Copia de Lógica 2 semana 15 - Felix Arvizu Cabrera

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TEMA
Lógica II. Tautologías notables. 
Deducción natural, Lógica e 
informática
2021-2
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PREUNIVERSITARIO
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PRINCIPIOS LÓGICOS CLÁSICOS, 
TAUTOLOGÍAS NOTABLES: 
EQUIVALENCIAS E IMPLICACIONES 
NOTABLES. MÉTODO DE DEDUCCIÓN 
NATURAL, LÓGICA E INFORMÁTICA
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PRINCIPIOS LÓGICOS CLÁSICOS
• PRINCIPIO DE IDENTIDAD
• Si algo es, entonces es
p → p
• PRINCIPIO DE NO CONTRADICCIÓN
• No es posible que algo sea y a la vez no sea
~ (p ˄ ~ p)
• PRINCIPIO DE TERCIO EXCLUIDO
• Algo es o no es
p v ~ p
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TAUTOLOGÍAS NOTABLES
1. EQUIVALENCIAS NOTABLES
Son reglas lógicas a través de las cuales se reemplaza una fórmula por 
otra. Estas tautologías se utilizan para reducir expresiones de un 
lenguaje formalizado a otro. 
Son las fórmulas lógicas que al ser sometidas a las
tablas de verdad resultan ser tautológicas.
Son de dos tipos: equivalencias notables e
implicaciones notables.
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EQUIVALENCIAS NOTABLES
Asociación (Asoc)
[p Λ (q Λ r)] ↔ [(p Λ q) Λ r] 
[p v (q v r)] ↔ [(p v q) v r]
Distribución (Dist)
[p Λ (q v r)] ↔ [(p Λ q) v (p Λ r)] 
[p v (q Λ r)] ↔ [(p v q) Λ (p v r)]
Idempotencia (Idem) 
(p Λ p) ↔ p 
(p v p) ↔ p
Conmutatividad (Conm)
(p Λ q) ↔ (q Λ p) 
(p v q) ↔ (q v p)
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EQUIVALENCIAS NOTABLES
De Morgan (DM)
~(p Λ q) ↔ (~p v ~q) 
~(p v q) ↔ (~p Λ ~q)
Definición de condicional 
(Def.Cond)
(p → q) ↔ (~p v q) 
(p → q) ↔ ~(p Λ ~q)
Definición de bicondicional 
(Def. Bicond)
(p ↔ q) ↔ [(p → q) Λ (q → p)]
(p ↔ q) ↔ [(p Λ q) v (~p Λ ~q)]
Transposición (Trans)
(p → q) ↔ (~q → ~p)
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EQUIVALENCIAS NOTABLES
Absorción (Abs)
[p Λ (p v q)] ↔ p
[p v (p Λ q)] ↔ p 
[(p Λ (~ p v q)] ↔ (p Λ q)
[p v (~ p Λ q)] ↔ (p v q)
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Dos fórmulas ‘A’ y ‘B’ son equivalentes si y sólo si sus
matrices son iguales; si sus matrices son diferentes, de
dice que ‘A’ y ‘B’ no son equivalentes.
Notación:
A ↔ B: se lee ‘A’ es equivalente a ‘B’
A↮ B: se lee ‘A’ no es equivalente a ‘B’
Ejemplo:
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2. IMPLICACIONES NOTABLES
Las implicaciones son tautologías donde las premisas implican a la
conclusión. Es decir, el consecuente (conclusión) es derivado del
antecedente (premisas) porque se encuentra contenido en este.
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IMPLICACIONES NOTABLES
Modus tollens (MT)
p → q
~q___
∴ ~p
Ejemplo:
Si hago ejercicios entonces tendré salud.
No tengo salud.
Por lo tanto, no hago ejercicios.
Modus ponens (MP)
p → q
p____
∴ q 
Ejemplo: 
Si hago ejercicio entonces tendré salud.
Hago ejercicios.
Por lo tanto, tendré salud.
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IMPLICACIONES NOTABLES
Silogismo Hipotético (SH)
p → q 
q → r
∴ p → r
Ejemplo: 
Si hago ejercicios entonces tendré salud.
Si tengo salud entonces podré trabajar.
Por lo tanto, si hago ejercicios, podré trabajar.
Silogismo Disyuntivo (SD)
p v q
~p__
∴ q
Ejemplo:
Hago ejercicios o tengo salud.
No hago ejercicios.
Por lo tanto, tengo salud.
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IMPLICACIONES NOTABLES
Simplificación (Simp)
p Λ q
∴ q
Ejemplo:
Hago ejercicios y tengo salud.
Por lo tanto, tengo salud.
Adición (Ad)
p___ 
∴ p v q
Ejemplo: 
Hago ejercicios.
Por lo tanto, hago ejercicios o tengo 
salud.
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IMPLICACIONES NOTABLES
Adjunción o conjunción (Adj)
p
q___
∴ p Λ q
Ejemplo:
Hago ejercicios.
Tengo salud.
Por lo tanto, hago ejercicios y tengo salud.
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Una fórmula ‘A’ implica a ‘B’ si y solo si unidas en forma
condicional, ‘A’ como antecedente y ‘B’ como consecuente, su
matriz resulta tautológica (en este caso decimos que la inferencia
es válida).
Si su matriz es consistente o contradictoria, se dice que ‘A’ no
implica a ‘B’ (en este caso decimos que la inferencia es inválida).
Notación:
A→B: se lee ‘A’ implica a ‘B’
Ejemplo:
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DEDUCCIÓN NATURAL
Es un método que sirve para la evaluación de inferencias y procede
por transformaciones de las fórmulas aplicando a las premisas las
equivalencias e implicaciones notables.
De acuerdo con el método de la deducción natural, para mostrar que la
conclusión de una inferencia se sigue lógicamente de las premisas, es
preciso indicar las reglas de inferencia válidas elementales que
conducen de las premisas a la conclusión.
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PASOS PARA LA DEDUCCIÓN 
NATURAL
Paso 1
Se formaliza cada premisa del argumento enumeradas de
manera correlativa y se las ordena verticalmente.
Paso 2
Se formaliza la conclusión ubicándola en el mismo renglón
de la última premisa. Entre esta premisa y la conclusión se
escribe una barra seguida de tres puntos ( /∴ ), la cual se lee
“por lo tanto”.
Paso 3
Se procede a ejecutar las derivaciones tomando como punto
de partida cualquiera de las premisas siempre que sea
factible, e indicando a la derecha de cada derivación en
forma abreviada de qué premisas y mediante qué regla
lógica se ha obtenido la nueva fórmula. Este proceso debe
llevar a la obtención sistemática de la conclusión.
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EJEMPLO DE DEDUCCIÓN NATURAL
1. (A ν B) → C
2. (C ν B) → [A → (B ↔ ~C)]
3. A ˄ D
4. A Simp. (3)
5. A ν B Ad. (4)
6. C M.P. (1,5)
7. C ν B Ad. (6)
8. A → (B ↔ ~C) M.P. (2,7)
9. B ↔ ~C M.P. (4,8)
10. (B → ~C) ʌ (~C → B) Def. Bicond (9)
11. B → ~C Simp. (10)
/∴ B → ~C
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LÓGICA E INFÓRMATICA
La Lógica es una de las ciencias básicas vinculadas con la
Informática. La Lógica investiga la estructura (forma) de la información
y permite examinar la consistencia de los lenguajes de programación.
La validez de la sintaxis de un lenguaje informático es una de las
condiciones indispensables para su aplicación.
Ejemplo: El bit y sus múltiples byte, kb, etc., son sistemas de medidas
de información que pueden ser introducidos en una computadora para
que estos sean procesados correctamente. La información que
contenga los bits, bytes, kbs, etc., no representa por sí misma
información científica. La secuencia de 0 y 1 no es por sí mismo
conocimiento, pero lo es cuando son “traducidos” a un ordenador. La
información científica no es medible por los bits, pero los bits sirven
para poder ingresar información y después medirla con otros
procedimientos como el de las implicaciones notables.
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Evaluación: LÓGICA 2
1. Qué se concluye de:
1. p → q
2. r ˄ s
3. p ˅ ~s
A) ~s B) ~p C) ~r ˄ ~q D) q ˄ r E) ~r ~p
Solución:
4. s 2 x Simplificación
5. p 3 y 4 x Silogismo Disyuntivo
6. q 1 y 5 x Modus Ponens
7. r 2 x Simplificación
8. q ˄ r 6 y 7 x Conjunción Clave: D
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2. Determine los pasos usados para demostrar la conclusión del razonamiento
siguiente.
1. ~ (r ˅ t)
2. s → r / ~s
3. ~r ˄ ~ t
4. ~r
5. ~s
A) DM, Simp., MP B) DM, Simp., MT C) Ad., Simp., MT
B) D) Ad., Simp., MP E) DM, MP, MT
Solución: 1. ~ (r ˅ t)
2. s → r / ~s
3. ~r ˄ ~ t 1 x De Morgan 
4. ~r 3 x Simplificación 
5. ~s 2 y 4 x Modus Tollens
Clave: B
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3 . Reducir la siguiente expresión: [(~r →s) ˄ r ] → t
A) s → ~ t B) ~ s → t C) ~ s → ~ t D) t → ~ s E) r → t
Solución:
[(~r →s) ˄ r ] → t
[(r ˅ s) ˄ r ] → t Definición de condicional
[ r ˄ (r ˅ s)] → t Conmutación
r → t Absorción Clave: E
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4 . Saque la conclusión de
1. ~p→q
2. s→~p
3. ~q∧~r
A) ~s B) r C) p D) s E) ~ (s→~p)
1. ~p → q
2. s → ~p
3. ~q ˄ ~r
4. ~q 3 x Simplificación
5. p 1 y 4 x Modus Tollens
6. ~s 2 y 5 x Modus Tollens Clave: A
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5. Determine cuál de las alternativas contiene una
equivalencia notable.
A). Silogismo disyuntivo B) Exportación C) Modus Ponens
D) Conjunción E) Modus Tollens
Solución: La exportación es un principio lógico que 
pertenece al grupo de principios conocidos como 
equivalencias notables.
Clave: B
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6. ¿Cómo se justifica el paso 7 en la siguiente deducción?
1. p→ q
2. r∧ s
3. p∨~ s // ∴ r ∧ q
4. s
5. p
6. q
7. r
8. r∧ q
A) MT (6,7) B) Adic. (4) C) SH (4,5) D) SIMP (2) E) SH (2,3)
Solución: En el paso 7 se aplica simplificación en 2
Clave: D
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7. ¿Qué se concluye del siguiente esquema?
1. (p∧q)→ r
2. p∧s
3. q . 
A) ~p B) ~s C) ~q D) r E) ~r
Solución: 
1. (p∧q)→ r
2. p ∧s
3. q . 
4. p 2 x simplificación
5. p ˄ q 3 y 4 x Conjunción
6. r 1 y 5 x Modus PonensClave: D
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8. Identifique la conclusión de la siguiente inferencia
1. p∧~q
2. p→~r
3. q∨~s
.
A) S B) ~(r∨s) C) q D) r E) r∨s
1. p∧~q
2. p→~r
3. q∨~s
4. p 1 x simplificación
5. ~ r 2 y 4 x Modus Ponens
6. ~ q 1 x simplificación
7. ~ s 3 y 6 x silogismo disyuntivo
8. ~ r ˄ ~ s 5 y 7 x conjunción
9. ~(r ˅ s) 8 x De Morgan Clave: B
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9. Señale el equivalente de: ~B → ~A
A) ~A → B B) ~ B ∨ A C) ~A ∨ B
D) ~B ↔ ~A E) ~(B↔A)
Solución:
~B → ~A
B ˅ ~ A Definición de condicional
~ A ˅ B Conmutativa
Clave: c
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10. Señale cuál es la ley lógica que consiste en que a partir de
una fórmula condicional y de la afirmación de su antecedente
se obtiene la afirmación de su consecuente.
A) Simplificación B) Modus Tollens
C) Transposición D) Modus Ponens E) Def. de Condicional
Solución:
El modus ponens consiste en que a partir de una fórmula 
condicional y de la afirmación de su antecedente, se obtiene 
su consecuente. Clave: D