Control 1 2014 - Cyntia Barrera Cevallos

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MAT 210E - Cálculo 1
Control 1
Problema 1. [3 ptos] Resuelva la siguiente inecuación,
x2 − 6x+ 6
8− |x− 2|
< 0
Solución.
Notemos en primer lugar x2 − 6x + 6 = (x − (3 +
√
3))(x − (3 −
√
3)). Es decir, es una
parábola convexa con raíces x1 = 3 −
√
3 y x2 = 3 +
√
3. Por lo tanto, si x ∈]x1, x2[
entonces x2 − 6x+ 6 < 0. Por otra parte, si x ∈ R \ [x1, x2] entonces x2 − 6x+ 6 > 0.
Notemos además que si x > 2 entonces 8−|x−2| = 8−x+2. Por lo tanto, tenemos que
si x ≥ 10 entonces 8−|x−2| < 0. Por otra parte, si x < 2 entonces 8−|x−2| = 8+x−2.
Por lo tanto, tenemos que si x ≤ −6 entonces 8− |x− 2| < 0.
Un cuociente es negativo si es que el signo del numerador es distinto del denominador.
Luego si x ∈ (−∞,−6[∪ ]x1, x2[∪ ]10,∞) entonces
x2 − 6x+ 6
8− |x− 2|
< 0
Problema 2. [Total : 3 ptos] Sean
f(x) =
{
x2 + 2 si x ∈ [0, 3];
3x− 2 si x ∈ (3, 4],
y g : [0, 1]→ R definida por g(x) = 3x.
a) Calcule el recorrido de f .
Solución.
La función x2 + 2 es creciente en [0, 3] por lo tanto su recorrido es el intervalo
que se obtiene evaluando la función en x = 0 y en x = 3, a saber [2, 11]. Del
mismo modo la función 3x−2 también es creciente y en consecuencia su recorrido
se calcula análogamente y es igual a (7, 10]. Así
recf = [2, 11]
b) Determine el dominio de la función compuesta f ◦ g.
Solución.
Notemos que
dom(f ◦ g) = {x ∈ domg : g(x) ∈ domf}
= {x ∈ [0, 1] : 3x ∈ [0, 4]} = [0, 1].
c) Calcule la función compuesta f ◦ g en su dominio.
Solución:
Como el rcorrido de g es igual a [0, 3] al componer uilitzaremos solamente una
rama de f . Así
(f ◦ g)(x) = (3x)2 + 2 = 9x2 + 2.
1
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MAT 210E - Cálculo 1
Control 1
Problema 1. [Total : 3 ptos] Resuelva la siguiente inecuación,
(x2 − 5x+ 6)(2− |x− 1|) > 0
Solución.
Caso 1.Ambos factores positivos.
(x2 − 5x+ 6) = (x− 3)(x− 2) > 0⇒ x < 2, x > 3
(2− |x− 1|) > 0⇒ −|x− 1| > −2⇒ |x− 1| < 2⇒ −1 < x < 3 .
Conjunto solución S1 = {x ∈ R : −1 < x < 2}.
Caso 2. Ambos negativos.
(x2 − 5x+ 6) = (x− 3)(x− 2) < 0⇒ 2 < x < 3
2− |x− 1| < 0⇒ −|x− 1| < −2⇒ |x− 1| > 2⇒ x < −1, x > 3
Conjunto solución S2 = ∅.
La solucuión es S = {x ∈ R : −1 < x < 2}.
Problema 2. [Total : 3 ptos] Sean
f(x) =
{
2− (x+ 2)2 si x ≤ 0;
3 + 1
1+x
si x > 0,
y g : [0, 1]→ R definida por g(x) = 2x− 2.
a) Calcule el recorrido de f .
Solución.
Recorrido de f =]−∞, 2]∪]3, 4[ . Gráfico:
b) Determine la preimagen de 1.
Solución. Se debe resolver 3+ 1
1+x
= 1 con la condición x > 0. Esto es x = 1−2−1,
esto es, x = −3
2
lo cual no sirve.
Ahora se resuelve 2 − (x + 2)2 = 1 con la condición x ≤ 0. Hay soluciones ;
x = −1, x = −3. Luego la preimagen de 1 es el conjunto:
f−1(1) = {t : f(t) = 1} = {−1,−3}
c) Calcule f ◦ g. Solución.
(f ◦ g)(x) =
{
2− 4x2 si x ≤ 1;
3 + 12x−1 si x > 1,