Clase 08 (Mas Propiedades del Estimador MCO) - Zaida Moreno Páez

Vista previa del material en texto

Econometŕıa I – EAE-250A
Más Propiedades del Estimador MCO
Jaime Casassus
Instituto de Econoḿıa
Pontificia Universidad Católica de Chile
Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 4-Abr-16
Tabla de Contenidos
1 Problemas de especificación del modelo
2 Estimador MCO de σ2
3 No linealidad de los regresores
Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 4-Abr-16
Sobrespecificación del modelo
• Se dice que un modelo está sobreespecificado cuando se incluye en la
regresión variables que no forman parte del modelo poblacional.
• Considere el modelo
y = β0 + β1x1 + β2x2 + . . .+ βk+1xk+1 + u
que satisface los supuestos de MCO, pero en la población se cumple
que βk+1 = 0.
• Para el estimador MCO ocurre que E [β̂k+1|X ] = βk+1 = 0, aunque
probablemente el valor obtenido de β̂k+1 en la muestra sea distinto de
cero.
• Incluir una o más variables irrelevantes en el modelo no influye en el
insesgamiento de los estimadores, pero afecta positivamente la
varianza de estos. ¿Por qué?
Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 4-Abr-16
Regresión Particionada
• Suponga que la regresión incluye dos conjuntos de variables, X1 y X2:
y = X β + u = X1β1 + X2β2 + u
• Demuestre que las condiciones de primer orden de MCO son(
X>1 X1 X
>
1 X2
X>2 X1 X
>
2 X2
)(
β̂1
β̂2
)
=
(
X>1 y
X>2 y
)
• Para β̂1 se cumple que
β̂1 = (X
>
1 X1)
−1X>1 y − (X>1 X1)−1X>1 X2β̂2
• ¿Qué representa el término (X>1 X1)−1X>1 X2?
• Si X>1 X2 = 0, los estimadores pueden ser obtenidos de regresiones
independientes. ¿Cómo seŕıa la varianza de los estimadores en este caso?
• ¿Cómo son las propiedades de los estimadores MCO de β1 si X>1 X2 6= 0 y en
la regresión se omiten variables incluidas en X2?
Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 4-Abr-16
Subespecificación del modelo
• Suponga que la población sigue la siguiente ecuación,
y = X1β1 + β2x2 + u
es decir, X2 tiene una sola variable.
• Considere el modelo excluyendo la variable x2
ỹ = X1β̃1
• ¿Qué supuesto no se cumpliŕıa en este caso?
• La relación entre los β̃1 y los estimadores MCO del modelo bien
especificado está dada por
β̃1 = β̂1 + β̂2δ̃1
donde δ̃1 = (X
>
1 X1)
−1X>1 x2.
• El sesgo del vector β̃1 es
E [β̃1 − β1|X ] = β2δ̃1
Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 4-Abr-16
Subespecificación del modelo (cont.)
• Para el caso en que X1 tiene una sola variable, el signo de δ̃1 es el signo de
la correlación entre x1 y x2.
• En la práctica, no se conoce la magnitud de β2, en general se tiene intuición
acerca de su signo, y por ende se puede tener una idea de la dirección del
sesgo de β1.
• Si en el modelo poblacional β2 = 0 ó x1 y x2 no están correlacionadas,
entonces β̃1 no tiene sesgo.
• Lo anterior no es extendible al caso en que X1 tiene más de una variable. La
correlación entre una variable explicativa de X1 y la variable omitida puede
sesgar todos los coeficientes.
• Por ejemplo, suponga que x11 y x2 están correlacionados, pero que x12 y x2
no lo están. Uno podŕıa pensar que β̃11 es sesgado, pero β̃12 insesgado. Sin
embargo, esto no es aśı. En general, ambos estimadores serán sesgados.
• Ejercicio: demuestre que Var(β̃1|X ) ≤ Var(β̂1|X )
Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 4-Abr-16
Tabla de Contenidos
1 Problemas de especificación del modelo
2 Estimador MCO de σ2
3 No linealidad de los regresores
Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 4-Abr-16
Estimador MCO de σ2
• Recuerde que la varianza de β̂j está dada por:
Var(β̂j) =
σ2
SSTj(1− R2j )
sin embargo, en la práctica se desconoce σ2.
• Dado que σ2 = E [u2],
∑n
i=1 u
2
i
n es un estimador insesgado de σ
2.
• Pero ui = yi − β0 − β1x1 − . . .− βkxk es desconocido, porque no se conoce
{β0, . . . , βk}. Estos coeficientes deben estimarse.
• Sea
σ̂2 =
∑n
i=1 û
2
i
n − k − 1
• Proposición: bajo los supuestos 1 a 5 se cumple que E [σ̂2|X ] = σ2.
• ¿Por qué el denominador es n − k − 1 en lugar de n?
Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 4-Abr-16
Tabla de Contenidos
1 Problemas de especificación del modelo
2 Estimador MCO de σ2
3 No linealidad de los regresores
Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 4-Abr-16
Variables en logaritmo
• Recuerde que
ln(x1) − ln(x0) = ln(
x1
x0
) = ln(1 + (
x1
x0
− 1))
≈ x1
x0
− 1 = x1 − x0
x0
=
∆x
x0
100 × ∆ln(x) ≈ %∆x
• Cuando xj se encuentra en logaritmo e y en niveles: un cambio de 1%
en xj se asocia a un cambio de 0.01βj en y .
• Por ejemplo, se estima la relación entre el resultado de una prueba
estandarizada de los colegios y los ingresos por distrito según la ecuación
ˆtest = 557.8 + 36.42 ln(ingreso)
Un aumento de un 1% en el ingreso del distrito se asocia con un incremento
de 0.01× 36.42 = 0.36 puntos en el test.
Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 4-Abr-16
Variables en logaritmo (cont.)
• Cuando y se encuentra en logaritmo y xj en niveles: un cambio de una
unidad en xj se asocia a un cambio de 100× βj% en y.
• Por ejemplo, se estimó la relación edad e ingresos para una subpoblación:
ˆln(ingresos) = 2.655 + 0.0086 edad
Cada año adicional de edad se asocia con un incremento de 0.86% en los
ingresos.
• Cuando xj e y se encuentran en logaritmo: un cambio de un 1% en xj se
asocia a un cambio de βj% en y .
• Por ejemplo, se estima la relación entre el resultado de una prueba
estandarizada en los colegios y los ingresos por distrito
ˆln(test) = 6.336 + 0.0554 ln(ingreso)
Un aumento de un 1% en los ingresos corresponde a un incremento de
0.0554% en los resultados esperados.
Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 4-Abr-16
Formas cuadráticas
• El MRL se refiere a una relación lineal entre los coeficiente que acompañan
a los regresores, y no necesariamente a los regresores entre śı.
• Considere el modelo
y = β0 + β1x + β2x
2 + u
• ¿Cuál es la interpretación de β1 y β2?
• En este caso, la predicción de y es
ŷ = β̂0 + β̂1x + β̂2x
2
lo que implica que
∆ŷ ≈ (β̂1 + 2β̂2x)∆x ⇒
∆ŷ
∆x
≈ β̂1 + 2β̂2x
• Un cambio en x genera un cambio esperado en y que depende del nivel de
x : el efecto parcial de x en y es variable.
• β̂1 es aproximadamente la pendiente de la relación entre x e y cuando x = 0.
Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 4-Abr-16
Ejemplo: efecto de experiencia en salario
• Considere la siguiente ecuación
ˆsalario = 3.73 + 0.298exper − 0.0061exper2
• La experiencia tiene un efecto inicial positivo pero decreciente en los salarios.
• El primer año de experiencia vale aproximadamente 29.8 centavos, el
segundo 28.6 centavos (0.286 = 0.298− 2× 0.0061× 1), y aśı.
• Cuando β1 y β2 tienen distinto signo, hay un valor de x a partir del cual el
efecto ceteris paribus de x en y cambia de dirección.
• En el ejemplo, este valor es x = | β12β2 | = 24.4 años, ¿por qué?
◦ Es posible que este resultado sea cierto.
◦ Hay pocas observaciones con valores de x mayores a 24.4.
◦ Hay variables omitidas relevantes que generan sesgo en los estimadores.
• Otros polinomios de mayor grado también pueden ser incluidos en un MRL.
Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 4-Abr-16
Términos de interacción
• En ciertas ocasiones el efecto parcial de un regresor x en la variable
dependiente y , puede depender del valor de otro regresor z .
• En este caso, se incluye en la regresión un término de interacción x × z .
• Por ejemplo, suponga el siguiente modelo para el precio de una vivienda
precio = β0 + β1msq + β2dorm + β3msq × dorm + β4banos + u
donde msq son los metros cuadrados de la vivienda y dorm el número de
dormitorios.
• En este caso se cumple que
∆precio
∆dorm
= β2 + β3msq
• Si β2 > 0, β3 > 0 la ecuación implica que un dormitorio adicional se
relaciona con un incremento en el valor de la vivienda, y estos incrementos
son mayores en viviendas de más metros cuadrados msq.
Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 4-Abr-16
Términos de interacción (cont.)
• Para resumir el efecto de dorm en precio se debe evaluar ∆precio∆dorm en valores
interesantes de msq, como su media, mediana o los quartiles extremos.
• Tambiénse puede reparametrizar el modelo de modo de simplificar la
interpretación.
• Por ejemplo, se puede plantear
precio = β0 + β1msq + β2dorm + β3(msq −msq)× dorm + β4banos + u
• En este caso, β2 representa el efecto ceteris paribus de dorm en precio,
cuando msq toma su valor promedio msq.
• Al momento de plantear el modelo se debe pensar no sólo en las variables
que influyen en la variable de interés y , sino también en la forma en que
ellas se relacionan para influir en y .
• A medida que se agregan más términos de interacción en el modelo y
polinomios de los regresores, la interpretación de los parámetros se vuelve
más compleja.
Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 4-Abr-16
	Problemas de especificación del modelo
	Sobrespecificación del modelo
	Regresión Particionada
	Subespecificación del modelo
	Estimador MCO de 2
	Estimador MCO de 2
	No linealidad de los regresores
	Variables en logaritmo
	Formas cuadráticas
	Ejemplo: efecto de experiencia en salario
	Términos de interacción