o más activos del portafolio20 de modo que 
aquellos activos que “se encuentren por encima”, es decir, que superen a otros, 
reciben un peso positivo; mientras que para los que “se encuentran por debajo”, 
se les asigna un peso negativo, esto cumpliendo con la condición de que el 
renglón de la opinión relativa sume 0. Una vez sentado lo anterior, se debe 
enfocar ahora en la forma de especificar los valores para las entradas de la 
matriz pues en la literatura relacionada con el modelo bayesiano ésta puede 
variar, originalmente se le asignaba un porcentaje a los activos que se veían 
envueltos en la(s) visión(es); por su parte, en el texto de Satchell & Scowcroft 
(2000), por ejemplo, usan un esquema de ponderación igual, en el que los 
pesos son proporcionales a 1 dividido por el número de respectivos activos que 
superan o son superados, con lo que, al final, se afectan de igual manera los 
pesos y por consecuencia pueden provocar cambios considerables entre el 
portafolio de mercado y el propio del inversionista. Un método recomendado 
para determinar los valores de las entradas de la matriz P que involucran los 
activos es por medio de un esquema de ponderación por capitalización de 
mercado, el cual dice que los pesos relativos para cada activo es proporcional 
al propio peso de capitalización de mercado del activo entre el peso total de 
capitalización del mercado de los activos involucrados, es decir, suponiendo 
que existe una visión en la que los activos A y B superarán a C y D, con 
ponderaciones de mercado de a, b, c y d respectivamente, entonces sus 
valores en las entradas de la matriz P para cada uno se establecería como 
 
 
 
para el activo A, 
 
 
 para B, mientras que para los instrumentos que serán 
superados quedarán como 
 
 
 y 
 
 
 para C y D respectivamente. 
La idea principal del modelo es combinar ese concepto de equilibrio con las 
visiones específicas del inversionista, sin embargo aún hay un punto importante 
a tratar, y es el hecho de que para cada una de las opiniones que el gestor del 
portafolio tenga sobre los activos, debe establecerse un nivel de confianza, no 
importa si se trata de una opinión relativa o absoluta, al final, para cada una se 
debe asignar un cierto nivel de confianza. 
 
20
 Véase Idzorek 2005 p.7 
35 
 
Precisamente uno de los aspectos más confusos sobre el modelo es el 
establecer las visiones que se tengan respecto a los activos como datos 
iniciales para ser utilizados dentro de la fórmula del modelo de Black-Litterman; 
reiterando lo comentado párrafos atrás, no es necesario el establecer o 
especificar una visión para cada uno de los activos del portafolio, no obstante 
por muchas o pocas que éstas sean lo importante es analizar la confianza (o 
manejándolo desde otro punto de vista, la incertidumbre) en las opiniones del 
inversor, esto resulta a final de cuentas en un llamado “vector de error” 
denotado como que tiene la particularidad de ser normalmente distribuido 
con media 0 y matriz de covarianzas Ω, es decir: 
 
Es por ello que cualquier visión se puede ver de la forma ; el vector de 
error puede tomar valores tanto positivos como negativos, solo diferentes de 
021. En general, la manera de representar las opiniones que se tengan sobre 
los activos es: 
 
Donde P, matriz k x n, y Q, vector k x 1, son conocidas. Sin embargo, el vector 
de error no se toma como un componente directo para el modelo de Black-
Litterman, lo que se considera es en realidad la varianza de cada error, 
denotada como ω. Por construcción del propio modelo, se requiere que cada 
una de las visiones sea única y no se encuentre correlacionada con ninguna 
otra, es algo primordial pues esto implica que se tiene la propiedad que la 
matriz de varianzas y covarianzas, cuya notación utilizada usualmente es Ω, es 
diagonal, con el i-ésimo elemento de su diagonal representado como 22. La 
matriz Ω es de dimensión k x k, alcanzando a lo más la dimensión de n x n en 
caso de tener una opinión para cada uno de los activos involucrados en el 
portafolio, exactamente el mismo criterio que para la matriz P; además, ésta 
tiene la propiedad de ser simétrica y con valor 0 en todas las entradas que no 
se encuentren en la diagonal como se muestra a continuación: 
 
21
 La única forma en que pudiese tomar el valor 0 es bajo el supuesto de que el inversionista 
está confiado en un 100% sobre su visión. 
22
 Se entiende el concepto de como la diferencia absoluta del error ε. 
36 
 
 
 
 
 
 
Solamente para analizar y contemplar todos los casos, puede darse el 
escenario que existan ceros en la diagonal de la matriz que representa la 
confianza en las opiniones o visiones del gestor Ω, esto es teóricamente 
hablando, bajo el supuesto que el inversionista esté completamente seguro de 
una o más opiniones, sin embargo, con ello la matriz puede, o no, ser 
invertible… “en teoría”, pero en la práctica no se le puede considerar con esa 
total certeza sobre las opiniones, por lo tanto, y reforzado por el hecho de que 
uno de los supuestos básicos del modelo de Black-Litterman es que el inversor 
no está completamente seguro sobre la visión, consideraremos que la matriz Ω 
es invertible. 
Con lo mencionado en el párrafo anterior, se puede decir entonces que el valor 
de los elementos es inversamente proporcional al grado de confianza del 
inversionista en la i-ésima opinión, es decir, si el gestor tiene gran confianza 
sobre la i-èsima visión entonces el elemento será pequeño, y viceversa; en 
general, si no se confía mucho en las visiónes entonces la composición del 
portafolio final dependerá en mayor medida del equilibrio y, por el contrario, si 
se cuenta con un mayor grado de certeza respecto a las opiniones, la 
composición final será determinada básicamente por éstas, lo que implica que 
las ponderaciones del nuevo portafolio se desviarán más del portafolio de 
equilibrio de mercado. 
Para calcular la matriz de incertidumbre de las visiones Ω, debemos enfocarnos 
momentáneamente en el escalar , donde éste se puede pensar como la 
incertidumbre respecto a la validez del CAPM o también considerarlo como un 
parámetro que asocia la certeza sobre qué tan preciso ha sido estimado el 
vector Π. Bajo este “enfoque” se entiende que un valor pequeño de este 
parámetro implica un alto grado de confianza en los rendimientos de equilibrio 
ya que provoca un decremento en los valores de la matriz de varianzas y 
covarianzas de los rendimientos históricos Σ; desafortunadamente, tanto el 
escalar como la matriz Ω son los parámetros más complicados de especificar 
en el modelo y, en acuerdo con los autores de la literatura del modelo de Black-
37 
 
Litterman, no hay una definición clara y tampoco homogénea para determinar 
su valor, por ejemplo, para Black & Litterman, debe ser un valor cercano a 0, 
otros autores, como lo es el caso de Lee, He & Litterman y el propio Idzorek, 
recomiendan un valor para el cálculo que se encuentre en el intervalo de 0.01 a 
0.05, mientras que Satchell & Scowcroft dicen que a menudo se toma como 1; 
incluso viéndolo también desde un punto de vista de la teoría de muestreo hay 
quienes establecen que =1/T, donde T es el tamaño de una muestrade 
rendimientos para la estimación del vector de rendimientos de equilibrio Π. 
Similar para la determinación del valor del escalar , el establecer un 
procedimiento para obtener la matriz Ω no es algo que se especifique dentro de 
los textos originales del modelo, se puede decir que es un cálculo que, al 
menos en un principio, le competía específicamente al propio inversionista, es 
por ello que al ser estudiado por diferentes autores se tienen algunas maneras 
de calcularla, se habla de proponer un intervalo de confianza, por ejemplo, 
estableciéndolo alrededor del rendimiento del vector de opiniones. Otro método, 
que es uno de los más comunes, es por medio de analizar la varianza de cada 
visión sobre los activos pues se le puede considerar como un buen punto de 
inicio para determinar la incertidumbre sobre dicha visión, para ello se supone 
que la confianza de la opinión, es decir, la varianza de ésta, es proporcional a 
la varianza del rendimiento del activo; éste método fue propuesto por He & 
Litterman (1999) en el cual calibran la varianza de las visiones con el escalar , 
de modo que: 
 
 
 
 
O bien 
 
 
Usando este método para calcular la incertidumbre en las visiones (la matriz Ω), 
la razón es la que entra al modelo, por lo que el valor del parámetro se 
vuelve irrelevante pues afecta el valor de las entradas de la diagonal de la 
matriz, pero al final el nuevo vector de rendimientos no se ve afectado. Años 
después, Thomas M. Idzorek propuso un nuevo método para determinar la 
confianza en las visiones, este método será analizado más adelante. 
38 
 
 
2.3.3. Fórmula de Black-Litterman. 
 
Como se ha mencionado a lo largo del presente trabajo, la idea 
fundamental de este modelo bayesiano es el combinar el punto de partida (la 
distribución a priori), es decir, los rendimientos de equilibrio del mercado, con 
las visiones particulares de los inversionistas sobre los activos (la distribución 
condicional) para generar el nuevo vector de rendimientos (la distribución a 
posteriori de los rendimientos, μ), este nuevo vector conocido como el vector de 
rendimientos de Black-Litterman está dado por: 
 
 
Los rendimientos esperados pueden verse también de la siguiente forma23: 
 
 
Bajo esta segunda manera de apreciar la distribución a posteriori se puede 
apreciar lo que se ha descrito hasta el momento acerca del modelo de Black-
Litterman, el nuevo vector de rendimientos parte del equilibrio y se desvía de 
éste con las visiones representadas con un vector . 
Ya con estos nuevos rendimientos calculados se procede a llevar a cabo la 
optimización del portafolio. Éstos se convierten en los nuevos datos iniciales 
del problema de optimización sin restricciones 
 
 
Donde 
 : es el vector óptimo de ponderaciones de Black-Litterman. 
Nuevamente se recuerda, en caso de que un inversionista no cuente con 
alguna visión que difiera con respecto del mercado debe conservar el portafolio 
óptimo del propio mercado, desde luego el modelo de Black-Litterman cumple 
con esa idea pues a partir de la fórmula del nuevo vector de rendimientos 
 
23
 Véase Anexo 3. 
39 
 
esperados se puede observar el hecho de que en caso de que el inversor no 
cuente con ninguna opinión, o bien, que la matriz P que selecciona los activos 
involucrados en dichas opiniones valga 0 y por ende la matriz Ω que expresa la 
confianza en las visiones tienda a ∞, el resultado del nuevo vector de 
rendimientos del portafolio será simplemente el vector de rendimientos de 
equilibrio, es decir, si no se tiene certeza sobre las opiniones, , tenemos 
 
Por otro lado, si analizamos el resultado de la fórmula de los rendimientos de 
Black-Litterman ahora con la condición del otro límite, , que se refiere al 
nuevo vector de rendimientos bajo un 100% de certeza sobre las visiones 
obtenemos el siguiente resultado: 
 
 
Donde se puede apreciar un hecho interesante y es que con la suposición de 
una confianza total en las opiniones del inversionista sobre los activos, el valor 
de ya no afecta el nuevo vector de rendimientos. 
 
2.3.4. Método de Idzorek. 
 
Idzorek realizó una gran aportación para reducir, tanto la dificultad del 
modelo de Black-Litterman, como la complejidad de especificar los elementos 
más abstractos y carentes de una clara determinación como los son el escalar 
 y la matriz Ω, propuso un nuevo método para especificar los elementos de la 
diagonal de la matriz, en otras palabras, para determinar los niveles de 
confianza de las visiones los cuales se utilizan junto con un nivel de confianza 
especificado por el inversor de entre 0% y 100% para cada una de las 
opiniones, ya que considera pueden existir otras fuentes de información 
adicionales a la varianza del portafolio que podrían afectar la confianza 
que el inversionista tenga sobre las visiones y, al mismo tiempo, se ahorra la 
dificultad de establecer el valor del parámetro . 
40 
 
Éste nuevo método propone fijar los valores de la diagonal de la matriz Ω en 0, 
para especificar así una confianza del 100% en las k visiones que se tengan 
sobre los activos, por lo que se podría analizar el hecho de que el resultado 
será el que se desviará más del equilibrio. El hecho de establecer una completa 
confianza respecto a las opiniones lleva a redefinir el nuevo vector de 
rendimientos como fue presentado previamente: 
 
 
Que se denotará con el subíndice “100%” para identificar el vector de 
rendimientos de completa confianza en las opiniones del vector original, de 
modo que reemplaza a para hallar el vector de ponderaciones 
basado en la confianza total , retomando lo antes visto, algo similar 
sucede reemplazando μ por Π, el vector de rendimientos de equilibrio, para 
obtener el vector de pesos del mercado w, y de igual modo el vector de 
rendimientos de Black-Litterman para llegar a ; con ello es posible 
determinar el nivel de confianza implícito en las visiones dividiendo cada 
diferencia de pesos entre su máxima diferencia, es decir, la confianza denotada 
por: 
 
 
 
 
Esto, sin embargo, refleja la varianza del portafolio de cada una de las visiones 
re-escalada por el escalar , , mas no considera el nivel de confianza 
particular del inversionista; por esa razón, Idzorek propone que los elementos 
ω deben de obtenerse a partir, precisamente, de esos niveles de confianza 
especificados por el propio gestor, lo que resulta en desviaciones (tilts) del 
portafolio aproximadas como el producto de la diferencia máxima de los pesos 
de los activos y el nivel de confianza del inversor, es decir: 
 
Donde: 
 : es la desviación aproximada provocada por la k-ésima visión (vector 
columna de nx1) 
41 
 
 : confianza en la k-ésima visión. 
Además, en ausencia de otras visiones, el vector aproximado de pesos 
“recomendados”, llamado también vector objetivo, resultante de la desviación 
causada por la k-ésima opinión, es: 
 
 
A continuación se replican los pasos a seguir en el procedimiento de Idzorek, 
éstos son los siguientes: 
1. Para cada una de las k visiones, se calcula el nuevo vector de 
rendimientos , usando la fórmula de Black-Litterman con un 100% 
de confianza tratando a “cada opinión como si fuera la única visión sobre 
los activos”. 
 
 
 
 
 
Donde 
 
 : es el vector de rendimientos basado en un nivel de confianza de 
100% sobre la k-ésima visión (es un vector columna de dimensión nx1). 
 : es el renglón de dimensión 1xn que identifica a los activos 
involucrados en la k-ésima opinión. 
 : es el escalarque representa la k-ésima visión
24 
 
2. En base al problema de maximización sin restricciones, se calcula el 
vector de pesos basado en una confianza del 100% sobre la k-ésima 
visión, 
 
 
 
 
24
 Idzorek menciona que en caso que la visión sea absoluta y se especifique como un 
rendimiento total en lugar de rendimiento en exceso, entonces se debe restar la tasa libre de 
riesgo. 
42 
 
 
3. Calcular las desviaciones máximas de los pesos respecto a las 
ponderaciones del mercado, , causadas por la k-ésima visión. 
 
 
 
4. Multiplicar los N elementos de por la respectiva confianza 
especificada por el inversor del portafolio sobre la visión k, , para 
estimar así la desviación provocada por dicha opinión. 
 
 
 
Donde 
 
 : es vector columna de dimensión nx1 que representa la desviación. 
 : es un vector columna de nx1 en el cuál los activos que se 
encuentran involucrados en la visión k reciben el nivel de confianza 
especificado por el propio inversionista mientras que aquellos activos 
que no son parte de la visión reciben el valor 0. 
 
5. Estimar el vector de pesos objetivo , basado en la desviación. 
 
 
 
6. Hallar el valor del k-ésimo elemento de la diagonal de Ω, es decir, , el 
cual representa la confianza sobre la k-ésima visión, eso minimiza la 
suma de las diferencias cuadráticas entre y . 
 
 
 
 
 
43 
 
Donde 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. Repetir del paso 1 al 6 para cada una de las k visiones y construir así la 
matriz diagonal Ω en la que los elementos de la diagonal son los 
calculados en el paso 6 y, finalmente, calcular el vector de rendimientos 
de Black-Litterman, . 
 
Según Idzorek, a través de este proceso el valor del parámetro permanece 
constante y no afecta al vector final de rendimientos esperados, un hecho que 
elimina la problemática de puntualizar un valor para dicho escalar; como bien 
menciona: “A pesar de la relativa complejidad de los pasos para especificar los 
elementos de la diagonal de Ω, la ventaja clave en este nuevo método es que 
permite al inversionista determinar los valores de Ω basados en una escala de 
confianza de 0% a 100%”25. 
En general, esta sección ha pretendido aterrizar y explicar a detalle el modelo 
de Black-Litterman surgiendo en realidad, más que como un método alternativo 
al modelo realizado por Markowitz en el enfoque clásico, como un trabajo que 
ha complementado y enriquecido en gran medida las aportaciones previas que 
han surgido al ir evolucionando la teoría financiera, específicamente en las 
carteras de inversión; se puede decir que en, prácticamente todos los aspectos 
del nuevo modelo, es más versátil pues deja de ser lineal y determinista para 
volverse “maleable” y práctico para cada inversionista, en particular basándose 
en el enfoque bayesiano cuyas características se pueden resumir en tomar el 
equilibrio de mercado como punto de partida y la inclusión de las visiones 
personales, el método de Black-Litterman ha tenido una respuesta positiva 
desde sus inicios y, desde luego, sobre éste se han hecho nuevos aportes y 
extensiones para facilitar su uso y disminuir la complejidad de los mismos 
componentes. 
 
25
 Idzorek 2005, p.26. 
44 
 
Capítulo 3.- Aplicación de los Modelos. 
 
Las secciones previas han servido para recordar el concepto de teoría de 
portafolios así como lo que éste engloba (Capítulo 1) y, además, se desarrolló 
el método de Black-Litterman para la gestión de carteras mejor comportadas 
(Capítulo 2), es por ello que esta tercera sección tiene el objetivo de mostrar el 
proceso del modelo de Black-Litterman. Primero, al contrastar ambos modelos 
con base en un portafolio conformado por acciones Estadounidenses (cabe 
resaltar que se ha optado por instrumentos Norteamericanos debido a que el 
mercado de Estados Unidos resulta ser más eficiente, según la materia, en 
comparación con el mercado Mexicano), posteriormente, para una cartera 
integrada por activos nacionales, se hará un ejercicio similar. 
 
3.1. Contraste entre Modelos. 
 
Previamente se mencionó el modelo desarrollado por Markowitz en 1952 
como un punto de partida que vino a revolucionar el marco histórico financiero, 
fue él quien se enfocó por primera vez en poner en práctica la diversificación de 
los portafolios, antes de su trabajo, a los inversionistas les importaba 
únicamente enfocarse en maximizar el rendimiento, de modo que sus cálculos 
se basarían exclusivamente en el rendimiento esperado de cierto número de 
activos para, finalmente, invertir toda su riqueza en el instrumento con mayor 
rendimiento . En su trabajo demostró que esa mentalidad no era, por decirlo de 
algún modo, la más adecuada, más bien se debe optar por construir portafolios 
conformados por varios activos en lugar de invertir todo en uno solo, pues, 
como lo indican las bases del modelo de media-varianza, en las carteras no 
solamente se toman en cuenta los rendimientos de los activos, sino también el 
riesgo de los mismos y, con ello, sea posible reducir el riesgo de exposición de 
todo el portafolio. Markowitz argumenta, también, que es necesario considerar 
los “co-movimientos” que son representados con las covarianzas entre los 
activos del portafolio. 
45 
 
En realidad, y solo por mencionar de forma muy breve, dentro del concepto 
fundamental de diversificación de activos también es conocida la 
“diversificación internacional”, en la que la misma experiencia ha demostrado 
que resulta ser de hecho beneficiosa a pesar que, en contra parte, el número 
de riesgos a considerar también aumenta, pues en este tipo de diversificación 
se contemplan el riesgo de crédito, las tasas cambiarias e incluso el riesgo 
político, entre otros, pero finalmente dependerá de la decisión del propio 
inversionista el cómo formará su portafolio de acuerdo a su particular tendencia 
hacia determinados instrumentos de inversión dentro de un mercado. 
Para realizar el contraste de ambos modelos, comenzando con el Modelo 
Tradicional, se han tomado los siguientes activos: 
1. Apple Inc. (AAPL) 
2. Amazon.com Inc. (AMZN) 
3. ACE Limited (ACE) 
4. Global-Tech Advanced Innovations Inc. (GAI) 
5. Avon Products Inc. (AVP) 
6. Papa John's International Inc. (PZZA) 
7. Novo Nordisk (NVO) 
8. Aspen Technology, Inc. (AZPN) 
9. Advanced Energy Industries, Inc. (AEIS) 
10. Latin American Discovery Fund Inc. (LDF) 
11. American Science & Engineering Inc. (ASEI) 
12. Hewlett-Packard Company (HPQ) 
13. Banco Macro S.A. (BMA) 
14. Banco Latinoamericano de Comercio Exterior, S.A (BLX) 
15. Health Management Associates Inc. (HMA) 
16. Yahoo! Inc. (YHOO) 
17. Wal-Mart Stores Inc. (WMT) 
18. Pepsico, Inc. (PEP) 
19. Alliance New York Municipal Income Fund Inc. (AYN) 
20. Carter's, Inc. (CRI) 
46 
 
Para el correcto proceso de optimización de portafolios se han analizado las 
tres predicciones esenciales para la fijación de activos, recordando que éstas 
son: el Rendimiento Esperado, el Riesgo Esperado y las Correlaciones entre 
los rendimientos de dichos instrumentos, con lo cual, por medio de las fórmulas 
mostradas en el primer capítulo, tenemos la siguiente tabla de rendimientos y 
varianzas así como la matriz de covarianzas de los instrumentos que 
conforman la cartera basados en los datos históricos de los rendimientos 
diarios de cada una de las acciones26: 
Activos R σ²
Apple Inc. 3.56% 48.36%
Amazon.com Inc. 3.76% 76.66%
ACE Limited 1.56% 52.91%
Global-Tech Adv. Innov. Inc. 8.32% 877.38%
Avon Products Inc. -1.60% 58.62%
Papa John's Int. Inc. 2.51% 54.12%
Novo Nordisk 1.63% 55.57%
Aspen Technology, Inc. 2.63% 85.44%
Advanced Energy