El teorema de Godel - Antonio Leon - Saúl Plutarco

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Antonio León Sánchez
El teorema de Gödel
Una aproximación crítica informal
Antonio León
El teorema de Gödel
Una aproximación crítica informal
Primera edición. Salamanca. 2011
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Contra el dogmatismo y la intolerancia
VI
Índice general
Prólogo IX
1. Los métodos de la ciencia 1
1.1. Dos asuntos pendientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Platonismo y biología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3. Platonismo y matemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4. Los métodos de la ciencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5. Corrupción científica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2. Crítica de la autorreferencia 29
2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2. Lenguaje, metalenguaje y autolenguaje . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3. Crítica sintáctica de la autorreferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4. Paradojas e inconsistencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.5. Paradoja del mentiroso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.6. Paradoja de Grelling-Nelson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.7. Características de las paradojas semánticas . . . . . . . . . . . . . . 49
2.8. Paradoja de Russell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.9. Paradoja de Richard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3. El Gran Teorema 61
3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.2. Codificación numérica de P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.3. La demostración del teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.4. Una crítica fugaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Referencias bibliográficas 74
VII
VIII
Prólogo
Llevamos veintisiete siglos discutiendo sobre si los mentirosos
mienten o no mienten cuando dicen que mienten; o si es posi-
ble terminar lo interminable; o si existen contradicciones con-
tradictorias y contradicciones no contradictorias. El infinito (el
supuesto término de lo interminable) y la autorreferencia (con
su cortejo de mentirosos que dicen que mienten) son los dos con-
ceptos claves en esas discusiones. También lo son en las ciencias
formales contemporáneas, aunque solo en ellas. En las ciencias
experimentales son un incordio del que a veces cuesta liberarse.
Lo que para unos es un paraíso para otros es una pesadilla o
una enfermedad, incluso un chiste. Las opiniones están, pues,
divididas, pero las que proceden del paraíso se oyen mucho más
que las otras. Lo que no implica que tengan más razón.
A pesar de las acaloradas discusiones que siempre provocaron,
ni el infinito ni la autorreferencia son asuntos que hoy se discu-
tan fuera del ámbito académico especializado. Conviene recor-
dar, sin embargo, que los asuntos académicos se alimentan de
recursos públicos y que acaban teniendo consecuencias sobre el
público que los alimenta. Es necesario, por tanto, que esos asun-
tos salgan de vez en cuando de sus escenarios académicos y se
expongan al público. Con mayor motivo si existe la sospecha de
que tienen consecuencias dañinas o que nos están forzando a ir
en la dirección equivocada. Ese podría ser el caso de la autorrefe-
IX
X Prólogo
rencia, a cuya revisión crítica informal se dedican las páginas de
este libro. Se destaca la informalidad de la crítica porque no es
un típico libro de texto ni un sesudo ensayo, sino una reflexión
crítica en tono divulgativo, aunque la crítica es muy severa. Se
critica la autorreferencia y también el esencialismo platónico que
la ampara, todo ello desde las posiciones propias del naturalis-
mo duro.
Al hojear el libro el lector podrá observar la presencia símbolos
lógicos más o menos formales, lo que podría causarle la erró-
nea impresión de que sus páginas no están destinadas al gran
público. No es así, el simbolismo utilizado puede resultar llama-
tivo pero es escaso y elemental, y no exige del lector formación
específica alguna. Es suficiente con el sentido común. Para com-
pensar, se ha incluido otro simbolismo más amable que también
refleja el contenido del libro, incluso de una forma más profun-
da. En cuanto al texto, sigue la máxima de Boltzmann-Einstein
de procurar por encima de todo la claridad de las explicaciones.
1.-Los métodos de la ciencia
1.1 Dos asuntos pendientes
El infinito y la autorreferencia son dos invenciones presocráticas
sobre las que llevamos discutiendo decenas de siglos. El primero,
el infinito, aparece en los argumentos de Zenón de Elea sobre la
imposibilidad del cambio; la segunda en una ocurrencia semán-
tica del filósofo cretense Epiménides. La razón de que provoquen
tantas discusiones es su extraordinaria capacidad de producir
paradojas. No hay nada en la historia de la ciencia que se pue-
da comparar con esa capacidad. Pero el brillante historial de
paradojas generadas por el infinito y la autorreferencia no es
precisamente un mérito formal porque, por el contrario, podría
ser la prueba de su inconsistencia. La frontera entre paradoja y
contradicción es tan sutil y confusa, y las paradojas generadas
por el infinito y la autorreferencia son tan numerosas, que la
sospecha de inconsistencia se hace inevitable. Y si la sospecha
se confirmase habría que poner patas arriba una buena parte de
las matemáticas y de la lógica contemporáneas, lo que natural-
mente provoca el rechazo rabioso de todos los que se cobijan en
esa parte del edificio de las ciencias formales.
1
2 Los métodos de la ciencia
El infinito y la autorreferencia resisten el paso de los siglos al
amparo de una curiosa corriente de pensamiento según la cual
la mente no elabora las ideas, contacta con ellas; las ideas tienen
existencia propia por encima de esta engañosa realidad orgáni-
ca. Es el platonismo o esencialismo platónico, cuya versión cris-
tiana (teoplatonismo) se atreve incluso a precisar el sitio exacto
donde yacen las Ideas: en la mente de Dios. De esa corriente
formaron parte el creador de la teoría matemática del infinito,
Georg Cantor, y el autor del Gran Teorema, obra cumbre de
la autorreferencia. Los dos fueron fundamentalistas platónicos
de escaso apego a las ciencias naturales.1 Seguramente porque
las ciencias naturales nunca fueron muy platónicas. Se com-
prende que Platón fuera platónico en tiempos de Platón pero,
dado su eclecticismo, hoy probablemente no lo sería. Conoce-
mos ya suficientes detalles del mundo físico y de los seres vivos
como para descartar esa ingenua visión del mundo. Por eso re-
sulta tan chocante su persistencia en una buena parte de los
matemáticos y lógicos del siglo XXI.
Para el platonismo contemporáneo el Gran Teorema (primer teo-
rema de incompletitud de Gödel)es el teorema más importante
de todos los tiempos. Fuera del platonismo se acepta con cierta
resignación, y si alguien se atreve a hojear sus interioridades,
enseguida comprende por qué es una buena idea la de seguir
callado. Mucha gente conoce el Gran Teorema, pero solo de oí-
das. Lo que invariablemente significa que no conoce el Gran Teo-
rema, no porque sea incompetente sino porque ese teorema se
suele presentar al gran público de una forma engañosa, como
en su momento veremos. Es un teorema intimidante que pare-
ce quedar fuera de la jurisdicción ordinaria de la ciencia. Nadie
ha osado criticarlo, aunque es posible hacerlo incluso con ins-
trumentos clásicos muy sencillos. Casi lo mismo ocurre con la
moderna teoría matemática del infinito, sus escasas críticas han
sido más bien ingenuas y las respuestas del infinitismo siempre
1Para el primer caso, el caso de G. Cantor, véase por ejemplo [23], [61], [16,
pag. 141]. Parael segundo: [69, pags. 235-236], [70, pag. 359], [30], [24] [63],
[45], [41]
El teorema de Gödel 3
feroces y a veces insultantes. El paraíso infinitista creado por
Cantor a finales del siglo XIX e inaugurado por Hilbert2 a prin-
cipios del XX, se ha convertido en una fortaleza inexpugnable
que domina sobre el amplio paisaje de las matemáticas contem-
poráneas. Pero el infinito y la autorreferencia no solo comparten
orígenes y seguidores, comparten también esterilidad científica
porque ni el uno ni la otra han servido nunca para conocer un
sólo detalle del mundo físico que la ciencia trata de explicar.
Ni el infinito ni la autorreferencia tienen mucho sentido fuera
del esencialismo platónico que los ampara. El platonismo, a su
vez, tampoco parece tener mucho sentido en la nueva concep-
ción de la mente que sugieren las neurociencias cada vez con
mayor claridad y detalle. En la sección siguiente haremos una
breve crítica biológica del platonismo. Le seguirá una reflexión,
también breve y necesaria, sobre las leyes de la lógica que funda-
mentan todas las ciencias y sobre los métodos de la ciencia, es-
tablecidos inicialmente por otro griego: Aristóteles, un discípulo
de Platón más naturalista que platónico.3 Tendremos entonces
la ocasión de comprobar la existencia de algunas limitaciones del
conocimiento científico mucho más interesantes que las estable-
cidas por el Gran Teorema, aunque casi nadie hable de ellas.
Aristóteles fue también su descubridor.4
Las discusiones científicas, incluso las discusiones formales so-
bre asuntos como el infinito o la autorreferencia, están expues-
tas a las miserias de la naturaleza humana. Las miserias de la
ciencia son poco conocidas, pero son tan reales y dañinas co-
mo el resto de las miserias. Existe una cierta imagen puritana
de la actividad científica que no se corresponde totalmente con
los hechos. Es verdad que los métodos de la ciencia, basados en
2Es muy conocida la cita atribuida a D. Hilbert, famoso entusiasta del infini-
to matemático: "[El infinito es] el fruto más admirable de la mente matemática
y, de hecho, uno de los más altos logros de los procesos intelectuales del hom-
bre. . . Nadie nos expulsará jamás del paraíso que Cantor ha creado para nosotros
3Los historiadores de la ciencia suelen considerar a Aristóteles como el
primer gran biólogo de la historia [82], [95], [59], [80] [92], etc.
4[3]
4 Los métodos de la ciencia
la continua discusión y verificación de los datos y de los argu-
mentos, hacen difícil la supervivencia de la corrupción y del fa-
natismo dentro de la comunidad científica, pero no son capaces
de erradicarlos definitivamente. La intensidad del fanatismo y
de la corrupción es menor en la ciencia que en otros templos
humanos y divinos, pero ahí están también. Sin ellos sería im-
posible explicar que hayamos llegado hasta donde hemos llegado
en ciertos asuntos como los dos que analizamos en este libro. El
fanatismo platónico, como todos los fanatismos, tolera mal la
crítica y se ensaña con los críticos. Parece entonces oportuno
incluir también una pequeña reflexión sobre la corrupción cien-
tífica antes de iniciar lo discusión crítica del infinito y la auto-
rreferencia.
1.2 Platonismo y biología
Las grandes teorías acerca del mundo se hicieron siempre al
margen de la biología, seguramente porque la biología disponible
no era la apropiada. La biología de calidad no fue posible has-
ta la segunda mitad del siglo XX, cuando se conocieron por fin
las claves moleculares de los seres vivos. A partir de entonces
las ciencias de la vida entraron en una fase de crecimiento ex-
plosivo que aún perdura. Pero esa es una historia muy reciente.
La biología moderna no ha tenido tiempo de impregnar ni a la
filosofía ni al resto de las ciencias. Los seres vivos siguen siendo
objetos extraños incluso para la física5. Pero son, somos, parte
del mundo y cualquier teoría que aspire a explicar el mundo ten-
drá que explicar a los seres vivos. En caso contrario no será una
buena teoría, o al menos no será una teoría completa. Curiosa-
mente fue un filósofo ilustrado, Immanuel Kant, el que más cer-
ca estuvo del concepto moderno de ser vivo,6 lo que significa que
5[71], [11] [68], [75], [77], [76]
6Véase [49], secciones 65 y 66
El teorema de Gödel 5
también se puede argumentar con acierto sobre la naturaleza de
los seres vivos sin entrar en sus detalles moleculares.
Decía Dobzhansky7 que en biología nada tiene sentido si no
es bajo el prisma de la evolución. Se podría cambiar el térmi-
no ’evolución’ por ’reproducción’ y la síntesis seguiría siendo
muy apropiada.8 Y no solo porque la segunda es el motor de
la primera. Es porque solo la reproducción puede explicar la ca-
racterística más notable de los seres vivos: la de ser objetos ex-
travagantes; objetos con propiedades que no se pueden deducir
de las leyes físicas. Tener el pecho cubierto de plumas rojas, o
de plumas amarillas, o desplazarse a saltos, o dejarse devorar
por la pareja mientras se copula con ella, son ejemplos de pro-
piedades (y la lista sería interminable) de algunos seres vivos
que no se pueden explicar con la sola ayuda de las leyes físi-
cas. Somos extravagantes porque estamos sometidos a una ley
de rango superior a todas las leyes físicas: la ley de la repro-
ducción (reprodúcete como puedas). Así es, el éxito en la repro-
ducción depende de ciertas características de los seres vivos que
con frecuencia no tienen ninguna relación con la eficacia en el
cumplimiento de las leyes físicas sino con preferencias arbitra-
rias como cantar, o bailar, o tener colores brillantes. Aunque, por
otra parte, para reproducirse hay que estar vivo, lo que supone
el ejercicio de una serie de habilidades funcionales en el ambi-
ente físico particular en el que cada organismo se desenvuelve.
Pero por muy adaptado que se encuentre un ser vivo a su medio
natural, por muy cumplidor de las leyes físicas que sea, si no se
reproduce, su adaptación y su excelencia física desaparecerán
para siempre con él. De modo que si para reproducirse hay que
trinar hasta morir, pues se trina hasta morir. Somos extrava-
gantes hasta donde las leyes físicas lo permiten, pero somos ex-
7[27]
8Desde luego la evolución es un proceso natural y negarlo sería tan estúpido
como negar la fotosíntesis o el ciclo de Krebs. Otra cosa es la teoría científica que
ha de explicar el proceso natural de la evolución. Como todas las teoría cientí-
ficas, la de la evolución orgánica es una teoría inacabada, abierta a numerosos
debates. Véase por ejemplo [96], [10], [101], [85], [91], [57], [28], [84], [19], [43],
[42], [90], [18] etc
6 Los métodos de la ciencia
travagantes.
Mientras la visión de los seres vivos como sistemas exquisita-
mente adaptados a su medio físico es un tópico en la biología
contemporánea (y una justificación para ciertas corrientes de
pensamiento pseudocientíficas como la teoría del diseño inteli-
gente), su visión como objetos extravagantes resulta, hasta donde
yo sé, desconocida. Por más evidentes y llamativas que resulten
muchas de esas extravagancias, no hemos caído en la cuenta de
que son extravagancias; caprichos arbitrarios fijados por la re-
producción y la evolución que no se pueden derivar de las leyes
físicas. Somos, además, los únicos objetos extravagantes en todo
el universo conocido. Más que el resultado de un diseño inteli-
gente (como pregonan los creacionistas) somos el resultado de
una caprichosa evolución acotada por las leyes físicas.
Una de las últimas y más notables extravagancias aparecidas
en la biosfera es la conciencia que exhiben tímidamente algunos
primates y de manera más rotunda la mayoría de los humanos.
Estamos aún muy lejos de comprender el significado biológico
y evolutivo de la conciencia. Disponemos de casi tantas teorías
como autores dedicados a su estudio.9 Pero seguramente es esa
sensación de individualidad subjetiva la que nos ha hecho in-
terpretar la representación neurosimbólica del mundo (que en-
seguida explicaremos) de forma tan diferente acomo lo hacen el
resto de los organismos. Me refiero al platonismo, a la creencia
de que las representaciones simbólicas existen de forma inde-
pendiente del cerebro que las crea. Probablemente sea un efecto
secundario de la conciencia de los propios símbolos que los sím-
bolos cobren vida propia. La conciencia del símbolo nos ha per-
mitido simbolizar toda clase de mundos imaginarios, incluyen-
do los mundos abstractos de las ciencias formales. Nos permite
también salirnos del tiempo presente, hacer elaboraciones men-
tales sobre el pasado y sobre el futuro. La conciencia del símbo-
lo y su generalización a mundos imaginarios junto con el pen-
9[9]
El teorema de Gödel 7
samiento recursivo debió de influir en la concepción del platon-
ismo, y en la mente de sus seguidores contemporáneos.
Si hubiera que elegir una palabra para describir el universo esa
palabra sería, sin duda, evolución. Del Big-Bang a los agujeros
negros; de la bacteria al filósofo. Todo cambia, todo fluye, co-
mo dijo Heráclito, otro presocrático. La realidad inmutable de
Platón no es de este mundo ni de ningún otro mundo conocido.
Es una visión ingenua de la realidad, muy alejada de la reali-
dad. Pero también es una visión antropocéntrica basada en la
arrogante convicción de que es posible explicar el mundo sin mi-
rarlo, sin tocarlo. Solo hay que mirar en la mente, en la conexión
platónica con el mundo verdadero, con el mundo trascendente
de las Ideas que de manera tan imperfecta se refleja en la rea-
lidad física, química y orgánica. Pero es exactamente al revés.
Platón confunde imperfecto con complejo, y perfecto con sim-
ple; ve imperfección en la complejidad del mundo y perfección
en su representación simplificada. El intenso siglo de biología
que estamos viviendo nos permite ya entender la funcionalidad
biológica de esas representaciones simplificadas del mundo ma-
terial.
Figura 1.1: El perro conoce las consecuencias
de la gravedad, la bola no.
Imagine el lector una bola de
plomo rodando cuesta aba-
jo hacia un precipicio final.
La bola caerá, no se detendrá
en el último instante al per-
catarse del inminente peligro.
Las bolas de plomo no se per-
catan de nada, simplemente
se mueven de acuerdo con las
leyes físicas. Imagine ahora a
un perro juguetón corriendo
tras la bola. A nadie le sorprenderá que el perro sí intente de-
tenerse y evitar la caída. El perro conoce las consecuencias de la
gravedad. Los seres vivos conocen todas las características del
medio físico que son relevantes para su supervivencia y su re-
8 Los métodos de la ciencia
producción. Más les vale, porque les va la vida en ello; o el éxito
reproductor que viene a ser lo mismo en términos genéticos. Pero
¿cómo conocen? ¿Acaso tienen en su interior una representa-
ción miniaturizada de cada objeto de su medio natural? Imposi-
ble, porque el medio natural es esencialmente dinámico y cam-
biante. Cuando un leopardo reconoce a una gacela no tiene más
remedio que hacer uso de un conocimiento simbólico, esencialis-
ta, platónico. No tiene un conocimiento concreto de cada gacela
concreta, conoce la idea de gacela y sabe hacer un uso apropia-
do de ese conocimiento, como muy bien saben las gacelas. Los
animales hemos seguido la estrategia de conocer el mundo para
mantenernos en él; y lo conocemos mediante representaciones
simbólicas y abstractas. Sin ellas la vida animal no sería posible
porque en ellas está basada nuestra estrategia de supervivencia
y reproducción. Necesitamos conocer para vivir, es nuestro des-
tino. El esencialismo platónico tiene entonces una fácil y prag-
mática explicación natural: más que en la realidad trascendente,
es en la realidad neuronal del cerebro activo donde hay que bus-
car el origen de las ideas.
El reflejo simbólico es una representación neuronal interna del
mundo externo que los animales elaboran a partir de su acción
y experiencia con el mundo, y donde seguramente la imitación
desempeña un papel destacado.10 Sabemos ya que la percep-
ción y la cognición son procesos constructivos que tienen lugar
en diferentes etapas y en diferentes áreas del cerebro, y que son
finalmente ligados en un único resultado final (binding prob-
lem11). Las ideas se elaboran a partir de componentes abstrac-
tos, los átomos del conocimiento, de modo que los mismos átomos
se reutilizan para componer diferentes ideas. Y no solo las ideas,
también las percepciones sensoriales de los objetos simbolizados
se componen de esa forma atómica y abstracta, seguramente
para filtrar la información tan variable que llega del mundo físi-
co y poder identificar con garantías los diferentes objetos.12 Es,
10[50], [39], [86], [102]
11[87], [21], [94], [22], [51]
12[105], [62]
El teorema de Gödel 9
por otra parte, mucho más eficiente y plausible que así sea. Te-
ner una representación simbólica de cada objeto particular del
medio físico de un organismo sería inconcebiblemente más com-
plejo y costoso desde todos los puntos de vista.
Parece, pues, que las ideas y las sensaciones se construyen com-
poniéndolas a partir de las diferentes unidades abstractas el-
ementales registradas en diferentes áreas del cerebro. La im-
portancia de la representación simbólica y abstracta del mun-
do externo en el cerebro humano (y en el de otros animales) se
sospecha desde hace más de un siglo,13 pero hay que recono-
cer que ignoramos casi todos los detalles acerca del modo en
que esa representación se construye y en la que seguramente
los genes desempeñan, como ocurre en casi todas las funciones
biológicas, un papel director (genético y epigenético).14 El reflejo
interno del mundo externo, continuamente activo, es el que real-
mente guía nuestra vida y el que consume la mayor parte de la
energía utilizada por el cerebro.15 Irónicamente los procesos de
reflexión profunda, como la resolución de problemas matemáti-
cos, apenas consumen recursos cerebrales. El reflejo simbólico
seguramente es, o al menos forma parte de, lo que hasta aho-
ra veníamos llamando subconsciente. La novedad que nos han
traído las neurociencias es su enorme relevancia en el ejercicio
diario de la vida. Aunque no nos lo parezca es él quien elabora
la inmensa mayoría de nuestras respuestas al mundo.
El reflejo simbólico ha de captar también la lógica natural del
mundo, el modo peculiar en el que las cosas ocurren. Sin ese co-
nocimiento de la lógica del mundo no podríamos los seres vivos
reconocer su dinámica y dar las respuestas apropiadas a sus
continuos desafíos. Quizás sea esa la explicación de que nuestra
lógica, nuestras matemáticas16 sean capaces de explicar el mun-
13[47]
14[74], [73]
15[81]
16Los humanos y algunos primates podríamos disponer de circuitos neu-
ronales específicos para tratar de cuestiones matemáticas [25], [26], [44]
10 Los métodos de la ciencia
do. Vienen de él, son configuradas por él. Pero lamentablemente
la mayoría de los matemáticos ignoran la biología. Y no solo los
matemáticos, algunos filósofos también la ignoran. Ignoran la
necesidad biológica de una correcta correspondencia entre los
elementos del mundo físico externo y los elementos mentales de
su reflejo simbólico. Sin esa correspondencia la vida sería im-
posible. Y de esa correspondencia vienen el lenguaje y la ciencia.
El lector puede sacar sus propias conclusiones sobre de es-
ta breve crítica biológica del platonismo. Aunque también tiene
derecho a pensar que él no conoce mediante procesos neuronales.
El que esté libre de neuronas que tire la primera piedra. Para los
que creemos en la naturaleza orgánica de nuestro cerebro y en
sus habilidades perceptivas y cognitivas modeladas durante más
de 3600 millones de años de evolución despiadada, hace ya mu-
cho tiempo que el platonismo dejó de tener sentido. Será desde
esta perspectiva naturalista, no platónica, desde la que desarro-
llaremos nuestra crítica del teorema de Gödel.
1.3 Platonismo y matemáticas
Para el esencialismo platónico, el mundo físico percibido por
los sentidos es solo un reflejo pálido e imperfecto de la reali-
dad trascendentede las Ideas. Los números y los conjuntos, por
ejemplo, tienen existencia propia más allá de la mente humana.
La mente humana no crea los números ni los conjuntos, contac-
ta con ellos; y lo hace mediante ciertas facultades extraordinar-
ias que solo nosotros, los humanos, poseemos. Las dos figuras
más emblemáticas del pensamiento matemático contemporáneo,
el fundador de la moderna teoría del infinito Georg Cantor (1845-
1918) y el autor del Gran Teorema (1906-1978), fueron dos apa-
sionados militantes del esencialismo platónico. Nos dejaron so-
bradas pruebas de esa militancia, por ejemplo en 1885 Cantor
El teorema de Gödel 11
escribe a su colega Charles Hermite (1822-1901) en los siguien-
tes términos ([61]; texto y referencia citada en [32]):
Dice usted [Hermite] muy bellamente en su carta del
27 de Nov.: «Los números (enteros) me parecen consti-
tuir un mundo de realidades que existen más allá de
nosotros con el mismo carácter de absoluta necesidad
que las realidades de la naturaleza, cuyo conocimiento
nos es dado por los sentidos, etc.» Permítame, sin em-
bargo, el comentario de que en mi opinión la realidad
y absoluta legalidad de los números enteros es mu-
cho mayor que la del mundo sensorial. El que así sea,
tiene una única y muy simple razón, a saber, que los
números enteros existen en el grado sumo de realidad,
tanto separados como en su totalidad actualmente in-
finita, en la forma de ideas eternas in intellectu Divino.
Para Cantor conocer es recordar, despertar lo que duerme en
nuestro interior ([16], pág. 141):
[El conocimiento seguro] solo se puede obtener me-
diante conceptos e ideas que a lo sumo son sugeridos
por la experiencia externa, pero que en lo esencial se
forman por inducción y deducción internas, como al-
go que de algún modo estaba ya en nosotros y solo es
despertado y traído a la conciencia.
El platonismo teocéntrico de Cantor no solo situaba el infinito
en la naturaleza de Dios, lo situaba también en la naturaleza
física: el universo habría de contener ℵ0 (léase alef cero, alef es
la primera letra del alfabeto hebreo17) mónadas materiales y ℵ1
17
ℵ0 es el primer número (cardinal) transfinito, el primer número mayor que
todos los números naturales. Es el número de elementos (cardinal) del conjunto
N de los números naturales. ℵ1 es otro cardinal mayor que ℵ0. Las mónadas son
los verdaderos átomos de la verdadera realidad, según Leibniz. No tienen forma,
12 Los métodos de la ciencia
mónadas etéreas.18 Cantor no tenía muy buena opinión ni de la
física ni de la biología de su época,19 que ya apuntaban hacia
una naturaleza bastante más discreta.
Después del platonismo teocéntrico de Cantor, los objetos mate-
máticos bebieron de otras fuentes existenciales. Particularmente
del argumento de la indispensabilidad20 que nos propone:
Resulta obvio que las ciencias experimentales como la
física explican satisfactoriamente los fenómenos natu-
rales y hacen pronósticos de alta precisión. Para ello
resulta indispensable la ayuda de las matemáticas.
Hemos de aceptar, en consecuencia, que las matemá-
ticas son verdaderas y por tanto que sus entidades
tienen que existir.
Este curioso argumento, que recuerda al de San Anselmo de
Canterbury sobre la existencia de Dios,21 ha recibido numerosas
críticas,22 pero a pesar de ellas sigue siendo uno de los funda-
mentos ideológicos del platonismo. El autor del Gran Teorema
reconoció la importancia del platonismo en la gestación de sus
celebrados teoremas, aunque el suyo es un platonismo más su-
til:23 la matemática dispone de objetos cuya existencia nos viene
ni comienzo, ni fin. Son indivisibles e individuales, ninguna mónada es idéntica
a otra. Están sometidas a un continuo proceso de cambio hacia la perfección
(appétitions) [52]
18[15] referenciado en [23]
19[23]
20[78]
21De acuerdo con este argumento es posible demostrar la existencia de Dios
a partir de la mera comprensión intelectual del concepto de Dios. Dios, argu-
mentaba San Anselmo, es aquello más allá de lo cual no puede pensarse nada
más perfecto. El incrédulo entiende esta definición, por tanto está en su en-
tendimiento. Pero lo más perfecto ha de existir no solo en el entendimiento, ha
de existir realmente porque en caso contrario no sería lo más perfecto ya que le
faltaría la existencia real. Entonces aquello más allá de lo cual no puede pen-
sarse nada más perfecto ha de existir realmente; y es Dios
22[99], [1], [2], [13]
23Realismo matemático [31], [55], [56]
El teorema de Gödel 13
dada junto a otros de naturaleza teórica e hipotética que se intro-
ducen por razones de conveniencia explicativa. Él compara los
conjuntos con los objetos reales y los axiomas matemáticos con
las leyes fundamentales de la naturaleza ([69], págs. 325-326):
Sin embargo, también pueden concebirse las clases y
los conceptos como objetos reales, a saber, las clases
como ”pluralidades de cosas” . . . y los conceptos co-
mo las propiedades y las relaciones de las cosas que
existen independientemente de nuestras definiciones
y construcciones. Me parece que la aceptación de tales
objetos es tan legítima como la aceptación de los cuer-
pos físicos y que hay tantas razones para creer en la
existencia de aquellos como en la de estos.
Salvo alguna tímida excepción,24 en las discusiones acerca de
la naturaleza del conocimiento científico y matemático nunca
aparece la biología evolucionista. Se pretende conocer la natu-
raleza del conocimiento ignorando la naturaleza y la historia del
órgano que lo produce. No parece una actitud muy prudente
porque ese órgano lleva inscrito el reflejo simbólico del mun-
do, incluyendo los fundamentos lógicos de su funcionamiento.
Miles de billones de organismos durante cientos de millones de
años lo han llevado inscrito en sus redes neuronales. Gracias a
él han podido desenvolverse con éxito en un mundo complejo y
dinámico, pero también en un mundo sujeto a normas, a leyes
compatibles con el ejercicio de la vida. Por pura necesidad fun-
cional esas leyes han tenido que ser captadas e inscritas en el
patrimonio genético de la biosfera y por tanto de la humanidad,
vanguardia racional de lo viviente. No parece que pueda exis-
tir un sitio mejor donde buscar la naturaleza del conocimiento
matemático. Tal vez deberíamos dar ese paso y dejar en paz a
Platón.
24Por ejemplo [5], [32]
14 Los métodos de la ciencia
1.4 Los métodos de la ciencia
La ciencia es única, pero existen al menos dos modos de prac-
ticarla: el modo formal y el modo experimental. La mayoría de
los científicos no usan ni el uno ni el otro de forma exclusiva,
sino más bien una manera personal con diferentes dosis de ca-
da uno de ellos (otra cosa es la forma ’encorsetada’ y aburrida de
presentar los resultados en las publicaciones científicas, en las
que parece que todo el mundo hubiera seguido los mismos pa-
sos25). Como veremos enseguida, el modo formal y el experimen-
tal, se usen en las dosis que se usen, comparten una caracte-
rística muy significativa: la incertidumbre de sus fundamentos.
Esa incertidumbre marca los límites del conocimiento científico,
y lamentablemente lo hace allí donde las cosas se ponen más
interesantes. El gran publico desconoce esa servidumbre. Los
científicos suelen ignorarla. Y aquí tenemos que recordarla. Esa
incertidumbre, de la que ya se hizo eco Aristóteles,26 es mucho
más inquietante que las restricciones derivadas del Gran Teore-
ma, aunque casi no se hable de ellas.
En las ciencias formales, como las matemáticas, se persigue de-
mostrarlo todo, incluso si se ignora el significado de lo que se
está demostrando. Bertrand Russell decía que en matemáticas
nunca sabemos de lo que estamos hablando, aunque de lo que
estamos hablando sea verdadero. Y el físico Richard Feynman
mantenía que las matemáticas no son una ciencia,27 al menos
no en el mismo sentido que lo son la física o la biología. En
cualquier caso el objetivo de las matemáticas es demostrar lo
que haya que demostrar. Pero las demostraciones no se hacen
solas. Para demostrar A (sea lo que seaA) tendremos que apo-
yarnos en B (que no será lo mismo que A); y para demostrar
B necesitaremos de C; y para probar C necesitaremos D, y así
indefinidamente. De modo que si pretendiéramos probarlo todo
25[60]
26[3]
27[34, vol. 1]
El teorema de Gödel 15
caeríamos en una regresión infinita28 de pruebas. La solución
consiste en dejar sin prueba los enunciados más básicos y de-
mostrar todos los demás a partir de ellos. Los enunciados que se
aceptan sin demostración reciben el nombre de axiomas.
Cuanto más autoevidentes y menos numerosos sean los axio-
mas de una ciencia formal, mejor fundada estará esa ciencia.
En el caso de la lógica existen tres axiomas o leyes fundamen-
tales que resultan muy razonables. Todas las ciencias asumen
esos tres axiomas o leyes fundamentales: la Ley de Identidad,
la de No Contradicción y la del Tercero Excluido. Aunque sólo
las dos primeras son realmente necesarias. El Principio o Ley de
Identidad suele enunciarse con frases como:
Una cosa es lo que es, y no es lo que no es
o con igualdades del tipo:
A = A
siendo A cualquier cosa. Pero las cosas que nos interesan aquí
son las proposiciones, los enunciados declarativos (frases que
dicen algo acerca del mundo, excluidas las interrogaciones y las
exclamaciones). Desde el punto de vista proposicional la primera
ley de la lógica se escribe:
p ⇒ p
que se lee: si p es verdadero entonces p es verdadero; o de forma
abreviada: si p entonces p; siendo p cualquier enunciado decla-
rativo (una frase en la que se declara algo acerca del mundo;
28Es la regresión infinita de la que habla Aristóteles en sus Tratados de Lógica
[3]
16 Los métodos de la ciencia
quedan excluidas las preguntas y las exclamaciones). Alternati-
vamente, la primera ley también se escribe:
¬p ⇒ ¬p (1)
que se lee: si p no es verdadero , entonces p no es verdadera;
o abreviadamente: si no p, entonces no p. Las dos inferencias
trasladan el sentido de identidad al mundo de los enunciados o
proposiciones. Algunos ejemplos de proposiciones que verifican
la primera ley serían:
Si pi es irracional entonces pi es irracional.
Si los talibanes son ateos entonces los talibanes son ateos.
Si no existe la Luna entonces no existe la Luna
Si el hielo es sólido entonces el hielo es sólido
En definitiva: si algo entonces algo; o si no algo entonces no algo.
Es bastante razonable la primera ley de la lógica. Parece difícil
encontrar una ley más sencilla y asumible como fundamento
del conocimiento racional del mundo. La primera ley será un
instrumento esencial en nuestra crítica del Gran teorema.
Por sorprendente que pueda parecer, algunos enunciados muy
famosos en la historia del pensamiento verifican cosas como:
p ⇒ ¬p
¬p ⇒ p
que se lee: si algo entonces no algo; y si no algo entonces algo. No
es de extrañar que una gran parte de las paradojas semánticas
y matemáticas tengan esa estructura. Como veremos, el Gran
Teorema deriva de una de ellas.
El teorema de Gödel 17
La segunda ley es el Principio de No Contradicción, que en sím-
bolos se escribe:
¬(p ∧ ¬p)
y se lee: no es posible al mismo tiempo que p sea verdadero y que
no-p sea verdadero. O de forma abreviada: no es posible al mis-
mo tiempo p y no-p. Donde, de nuevo, p es cualquier enunciado
declarativo. Por ejemplo:
No es posible ser par y no ser par
No es posible tener cuatro letras y no tener cuatro letras
etc.
Mientras la segunda ley ha sido, y continua siendo, un instru-
mento básico en la construcción del conocimiento racional del
mundo, la primera ley parece no haber jugado papel alguno. Co-
mo decíamos más arriba, aquí sí lo hará. Y podemos anticipar
algo. Acabamos de recordar que ciertos enunciados famosos (de
los que nos ocuparemos en el siguiente capítulo) verifican:
p ⇒ ¬p
¬p ⇒ p
Estos enunciados, sin embargo, no pueden verificar la primera
ley, pues si lo hicieran tendríamos:
p ⇒ p
p ⇒ ¬p
y entonces:
p ⇒ p ∧ ¬p (2)
18 Los métodos de la ciencia
que es una contradicción. Violarían entonces la segunda ley. De
modo que o violan la segunda ley de la lógica o violan la primera.
Esos enunciados no deberían ser admitidos en los sistemas for-
males. Pero no solo son admitidos sino que nos han hecho, y nos
siguen haciendo, perder una gran cantidad de tiempo y dinero.
L L Teorema Teorema Teorema
Axiomas
...
Figura 1.2: Matemática no platónica extrayendo teoremas de un grupo inicial de
axiomas (LL: leyes de la lógica).
Como ya se ha indicado, en matemáticas los enunciados básicos
que se dejan sin prueba se denominan axiomas. La costumbre
era elegir un pequeño número de ellos y siempre autoevidentes;
del tipo: por dos puntos sólo pasa una recta29. Luego dejaron de
ser autoevidentes y hoy podemos encontrar casi cualquier cosa
en los fundamentos axiomáticos de las ciencias matemáticas.
Aplicando las leyes de la lógica a los axiomas podemos obtener
nuevos enunciados (teoremas); y aplicando las mismas leyes a
los nuevos teoremas y a los viejos axiomas, volvemos a obtener
nuevos teoremas; a los que de nuevo podemos aplicar las leyes
de la lógica... El proceso parece no tener fin, aunque se va ralen-
tizando a medida que crece el número de teoremas probados. En
cierto modo se podría decir que todo el conocimiento de las cien-
cias formales está contenido en sus fundamentos axiomáticos,
lo que no deja de ser intrigante. Esta forma de extraer el con-
tenido de los axiomas es el método formal o método axiomático
deductivo.
En el caso de las ciencias experimentales las cosas son algo
diferentes, aunque también aquí es necesario admitir enunci-
29Primer axioma de la geometría de Euclides
El teorema de Gödel 19
ados que no se demuestran. Ahora no se llaman axiomas sino
principios o leyes fundamentales. En general no son autoevi-
dentes, son generalizaciones inductivas, conclusiones generales
obtenidas a partir de experiencias particulares. Cuando obser-
vamos atentamente la naturaleza descubrimos regularidades y
suponemos que esas regularidades son las leyes básicas que go-
biernan la evolución del mundo. El primer paso en cada una de
las ciencias experimentales es precisamente establecer por esa
vía inductiva sus correspondientes leyes fundamentales. Luego
podemos aplicar las leyes de la lógica a esas leyes fundamen-
tales y obtener nuevos resultados, pero ahora tendremos que
contrastarlos observando si realmente se cumplen en la natu-
raleza. Salvo en algunas ramas de la física, en el resto de las
ciencias experimentales casi todo el trabajo es experimental e
inductivo, la fase deductiva es todavía muy pobre. Más pobre
cuanto más complejos son los objetos estudiados. Los científicos
suelen llamara ciencias duras a las que, como algunas ramas
la física, están muy formalizadas (’matematizadas’), y ciencias
blandas al resto.
El conocimiento científico se construye a partir de leyes funda-
mentales que han de quedar irremediablemente sin explicación.
Los humanos nunca podremos explicarlo todo.30 La incertidum-
bre del conocimiento inductivo la explicaba Bertrand Russell con
una metáfora que se hizo muy famosa, la metáfora de los cerdi-
tos.31 Los inocentes animales vivían felices en la granja al cuida-
do de su atento granjero. Todos los día lo mismo: les limpian la
pocilga, les dan de comer, les dan de beber, corretean... De sus
observaciones particulares y diarias sacaron la conclusión gene-
ral de que la vida era y sería siempre así. Y así fue; hasta que
llegó el día de la matanza y acabaron rellenando sus propias tri-
pas.32 Pero los humanos somos más inteligentes que los cerdi-
tos y hemos descubierto que conviene ser prudentes a la ho-
ra de sacar conclusiones. Hemos descubierto que también para
30Tal vez sea imposible explicar el universo desde dentro del universo
31En realidad eran pollitos.
32[88]
20 Los métodos de la ciencia
nosotros podría haber un día de la matanza.
v.
.
.
.
.
.
.
A
B
.
.
.
..
.
.
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.
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..
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.. ..
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. .
.
...
.
.
.
.
.....
.
. . .
.
.
.
.
.
.
.
.
. .
Figura 1.3: Elprincipio de inercia.
Nuestra ciencia explica el mundo
de forma aceptable, pero sólo hasta
esos supuestos iniciales que consti-
tuyen las leyes fundamentales de la
ciencia. La experimentación confir-
ma una y otra vez esas leyes, pero
no las demuestra. Si lográsemos de-
mostrar una de ellas sería a ex-
pensas de otros supuestos aún más
básicos que tendríamos que tomar
como nuevas leyes fundamentales.
Algunos científicos parecen ignorar
esta servidumbre formal de la cien-
cia y transmiten la falsa impresión de que la ciencia es mucho
más de lo que realmente es. Parece que no podemos ir más al-
lá de los límites marcados por las leyes fundamentales; lo que
no deja de ser frustrante porque es precisamente ahí donde se
plantean las preguntas más interesantes. Valdrá la pena dedi-
carle unos minutos a este asunto. Será un sencillo ejercicio
seguido de una pequeña provocación.
Consideremos la primera ley de Newton, el Principio de Inercia
(una de las tres leyes fundamentales de la mecánica clásica),
que establece que todo cuerpo permanece en reposo o anima-
do de un movimiento rectilíneo y uniforme siempre que ningu-
na fuerza exterior actúe sobre él. Galileo y Newton eligieron ese
enunciado como uno de los pilares inductivos de la mecánica
(la que hoy llamamos clásica o newtoniana). Con el principio de
inercia en la mente, sitúese por un momento en el espacio vacío
sideral (es posible que el espacio vacío sideral no esté en realidad
tan vacío, pero eso no afectará a nuestra discusión). Tiene a su
lado una hermosa bola de oro de un metro de diámetro, la bola
A, que permanece en reposo respecto a usted. Otra bola idénti-
ca a la primera que se encontraba también en reposo respecto
a usted, pero a un kilómetro de distancia, ha sido brevemente
El teorema de Gödel 21
empujada de forma que ahora se mueve con respecto a usted y
a la bola A con un movimiento rectilíneo y uniforme de velocidad
v. Llamemos B a esta segunda bola.
¿Cómo es que la bola B se mueve sin que nada la empuje, sin que
ningún hilo tire de ella? La mecánica clásica le explicará que ha
sido empujada hasta ponerla en movimiento respecto a usted y
a la bola A, después de lo cual nada ha alterado su estado cinéti-
co. Las dos bolas siguen la primera ley de Newton, el Principio de
Inercia. Pero usted, que es un pensador exigente, sabe que las
dos bolas son idénticas incluso estando la una quieta y la otra en
movimiento respecto a usted. Lo mismo pasa con el espacio vacío
que las rodea. Y se pregunta entonces ¿hay algo dentro de la bo-
la B que no exista en la bola A, algo que explique el movimiento
de B y el reposo de A? No, no lo hay; la bola A y la B son idénti-
cas absolutamente en todo, sólo que una se mueve con respecto
a usted y la otra no. No existe la más mínima diferencia entre
ambas bolas, ni por dentro ni por fuera; lo mismo ocurre con el
espacio que las rodea; pero sólo la bola B se mueve respecto a
usted. Ante su insistencia en aclarar las cosas, alguien podría
recordarle que la bola B fue empujada y puesta en movimien-
to respecto a usted y a la bola A, y que por eso la primera se
mueve respecto a usted y la segunda no. Pero entonces usted
insiste y pregunta ¿dónde reside la impronta de aquella acción?
¿cómo consigue la bola recordar indefinidamente que fue empu-
jada? ¿qué cambió en la bola o en el universo como consecuencia
de aquella acción? ¿en qué se distinguen una bola que ha sido
empujada de otra que no lo ha sido? Si nada hay ni en el in-
terior ni en el exterior de la bola B que la haga moverse ¿por
qué se mueve? ¿cómo se recuerda y se mantiene la trayectoria
del movimiento? etc. etc. Naturalmente ninguna de esas pre-
guntas tiene respuesta (salvo que creamos que ponerle nombre
a la ignorancia -Principio de Inercia- es suficiente para acabar
con la ignorancia), si la tuviese habríamos encontrado principios
mecánicos aún más básicos y fundamentales que los de Newton.
Aunque la incertidumbre volvería a plantearse en términos de
los nuevos principios. Es la regresión infinita de argumentos a
22 Los métodos de la ciencia
la que parece que estamos condenados los humanos. Como dijo
R. Feynman sabemos cómo se se mueven las cosas, pero no por
qué lo hacen.33
Imagine ahora un videojuego muy sofisticado en el que sus per-
sonajes se vuelven inteligentes y se preguntan por el movimiento
de los objetos de su universo, que no es otro que la pantalla del
ordenador donde transcurre la acción. Tendrían problemas muy
similares a los que nosotros tenemos para explicar el movimien-
to de los objetos en nuestro universo. Curiosamente su universo
también sería, como parece ser el nuestro, dinámico, discon-
tinuo y recursivo. Con la diferencia de que nosotros, progra-
madores del videojuego, les podríamos explicar las verdaderas
causas del movimiento, de la discontinuidad, y de la recursivi-
dad.
1.5 Corrupción científica
Emma Eckstein ha pasado a la historia por ser una de las prime-
ras pacientes de Sigmund Freud. A los 17 años, Emma acudió a
la consulta de Freud por unas dolencias estomacales y una leves
molestias relacionadas con la menstruación. Freud le diagnos-
ticó un trauma psicológico originado por unos supuestos abu-
sos sexuales sufridos durante la infancia. Además del trauma
sexual, también le diagnosticó un nuevo padecimiento, el refle-
jo de neurosis nasal, recién descubierto por su amigo el doctor
William Fliess. Defendía este último la existencia de ciertas rela-
ciones entre la nariz y los órganos genitales, de modo que las
afecciones de aquella podían causar desórdenes psicosexuales.
Fliess trataba el supuesto reflejo de neurosis nasal suministran-
do cocaína por las fosas nasales, pues había observado que el
tratamiento con la droga animaba mucho a sus pacientes. Más
33[34], [33]
El teorema de Gödel 23
tarde se le ocurrió un tratamiento quirúrgico, pensó que extir-
pando los huesos de la nariz acabaría también con lo supuestos
nervios naso-sexuales. Freud envió a Emma a la consulta del
doctor Fliess, y éste no dudó en someterla a su nueva cirugía.
La intervención de Emma no pudo ser más desastrosa: tras la
operación la joven empezó a padecer frecuentes hemorragias y
graves infecciones que estuvieron a punto de costarle la vida.
Poco tiempo después se descubrió la causa de tales trastornos:
el doctor Fliess había olvidado dentro de su paciente parte de
las gasas que había empleado durante la intervención quirúrgi-
ca. Emma acabó con el rostro desfigurado para siempre. Y su
médico, el doctor Freud, en lugar de denunciar las irregulari-
dades médicas de Fliess, defendió el prestigio de su amigo ale-
gando que las hemorragias y demás trastornos postoperatorios
padecidos por Emma se debían a que la joven estaba enamorada
de él, y que eran sus fantasías masturbatorias con él la causa
de todos sus trastornos.
Emma Eckstein no fue la única paciente con la que Freud man-
tuvo una conducta profesional deshonesta. Ni desde luego es
Freud el único científico sospechoso de haber mantenido al-
gún tipo de conducta profesional deshonesta. La lista de sospe-
chosos incluye nombres muy ilustres de la historia de la cien-
cia:34 Galileo, Newton, Lavoisier, Mendel, Pasteur, etc. Y otros
muchos no tan ilustres. Parece claro que la capacidad de men-
tir forma parte esencial de la naturaleza humana. Hemos dejado
pruebas extraordinarias de ello en todas nuestras actividades,
desde las financieras y comerciales hasta el arte, el deporte,
la justicia o la religión; y naturalmente la ciencia. Ocurre, sin
embargo, que siendo el objetivo de la ciencia la búsqueda de
la verdad, nadie esperaba encontrar en ella tanta mentira. La
idea dominante sobre este asunto era, y en buena medida sigue
siendo, que en la ciencia apenas existe el engaño; que solo se
producen algunos casos aislados de mala conducta. Nada más
34[48]
24 Los métodos de la ciencia
lejos de la realidad. Pero lamentablemente la corrupción científi-
ca pasa desapercibida para el gran público, sobre todo porque el
gran público no muestra suficiente interés por la trastiendadel
sabio y porque al sabio le viene bien que así sea.
La ciencia contemporánea es una empresa multinacional de di-
mensiones gigantescas que consume cantidades también gigan-
tescas de recursos materiales, económicos y humanos. La di-
rección principal de la actividad científica corresponde al poder
político que distribuye los fondos y crea y ampara la normati-
va legal de su funcionamiento, y finalmente diseña la política
científica (que los ciudadanos deberíamos controlar). También
las grandes empresas distribuyen parte de sus fondos en la fi-
nanciación de proyectos científicos. El siguiente nivel de mando
lo integra la élite científica. A ella corresponde tomar las deci-
siones más importantes en la definición de los programas de
investigación y en la redistribución de fondos y personas. Sigue
la gran comunidad de científicos profesionales y un último nivel,
sin mando, formado por una legión de becarios y ayudantes de
todo tipo. Se calcula que la comunidad actual de científicos pro-
fesionales supera ampliamente los tres millones, un tercio de los
cuales trabaja en USA.
El poder político ha sacado provecho de la ciencia siempre que
ha podido. De muchas formas y en circunstancias muy dife-
rentes. Por ejemplo haciendo un uso interesado y fraudulento
del conocimiento científico o imponiendo arbitrariamente cier-
tas teorías en detrimento de otras. Es bien conocido el uso per-
verso que el nazismo hizo de la biología para justificar el ex-
terminio de grupos humanos que no eran de su agrado. En la
Rusia de Stalin se impuso una forma pintoresca e interesada de
lamarckismo liderada despóticamente por un ignorante llama-
do Trofim Lysenko que contó con el apoyo directo del dictador.
Lysenko consiguió borrar de la ciencia rusa todo rastro de la
genética clásica, y de todo científico disidente. Por su parte los
científicos de Mao Zedong defendían sin el menor pudor que las
gallinas ponían huevos más grandes, o que las vacas daban más
El teorema de Gödel 25
leche si se les leían los poemas de Mao. Y en el lado democráti-
co, conviene recordar las injerencias del Comité de Actividades
Antiamericanas en diferentes proyectos de investigación y las
acusaciones contra científicos de la categoría de Edward Con-
don. O la defensa del creacionismo. O las eternas injerencias del
poder religioso en la biología, especialmente en la biología sexual
y en la embriología.
Pero la corrupción más sibilina y difícil de erradicar es la que
ejerce la propia comunidad científica, como tal comunidad. La
jerarquizada comunidad académica es bastante más autocom-
placiente y autoreverente que autocrítica. El resultado solo puede
ser una ciencia más basada en el reconocimiento que en el co-
nocimiento. A la mayoría de los científicos, en efecto, parece im-
portarles más ’llevar la razón’ que usar la razón para conocer el
mundo. Y hasta tal punto que quizás sea este fraude, el fraude
ideológico, el más dañino para la propia ciencia, pues es el res-
ponsable de crear corrientes de pensamiento que tienden a per-
pertuarse, aunque sean corrientes de incierto destino.
En el año 2006 Gregori Perelman rechazó la medalla Field de
matemáticas, equivalente al premio Nobel en dinero y prestigio,
por haber resuelto la conjetura de Poincaré planteada en 1904.
Perelman ha abandonado la actividad científica. En su despedi-
da acusó a sus colegas matemáticos de tolerar las faltas de hon-
estidad. Unos años antes, el matemático Alexandre Grothendiek
rechazaba el premio Crafoord con las siguientes palabras (apare-
cidas en una carta al diario Le Monde el 4 de Mayo 1988):
Aunque he mantenido mi interés por la investigación,
me retiré del mundo científico en el año 1970. Des-
de entonces no hecho otra cosa que ir distanciándome
cada vez más de ese ambiente. Durante ese tiempo la
degeneración de la profesión científica (al menos entre
los matemáticos) ha llegado hasta tal extremo que el
puro y simple saqueo entre colegas (especialmente de
los que ocupan las posiciones más débiles) se ha con-
26 Los métodos de la ciencia
vertido en la regla, y en cualquier caso es tolerada por
todos, incluso en los casos más flagrantes e injustos.
Es posible que sean exageradas las opiniones de estos dos ma-
temáticos. En todo caso la comunidad científica permite con-
ductas que, como mínimo, son censurables. Las posiciones ide-
ológicas dominantes sobre tal o cual asunto suelen ejercer una
influencia terca y desproporcionada sobre todas las demás. Es
muy difícil mantener posiciones diferentes. Los que se atreven
a ir en contra de ciertas corrientes de pensamiento, o de cier-
tas convenciones asumidas por la mayoría, pueden tener serios
problemas que van desde la burla y el desprecio hasta el boicot,
la persecución y la expulsión. Es exactamente lo que ocurre
en nuestros días con el infinito y el Gran Teorema, y de forma
menos agresiva con la teoría de cuerdas.35
Un buen ejemplo de intolerancia científica es el caso de Edward
O. Wilson (1929), uno de los mejores entomólogos del mundo.
Su trabajo ha sido reconocido con varias decenas de premios,
entre ellos la Medalla Nacional de las Ciencias (USA) y el premio
Pulitzer al mejor ensayo. En el año 1975 publicó un libro, So-
ciobiology: the New Synthesis36, dedicado al estudio de las bases
biológicas de la organización y la conducta de las sociedades
animales complejas. El último capítulo del libro está dedica-
do a las sociedades humanas. Esa incursión de la biología en
la conducta humana provocó una reacción visceral en buena
parte de la sociología y en el ala marxista de la biología, en la
que entonces militaban biólogos tan renombrados como Richard
Lewontin o Stephen G. Gould. En enero de 1978, cuando Wilson
se disponía a pronunciar unas palabras en la reunión anual de
la AAAS (American Association for the Advancement of Science),
fue atacado por unos fanáticos (ligados al grupo Ciencia para el
Pueblo) que le vaciaron un cubo de agua helada en la cabeza y
le cantaron ’Wilson te has meado.’ Una muestra de intolerancia
35[54]
36[103]
El teorema de Gödel 27
allí donde menos cabría esperarla.
Albert Einstein decía que el mejor científico no es el profesion-
al que se gana la vida con la ciencia, es el zapatero que por
puro placer le dedica sus ratos libres. Él mismo tuvo la oportu-
nidad de demostrarlo. La investigación científica y la enseñanza
de la ciencia se realizan dentro de una estructura de poder, el
poder académico, que no promueve el espíritu crítico. Se prac-
tica poco la imaginación y mucho menos la contestación a los
grandes científicos. La ciencia es demasiado reverente consigo
misma. Quizás por ello abunden tanto los científicos mediocres,
en realidad poco interesados en la ciencia. El científico aprende
su disciplina en un ambiente convencional con frecuencia do-
minado por una corriente de pensamiento y en el que hay pocas
oportunidades para la contestación. En algunos casos el dominio
es asfixiante y uno se ve obligado o bien a circular por la única
dirección permitida, o a salirse del sistema.
28 Los métodos de la ciencia
2.-Crítica de la autorreferencia
2.1 Introducción
Como tantas otras ideas, acertadas o no, la autorreferencia tiene
orígenes presocráticos. Hablamos de la autorreferencia semánti-
ca, de la supuesta habilidad de los enunciados de referirse a sí
mismos. Como no podía ser de otra manera, esa supuesta ha-
bilidad es una fuente inagotable de paradojas que deja perplejo
a cualquier mente inocente que se acerque a ellas por primera
vez, sobre todo si su educación es naturalista. En este capítulo
tendremos la oportunidad de examinar lo que pasa cuando el
lenguaje cobra vida propia y se pone a decir cosas de sí mismo.
Lo que inicialmente era un primitivo e ingenuo juego de palabras
acabó convirtiéndose en un teorema de la lógica que algunos
califican como el logro más importante alcanzado por la mente
humana. Aunque para otros no es más que una sofisticada ma-
jadería.
29
30 Crítica de la autorreferencia
2.2 Lenguaje, metalenguaje y autolenguaje
Por razonesde supervivencia y de eficacia reproductora, los or-
ganismos con suficientes recursos biológicos utilizan sistemas
de comunicación basados en señales arbitrarias de todo tipo:
químicas, visuales, sonoras, mecánicas, etc. La comunicación
es precisa y fiable en el sentido de que existe una correspon-
dencia inequívoca entre la señal y el objeto señalado, entre el
mundo externo y su reflejo neuronal interno. De la exactitud
y fiabilidad de esa comunicación depende la supervivencia y la
reproducción de los organismos.1 Es cierto que entre los rudos
sistemas de comunicación animal y el lenguaje humano hay un
abismo que no sabemos explicar aún. Pero es razonable pen-
sar que el lenguaje humano se haya construido aprovechando
esas rudas capacidades iniciales de comunicación. Así es como
funciona la biosfera, usando y reutilizando todo lo reutilizable.
Luego vendrían las gramáticas y los usos y abusos formales. Y
con ellos los enredos y las discusiones más o menos bizantinas.
La historia del Gran Teorema se inicia precisamente con ciertos
juegos de palabras conocidos como paradojas semánticas. Segu-
ramente son anteriores a los presocráticos, aunque fueron ellos
quienes las hicieron famosas. El lenguaje humano permite esos
y otros muchos usos y abusos. Dista mucho de ser un sistema de
comunicación perfecto, se reconoce en él la forma aprovechada
y hasta chapucera de casi todo lo orgánico. El lenguaje humano
se impone, además, desde de la práctica diaria de sus usuarios
más ruidosos, que no siempre son los más sensibles y raciona-
les.
Quedan unas seis mil lenguas en activo, pero no disponemos de
una lengua universal, de un instrumento de comunicación váli-
do para toda la humanidad. Ahí se nos ve el plumero primitivo y
cateto que aún nos distingue. Presumimos del lenguaje mater-
1Los monos Campbell, Cercopithecus campbelli, pueden incluso articular
frases con varias decenas de palabras [72]
El teorema de Gödel 31
no y mantenemos con él una relación parecida a la que mante-
nemos con la madre orgánica y con la ’madre patria’. Es muy
frecuente, en efecto, el uso de la lengua como símbolo de iden-
tidad nacionalista, lo que naturalmente impone límites capri-
chosos a la funcionalidad del lenguaje. Son atavismos animales
que tendremos que ir superando si lo que queremos es un mun-
do gobernado por la razón y la sensibilidad. Desde posiciones
más filosóficas, por otra parte, el lenguaje es concebido de ma-
neras muy diferentes. Para algunas corrientes de pensamiento,
como el existencialismo o el posmodernismo, el lenguaje es un
sistema cerrado autorreferente sin conexión alguna con el mun-
do físico.2 Aunque la propia vida es la prueba más contundente
de que sí existe una correspondencia entre el mundo físico ex-
terno y el mundo simbólico interno. El tosco lenguaje animal y el
complejo lenguaje humano forman parte de esa correspondencia
sin la cual la vida no es posible. Es evidente que en el caso hu-
mano la correspondencia incluye elaboraciones abstractas que
no forman parte del mundo físico, como la noción de libertad
o la de tolerancia. En el otro extremo, el esencialismo platónico
otorga una identidad trascendente a las ideas, de modo que aho-
ra es el mundo físico el que refleja pálidamente esa otra realidad
Ideológica.
Con el lenguaje nos referimos a los objetos del mundo, del cual
nosotros mismos también formamos parte. Tiene entonces sen-
tido la autorreferencia. Autorreferirse es referirse a uno mismo:
me duele la cabeza. También nos podemos referir a los propios
elementos del lenguaje:
La palabra ”circunloquio” tiene seis vocales
La frase ”viva la vida” es muy popular
Nótese como en estos casos el objeto referenciado se escribe en-
tre comillas. Hablar del lenguaje, de sus elementos, es hacer
2[7], [53]
32 Crítica de la autorreferencia
metalenguaje. De modo que usamos el lenguaje cuando deci-
mos, por ejemplo:
Lisboa es una ciudad portuguesa
porque nos estamos refiriendo a un objeto del mundo externo, a
una ciudad de la que, en este caso, afirmamos su pertenencia a
Portugal. Pero usamos el metalenguaje cuando decimos
”Lisboa” tiene tres vocales
porque ahora nos estamos refiriendo no a la ciudad sino a la
palabra ”Lisboa”. Hasta aquí nada que objetar. Pero alguien dio
un paso más y tuvo la ocurrencia de que los propios elementos
del lenguaje se puedan referir a sí mismos. Es el autolenguaje,
el lenguaje hablando de sí mismo:
Esta frase tiene cinco palabras
Esta inofensiva ocurrencia inauguró el hotel de los horrores sin-
tácticos y semánticos cuya suite principal ocupa nuestro ilustre
teorema desde hace ya más de 78 años. Al igual que el infinito,
y también por razones desconocidas, la autorreferencia produce
una especie de seducción idiotizante en algunos seres humanos.
Aunque, y de nuevo como en el caso del infinito, la autorreferen-
cia tuvo y tiene sus detractores. Galileo, por ejemplo, no tenía
muy buena opinión de esos enredos semánticos ([38], páginas
93-94):
Éste es uno de esos dilemas que se llaman sorites.
Como el cretense, que decía que todos los cretenses
eran mentirosos, por tanto, al ser él cretense, estaba
El teorema de Gödel 33
mintiendo cuando decía que los cretenses eran men-
tirosos. Por tanto, era necesario que los cretenses fuer-
an veraces y, en consecuencia, él era veraz y, por tan-
to al decir que los cretenses eran mentirosos, decía la
verdad, y siendo uno de los cretenses tenía que ser un
mentiroso. Y así, en esta clase de sofismas, se estaría
dando vueltas eternamente sin concluir nunca nada.
Volamos a considerar la frase:
Esta frase tiene cinco palabras
Casi todo el mundo piensa que la frase que tiene cinco palabras
es la frase:
Esta frase tiene cinco palabras
Pero entonces el verbo ’tiene’ y el predicado ’cinco palabras’ jue-
gan un doble papel sintáctico: por una lado forman parte del
sujeto de la frase (que es la frase completa) y por el otro son el
verbo y el predicado, respectivamente, de la misma frase. Hasta
donde yo sé, las gramáticas de las lenguas conocidas no contem-
plan la posibilidad de palabras polisintácticas, de palabras con
más de una función sintáctica simultánea en la misma frase.
Además de autorreferentes las sentencias pueden ser verdaderas
o no verdaderas (falsas). Lamentablemente no existe una teoría
universal de la verdad sino varias decenas:3 teorías deflacioni-
tas, fenomenológicas, hermenéuticas, de la correspondencia, etc.
Aristóteles decía4 que la verdad era:
decir de lo que es, que es; y de lo que no es, que no es
3[67]
4[4]
34 Crítica de la autorreferencia
La sugerencia de Aristóteles se recoge, entre otras, en las teorías
de la correspondencia: un enunciado es verdadero cuando lo que
afirma está de acuerdo, se corresponde, con los hechos objetivos.
El autor del Gran Teorema también establece la veracidad de su
enunciado por una simple correspondencia con los hechos, sin
preocuparse por los detalles. Aquí haremos lo mismo.
2.3 Crítica sintáctica de la autorreferencia
Empezaremos limitando de forma drástica el tipo de sentencias
de las que nos vamos a ocupar, que serán las sentencias declar-
ativas monádicas. Es decir, las sentencias del tipo:
S es P
donde S es cualquier sujeto y P cualquier predicado. Dentro de
las sentencias declarativas monádicas se encuentran las senten-
cias autorreferentes del tipo:
Esta sentencia es P
En realidad las sentencias no son entidades autónomas, son ins-
trumentos humanos de comunicación. De modo que detrás de
cada sentencia, incluso de las autorreferentes, hay un humano
tratando de decir algo. Así, detrás de la sentencia:
Esta sentencia es P
hay un humano que dice:
Esto que digo es P
El teorema de Gödel 35
Supongamos que el predicado P es ’breve’. Nuestro humano está
diciendo:
Esto que digo es breve
Podría parecer que la afirmación tiene algún sentido, al menos
la sentencia parece verificable y nuestro humano podría pensar
que lo que dice es realmente breve. Lo mismo pasa con:
Esto que digo es una frase en alemán
Aunque ahora entenderíamos que es unasentencia falsa. Inclu-
so si dice:
Esto que digo es herbívoro
podríamos decir que está diciendo un disparate. Pero suponga-
mos ahora que nuestro humano dice:
Esto que digo es verdad (1)
Ahora ha desaparecido la posibilidad de verificación y pondremos
en apuros a nuestro humano si le preguntamos qué es lo que es
verdad, de qué cosa está predicando la veracidad. Al menos en
lo que a mí se refiere les aseguro que no sé de qué estoy predi-
cando la veracidad cuando digo (1). Es más, tengo la impresión
de no estar diciendo nada cuando digo cosas como (1).
Parece, pues, importante determinar el sujeto de las sentencias
autorreferentes, identificar la cosa de la que predicamos algo
cuando decimos o escribimos cosas como:
Esta sentencia es P (2)
Las palabras que denotan al sujeto solo pueden ser ”Esta” y
36 Crítica de la autorreferencia
”sentencia” porque si las palabras ”es” y ”P” también denotaran
al sujeto entonces tendrían dos funciones sintácticas: como parte
del sujeto y del verbo en el caso de ”es”, y como parte del sujeto y
del predicado en el caso de ”P”. Como no existen palabras polis-
intácticas en los lenguajes ordinarios (ni en los extraordinarios),
hemos de concluir que las únicas palabras que pueden denotar
al sujeto son ”Esta” y ”sentencia”. Hemos de concluir, por tanto,
que el sujeto de (2) ha de ser:
Esta sentencia
que es una referencia a una sentencia. Ahora bien, a qué sen-
tencia se refiere
Esta sentencia
en:
Esta sentencia es P
Teniendo en cuenta el papel sintáctico y el significado de las pa-
labras ”Esta” y ”sentencia,” solo existe una posibilidad, el objeto
referenciado ha de ser:
Esta sentencia es P
de modo que la sentencia que es P, es:
Esta sentencia es P
que coincide, por otra parte, con lo que usualmente se asume en
este tipo de enredos. Tenemos una referencia [Esta sentencia]
y el objeto referenciado por ella [Esta sentencia es P]. Podemos
entonces sustituir la una por el otro. Sustituir la referencia por
el objeto referenciado es otra forma de decir lo mismo, solo cam-
El teorema de Gödel 37
biamos la forma de expresar el sujeto. En nuestro caso, si susti-
tuimos la referencia [Esta sentencia] por el objeto referenciado
[Esta sentencia es P] obtenemos:
Esta sentencia es P es P (3)
Nótese que no podemos añadir comas, ni comillas, ni ningún
otro signo de puntuación si queremos mantener la sentencia
original; sólo podemos reemplazar la referencia por el objeto re-
ferenciado. Pero la nueva sentencia ya no es tan clara como la
inicial. En realidad es bastante confusa. De nuevo he de man-
ifestar mi incapacidad para comprender qué significa (3). Y eso
no es todo, en la nueva sentencia sigue existiendo la referencia
Esta sentencia
pero ahora, y por las mismas razones de significado de ’Esta’ y
’sentencia’, la referencia se refiere a:
Esta sentencia es P es P
Es decir, cuando en una autorreferencia cambiamos la referen-
cia [Esta sentencia] por el objeto referenciado [Esta sentencia es
P] reaparece la referencia [Esta sentencia] aunque ahora refirién-
dose a un objeto diferente [Esta sentencia es P es P]. Pero esto
no es sintácticamente posible ni semánticamente admisible. En
las sentencias bien construidas es posible cambiar la referencia
por el objeto referenciado sin que se oscurezca el significado de
la frase ni aparezcan sujetos distintos. Además, en el caso de
las sentencias autorreferentes podemos seguir haciendo susti-
tuciones de referencias por objetos referenciados y obtener una
38 Crítica de la autorreferencia
sucesión interminable de sentencias cada vez más confusas:
Esta sentencia es P
Esta sentencia es P es P
Esta sentencia es P es P es P
Esta sentencia es P es P es P es P
. . .
Todo ello nos lleva a pensar que Wittgenstein tenía razón cuando
declaraba su oposición a las autorreferencias [104, 3.332, p. 43]:
3.332. Ninguna proposición puede enunciar algo so-
bre sí misma, dado que el signo proposicional no puede
estar contenido en él mismo (en esto consiste toda la
’Teoría de Tipos’).
Además, puesto que el sujeto de una sentencia autorreferente
es toda la sentencia no conoceremos el sujeto de la sentencia
hasta no haber proferido (o escrito) la sentencia completa, pero
en ese momento ya la hemos predicado. Es como ’vender la piel
antes de cazar al oso’. Decimos que algo es P antes de saber
de qué cosa estamos predicando P. Lo que todo esto sugiere es
que nuestra mente deshace la autorreferencia procesando las
sentencias autorreferentes dos veces seguidas, la primera para
establecer el sujeto y la segunda para predicarlo. Si es así, la
autorreferencia no es más que un espejismo semántico. Y como
ya sabemos, los espejismos no son precisamente espejos de la
realidad.
La autorreferencia tiene muchas caras, algunas de ellas muy
sutiles. Una frase autorreferente, por ejemplo, se puede camuflar
entre dos o más frases que se refieren unas a otras de forma
El teorema de Gödel 39
circular:
La sentencia siguiente es verdadera
La sentencia anterior es falsa
que con las apropiadas sustituciones se convierte en
Esta sentencia es falsa
Otras veces la autorreferencia se camufla escribiendo:
A = A es falsa
Se afirma que una frase, la frase cuyo nombre es A, es falsa. Pero
la frase cuyo nombre es A, es la misma que la frase que afirma
que la frase cuyo nombre es A es falsa. Es entonces equivalente
a
Esta sentencia es falsa
Una forma más retorcida de autorreferencia es la sentencia de
Quine:5
”Origina una sentencia con la propiedad P cuando sigue
a su propio entrecomillado” origina una sentencia con
la propiedad P cuando sigue a su propio entrecomilla-
do.
que se refiere a sí misma pues es una sentencia formada por una
sentencia que sigue a su propio entrecomillado. Es por tanto una
5[79]
40 Crítica de la autorreferencia
sentencia equivalente a:
Esta sentencia es P
Y todas las sentencias autorreferentes pueden acabar escribién-
dose de esa forma, precisamente por ser autorreferentes. Por
muy retorcida que sea la autorreferencia, si es una sentencia
autorreferente es una sentencia del tipo
Esta sentencia es P (4)
que es la forma canónica de la autorreferencia. Y todas las sen-
tencias autorreferentes merecen la misma crítica sintáctica que
acabamos de hacer: las autorreferencias son sintácticamente
imposibles porque cuando cambiamos la referencia por el objeto
referenciado aparece un nuevo sujeto que oscurece el significado
la sentencia. Y no debemos permitir que eso ocurre si pretende-
mos mantener la consistencia y la funcionalidad del lenguaje.
2.4 Paradojas e inconsistencias
Las contradicciones son indicadores universales de inconsisten-
cia, señales inequívocas de que algo anda mal en la argumenta-
ción que las produce. Una contradicción es la afirmación de un
enunciado y de su negación:
p ∧ ¬p
que se lee: p y no p, donde p es un enunciado declarativo cual-
quiera. Como vimos en el primer capítulo, la segunda ley de la
El teorema de Gödel 41
lógica establece su imposibilidad en los sistemas consistentes:
¬(p ∧ ¬p)
que se lee: no es posible p y no p. Cuando de un enunciado se
deriva una contradicción decimos que el enunciado es inconsis-
tente:
p ⇒ q ∧ ¬q
que se lee: si p entonces q y no q. Los enunciados inconsistentes
no tiene cabida en los sistemas formales porque con su ayuda se
podría probar cualquier cosa. Un tipo especial de contradicción,
no siempre bien entendida y con frecuencia consentida, es la
autocontradicción. Un enunciado es autocontradictorio cuando
de él se deriva su propia negación (p ⇒ ¬p), lo que junto a la
primera ley de la Lógica (p ⇒ p) produce la autocontradicción:
p ⇒ p ∧ ¬p
La frontera entre paradoja y contradicción es muy confusa. No
es raro llamar paradoja a una contradicción en la que tanto
el enunciado como su negación nos parecen verosímiles. Las
paradojas podrían ser el refugio de ciertas contradicciones que
nos cuesta admitir que lo son. Es seguramente el caso de las
paradojas de la teoría de conjuntos y otras como la del men-
tiroso que examinaremos en este capítulo.El Gran Teorema es
un descendiente formal de una de esas paradojas.
42 Crítica de la autorreferencia
2.5 Paradoja del mentiroso
Los enredos semánticos son probablemente tan viejos como las
propias palabras. Uno de los más antiguos y conocidos es el del
condenado a muerte al que se le da a elegir el tipo de ejecución:
se le invita a decir una frase; si la frase es verdadera será ahor-
cado, si es falsa será crucificado. El condenado entonces afirma:
moriré crucificado. Al mandar ejecutar la pena, los jueces caen
en la cuenta de que si lo mandan crucificar la frase del reo sería
verdadera y entonces tendrían que ahorcarlo. Y si lo mandan
ahorcar entonces la frase sería falsa, por lo que tendrían que
crucificar. En definitiva los jueces no pueden aplicar la pena. En
lo que los primitivos jueces no caen es en que la frase pronun-
ciada por el reo es un pronóstico que resultará ser verdadero o
falso pero solo después de la ejecución de la sentencia. Hasta
ese momento no tiene valor de verdad y no puede, por tanto, ser
considerado para tomar una decisión basada precisamente en
su veracidad. No hay ningún misterio aquí.
Algo más seria es la paradoja del cretense. Existen muchas ver-
siones de esta paradoja, hasta la Biblia se hizo eco de ella. La
versión más extendida dice simplemente que un cretense, llamé-
mosle Cretino, afirma que todos los cretenses son unos men-
tirosos. Para hacer notar la paradoja necesitamos algo más: nece-
sitamos suponer que los mentirosos siempre mienten y que los
no mentirosos nunca lo hacen. En esas condiciones escuchamos
a Cretino decir que todos los cretenses son mentirosos. Si fuera
verdad lo que dice Cretino, entonces sería mentira lo que dice
porque él mismo es un cretense y está diciendo que todos ellos
son mentirosos. Si fuera mentira, entonces los cretenses no serían
mentirosos, dirían siempre la verdad, y él mismo es un cretense
estaría diciendo una verdad. De modo que si lo que dice Cretino
fuera verdad entonces sería mentira; y si lo que dice fuera men-
tira entonces sería verdad. He ahí la paradoja. En realidad es
muy fácil probar que el enunciado:
El teorema de Gödel 43
Cretino, el cretense, afirma que todos los cretenses son mentirosos
no satisface la primera ley de la lógica; o bien es autocontradic-
torio. Supongamos que el enunciado anterior, al que llamaremos
p, satisface la primera ley de la lógica. En consecuencia se veri-
fica:
p ⇒ p
Mientras que de acuerdo con el propio enunciado p se ha de
verificar:
p ⇒ ¬p
porque si fuera verdad lo que dice Cretino, entonces habría un
cretense que no miente y, por tanto, no sería verdad que todos
los cretenses son unos mentirosos (no p). En consecuencia ten-
dríamos:
p ⇒ (p ∧ ¬p)
que tiene todo el aspecto de una contradicción. Tenemos que
decidir entonces: o bien la sentencia p no satisface la primera
ley de lógica, o bien es una (auto)contradicción.
Una versión más elaborada de la paradoja del cretense es la
paradoja del mentiroso, que se se basa en una autorreferencia
sintáctica. La paradoja del mentiroso ha sido y continúa siendo
una fuente inagotable de discusiones.6 La versión más conocida
y simple de la paradoja es:
Esta sentencia no es verdadera (5)
Nótese que si la sentencia fuese verdadera entonces sería ver-
dad lo que afirma, y como afirma que es no es verdadera en-
tonces sería no verdadera; y si la sentencia fuese no verdadera,
entonces no es verdad lo que afirma y como afirma que no es ver-
6Véanse por ejemplo [58], [6], [46], [93], [97], etc.
44 Crítica de la autorreferencia
dadera entonces la sentencia sería verdadera. Ahí está la parado-
ja: si la sentencia es verdadera entonces no es verdadera y si no
es verdadera entonces es verdadera. Llevamos veintisiete siglos
dándole vueltas al asunto.
Naturalmente la sentencia del mentiroso (5) es una sentencia
autorreferente y por tanto está sujeta a la crítica sintáctica de la
sección anterior. Pero, además, también es conflictiva desde el
punto de vista lógico. Es claro que se trata de una negación: la
sentencia afirma de ella misma que no es verdadera. Además el
predicado es sensible a la doble negación:
no (no verdadero) = verdadero (6)
Si usted lo dice...
Esto que digo no es verdad
Figura 2.1: La paradoja del mentiroso, 2300
años después de que fuera formulada por Eu-
búlides.
Por otra parte, la sentencia
no es verificable, no existe un
procedimiento práctico con el
que se pueda comprobar si
la sentencia es o no es ver-
dadera, es como decir que
los ángeles son bicéfalos. No
hay forma de comprobarlo. En
este sentido no es una sen-
tencia científica, lo único que
podemos hacer es especular
sobre su veracidad: analizar lo
que ocurriría si la sentencia
fuese verdadera y lo que ocu-
rriría si fuese no verdadera.
La paradoja surge al especu-
lar sobre su veracidad: si la sentencia fuese verdadera entonces
sería verdad lo que dice, y como dice que no es verdadera en-
tonces no es verdadera. Y si la sentencia fuese no verdadera la
doble negación se activa (no es verdad que no es verdad = es ver-
dad) y la sentencia sería verdadera. En eso consiste la paradoja:
El teorema de Gödel 45
si la sentencia es verdadera entonces no es verdadera; y si no
es verdadera entonces es verdadera. Es ilustrativo comparar la
sentencia del mentiroso con su versión no negativa, la sentencia
que vamos a bautizar como sentencia del honesto:
Esta sentencia es verdadera
Es claro que se trata de una sentencia autorreferente, no veri-
ficable y con un predicado sensible a la doble negación. Pero la
sentencia del honesto no es una negación y por tanto no existe
la posibilidad de activar la doble negación al especular sobre la
veracidad de la sentencia. En estas condiciones no hay paradoja:
si la sentencia fuese verdadera sería verdad lo que dice, y como
dice que es verdadera, la sentencia sería verdadera; si la senten-
cia fuese no verdadera entonces no sería verdad lo que dice y
como dice que es verdadera, la sentencia no sería verdadera. De
modo que si la sentencia es verdadera entonces es verdadera;
y si no es verdadera entonces no es verdadera. No hay doble
negación ergo no hay paradoja.
Es inmediato probar, finalmente, que la sentencia del mentiroso
no satisface la primera ley de la lógica, satisfacción que sí se
cumple en el caso de la sentencia del honesto. Llamemos p a la
sentencia del mentiroso y q a la del honesto. Supongamos que p
satisface la primera ley de la lógica:
p ⇒ p
Por otra parte, y como ya sabemos, si p fuese verdadera entonces
no sería verdadera:
p ⇒ ¬p
46 Crítica de la autorreferencia
De modo que si p satisface la primera ley de la lógica tendríamos:
p ⇒ (p ∧ ¬p)
La sentencia del mentiroso sería inconsistente. Para no serlo
Mentiroso Honesto
Autorreferente Autorreferente
No verificable No verificable
Negativa Afirmativa
Doble negación: Sí Doble negación: No
Primera ley: No Primera ley: Sí
Autocontradictoria: Sí Autocontradictoria: No
Figura 2.2: Tabla comparativa de la sentencia del mentiroso con la del honesto.
Nótese que la única diferencia entre ambas es la forma de la sentencia, negativa
en el primer caso y afirmativa en el segundo. La forma negativa de la paradoja del
mentiroso desencadena la doble negación, el incumplimiento de la primera ley de la
lógica y la contradicción final (paradoja).
debe incumplir la primera de las leyes de la lógica. En el caso de
la sentencia del honesto tendremos, de acuerdo con la primera
ley de la lógica:
q ⇒ q
Y de acuerdo con la propia sentencia q:
q ⇒ q
No hay, pues, (auto)contradicción en la sentencia del honesto.
La razón es muy sencilla, al no ser una sentencia negativa no se
El teorema de Gödel 47
activa la doble negación cuando consideramos las consecuencias
de que la sentencia fuese no verdadera.
2.6 Paradoja de Grelling-Nelson
En el año 1908 Kurt Grelling y Leonard Nelson formularon un
nuevo enredo autorreferente a partir de dos nuevos adjetivos del
metalenguaje,7 autológico y heterológico, definidos ad hoc para
provocar una nueva paradoja semántica.